叠加原理的数学基础及其在物理上的应用(1)

若 ui 满足线性方程
Lui = fi ( i = 1, 2, 3, ,,n)
n
6 则它的线性组合 u = ciui, 若当 n y ] 时, i= 1
n
n
6 6 只要 u = ciui 是收敛的, 它必定是 Lu = cifi
i= 1
i= 1
的解。
n
n
6 6 证明: 因 为 Lu = L ciui =
V( x, t, S) , 再利用叠 加原理, 进而可 以求得 u =
Qt v( x, t, S) dS。从而使问题大大简化。 0
( 2) 静电场问题。
在研究静电场问题时, 叠加原理应用的很广 泛, 静电场用标势均描述的方程是
$U= - Q/ E
( 16)
Q为空间给定电荷密度, E为介电常数。
很容易验证( 16) 是线性非齐次方程。也叫泊
域的研究提供了简便的方法, 被广泛应用到物理
学的许多领域, 在物理学的研究中起着极其重要 的作用。本文将从数学物理的角度讨论叠加原理
的数学基础, 概述叠加原理在物理中的应用。并指
出叠加原理不是一条普遍的原理。
自从微积分产生以后, 人们研究问题的领域
和深度大大的扩大。它开始被广泛应用在力学问
题的研究方面, 从这些研究中发现同一类物理现
2006 年
Q]
u = vdS是定解问题的解。只要解出 v 就可
0
求出 u, 这里利用了叠加原理。但当 t < S 时, / 瞬
时0 力尚未起作用, 显然 v = 0( t < S) , 故
t
Q u = vdS 0
( 13)
y
Q U(r) =
1 Q( r c) dvc
4PE v |
y
r-
y
r c|
Lciui =
i= 1
i= 1
n
n
n
n
6 6 6 6 ciLui = cifi, 故 u = ciui 是式 Lu = cifi
i= 1
i= 1
i= 1
i= 1
的解。
从以上的讨论中可以得出叠加原理的数学基
础是它所对应的微分方程和定解条件必须是线性
的。反之线性微分方程和线性定解条件对应着叠
加形式的解。在解决数学中的线性问题时, 可以应
以电磁波为例。在通常条件下波动现象是遵 从线性叠加规律的, 用经典物理学的观点, 这种线 性来源于下述考虑, 当光波在媒质中传播时, 振荡 着的电磁场对媒质的所有电子施加极化力, 由于 原子内的电子被原子核束缚较紧, 所以大部分极 化作用发生在外层电子或价电子, 在通常的光强 下, 辐射场( 光波) 比原子束缚电子的场小的多, 二者相差近 1010 的数量级。这时外场的作用仅是 一种微扰, 这种微扰与光波的电场成正比。在某 些特定条件下, 当外场可与原子场相比拟, 这时将 出现非线性效应。现代激光技术可以获得同原子 场相当甚至更强的场强( 伏/ 米) , 这时非线性效应 已上升为主要矛盾, 这时线性叠加的原理就不再 适用了, 本文不再论述。
式中: W*1 , W2* 为 W1, W2 的复共轭, Re( W1* W2) 的
实部。从机率分布可知干涉现象是 2Re( W*1 W2) 起 作用的结果。
( b) 电子的衍射现象。当一束速度给定的电
子射到一个晶面上时, 它被衍射而向各个方向散 开, 对其中一个电子来说, 衍射后朝哪个方向都有
可能, 由量子论可知, 每一个方向运动由一个平面
un - V2$u = f
( 3)
B、输出方程
ut - a2$u = f
( 4)
C、稳定场方程 $u = f 泊松方程
$u = 0 拉普拉斯方程
( 5)
D、薛定谔方程
i¶Wt (r, t ) = - 2¶m2 ¶Wt( r, t) + V( r, t) W( r, t)
( 6)
可以把( 3) - ( 6) 式写为统一形式
0
0
0
S) dS) = f( x, t)
]
Q( 0 vdS) | x= 0 = 0
]
Q( 0 vdS) | x= l = 0
]
Q( vdS) | t= 0 = 0 0
]
Q( vdS) t | t= 0 = 0 0
将这些结果同( 8) , ( 9) , ( 10) 比较很容易得到。
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安阳师范学院学报
( 8)
f(x, t) = F( x, t) / Q
( 9)
Q为弦线的线密度, F( x, t) 是弦线受的外力。 为了研究方便设弦的初位移、初速度均为零,
只受外力的扰动, 定解条件为
u | x= 0 = 0 u | x= l = 0
u | t= 0 = 0 ut | t= 0 = 0
( 10)
这个数学问题的直接求解几乎是不可能的,
V | t= 0 = 0 V t | t= 0 = 0
( 12)
V( x, t, S) 是/ 瞬时0 力的扰动引起的振动, 它
与 x, t , S 有关, 从数学上看, 把( 11) , ( 12) 各式对 S
积分, 即得
Q Q Q ]
]
]
( vdS) tt - a2( vdS) xx = f( x, S) D( t -
[ 参考文献]
数个 dq 小电荷的作用的总和, 即
[ 1] F. J. Bueche. intuoduction to Physics[M ] . [ 2] 郭敦仁. 数学物理方法[ M] . 人民教育出版社, 1978.
[ 关键词] 叠加原理; 数学基 础; 线性方程; 线性系统
[ 中图分类号] G642. 3
[ 文献标识码] A
[ 文章编号] 1671- 5330( 2006) 05- 0024- 03
1 引言
自然界中许多物理现象都有明显的叠加性。
人们在解决许多实际问题时运用它的叠加性会使
问题很容易得到解决。叠加原理为人们在许多领
但方程和定解条件都是线性的, 满足叠加原理的
数学基础, 运用叠加原理很容易解决。
对这个问题的处理, 可以把持续外力 F( x, t)
看作从 0 时刻一直到 t 时刻的许许多多前后相继 的/ 瞬时0 力的作用, 作用时间为[ S, S+ dS] , 作用 在x 点的冲量为F( x, t) dS的/ 瞬时0 力, 可用D函数 表示为
F( x, t) D( t - S) dS 那么我们就得到
t
Q F( x, t) = Qf( x, S) D( t - S) dS 0
( 8) , ( 9) , ( 10) 的定解问题就可以转化为如下的定
解问题
Vtt - a2Vxx = f ( x, S) D( t - S)
( 11)
V | x= 0 = 0 V | x= l = 0
) ) ) 叠加原理。
2 物理学中的叠加现象
在物理学中有许多物理现象满足如下的叠加
原理: 几个物理量同时存在时所产生的总效果等
于各个物理量单独存在时它们各自产生的效果的
总和。电学中场的叠加、力学中机械波的叠加、光
学中的干涉现象等等, 都是在经典物理学范围内
大家熟知的叠加现象。在理论物理学方面也存在
许多叠加现象, 如量子力学中态的叠加, 下面通过 两个实例简要说明。
( a) 双缝干涉现象。设 W1 代表缝 S2 关闭通过 S1 光子的态, W2 代表缝 S1 关闭通过 S2 光子的态。
在此两种情况下, 光子在空间的机率分布Βιβλιοθήκη Baidu 别为 | W1 | 2 与 | W2 | 2, 当 S1、S2 同时开放时, 光子的
态必是 W1 和 W2 两态的叠加。W= C1W1 + C2W2, 这里 取 C1 = C2 = 1, 因为装置对称等机率出现。由量子 力学可知光子在空间的机率分布为: | W| 2 = ( W1* + W2* ) ( W1 + W2) = | W1 | 2 + | W2 | 2 + 2Re ( W1* W2)
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安阳师范学院学报
2006 年
叠加原理的数学基础及其在物理上的应用
马秀艳1, 韩国松2
( 1. 安阳 师范学院 物理学系, 河南 安阳 455000; 2. 开封教育学院 自然科学系, 河 南 开封 475001)
[ 摘 要] 讨论了叠加原理 的数学基础, 概述了叠加原理在物理中的应用, 并指出叠加原理不是一条普遍的原理。
y
P( r ) 点的电势为:
y
dU( r ) =
dq 4PE
|
y
r-
y
r c| =
y
Q( r c) dv.
yy
4PE| r - r c |
( 17)
那么整个空间在 P 点的电势就可以看作是无
动过程中, 主要矛盾和次要矛盾是可以相互转化 的, 叠加原理只发生在这种联系与制约关系并不 发生显著作用时, 才可以使用的而不能成为普遍 成立的原理。
( 18)
我们运用叠加原理就 很容易求出( 16) 式泊
松方程的解。
从上述两例的讨论, 可以看出运用叠加原力
上式的物理意义很明确, 它把一个扰动引起的振 很容易解出一些线性微分方程, 并且可以清晰的
动视为许许多多小扰动的线性叠加。
表明讨论的物理问题。
V( x, t, S) 的定解问题可以这样求出。/ 瞬时0 力 Qf( x, t) D( t - S) 在时刻 S+ 0( 比 S 略大的时刻)
Lu = f
( 7)
L 称为线性算符, ( 7) 式表示的方程又称为线
性微分方程。
由此可得出结论: 物理学中具有叠加性的物
理现象所对应的微分方程应是线性微分方程。
从另一个角度也就是数学角度来看, 数学问 题的线性性质正是相应物理现象服从叠加原理这
一事实的反映, 也就是线性微分方程的解应具有
叠加形式的解。下面我们来证明这个问题。
用物理方面的叠加原理。
4 叠加原理的应用
对于满足线性方程的物理现象, 运用叠加原 理可以化繁为简, 把一些复杂的定解问题化为若
干个简单的问题去解决。运用叠加原理可以把非
齐次方程化为齐次方程。
( 1) 两端固定弦地受迫振动, 弦长为, 这是一
个波动问题, 它对应的泛定方程是
utt - a2uxx = f( x, t)
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其中: P 是电子动量 E 是电子的动能.
衍射电子的波函数 W( r, t) 是不同动量 P 的平 面波的叠加。
自然界服从叠加原理的物理现象很多, 这些
现象满足什么样的微分方程呢?
3 叠加原理的数学基础
在物理学的许多领域存在有叠加现象, 这些 物理现象大都分别满足下列的偏微分方程
A、波动方程
波表示:
C(
P)
i
e¶
(
P#r-
E#
t)
[ 收稿日期] 2006- 03- 11 [ 作者简介] 马秀艳( 1964- ) , 女, 安阳师范学院物理系副教 授, 从事 物理学研 究; 韩国 松( 1965- ) , 女, 开封教 育学院自 然 科学系教师, 从事物理学研究。
第5期
马秀艳, 韩国松: 叠加原理的数学基础及其 在物理上的应用
V | x= 0 = V | x = l = 0 V | t= S+ 0 = 0
我们知道, 任何数学模型都是对实际事物的
Vt | t= S+ 0 = f( x , S)
( 15) 一种理想近似。这种近似是抓住了事物的主要矛
( 14) , ( 15) 已化为齐次方程, 比较容易求出它的解 盾而不考虑其它的种种次要因素, 在事物发展运
松方程。由于它是线性方程, 可以运用叠加原理。
把空间分为无穷多个小体积 dvc, 每个小体积带有
y
y
电荷 dq = Q( r c) dvc, 其中 r c 为原点到源的位移,
y
P 点的位矢为 r , 那么源点到 P 点的距离为
yy
| r - r c | 。那么 dq 电 荷 ( 可 视 为点 电 荷) 在
象所满足的微分方程在形式上是相同的, 进一步
揭示了自然现象之间的紧密联系。
早在 1715 年, 泰勒( Taylor) 就将弦线的横振
动归结为著名的弦振动方程
utt = a2uxx
( 1)
其中: a2 = T/ Q, T 为弦线的张力, Q为弦线的
线密度
又经后人研究发现波动现象这一类物理问题
的运动方程均具有与( 1) 式相同的形式。在数学
5 叠加原理适用的范围
叠加原理常用来描述一个线性系统。如各种
以后不起作用, 这样, / 瞬时0 力的作用只视为使
系统带一个冲量, 这个冲量使系统初速度不再为
零, 定解问题为:
Vtt - a2Vxx = 0
( 14)
波动( 机械波、电磁波、机率波) 的传播和叠加。研 究指出, 同一系统在不同条件下可呈现为线性, 也 可呈现为非线性, 对非线性问题叠加原理不再成 立。
物理方程中( 1) 式被称为波动方程。
以后贝努里( Bernoull i) 在研究弦线振动时发
现弦线发出的声音是基音和泛音叠加而成的, 他
利用叠加的方法把( 1) 式的解表示为
6 u =
] n=
1
(
ancos
nPl at
+
bnsin nPl at) sin nlPx
( 2)
其中: l 为弦长
从而贝努里发现了数学物理中最基本的规律