高中一年级物理-机械能守恒题型总结(教师版)
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机械能守恒定律的综合运用
【典型例题】
问题1、单一物体的机械能守恒问题:
例1. 是竖直平面的四分之一圆弧形轨道,在下端B点与水平直轨道相切,如图所示,一小球自A点起由静止开始沿轨道下滑,已知圆轨道半径为R,小球的质量为m,不计各处摩擦,求:
(1)小球运动到B点时的动能;
(2)小球下滑到距水平轨道的高度为R时速度的大小和方向;
(3)小球经过圆弧形轨道的B点和水平轨道的C点时,所受轨道支持力各是多大。
解析:(1)小球从A滑到B的过程中,只有重力做功,机械能守恒,则
。
(2)由机械能守恒有
。
小球速度大小为,速度方向沿圆弧在该点的切线方向向下,如图所示,即图中角。由几何关系知,速度方向与竖直方向的夹角为。
(3)由机械能守恒得①
由牛顿第二定律得②
由①②式解得。
小球运动到C点,在竖直方向上受力平衡,。
答案:(1)。(2),与竖直方向夹角。(3);mg。
变式、如图所示,O点离地面高度为H,以O点为圆心,制作四分之一光滑圆弧轨道,小球从与O点等高的圆弧最高点滚下后水平抛出,试求:
(1)小球落地点到O点的水平距离;
(2)要使这一距离最大,R应满足何条件?最大距离为多少?
解析:(1)小球在圆弧上滑下过程中受重力和轨道弹力作用,但轨道弹力不做功,即只有重力做功,机械能守恒,可求得小球平抛的初速度。
根据机械能守恒定律得
设水平距离为s,根据平抛运动规律可得
(2)因H为定值,则当时,即时,s最大,最大水平距离
。
问题2、双物体的机械能守恒问题:
例2. 如图所示,质量分别为2m、m的两个物体A、B可视为质点,用轻质细线连接跨过光滑圆柱体,B着地A恰好与圆心等高,若无初速度地释放,则B上升的最大高度为多少?
解析:释放后,系统加速运动,当A着地时B恰好达水平直径的左端,此时A、B速度均为,
这一过程系统机械能守恒,此后B物体竖直上抛,求出最高点后即可得出结果,下面用机械能守恒定律的三种表达式来求解。
(1)用求解。
由
有,
得,B以竖直上抛,则上抛最大高度,故B上升的最大高度为。
(2)用△求解。
对A、B系统,△,△,
由△有,得。
同理可得。
(3)用△求解。
对A物体:△,对B物体:△。
由△有,则。
同理可得。
答案:。
变式1、如图所示,A物体用板托着,位于离地面处,轻质细绳通过光滑定滑轮与A、B相连,绳子处于绷直状态,已知A物体质量,B物体质量,现将板抽走,A将拉动B上升,设A与地面碰后不反弹,B上升过程中不会碰到定滑轮,问:B 物体在上升过程中离地的最大高度为多大?(取)
解析:在A下降B上升的过程中,A、B组成的系统机械能守恒,由机械能守恒定律得
解得
代入数据有
A着地后,B做竖直上抛运动,竖直上抛能上升的高度为
代入数据有
B物体上升过程中离地面的最大高度为
。
答案:。
变式2、一轻绳通过无摩擦的定滑轮和在倾角为角的光滑斜面上的物体连接,另一端和套在光滑竖直杆上的物体连接,设定滑轮到竖直杆距离,又知物体由静止从AB连接为水平位置开始下滑时,和受力恰平衡,如上图所示,()求:
(1)下滑过程中的最大速度;
(2)沿竖直杆能够向下滑的最大距离。
解析:(1)、与地组成的系统的机械能守恒,物体由静止开始先做加速度不断减小的加速运动,当加速度减小到0时,速度最大,此时受力平衡,随后,向下做加速度不断增大的减速运动,速度为0时下滑到最大距离,选取AB水平面为重力势能零势能面,设的最大速度为,对从B到C过程,设开始时斜面上绳长为,至C时斜面上绳长为,由机械能守恒定律:
①
设∠ACB=,则,,
则,②
又。③
再根据、此时受力平衡,可知绳子拉力:
,,
∴,④
将②、③、④代入①式,整理得:
。
(2)设沿竖直杆能够向下滑的最大距离为H,设此时斜面上绳长为,则由机械能守恒定律:
,
又,
代入上式解得。
问题3、机械能守恒与圆周运动的综合问题:
例3. 把一个小球用细线悬挂起来,就成为一个摆(如图所示),摆长为l,最大偏角为,
小球运动到最低位置时的速度是多大?
解析:小球摆动过程中受重力和细线的拉力作用,细线的拉力与小球的运动方向垂直,不做功,所以这个过程中只有重力做功,机械能守恒。
小球在最高点作为初状态,如果把最低点的重力势能定为0,在最高点的重力势能就是
,而动能为零,即。
小球在最低点作为末状态,势能,而动能可以表示为
。
运动过程中只有重力做功,所以机械能守恒,即
。
把各个状态下动能、势能的表达式代入,得
,
由此解出。
从得到的表达式可以看出,初状态的角越大,越小,就越大,v也就越大,也就是说,最初把小球拉得越高,它到达最下端时的速度也就越大,这与生活经验是一致的。答案:。
变式1、如图所示,用一根长为L的细绳,一端固定在天花板上的O点,另一端系一小球A,在O点的正下方钉一钉子B,当质量为m的小球由水平位置静止释放后,小球运动到最低点时,细线遇到钉子B,小球开始以B为圆心做圆周运动,恰能过B点正上方C,求OB的距离。
解析:小球在整个运动过程中,仅受到重力和绳的拉力,而拉力对它不做功,所以在整个运动过程中机械能守恒,小球从释放位置运动到C点的过程中机械能守恒,以过C的水平面为
零势能面,设小球在C点的速度为