探索三角形全等的条件(1)的专家点评
6 探索全等三角形的条件(1)-边角边(SAS)(拓展提高)(解析版)
专题1.6 探索全等三角形的条件（1）-边角边（SAS ）（拓展提高）一、单选题1．如图所示，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 平分∠ACB ，在BC 边上取点E ，使EC ＝AC ，连接DE ，若∠A ＝50°，则∠BDE 的度数是（ ）A ．10°B ．20°C ．30°D ．40°【答案】A 【分析】先由直角三角形的性质得∠B ＝90°﹣∠A ＝40°，再证△CDE ≌△CDA （S A S ），得∠CED ＝∠A ＝50°，然后由三角形的外角性质即可得出答案．【详解】∵∠ACB ＝90°，∠A ＝50°，∴∠B ＝90°﹣∠A ＝40°，∵CD 平分∠ACB ，∴∠ECD ＝∠ACD ，在△CDE 和△CDA 中，EC AC ECD ACD CD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CDE ≌△CDA （S A S ），∴∠CED ＝∠A ＝50°，又∵∠CED ＝∠B +∠BDE ，∴∠BDE ＝∠CED ﹣∠B ＝50°﹣40°＝10°，故选：A ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质．2．如图所示，AD 是ABC ∆的边BC 上的中线，5AB =cm ，4=AD cm ，则边AC 的长度可能是（ ）A ．3cmB ．5cmC ．14cmD ．13cm【答案】B 【分析】延长AD 至M 使DM =AD ，连接CM ，根据SAS 得出≅ADB MDC ，得出AB =CM =4cm ，再根据三角形的三边关系得出AC 的范围，从而得出结论；【详解】解：延长AD 至M 使DM =AD ，连接CM ，∵AD 是ABC ∆的边BC 上的中线，∴BD =CD ，∵∠ADB =∠CDM ,∴≅ADB MDC ，∴MC =AB =5cm ，AD =DM =4cm ，在AMC 中，3＜AC ＜13，故选：B【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的三边关系，根据三角形的三边关系找出AC 长度的取值范围是解题的关键．3．如图，已知AB AD =，BC DE =，且10CAD ∠=︒，25B D ∠=∠=︒，120EAB ∠=︒，则EGF ∠的度数为（ ）A ．120︒B ．135︒C ．115︒D ．125︒【答案】C 【分析】由已知可得△ABC ≌△ADE ，故有∠BAC =∠DAE ，由∠EAB =120°及∠CAD =10°可求得∠AFB 的度数，进而得∠GFD 的度数，在△FGD 中，由三角形的外角等于不相邻的两个内角的和即可求得∠EGF 的度数．【详解】在△ABC 和△ADE 中AB AD B D BC DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △ABC ≌△ADE （SAS ）∴∠BAC =∠DAE∵∠EAB =∠BAC +∠DAE +∠CAD =120°∴∠BAC =∠DAE ()112010552=⨯︒-︒=︒ ∴∠BAF =∠BAC +∠CAD =65°∴在△AFB 中，∠AFB =180°-∠B -∠BAF =90°∴∠GFD =90°在△FGD 中，∠EGF =∠D +∠GFD =115°故选：C【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质、三角形内角和定理，关键求得∠BAC 的度数．4．如图，AD 是ABC 的中线，E ，F 分别是AD 和AD 延长线上的点，且DE DF =，连接BF ，CE ，下列说法：①ABD △和ACD △面积相等； ②BAD CAD ∠=∠； ③BDF ≌CDE △；④//BF CE ；⑤CE AE =．其中正确的是（ ）A．①②B．①③C．①③④D．①④⑤【答案】C【分析】根据三角形中线的定义可得BD=CD，根据等底等高的三角形的面积相等判断出①正确，然后利用“边角边”证明△BDF和△CDE全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=BF，全等三角形对应角相等可得∠F=∠CED，再根据内错角相等，两直线平行可得BF∥CE．【详解】解：∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，∴△ABD和△ACD面积相等，故①正确；∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD，∠BAD和∠CAD不一定相等，故②错误；在△BDF和△CDE中，BD CDBDF CDE DF DE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDF≌△CDE（SAS），故③正确；∴∠F=∠DEC，∴BF∥CE，故④正确；∵△BDF≌△CDE，∴CE=BF，故⑤错误，正确的结论为：①③④，故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等底等高的三角形的面积相等，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键．5．如图已知ABC ∆中，12AB AC cm ==，B C ∠=∠，8BC cm =，点D 为AB 的中点．如果点P 在线段BC 上以2/cm s 的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．若点Q 的运动速度为v ，则当BPD ∆与CQP ∆全等时，v 的值为（ ）A ．1B ．3C ．1或3D ．2或3【答案】D 【分析】设运动时间为t 秒，由题目条件求出BD=12AB=6，由题意得BP=2t ，则CP=8-2t ，CQ=vt ，然后结合全等三角形的判定方法，分两种情况列方程求解．【详解】解：设运动时间为t 秒，∵12AB AC cm ==，点D 为AB 的中点．∴BD=12AB=6， 由题意得BP=2t ，则CP=8-2t ，CQ=vt ，又∵∠B=∠C∴①当BP=CQ ，BD=CP 时，BPD ∆≌CQP ∆∴2t=vt ，解得：v=2②当BP=CP ，BD=CQ 时，BPD ∆≌CPQ ∆∴8-2t=2t ，解得：t=2将t=2代入vt=6，解得：v=3综上，当v=2或3时，BPD ∆与CQP ∆全等故选：D【点睛】本题主要考查了全等三角形全等的判定、熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．6．如图1，已知AB AC =，D 为BAC ∠的角平分线上面一点，连接BD ，CD ；如图2，已知AB AC =，D 、E 为BAC ∠的角平分线上面两点，连接BD ，CD ，BE ，CE ；如图3，已知AB AC =，D 、E 、F 为BAC ∠的角平分线上面三点，连接BD ，CD ，BE ，CE ，BF ，CF ；…，依次规律，第n 个图形中有全等三角形的对数是（ ）．A ．nB ．21n -C ．(1)2n n +D ．3(1)n +【答案】C 【分析】根据条件可得图1中△ABD ≌△ACD 有1对三角形全等；图2中可证出△ABD ≌△ACD ，△BDE ≌△CDE ，△ABE ≌△ACE 有3对三角形全等；图3中有6对三角形全等，根据数据可分析出第n 个图形中全等三角形的对数．【详解】解：∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠BAD=∠CAD ．在△ABD 与△ACD 中，AB=AC ，∠BAD=∠CAD ，∴△ABD≌△ACD．∴图1中有1对三角形全等；同理图2中，△ABE≌△ACE，∴BE=EC，∵△ABD≌△ACD．∴BD=CD，又DE=DE，∴△BDE≌△CDE，∴图2中有3对三角形全等；同理：图3中有6对三角形全等；由此发现：第n个图形中全等三角形的对数是()12n n+．故选：C．【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定以及规律的归纳，解题的关键是根据条件证出图形中有几对三角形全等，然后寻找规律．二、填空题7．如图所示，点O为AC的中点，也是BD的中点，那么AB与CD的关系是________．【答案】平行且相等【分析】只需要证明△AOB≌△COD，根据全等三角形的性质和平行线的判定定理即可得出结论．【详解】解：∵点O为AC的中点，也是BD的中点，∴AO=OC，BO=OD，又∵∠AOB=∠DOC，∴△AOB≌△COD（SAS）∴AB=CD，∠A=∠C，即AB 与CD 的关系是平行且相等，故答案为：平行且相等．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，平行线的判定定理．掌握全等三角形的判定定理是解题关键．8．在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，若7,5AB AC ==，则AD 长的取值范围是_________．【答案】16AD <<【分析】利用中线的性质，作辅助线AD=DE ，构造全等三角形()ADB EDC SAS ≅，再有全等三角形对应边相等的性质，解得7CE AB ==，最后由三角形三边关系解题即可．【详解】如图，AD 为BC 边上的中线,延长AD 至点E ，使得AD=DE在△ADB 和△EDC 中BD DC ADB CDE AD DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ADB EDC SAS ∴≅7CE AB ∴==CE AC AE AC CE -<<+75275AD ∴-<<+16AD ∴<<故答案为：16AD <<．【点睛】本题考查三角形三边的关系，其中涉及全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，掌握相关知识、正确作出辅助线是解题的关键．9．如图，在ABC 中，,90AC BC ACB =∠=︒，点D 是BC 上的一点，过点B 作//BE AC ，使BE CD =，连接CE 与AD 相交于点G ，则AD 与CE 的关系是_______________．【答案】AD ⊥CE ，AD =CE【分析】证明△ACD ≌△CBE ，得到∠CAD =∠BCE ，AD =CE ，结合∠ACB =90°，可得∠CGD =90°，从而可得结果．【详解】解：由题意可知：∵∠ACB =90°，BE ∥AC ，∴∠ACB =∠EBC =90°，在Rt △ACD 和Rt △CBE 中，AC CB ACD CBE CD BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△CBE （SAS ），∴∠CAD =∠BCE ，AD =CE ，∵∠CAD +∠CDA =90°，∴∠CDA +∠BCE =90°，∴∠CGD =180°-（∠CDA +∠BCE ）=90°，∴AD ⊥CE ，综上：AD ⊥CE ，AD =CE ，故答案为：AD ⊥CE ，AD =CE ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是证明△ACD ≌△CBE ，得到角和线段之间的相等关系．10．如图，在ABC 中，90B ∠>︒，CD 为ACB ∠的角平分线，在AC 边上取点E ，使DE DB =，且90AED ∠>︒，若A x ∠=︒，ACB y ∠=︒，则AED =∠_______．（用x 、y 的代数式表示）【答案】180°-x°-y° 【分析】在AC 上截取CF =BC ，根据全等三角形的性质可得BD =DF =DE ，可得∠AED =∠ABC ，根据三角形的内角和可求解．【详解】解：如图，在AC 上截取CF =BC ，∵CD 为∠ACB 的角平分线，∴∠ACD =∠BCD ，∵CF =BC ，∠ACD =∠BCD ，CD =CD ，∴△BDC ≌△FDC （SAS ），∴∠ABC =∠CFD ，DF =BD ，∵BD =DE ，∴DE =DF ，∴∠DEF =∠DFE ，∴∠AED =∠CFD ，∵∠A =x°，∠ACB =y°，∴∠ABC =180°-∠A -∠ACB =180°-x°-y°，∴∠AED =∠DBC =180°-x°-y°，故答案为：180°-x°-y°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是解本题的关键．11．如图，在ABC 中，90,,,ACB AC BC CE BE CE ∠=︒=⊥与AB 相交于点F ，且CD BE =，则ACD CBA DAF ∠∠∠、、之间的数量关系是_____________．【答案】=ACD CBA DAF ∠∠∠+【分析】先利用同角的余角相等得到ACD ∠=CBE ∠，再通过证ACD CBE ≌，得到==90ADC CEB ∠︒∠即==90ADF CEB ∠︒∠，再 利用三角形内角和得=AFD ADF EFB FEB ︒--︒-∠-180∠∠180∠可得=DAF EBF ∠∠，最后利用角的和差即可得到答案，ACD ∠==++CBE CBA EFB CBA DAF ∠∠∠=∠∠．【详解】证明：∵90ACB ∠=︒，CE BE ⊥∴+90ACD ECB ∠=︒∠，+90CBE ECB ∠=︒∠∴ACD ∠=CBE ∠又∵AC BC =，CD BE =∴ACD CBE ≌∴==90ADC CEB ∠︒∠即==90ADF CEB ∠︒∠∵=AFD EFB ∠∠∴=AFD ADF EFB FEB ︒--︒-∠-180∠∠180∠即=DAF EBF ∠∠∴ACD ∠==++CBE CBA EFB CBA DAF ∠∠∠=∠∠故答案为：=ACD CBA DAF ∠∠∠+．【点睛】本题考查了直角三角形的性质、内角和定理以及全等三角形的判定和性质，能通过性质找到角与角之间的关系是解答此题的关键．12．如图所示的是一张直角ABC 纸片（90C ∠=︒），其中30BAC ∠=︒，如果用两张完全相同的这种纸片恰好能拼成如图2所示的ABD △，若2BC =，则ABD △的周长为______．【答案】12【分析】根据题意证明三角形全等即可得解；【详解】如图所示，由题可知ABC ADC ≅△△，∴30BAC DAC ∠=∠=︒，90ACB ACD ∠=∠=︒，2BC BD ==，∴60BAD ∠=︒，180BCD ∠=︒，∴B ，C ，D 在一条直线上，∵60B D ∠=∠=︒，∴△ABD 是等边三角形，∴△ABD 的周长()3312BD BC CD==+=；故答案是12．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，结合等边三角形的性质计算是解题的关键． 13．已知：如图，在长方形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝6．延长BC 到点E ，使CE ＝2，连接DE ，动点P 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿BC ﹣CD ﹣DA 向终点A 运动，设点P 的运动时间为t 秒，当t 的值为__秒时，△ABP 和△DCE 全等．【答案】1或7【分析】分两种情况进行讨论，根据题意得出BP=2t=2或AP=16-2t=2即可求得结果．【详解】因为AB＝CD，若∠ABP＝∠DCE＝90°，BP＝CE＝2，根据SAS证得△ABP≌△DCE，由题意得：BP＝2t＝2，所以t＝1，因为AB＝CD，若∠BAP＝∠DCE＝90°，AP＝CE＝2，根据SAS证得△BAP≌△DCE，由题意得：AP＝16﹣2t＝2，解得t＝7．所以，当t的值为1或7秒时．△ABP和△DCE全等．故答案为：1或7．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，要注意分类讨论．14．如图，△P AB与△PCD均为等腰直角三角形，点C在PB上，若△ABC与△BCD的面积之和为10，则△P AB与△PCD的面积之差为_____．【答案】10【分析】由“SAS”可证△APC≌△BPD，可得S△APC＝S△BPD，由面积和差关系可求解．【详解】解：∵△P AB与△PCD均为等腰直角三角形，∴PC＝PD，∠APB＝∠CPD＝90°，AP＝BP，∴△APC≌△BPD（SAS），∴S△APC＝S△BPD，∵S△APB﹣S△PCD＝S△APC+S△ABC﹣（S△BPD﹣S△BCD），∴S△APB﹣S△PCD＝S△BCD+S△ABC＝10，故答案为：10．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明△APC≌△BPD是本题的关键．三、解答题15．如图所示，AC BC ⊥，DC EC ⊥，垂足均为点C ，且AC BC =，EC DC =．求证：AE BD =．【答案】见解析【分析】根据SAS 证明ACE BCD △≌△即可．【详解】证明：∵AC BC ⊥，DC EC ⊥，∴90ACB ECD ∠=∠=︒∴ACB BCE ECD BCE ∠+∠=∠+∠即ACE BCD ∠=∠在ACE 和BCD △中AC BC ACE BCD EC DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()SAS ACE BCD ≌△△ ∴AE BD =【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，证明ACE BCD ∠=∠是解答此题的关键． 16．如图，点B ，E ，C ，F 在一条直线上，//,,AB DE AB DE BE CF ==．求证：A D ∠=∠．【答案】证明见解析【分析】根据平行得出B DEF ∠=∠，然后用“边角边”证明ABC DEF △≌△即可．【详解】证明：∵//AB DE ，∴B DEF ∠=∠．∵BE CF =，∴BE EC CF EC +=+．∴BC EF =．在ABC 和DEF 中，,,,AB DE B DEF BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABC DEF △≌△．∴A D ∠=∠．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用已知条件，推导证明出全等三角形判定所需条件，运用全等三角形判定定理证明．17．如图，四边形ABCD 的对角线交于点O ，点E 、F 在AC 上，//DF BE ，且DF BE =，AE CF =．求证：AB CD =，且//AB CD ．【答案】见解析【分析】根据已知条件可证得ABE CDF △≌△，从而由全等三角形的性质可得要证的结论．【详解】//DF BEBEO DFO ∴∠=∠AEB CFD ∴∠=∠又DF BE =∵，AE CF =ABE CDF ∴△≌△AB CD ∴=，BAE DCF ∠=∠//AB CD ∴【点睛】本题考查了三角形全等的的判定的性质，关键是得出AEB CFD ∠=∠．18．如图，BD ，CE 分别是ABC 的边AC 和AB 边上的高，点P 在BD 的延长线上，点Q 在CE 上，BP AC =，CQ AB =，请说明AQ 与AP 的关系．【答案】AP =AQ 且AP ⊥AQ【分析】由于BD AC ⊥，CE AB ⊥，可得ABD ACE ∠=∠，又由对应边的关系，进而得出ABP QCA ∆≅∆，即可得出AQ=AP ．在此基础上，可证明90PAQ ∠=︒．【详解】解：证明：BD AC ⊥，CE AB ⊥（已知），90BEC BDC ∴∠=∠=︒，90ABD BAC ∴∠+∠=︒，90ACE BAC ∠+∠=︒（直角三角形两个锐角互余），ABD ACE ∴∠=∠（等角的余角相等），在ABP ∆和QCA ∆中，BP AC ABD ACE CQ AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABP QCA SAS ∴∆≅∆，∴=AP AQ ．ABP QCA ∆≅∆，CAQ P ∴∠=∠，BD AC ⊥，即90P CAP ∠+∠=︒，90CAQ CAP ∴∠+∠=︒，即90QAP ∠=︒，AP AQ ∴⊥．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质问题，能够熟练掌握并运用．19．平面上有ACD △与,BCE AD 与BE 相交于点,P AC 与BE 相交于点,M AD 与CE 相交于点N ，若,,AC BC CD CE ECD ACB ==∠=∠．（1）求证：≌ACD BCE ；（2）55,145ACE BCD ∠=︒∠=︒，求BPD ∠的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）∠BPD =140°．【分析】（1）利用SAS 证明△ACD ≌△BCE 即可；（2）由全等三角形的性质可知：∠A =∠B ，再根据已知条件和四边形的内角和为360°，即可求出∠BPD 的度数．【详解】解：（1）证明：∵∠ACB =∠ECD ，∠ACE =∠ACE ，∴∠BCE =∠ACD ，在△ACD 和△BCE 中，AC BC BCE ACD CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△BCE （SAS ）；（2）∵△ACD ≌△BCE ，∴∠A =∠B ，∠BCE =∠ACD ，∴∠BCA =∠ECD ，∵∠ACE =55°，∠BCD =155°，∴∠BCA +∠ECD =100°，∴∠BCA =∠ECD =50°，∵∠ACE =55°，∴∠ACD =105°∴∠A +∠D =75°，∴∠B +∠D =75°，∵∠BCD =145°，∴∠BPD =360°-75°-145°=140°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形的内角和定理以及四边形的内角和定理，解题的关键是利用整体的数学思想求出∠B+∠D=75°．20．（1）如图1，一扇窗户打开后，用窗钩AB将其固定，这里所运用的几何原理是：；（2）如图2，小河的旁边有一个甲村庄所示，现计划在河岸AB上建一个泵站，向甲村供水，使得所铺设的供水管道最短，请在上图中画出铺设的管道，这里所运用的几何原理是：（3）如图3，在新修的小区中，有一条“Z”字形长廊ABCD，其中AB∥CD，在AB，BC，CD三段长廊上各修一小凉亭E，M，F，且BE=CF，点M是BC的中点，在凉亭M与F之间有一池塘，不能直接到达，要想知道M与F之间的距离，只需要测出线段ME的长度（用两个字母表示线段）．这样做合适吗?请说出理由．【答案】（1）三角形具有稳定性；（2）见解析，垂线段最短；（3）合理，见解析【分析】（1）根据三角形的稳定性解答；（2）根据垂线段最短解答；（3）首先证明△MEB≌△MFC，根据全等三角形的性质可得ME＝MF．【详解】解：（1）一扇窗户打开后，用窗钩AB要将其固定，这里所运用的几何原理是三角形具有稳定性；故答案为：三角形具有稳定性；（2）过甲向AB作垂线，如图2所示；运用的原理是：垂线段最短；故答案为：垂线段最短；（3）合理，∵AB ∥CD ，∴∠B ＝∠C ，∵点M 是BC 的中点，∴MB ＝MC ，在△MCF 和△MBE 中BE CF B C BM CM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△MEB ≌△MFC （SAS ），∴ME ＝MF ，∴想知道M 与F 之间的距离，只需要测出线段ME 的长度．【点睛】此题主要考查了垂线段的性质，三角形的稳定性，以及全等三角形的应用，关键是掌握全等三角形判定定理，会用它证明对应边相等．。
探索三角形全等的条件(一)案例与评析
受 我 的 采 访 吗 ？ 小 红 车 的 主 人 打 电 话 来是 在 你 意 料 之 中
吗 ？ 当时 你 认 为 他 打 电话 的 目的 是 什 么？ 最 后 的 结 果 在 你 的 意 料 之 中吗 ？
的 三次说话 ，学生知道 了小红车的主 人是 来表 示感谢 的 。
“ ”在 无 人 知 晓 的情 况 下 主 动 给 他 留 下 字 条 这 件 事 情 让 我 他 很 感 动 。教 师 通过 与 学 生 对话 ， 引 导 学 生理 解 小 红 丰 的 主 人 不但 感谢 “ ” 的诚 实 ，更 感 谢 “ ” 对 他 的信 任 。 我 我 ） 师 ：我 觉得 你们 真的 很 懂 小红 车 主 人 的 心 ．那 么 ．你
部 分 学 生 ：这 些 图 片 都 是 由三 角 形 组 成 的 。 生１ ：这 些三 角形 大 小 那 么一 致 ，都 是 全 等 的 吧 ？ 师 ：对 ！这 些 美 丽 的 图 片 都 是 由 全 等 三 角 形 组 成 的 ，
大 家想 不 想 自 己用 全 等 三 角形 设 计 几 幅 美丽 的 图 片呢 ？
教 海 揉 察 ． 例 俸 翼 案
探索三角形全等韵条件 （ 案傍与Байду номын сангаас新 一＞
湖北 老河 口市袁冲 中学 陈 敏
一
教 学 目标
２课 前 准 备 ：教 师 准 备 一 张 画 有 两 个 全 等三 角 形 的 白 ．
１ ． 学生在教师 引导下 ，在积极主动地经 历探索三 角形 全等条件 的过程 中，体会 利用操作归纳而获得数 学知识的
（Ｏ 师 ： 同 学 们 ，通 话 的 另 一 方 ， “ ” 是 闽 了 祸 １） 我
的人 ，又是 用 怎样 的心 情接 了这个 电话 呢？请 再读 一读
课例《探索三角形全等的条件(第一课时)》大家评 对四个课例的综合点评——好马配好鞍 快马又加鞭
可促 进教 师 的教 学 设 计 能 力 的 提 高． 了好 的教 材 ， 有 再 加上好 的教 学 方 法 ， 马配 好 鞍 ， 好 我们 的 素质 教 育 就 必定会 取得 成 功 ． 因此 ， 者也 积极 地参 与 了 这 项 笔 有 益 的活动．
２ 重视学生动 手能力培养
４个 课例 都非 常 重视 学 生 动 手能 力 的培 养 ． 等 全
的教师 ， 由于观 点 、 重 面 、 师 个 性 、 学 素 质 和 能 侧 教 教 力 的不 同 ，找 出的最佳 方 案 也 不 同 ） 在这 个 过程 中 ， ．
教 学情境 的设 计 中要 注意 ， 要符 合 学 生生 理 心 ① 理 特征 ， 同 的 内容 在不 同 的 年级 进 行 教学 时 ， 境 相 情 的设计 应该不 一 样 ； ②情境 的设 计 应 紧扣 本 堂课 的 内 容 ； 不要 喧宾夺 主 ， 多时 间用 在情 境 创设 上 ； 情 ③ 较 ④ 境 的设计 应 与其他 教 学手段 有 机地 结 合 在一 起 ， 整 使 堂课 融 为一 体．
１ 重视教学情境 的创设
教 学情境 的创 设 ， 在课 堂教 学 中的地 位 和作 用越 来 越重 要 ， 特别 是在 实施 课 程 标 准 以后 ． 仅 可 促 进 不
教师对 纯知识 传授 型 课堂 教学 模式 实 现 彻底 的改革 ． 还 关 系到学 生学 习兴 趣 的高低 、 习 积极 性 调动 的程 学 度 ， 接影 响到 课 堂 教 学 效果 的好 坏． 且 它 还 影 响 直 而 到学 生是 否能够 主动 、 动 学 习 的 学 习 态 度 ， 习 习 生 学 惯． 重要 意义 ， 教育 教学 工作者 所公 认 的． 其 是 教 学 情境 创 设 的 内容 ， 一般 是 学 生 所 喜 闻乐 见 ， 符 合学 生生理 心 理 特 征 的． 者 把 它 归 纳 为 “ 题 性 笔 问 情境 型” “ 事性 情境 型 ” “ 活性 情 境 型” “ 、故 、生 、 童话 谜 语性情 境 型” “ 赛 性 情 境 型” “ 、竞 、 电视 专 题 栏 目性 情
1.3探索三角形全等的条件(一~三)(解析版)
1.3探索三角形全等的条件（一~三）【推本溯源】1.由上一节课我们已经知道了全等三角形的性质，它们的对应边相等、对应角相等；那当两个三角形的角和边具备什么样的条件时，两个三角形就相等呢？想一想：（1）当两个三角形的1对边或角相等时，它们全等吗？（2）当两个三角形的2对边或角分别相等时，它们全等吗？（3）当两个三角形的3对边或角分别相等时，它们全等吗？动手做一做：按下列作法，用直尺和圆规作△ABC ，使∠A ＝∠α，AB ＝a ，AC＝b ．作法：1．作∠MAN ＝∠α．2．在射线AM 、AN 上分别作线段AB ＝a ，AC ＝b ．3．连接BC ，△ABC 就是所求作的三角形．通过自己实践后发现：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS ”）几何语言：∵在△ABC 和△DEF 中，AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF，∴△ABC ≌△DEF（SAS）．2.用纸板挡住了三角形的一部分，小明根据所学知识很快就画出了一个与原来完全一样的三角形，他的原理是什么？ba D E FC B A动手做一做：按下列作法，用圆规和直尺作△ABC ，使AB ＝a ，∠A ＝∠α，∠B ＝∠β．（1）作AB ＝a ．（2）在AB 的同一侧分别作∠MAB ＝∠α，∠NBA ＝∠β，AM 、BN 相交于点C ．△ABC 就是所求作的三角形．通过自己实践后发现：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA ”）几何语言：∵在△ABC 和△DEF 中，∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E，∴△ABC ≌△DEF（ASA）．【解惑】例1：如图，为测量池塘两侧A ，B 两点间距离，在地面上找一点C ，连接AC ，BC ，使90ACB ∠=︒，然后在AC 的延长线上确定点D ，使CD AC =，得到ABC DBC ≌△△，通过测量BD 的长，就能得出AB 的长．那么ABC DBC ≌△△的理由是（）D E FC B AA ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS【答案】A 【分析】根据已知条件可找到两边对应相等且夹角相等，利用SAS 即可证明ABC DBC ≌△△，由此即可解决问题．【详解】解：∵90ACB ∠=︒，∴90DCB ACB ∠=∠=︒，则在ABC 和DBC △中90DC AC DCB ACB BC BC =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴()SAS ABC DBC ≌ ．故选：A ．【点睛】本题考查全等三角形的应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．例2：如图，C ，A ，D 三点在同一直线上，AB CE ∥，AB CD =，AC CE =．求证：ABC ≌CDE ．【答案】见解析【分析】由平行线的性质得到BAC DCE ∠=∠，由SAS 即可证明ABC ≌()SAS CDE ．【详解】解：AB CE ∥ ，BAC DCE ∴∠=∠，在ABC 和CDE 中，AB CD BAC DCE AC CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ABC ∴ ≌()SAS CDE ．【点睛】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法．例3：如图，要测量河两岸相对的两点A 、B 的距离，先在AB 的垂线BF 上取两点C 、D ，使CD BC =，再定出BF 的垂线DE ，可以证明EDC ABC ≌，得ED AB =，因此，测得ED 的长就是AB 的长．判定EDC ABC ≌的理由是（）A ．SSSB ．ASAC ．AASD ．SAS【答案】B 【分析】由已知可以得到ABC BDE ∠=∠，又CD BC =，ACB DCE ∠=∠，由此根据角边角即可判定EDC ABC ≌．【详解】解：BF AB ⊥ ，DE BD ⊥,ABC BDE ∴∠=∠,又CD BC = ，ACB DCE ∠=∠,EDC ABC ∴ ≌（ASA ）故选：B ．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定定理，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．例4：如图，C E ∠=∠，点D 在BC 边上，BC DE =，12∠=∠，AC 和DE 相交于点O ．求证：ABC ADE △≌△．【答案】见解析【分析】先利用三角形外角性质证明ADE B ∠=∠，然后根据“ASA ”判断ABC ADE △≌△．【详解】证明：1ADC B ∠=∠+∠ ，即21ADE B ∠+∠=∠+∠，而12∠=∠，ADE B ∴∠=∠，在ABC 和ADE V 中，C E BC DE B ADE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，(ASA)ABC ADE ∴ ≌．【点睛】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．例5：在ABC 中，AC BC =，90ACB ∠=︒，D 是射线BA 上一动点，连接CD ，以CD 为边作45DCE ∠=︒，CE 在CD 右侧，CE 与过点A 且垂直于AB 的直线交于点E ，连接DE ．(1)当CD CE ，都在AC 的左侧时，如图①，线段BD AE DE ，，之间的数量关系是_________；(2)当CD CE ，在AC 的两侧时，如图②，线段BD AE DE ，，之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明；(3)当CD CE ，都在AC 的右侧时，如图③，线段BD AE DE ，，之间有怎样的数量关系？直接写出你的猜想，不必证明．【答案】(1)BD AE DE+=(2)BD AE DE -=，详见解析(3)BD AE DE-=【分析】（1）过点C 作CF CE ⊥，交AB 延长线于点F ，如图，先证明CBF CAE ≌，得到BF AE =，CF CE =，然后证明DCE DCF ≌解题即可；（2）过点C 作CF CE ⊥，交AB 于点F ，如图，先证明CBF CAE ≌，得到BF AE =，CF CE =，然后证明DCE DCF ≌解题即可；（3）过点C 作CF CE ⊥，交AB 于点F ，如图，先证明CBF CAE ≌，得到BF AE =，CF CE =，然后证明DCE DCF ≌解题即可；【详解】（1）过点C 作CF CE ⊥，交AB 延长线于点F ，如图．∴90ECF ACB ∠=∠=︒．∴FCB ECA ∠=∠．∵AE AB ⊥，∴90EAB ∠=︒．∵45CBA CAB ∠=∠=︒，∴135CBF CAE ∠=∠=︒．∵BC AC =，∴(ASA)CBF CAE ≌．∴BF AE =，CF CE =．∵45DCE ∠=︒，90ECF ∠=︒，∴45DCE DCF ∠=∠=︒．∵CD CD =，∴()SAS DCE DCF ≌．∴DE DF =．∵BD BF DF +=，∴BD AE DE +=．故答案为：BD AE DE +=．（2）图②的猜想：BD AE DE -=．证明：过点C 作CF CE ⊥，交AB 于点F ，如图②．∴90ECF ACB ∠=∠=︒．∴CBF CAE ∠=∠．∵AE AB ⊥，∴90EAB ∠=︒．∵45CBA CAB ∠=∠=︒，∴45CBF CAE ∠=∠=︒．∵BC AC =，∴(ASA)CBF CAE ≌．∴BF AE =，CF CE =．∵45DCE ∠=︒，90ECF ∠=︒，∴45DCE DCF ∠=∠=︒．∵CD CD =，∴()SAS DCE DCF ≌．∴DE DF =．∵BD BF DF -=，∴BD AE DE -=．（3）过点C 作CF CE ⊥，交AB 于点F ，如图∴90ECF ACB ∠=∠=︒．∴FCB ECA ∠=∠．∵AE AB ⊥，∴90EAB ∠=︒．∵45CBA CAB ∠=∠=︒，∴45CBF CAE ∠=∠=︒．∵BC AC =，∴(ASA)CBF CAE ≌．∴BF AE =，CF CE =．∵45DCE ∠=︒，90ECF ∠=︒，∴45DCE DCF ∠=∠=︒．∵CD CD =，∴()SAS DCE DCF ≌．∴DE DF =．∵BD BF DF -=，∴BD AE DE -=．故答案为：BD AE DE -=．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．【摩拳擦掌】1．（2023春·上海徐汇·七年级上海市第二初级中学校考阶段练习）如图，已知12∠=∠，AC AB =，则ABD ACD △≌△的依据是（）A ．ASAB ．AASC ．SSSD ．SAS【答案】D 【分析】根据全等三角形的判定定理可进行求解．【详解】解：在ABD △和ACD 中，12AC AB AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ABD ACD ≌△△；故选D ．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．2．（2023·四川成都·统考二模）如图，AB 与CD 相交于点O ，且O 是AB CD ，的中点，则AOC 与BOD 全等的理由是（）A ．SASB ．ASAC ．SSSD ．HL【答案】A 【分析】根据全等三角形的判定定理求解即可．【详解】解：∵O 是AB CD ，的中点，∴,,OA OB OC OD ==在AOC 和DOB 中，OA OB AOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()SAS AOC DOB ≅ ，故选：A ．【点睛】此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．3．（2022秋·七年级单元测试）如图，为了测量B 点到河对面的目标A 之间的距离，在B 点同侧选择一点C ，测得75ABC ∠=︒，35ACB ∠=︒，然后在M 处立了标杆，使75MBC ∠=︒，35MCB ∠=︒，得到MBC ABC ≌△△，测得MB 的长就是A ，B 两点间的距离，这里判定MBC ABC ≌△△的理由是（）A ．SSSB ．SASC ．ASAD ．AAA【答案】C 【分析】利用全等三角形的判定方法进行分析即可．【详解】解：在MBC 和ABC 中，MBC ABC BC BC MCB ACB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ASA MBC ABC ≌，∴判定MBC ABC ≌△△的理由是ASA ，故选：C ．【点睛】本题考查全等三角形判定的实际应用，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．4．（2022秋·云南楚雄·八年级校考阶段练习）如图，小亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（）A ．SSSB ．SASC ．AASD ．ASA【答案】D 【分析】观察图形可知，有两角以及两角的夹边是已知，由此即可得到答案．【详解】解：由题意得，有两角以及两角的夹边是已知，因此可以利用ASA 画出一个全等的三角形，故答案为：ASA故选D【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定条件是解题的关键．5．（2023春·广东惠州·八年级校考阶段练习）如图，ABC 中，AB AC =，AD 平分BAC ∠，则_____≌_____．【答案】BAD CAD【分析】直接利用全等三角形的判定方法()SAS ，进而得出答案．【详解】解：∵AD 平分BAC ∠，∴BAD CAD ∠=∠，在BAD 和CAD 中,AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS BAD CAD ≌．故答案为：BAD ，CAD ．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．6.（2023秋·吉林长春·八年级统考期末）如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽的工具（卡钳）．在图中，若测量得20cm A B ''=，则工件内槽宽AB =_________cm ．【答案】20【分析】根据三角形全等的判定可知()SAS ≌AOB A OB ''△△，从而得到20cm AB A B ''==．【详解】解：由题意可知，()SAS ≌AOB A OB ''△△，∴20cm AB A B ''==，故答案为：20．【点睛】本题考查全等三角形的应用，熟记全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．7．（2023春·陕西咸阳·七年级咸阳市实验中学校考阶段练习）如图，在ABC 中，AD 是BC 上的中线，点F 、E 分別在AD 和AD 的延长线上，且DE DF =，连接BE 、CF ．试说明：BE CF ∥．【答案】见解析【分析】证明BDE CDF ≌得到EBD FCD Ð=Ð得证BE CF ∥．【详解】解：∵AD 是BC 上的中线，∴BD DC =，∵在BDE 和CDF 中DE DF BDE CDF BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS BDE CDF △≌△，∴EBD FCD Ð=Ð，∴BE CF ∥．【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，平行线的判定定理，熟练掌握全等的判定，8．（2023·广东广州·统考二模）为了制作燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图所示，AB AE =，AC AD =，BAD EAC ∠=∠，证明：A ABC ED ≌△△．【答案】见解析【分析】根据SAS 证明A ABC ED ≌△△即可．【详解】证明：∵BAD EAC ∠=∠，∴BAD CAD EAC CAD ∠+∠=∠+∠，∴BAC EAD ∠=∠，∴在ABC 和AED △中，AB AE BAC EAD AC AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()SAS ABC AED ≌【点睛】此题考查了三角形全等的判定方法，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．9．（2023春·陕西西安·七年级西安市远东第二中学校考阶段练习）如图，小刚站在河边的A 点处，在河对岸的B 处有一电线塔（小刚的正北方向），他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了20步到达一棵树C 处，接着再向前走了20步到达D 处，然后再左转90︒直行，当小刚看到电线塔B 、树C 与自己现处的位置E 在一条直线时，他共走了120步.(1)根据题意，画出示意图；(2)若小刚一步约0.5米，请求出A 、B 两点间的距离（写出推理过程）.【答案】(1)见解析(2)40米，见解析【分析】（1）根据上北下南，左西右东，直角的意义，共线的条件画图即可．（2）根据三角形全等，得到120202080AB DE ==--=步，结合一步约0.5米，代入计算即可．【详解】（1）根据上北下南，左西右东，直角的意义，共线的条件画图如下：则画图即为所求．（2）∵ACB DCE AC CD BAC EDC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ASA ACB DCE ≌，∴120202080AB DE ==--=步，∵一步约0.5米，∴800.540AB =⨯=（米），答：A 、B 两点间的距离约为40米．【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定的应用是解题的关键．10．（2023·云南楚雄·统考三模）如图，AE 和BD 相交于点C ，AB DE ∥，AB ED =．求证：AC EC =．【答案】见解析【分析】由平行线的性质可得B D ∠=∠，A E ∠=∠．根据ASA 证明ABC EDC △△≌，即可推出AC EC =．【详解】证明：∵AB DE ∥，∴B D ∠=∠，A E ∠=∠．在ABC 和EDC △中，B D AB ED A E ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ASA ABC EDC ≌△△．∴AC EC =．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．【知不足】1．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，12m AB =，CA AB ⊥于点A ，DB AB ⊥于点B ，且4m AC =，点P 从B 向A 运动．每分钟走1m ，点Q 从B 向D 运动，每分钟走2m ，P 、Q 两点同时出发，运动（）分钟后，CAP 与PQB △全等．A ．2或4B ．3C ．4D ．4或6【答案】C 【分析】设运动x 分钟后CAP 与PQB △全等，则m BP x =，2m BQ x =，(12)m AP x =-，分两种情况：①若BP AC =，则4x =，此时AP BQ =，CAP PBQ ≌△△；②若BP AP =，则12x x -=，得出6x =，12BQ AC =≠，此情况舍去，则得出结果．【详解】解：∵CA AB ⊥于A ，DB AB ⊥于B ，∴90A B ∠=∠=︒．设运动x 分钟后CAP 与PQB △全等，则m BP x =，2m BQ x =，(12)m AP x =-，分类讨论：①若BP AC =，则4x =，∴12488AP BQ AP BQ =-===，，，∴(SAS)CAP PBQ ≌；②若BP AP =，则12x x -=，解得：6x =，∴12BQ AC =≠，此时CAP 与PQB △不全等；综上所述：运动4分钟后CAP 与PQB △全等；故选C ．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法、解方程等知识；本题难度适中，利用分类讨论的思想是解题关键．2．（2023秋·八年级单元测试）如图，一块三角形的玻璃破成三片，一位同学很快拿着其中一片玻璃说：根据所学知识就能配出一个与原三角形完全一样的图形．他这样做的依据是（）A ．SSSB ．SASC ．AASD ．ASA【答案】D 【分析】结合三角形全等的判定条件，依次对三片玻璃进行分析即可．【详解】解：第一片玻璃只有一个角与原三角形相等，无法判断与原三角形全等；第二片玻璃既没有边与原三角形相等，也有没有角与原三角形相等，无法判断与原三角形全等；第三片玻璃有两角及其夹边与原三角形相等，可以通过ASA 判定新三角形与原三角形全等；故选：D ．【点睛】本题考查三角形全等的判定条件，解题的关键是熟练掌握三角形全等的相关知识．3．（2023春·全国·七年级专题练习）小刚把一块三角形玻璃打碎成了如图所示的三块，现要到玻璃店取配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（）A ．带①去B ．带②去C ．带③去D ．带①和②去【答案】C 【分析】根据三角形全等的条件进行判断即可．【详解】解：第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA 来配一块一样的玻璃，应带③去．故选：C ．【点睛】本题主要考查全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．4．（2023春·全国·七年级专题练习）ABC 中，8AC =，BC 边上的中线6AD =，则边AB 的取值范围是__．【答案】420AB <<【分析】延长AD 至E 使DE AD =，连接CE ，然后证明ADB EDC ≅ ，接着利用三角形的三边关系即可得到AB 的取值范围．【详解】延长AD 至E 使DE AD =，连接CE在ADB 和EDC 中，AD ED ADB CDE BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ADB EDC∴≅ AB CE∴=8AC = ，212AE AD ==420AE AC CE AC AE ∴-=<<+=420AB ∴<<．故答案为：420AB <<．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的三边关系，正确的作出辅助线是解题的关键．5．（2021春·广东河源·七年级统考期末）如图，在ABC 和DEF 中，AB DE ∥，AB DE =，点A ，F ，C ，D 在同一条直线上且AF DC =．请说明ABC DEF ≌△△．【答案】见解析【分析】由平行线的性质可得A D ∠=∠，由AF DC =，可得AC DF =，进而根据SAS 即可证明ABC DEF ≌△△．【详解】证明： AB DE ∥，∴A D ∠=∠，AF DC =，∴AFFC DC FC +=+，即AC DF =，在ABC 和DEF 中，AC DF A D AB DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ABC DEF △△≌．【点睛】本题考查全等三角形的判定、平行线的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．6．（2023·云南昆明·统考一模）如图，点A 、B 、C 、D 在同一直线上，AF DE =，A D ∠=∠，AC DB =．求证：ABF DCE △△≌．【答案】见解析【分析】利用线段的加减证得AB DC =，即可用“SAS ”证明三角形全等．【详解】证明：∵AC DB =，∴AC BC DB BC -=-，即AB DC =，在ABF △和DCE △中，∵AF DE A D AB DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴(SAS)ABF DCE ≌△△．【点睛】本题考查的是三角形全等的判定，掌握三角形的各个判定定理是关键．7．（2023·云南昭通·统考二模）如图，点A ，F ，C ，D 在同一直线上，BC EF ∥，AF DC =，BC EF =．求证：ABC DEF ≌△△．【答案】见解析【分析】根据平行线的性质可得ACB DFE ∠=∠，再由AF CD =，可得AC DF =，再根据全等三角形的判定即可得出结论．【详解】证明：BC EF ∥，ACB DFE ∴∠=∠，AF CD = ，AC DF =∴，在ABC 和DEF 中，AC DF ACB DFE BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(SAS)ABC DEF ∴△≌△．【点睛】本题考查平行线的性质和全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．8．（2023·云南昆明·统考二模）“倍长中线法”是解决几何问题的重要方法．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，具体做法是：如图，AD 是ABC的中线，延长AD 到E ，使DE AD =，连接BE ，构造出BED 和CAD ．求证：BED CAD △≌△．【答案】见解析【分析】由AD 是ABC 的中线，可得DE AD =，再由EDB ADC ∠=∠，DB DC =，即可证明BED CAD △≌△．【详解】证明：如图所示：，AD 是ABC 的中线，DB DC ∴=，在BED 和CAD 中，ED ADEDB ADC DB DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(SAS)BED CAD ∴ ≌．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定，倍长中线，熟练掌握三角形全等的判定，添加适当的辅助线是解题的关键．【一览众山小】1．（2023秋·吉林长春·八年级统考期末）如图，在用尺规作图得到DBC ABC ≌过程中，运用的三角形全等的判定方法是（）A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS【答案】B 【分析】根据作法可得,ABC DBC ACB DCB ∠=∠∠=∠，可利用ASA 证明DBC ABC ≌，即可求解．【详解】解：根据作法得：,ABC DBC ACB DCB ∠=∠∠=∠，∵BC BC =，∴()ASA DBC ABC ≌．故选：B【点睛】本题主要考查了尺规作图——作一个角等于已知角，全等三角形的判定，熟练掌握作一个角等于已知角的作法，全等三角形的判定定理是解题的关键．2．（2023·山东菏泽·统考一模）如图，18m AB =，CA AB ⊥于A ，DB AB ⊥于B ，且6m AC =，点P 从B 向A 运动，每秒钟走1m ，Q 点从B 向D 运动，每秒钟走2m ，点P ，Q 同时出发，运动______秒后，CAP 与PQB △全等．【答案】6【分析】设运动x 秒钟后CAP 与PQB △全等；则m 2m BP x BQ x ＝，＝，则()18m AP x =-，分两种情况：①若BP AC =，则6x =，此时AP BQ =，()SAS CAP PBQ ≌；②若BP AP =，则18x x -=，得出9x =，218BQ x AC ==≠，即可得出结果．【详解】解：∵CA AB ⊥于A ，DB AB ⊥于B ，∴90A B ∠=∠=︒，设运动x 分钟后CAP 与PQB △全等；则m 2m BP x BQ x ＝，＝，则()18m AP x =-，分两种情况：①若BP AC =，则6x =，∴18612AP =-=，12BQ =，AP BQ =，∴()SAS CAP PBQ ≌；②若BP AP =，则18x x -=，解得：9x =，218BQ x AC ==≠，此时CAP 与PQB △不全等；综上所述：运动6秒钟后CAP 与PQB △全等；故答案为：6．【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法、解方程等知识；本题难度适中，需要进行分类讨论．3．（2022秋·湖北恩施·八年级校考阶段练习）如图，要测量池塘两端A ，B 的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A ，B 两点的点C ，连接AC 并延长AC 到点D ，使CD CA =，连接BC 并延长BC 到点E ，使CE CB =，连接DE ，那么量出DE 的长就等于AB 的长，这是因为ABC DEC ≅ ，而这个判定全等的依据是______（填字母）．【答案】SAS【分析】先根据对顶角相等可得ACB DCE ∠=∠，再根据三角形全等的判定即可得．【详解】解：由对顶角相等得：ACB DCE ∠=∠，在ABC 和DEC 中，CA CD ACB DCE CB CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS ABC DEC ∴≅ ，故答案为：SAS ．【点睛】本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定是解题关键．4．（2023·云南昆明·昆明八中校考三模）如图，点B ，C ，E ，F 在同一条直线上，AB DE =，A D ∠=∠，AC DF =．求证：BF CE =．【答案】见解析【分析】先证明()SAS ABC DEF ≌△△，可得BC EF =，根据BC CF EF FC -=-即可证明．【详解】证明：在ABC 和DEF 中，∵AB DE A D AC DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ABC DEF ≌△△，∴BC EF =，∵BC CF EF FC -=-，∴BF CE =．【点睛】本题考查了几何证明，涉及到全等三角形的判定与性质，找出BC CF EF FC -=-是关键．5．（2023秋·八年级课时练习）如图，在ABC 中，点D 是AC 上一点，AD AB =，过点D 作DE AB ∥，且DE AC =，连接AE ，CE ．(1)求证：ABC DAE △≌△；(2)若D 是AC 的中点，ABC 的面积是20，求AEC △的面积．【答案】(1)见解析(2)40【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等可得BAC ADE ∠=∠，再利用“边角边”证明即可；（2）根据全等三角形面积相等，即三角形中线的性质即可求解．【详解】（1）证明：DE AB ∥，BAC ADE ∴∠=∠，在ABC 和DAE 中，AB DA BAC ADE AC DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS ABC DAE ∴△≌△；（2）解：ABC DAE ≌，20ABC DAE S S ∴==△△．D 是AC 的中点，222040AEC DAE S S ∴==⨯=△△．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形的中线将三角形面积平分为两等份，熟记三角形全等的判定方法是解题的关键．6．（2023·浙江·模拟预测）如图，在ABC 中，AC AB >，射线AD 平分BAC ∠，交BC 于点E ，点F 在边AB 的延长线上，AF AC =，连接EF ．(1)求证：AEC AEF ≌．(2)若50AEB ∠=︒，求BEF ∠的度数．【答案】(1)证明见解析(2)80︒【分析】（1）由射线AD 平分BAC ∠，可得CAE FAE ∠=∠，进而可证()SAS AEC AEF ≌；（2）由()SAS AEC AEF ≌，可得C F ∠=∠，由三角形外角的性质可得50AEB CAE C ∠=∠+∠=︒，则50FAE F ∠+∠=︒，根据180FAE F AEB BEF ∠+∠+∠+∠=︒，计算求解即可．【详解】（1）证明：射线AD 平分BAC ∠，∴CAE FAE ∠=∠，在AEC △和AEF △中，∵AC AF CAE FAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS AEC AEF ≌；（2）解：∵()SAS AEC AEF ≌，∴C F ∠=∠，∵50AEB CAE C ∠=∠+∠=︒，∴50FAE F ∠+∠=︒，∵180FAE F AEB BEF ∠+∠+∠+∠=︒，∴80BEF ∠=︒，∴BEF ∠为80︒．【点睛】本题考查了角平分线，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．7．（2022秋·福建泉州·八年级校考阶段练习）如图，在43⨯的正方形网格中，ABC 的顶点都在正方形网格的格点上请你在图①和图②中分别画出一个三角形，同时满足以下两个条件：(1)以点A 为一个顶点，另外两个顶点也在正方形网格点上；(2)与ABC 全等，且不与ABC 重合．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）直接利用网格结合全等三角形的判定方法分析得出答案；（2）直接利用网格结合全等三角形的判定方法分析得出答案．【详解】（1）如图所示：ABD △即为所求；在ABC 和ABD △中453AB AB ABC ABD BC BD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪==⎩∴()SAS ABC ABD ≌．（2）如图所示：BAE 即为所求．∵AE BC ∥，∴ABC BAE ∠=∠．在ABC 和BAE 中3AB BA ABC BAE BC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪==⎩∴()SAS ABC BAE ≌．【点睛】此题主要考查了应用设计与作图，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．8．（2023·云南昆明·校考三模）如图，在ABC 和ADE V 中，C E ∠=∠，AC AE =，CAD EAB ∠=∠．求证：ABC ADE △≌△．【答案】证明见解析；【分析】根据角的和差得到DAE CAB ∠=∠，再根据全等三角形的判定即可解答．【详解】解：∵CAD EAB ∠=∠，∴CAD BAD EAB BAD ∠+∠=∠+∠，∴DAE CAB ∠=∠，∴在ABC 和ADE 中，C E AC AE CAB DAE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ABC ADE ASA ≌；【点睛】本题考查了角的和差关系，全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定是解题的关键．9．（2022春·七年级单元测试）如图，A ∠＝B ∠，AE ＝BE ，点D 在AC 边上，1∠＝2∠，AE 和BD 相交于点O ．求证：AEC BED ≌△△．【答案】见解析【分析】利用三角形内角和得到2BEO ∠=∠，结合12∠=∠推出AEC BED ∠=∠，再利用ASA 证明AEC BED △△≌即可．【详解】解：证明：AE 和BD 相交于点O ，AOD BOE ∴∠=∠．在AOD △和BOE △中，A B ∠=∠，2BEO ∴∠=∠．又12∠=∠ ，1BEO ∴∠=∠，AEC BED ∴∠=∠．在AEC △和BED 中，A B AE BE AEC BED ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，(ASA)AEC BED ∴△≌△．【点睛】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练运用全等三角形的性质与判定．10．（2022秋·七年级单元测试）如图，在ABC 中，AB AC =，AD BC ⊥于点D ，CE AB ⊥于点E ，AE CE =，AD 与CE 相交于点F ．求证：AEF CEB ≌．【答案】见解析【分析】由ASA 证明AEF CEB ≌即可．【详解】证明：AD BC ⊥ ，90B BAD ∴∠+∠=︒，CE AB ⊥ ，90B BCE ∴∠+∠=︒，EAF ECB ∴∠=∠，在AEF △和CEB 中，AEF BEC AE CE EAF BCE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，(ASA)AEF CEB ∴ ≌．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．11．（2023·辽宁鞍山·统考一模）如图，在ABC 中，AB AC =，CD AB ∥，连接AD ，E 为AC 边上一点，ABE CAD ∠=∠，求证：ABE CAD ≌．【答案】证明见解析【分析】根据CD AB ∥，得到BAE ACD ∠=∠，利用ASA 即可得证．【详解】证朋：CD AB ∥，BAE ACD ∴∠=∠，AB AC = ，ABE CAD ∠=∠，()ASA ABE CAD ∴ ≌．【点睛】本题考查全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键．12．（2023秋·湖南常德·八年级统考期末）如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，AE 是BC 边上的中线，过点C 作CF AE ⊥于点F ，过点B 作BD BC ⊥交CF 的延长线于点D ，连接DE ．(1)求证：DBC ECA △≌△；(2)若6AC =，求CDE 的面积．【答案】(1)见解析中，（2）如图2，在ABC∠=∠在线段AD上，12【答案】（1）见解析；【分析】（1）由1∠又由AB AC =即可得到（2）ABC 的面积为的面积＝CAF V 的面积，则可得到结论．【详解】（1）证明：BAC BAE ∠=∠+∴ABE CAF ∠=∠在ABE 和CAF V ABE CAF AB AC BAE ACF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴ABE CAF ≌△△（2）解：∵ABC ∴ACD 的面积是：由（2）可得ABE △即ABE 的面积＝∴ABE 与CDF 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，键．求证：ABE CAF V V ≌；若ABC 的面积为18，BD BC 【答案】(1)证明见解析．(2)12．【分析】（1）利用ASA 证明三角形全等即可；判定方法，证明三角形全等是解题的关键．。
《三角形全等的判定SSS》课堂教学实录及评析
《三角形全等的判定SSS＞课堂教学实录及评析【设计理念】学习是一个探究与发现的过程，是一个认识、实践、提高的过程。
在教学中通过组织引导学生探索三角形全等的条件，让学生们在交往中学，在观察中学，在比较中学，努力实行知与行、学与用、识与能的高度统一，培养学生善于“做数学”的能力。
教学目标1. 知识目标：（1）掌握“边边边”公理；（2）能应用“边边边”公理判定两个三角形全等。
2. 能力目标：（1）培养学生动手操作、观察、分析、归纳获得数学结论的能力；（2）培养学生推理论证能力。
3. 情感态度价值观目标：通过多种手段的活动过程，让学生动手操作，激发学生学习的兴趣，并能通过合作交流解决问题，体会数学在现实生活中的应用，增强学生的自信心。
教学重点：寻找判定三角形全等的条件。
教学难点：三角形全等条件的探索和推理论证方法。
教学方法：“悟学式”教学法。
教学准备：多媒体课件、三角板、圆规、木棒、硬纸、剪刀等。
教学过程一、课堂启发（感动。
感动是学习的动力）师：大家知道数学来源于生活，用数学知识又可以解决许多生活中的问题，下面让我们先来看一个与生活有关的数学问题。
（幻灯片演示）皮皮公司接到一批三角形支架的加工任务，客户的要求是所有的三角形支架必须与样本完全一样。
质检部门为了使产品顺利过关，提出了明确的要求：要逐一比对所有的三角形支架与样本是否完全一样。
技术科的毛毛提出了质疑：为了提高效率，是不是可以找到一个更优化的方法呢？师：问题中的“完全一样”在数学中是指什么？生：全等。
师：“逐一比对”是怎样比呢？生：用重合法，分别比较三角形的三条边和三个角是否重合。
师：也就是验证几个条件?生：6 个。
师：是不是一定要满足这6 个条件才能判定两个三角形全等呢？在这里毛毛提出的更优化的方法，实质上是给我们提出了一个什么样的数学问题呢？生：也就是说，如何判定两个三角形全等需要的条件最少。
师：很好！这节课就让我们一起来研究三角形全等的判定方法。
初中数学教学课例《探索三角形全等的条件(一)》教学设计及总结反思
（学生分小组画图，学生们可以进行分工合作，可 以让部分学生画两边相等，部分学生画两角相等，另一 部分画一角相等，一边相等。然后在一起互相交流，看 每种情况是否全等，画完之后，教师找每组学生代表回 答。）
生 14：在△ABC 和△AB′C′中，其中∠B＝∠B′， ∠C＝∠C′，但这两个三角形不全等。（如图 3）
师：我们画三角形需要确定它的两个顶点，我们如 何才能确定△A′B′C′的顶点呢？
生 20：我们先画一条边 B′C′，使 B′C′＝BC， 就可以确定两个顶点。
师：点 A′和 B′的距离为多少？，点 A′和 C′的 距离为多少？
生 21：A′B′＝AB 师：我们怎样做能使 A′B′＝AB。 生 22：以 B′为圆心，以 AB 的长为半径画弧。 师：对同样的道理，我们以 C′为圆心，AC 的长为 半径画弧，两弧交点就 A′，教师演示作图过程，并要 求学生说出三个主要的步骤。 （投影出示）任意画一个△ABC，然后画 △A′B′C′，使 A′B′＝AB，B′C′＝BC，A′C′＝ AC。 学生画完图后，将其中一个三角形剪下来，放在另 一个上面，看两个三角形是否全等，并与小组中其他同 学交流意见，教师收集学生作品，并展示学生代表的作 品。 生 23：在△ABC 和△A′B′C′，且 A′B′＝AB， B′C′＝BC，A′C′＝AC，如下图：我将其中一个剪下 来，放在另一个上面，发现它们是完全重合的，所以这
教学过程
生 3：画全等三角形需要满足什么条件？
师：问得好！三角形全等需要什么条件呢？这就是
我们这节课需要研究的问题。
（出示课题）
点评 1：通过投影出示欣赏几幅美丽的图案，让学
生感受美的同时激发学创造美的意识，培养学生学习和
探索的兴趣，调动了学生学习的积极性。
让激情与智慧共生——“探索直角三角形全等的条件”课例及其点评
激 与 智 慧 ｌ
执教 ： 湖北 省 宜都 市红 花 中学 江 春
生
“ 索 直 角 三 角 形 全 等 的 条 件 ＂ 课 例 及 其 点 评 探
点 评 ： 北 省 宜 都 市 教 育 局 孙 大 勇 湖
１ 教 学 目标
１ ２ 过 程 与 方 法 ．
在 探索 直角 三角 形 全等 条件 及 其 运 用 的过 程 中 ， 能进 行 有条 理 的思考 和 简单 的推 理 ．
１ ３ 情 感 与态 度 ．
置 ． 同学 们 想 一 想 ， 时 钩 挂 在 它 两 头 的绳 索 ＡＢ 请 这 和 ＡＣ（ 图 １ ２ ） 如 （ ） 的长 度相 等 吗 ？ 学生（ 齐答 ） 相 等 ． ： 点 评 ： 生 活 中有 意 义 的事 情 移 植 到 数 学课 堂 ， 把 既是 丰 富学 生情 感 的有 效手 段 ， 能 引导 学 生用 数 学 也 的 眼光 关注 生 活 ， 同时 也 激 发 了他 们 学 习 、 究 的 欲 探 望． 鲜活 的生 活 实 例 展 现 于 学 生 面 前 ， 数 学 课 堂 旧 让 貌换 新颜 ． 教师： 大家有 过 类似 的体 验 吗 ？ 学生 １ 有 ． 肩膀 背 书 包 时 ， 膀 总是 很 自然 地 ： 用 肩 处在 书包 带 的最 中 间？ 学生 ２ 读 小 学 时 我 提 着 算 盘 上 学 ， 算 盘 的 带 ： 系 子在 手 中 的位 置好 像 是 在最 中 间． 学生 ３ 用 水 桶 提 水 时 ， 必 须 提 在 最 中 间 才 感 ： 手
教师： 回答得 很 好 ， 是一 个 聪 明 的孩 子． 你 能告诉 我 为 什 么吗 ？ 学 生 ４ 因为 它 们 一 个 处 于 水 平 的位 置 ， 一 个 ： 另
探索三角形全等的条件(1)的教学设计
4.3 探索三角形全等的条件（1）大庆市第44中学刘畅一、教学目标1．知识与技能：掌握三角形全等的“SSS”条件，了解三角形的稳定性。
2．过程与方法：经历观察、猜想、操作，归纳的探究过程。
体会特殊到一般的分析问题方法，和分类的数学思想方法。
3．情感态度与价值观：会有条理的思考，感受逻辑推理的严谨性和数学的美。
二、教学重点、难点1．经历探索过程，从实践中得到三角形全等的“SSS“条件。
并能运用其解决简单问题。
2．对三角形全等条件的分析以及探索思路的选择三、教具、学具多媒体演示、直尺、圆规、量角器、剪刀、卡纸．四、教学过程（一）导入新课1．旧知回顾．教师：（1）上节课学习了图形的全等，回忆一下什么是全等三角形？（2）（参看幻灯片）如图，如果△ABC≌△DEF,那么它们的（）相等，（）相等。
即满足：AB=（），（）=EF,( )=( ), ∠A=( ),( )= ∠E，( )=( )。
2．情境创设教师：要画一个三角形与小明画的三角形全等，需要几个与边或角有关的条件呢？同学们猜想一下，一定要六个条件都满足时，才会使得两个三角形全等吗？这就是本节课所要研究的问题．（回忆三角形全等的有关知识，以及全等三角形的性质。
以此为出发点启发学生大胆猜想：要判定三角形全等，是否需要三组边、三组角都分别相等，即从条件的数量着手来研究，自然进入本节课的探究活动。
）3．引出课题．（板书：4.3探索三角形全等的条件）（二）合作探究探究点一、探索两个三角形全等需要的条件（课前布置：依据下列要求画出并剪下三角形，标清题号。
在本节课的操作比较中，剪下的三角形可以灵活的移动、叠合，对比结果更加直观，便于观察。
）问题1：只给一个条件作三角形，大家画的三角形一定全等吗？问题2：给出两个条件作三角形，有几种可能的情况？每种情况下大家得到的三角形一定全等吗？（1）三角形一个内角30°，一条边长15CM.（2）三角形两个内角分别为30°和50°。
初中数学教学课例《探索三角形全等的条件(“边边边”)》教学设计及总结反思
2、三边对应相等的两个三角形全等.简写为：“边 边边”或“SSS”在△ABC 和△DEF 中
∵AB=DE，BC=EF，AC=DF ∴△ABC≌△DEF.（SSS） 方法：画图----剪切———比较重合即全等 我这样设计是因为新课程标准强调，学生是数学学 习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。 因此向学生提出问题后，帮助他们自主探索和合作交
生熟练掌握、运用知识，有利于学生积累解题经验，形
成新的认知结构图，为以后继续学习服务。
探索三角形全等的条件：边、边、边
我们来思考下面两个问题：（多媒体展示）做一做：
（1）已知一个三角形的三个内角分别为 40°，
60°，80°.你能画出这个三角形吗？把你画的三角形
与同伴画的进行比较，它们一定全等吗？
教学过程
流，使他们在数学活动中掌握数学知识与技能、数学思 想与方法，获得数学活动的经验。
（1）本节课的设计体现了以教师为主导、学生为 主体，以知识为载体、以培养学生的思维能力为重点的 教学思想。教师以探究任务引导学生自学自悟的方式， 提供了学生自主合作探究的舞台，营造了思维驰骋的空 间，在经历知识的发现过程中，培养了学生分类、探究、 合作、归纳的能力。
与角吗？ 择与设计
2、小明有一个三角形纸片，你能画一个三角形与
它全等吗？如何画？与同伴交流你的画法？
我设计这两个问题，一方面引导学生回忆学过的三
角形全等的有关知识，另一方面引出本节课要学习的内 容。为本节课的教学提供相应得知识，为学生的自主探 究提供方向和方法。
（二）、讨论交流，实验探究 1、探索三角形全等至少需要几个条件 2、探索三角形全等的条件：边、边、边 我这样设计的理由是新课程标准倡导，有效的数学 学习不能单纯的依赖模仿与记忆，动手实践，自主探究 与合作交流是学习数学的重要方式。在这里一方面引导 学生动手去画，另一方面鼓励学生合作交流。既让学生 获得知识，又让学生获得方法。为后继的学习积累经验。 （三）、应用知识、体验成功 例题讲解+随堂练习 这样设计，一方面让学生应用“SSS”条件，体会 成功的喜悦，另一方面训练学生有条理的表达自己的思 维，为学生书面表达提供范例 （四）、联系生活，探究性质 问题：取三根长度适当的木条，用钉子钉成一个三 角形的框架，你所得到的框架的形状固定吗？用四根木 条钉成的框架的形状固定吗？ 这样设计，通过学生动手操作，探究三角形稳定性 及生活中的应用，让学生体验数学来源于生活，服务于
探索三角形全等的条件(一)说课稿
探索三角形全等的条件（第一课时）说课稿民乐三中张秀花各位领导，老师：大家好!今天我说课的题目是《探索三角形全等的条件》（第一课时），下面我将从五个方面汇报我对这一节课的的认识和教学过程的设计。
一、说教材1、教材地位和前后联系《探索三角形全等的条件》是北师大版试验教科书七年级下册第五章第四节的内容。
它是在学生学习了三角形的有关要素和性质、全等图形的特征的基础上，进一步研究三角形全等的条件，它与前面学习的全等三角形的特征及后面将要学习的三角形全等的(“ASA”、“AAS”、“SAS”)判别方法作为探索三角形全等的核心内容，为后面学习奠定基础，也是初中数学的重要内容。
本节教学共分三个课时，本节课是第一课时，主要内容是探索三角形全等的条件（SSS）和三角形的稳定性。
2、教学目标学习数学，不仅要学习重要的数学概念、方法、结论，还要领略到数学的精神和思想方法，这应该是数学学习所追求的目标。
具体来说，本节课我确定以下目标：（1）、知识与技能：①、掌握三角形全等的“边边边”（“SSS”）条件。
②、能运用“SSS””说明两个三角形全等以及在日常生活中的简单运用。
发展学生有条理的数学语言的表达能力。
（2）、过程与方法：①、通过学生动手操作、观察实验、探索交流、分析归纳等活动，体会数学结论的获得过程，积累数学活动的经验。
②、体会分类讨论的数学思想和由特殊到一般的思维方法在数学中的应用。
（3）、情感、态度与价值观：①、使学生在自主探索三角形全等的过程中，经历画图、观察、比较、推理、交流等环节，从而获得正确的学习方式和良好的情感体验.②、通过实际生活中的有关三角形全等的应用，让学生体验数学来源于生活，服务于生活的辩证思想，感受数学美。
3、教学重点与难点整节课都是围绕着探索三角形全等的"SSS"的判别方法进行的，因此本节课的重点．．我确定为：掌握三角形全等的条件“SSS”，并能利用它判定两三角形是否全等。
三角形全等的条件 要点全析
三角形全等的条件·要点全析1．探索三角形全等的条件三角形有三条边，三个内角共六个基本元素，全等三角形的六个元素都分别对应相等．反过来，如果两个三角形的三组边对应相等并且三组角也对应相等．那么它们必定可以重合，根据定义，它们一定全等．但是，判定两个三角形全等真的需要六个条件吗？探索发现：两个三角形满足一个条件（一条边或一个内角相等）或两个条件都不能确定它们是否全等，而满足三个适当的条件就可以判定两三角形全等．2．三角形全等的条件一：“SSS ”或“边边边”（1）SSS ：三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS ”．（2）书写格式：如图13-2-1．在△ABC 和△A ′B ′C ′中，①⎪⎩⎪⎨⎧''''''，＝，＝，＝C B BC C A AC B A AB ② ∴ △ABC ≌△A ′B ′C ′（SSS ）．③（3）书写格式的步骤分三步：第一步：指出在哪两个三角形中．如上边的①，在△ABC 和△A ′B ′C ′中． 第二步：按条件中的边角顺序列出三个条件．如上边的②． 第三步；写出结论，如上边的③，△ABC ≌△A ′B ′C ′（SSS ）．【说明】①第一步中，两个三角形之间的“和”不能写成“≌”，也不能取消．②第二步中，大括号内的三个条件的书写是有顺序的，必须与判定条件一致，并且注意边、角字母的对应．一般前一个三角形的边、角写在等号的左边，另一个三角形的对应边、角写在右边．③写结论时，注意对应顶点写在对应位置上，并在后面的括号内注明判定条件的简写，如“SSS ”或“边边边”．例如：如图13-2-2．已知AB ＝AC ，D 为BC 中点．试说明∠B ＝∠C 是否成立，为什么？解：∠B ＝∠C 成立．∵ D 为BC 中点，∴ BD ＝CD ．在△ABD 和△ACD 中，⎪⎩⎪⎨⎧（公共边），＝（已证），＝（已知），＝AD AD CD BD AC AB∴ △ABD ≌△ACD （SSS ）．∴ ∠B ＝∠C （全等三角形的对应角相等）．【说明】①在本例中使用了证明的格式．②在本例中的最后两步中有两个“∴”符号，前一个“∴”，是由前面大括号内的三个条件得出的．后一个“∴”，是将前一个“∴”当成了“∵”，然后推出后一个“∴”，这里省略了一步：∵△ABD ≌△ACD ．因此，今后在书写中要注意．3．三角形全等的条件二：“边角边”或“SAS ”（1）SAS ：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简记为“SAS ”．（2）表达格式为在△ABC 和△DEF 中（图13-2-3）⎪⎩⎪⎨⎧∠∠，＝，＝，＝EF BC DEF ABC DE AB∴ △ABC ≌△DEF （SAS ）．例如：如图13-2-4中，AD 、BC 相交于点O ．OA ＝OD ，OB ＝OC ，那么AB ＝DC 是否成立．解：∵ AD 、BC 相交于点O ，∴ ∠AOB ＝∠DOC （对顶角相等）．在△AOB 和△DOC 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠∠（已知）＝（已证），＝（已知），＝OC OB DOC AOB OD OA∴ △AOB ≌△DOC （SAS ）．∴ AB ＝DC【说明】本题中，书写三条件时，应该按边、角、边的顺序，将两边的夹角放在中间，用括号括起来；或者写成一行，也按边、角、边的顺序，将两边的夹角放在中间，再推出两个三角形全等．4．三角形全等的条件三：“角边角”或“ASA ”（1）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA ”．（2）表达格式：如图13-2-5，在△ABC 和△DEF 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠∠∠∠，＝，＝，＝DEF B DE AB D A ∴ △ABC ≌△DEF （AAS ）．5．三角形全等的条件四：“角角边”或“AAS ”（1）有两角和一边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS ”．（2）表达格式，如图13-2-5，在△ABC 和△DEF 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠∠∠∠，＝，＝，＝EF BC D A DEF B ∴ △ABC ≌△DEF （AAS ）．例如：如图13-2-6中，AB ∥CD ，AE ∥DF ，AB ＝CD ．求证：AE ＝DF ．证明：∵ AB ∥CD ，∴ ∠ABC ＝∠DCB ．∵ AE ∥DF ，∴ ∠AEB ＝∠DFC ．在△ABE 和△DCF 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠∠∠∠，＝，＝（已证），＝DF AE DFC AEB DCF ABC∴ △ABE ≌△DCF （AAS ）．∴ AE ＝DF ．6．直角三角形全等的条件：“斜边、直角边”或“HL ”（1）HL ：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL ”．（2）表达格式：如图13-2-7，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，AB ＝AC 在Rt △ABD 和Rt △ACD 中，⎩⎨⎧，＝，＝AD AD AC AB∴ Rt △ABD ≌Rt △ACD （HL ）（3）直角三角形是三角形中的一种特殊情况，因此，它也可以用一般三角形全等的条件．如两条直角边对应相等，可用“SAS ”，一边一锐角对应相等可用“ASA ”或“AAS ”．它的特殊条件就是“斜边、直角边”．7．“角角角”与“边边角”在三角形全等的条件中，上面已说过的有：三边的SSS ，两边一角的SAS 和一边两角的ASA ，AAS ，那么“AAA ”和“SSA ”能否成为三角形全等的条件呢？（1）有三个角对应相等的两个三角形不一定全等，如图13-2-8，DE ∥BC ，则∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C ，∠A ＝∠A ，△ADE 与△ABC 有三角对应相等，但它们没有重合，所以不全等．（2）如图13-2-9，在△ABC 与△ABD 中，AB ＝AB ，AC ＝AD ，∠B ＝∠B ，但△ABC 与△ABD 不完全重合，故不全等．也就是有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等．8．证明的意义和步骤（1）证明的意义证明是由题设（已知）出发，经过一步步的推理，最后推出结论（求证）正确的过程，简单地说，证明就是推理过程．（2）证明的步骤证明一个命题为正确的时候，其步骤如下：①弄清命题的条件和结论，画出图形．②根据条件，结合图形，写出已知．③根据结论，结合图形、写出求证．④写出证明过程．证明一个命题不正确的时候，只需举出一个反例即可．例如：若a 2＝b 2，则a ＝b ．这是一个错误命题，证明如下．证明：∵ （－5）2＝52＝25，而－5≠5．∴ 若a 2＝b 2，则a ＝b ，是一个错误命题．9．证明题目时常用的三种方法在探索三角形全等的过程中，经常要遇到条件不足或结论不易寻找等问题，如何分析条件与结论之间的关系，常用的分析方法有以下三种：（1）综合法就是从题目的已知条件入手，根据已学过的定义、定理、性质、公理等，逐步推出要判断的结论，有时也叫“由因导果法”．例如：如图13-2-10，在△ABC 中，D 是BC 的中点，DE ∥AB ，DF ∥AC ，分别交AC 、AB 于点E 、F ．求证：BF ＝DE ．分析：从已知条件到推出结论，其探索过程如下⇒⎪⎭⎪⎬⎫∠∠⇒⇒∠∠⇒C BDF AC DF CD BD BC D CDE B AB DE ＝∥＝的中心是＝∥△BFD ≌△DEC （ASA ） ⇒BF ＝DE （目标）．以上这种由因导果的方法就是综合法．（2）分析法就是从要判断的结论出发，根据已学的定义、定理、公理、性质等，倒过来寻找能使结论成立的条件，这样一步步地递求，一直追溯到结论成立的条件与已知条件相吻合为止，有时也叫“执果索因法”．如上题，用分析法的探索过程如下：BF ＝DE ⇒△BFD ≌△DEC ⇒⎪⎩⎪⎨⎧⇒⇒∠∠⇒⇒⇒⇒∠∠已知∥＝已知中点是＝已知∥＝AC DF C BDF BC D CD BD AB DE CDE B（3）分析—综合法在实际的思考过程中，往往需要使用这两种方法，先从结论出发，想一想需要什么条件，层层逆推，当思维遇到障碍时，再从条件出发，顺推几步，看可以得出什么结论，从而两边凑，直至沟通“已知”和“结论”的两个方面． 即：已知 中间条件 结论 综合法 分析法例如：如图13-2-11，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，E 是AD 上任一点，连接EB 、EC ，求证：EB ＝EC ．分析：本题比较复杂，可用上述的三个方法均可，现在以分析一综合法为例，说明分析过程．先用综合：由因导果．⇒⎪⎭⎪⎬⎫⇒CD BD D AD AD AC AB ＝为中心＝＝△ABD ≌△ACD ⇒⎩⎨⎧∠∠∠∠．＝，＝CDA BDA CAD BAD再用分析：执果索因．EB ＝EC ⇒△ABE ≌△ACE ⇒⎪⎩⎪⎨⎧⇒∠∠⇒已知＝＝已知＝AE AE CAEBAE AC AB ⇒△ABD ≌△ACD ． 证明：∵ D 是BC 的中心，∴ BD ＝CD ． 在△ABD 和△ACD 中⎪⎩⎪⎨⎧（公共边），＝（已证），＝（已知），＝AD AD CD BD AC AB∴ △ABD ≌△ACD （SSS ）．∴ ∠BAD ＝∠CAD ．在△ABE 和△ACE 中⎪⎩⎪⎨⎧∠∠（公共边）＝（已证），＝（已知），＝AE AE CAE BAE AC AB∴ △ABE ≌△ACE （SAS ）．∴ BE ＝CE （全等三角形的对应边相等）．【说明】①本题证明过程中，后一次三角形全等，也可选△BDE ≌△CDE ，方法同上．②本题两次用到全等三角形，在分析中应找准三角形，理清思路．10．判定两个三角形全等方法的选择选择哪种方法判定两个三角形全等，要根据具体已知条件而定，见下表：已知条件寻找条件判定方法—边一角对应相等一边SAS一角SAS或AAS两角对应相等一边ASA或AAS两边对应相等一角SAS 一边SSS11．如何选择三角形判定全等在学过本节内容之后，经常会遇到判定两条线段相等，两个角相等的问题，而要判断它们相等，就要考虑选择三角形全等．如何选择三角形呢？可考虑以下四个方面：（1）可以从判断的结论（线段或角）出发，寻找这些结论在哪两个可能的全等三角形中，就试着判定两个三角形全等．（2）可以从题目的已知条件出发，看已知条件能确定哪两个三角形全等就判定它们全等．（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后判定它们全等．（4）如果以上方法都行不通，可考虑添加辅助线的办法，构造三角形全等．例如：如图13-2-12，已知AB＝AC，BD＝CD，试判断∠B与∠C的关系，并说明理由．分析：要判断∠B与∠C的关系，先看∠B与∠C是否在两个全等三角形中，而此题没有两个全等三角形，只有一个四边形，目前由已知条件四边形ABDC，要创造三角形，可以连接AD或BC，那么连接谁更合适呢？若连接AD，则∠B、∠C分在左、右两个三角形中，若全等，则∠B＝∠C，事实上，∠B＝∠C，若连接BC，则∠B、∠C分在上、下两个三角形中，根据目前所学知识还不能确定∠B＝∠C因此，连接AD较为合适．解：∠B＝∠C连接AD，在△ABD和△ACD中，AB＝AC，BD＝CD，AD＝AD（公共边），∴△ABD≌△ACD（SSS）．∴∠B＝∠C12．探索三角形全等时常作的辅助线在利用三角形全等进行解题时，有时题目所给条件不足或不明显，还需从题目本身或图形中挖掘它的隐含条件，还有的需加上一些辅助线，为解题铺路搭桥，起到很好的辅助作用，这些辅助线常见的有以下几种：（1）连接图形中的已知点，构造全等形．例如：如图13-2-13，已知AC 、BD 相交于O 点，且AB ＝CD ，AC ＝BD ，判断∠A 与∠D 的关系，并说明理由．解：∠A ＝∠D ．连接BC ，在△ABC 与△DCB 中，AB ＝DC ，AC ＝DB ，BC ＝CB ，则△ABC ≌△DCB （SSS ）．因此∠A ＝∠D ．（2）取线段中点构造全等三角形．例如：如图13-2-14，已知在梯形ABCD 中，AB ＝DC ，∠A ＝∠D ，试判断∠ABC 与∠DCB 的关系，并说明理由．解：∠ABC ＝∠DCB ．取AD 的中点N ，取月C 的中点M ．连接MN 、BN 、CN ，则AN ＝DN ，BM ＝CM ，在△ABN 和△DCN 中，⇒⎪⎭⎪⎬⎫∠∠DC AB D A DN AN ＝＝＝△ABN ≌△DCN ，则∠ABN ＝∠DCN ，NB ＝NC （全等三角形的对应角、对应边相等）． 在△BMN 和△CMN 中，⇒⎪⎭⎪⎬⎫MN MN CM BM CN BN ＝＝＝△BMN ≌△CMN ， 则∠MBN ＝∠MCN （全等三角形的对应角相等）．那么∠ABN ＋∠MBN ＝∠DCN ＋∠MCN ．即∠ABC ＝∠DCB ．【说明】在本题中，辅助线起到了很好的桥梁作用，为解题创造了条件．（3）有角平分线时，常在角两边截相等的线段，创造全等三角形．如图13-2-15，OC平分∠AOB，在OC上任取一点P，在OA、OB上截取OM＝ON，连接PM、PN，那么，PM＝PN．事实上，在△MOP和△NOP中，OM＝ON，∠MOP＝∠NOP，OP＝OP，则△MOP≌△NOP（SSS）．因此有PM＝PN．（4）三角形中有中线时，常延长加倍中线，构造全等三角形．如图13-2-16，在△ABC中，AD为BC边上的中线，若延长AD至E，使AD＝DE，连接B E，在△ACD和△EBD中，BD＝CD，∠1＝∠2，AD＝ED，则△ACD≌△EBD，因此BE＝AC13．利用全等三角形解决实际问题的步骤全等三角形在日常生活、科技生产中有很多的用途，在用它解决实际问题时可分以下几个步骤：（1）先明确实际问题与哪些知识有关，确定用哪些知识来解决．（2）根据实际问题画出图形．（3）结合图形写出已知和结论．（4）分析已知，找出解决问题的途径．（5）写出解决问题的过程（或探索过程）．例如：如图13-2-17，要测河两岸相对的两点A、B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C、D使CD＝BC，再定出BF的垂线DE，使E、C、A三点在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长．你能用数学原理说明吗？分析：这是一个实际应用题，应先把其转化为数学问题，然后再解答．解：已知：AB⊥BF，DE⊥BF，A、C、E三点在一条直线上，BC＝DC．判断AB与DE是否相等？在△ABC和△DEC中，由于AB⊥BF，DE⊥BF，则∠ABC＝∠EDC＝90°，又A、C、E三点在一条直线上，则∠ACB＝∠ECD（对顶角）．又BC＝CD，则ABC≌△EDC（ASA），因此AB＝DE．。
探索三角形全等的条件(1)的专家点评.(优选)
《1.3 探索三角形全等的条件（1）》评课1．本节课的教学目标明晰，层层递进，过渡自然．本节课是在学生学习了全等图形，对于全等三角形的概念及性质有了一定的了解后，探索三角形全等条件的第1课时.本节课的教学目标明确，重点突出，引导学生经历了从特殊到一般的研究过程，在实践中得到“SAS”的基本事实，帮助学生积累分析问题的方法和数学活动的经验.本节课的各环节的设计层次分明，环环相扣，使学生从知识到能力逐步得到发展．学生活动充分、有效.2．重视知识的生成过程及应用过程，有效诠释了新教材的设计意图．（1）教师从一个简单的动画演示——“图形的旋转”入手，唤起学生对全等的定义及性质的回忆，承上启下的引导学生从“形”的重合到“量”的思考，提出本节课所要探究的问题．教师将新知的探究在3个活动中循序渐进地铺开，活动一：通过任意剪——剪得的直角三角形不全等；再动手——组内寻找统一的参考量，在对比与思考中，确定直角三角形全等的条件．活动二：在活动一的基础上，将三角形的形状一般化，既而得出猜想，从而引发出本节课的第3个活动：由学生利用尺规作图的方法，亲历实验操作过程，验证“两边及其夹角相等的两个三角形全等”这个猜想的正确性．知识的生成过程看似花去了很多时间，但无论是隐形思维还是显性活动，学生始终处于活跃积极的氛围中，消除了课堂上学生被动接受的静止状态．（2）锻炼学生几何说理的同时，培养学生几何直观的能力．本节课的重点与难点便是利用“SAS”进行几何说理，对于刚刚步入八年级的学生而言，演绎推理的能力还很薄弱，教师在教学过程中，反复强调并规范说理的书写过程，将书写过程归纳为“指明图形，列出条件，得出结论”，特别强调写出每一步的说理依据，并将对应字母写在对应位置上，努力培养学生良好的几何素养和严谨的逻辑表达．教师能深刻领悟教材，除几何说理外，还引导学生用“运动变换”的观点看待问题，直观地理解数学．这也正是新教材的“出新”之处，平面几何教材经历了重演绎推理、重直观感悟到现在的“并举”——用“运动变换”来研究、揭示图形的性质，发展学生几何直观能力，用几何说理发展逻辑思维推理能力．教师在今后的图形与几何的教学中，要研究教材设计意图，充分体现出“几何直观”与“推理能力”密不可分的关系．3．注重引导学生自主探究，发挥小组合作的优势．（1）《新课程标准》将培养学生自主探究能力作为一项重要的教学策略，本节课教师在新知的生成环节上尽量的放手，让学生亲历探究过程．在整个探究过程中，教师充分扮演了组织者与引导者的角色，从提出问题到指导探索，凸显学生的主体地位，外国语学校的小组合作的学习模式使本节课的探究得以顺利进行，学生的活动平等而自由，知识的“再生成”毫无造作生硬和预设，完全是学生思维的真实流露和智慧碰撞．（2）本节课教师的站位不是在学生之间，而是站在教学设计的制高点：将待解决的问题设置成一个个任务，通过“课堂活动单”布置学习任务，既有学生的独立思维，又有组内的交流讨论，整节课教师对学生活动的节奏调控较好．4．发展学生提出问题的意识与解决问题的能力．本节课的“开放思维”环节，设计大胆，对学生而言具有一定的挑战性．要求借助适当的图形运动，利用组内的全等三角形进行拼图，对拼图合理设计问题，并且能够利用本节课所学知识解决问题．这样的设计十分符合当下“发展学生自己发现和提出问题的能力”的教学理念．本节课上学生呈现出的拼图各式各样，设计的问题多元灵活，反映出学生对本节课的知识有了很好的理解并能灵活运用，由于课堂时间有限，不能一一解决各个小组设计的问题，所以教师将没有完成的问题布置学生课后继续完成，这其中还有几个设计的问题不能用本节课的知识加以解决，本节课的“不能解决”就成为了后续知识的生长点，不失为延伸课堂的一种好做法．5．本节课中还有一些值得探讨的地方．（1）在第一次动手剪直角三角形后，回答问题的学生没有指出隐含的直角相等的条件，教师是否一定要及时追问？待到一般形状的三角形研究过后，再通过对比，将隐含的条件挖掘出来，使得条件在层层深入中不断得以完善，更为符合学生的认知规律，体会从特殊到一般的必要性与合理性．（2）最后一个拼图环节，学生展示后，可由小组派出代表，指明拼图所含有的图形运动，再次体会“几何直观”与“推理能力”的关系．最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word文本--------------------- 方便更改。
人教版数学七年级上册《三角形全等的判定(1)SSS》教学设计
人教版数学七年级上册《三角形全等的判定(1)SSS》教学设计一. 教材分析《三角形全等的判定(1)SSS》是人教版数学七年级上册的教学内容。
本节内容主要介绍三角形全等的判定方法之一——SSS（Side-Side-Side，即边边边）。
通过本节课的学习，学生能够理解SSS判定法的含义，掌握其证明过程，并能够运用SSS判定法判断两个三角形是否全等。
二. 学情分析七年级的学生已经掌握了二年级时的平面几何知识，包括图形的性质、图形的相互关系等。
但是，对于全等形和全等三角形的概念，学生可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要引导学生从实际例子出发，理解全等三角形的概念，并掌握SSS判定法。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解全等三角形的概念，掌握SSS判定法，并能运用SSS判定法判断两个三角形是否全等。
2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的空间想象能力、逻辑思维能力和创新能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队协作精神，使学生感受到数学在生活中的应用。
四. 教学重难点1.重点：SSS判定法的概念及其证明过程。
2.难点：如何判断两个三角形是否全等，以及如何运用SSS判定法解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入全等三角形的概念，激发学生的学习兴趣。
2.启发式教学法：在讲解SSS判定法时，引导学生主动思考、提问，提高学生的逻辑思维能力。
3.合作学习法：学生进行小组讨论，培养学生的团队协作精神。
4.实践操作法：让学生动手操作，提高学生的动手能力。
六. 教学准备1.教具：三角板、尺子、彩色粉笔。
2.教学课件：全等三角形的图片、动画、实例等。
3.练习题：与本节课内容相关的练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例，如折纸、拼图等，引导学生思考：什么是全等三角形？全等三角形的性质是什么？2.呈现（10分钟）通过课件展示全等三角形的图片，让学生观察并总结全等三角形的特征。
北京版数学八年级上册《全等三角形的判定(一)——ASA》教学设计5
北京版数学八年级上册《全等三角形的判定（一）——ASA》教学设计5一. 教材分析《全等三角形的判定（一）——ASA》是北京版数学八年级上册的教学内容。
本节课主要让学生掌握全等三角形的判定方法之一——ASA（角-边-角）。
通过学习，学生能够理解并应用ASA判定两个三角形全等，为后续学习其他全等三角形的判定方法打下基础。
二. 学情分析学生在七年级已经学习了全等图形的概念，并掌握了SSS（边-边-边）、SAS（边-角-边）判定两个三角形全等。
但ASA判定方法较为抽象，需要学生具备一定的空间想象能力和逻辑思维能力。
通过分析学生的学习情况，发现部分学生在理解全等三角形的判定方法上存在困难，尤其是对于不同判定方法的适用场景把握不清。
三. 教学目标1.让学生掌握全等三角形的判定方法之一——ASA，能运用ASA判定两个三角形全等。
2.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
3.提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：掌握ASA判定两个三角形全等的方法。
2.难点：理解ASA判定方法的适用场景，并能灵活运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入全等三角形的判定方法，激发学生的学习兴趣。
2.互动教学法：引导学生参与课堂讨论，提高学生的参与度和积极性。
3.实践操作法：让学生通过动手操作，加深对全等三角形判定方法的理解。
4.案例分析法：分析实际案例，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示全等三角形的判定方法及实例。
2.练习题：准备相关练习题，巩固所学知识。
3.教学道具：准备三角形模型，方便学生直观理解。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例，如制作不等式模型时需要两个全等的三角形，引入全等三角形的判定方法。
提问：我们已经学过哪些全等三角形的判定方法？新的判定方法是什么？2.呈现（10分钟）讲解ASA判定方法，即角-边-角。
通过课件展示实例，让学生了解ASA判定方法的适用场景。
探索三角形全等的条件1
探索活动：
（二）按下列作法，用直尺和圆规作△ABC，使 ∠A＝∠α，AB＝a，AC＝b．
作法：
图形：
aa
b b
1．作∠MAN ＝∠α．
2．在射线AM、AN上分别
作线段AB＝a，AC＝b ．
3．连接BC，
△ABC就是所求作的三角形．
基本事实： 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（简写成 “边角边”或“SAS”） ．
温故而知新
如图，△ABC≌△DEF,你能得出哪些结论？
A
D
B
C
E
F
生活中的数学问题
某公司接到一批加工三角形铁架的加工任务，客户 的要求是所有的三角形必须全等。如果你是该公司 质检部门的人员，是否每次需分别检查每个三角形 的三条边，三个角这6个数据才能保证所有三角形 全等？为了提高效率，是不是可以找到一个更优化 的方法？
A C B F D E
总结、反思：
通过本节课的学习，你有什么体会？
课堂作业：书14页第2题，30页第2题．
你还能得出哪些结论？
A
D
C
B
变式训练1：
如果把△ABC与△ADC拉开如图形状，若要使得它们 全等，还需要什么条件？
变式训练2：
已知：在△ABC和△ DEF中，AC=DF,BC=EF,AC∥DF, 这两个三角形全等吗？为什么？
A C B Leabharlann D E变式训练3：已知：在△ABC和△ DEF中，AC=DF,BF=EC, AC∥DF,这两个三角形全等吗？为什么？
1.3
探索三角形全等的条件(1)
讨论交流：（动手画画看）
1．当两个三角形中有一组要素对应相等时，它们全等吗？ 2．当两个三角形中有两组要素对应相等时，它们全 等吗？ 3．当两个三角形中有三组要素对应相等时，它们全 等吗？
探索三角形全等的条件――两角和一边点评.
课例点评引导创新合作创新服务创新“三创一合作”教学模式，即：构建“师生合作—导创、巧创、善创”教学模式。
其主导思想是—以学生的发展为本，核心是—培养学生的创新精神和实践能力。
基本思路是—把教学过程设计成学生再发现、再创造的过程。
这一模式与《数学课程标准》的要求是完全一致的。
在自己的教学实践中，老师结合新课标、新教材的使用，努力探索，大胆尝试，将“三创一合作”教学模式应用于自己的教学实践，取得了很好的教学效果。
《探索三角形全等的条件：两角和一边》一课的课堂教学设计实录，是教者在全区教学实验成果汇报会上所做的公开课的再现。
其设计之独到、精巧；构建的氛围之和谐、美妙；似绵绵春雨润物细无声，又如湍湍急流一波三折，让您感受到师生间、生生间，思维的碰撞、情感的交融。
在合作、交流、探索、创新中，学生们经历了观察与猜想、分解与组合、筛选与提炼、归纳与类比、理论验证等一系列合情推理与演绎推理相结合的数学活动；参与了操作、讨论、合作、交流、探索等多种形式的实践活动。
从而加深了对制约三角形性态的各个要素及其相互关系的本质属性的理解，明确了“两角和一边”可以确定一个三角形！进而获得了证明三角形全等的又一种新的方法——AAS或ASA。
学生们尝到了做数学的乐趣！获得了成功的喜悦！培养了空间观念，而情感、态度与价值观也随之形成，也随之相生相长。
教者与她的学生们很好的完成了教学任务，实现了“三维”目标的达成。
师生们共同用行动诠释了——什么是教学艺术！什么是新课改理念下的数学课堂创新课程！“咔嚓”，伴着一声清脆的声响，一块三角形玻璃板被打碎的画面呈现在师生的面前，教师适时的提出问题：“小明不慎将一块三角形玻璃板打碎为三块，它要去商店配一块与原来一样的三角形玻璃板，该怎么办呢？”“带(1)去！”“带(2) 去！”“带(3) 去！”“带(1)、(2) 、(3) 去！”学生激越的情绪空前高涨！…………教者从学生身边熟悉的事例入手，巧创教学情境，诱发了学生的好奇心与求知欲，唤起了学生的创新意识和创新情感，使学生在迫切要求解决问题的状态下，积极的投入到学习中来，使自主学习成为可能。
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《1.3 探索三角形全等的条件（1）》评课1．本节课的教学目标明晰，层层递进，过渡自然．
本节课是在学生学习了全等图形，对于全等三角形的概念及性质有了一定的了解后，探索三角形全等条件的第1课时.本节课的教学目标明确，重点突出，引导学生经历了从特殊到一般的研究过程，在实践中得到“SAS”的基本事实，帮助学生积累分析问题的方法和数学活动的经验.本节课的各环节的设计层次分明，环环相扣，使学生从知识到能力逐步得到发展．学生活动充分、有效.
2．重视知识的生成过程及应用过程，有效诠释了新教材的设计意图．
（1）教师从一个简单的动画演示——“图形的旋转”入手，唤起学生对全等的定义及性质的回忆，承上启下的引导学生从“形”的重合到“量”的思考，提出本节课所要探究的问题．教师将新知的探究在3个活动中循序渐进地铺开，活动一：通过任意剪——剪得的直角三角形不全等；再动手——组内寻找统一的参考量，在对比与思考中，确定直角三角形全等的条件．活动二：在活动一的基础上，将三角形的形状一般化，既而得出猜想，从而引发出本节课的第3个活动：由学生利用尺规作图的方法，亲历实验操作过程，验证“两边及其夹角相等的两个三角形全等”这个猜想的正确性．知识的生成过程看似花去了很多时间，但无论是隐形思维还是显性活动，学生始终处于活跃积极的氛围中，消除了课堂上学生被动接受的静止状态．
（2）锻炼学生几何说理的同时，培养学生几何直观的能力．本节课的重点与难点便是利用“SAS”进行几何说理，对于刚刚步入八年级的学生而言，演绎推理的能力还很薄弱，教师在教学过程中，反复强调并规范说理的书写过程，将书写过程归纳为“指明图形，列出条件，得出结论”，特别强调写出每一步的说理依据，并将对应字母写在对应位置上，努力培养学生良好的几何素养和严谨的逻辑表达．教师能深刻领悟教材，除几何说理外，还引导学生用“运动变换”的观点看待问题，直观地理解数学．这也正是新教材的“出新”之处，平面几何教材经历了重演绎推理、重直观感悟到现在的“并举”——用“运动变换”来研究、揭示图形的性质，发展学生几何直观能力，用几何说理发展逻辑思维推理能力．教师在今后的图形与几何的教学中，要研究教材设计意图，充分体现出“几何直观”与“推理能力”密不可分的关系．
3．注重引导学生自主探究，发挥小组合作的优势．
（1）《新课程标准》将培养学生自主探究能力作为一项重要的教学策略，本节课教师在
新知的生成环节上尽量的放手，让学生亲历探究过程．在整个探究过程中，教师充分扮演了组织者与引导者的角色，从提出问题到指导探索，凸显学生的主体地位，外国语学校的小组合作的学习模式使本节课的探究得以顺利进行，学生的活动平等而自由，知识的“再生成”毫无造作生硬和预设，完全是学生思维的真实流露和智慧碰撞．
（2）本节课教师的站位不是在学生之间，而是站在教学设计的制高点：将待解决的问题设置成一个个任务，通过“课堂活动单”布置学习任务，既有学生的独立思维，又有组内的交流讨论，整节课教师对学生活动的节奏调控较好．
4．发展学生提出问题的意识与解决问题的能力．
本节课的“开放思维”环节，设计大胆，对学生而言具有一定的挑战性．要求借助适当的图形运动，利用组内的全等三角形进行拼图，对拼图合理设计问题，并且能够利用本节课所学知识解决问题．这样的设计十分符合当下“发展学生自己发现和提出问题的能力”的教学理念．本节课上学生呈现出的拼图各式各样，设计的问题多元灵活，反映出学生对本节课的知识有了很好的理解并能灵活运用，由于课堂时间有限，不能一一解决各个小组设计的问题，所以教师将没有完成的问题布置学生课后继续完成，这其中还有几个设计的问题不能用本节课的知识加以解决，本节课的“不能解决”就成为了后续知识的生长点，不失为延伸课堂的一种好做法．
5．本节课中还有一些值得探讨的地方．
（1）在第一次动手剪直角三角形后，回答问题的学生没有指出隐含的直角相等的条件，教师是否一定要及时追问？待到一般形状的三角形研究过后，再通过对比，将隐含的条件挖掘出来，使得条件在层层深入中不断得以完善，更为符合学生的认知规律，体会从特殊到一般的必要性与合理性．
（2）最后一个拼图环节，学生展示后，可由小组派出代表，指明拼图所含有的图形运动，再次体会“几何直观”与“推理能力”的关系．。