发射卫星为什么用三级火箭发射卫星为什么用三级火箭.

掉质量），设丢掉的结构质量为λ(0 < λ < 1) ，燃烧的质量
为 1 − λ ，即λ 与1 − λ 按比例同时减少。
由动量守衡定律：
m(t)v(t) = m(t + ∆t)v(t + ∆t) − λ dm ∆t ⋅ v(t)
dt
− (1− λ) dm ∆t ⋅ (v − u) + o(∆t 2 )
进一步思考的问题
火箭是一个复杂的系统，本文对问题进行了简 化，使问题变得简单明了，思考简化问题在建模 中的必要性。
发射卫星为什么用三级火箭
从火箭的动力系统及整体结构分析， 讨论了理想火箭模型，回答了发射卫星为 什么不用一级而必须用多级火箭的问题。
主要内容
问题的提出 模型假设 模型建立 模型讨论
进一步思考的问题
问题的提出
一、问题
发射卫星为什么不用一级而必须用多 级火箭？为什么一般采用三级火箭系统？
火箭是一个复杂的系统，为了使问题简单明了，这 里只从动力系统及整体结构上分析，并假定引擎是足够 强大的。 1.为什么不能用一级火箭发射人造卫星。 （1）卫星进入轨道，火箭所需最低速度。 （2）火箭推进力及速度的分析。 （3）一级火箭末速度上限（目前技术条件下）。
设），曲线C为地球表面，C为′ 卫星轨道，其半径
为 r，卫星质量为m ，根据牛顿定律，地球对卫星
的引力为：
F =G× m r2
（1）
其中 G为引力常数，可根据卫星在地面的重量算出，即：
Gm = mg,G = gR 2
R2
代入式（1）得： F
=
mg
× ⎜⎛
R
⎟⎞2
⎝r⎠
（2） （3）
由假设（1），卫星所受到的引力即它作匀速圆周运动的向心
少 m(t（) 从结构上想法）。完全合乎实际。
火箭—卫星系统的质量可分成三部分：m p（有效负载，如卫
m m 星）， F（燃料质量）， s（结构质量）。
在发射一级火箭运载卫星时，最终（燃烧耗尽）质量
为 mP + ms ，由式（9）知末速度为：(v0 = 0)
v
=
u
⋅ ln⎜⎜⎝⎛
m0 mp + ms
V3
=
u ln⎜⎜⎝⎛
m1 + m2 + m3 + m p
λm1 + m2 + m3 + m p
⋅
m2 + m3 + m p
λm2 + m3 + m p
⋅
m3 + m p
λm3 + m p
⎟⎞ ⎟⎠
同样假设下，V3
=
9 ln
k +1 0.1k +1
。
欲使 V3
= 10.5km / s
，应 k
≈ 3.25
即使火箭不带卫星，也不记空气阻力及 火箭本身重量，
取 λ = 1 ，由式（11） 得：
9
v≤
u ⋅ ln
1
λ
= u ⋅ ln 9
≈ 6 .6 km
/s
因此用一级火箭发射卫星，至少目前条件下无法达到在相应
高度所需要的速度。
理想的火箭模型应该是随着燃料燃烧随时抛弃无用的结构。
在 t 到t + ∆t 时间内，丢掉总质量为1（包括结构质量和燃烧
力，故又有：
F = m× v2
（4）
r
从而速度为： v = R × g r
（5）
（3）火箭在喷气推动下做直线运动，火箭重力及空气阻力均 不记。
三、建模
模型建立
设在t时刻火箭质量为m(t)，速度为v(t) ，均为t的连续
可微函数，由Taylor展式有：
m(t + ∆t) − m(t) = dm ∆t + o(∆t 2 ) dt
，从而
m1
+ m2 + m3 mp
+ mp
≈ 77
与二级火箭相比，在达到相同效果的情况下，三级火箭系统
几乎节省了一半，但如果让级数再继续增加，发射一吨重的卫
星，火箭系统的重量是否还会大幅度减少呢？
记n级火箭的总质量（包涵有效负载 mp）为m0 ，在同样假
设下：
u = 3km / s,V末 = 10.5，λ = 0.1
可算得相应的 m0 的值，见下表（单位：吨） mp
n（级数） 1 2 3 4 5 …… ∞（理想）
火箭质量（吨） X 149 77 65 60……
50
模型讨论
四、定论
由上可知，用三级火箭代替二级火箭很值得，但用
四级火箭代替三级火箭时重量减轻不多，而实际上由 于工艺的复杂性及每级火箭都需要配备一个推进器， 所以四级或四级以上火箭不合算，故三级火箭的设计 是最优的。
⎟⎟⎠⎞
由于目前技术条件下，很难做到 ms
ms ≥ 1
≤
1 8
（10）
mF ，即
mF + ms 9
假设 ms = λ(mF + ms ) = λ(m0 − mF ) ，代入式（10）
得：
v (t )
=
u
⋅ ln
⎡
⎢ ⎢⎣
λ
m
0
+
m0 (1 −
λ )m p
⎤ ⎥ ⎥⎦
（11）
根据现有技术条件和燃料性能， u只能达到3km / s ，
（15）
又据假设（2），m2 = kmp , m1 = k(m2 + mp ) ，代入式
（15），并仍取u = 3km / s ，近似取λ = 0.1，可得：
V2
=
6 ln
k +1 0.1k +1
（16）
欲使 V2 = 10.5km / s ，由式（15），k ≈ 11.2 ，从而
m1 + m2 + mp ≈ 149 。同理，可推算出三级火箭： mp
其速ຫໍສະໝຸດ Baidu为：
V1
=
u
⋅ ln
m1 + m2 + mp
λmi + m2 + mp
在第二级火箭燃烧完时，其速度为：
V2
=
V1
+
u
⋅
ln
m2 + mp
λm2 + mp
将 V1 代入上式，得：
V2
= V1
+
u
⋅ ln( m1 + m p + m2
λm1 + m2 + m p
⋅
m2 + mp
λm2 + mp
)
（7）
从式（6），（7）可得：
m dv = −u dm
dt
dt
（8）
由此解得：v (t )
=
v0
+
u
⋅ ln
⎜⎜⎝⎛
m0 m (t)
⎟⎟⎠⎞
此处： v0 = v(0), m0 = m(0)
（9）
式（8）表明火箭所受推力等于燃料消耗速度与气体相对于火
箭喷运发动速速度度（的相乘对积于。火式箭（）u9及）质表量明比,在mv00和mm(t)0一决定定下这，为提v (高t )，由 u 火箭速度找到了正确的途径：提高 （从燃料上想法），减
（6）
这个质量的减少，是由于燃料燃烧喷出气体所致。设喷出气
u 体相对于火箭的速度为 （就某种燃料而言为常数），则气
体相对于地球运动速度为 v(t) − u。据动量守衡定律：
m(t)v(t) = m(t + ∆t)v(t + ∆t) − ( dm ∆t + o(∆t 2 ))(v(t) − u) dt
2.理想火箭模型
3.理想过程的实际逼近 ——多级火箭卫星系统。
模型假设
二、模型假设 1.卫星轨道为过地球中心某一平面的圆，卫 星在此轨道上以地球引力做为向心力绕地球 做平面圆周运动，如图所示
R
O
r
C′
2.地球是固定于空间中的均匀球体，其它星球对
卫星引力忽略不记。地球半径为R ,中心为O ，地
球质量看成集中于球心（据地球为均匀球体的假
并抛掉无用的第i级。用 表示m第i i级火箭质量（燃料与结构
总和）， 表示m有p效负载。
做假设：
（1）设各级火箭具有相同的λ, λmi表示第i级结构质量，
(1 − λ)mi 为燃料质量。
u （2）喷气相对速度 各级相同，燃料级的初始质量与负
载质量保持不变，记比值为k 。
先考虑二级火箭，由式（9），当第一级火箭燃烧完时，
v = (1− λ)u ⋅ ln m0
（14）
mp
式（14）表明：当m0 足够大，便可使卫星达到我们所希望它
具有的任意速度。如考虑空气阻力，要使 v =10.5km/ s 才行。
理想火箭是设想把无用结构连续抛掉，显然实际上办不到，
现在建造多级火箭系统办法，来近似实现理想过程。记火箭 级数为n。当i级火箭燃料烧尽时，第i+1级火箭立即自动点火，
dt
化简整理，令∆t → 0 ，可得：
m dv = − (1 − λ )u dm
dt
dt
解得：v (t ) = (1 − λ )u ⋅ ln m 0
m (t)
（12） （13）
理想火箭与一级火箭最大的区别在于（比较式（11）与
式（13））：当燃料烧完，结构质量也逐渐抛掉，仅剩m下p
（卫星），即 m(t) = mp，从而最终速度为：