多级火箭建模

又由假设（ii），m2=kmP，m1=k(m2+mP)，代入上式， 仍设u=3公里/秒，且为了计算方便，近似取λ=0.1，则可 得： m m
1 1 2 1 2 m m m k 1 k 1 P P 2 3ln 2 3ln 6ln 0.1m1 0.1m2 0.1k 1 0.1k 1 1 1 是否三级火箭就是最省 mP m2呢？最简单的方法就是 mP 10.5 k 1 对四级、五级等火箭进 e 6 5.75 要使υ2=10.5公里 /秒，则应使: 0.1k 1 行讨论。 即k≈11.2，而: m1 m2 mP 149 mP
m m
2、理想火箭模型 假设： 记结构质量mS在mS + mF中占的比例为λ，假设火 箭能随时抛弃无用的结构，结构质量与燃料质量以λ与 （1-λ）的比例同时减少。
建模:
m (t ) (t ) m(t t ) (t t ) 由
只要 m0足够大，我们可以 dv dm 得到： m u (1 ) 使卫星达到我们希望它具 考虑到空气阻力和重力等因素，估 dt dt 有的任意速度。 计（按比例的粗略估计）发射卫星 解得： 要使υ=10.5公里/秒才行，则可推 m (t ) u(1 ) ln 0 算出m0/ mp约为51,即发射一吨重的 m(t ) 卫星大约需要50吨重的理想火箭 理想火箭与一级火箭最大的区别在于，当火箭燃料
dt
v
200 7.80 记火箭喷出的气体相对于火箭的速度为 u（常数），
dm 2 m(t ) (t ) m(t t ) (t t ) t O ( t u) 600 ) ( (t ) 7.58 dt m-dm d dm m0 7.47 800 故： m u 由此解得： (t ) 0 u ln ( 1) dm dt dt m(t ) 7.37 1000 υ0和m0一定的情况下， 火箭速度υ(t)由喷发 u-v 速度u及质量比决定。
4、火箭结构的优化设计 3中已经能说过假设(ii)有点强加的味道；现去掉该 假设，在各级火箭具有相同λ的粗糙假设下，来讨论火箭 结构的最优设计。 火箭结构优化设计讨论 记 …+ W W W1=m + m + m 解条件极值问题： n 1 1 n P 中我们得到与假设（ ii） W W =m … mn2 + kn n 1 + min km 相符的结果，这说明前 1kP 2 2+ 则 W2 n u ln W1 Wn …… 面的讨论都是有效的！ k 1 1 2 k 1k n1 1 s . t . C W2 Wn 1 m Wn= mn+ P [ k (1 )][ k (1 )] 1 k k n n Wn+1= m u ln P [ k1 (1 )][ kn (1 )] 或等价地求解无约束极值问题： 应用（3.11）可求得末速度： k1k2 kn W W W W min k k k a C Wn W2 又 1 W1 n k 1 2 11 2 k k
分析： 约为6400公里 根据牛顿第三定律，地球对卫星的引力为: F km 2 得: k=gR2 在地面有: km mg R2 2 R 故引力: F mg r
r
假设(ii)
卫星所受到的引力也就是它作匀速圆周运动的向心力 2 m 故又有: F 从而: R g
Wn1 W2 W3
记 Wn W1 可以解出最优结构设计应满足： k , , kn k1 kk k最小 1 2 n 问题化为，在 υ 一定的条件下，求使 k … k W W n 1 2 n
2 n 1
12u ln (1 )] n[ k1 (1 )][ kn Wn1 n m W m W m W 2 2 3 n n 1 1
2 u ln
当第二级火箭燃尽时，末速度为：
2 2 u ln
m1 m2 mP m1 m2 mP
m m2 mP m2 mP m mP u ln 1 2 m2 mP m m m m m 1 2 P 2 P
类似地，可以推算出三级火箭：
3 u ln
m1 m2 m3 mP m m3 mP m mP 2 3 m m m m m m m m m 2 3 P 2 3 P 3 P 1
3
在同样假设下:
k 1 k 1 3 3ln 9ln 0.1k 1 0.1k 1
的调整，以保证区域内飞机互不相撞； （5）忽略调整方向角引起的误差，忽略飞机速度变化所 引起的误差，即认为飞机做匀速飞行。
3 符号的约定
D 代表本问题中某一高层中的正方形区域 Pi 代表第i架飞机，
t 时间 ( xi , yi ) 第i架飞机的位臵 ( xi0 , yi0 )第i架飞机的初始时刻（即新飞机到达区域边缘的时刻） 的位臵 i 第i架飞机的飞行方向角 P i0 初始时刻第i架飞机的飞行方向角 i 第i架飞机的偏转角 Ti 从初始时刻起，第i架飞机沿某一固定方向角在区域内的 飞行时间 Tij 从初始时刻起，第i架飞机与第j架飞机分别沿某一固定方 向角在区域内的共同飞行时间
§1 为什么要用三级火箭来发射人造卫星
构造数学模型，以说明为什么不能用一级火箭而必须用多 级火箭来发射人造卫星？为什么一般都采用三级火箭系统？
1、为什么不能用一级火箭发射人造卫星?
（1）卫星能在轨道上运动的最低速度 假设： （i） 卫星轨道为过地球中心的某一平面上的圆，卫星
在此轨道上作匀速圆周运动。 （ii）地球是固定于空间中的均匀球体，其它星球对卫 R为地球半径， 星的引力忽略不计。
dm dm (t )t (1 ) ( (t ) u )t O(t 2 ) dt dt
耗尽时，结构质量也逐渐抛尽，它的最终质量为mP，
所以最终速度为： u (1 ) ln m0
mP
3、理想过程的实际逼近——多级火箭卫星系统
记火箭级数为n，当第i级火箭的燃料烧尽时，第i+1级火 箭立即自动点火，并抛弃已经无用的第i级火箭。用mi表示第 i级火箭的质量，mP表示有效负载。 先作如下假设： （i）设各级火箭具有相同的λ ,即i级火箭中λmi为结构 质量，（1-λ）mi为燃料质量。 （ii）设燃烧级初始质量与其负载质量之比保持不变， 并记比值为k。 该假设有点强加 的味道，先权作 考虑二级火箭： 讨论的方便吧 由1式，当第一级火箭燃烧完时，其末速度为：
试根据实际应用背景对你的模型进行评价与推广。
1 问题的实际背景 空中交通管制问题中抽象出来的。空中交通管制是保 证飞机飞行安全以及提高飞行效率的重要手段。设想在 一繁忙的航空港附近或主要航线的交叉地带，经常有不 同航向、不同高度层的飞机在飞行，如何调度它们，使 它们在飞行过程中互不相碰，就构成了交通管制系统要 解决的主要问题。 目前航空界采取的一种方案是，把空间区域按高度 分层（例如以600米间隔为一层），然后设定一水平坐 标系，规定飞行方向角在0度到180度之间的飞机在偶 数层飞行，方向角在180度至360度之间的飞机在奇数 层飞行。这样使得在同一层内飞机的航向基本一致，而 航向相反的飞机在不同层次飞行。如果在同一层内飞行 的飞机仍有航线冲突，则令其中一架上升（或下降）， 以避免碰撞。
§2 空中防撞系统的模型设计
在约10,000米高空的某边长160公里的正方形区域内，经常有若干架 飞机作水平飞行。区域内每架飞机的位臵和速度向量均由计算机记录其 数据，以便进行飞行管理。当一架欲进入该区域的飞机到达区域边缘时， 记录其数据后，要立即计算并判断是否会与区域内的飞机发生碰撞。如 果会碰撞，则应计算如何调整各架（包括新进入的）飞机飞行的方向角。 以避免碰撞。现假定条件如下： （1）不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于8公里 （2）飞机飞行方向角调整的幅度不应超过30度 （3）所有飞机飞行速度均为每小时800公里 （4）进入该区域的飞机在到达区域边缘时，与区域内飞机的距离应在 60 公里以上 （5）最多需考虑6架飞机 （6）不必考虑飞机离开此区域后的状况。 请你对这个避免碰撞的飞行管理问题建立数学模型。列出计算步骤，对 以下数据进行计算（方向角误差不超过0.01度）。要求飞机飞行方向角 调整的幅度尽量小。
n（级数） 1 2 3 4 5 … … ∞（理想） 50 / 149 77 65 60 火箭质量（吨） 当然若燃料的价钱很便宜
而推进器的价钱很贵切且 制作工艺非常复杂的话， 由于工艺的复杂性及每节火箭 也可选择二级火箭。 都需配备一个推进器，所以使
用四级或四级以上火箭是不合 算的，三级火箭提供了一个最 好的方案。
rቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
r
假设(i)
（2）火箭推进力及速度的分析 设g=9.81米/秒2，得: 假设：火箭重力及空气阻力均不计
卫星离地面高度 (公里) 卫星速度 (公里/秒) 7.86
分析：记火箭在时刻t的质量和速度分别为m(t)和υ(t) 100 dm 2 t O(t ) 有： m(t t ) m(t )
由动量守恒定理：
400
7.69
（2）火箭推进力及速度的分析 现将火箭——卫星系统的质量分成三部分： （i）mP（有效负载，如卫星） （ii）mF（燃料质量） （iii）mS（结构质量——如外壳、燃料容器及推进器）。 最终质量为mP + mS ，初始速度为0， mO 所以末速度： u ln
P S 火箭推进力在加速整个火箭时，其 实际效益越来越低。如果将结构质 根据目前的技术条件和燃料性 量在燃料燃烧过程中不断减少，那 能，u只能达到3公里/秒，即使 么末速度能达到要求吗？ 发射空壳火箭，其末速度也不 超过6.6公里/秒。 目前根本不 可能用一级火箭发射人造卫星