多级火箭建模
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Hale Waihona Puke Baidu
分析： 约为6400公里 根据牛顿第三定律，地球对卫星的引力为: F km 2 得: k=gR2 在地面有: km mg R2 2 R 故引力: F mg r
r
假设(ii)
卫星所受到的引力也就是它作匀速圆周运动的向心力 2 m 故又有: F 从而: R g
§1 为什么要用三级火箭来发射人造卫星
构造数学模型，以说明为什么不能用一级火箭而必须用多 级火箭来发射人造卫星？为什么一般都采用三级火箭系统？
1、为什么不能用一级火箭发射人造卫星?
（1）卫星能在轨道上运动的最低速度 假设： （i） 卫星轨道为过地球中心的某一平面上的圆，卫星
在此轨道上作匀速圆周运动。 （ii）地球是固定于空间中的均匀球体，其它星球对卫 R为地球半径， 星的引力忽略不计。
m m
2、理想火箭模型 假设： 记结构质量mS在mS + mF中占的比例为λ，假设火 箭能随时抛弃无用的结构，结构质量与燃料质量以λ与 （1-λ）的比例同时减少。
建模:
m (t ) (t ) m(t t ) (t t ) 由
只要 m0足够大，我们可以 dv dm 得到： m u (1 ) 使卫星达到我们希望它具 考虑到空气阻力和重力等因素，估 dt dt 有的任意速度。 计（按比例的粗略估计）发射卫星 解得： 要使υ=10.5公里/秒才行，则可推 m (t ) u(1 ) ln 0 算出m0/ mp约为51,即发射一吨重的 m(t ) 卫星大约需要50吨重的理想火箭 理想火箭与一级火箭最大的区别在于，当火箭燃料
由动量守恒定理：
400
7.69
（2）火箭推进力及速度的分析 现将火箭——卫星系统的质量分成三部分： （i）mP（有效负载，如卫星） （ii）mF（燃料质量） （iii）mS（结构质量——如外壳、燃料容器及推进器）。 最终质量为mP + mS ，初始速度为0， mO 所以末速度： u ln
P S 火箭推进力在加速整个火箭时，其 实际效益越来越低。如果将结构质 根据目前的技术条件和燃料性 量在燃料燃烧过程中不断减少，那 能，u只能达到3公里/秒，即使 么末速度能达到要求吗？ 发射空壳火箭，其末速度也不 超过6.6公里/秒。 目前根本不 可能用一级火箭发射人造卫星
三级火箭比二级火箭 几乎节省了一半
要使υ3=10.5公里/秒，则(k+1)/(0.1k+1)≈3.21，k≈3.25，而 （m1+ m2+ m3+ mP）/ mP≈77。
考虑N级火箭： 记n级火箭的总质量（包含有效负载mP）为m0 ，在 相同的假设下可以计算出相应的m0/ mP的值，见表3-2
表 3-2
4、火箭结构的优化设计 3中已经能说过假设(ii)有点强加的味道；现去掉该 假设，在各级火箭具有相同λ的粗糙假设下，来讨论火箭 结构的最优设计。 火箭结构优化设计讨论 记 …+ W W W1=m + m + m 解条件极值问题： n 1 1 n P 中我们得到与假设（ ii） W W =m … mn2 + kn n 1 + min km 相符的结果，这说明前 1kP 2 2+ 则 W2 n u ln W1 Wn …… 面的讨论都是有效的！ k 1 1 2 k 1k n1 1 s . t . C W2 Wn 1 m Wn= mn+ P [ k (1 )][ k (1 )] 1 k k n n Wn+1= m u ln P [ k1 (1 )][ kn (1 )] 或等价地求解无约束极值问题： 应用（3.11）可求得末速度： k1k2 kn W W W W min k k k a C Wn W2 又 1 W1 n k 1 2 11 2 k k
2 u ln
当第二级火箭燃尽时，末速度为：
2 2 u ln
m1 m2 mP m1 m2 mP
m m2 mP m2 mP m mP u ln 1 2 m2 mP m m m m m 1 2 P 2 P
的调整，以保证区域内飞机互不相撞； （5）忽略调整方向角引起的误差，忽略飞机速度变化所 引起的误差，即认为飞机做匀速飞行。
3 符号的约定
D 代表本问题中某一高层中的正方形区域 Pi 代表第i架飞机，
t 时间 ( xi , yi ) 第i架飞机的位臵 ( xi0 , yi0 )第i架飞机的初始时刻（即新飞机到达区域边缘的时刻） 的位臵 i 第i架飞机的飞行方向角 P i0 初始时刻第i架飞机的飞行方向角 i 第i架飞机的偏转角 Ti 从初始时刻起，第i架飞机沿某一固定方向角在区域内的 飞行时间 Tij 从初始时刻起，第i架飞机与第j架飞机分别沿某一固定方 向角在区域内的共同飞行时间
n（级数） 1 2 3 4 5 … … ∞（理想） 50 / 149 77 65 60 火箭质量（吨） 当然若燃料的价钱很便宜
而推进器的价钱很贵切且 制作工艺非常复杂的话， 由于工艺的复杂性及每节火箭 也可选择二级火箭。 都需配备一个推进器，所以使
用四级或四级以上火箭是不合 算的，三级火箭提供了一个最 好的方案。
dt
v
200 7.80 记火箭喷出的气体相对于火箭的速度为 u（常数），
dm 2 m(t ) (t ) m(t t ) (t t ) t O ( t u) 600 ) ( (t ) 7.58 dt m-dm d dm m0 7.47 800 故： m u 由此解得： (t ) 0 u ln ( 1) dm dt dt m(t ) 7.37 1000 υ0和m0一定的情况下， 火箭速度υ(t)由喷发 u-v 速度u及质量比决定。
Wn1 W2 W3
记 Wn W1 可以解出最优结构设计应满足： k , , kn k1 kk k最小 1 2 n 问题化为，在 υ 一定的条件下，求使 k … k W W n 1 2 n
2 n 1
12u ln (1 )] n[ k1 (1 )][ kn Wn1 n m W m W m W 2 2 3 n n 1 1
设该区域4个顶点的座标为（0,0）,(160,0),(160,160),(0,160)。 记录数据为：
飞机编号 横座标X 纵座标Y 方向角（度） 1 150 140 243 2 85 85 236 3 150 155 220.5 4 145 50 159 5 130 150 230 新进入 0 0 52 注：方向角指飞行方向与X轴正向的夹角。
类似地，可以推算出三级火箭：
3 u ln
m1 m2 m3 mP m m3 mP m mP 2 3 m m m m m m m m m 2 3 P 2 3 P 3 P 1
3
在同样假设下:
k 1 k 1 3 3ln 9ln 0.1k 1 0.1k 1
dm dm (t )t (1 ) ( (t ) u )t O(t 2 ) dt dt
耗尽时，结构质量也逐渐抛尽，它的最终质量为mP，
所以最终速度为： u (1 ) ln m0
mP
3、理想过程的实际逼近——多级火箭卫星系统
记火箭级数为n，当第i级火箭的燃料烧尽时，第i+1级火 箭立即自动点火，并抛弃已经无用的第i级火箭。用mi表示第 i级火箭的质量，mP表示有效负载。 先作如下假设： （i）设各级火箭具有相同的λ ,即i级火箭中λmi为结构 质量，（1-λ）mi为燃料质量。 （ii）设燃烧级初始质量与其负载质量之比保持不变， 并记比值为k。 该假设有点强加 的味道，先权作 考虑二级火箭： 讨论的方便吧 由1式，当第一级火箭燃烧完时，其末速度为：
§2 空中防撞系统的模型设计
在约10,000米高空的某边长160公里的正方形区域内，经常有若干架 飞机作水平飞行。区域内每架飞机的位臵和速度向量均由计算机记录其 数据，以便进行飞行管理。当一架欲进入该区域的飞机到达区域边缘时， 记录其数据后，要立即计算并判断是否会与区域内的飞机发生碰撞。如 果会碰撞，则应计算如何调整各架（包括新进入的）飞机飞行的方向角。 以避免碰撞。现假定条件如下： （1）不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于8公里 （2）飞机飞行方向角调整的幅度不应超过30度 （3）所有飞机飞行速度均为每小时800公里 （4）进入该区域的飞机在到达区域边缘时，与区域内飞机的距离应在 60 公里以上 （5）最多需考虑6架飞机 （6）不必考虑飞机离开此区域后的状况。 请你对这个避免碰撞的飞行管理问题建立数学模型。列出计算步骤，对 以下数据进行计算（方向角误差不超过0.01度）。要求飞机飞行方向角 调整的幅度尽量小。
r
r
假设(i)
（2）火箭推进力及速度的分析 设g=9.81米/秒2，得: 假设：火箭重力及空气阻力均不计
卫星离地面高度 (公里) 卫星速度 (公里/秒) 7.86
分析：记火箭在时刻t的质量和速度分别为m(t)和υ(t) 100 dm 2 t O(t ) 有： m(t t ) m(t )
又由假设（ii），m2=kmP，m1=k(m2+mP)，代入上式， 仍设u=3公里/秒，且为了计算方便，近似取λ=0.1，则可 得： m m
1 1 2 1 2 m m m k 1 k 1 P P 2 3ln 2 3ln 6ln 0.1m1 0.1m2 0.1k 1 0.1k 1 1 1 是否三级火箭就是最省 mP m2呢？最简单的方法就是 mP 10.5 k 1 对四级、五级等火箭进 e 6 5.75 要使υ2=10.5公里 /秒，则应使: 0.1k 1 行讨论。 即k≈11.2，而: m1 m2 mP 149 mP
2 合理的假设 （1）每架飞机可视为区域内的一个几何点。因为飞机的 长度与区域的大小相比可以忽略不计； （2）忽略飞机调整方向的反应时间，即认为从控制中心 发出指令到飞机调整完毕是瞬时的； （3）暂不考虑飞机的转弯半径及由拐弯导致的时间的延 迟，即认为飞机在区域内做直线或折线飞行；
（4）区域内的飞机已满足互不相撞的条件，即认为从第 一架飞机开始，每当有一架新飞机进入到该区域，则作及时
试根据实际应用背景对你的模型进行评价与推广。
1 问题的实际背景 空中交通管制问题中抽象出来的。空中交通管制是保 证飞机飞行安全以及提高飞行效率的重要手段。设想在 一繁忙的航空港附近或主要航线的交叉地带，经常有不 同航向、不同高度层的飞机在飞行，如何调度它们，使 它们在飞行过程中互不相碰，就构成了交通管制系统要 解决的主要问题。 目前航空界采取的一种方案是，把空间区域按高度 分层（例如以600米间隔为一层），然后设定一水平坐 标系，规定飞行方向角在0度到180度之间的飞机在偶 数层飞行，方向角在180度至360度之间的飞机在奇数 层飞行。这样使得在同一层内飞机的航向基本一致，而 航向相反的飞机在不同层次飞行。如果在同一层内飞行 的飞机仍有航线冲突，则令其中一架上升（或下降）， 以避免碰撞。
分析： 约为6400公里 根据牛顿第三定律，地球对卫星的引力为: F km 2 得: k=gR2 在地面有: km mg R2 2 R 故引力: F mg r
r
假设(ii)
卫星所受到的引力也就是它作匀速圆周运动的向心力 2 m 故又有: F 从而: R g
§1 为什么要用三级火箭来发射人造卫星
构造数学模型，以说明为什么不能用一级火箭而必须用多 级火箭来发射人造卫星？为什么一般都采用三级火箭系统？
1、为什么不能用一级火箭发射人造卫星?
（1）卫星能在轨道上运动的最低速度 假设： （i） 卫星轨道为过地球中心的某一平面上的圆，卫星
在此轨道上作匀速圆周运动。 （ii）地球是固定于空间中的均匀球体，其它星球对卫 R为地球半径， 星的引力忽略不计。
m m
2、理想火箭模型 假设： 记结构质量mS在mS + mF中占的比例为λ，假设火 箭能随时抛弃无用的结构，结构质量与燃料质量以λ与 （1-λ）的比例同时减少。
建模:
m (t ) (t ) m(t t ) (t t ) 由
只要 m0足够大，我们可以 dv dm 得到： m u (1 ) 使卫星达到我们希望它具 考虑到空气阻力和重力等因素，估 dt dt 有的任意速度。 计（按比例的粗略估计）发射卫星 解得： 要使υ=10.5公里/秒才行，则可推 m (t ) u(1 ) ln 0 算出m0/ mp约为51,即发射一吨重的 m(t ) 卫星大约需要50吨重的理想火箭 理想火箭与一级火箭最大的区别在于，当火箭燃料
由动量守恒定理：
400
7.69
（2）火箭推进力及速度的分析 现将火箭——卫星系统的质量分成三部分： （i）mP（有效负载，如卫星） （ii）mF（燃料质量） （iii）mS（结构质量——如外壳、燃料容器及推进器）。 最终质量为mP + mS ，初始速度为0， mO 所以末速度： u ln
P S 火箭推进力在加速整个火箭时，其 实际效益越来越低。如果将结构质 根据目前的技术条件和燃料性 量在燃料燃烧过程中不断减少，那 能，u只能达到3公里/秒，即使 么末速度能达到要求吗？ 发射空壳火箭，其末速度也不 超过6.6公里/秒。 目前根本不 可能用一级火箭发射人造卫星
三级火箭比二级火箭 几乎节省了一半
要使υ3=10.5公里/秒，则(k+1)/(0.1k+1)≈3.21，k≈3.25，而 （m1+ m2+ m3+ mP）/ mP≈77。
考虑N级火箭： 记n级火箭的总质量（包含有效负载mP）为m0 ，在 相同的假设下可以计算出相应的m0/ mP的值，见表3-2
表 3-2
4、火箭结构的优化设计 3中已经能说过假设(ii)有点强加的味道；现去掉该 假设，在各级火箭具有相同λ的粗糙假设下，来讨论火箭 结构的最优设计。 火箭结构优化设计讨论 记 …+ W W W1=m + m + m 解条件极值问题： n 1 1 n P 中我们得到与假设（ ii） W W =m … mn2 + kn n 1 + min km 相符的结果，这说明前 1kP 2 2+ 则 W2 n u ln W1 Wn …… 面的讨论都是有效的！ k 1 1 2 k 1k n1 1 s . t . C W2 Wn 1 m Wn= mn+ P [ k (1 )][ k (1 )] 1 k k n n Wn+1= m u ln P [ k1 (1 )][ kn (1 )] 或等价地求解无约束极值问题： 应用（3.11）可求得末速度： k1k2 kn W W W W min k k k a C Wn W2 又 1 W1 n k 1 2 11 2 k k
2 u ln
当第二级火箭燃尽时，末速度为：
2 2 u ln
m1 m2 mP m1 m2 mP
m m2 mP m2 mP m mP u ln 1 2 m2 mP m m m m m 1 2 P 2 P
的调整，以保证区域内飞机互不相撞； （5）忽略调整方向角引起的误差，忽略飞机速度变化所 引起的误差，即认为飞机做匀速飞行。
3 符号的约定
D 代表本问题中某一高层中的正方形区域 Pi 代表第i架飞机，
t 时间 ( xi , yi ) 第i架飞机的位臵 ( xi0 , yi0 )第i架飞机的初始时刻（即新飞机到达区域边缘的时刻） 的位臵 i 第i架飞机的飞行方向角 P i0 初始时刻第i架飞机的飞行方向角 i 第i架飞机的偏转角 Ti 从初始时刻起，第i架飞机沿某一固定方向角在区域内的 飞行时间 Tij 从初始时刻起，第i架飞机与第j架飞机分别沿某一固定方 向角在区域内的共同飞行时间
n（级数） 1 2 3 4 5 … … ∞（理想） 50 / 149 77 65 60 火箭质量（吨） 当然若燃料的价钱很便宜
而推进器的价钱很贵切且 制作工艺非常复杂的话， 由于工艺的复杂性及每节火箭 也可选择二级火箭。 都需配备一个推进器，所以使
用四级或四级以上火箭是不合 算的，三级火箭提供了一个最 好的方案。
dt
v
200 7.80 记火箭喷出的气体相对于火箭的速度为 u（常数），
dm 2 m(t ) (t ) m(t t ) (t t ) t O ( t u) 600 ) ( (t ) 7.58 dt m-dm d dm m0 7.47 800 故： m u 由此解得： (t ) 0 u ln ( 1) dm dt dt m(t ) 7.37 1000 υ0和m0一定的情况下， 火箭速度υ(t)由喷发 u-v 速度u及质量比决定。
Wn1 W2 W3
记 Wn W1 可以解出最优结构设计应满足： k , , kn k1 kk k最小 1 2 n 问题化为，在 υ 一定的条件下，求使 k … k W W n 1 2 n
2 n 1
12u ln (1 )] n[ k1 (1 )][ kn Wn1 n m W m W m W 2 2 3 n n 1 1
设该区域4个顶点的座标为（0,0）,(160,0),(160,160),(0,160)。 记录数据为：
飞机编号 横座标X 纵座标Y 方向角（度） 1 150 140 243 2 85 85 236 3 150 155 220.5 4 145 50 159 5 130 150 230 新进入 0 0 52 注：方向角指飞行方向与X轴正向的夹角。
类似地，可以推算出三级火箭：
3 u ln
m1 m2 m3 mP m m3 mP m mP 2 3 m m m m m m m m m 2 3 P 2 3 P 3 P 1
3
在同样假设下:
k 1 k 1 3 3ln 9ln 0.1k 1 0.1k 1
dm dm (t )t (1 ) ( (t ) u )t O(t 2 ) dt dt
耗尽时，结构质量也逐渐抛尽，它的最终质量为mP，
所以最终速度为： u (1 ) ln m0
mP
3、理想过程的实际逼近——多级火箭卫星系统
记火箭级数为n，当第i级火箭的燃料烧尽时，第i+1级火 箭立即自动点火，并抛弃已经无用的第i级火箭。用mi表示第 i级火箭的质量，mP表示有效负载。 先作如下假设： （i）设各级火箭具有相同的λ ,即i级火箭中λmi为结构 质量，（1-λ）mi为燃料质量。 （ii）设燃烧级初始质量与其负载质量之比保持不变， 并记比值为k。 该假设有点强加 的味道，先权作 考虑二级火箭： 讨论的方便吧 由1式，当第一级火箭燃烧完时，其末速度为：
§2 空中防撞系统的模型设计
在约10,000米高空的某边长160公里的正方形区域内，经常有若干架 飞机作水平飞行。区域内每架飞机的位臵和速度向量均由计算机记录其 数据，以便进行飞行管理。当一架欲进入该区域的飞机到达区域边缘时， 记录其数据后，要立即计算并判断是否会与区域内的飞机发生碰撞。如 果会碰撞，则应计算如何调整各架（包括新进入的）飞机飞行的方向角。 以避免碰撞。现假定条件如下： （1）不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于8公里 （2）飞机飞行方向角调整的幅度不应超过30度 （3）所有飞机飞行速度均为每小时800公里 （4）进入该区域的飞机在到达区域边缘时，与区域内飞机的距离应在 60 公里以上 （5）最多需考虑6架飞机 （6）不必考虑飞机离开此区域后的状况。 请你对这个避免碰撞的飞行管理问题建立数学模型。列出计算步骤，对 以下数据进行计算（方向角误差不超过0.01度）。要求飞机飞行方向角 调整的幅度尽量小。
r
r
假设(i)
（2）火箭推进力及速度的分析 设g=9.81米/秒2，得: 假设：火箭重力及空气阻力均不计
卫星离地面高度 (公里) 卫星速度 (公里/秒) 7.86
分析：记火箭在时刻t的质量和速度分别为m(t)和υ(t) 100 dm 2 t O(t ) 有： m(t t ) m(t )
又由假设（ii），m2=kmP，m1=k(m2+mP)，代入上式， 仍设u=3公里/秒，且为了计算方便，近似取λ=0.1，则可 得： m m
1 1 2 1 2 m m m k 1 k 1 P P 2 3ln 2 3ln 6ln 0.1m1 0.1m2 0.1k 1 0.1k 1 1 1 是否三级火箭就是最省 mP m2呢？最简单的方法就是 mP 10.5 k 1 对四级、五级等火箭进 e 6 5.75 要使υ2=10.5公里 /秒，则应使: 0.1k 1 行讨论。 即k≈11.2，而: m1 m2 mP 149 mP
2 合理的假设 （1）每架飞机可视为区域内的一个几何点。因为飞机的 长度与区域的大小相比可以忽略不计； （2）忽略飞机调整方向的反应时间，即认为从控制中心 发出指令到飞机调整完毕是瞬时的； （3）暂不考虑飞机的转弯半径及由拐弯导致的时间的延 迟，即认为飞机在区域内做直线或折线飞行；
（4）区域内的飞机已满足互不相撞的条件，即认为从第 一架飞机开始，每当有一架新飞机进入到该区域，则作及时
试根据实际应用背景对你的模型进行评价与推广。
1 问题的实际背景 空中交通管制问题中抽象出来的。空中交通管制是保 证飞机飞行安全以及提高飞行效率的重要手段。设想在 一繁忙的航空港附近或主要航线的交叉地带，经常有不 同航向、不同高度层的飞机在飞行，如何调度它们，使 它们在飞行过程中互不相碰，就构成了交通管制系统要 解决的主要问题。 目前航空界采取的一种方案是，把空间区域按高度 分层（例如以600米间隔为一层），然后设定一水平坐 标系，规定飞行方向角在0度到180度之间的飞机在偶 数层飞行，方向角在180度至360度之间的飞机在奇数 层飞行。这样使得在同一层内飞机的航向基本一致，而 航向相反的飞机在不同层次飞行。如果在同一层内飞行 的飞机仍有航线冲突，则令其中一架上升（或下降）， 以避免碰撞。