3.3为什么要用三级火箭来发射人造卫星 数学建模
发射卫星为什么用三级火箭发射卫星为什么用三级火箭.
从火箭的动力系统及整体结构分析， 讨论了理想火箭模型，回答了发射卫星为 什么不用一级而必须用多级火箭的问题。
主要内容
问题的提出 模型假设 模型建立 模型讨论
进一步思考的问题
问题的提出
一、问题
发射卫星为什么不用一级而必须用多 级火箭？为什么一般采用三级火箭系统？
火箭是一个复杂的系统，为了使问题简单明了，这 里只从动力系统及整体结构上分析，并假定引擎是足够 强大的。 1.为什么不能用一级火箭发射人造卫星。 （1）卫星进入轨道，火箭所需最低速度。 （2）火箭推进力及速度的分析。 （3）一级火箭末速度上限（目前技术条件下）。
设），曲线C为地球表面，C为′ 卫星轨道，其半径
为 r，卫星质量为m ，根据牛顿定律，地球对卫星
的引力为：
F =G× m r2
（1）
其中 G为引力常数，可根据卫星在地面的重量算出，即：
Gm = mg,G = gR 2
R2
代入式（1）得： F
=
mg
× ⎜⎛
R
⎟⎞2
⎝r⎠
（2） （3）
由假设（1），卫星所受到的引力即它作匀速圆周运动的向心
v = (1− λ)u ⋅ ln m0
（14）
mp
式（14）表明：当m0 足够大，便可使卫星达到我们所希望它
具有的任意速度。如考虑空气阻力，要使 v =10.5km/ s 才行。
理想火箭是设想把无用结构连续抛掉，显然实际上办不到，
现在建造多级火箭系统办法，来近似实现理想过程。记火箭 级数为n。当i级火箭燃料烧尽时，第i+1级火箭立即自动点火，
（15）
又据假设（2），m2 = kmp , m1 = k(m2 + mp ) ，代入式
三级火箭发射人造卫星的道理及研究
摘要
目录
一、 问题重述
问题要求对三级火箭发射卫星的原理进行分析. 主要有如下五个问题 : 1.在卫星做匀速圆周运动的理想模型下求火箭的末速度.
2.火箭初速度为零，初质量为 ,火箭喷出的气体相对火箭的速度为 , 忽略重力和阻
力的影响,当火箭在飞行过程中速度 和质量
都随时间变化时证
5.实际上的是建造多级火箭一段段地丢弃无用的结构部分. 第 级火箭质量（燃料和结
构）为 , 为结构质量（ 对各级是一样的）. 为有效载荷.第 级燃料用完时丢
弃第 级结构，同时第
级点火. 另外,若燃烧级的初始质量与其负载质量之比为
（ 恒定）.证明 3 级火箭末速度为:
. 并分析
时需要多重的火箭（ 用之前的数据）, 比较用 2 级或 4 级火箭时的结果 ,由此得出 用 3 级火箭发射卫星的原因.
燃料用完时火箭达到的最大速度 第 级火箭的质量（燃料和结构）
第 级火箭结构的质量 燃烧级初始质量与其负载质量之
比（ 保持不变） 第 级火箭的末速度
五、 模型的建立与求解
第一部分：准备工作 第二部分：问题 1 的 模型 第三部分：问题 2 的 模型 第四部分：问题 3 的 模型 第五部分：问题 4 的 模型 第六部分：问题 5 的 模型
明:
.并分析要提高末速度应采取的措施.
3.一般情况下火箭质量有三部分:有效载荷（卫星） ; 燃料 ; 结构（外壳、燃料仓
等） , 并记
,（
）.当
时，证明燃料用完时最大速度为
. 并分析
时的 .
4. 假 设 火 箭 的 结 构 质 量 与 燃 料 质 量 以 和
的比例同时不断减少,证明：
数学建模十六组
报告制作
• 材料搜集： 全体人员 • 材料整理：李岩 刘楠 • 建立模型：惠煜宇 柴华 • Mathcad操作：惠煜宇 • 数学方程计算：刘楠 柴华 • 幻灯片制作：柴华 • 复查：刘楠 李岩 • 报告人：惠煜宇
2020/5/2
数为k，求出三级火箭的末速 v3的表达式 算要使 v3 10.5
千米／秒，发射1吨重的卫星需要多重的火箭（ u , 用以前的
数据）．若用2级或4级火箭，结果如何？由此能得出使用3级火 箭发射卫星的道理吗？
2020/5/2
（5）利用（2）的结果，v(t) uln m0 ，第一级火箭燃料用完
时 m (t)m p m 1m 2m 3 ，末速 v1
解： （1）地球对卫星引力为F
km r2
引力常数可由在地球表面满足 k R
2，g为，卫得星到质k量kRmR2
mg，
2g，于
是取Fgm9g.(8Rr(米 )2。/秒 又卫2）星，向R心6力4为0（F01千米mr）v2 ，,FF1给出 v R
g。
r
（千米），代入得火箭速度应为 v7.6（千米/秒）。
（4）在（2）的动量守恒式中左端不变，而右端丢弃的结
构部分的动量为 (m (t) m (t t)v ] (t)，喷出气体动量
为( 1 )m ( [ t ) m ( t t )v ( ] t ) ( u ]，
既可解得 v(t)(1)ulnm0 。当燃料用完时，丢弃m
下m
p，于是火箭末速
vm ((1t))ulnm0 mp
此可知，在忽略重力阻力，不携带卫星的情况下，火箭的最大速
度为7（千米/秒），达不到进入圆形轨道的火箭速度7.6千米/秒，
所以用单级火箭不能发射卫星。
数学建模十六组
再求 v m。这个结果说明什么?
（3）将m s m f m s m c m p ，且 mp 0 代入（2）
的结果
v(t) ul，n 即m0得
m(t)
vm
u。ln(1)
当u 3（米/秒），10%，v m 7 (千 /秒 ) 米 7 .6 (千 /秒 ) 米 ，由
此可知，在忽略重力阻力，不携带卫星的情况下，火箭的最大速
度为7（千米/秒），达不到进入圆形轨道的火箭速度7.6千米/秒，
所以用单级火箭不能发射卫星。
2020/8/1
④假设火箭燃料燃烧的同时，不断丢弃无用的结构部分，即结
构质量与燃料质量以和1 的比例同时减少，运用一些关系
求出v(t)的表达式 ．再，燃料用完时火箭未速为多少？
s ，只剩
2020/8/1
⑤ 其实④是个理想化的模型，实际上只能用建造多级火箭的
办法一段段地丢弃无用的结构．记 m i 为第i级火箭质量（燃料和 结构），m i 为结构质量（ 对各级是一样的）．有效载荷仍用m p
表示。当第1级的燃料用完时丢弃第1级的结构，同时第2级点 火．再设燃料的初始质量与其负载质量之比保持不变，比例系
（4）在（2）的动量守恒式中左端不变，而右端丢弃的结
构部分的动量为 (m (t) m (t t)v ] (t)，喷出气体动量
为( 1 )m ( [ t ) m ( t t )v ( ] t ) ( u ]，
既可解得 v(t)(1)ulnm0 。当燃料用完时，丢弃m
下m
p，于是火箭末速
vm ((1t))ulnm0 mp
2020/8/1
报告制作
• 材料搜集： 全体人员 • 材料整理：李岩 刘楠 • 建立模型：惠煜宇 柴华 • Mathcad操作：惠煜宇 • 数学方程计算：刘楠 柴华 • 幻灯片制作：柴华 • 复查：刘楠 李岩 • 报告人：惠煜宇
三级火箭发射卫星数学模型
v xn)u]
根据Lagrange乘数法，令
F 1 0, x1 x1 x1
F
1
0,
x1 x2 x2
x1x2 xn
F 1 0, xn xn xn
v ln ( x 1 x 2 x n ) u .
与1-β 的比例同时进行。
2）建模与分析
在[t, t+Δt ]时段丢弃的结构质量为 [m (t)m (t t)].
烧掉的燃料质量 (1 )[m (t) m (t t)].
在t 时刻动量为m(t) v(t) ，而在t+Δt 时刻的动量为
m (t t)v (t t) [(m (t) m (t t)]v (t) [(1 )[m (t) m (t t)](v (t) u )
1. 多级火箭的速度
1）模型假设 为了简单起见，先作如下假设： (1)mi 用表示第i级火箭质量， mp表示有效负载。
(2)设各级火箭具有相同的， mi表示第i级结构质量, (1- ) mi表示
第i (3)喷气相对火箭的速度u 相同。
2）模型建立与求解
火箭的初始质量为
m 0m 1 m 2 m n m p
m (tt)m (t)dmt(t) dt
m ( t)d v v ( t)d m d m v ( t) ( 1 )d m ( v ( t) u )
d t d t d t
d t
m(t)dv(1)dmu
dt
dt
dv (1) u
dm
m
v (t) (1 )u ln m (t) C
v(0) 0
度，也就是说单级火箭不能用于发射卫星。
3) 模型分析
单级火箭一直将将燃料仓和发动 机带到了末端，而未将这些丢弃,火 箭发动机作了许多无用功。也就是 说发动机必须把整个沉重的火箭加 速到最后,但是当燃料耗尽时,发动 机加速的仅仅是一个空的燃料仓.
数学建模习题
数学建模习题1．木材采购问题一个木材贮运公司，有很大的仓库，用于贮运出售木材。
由于木材季度价格的变化，该公司于每季度初购进木材，一部分于本季度内出售，一部分贮存起来以后出售。
已知:该公司仓库的最大贮藏量为20万立方米，贮藏费用为（a+bu）元/万立方米，其中：a=70,b=100,u为贮存时间（季度数）。
已知每季度的买进、卖出价及预计的销售量为:2．飞机投放炸弹问题某战略轰炸机群奉命摧毁敌人军事目标。
已知该目标有四个要害部位，只要摧毁其中之一即可达到目的。
为完成此项任务的汽油耗量限制为48000公升，重型炸弹48枚、轻型炸弹32枚。
飞机携带重型炸弹时每公升汽油可飞行2 公里，带轻型炸弹时每公汽油可飞行3公里。
又知每架飞机一次只能装载一枚炸弹，每出发轰炸一次除来回路程汽油消耗（空载时每公升汽油飞行4公里）外。
起飞和降落每次各消耗100公升。
有关数据如下表所示：为了使摧毁敌方军事目标的可能性最大，应如何确定飞机轰炸的方案。
3．三级火箭发射问题建立一个模型说明要用三级火箭发射人造卫星的道理。
（1）设卫星绕地球作匀速圆周运动，证明其速度为v= R^gr;, R为地球半径,r为卫星与地心距离，g为地球表面重力加速度。
要把卫星送上离地面600km 的轨道，火箭末速v应为多少。
（2）设火箭飞行中速度为v（t）,质量为m（t）,初速为零，初始质量m，火箭喷出的气体相对于火箭的速度为u，忽视重力和阻力对火箭的影响。
用动量守恒原理证明v（t）= u in j。
由此你认为要提高火箭的末速度应采取什么措m（t）施。
（3）火箭质量包括3部分：有效载荷（卫星）m；燃料m；结构（外壳、燃料仓等）m，其中m 在m + m中的比例记作九P一般九不小于10%。
证明若m p =0（即火箭不带卫星），则燃料用完时火箭达到的最大速度为v =-u in九. 已知，目前的u=3km/s，取九=10%，求v。
这个结果说明什么。
（4）假设火箭燃料燃烧的同时，不断丢弃无用的结构部分，即结构质量与燃料质量以和1-的比例同时减少，用动量守恒原理证明v（t）=（1-九）u in %。
发射卫星为什么用三级火箭
微分方程建模：发射卫星为什么用三级火箭微分方程建模是数学建模的重要方法，因为许多实际问题的数学描述将导致求解微分方程的定解问题。
把形形色色的实际问题化成微分方程的定解问题，大体上可以按以下几步：1. 根据实际要求确定要研究的量(自变量、未知函数、必要的参数等)并确定坐标系。
2. 找出这些量所满足的基本规律(物理的、几何的、化学的或生物学的等等)。
3. 运用这些规律列出方程和定解条件。
列方程常见的方法有：（i）按规律直接列方程在数学、力学、物理、化学等学科中许多自然现象所满足的规律已为人们所熟悉，并直接由微分方程所描述。
如牛顿第二定律、放射性物质的放射性规律等。
我们常利用这些规律对某些实际问题列出微分方程。
（ii）微元分析法与任意区域上取积分的方法自然界中也有许多现象所满足的规律是通过变量的微元之间的关系式来表达的。
对于这类问题，我们不能直接列出自变量和未知函数及其变化率之间的关系式，而是通过微元分析法，利用已知的规律建立一些变量（自变量与未知函数）的微元之间的关系式，然后再通过取极限的方法得到微分方程，或等价地通过任意区域上取积分的方法来建立微分方程。
（iii）模拟近似法在生物、经济等学科中，许多现象所满足的规律并不很清楚而且相当复杂，因而需要根据实际资料或大量的实验数据，提出各种假设。
在一定的假设下，给出实际现象所满足的规律，然后利用适当的数学方法列出微分方程。
在实际的微分方程建模过程中，也往往是上述方法的综合应用。
不论应用哪种方法，通常要根据实际情况，作出一定的假设与简化，并要把模型的理论或计算结果与实际情况进行对照验证，以修改模型使之更准确地描述实际问题并进而达到预测预报的目的。
本章将利用上述方法讨论具体的微分方程的建模问题。
§1 发射卫星为什么用三级火箭采用运载火箭把人造卫星发射到高空轨道上运行，为什么不能用一级火箭而必须用多级火箭系统？下面通过建立运载火箭有关的数学模型来回答上述问题。
发射卫星为什么用三级火箭
u
ln
m0 m(t
)
(1.9)
m0 是火箭初始质量， v0 是 t = 0 时的速度，
(1.9)式的结果表明火箭速度变化仅依赖于两个因素：
（1）喷出的气体相对于火箭的速度 u（已 假定为常数）；
（2）t 时刻火箭质量 m(t) 和 t=0 时刻火箭 质量 m0 之比。
这就为设计火箭时提高火箭速度指出了正 确的方向：
(1.19)
v u
ln
mP
m3
m0 m3 m2
mP m3 m2
mP m3
mP m3
现在的问题是如何选择m1、m2、m3使mP最 大。由于(1.16)式复杂，问题棘手，但当引入 新变数以后，问题就变简单了。
v ≈7km/s
前面(1.5)式推出卫星要进入圆形轨道，火箭 末速度为7.6km/s，而刚才推导的火箭速度是在假 定忽略空气阻力、重力、不携带任何东西的情况 下，最大速度才7km/s。由此得出，单级火箭是 不能用于发射卫星的。
由以上分析还可以发现，该火箭模型的缺 点在于发动机必须把整个沉重的火箭加速到底， 但是当燃料耗尽时，发动机加速的仅仅是一个 空的燃料仓，作了许多无用功。因此，有待改 进火箭的设计。
令mi为第i级质量（燃料+结构），
mi
为结构质量，
(1 )mi 为燃料质量。
为简单起见，设所有各级火箭λ值是一样的， 喷气相对速度 u 在各级也相同。
先分析三级火箭的入轨过程，初始质量为
m0 mP m3 m2 m1
当第一级燃料用完时，剩余质量为 mP m3 m2 m1
三、火箭系统质量的计算 火箭系统质量由下列部分组成：
多级火箭建模讲解
得：
2
3ln
mm022.是呢m1m1mm否？1PP 三最11级简 火 单 0箭 的.mmm1m就 方PP2 2是 法11最 就 省 是
3ln
k 1 2 0.1k 1
6 ln
r
假设(i)
（2）设火g箭=9推.8进1米力/及秒速2，度得的:分析
假设：火箭重力及空气阻力均不计
卫星离地面高度 卫星速度
(公里)
(公里/秒)
分析：记火箭在时刻t的质量和速度分别为m(t)和υ(t)
有： m(t t) m(t) dm t O(t2 )
100
7.86
记火箭喷出的气体相d对t 于火箭的速度为20u0 （常数），7.80
§1 为什么要用三级火箭来发射人造卫星
构造数学模型，以说明为什么不能用一级火箭而必须用多 级火箭来发射人造卫星？为什么一般都采用三级火箭系统？
1、为什么不能用一级火箭发射人造卫星?
（1）卫星能在轨道上运动的最低速度
假设：（i） 卫星轨道为过地球中心的某一平面上的圆，卫星
在此轨道上作匀速圆周运动。
（ii）地球是固定于空间中的均匀球体，其它星球对卫
的调整，以保证区域内飞机互不相撞；
（5）忽略调整方向角引起的误差，忽略飞机速度变化所 引起的误差，即认为飞机做匀速飞行。
3 符号的约定
D 代表本问题中某一高层中的正方形区域
Pi 代表第i架飞机，
v 飞机的飞行速度
t 时间
(xi, yi ) 第i架飞机的位置
(xi0, yi0)第i架飞机的初始时刻（即新飞机到达区域边缘的时刻）
又应用W（Wn131 .1WW112） WW可m32 in求WWk得n11k12末nk速k1kn2度ulan：kn[mk1W1 1
数学建模答案 (5)
一、解释下列词语，并举例说明(每小题满分5分，共15分)1．模型模型是系统知识的抽象表示。
我们不能仅仅通过语言来描述一个系统，也不能仅仅通过记忆来记录关于系统的知识。
知识是通过某种媒介来表达的，这种媒介所表达的内容就是模型。
而知识形成媒介的过程就是建模，或者称为模型化。
通常模型可以使用多种不同的媒介来表达，比如纸质或电子文档、缩微模型/原型、音像制品等等。
而表达模型的体现方式也是多种多样的，常见的有图表、公式、原型、文字描述等等。
2．数学模型由数字、字母、或其他数学符号组成的，描述现实对象（原型）数量规律的数学结构。
具体地说，数学模型也可以描述为：对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定的目的，根据特有的内在规律，做出一些简化假设后，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构称之为数学模型.如概率的功利化定义。
3．抽象模型通过人们对原型的反复认识，将获取的知识以经验的形式直接存储在大脑中的模型称之谓思维模型。
从实际的人、物、事和概念中抽取所关心的共同特性，忽略非本质的细节把这些特性用各种概念精确地加以描述。
二、简答题（每小题满分8分，共24分）1．模型的分类按照模型替代原型的方式，模型可以简单分为形象模型和抽象模型两类.形象模型：直观模型、物理模型、分子结构模型等;抽象模型：思维模型、符号模型、数学模型等。
2．数学建模的基本步骤1）建模准备：确立建模课题的过程；2）建模假设：根据建模的目的对原型进行抽象、简化。
有目的性原则、简明性原则、真实性原则和全面性原则；3）构造模型：在建模假设的基础上，进一步分析建模假设的各条款，选择恰当的数学工具和构造模型的方法对其进行表征，构造出根据已知条件和数据，分析模型的特征和模型的结构特点，设计或选择求解模型的数学刻划实际问题的数学模型.；4）模型求解：构造数学模型之后，方法和算法，并借助计算机完成对模型的求解；5）模型分析：根据建模的目的要求，对模型求解的数字结果，或进行稳定性分析，或进行系统参数的灵敏度分析，或进行误差分析等。
为什么要用三级火箭来发射人造卫星
100Байду номын сангаас
7.86
记火箭喷出的气体相d对t 于火箭的速度为20u0（常数），7.80
v由动量守恒定理：
400
7.69
m-dm
m(t
)υ
(t
)
=
m(t
+
∆t
)υ
(t
+
∆t
)
−
⎛ ⎜⎝
dm dt
∆t
+
O6(0∆0 t
2
)
⎞ ⎟⎠
⋅
(υ
(t
)
−7u.)58
故： m dυ = −u dm
dm
dt
dt
由此解得：υ
§3.3 为什么要用三级火箭来发射人造卫星
构造数学模型，以说明为什么不能用一级火箭而必须用多 级火箭来发射人造卫星？为什么一般都采用三级火箭系 1、为统什？么不能用一级火箭发射人造卫星?
（1）卫星能在轨道上运动的最低速度
假设：（i） 卫星轨道为过地球中心的某一平面上的圆，卫星
在此轨道上作匀速圆周运动。
（i）设各级火箭具有相同的λ ,即i级火箭中λmi为结 构质量，（1-λ）mi为燃料质量。
（ii）设燃烧级初始质量与其负载质量之比保持不
变，并记比值为k。
该假设有点强加
考虑二级火箭：
的味道，先权作
讨论的方便吧
由3.11式，当第一级火箭燃烧完时，其末速度为：
当第二级火箭燃尽时，末速度为：
υ2
=
u ln
故又有: F = mυ 2
r
从而: υ = R g
r
假设(i)
（2）设火g箭=9推.8进1米力/及秒速2，度得的:分析
3.8为什么用三级火箭发射卫星
为什么用三级火箭发射卫星
建立一个模型说明要用三级火箭发射人造卫星的道理。 以把一颗重 1 吨的卫星送上离地面 600 公里的轨道为例。 模型假设：1.卫星送上轨道后，绕地球作匀速圆周运动； 2.忽略重力和阻力对火箭的影响； 3. 火箭质量包括卫星 m p ；燃料 m j ，结构（外壳、燃料 仓等） ms ，其中 ms 在 m j ms 中的比例 10% ； 4.当第 i 级燃料用完时丢弃第 i 级结构，同时第 i+1 级 点火，且燃烧级的初始质量与其负载质量之比保持不变，比 例系数为 k ； 5.火箭喷出的气体相对于火箭的速度 u 3(千米 秒） 模型建立： 一. 计算卫星进入轨道时的火箭末速度。
m1 m2 , m0 m p m1 m2 由于 k m p m2 m p
得
v2 2u ln
k 1 k 1
要使 v2 7.6 千米 秒，在 u 3 和 0.1 时，可算出 k 3.951 m0 m p m1 m2
m p k (m p m2 ) m2 (1 k )m p (1 k )m2 (1 k )m p (1 k )km p m p (k 1) 2
m p 1（吨） ，故
m0 24.5 1 2 （吨）
2 . 考虑三级火箭的情况
k 1 完全类似地推导可得出 v3 3u ln k 1
要使 v3 7.6 千米 秒，在 u 3 和 0.1时，可得出 k 1.729 同样可推导出 m0 m p (k 1)3 由 m p 1 （吨） ， 故 m0 20.324 （吨） 3. 考虑四级火箭的情况
三级火箭模型 PPT
v Rg 7.9km / s 第一宇宙速度
2018/7/21 8
四 火箭的推力
假设条件： (1)将火箭简化为燃料仓+发动机 (2)不考虑空气阻力等
设 m(t ) ：t时刻火箭的质量
v(t ) ：t时刻火箭的速度
这样，在t时刻火箭的动量为： m(t )v(t ) 在t t 时间火箭的动量为:
ms (mF ms) (m0 mp)
m0 m0 m0 V uln uln uln m p ms m p (m 0 m p ) m 0 (1)m p
当mp=0，（即没有装载东西）时，
Vmax uln 1
u与都是技术条件决定的， u
2018/7/21
五 火箭系统的质量
m0 m p mF ms
初始时刻 有效载量 燃 料 火箭结构的质量
由（四）中的结果可知：火箭的末速度：V uln
m0 m p ms
引入重要指标:
ms mF 火箭的结构比: 1 mF m s mF m s 2018/7/21
13
五 火箭系统的质量
2018/7/21 7
设卫星绕地球匀速运动，其线速度为v，此时没有切向 加速度，而法向加速度为 v 2 / r 此时有
v2 R m( ) mg ( ) 2 r r 所以 v R g 这就是卫星绕地球运行 r 不致于掉下去的速度
2：卫星的运行速度
卫星是用火箭送入轨道的，因此火箭的末速度也 应为v。 (km ) 若 r R 6371 ，则
火箭的结构外型涉及到强度与阻力
火箭的控制系统
2018/7/21 3
我们现在讨论的是：
运载火箭将卫星送入轨道,并在轨道上运行. 卫星的速度是通过火箭推进器加速火箭的飞 行而获得的，而由牛顿第二定律
数学建模教程-三级火箭运载模型
20
八 n级火箭的质量分配
V : 火箭末速度
已知：U :
：
气体喷射速度
结构比
？如何使 选得 取mm1p,最m2大,...,mn
m0 : 初始总质量
即
max
f
( ) m1,m2,mn,mp
_ mp min f (m)
m0
max
^
f
(x)
m
p
mp
mp m1 m2 mn m0
（1m）0
2023/5/17
21
ln
mp
m0 m1m2
mn
mp m2mn mp m2m3mn
...
mp mn mp mn
V n
（2）
mp, m1, m2, ..., mn 0
(3)
a 记
i
mp mi mn mp mi1 mn
(i 1,2,,n)
则
ln
a1
1(a1
1)
a2
1(a2
an
1) 1(an
发动机的功力 火箭的结构外型涉及到强度与阻力 火箭的控制系统
2023/5/17
3
我们现在讨论的是：
运载火箭将卫星送入轨道,并在轨道上运行. 卫星的速度是通过火箭推进器加速火箭的飞 行而获得的，而由牛顿第二定律
F ma F: 推力
a: 火箭推进器加速度
可推出加速度：a F m
F a m a
引入重要指标:
火箭的结构比:
ms mF ms
1
mF mF ms
2023/5/17
13
五 火箭系统的质量
ms (mF ms)(m0 mp)
V uln m0 uln
数学建模习题-第五章
习 题1、对于节传染病的SIR 模型证明；①若σ/10>s ，则)(t i 先增加，在σ/1=s 处达到最大 ，然后减少并趋于零；)(t s 单调减少至∞s 。
②若σ/10<s ，则)(t i 单调减少并趋于零，)(t s 单调减少至∞s 。
2、对于传染病的SIR 模型证明(20)~(22)式。
3、在节经济增长模型中，为了适用于不同的对象可将产量函数)(t Q 折算成现金，仍用)(t Q 表示。
考虑到物价上升因素我们记物价上升指数为)(t p (设1)0(=p )。
则产品的表面价值)(t y 、实际价值)(t Q 和物价指数)(t p 之间满足)(t y =)()(t P t Q 。
①导出)(t y 、)(t Q 、)(t p 的相对增长率之间的关系，并作解释。
②设雇佣工人数目为)(t L ，每个工人工资为)(t W ，企业的利润简化为从产品的收入)(t y 中扣除工人的工资和固定的成本。
利用节的（5）式讨论，企业应雇佣多少工人能使利润最大。
4、在节的房室模型中证明方程（3）对应的齐次方程通解如（4）、（5）式所示，说明方程的两个特征根α和β一定是负实根。
5、模仿节建立的二室模型建立一室模型（只有中心室），在快速静脉注射、恒速静脉滴注（持续时间为τ）和口服或肌肉注射3种给药方式下求解血药浓度，并画出浓度曲线图。
6、利用上题建立的一室模型，讨论按固定时间间隔T 每次给予固定剂量D 的多次重复给药方式。
为了维持药品的疗效和保证机体的安全，要求血药浓度C 控制在（21,C C ）范围内。
设中心室容积V 为已知。
① 在快速静脉注射的多次重复给药方式下，写出血药浓度表达式并作图，讨论怎样确定T 和D 使血药浓度的变化满足上述要求。
② 在恒速静脉滴注和口服（或肌肉注射）的多次重复给药方式下，给出血药浓度变化的简图，并在这两种方式选择一种来讨论确定T 和D 的问题。
7、在节香烟过滤嘴模型中，① 设800=M 毫克，801=l 毫米，202=l 毫米，02.0=b （1/秒），08.0=β（1/秒），50=v 毫米/秒，3.0=a ，求Q 和21/Q Q 。
为什么要用三级火箭？
为什么要用三级火箭：
我们希望构造一个数学模型，以说明为什么不能用一级火箭而必须用多级火箭来发射人造卫星？为什么一般都采用三级火箭系统？
火箭是一个复杂的系统，为了使问题简单明了，我们只从动力系统及整体结构上分析，并假设引擎是足够强大的。
1、为什么不能用一级火箭发射人造卫星
（1）卫星能在轨道上运动的最低速度
假设：（i）卫星轨道为过地球中心的某一平面上的圆，卫星在此轨道上作匀速圆周运动。
（ii）地球是固定于空间中的均匀球体，其它星球对卫星的引力忽略不计（以上两条假设均为简化假设）。
分析我们尽量应用物理中已有的定理来分析问题。
根据牛顿第三定律，地球对卫星的引力为，其中m为卫星质量，r为卫星到地心的距离，这里已应用了地球是均匀球体的假设。
k可以根据卫星在地面的重量算
出，即，k=gR2（R为地球半径，约为6400公里或6.4×106米），故引力。
由假设（i），卫星所受到的引力也就是它作匀速圆周运动的向心力，故又有
，从而。
现设g=9.81米/秒2，可以计算出当卫星离地面高度分别为100，200，400，600，800和1000公里时，其速度应分别为：7.86公里/秒，7.80公里/秒，7.69公里/秒，7.58公里/秒，7.47公里/秒及7.37公里/秒。
（2）火箭推进力及速度的分析
假设：火箭重力及空气阻力均不计
分析：记火箭在时刻t的质量和速度分别为m(t)和υ(t)，它们分别是t的连续可微函数，因此有
记火箭喷出的气体相对于火箭的速度为u（常数），由动量守恒定理：
故
由此解得。
三级火箭发射卫星数学模型
火箭达到一定的速度和高度后，有效载荷与 火箭分离，进入预定轨道。
加速爬升
随着火箭推进剂的消耗和重量的减轻，火箭 逐渐加速爬升。
进入轨道
有效载荷依靠惯性继续前进，达到轨道速度 后进入预定轨道。
02
数学模型建立
火箭推进力与重力平衡模型
总结词
描述火箭推进力与重力之间的平衡关 系，用于确定火箭起飞时的加速度和 速度。
05
未来展望
火箭技术发展趋势
01
02
03
绿色环保
随着环保意识的提高，未 来火箭技术将更加注重环 保，减少发射过程中对环 境的影响。
可重复使用
降低火箭发射成本是未来 的重要趋势，可重复使用 火箭技术将得到更广泛的 应用。
多任务适应性
未来火箭将具备更强的任 务适应性，能够适应不同 重量、轨道和任务的发射 需求。
失败案例分析
印度PSLV火箭
印度PSLV火箭是一种四级火箭，在发射过 程中曾多次出现失败。其中，2017年的一 次发射失败导致卫星损失，对印度航天事业 产生了较大的影响。
俄罗斯Proton-M火箭
俄罗斯Proton-M火箭是一种五级火箭，在 发射过程中也曾多次出现失败。其中，
2013年的一次发射失败导致卫星损失，对 俄罗斯航天事业产生了较大的影响。
SpaceX猎鹰9号
猎鹰9号是SpaceX公司研发的一种两级火箭，通过一级和二级火箭的多次点火，将卫星送入预定轨道。该火箭已 经成功发射了数百颗卫星。
欧洲阿丽亚娜5型火箭
阿丽亚娜5型火箭是一种三级火箭，由欧洲航天局研制。该火箭具有较高的可靠性和精度，已经成功发射了数十 颗卫星。
中国典型火箭发射案例
总结词
通过数学模型和优化算法，可以设计出最优的卫星轨道，以提高卫星的运行效率和寿命。
[原创]浅析有关火箭的两个问题doc高中物理
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[原创]浅析有关火箭的两个问题doc 高中物理火箭是中学物理新课标教材选修35-中的内容。
在具体教学过程中，总有一部分学有余力的学生会提出这两个咨询题：1.什么缘故火箭不是一次把燃气喷完，而是逐步向后喷气。
2.什么缘故要用三级火箭发射人造卫星，而不是二级或四级。
下面我们来做具体的分析。
1.什么缘故火箭不是一次把燃气喷完，而是逐步向后喷气如下图为多级火箭示意图，发射时先点燃第一级火箭，燃料用完后，空壳自动脱落，然后下级火箭开始工作。
多级火箭能及时把空壳抛掉，使总质量减少，因而达到专门高的速度，可用来发射洲际导弹，人造卫星，宇宙飞船等。
试通过运算讲明：火箭不是一次把燃气喷完而是逐步向后喷气以获得更大反冲速度的道理。
(每次喷出的气体相对火箭的速度是相同的)为了研究方便，我们不考虑空气阻力和重力对火箭的阻碍。
设火箭总质量为M ，燃料及空壳质量为m ，每次喷出的气体相对火箭的速度为v 。
假设取火箭的速度方向为正方向，那么喷出气体对地的速度v v v =+气对地气对箭箭对地假设三级火箭一次把燃料喷完,运载物获得速度为V ,依照动量守恒定律03()MV m v V =+-+得 3 (1)3mv V M m=+ 假设三级火箭逐步向后喷气,运载物获得的速度依次为1V ，2V ，3V ，依照动量守恒定律第一级火箭喷完时： 110(2)()M m V m v V =++-+卫星第三级第二级第一级得 1 (2)3mv V M m=+ 第二级火箭喷完时： 122(2)()()M m V M m V m v V +=++-+得 2 (3)23mv mv V M m M m=+++ 第三级火箭喷完时： 233()()M m V MV m v V +=+-+得 3 (4)23mv mv mv V M m M m M m=+++++ 由于3V V >，因此火箭不是一次把燃气喷完，而是逐步向后喷气以获得更大反冲速度。
上面推算出的物理模型依旧专门简单的，但在中学时期足以讲明咨询题。
多级火箭建模概要
类似地，可以推算出三级火箭：
3 u ln
m1 m2 m3 mP m m3 mP m mP 2 3 m m m m m m m m m 2 3 P 2 3 P 3 P 1
3
在同样假设下:
k 1 k 1 3 3ln 9ln 0.1k 1 0.1k 1
dt
v
200 7.80 记火箭喷出的气体相对于火箭的速度为 u（常数），
dm 2 m(t ) (t ) m(t t ) (t t ) t O ( t u) 600 ) ( (t ) 7.58 dt m-dm d dm m0 7.47 800 故： m u 由此解得： (t ) 0 u ln ( 1) dm dt dt m(t ) 7.37 1000 υ0和m0一定的情况下， 火箭速度υ(t)由喷发 u-v 速度u及质量比决定。
dm dm (t )t (1 ) ( (t ) u )t O(t 2 ) dt dt
耗尽时，结构质量也逐渐抛尽，它的最终质量为mP，
所以最终速度为： u (1 ) ln m0
mP
3、理想过程的实际逼近——多级火箭卫星系统
记火箭级数为n，当第i级火箭的燃料烧尽时，第i+1级火 箭立即自动点火，并抛弃已经无用的第i级火箭。用mi表示第 i级火箭的质量，mP表示有效负载。 先作如下假设： （i）设各级火箭具有相同的λ ,即i级火箭中λmi为结构 质量，（1-λ）mi为燃料质量。 （ii）设燃烧级初始质量与其负载质量之比保持不变， 并记比值为k。 该假设有点强加 的味道，先权作 考虑二级火箭： 讨论的方便吧 由1式，当第一级火箭燃烧完时，其末速度为：
三级火箭发射人造卫星分析
三级火箭发射人造卫星分析人造卫星的发射是现代航天事业的重要组成部分，而三级火箭是一种常用的运载工具。
本文将探讨三级火箭发射人造卫星的背景、原理以及相关技术。
一、背景随着科技的不断发展，人类对于更深入地了解地球和太空的需求不断增加。
人造卫星的发射成为了满足这一需求的重要手段之一、卫星发射的主要目的有以下几个方面：1.地球观测：人造卫星可以通过载荷设备观测全球各地的环境、气候、地球表面等各类数据，为我们了解地球提供重要依据。
2.通信导航：卫星可以通过通信设备实现全球通信和导航系统，例如GPS系统就是利用卫星进行导航定位的。
3.科学探索：卫星还可以搭载科学设备，对宇宙中的各种现象进行观测和研究，为科学家们探索宇宙提供数据和材料。
二、原理三级火箭是一种多级火箭，其发射原理是将火箭在发射过程中分为多个级别，每个级别都有自己的燃料和推进装置。
每个级别使用完毕后，便会被丢弃，从而减轻整个运载火箭的质量，使火箭能够继续向太空推进。
三级火箭一般由火箭主体、助推火箭和卫星三部分组成。
火箭主体是最底部的部分，它负责引爆并推出助推火箭。
助推火箭一般安装在火箭主体的底部，它的作用是在发射初期提供足够的推力，将火箭推进到大气层外。
卫星则安装在助推火箭的顶部，它是整个发射任务的核心目标。
三、技术要点1.真空适应性：卫星在发射过程中会经历从地球表面到太空的过渡，这个过程中会有气压和温度的巨大变化。
因此，卫星在设计上必须具备真空适应性，能够在极端条件下正常工作。
2.火箭推进系统：火箭的推进系统是发射过程中最重要的部分之一、这个系统包括燃料、氧化剂和推进剂等。
燃料和氧化剂的选择需要满足推进系统的要求，以提供足够的推力。
推进剂的选择需要考虑到对环境的影响和安全性。
3.轨道控制系统：卫星发射后需要进入预定的轨道，因此需要有相应的轨道控制系统来实现这一目标。
轨道控制系统包括姿态控制、推进和航向等方面，以保证卫星能够按照预定的轨道飞行并进行任务。
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r
假设(i)
（2）火箭推进力及速度的分析 设g=9.81米/秒2，得: 假设：火箭重力及空气阻力均不计
卫星离地面高度 (公里) 卫星速度 (公里/秒) 7.86
分析：记火箭在时刻t的质量和速度分别为m(t)和υ(t) 100 dm 2 t O(t ) 有： m(t t ) m(t )
dt
v
200 7.80 记火箭喷出的气体相对于火箭的速度为 u（常数），
dm 2 m(t ) (t ) m(t t ) (t t ) t O ( t u) 600 ) ( (t ) 7.58 dt m-dm d dm m0 7.47 800 故： m u 由此解得： (t ) 0 u ln (3.11) dm dt dt m(t ) 7.37 1000 υ0和m0一定的情况下， 火箭速度υ(t)由喷发 u-v 速度u及质量比决定。
n（级数） 1 2 3 4 5 … … ∞（理想） 50 / 149 77 65 60 火箭质量（吨） 当然若燃料的价钱很便宜
而推进器的价钱很贵切且 制作工艺非常复杂的话， 由于工艺的复杂性及每节火箭 也可选择二级火箭。 都需配备一个推进器，所以使
用四级或四级以上火箭是不合 算的，三级火箭提供了一个最 好的方案。
2 u ln
当第二级火箭燃尽时，末速度为：
2 2 u ln
m1 m2 mP m1 m2 mP
m m2 mP m2 mP m mP u ln 1 2 m2 mP m m m m m 1 2 P 2 P
由动量守恒定理：
400
7.69
（2）火箭推进力及速度的分析 现将火箭——卫星系统的质量分成三部分： （i）mP（有效负载，如卫星） （ii）mF（燃料质量） （iii）mS（结构质量——如外壳、燃料容器及推进器）。 最终质量为mP + mS ，初始速度为0， mO 所以末速度： u ln
P S 火箭推进力在加速整个火箭时，其 实际效益越来越低。如果将结构质 根据目前的技术条件和燃料性 量在燃料燃烧过程中不断减少，那 能，u只能达到3公里/秒，即使 么末速度能达到要求吗？ 发射空壳火箭，其末速度也不 超过6.6公里/秒。 目前根本不 可能用一级火箭发射人造卫星
又由假设（ii），m2=kmP，m1=k(m2+mP)，代入上式， 并仍设u=3公里/秒，且为了计算方便，近似取λ=0.1，则 可得： m m
1 1 2 1 2 m m m k 1 k 1 P P 2 3ln 2 3ln 6ln 0.1m1 0.1m2 0.1k 1 0.1k 1 1 1 是否三级火箭就是最省 mP m2呢？最简单的方法就是 mP 10.5 k 1 对四级、五级等火箭进 e 6 5.75 要使υ2=10.5公里 /秒，则应使: 0.1k 1 行讨论。 即k≈11.2，而: m1 m2 mP 149 mP
m m
2、理想火箭模型 假设： 记结构质量mS在mS + mF中占的比例为λ，假设火 箭理想地好，它能随时抛弃无用的结构，即结构质量 与燃料质量以λ与（1-λ）的比例同时减少。
建模: 由
m(t ) (t ) m(t t )
考虑到空气阻力和重力等因素，估 dt dt 只要 m 足够大，我们可以 计（按比例的粗略估计）发射卫星 0 解得： m 使卫星达到我们希望它具 要使 υ=10.5 秒才行，则可推 (t ) 公里 u (1 / ) ln 0 m(t ) 算出m0/ 有的任意速度。 mp约为51,即发射一吨重的 理想火箭与一级火箭最大的区别在于，当火箭燃料 卫星大约需要50吨重的理想火箭
得到： m dm u (1 ) dm
dm dm (t )t (1 ) ( (t ) u ) t O(t 2 ) dt dt 哈哈，我还是有可能
上天的！
耗尽时，结构质量也逐渐抛尽，它的最终质量为mP，
所以最终速度为： u (1 ) ln m0
§3.3 为什么要用三级火箭来发射人造卫星
1、为什么不能用一级火箭发射人造卫星?
（1）卫星能在轨道上运动的最低速度
构造数学模型，以说明为什么不能用一级火箭而必须用多 级火箭来发射人造卫星？为什么一般都采用三级火中心的某一平面上的圆，卫星
在此轨道上作匀速圆周运动。 （ii）地球是固定于空间中的均匀球体，其它星球对卫 R为地球半径， 星的引力忽略不计。
mP
3、理想过程的实际逼近——多级火箭卫星系统
记火箭级数为n，当第i级火箭的燃料烧尽时，第i+1级火 箭立即自动点火，并抛弃已经无用的第i级火箭。用mi表示第 i级火箭的质量，mP表示有效负载。 为简单起见，先作如下假设： （i）设各级火箭具有相同的λ ,即i级火箭中λmi为结构 质量，（1-λ）mi为燃料质量。 （ii）设燃烧级初始质量与其负载质量之比保持不变， 并记比值为k。 该假设有点强加 的味道，先权作 考虑二级火箭： 讨论的方便吧 由3.11式，当第一级火箭燃烧完时，其末速度为：
Wn1 W2 W3
记 Wn W1 可以解出最优结构设计应满足： k , , kn k1 kk k最小 1 2 n 问题化为，在 υ 一定的条件下，求使 k … k W W n 1 2 n
2 n 1
12u ln (1 )] n[ k1 (1 )][ kn Wn1 n m W m W m W 2 2 3 n n 1 1
类似地，可以推算出三级火箭：
3 u ln
m1 m2 m3 mP m m3 mP m mP 2 3 m m m m m m m m m 2 3 P 2 3 P 3 P 1
3
在同样假设下:
k 1 k 1 3 3ln 9ln 0.1k 1 0.1k 1
分析： 约为6400公里 根据牛顿第三定律，地球对卫星的引力为: F km 2 得: k=gR2 在地面有: km mg R2 2 R 故引力: F mg r
r
假设(ii)
卫星所受到的引力也就是它作匀速圆周运动的向心力 2 m 故又有: F 从而: R g
三级火箭比二级火箭 几乎节省了一半
要使υ3=10.5公里/秒，则(k+1)/(0.1k+1)≈3.21，k≈3.25，而 （m1+ m2+ m3+ mP）/ mP≈77。
考虑N级火箭： 记n级火箭的总质量（包含有效负载mP）为m0 ，在 相同的假设下可以计算出相应的m0/ mP的值，见表3-2
表 3-2
4、火箭结构的优化设计 3中已经能说过假设(ii)有点强加的味道；现去掉该 假设，在各级火箭具有相同λ的粗糙假设下，来讨论火箭 结构的最优设计。 记 …+ W Wn W1=m m 解条件极值问题： 火箭结构优化设计讨论 1 n+ m P 1+ W W 中我们得到与假设（ ii ） =m mn2 + kn n 1 + min km 1kP 2 2+… 则 W2 n u ln W1 Wn …… 相符的结果，这说明前 k 1 1 2 k 1k n1 1 面的讨论都是有效的！ s . t . C W2 Wn 1 m Wn= mn+ P [ k (1 )][ k (1 )] 1 k k n n Wn+1= m u ln P [ k1 (1 )][ kn (1 )] 或等价地求解无约束极值问题： 应用（3.11）可求得末速度： k1k2 kn W W W W min k k k a C Wn W2 又 1 W1 n k 1 2 11 2 k k