3.3为什么要用三级火箭来发射人造卫星 数学建模

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dt
v
200 7.80 记火箭喷出的气体相对于火箭的速度为 u(常数),
dm 2 m(t ) (t ) m(t t ) (t t ) t O ( t u) 600 ) ( (t ) 7.58 dt m-dm d dm m0 7.47 800 故: m u 由此解得: (t ) 0 u ln (3.11) dm dt dt m(t ) 7.37 1000 υ0和m0一定的情况下, 火箭速度υ(t)由喷发 u-v 速度u及质量比决定。
§3.3 为什么要用三级火箭来发射人造卫星
1、为什么不能用一级火箭发射人造卫星?
(1)卫星能在轨道上运动的最低速度
构造数学模型,以说明为什么不能用一级火箭而必须用多 级火箭来发射人造卫星?为什么一般都采用三级火箭系统?
假设: (i) 卫星轨道为过地球中心的某一平面上的圆,卫星
在此轨道上作匀速圆周运动。 (ii)地球是固定于空间中的均匀球体,其它星球对卫 R为地球半径, 星的引力忽略不计。
Wn1 W2 W3
记 Wn W1 可以解出最优结构设计应满足: k , , kn k1 kk k最小 1 2 n 问题化为,在 υ 一定的条件下,求使 k … k W W n 1 2 n
2 n 1
12u ln (1 )] n[ k1 (1 )][ kn Wn1 n m W m W m W 2 2 3 n n 1 1
得到: m dm u (1 ) dm
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dm dm (t )t (1 ) ( (t ) u ) t O(t 2 ) dt dt 哈哈,我还是有可能
上天的!
耗尽时,结构质量也逐渐抛尽,它的最终质量为mP,
所以最终速度为: u (1 ) ln m0
m m
2、理想火箭模型 假设: 记结构质量mS在mS + mF中占的比例为λ,假设火 箭理想地好,它能随时抛弃无用的结构,即结构质量 与燃料质量以λ与(1-λ)的比例同时减少。
建模: 由
m(t ) (t ) m(t t )
考虑到空气阻力和重力等因素,估 dt dt 只要 m 足够大,我们可以 计(按比例的粗略估计)发射卫星 0 解得: m 使卫星达到我们希望它具 要使 υ=10.5 秒才行,则可推 (t ) 公里 u (1 / ) ln 0 m(t ) 算出m0/ 有的任意速度。 mp约为51,即发射一吨重的 理想火箭与一级火箭最大的区别在于,当火箭燃料 卫星大约需要50吨重的理想火箭
类似地,可以推算出三级火箭:
3 u ln
m1 m2 m3 mP m m3 mP m mP 2 3 m m m m m m m m m 2 3 P 2 3 P 3 P 1
3
在同样假设下:
k 1 k 1 3 3ln 9ln 0.1k 1 0.1k 1
由动量守恒定理:
400
7.69
(2)火箭推进力及速度的分析 现将火箭——卫星系统的质量分成三部分: (i)mP(有效负载,如卫星) (ii)mF(燃料质量) (iii)mS(结构质量——如外壳、燃料容器及推进器)。 最终质量为mP + mS ,初始速度为0, mO 所以末速度: u ln
P S 火箭推进力在加速整个火箭时,其 实际效益越来越低。如果将结构质 根据目前的技术条件和燃料性 量在燃料燃烧过程中不断减少,那 能,u只能达到3公里/秒,即使 么末速度能达到要求吗? 发射空壳火箭,其末速度也不 超过6.6公里/秒。 目前根本不 可能用一级火箭发射人造卫星
mP
3、理想过程的实际逼近——多级火箭卫星系统
记火箭级数为n,当第i级火箭的燃料烧尽时,第i+1级火 箭立即自动点火,并抛弃已经无用的第i级火箭。用mi表示第 i级火箭的质量,mP表示有效负载。 为简单起见,先作如下假设: (i)设各级火箭具有相同的λ ,即i级火箭中λmi为结构 质量,(1-λ)mi为燃料质量。 (ii)设燃烧级初始质量与其负载质量之比保持不变, 并记比值为k。 该假设有点强加 的味道,先权作 考虑二级火箭: 讨论的方便吧 由3.11式,当第一级火箭燃烧完时,其末速度为:
n(级数) 1 2 3 4 5 … … ∞(理想) 50 / 149 77 65 60 火箭质量(吨) 当然若燃料的价钱很便宜
而推进器的价钱很贵切且 制作工艺非常复杂的话, 由于工艺的复杂性及每节火箭 也可选择二级火箭。 都需配备一个推进器,所以使
用四级或四级以上火箭是不合 算的,三级火箭提供了一个最 好的方案。
分析: 约为6400公里 根据牛顿第三定律,地球对卫星的引力为: F km 2 得: k=gR2 在地面有: km mg R2 2 R 故引力: F mg r
r
假设(ii)
卫星所受到的引力也就是它作匀速圆周运动的向心力 2 m 故又有: F 从而: R g
又由假设(ii),m2=kmP,m1=k(m2+mP),代入上式, 并仍设u=3公里/秒,且为了计算方便,近似取λ=0.1,则 可得: m m
1 1 2 1 2 m m m k 1 k 1 P P 2 3ln 2 3ln 6ln 0.1m1 0.1m2 0.1k 1 0.1k 1 1 1 是否三级火箭就是最省 mP m2呢?最简单的方法就是 mP 10.5 k 1 对四级、五级等火箭进 e 6 5.75 要使υ2=10.5公里 /秒,则应使: 0.1k 1 行讨论。 即k≈11.2,而: m1 m2 mP 149 mP
r
r
假设(i)
(2)火箭推进力及速度的分析 设g=9.81米/秒2,得: 假设:火箭重力及空气阻力均不计
卫星离地面高度 (公里) 卫星速度 (公里/秒) 7.86
分析:记火箭在时刻t的质量和速度分别为m(t)和υ(t) 100 dm 2 t O(t ) 有: m(t t ) m(t )
三级火箭比二级火箭 几乎节省了一半
要使υ3=10.5公里/秒,则(k+1)/(0.1k+1)≈3.21,k≈3.25,而 (m1+ m2+ m3+ mP)/ mP≈77。
考虑N级火箭: 记n级火箭的总质量(包含有效负载mP)为m0 ,在 相同的假设下可以计算出相应的m0/ mP的值,见表3-2
表 3-2
2 u ln
当第二级火箭燃尽时,末速度为:
2 2 u ln
m1 m2 mP m1 m2 mP
m m2 mP m2 mP m mP u ln 1 2 m2 mP m m m m m 1 2 P 2 P
4、火箭结构的优化设计 3中已经能说过假设(ii)有点强加的味道;现去掉该 假设,在各级火箭具有相同λ的粗糙假设下,来讨论火箭 结构的最优设计。 记 …+ W Wn W1=m m 解条件极值问题: 火箭结构优化设计讨论 1 n+ m P 1+ W W 中我们得到与假设( ii ) =m mn2 + kn n 1 + min km 1kP 2 2+… 则 W2 n u ln W1 Wn …… 相符的结果,这说明前 k 1 1 2 k 1k n1 1 面的讨论都是有效的! s . t . C W2 Wn 1 m Wn= mn+ P [ k (1 )][ k (1 )] 1 k k n n Wn+1= m u ln P [ k1 (1 )][ kn (1 )] 或等价地求解无约束极值问题: 应用(3.11)可求得末速度: k1k2 kn W W W W min k k k a C Wn W2 又 1 W1 n k 1 2 11 2 k k
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