数学建模课件_卫星发射问题

m0 50 mp
说明发射1吨重的卫星，需要50吨重的火 箭。 4.多级火箭发射模型 令mi为第i级质量(燃料加结构质量)，mi为 结构质量， )mi为燃料质量 (1
考虑三级火箭，初始质量
m0 mp m1 m2 m3
可得一级燃料用完时速度：
m0 v1 u ln( ) m p m1 m2 m3
m0 令 a1 ， m p m2 m3 m p m2 m3 m p m3 a2 , a3 m p m3 mp v 当a1 a2 a3 a时， 最大。 u v 令 p exp( )得 3u 3 m0 1 mp p
卫星发射问题
1.卫星的运行速度
V gR 2 / r
R为地球半径,r为卫星到地心距离。 当卫星位于地面上空600km，可得卫星速 度v=7.6km/s。
2.火箭速度的计算
m0 v( t ) v0 u ln m( t )
m0为火箭初始质量，v0为初速度，u 为喷出气体相对与火箭运动的速度， 目前为3km / s。
m3 3.26, m2 13.87, m1 59
同理对n级火箭,有:
m0 1 mp p
n
v p exp( ) nu
m0 v exp( ) mp (1 )u
当n 时，
当卫星重1吨,火箭级数质量为:
级数 1 2 3 4 5 质量 无 149 77 65 60 ….. 50
3.理想化火箭模型
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火箭系统质量组成
(1)净载质量 mp
(2)燃料质量 m f
(3)结构质量 ms (包括发动机和燃料仓质量)
考虑一级火箭，设燃料耗尽，最终速度：
m0 v u. ln( ) m p ms ms 1 1 设 ，一般 或 。 m f ms 8 10
当m p 0，火箭能到达的最终速 度：
取v 10.5km / s, u 3km / s, 0.1, 则： m0 77 mp
说明发射1吨重的卫星，需要77吨重的火箭。
同时可得到：
m3 (a 1)mp
m1 a (a 1)mp
2
m2 a(a 1)m p
m2 m1 1 则 a 4.26 m3 m2 p
二级燃料用完时速度：
m p m2 m3 v2 v1 u ln( ) m p m2 m3
三级燃料用完时速度：
m p m3 v3 v2 u ln( ) m p m3
m p m2 m3 m p m3 v m0 ln( )( )( ) u m p m1 m2 m3 m p m2 m3 m p m3 则：
v u. ln 1

取u 3km/ s, 0.1 ，则v 6.9km/ s.
单级火箭不能发射卫星。 考虑火箭连续抛弃结构质量，可得： m0 v (1 ) u ln( ) mp 考虑空气阻力和重力因素，理想火箭终 速度不是7.6km/s，而是10.5km/s， 取u 3km/ s, 0.1 ，则：