可逆矩阵与逆矩阵PPT精选文档
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线性代数PPT课件：矩阵 第3节 逆 矩 阵
2 A A 2 E O 证明 例5 设方阵 A 满足
A 及 A 2E 都可逆，并求
例6
A
1
及 ( A 2E ) .
1
设
4 2 3 A 1 1 0 , 1 2 3
AB A 2 B,
求 B.
例7 用逆矩阵求解线性方程组的解.
2 x1 x2 x3 4, x1 2 x3 4, 3x x 3x 2. 3 1 2
问题．
2.3.4 矩阵可逆的充要条件
定理2.3.1 如果 n 阶方阵Ａ可逆，则它的
逆矩阵是唯一的．
由定理2.3.1知，如果 A 是可逆矩阵，则有
detA 0， 那么，反过来是否成立呢？为了回
答这个问题，先引入伴随矩阵的定义．
定义 2.3.2 n 阶方阵 A 的行列式 detA 的各
个元素的代数余子式 Aij 所构成的如下方阵
2.3.5 举例
例2 求二阶矩阵
a b A c d
的逆矩阵.
“两调一除 ”法
求二阶矩阵的逆矩阵可用 “两调一除 ”的方法 , 其方法是 : 先将矩阵 A 中的主对角线上的 元素调换位置 , 再将次对角线上的元素调换其符号 , 最后用 |A| 去除 A 的每一个元素 , 即可得 A 的逆矩
例1
设
3 1 1 1 A 2 1 , B 2 3 ,
验证 B 是否为 A 的逆矩阵．
2.3.3 可逆矩阵的性质
设 A, B, Ai (i = 1, 2, …, m) 为 n 阶可逆方阵，
k 为非零常数，则
A-1, kA, AB, A1A2…Am , AT 也都是可逆矩阵，且 (1) (A-1)-1 = A; (2)
高等数学第四章课件-矩阵的逆
( AB ) B −1 = EB −1 ,
例1 判断矩阵A是否可逆，若可逆，求其逆 . ⎛ 1 2 3⎞ (1) A = ⎜ 2 2 1 ⎟ ⎜ 3 4 3⎟ ⎝ ⎠ 1 2 3 −1 ∴ A 存在. 解: ∵ A = 2 2 1 = 2 ≠ 0, 3 4 3 2 1 2 1 2 2 A11 = = 2, A12 = − = −3, A13 = = 2, 3 3 3 4 4 3 同理可得, A21 = 6, A22 = −6, A23 = 2,
2 A − 3 A − 10 E = 0 相矛盾. 这与
所以, A + 2 E 与 A − 5 E 不同时可逆.
例2’’ 设方阵 A 满足 A2 − 3 A − 10 E = 0, 若 A ≠ 5 E , 证明: A + 2 E 不可逆. 证： （反证法） 假设A+2E可逆,
−1 2 ( A + 2 E ) ( A − 3 A − 10 E ) = 0 则 −1 即( A + 2 E ) ( A + 2 E )( A − 5 E ) = 0
⎛ A1 (3) 设 A1 , A2 是 n1 , n2 级可逆矩阵, A = ⎜ ⎝ A3 解: 因为 A1 , A2可逆
0⎞ ⎟. A2 ⎠
A1 ∴| A |= A3
0 =| A1 || A2 |≠ 0. A2
故A可逆. ⎛ X 11 −1 设A =⎜ ⎝ X 21 ⎛ A1 则 ⎜ ⎝ A3
⇒ B = 6( A − E ) .
−1 −1
B = 6( A − E )
−1
−1
⎡⎛ 2 ⎜ ⎢ = 6 ⎜0 ⎢ ⎜0 ⎢ ⎣⎝
0 4 0
ห้องสมุดไป่ตู้
2.2 可逆矩阵与逆矩阵
推论
若 AB = E (或 BA = E ), 则 B = A 1 .
奇异矩阵与非奇异矩阵的定义
当 A = 0时, A称为奇异矩阵 ,当 A ≠ 0时, A称为 非奇异矩阵 .
由此可得 A是可逆阵的充要条件是 A为非奇异矩阵 .
三,逆矩阵的求法
例1
1 2 3 求方阵 A = 2 2 1 的逆矩阵. 的逆矩阵. 3 4 3
1 ∴ A = ( A E ). 2
1
又由A A 2 E = 0
2
( A + 2 E )( A 3 E ) + 4 E = 0
1 ( A + 2 E ) ( A 3 E ) = E 4
1 A + 2 E ( A 3 E ) = 1, 故A + 2 E可逆 . 4 1 3E A 1 . 且 ( A + 2E ) = ( A 3E ) = 4 4
1 2 3 解 ∵ A = 2 2 1 =2≠0 3 4 3
∴ A1存在.
2 1 A11 = = 2, 4 3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2 1 A12 = = 3, 3 3
同理可得
A13 = 2, A21 = 6, A22 = 6, A23 = 2,
A31 = 4, A32 = 5, A33 = 2,
得
故
6 4 2 A = 3 6 5 , 2 2 2
2a + c = 1, 2b + d = 0, a = 0, b = 1,
又因为
a = 0, b = 1, c = 1, d = 2.
AB
BA
2 1 0 1 0 1 2 1 1 0 , = = 1 0 1 2 1 2 1 0 0 1
若 AB = E (或 BA = E ), 则 B = A 1 .
奇异矩阵与非奇异矩阵的定义
当 A = 0时, A称为奇异矩阵 ,当 A ≠ 0时, A称为 非奇异矩阵 .
由此可得 A是可逆阵的充要条件是 A为非奇异矩阵 .
三,逆矩阵的求法
例1
1 2 3 求方阵 A = 2 2 1 的逆矩阵. 的逆矩阵. 3 4 3
1 ∴ A = ( A E ). 2
1
又由A A 2 E = 0
2
( A + 2 E )( A 3 E ) + 4 E = 0
1 ( A + 2 E ) ( A 3 E ) = E 4
1 A + 2 E ( A 3 E ) = 1, 故A + 2 E可逆 . 4 1 3E A 1 . 且 ( A + 2E ) = ( A 3E ) = 4 4
1 2 3 解 ∵ A = 2 2 1 =2≠0 3 4 3
∴ A1存在.
2 1 A11 = = 2, 4 3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2 1 A12 = = 3, 3 3
同理可得
A13 = 2, A21 = 6, A22 = 6, A23 = 2,
A31 = 4, A32 = 5, A33 = 2,
得
故
6 4 2 A = 3 6 5 , 2 2 2
2a + c = 1, 2b + d = 0, a = 0, b = 1,
又因为
a = 0, b = 1, c = 1, d = 2.
AB
BA
2 1 0 1 0 1 2 1 1 0 , = = 1 0 1 2 1 2 1 0 0 1
应用高等数学-4.2.3 可逆矩阵与逆矩阵
使得 AA1 A1A E,
则矩阵 A1称为 A 的逆矩阵或逆阵.
二、逆矩阵的概念和性质
定义 对于n 阶矩阵 A ，如果有一个n 阶矩阵B
,使得
AB BA E,
则说矩阵A是可逆的，并把矩阵 B 称为A 的逆矩阵. A的逆矩阵记作 A1. 例 设 A 1 1, B 1 2 1 2,
1 1 1 2 1 2 AB BA E, B是A的一个逆矩阵.
小结
1. 可逆矩阵与逆矩阵的概念 2. 逆矩阵的性质 3. 利用初等行变换求逆矩阵的步骤
课堂练习
练习题4.2
练习册 第4章 练习四
思考题
3 0 0
1.
设A
0
1
0
,
则An
0 0 4
2.已知A3 E,则A1
3. 若n阶矩阵A满足方程A2 2A 3E 0,则 A1
答案
3n 0 0 1. 0 1 0 .
3 2 12 1
5 2 1 2 . 1
注意: 用初等行变换求逆矩阵时，必须始终用行变换， 其间不能作任何列变换．
练习1
1 2 3
设
A 2
2
1 ,求 A1.
3 4 3
解：
1 2 3 1 0 0
A
E
2
2
1
0
1
0
3 4 3 0 0 1
－2 －3
1 2 3 1 0 0
0
2
5
2
1
0
0 2 6 3 0 1
0
1
1
1
-2
0 0 1 0 1 1
1 1 0 0 1 2
0
2
0
1
1
0 0 1 0 1
则矩阵 A1称为 A 的逆矩阵或逆阵.
二、逆矩阵的概念和性质
定义 对于n 阶矩阵 A ，如果有一个n 阶矩阵B
,使得
AB BA E,
则说矩阵A是可逆的，并把矩阵 B 称为A 的逆矩阵. A的逆矩阵记作 A1. 例 设 A 1 1, B 1 2 1 2,
1 1 1 2 1 2 AB BA E, B是A的一个逆矩阵.
小结
1. 可逆矩阵与逆矩阵的概念 2. 逆矩阵的性质 3. 利用初等行变换求逆矩阵的步骤
课堂练习
练习题4.2
练习册 第4章 练习四
思考题
3 0 0
1.
设A
0
1
0
,
则An
0 0 4
2.已知A3 E,则A1
3. 若n阶矩阵A满足方程A2 2A 3E 0,则 A1
答案
3n 0 0 1. 0 1 0 .
3 2 12 1
5 2 1 2 . 1
注意: 用初等行变换求逆矩阵时，必须始终用行变换， 其间不能作任何列变换．
练习1
1 2 3
设
A 2
2
1 ,求 A1.
3 4 3
解：
1 2 3 1 0 0
A
E
2
2
1
0
1
0
3 4 3 0 0 1
－2 －3
1 2 3 1 0 0
0
2
5
2
1
0
0 2 6 3 0 1
0
1
1
1
-2
0 0 1 0 1 1
1 1 0 0 1 2
0
2
0
1
1
0 0 1 0 1
第5讲 矩阵的逆(PPT)
第五讲 逆矩阵
一 逆矩阵的定义 二 逆矩阵的求法 三 矩阵可逆的充要条件 四 逆矩阵的性质
一 逆矩阵的定义
在实数的运算中， 当实数a 0时， 有
aa1 a1a 1,
其中 a1 1 为 a 的倒数，（或称 a 的逆）；
a
在矩阵的运算中，单位阵 E 相当于数的乘法运算中 的1， 那么，对于矩阵 A， 如果存在一个矩阵B
推论:
所以: (AB )1B 1A1 (ABC)1C 1B 1A1 (ABCD)1D-1 C 1B 1A1
注意顺序， 和转置相似
(A1A2A3…An )1(An) 1(An-1) 1….(A1) 1
5 若A可逆,则有 A1 1
A
证明 AA1 E
A A1 1
因此 A1 A 1 .
例 设A为三阶矩阵且|A|＝2，则
使得
AB BA E,
则矩阵 B称为A的可逆矩阵或逆阵.
实数a的倒数性质 aa1 a1a 1
定义 对于n 阶矩阵 A ，如果有一个n 阶矩阵B
,使得
AB BA E,
则说矩阵A是可逆的，并把矩阵 B 称为A 的逆矩阵.
A的逆矩阵记作 A1. 说明 若 A 是可逆矩阵，则 A 的逆矩阵是唯一的. 例1 设 A 1 1, B 1 2 1 2,
2E
1A
4
3E
E
A
2E
1
故A 2E可逆. 且 A 2E 1 1 A 3E
4
练习：若n阶矩阵满足
A2 2A 3E 0
A是否可逆？若可逆，求A的逆。
解：由等式可得，
A（A+2E ) E 3
A1 A+2E (3)
二 逆矩阵的求法（待定系数法）
一 逆矩阵的定义 二 逆矩阵的求法 三 矩阵可逆的充要条件 四 逆矩阵的性质
一 逆矩阵的定义
在实数的运算中， 当实数a 0时， 有
aa1 a1a 1,
其中 a1 1 为 a 的倒数，（或称 a 的逆）；
a
在矩阵的运算中，单位阵 E 相当于数的乘法运算中 的1， 那么，对于矩阵 A， 如果存在一个矩阵B
推论:
所以: (AB )1B 1A1 (ABC)1C 1B 1A1 (ABCD)1D-1 C 1B 1A1
注意顺序， 和转置相似
(A1A2A3…An )1(An) 1(An-1) 1….(A1) 1
5 若A可逆,则有 A1 1
A
证明 AA1 E
A A1 1
因此 A1 A 1 .
例 设A为三阶矩阵且|A|＝2，则
使得
AB BA E,
则矩阵 B称为A的可逆矩阵或逆阵.
实数a的倒数性质 aa1 a1a 1
定义 对于n 阶矩阵 A ，如果有一个n 阶矩阵B
,使得
AB BA E,
则说矩阵A是可逆的，并把矩阵 B 称为A 的逆矩阵.
A的逆矩阵记作 A1. 说明 若 A 是可逆矩阵，则 A 的逆矩阵是唯一的. 例1 设 A 1 1, B 1 2 1 2,
2E
1A
4
3E
E
A
2E
1
故A 2E可逆. 且 A 2E 1 1 A 3E
4
练习：若n阶矩阵满足
A2 2A 3E 0
A是否可逆？若可逆，求A的逆。
解：由等式可得，
A（A+2E ) E 3
A1 A+2E (3)
二 逆矩阵的求法（待定系数法）
逆矩阵的计算ppt课件
可见AB为恒等变换所对应的矩阵，故AB = E 。
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26
用(8)代入(10)，得 X = B( AX ) = ( BA )X
即有 BA = E。 于是有AB = BA = E。 具有这种性质的矩阵A称为是可逆的，而矩阵B 称为 矩阵A 的逆矩阵。
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27
证 AT ( A1 )T ( A1 A)T ET E.
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8
当| A | 0时, 定义 A0 E, Ak ( A1 )k ,
其中 k 为正整数。
当| A | 0,, 为整数时,有
A A A ,( A ) A .
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9
例9
1 求方阵 A 2
2 2
13 的 逆 阵.
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11
解 于是
A1
1 3
3 3
2 1
1
X A1CB1
52 , 21
B 1
3 5
21,
1 3
2 1
3 3 1
5221
1 2 3
3 0 1
3 5
21
1 0
0
1 2 2
3 5
21
2 10 10
1 4. 4
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12
矩阵的运算小结
一、已定义过的运算：
★矩阵与矩阵的加、减法； ★矩阵与数的乘积； ★矩阵与矩阵的乘积； ★方阵的行列式； ★逆矩阵； ★矩阵的转置。
Ex.4
设A
2 0
0 3
00 , 求A的 逆 矩 阵.
0 0 4
解 因| A| 24 0,故A可逆. 又
A11 12, A22 8, A33 6, Aij 0(i, j 1,2,3,且i j),
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26
用(8)代入(10)，得 X = B( AX ) = ( BA )X
即有 BA = E。 于是有AB = BA = E。 具有这种性质的矩阵A称为是可逆的，而矩阵B 称为 矩阵A 的逆矩阵。
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27
证 AT ( A1 )T ( A1 A)T ET E.
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8
当| A | 0时, 定义 A0 E, Ak ( A1 )k ,
其中 k 为正整数。
当| A | 0,, 为整数时,有
A A A ,( A ) A .
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9
例9
1 求方阵 A 2
2 2
13 的 逆 阵.
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11
解 于是
A1
1 3
3 3
2 1
1
X A1CB1
52 , 21
B 1
3 5
21,
1 3
2 1
3 3 1
5221
1 2 3
3 0 1
3 5
21
1 0
0
1 2 2
3 5
21
2 10 10
1 4. 4
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12
矩阵的运算小结
一、已定义过的运算：
★矩阵与矩阵的加、减法； ★矩阵与数的乘积； ★矩阵与矩阵的乘积； ★方阵的行列式； ★逆矩阵； ★矩阵的转置。
Ex.4
设A
2 0
0 3
00 , 求A的 逆 矩 阵.
0 0 4
解 因| A| 24 0,故A可逆. 又
A11 12, A22 8, A33 6, Aij 0(i, j 1,2,3,且i j),
§2 可逆矩阵与逆矩阵
1 3 3 1 1 A 2 E 可逆，且 ( A 2 E ) 1 1 3 2 1 1 1 0 3 3 B ( A 2 E ) 1 A 1 2 3 1 1 0
§2可逆矩阵与逆矩阵
2 3 3 A 2 E 1 1 0 2 0 1 2 1
注： ①(唯一性)可逆矩阵A的逆矩阵唯一，记作 A1 .
AA1 A1 A E .
②可逆矩阵A的逆矩阵 A1 也可逆，且 ( A1 )1 A.
③单位矩阵 E 可逆，且
§2可逆矩阵与逆矩阵
E 1 E .
二、可逆条件、逆矩阵的求法
1、伴随矩阵
定义2设 Aij 是矩阵 A (aij )nn 中元素 aij 的代数
1 A ， 求 (2A)1 5 A* . 例8 若A是三阶矩阵， 2
§2可逆矩阵与逆矩阵
1
1 m
1 2
1 1
§2可逆矩阵与逆矩阵
4 若A可逆, 则A 亦可逆 , 且 A
T
T 1
A .
1 T
(5) 若A可逆，则 A 亦 可逆，且 A
k
1
1 A. A
(6) 若A可逆，则 A 亦 可逆，且 A
k
1
A
1
k
.
注： 当 A 0 时，定义
a1l A1 j a2 l A2 j
A, l j anl Anj 0, l j
立即可得,
a11 a12 a21 a22 * AA a a n1 n 2 A 0 0 A 0 0 §2可逆矩阵与逆矩阵
a1n A11 a2 n A12 ann A1n 0 0 A E. A
第四次课 矩阵的运算可逆矩阵-推荐精选PPT
可见，A的逆矩阵是唯一的.
2021/6/24
11
复习
矩阵的转置
➢: (AB)TBTAT
方阵取行列式
➢: | kA | k n | A | （ A是n阶方阵） ➢: 设 A, B同为n阶方阵，则有| AB || A || B |。
可逆矩阵
➢: A A 1 A 1 A E
2021/6/24
12
三、方阵可逆的充要条件
1、 Def：设 A aij nn为n阶矩阵，Aij是元素aij的
代数余子式 i, j 1,2, ,n，则称矩阵
A11 A21
A12
A22
A1n
A2n
An1
An
2
Ann
代数余子式 的转置矩阵
为矩阵 A的伴随矩阵，记为 A*（读作 A的伴随）。
adjoint matrix
2021/6/24
2021/6/24
5
4、反对称矩阵 anti-symmetric matrix
Def：方阵 A，如果 AT A，
即a ji aij , i, j 1, 2, , n，称矩阵 A为反对称矩阵。
元素以主对角线为对称轴互为相反数
：j i a i i a i i a i i 0
例2
当 A为方阵时，证明 A AT 为反对称矩阵.
A 0
0
0
A
0
A
E
0
0
A
同理可得： A* A A E ,从而： AA* A* A A E
2021/6/24
15
3、定理1： n阶矩阵 A可逆的充要条件是 A 0。且 A1
1
A* 。
证明
| A|
必要性 设方阵 A可逆，存在同阶方阵B，满足公式 AB BA E ，得 A B 1 0，故 A 0。 法
2021/6/24
11
复习
矩阵的转置
➢: (AB)TBTAT
方阵取行列式
➢: | kA | k n | A | （ A是n阶方阵） ➢: 设 A, B同为n阶方阵，则有| AB || A || B |。
可逆矩阵
➢: A A 1 A 1 A E
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三、方阵可逆的充要条件
1、 Def：设 A aij nn为n阶矩阵，Aij是元素aij的
代数余子式 i, j 1,2, ,n，则称矩阵
A11 A21
A12
A22
A1n
A2n
An1
An
2
Ann
代数余子式 的转置矩阵
为矩阵 A的伴随矩阵，记为 A*（读作 A的伴随）。
adjoint matrix
2021/6/24
2021/6/24
5
4、反对称矩阵 anti-symmetric matrix
Def：方阵 A，如果 AT A，
即a ji aij , i, j 1, 2, , n，称矩阵 A为反对称矩阵。
元素以主对角线为对称轴互为相反数
：j i a i i a i i a i i 0
例2
当 A为方阵时，证明 A AT 为反对称矩阵.
A 0
0
0
A
0
A
E
0
0
A
同理可得： A* A A E ,从而： AA* A* A A E
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15
3、定理1： n阶矩阵 A可逆的充要条件是 A 0。且 A1
1
A* 。
证明
| A|
必要性 设方阵 A可逆，存在同阶方阵B，满足公式 AB BA E ，得 A B 1 0，故 A 0。 法
高中数学第四章逆变换与逆矩阵4.4可逆矩阵与线性方程组全国公开课一等奖百校联赛微课赛课特等奖PPT课
10 3
10
5 1
10
1
5 3
10
9/13
这么
2
x y
M 113
5 1
10
1
5 3
10
13
11
即方程解为
x 1
y
1
10/13
堂上练习 利用逆矩阵解二元一次方程组
1150xx49yy1203
1xy
11 12
25xx3 yy
36 4
2xy
8 4
32xx
3y 5y
15 1
可逆矩阵表示变换是一一对应 反射、压伸、切变、旋转等变换都是一一对应
7/13
ax by e cx dy f 利用向量表示二元一次方程组
a c
b d
x y
e f
令
M
a c
b d
,
x
x y
,
α
e f
上式可写成
Mx =
解方程组问题就能够用映射观点了解为: 给定矩阵M和向量,求向量x,使得 Mx =
逆时针旋转90°
x
顺时针旋转90°
x x
从几何上可知 x=M-1
3/13
知道M有逆矩阵M-1=
0 1
10
对于向量
x y
M
x y
α
31
M
1α
M
1 M
M
x y
M
1 M
x y
x y
x y
M
1α
0 1
10 31 13
4/13
抽象概括 定理 给定可逆矩阵M和向量,则存在唯一向 量 x = M-1 , 使 Mx =
课件：逆矩阵(1)
(6) 若A , B 为同阶可逆矩阵，则AB 可逆 ,且 ( AB)1 B1A1 推广：若A1 , A2, At 为同阶可逆矩阵 ( A1A2 At )1 At1 A21A11
二、伴随矩阵
定义2 设方阵A aij nn ，Aij是 A 中
元素aij的代数余子式，则称
A11 A21
A
2, 4
1 A33 2
2 2,
2
2
得
A
3
2
6 6 2
4 5 , 2
1
A1
1 A
A
3
1
2
3 3 1
2 5 2. 1
例3 利用逆矩阵求解线性方程组
2xx1122xx223xx33
2 1
3x1 4x2 3x3 4
例4
设 A , B 为n阶方阵，
A+B=AB，证明A-E可逆 。
例5
已知方阵A满足A2 3A 2E O， 求证A+2E可逆。
例6
设A为3阶方阵，A 1 ， 2
求 (2A)1 5A
例7
设A,B均为n n 2阶可逆矩阵，证明
(1) A* A n1； (2) A*可逆并且求其逆矩阵； (3)( A*)* A n2 A； (4)( AB)* B*A*。
A
推论
A, B为同阶方阵，AB E， 则A, B 均可逆，且A1 B, B1 A
例1
设A
a c
b d
,问a, b,
c,
d
满足什么条件时，
A可逆？当A可逆时，求A1
例2
1 2 3
求方阵 A 2 2 1 的逆矩阵.
3 4 3
123 解 A 2 2 1 2 0, A1存在.
二、伴随矩阵
定义2 设方阵A aij nn ，Aij是 A 中
元素aij的代数余子式，则称
A11 A21
A
2, 4
1 A33 2
2 2,
2
2
得
A
3
2
6 6 2
4 5 , 2
1
A1
1 A
A
3
1
2
3 3 1
2 5 2. 1
例3 利用逆矩阵求解线性方程组
2xx1122xx223xx33
2 1
3x1 4x2 3x3 4
例4
设 A , B 为n阶方阵，
A+B=AB，证明A-E可逆 。
例5
已知方阵A满足A2 3A 2E O， 求证A+2E可逆。
例6
设A为3阶方阵，A 1 ， 2
求 (2A)1 5A
例7
设A,B均为n n 2阶可逆矩阵，证明
(1) A* A n1； (2) A*可逆并且求其逆矩阵； (3)( A*)* A n2 A； (4)( AB)* B*A*。
A
推论
A, B为同阶方阵，AB E， 则A, B 均可逆，且A1 B, B1 A
例1
设A
a c
b d
,问a, b,
c,
d
满足什么条件时，
A可逆？当A可逆时，求A1
例2
1 2 3
求方阵 A 2 2 1 的逆矩阵.
3 4 3
123 解 A 2 2 1 2 0, A1存在.
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16
1 0 1
例1.
设
A
2
1
0
,
求A 的伴随矩阵.
解:
3 2 5
10
A11 2
5 5
01
A21 2
2 5
01
A31 1
1 0
20
11
11
A12 3
10 5
A22 3
2 5
A32 2
2 0
21
A13 3
7 2
10
A23 3
2 2
10
A33 2
1 1
17
A*
第三节 n阶方阵的行列式
1、定义：设 A = ( aij )n×n 为 n阶方阵 . 由A 中
所有的元素按它们在 A 中的排列位置构成的
n阶行列式称为方阵A 的行列式, 记作 A 或
det A, 即
a11 a12 L a1n
A
a21 a22 L a2n
MM
M
an1 an2 L ann
1
注： 方阵与行列式的区别
a an n1 1A n a1 n 2 a n 2 A an n2 n A1n a A n 2nA n n A A n nn
A
O
O
A
A
,
A
19
所以 AA* AE, 同理 A*A AE,
故有
AA*A*AAE,
当 A 0 时，我们有
A A 1 A* A 1 A*AE.
从而A可逆, 且 A 1 1 A* . A
方阵与行列式是两个不同的概念，
n 阶方阵是 n2 个数按一定方式排成的
数表. 而 n 阶行列式是按行列式的定义 所确定的一个数．要清楚两者的含义 及记号的区别.
2
2、方阵行列式的性质 设 A ，B 均为n 阶方阵
（1） AT A （2） kA kn A （3） ABAB|BA|
推广： 若 A 1,A 2,LA S为同 阶方阵,则 A 1 A 2 L A S A 1A 2L A S
同理 A 也是 B 的逆矩阵, A、 B 互为逆矩阵。
12
注：
如果方阵A是可逆的,则A的逆矩阵是唯一的.
这是因为:
B、C 都是 A 逆矩阵,则有
BB E B AC B C A E C
所以A的逆矩阵是唯一的. 今后将A的逆矩阵记作 A1. 即若AB=BA=E,则
A1B
13
注1
A 1
并不是A的-1次方，不能写成
类似地,引入逆矩阵的概念
8
定义：对于n 阶方阵A，如果存在n阶方阵B，
使得
A B B A E
成立，则矩阵A称为可逆矩阵， B 称为A 的 逆矩阵或逆阵。
说明：零矩阵不是可逆矩阵。
例如,
由于 EnEnEn,所以 E n 是可逆矩阵, 且 E n 的逆矩阵是E n .
9
同样,当 k1,k2,k3 都不为零时,由
1 A
,
的形式。
问题 是否所有的方阵都可逆呢？ 否则，如何判别矩阵是否可逆？ 若A为可逆矩阵，如何求 A 1 ?
14
二. 矩阵可逆的判别、逆矩阵的求法 方阵可逆的必要条件：
命题：若A可逆, 则 A 0
证：设A可逆, 则它有逆矩阵A 1 , 使得
从而
AA1 E .
AA1AA1E1,
所以
A 0
1
k
1
1
k2
k1
1 kn
是对角矩阵
k2
的逆矩阵
k n
11
例
2 1
A
3
4
,
B
1 5
4 3
1
2
,
因为
2
AB
3
1 1 4
4
5
3
1
2
1 0
0 1
,
BA
1 5
4 3
1 2
2
3
1 4
1 0
0
1
,
即 A B B A E
所以A为可逆矩阵， B 为A 的逆矩阵。
解 A B k 1 E n k 2 E n
k1nEnk2nEnk1n k2n
A B k 1 E n k 2 E n
(k1k2)Enk1k2nEn
k1k2n
注：一般地 ABAB
5
4、退化矩阵： 设 A 为n 阶方阵, 若 A 0 , 则称 A是非
退化的或非奇异的；若 A 0 , 则称 A是退化 的或奇异的。
A11 A12
A21 A22
A31 A32
A13 A23 A33
5 2 1
10
2
2
7 2 1
18
例2: 设A 为n阶方阵, A * 是A 的伴随矩阵, 计算 A* A , AA*.
a11 a12 a1nA11 A21 An1 AAa2a 11 A a21 21 a 1 1 aA 21 n2 A 12 2 A a 21 n 2A 1 n A A n2
20
这样我们得到下述定理： 定理: n阶方阵A是可逆的充分必要条件是 A 0 , 即A是非退化的, 而且
A 1 1 A* . A
说明：该定理给出了判断一个矩阵是否可 逆的一种方法，并且给出了求逆矩 阵的一种方法，称之为伴随矩阵法。
21
例3：设
1 0 1
A
2
1
0
,
3 2 5
判断A是否可逆？ 若可逆，求出 A 1 .
15
问题：上述必要条件是不是充分的？即若 A 0 , A一定可逆吗？
伴随矩阵: 设 A(aij )nn ,行列式 A 的各 个元素的代数余子式 A ij 所构成的如下矩阵
A11
A
A12
A1n
A21 A22 A2n
An1
An2 称为矩阵A 的伴随 矩阵.
Ann
注： A*中第i行第j列处的元素是A ji 而不是Aij
如：
1 2
A
0
1
,
∵
1 A
2 1 0,
01
∴ A是非退化矩阵。
6
第四节 可逆矩阵与逆矩阵
一、逆矩阵的定义 二、逆矩阵判断及计算 三、逆矩阵的性质
7
一、逆矩阵的定义 在矩阵乘法中，对于任意n阶方阵A都有
AnE E nAA ,
单位阵E n具有与数1在数的乘法中类似的性质.
而对于任意数 a，若a0,则存在 a 1 使得 a a 1a1a1,
k1
k2
1
k3
k
1
1k2
k1
1 k3
k2
k 3
1 0 0 0 1 0
0 0 1
10
知对角矩阵
k1
是其逆矩阵.
k2
k 3
1 k1
是可逆矩阵,且
1 k2
1 k3
一般地,若 k1,k2,,kn 都不为零,则对角矩阵
特别地： An A n
3
1 1 0 2 4 1
例1 设 A0 2 0, B1 5 0,求 2AB5
1 1 1 0 1 1
解
11
A0 2
0
2 4
0 2, B 1 5
1 0 5,
1 1 1
0 1 1
2AB5 23AB5 8AB58AB5
8 2 5 5 8 150
4
例2 设 A k 1 E n ,B k 2 E n ,其中 k1,k2 是数, 求 A B 及 AB
1 0 1
例1.
设
A
2
1
0
,
求A 的伴随矩阵.
解:
3 2 5
10
A11 2
5 5
01
A21 2
2 5
01
A31 1
1 0
20
11
11
A12 3
10 5
A22 3
2 5
A32 2
2 0
21
A13 3
7 2
10
A23 3
2 2
10
A33 2
1 1
17
A*
第三节 n阶方阵的行列式
1、定义：设 A = ( aij )n×n 为 n阶方阵 . 由A 中
所有的元素按它们在 A 中的排列位置构成的
n阶行列式称为方阵A 的行列式, 记作 A 或
det A, 即
a11 a12 L a1n
A
a21 a22 L a2n
MM
M
an1 an2 L ann
1
注： 方阵与行列式的区别
a an n1 1A n a1 n 2 a n 2 A an n2 n A1n a A n 2nA n n A A n nn
A
O
O
A
A
,
A
19
所以 AA* AE, 同理 A*A AE,
故有
AA*A*AAE,
当 A 0 时，我们有
A A 1 A* A 1 A*AE.
从而A可逆, 且 A 1 1 A* . A
方阵与行列式是两个不同的概念，
n 阶方阵是 n2 个数按一定方式排成的
数表. 而 n 阶行列式是按行列式的定义 所确定的一个数．要清楚两者的含义 及记号的区别.
2
2、方阵行列式的性质 设 A ，B 均为n 阶方阵
（1） AT A （2） kA kn A （3） ABAB|BA|
推广： 若 A 1,A 2,LA S为同 阶方阵,则 A 1 A 2 L A S A 1A 2L A S
同理 A 也是 B 的逆矩阵, A、 B 互为逆矩阵。
12
注：
如果方阵A是可逆的,则A的逆矩阵是唯一的.
这是因为:
B、C 都是 A 逆矩阵,则有
BB E B AC B C A E C
所以A的逆矩阵是唯一的. 今后将A的逆矩阵记作 A1. 即若AB=BA=E,则
A1B
13
注1
A 1
并不是A的-1次方，不能写成
类似地,引入逆矩阵的概念
8
定义：对于n 阶方阵A，如果存在n阶方阵B，
使得
A B B A E
成立，则矩阵A称为可逆矩阵， B 称为A 的 逆矩阵或逆阵。
说明：零矩阵不是可逆矩阵。
例如,
由于 EnEnEn,所以 E n 是可逆矩阵, 且 E n 的逆矩阵是E n .
9
同样,当 k1,k2,k3 都不为零时,由
1 A
,
的形式。
问题 是否所有的方阵都可逆呢？ 否则，如何判别矩阵是否可逆？ 若A为可逆矩阵，如何求 A 1 ?
14
二. 矩阵可逆的判别、逆矩阵的求法 方阵可逆的必要条件：
命题：若A可逆, 则 A 0
证：设A可逆, 则它有逆矩阵A 1 , 使得
从而
AA1 E .
AA1AA1E1,
所以
A 0
1
k
1
1
k2
k1
1 kn
是对角矩阵
k2
的逆矩阵
k n
11
例
2 1
A
3
4
,
B
1 5
4 3
1
2
,
因为
2
AB
3
1 1 4
4
5
3
1
2
1 0
0 1
,
BA
1 5
4 3
1 2
2
3
1 4
1 0
0
1
,
即 A B B A E
所以A为可逆矩阵， B 为A 的逆矩阵。
解 A B k 1 E n k 2 E n
k1nEnk2nEnk1n k2n
A B k 1 E n k 2 E n
(k1k2)Enk1k2nEn
k1k2n
注：一般地 ABAB
5
4、退化矩阵： 设 A 为n 阶方阵, 若 A 0 , 则称 A是非
退化的或非奇异的；若 A 0 , 则称 A是退化 的或奇异的。
A11 A12
A21 A22
A31 A32
A13 A23 A33
5 2 1
10
2
2
7 2 1
18
例2: 设A 为n阶方阵, A * 是A 的伴随矩阵, 计算 A* A , AA*.
a11 a12 a1nA11 A21 An1 AAa2a 11 A a21 21 a 1 1 aA 21 n2 A 12 2 A a 21 n 2A 1 n A A n2
20
这样我们得到下述定理： 定理: n阶方阵A是可逆的充分必要条件是 A 0 , 即A是非退化的, 而且
A 1 1 A* . A
说明：该定理给出了判断一个矩阵是否可 逆的一种方法，并且给出了求逆矩 阵的一种方法，称之为伴随矩阵法。
21
例3：设
1 0 1
A
2
1
0
,
3 2 5
判断A是否可逆？ 若可逆，求出 A 1 .
15
问题：上述必要条件是不是充分的？即若 A 0 , A一定可逆吗？
伴随矩阵: 设 A(aij )nn ,行列式 A 的各 个元素的代数余子式 A ij 所构成的如下矩阵
A11
A
A12
A1n
A21 A22 A2n
An1
An2 称为矩阵A 的伴随 矩阵.
Ann
注： A*中第i行第j列处的元素是A ji 而不是Aij
如：
1 2
A
0
1
,
∵
1 A
2 1 0,
01
∴ A是非退化矩阵。
6
第四节 可逆矩阵与逆矩阵
一、逆矩阵的定义 二、逆矩阵判断及计算 三、逆矩阵的性质
7
一、逆矩阵的定义 在矩阵乘法中，对于任意n阶方阵A都有
AnE E nAA ,
单位阵E n具有与数1在数的乘法中类似的性质.
而对于任意数 a，若a0,则存在 a 1 使得 a a 1a1a1,
k1
k2
1
k3
k
1
1k2
k1
1 k3
k2
k 3
1 0 0 0 1 0
0 0 1
10
知对角矩阵
k1
是其逆矩阵.
k2
k 3
1 k1
是可逆矩阵,且
1 k2
1 k3
一般地,若 k1,k2,,kn 都不为零,则对角矩阵
特别地： An A n
3
1 1 0 2 4 1
例1 设 A0 2 0, B1 5 0,求 2AB5
1 1 1 0 1 1
解
11
A0 2
0
2 4
0 2, B 1 5
1 0 5,
1 1 1
0 1 1
2AB5 23AB5 8AB58AB5
8 2 5 5 8 150
4
例2 设 A k 1 E n ,B k 2 E n ,其中 k1,k2 是数, 求 A B 及 AB