可逆矩阵与逆矩阵PPT精选文档
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方阵与行列式是两个不同的概念，
n 阶方阵是 n2 个数按一定方式排成的
数表. 而 n 阶行列式是按行列式的定义 所确定的一个数．要清楚两者的含义 及记号的区别.
2
2、方阵行列式的性质 设 A ，B 均为n 阶方阵
（1） AT A （2） kA kn A （3） ABAB|BA|
推广： 若 A 1,A 2,LA S为同 阶方阵,则 A 1 A 2 L A S A 1A 2L A S
1
k
1
1
k2
k1
1 kn
是对角矩阵
k2
的逆矩阵
k n
11
例
2 1
A
3
4
,
B
1 5
4 3
1
2
,
因为
2
AB
3
1 1 4
4
5
3
1
2
1 0
0 1
,
BA
1 5
4 3
1 2
2
3
1 4
1 0
0
1
,
即 A B B A E
所以A为可逆矩阵， B 为A 的逆矩阵。
a an n1 1A n a1 n 2 a n 2 A an n2 n A1n a A n 2nA n n A A n nn
A
O
O
A
A
,
A
19
所以 AA* AE, 同理 A*A AE,
故有
AA*A*AAE,
当 A 0 时，我们有
A A 1 A* A 1 A*AE.
从而A可逆, 且 A 1 1 A* . A
1 A
,
的形式。
问题 是否所有的方阵都可逆呢？ 否则，如何判别矩阵是否可逆？ 若A为可逆矩阵，如何求 A 1 ?
14
二. 矩阵可逆的判别、逆矩阵的求法 方阵可逆的必要条件：
命题：若A可逆, 则 A 0
证：设A可逆, 则它有逆矩阵A 1 , 使得
从而
AA1 E .
AA1AA1E1,
所以
A 0
第三节 n阶方阵的行列式
1、定义：设 A = ( aij )n×n 为 n阶方阵 . 由A 中
所有的元素按它们在 A 中的排列位置构成的
n阶行列式称为方阵A 的行列式, 记作 A 或
det A, 即
a11 a12 L a1n
A
a21 a22 L a2n
MM
M
an1 an2 L ann
1
注： 方阵与行列式的区别
20
这样我们得到下述定理： 定理: n阶方阵A是可逆的充分必要条件是 A 0 , 即A是非退化的, 而且
A 1 1 A* . A
说明：该定理给出了判断一个矩阵是否可 逆的一种方法，并且给出了求逆矩 阵的一种方法，称之为伴随矩阵法。
21
例3：设
1 0 1
A
2
1
0
,
3 2 5
判断A是否可逆？ 若可逆，求出 A 1 .
特别地： An A n
3
1 1 0 2 4 1
例1 设 A0 2 0, B1 5 0,求 2AB5
1 1 1 0 1 1
解
11
A0 2
0
2 4
0 2, B 1 5
1 0 5,
1 1 1
0 1 1
2AB5 23AB5 8AB58AB5
8 2 5 5 8 150
4
例2 设 A k 1 E n ,B k 2 E n ,其中 k1,k2 是数, 求 A B 及 AB
k1
k2
1
k3
k
1
1 k2
1
k1
1 k3
1 k2
k1
1 k3
k2
k 3
1 0 0 0 1 0
0 0 1
10
知对角矩阵
k1
是其逆矩阵.
k2
k 3
1 k1
是可逆矩阵,且
1 k2
1 k3
一般地,若 k1,k2,,kn 都不为零,则对角矩阵
解 A B k 1 E n k 2 E n
k1nEnk2nEnk1n k2n
A B k 1 E n k 2 E n
(k1k2)Enk1k2nEn
k1k2n
注：一般地 ABAB
5
4、退化矩阵： 设 A 为n 阶方阵, 若 A 0 , 则称 A是非
退化的或非奇异的；若 A 0 , 则称 A是退化 的或奇异的。
15
问题：上述必要条件是不是充分的？即若 A 0 , A一定可逆吗？
伴随矩阵: 设 A(aij )nn ,行列式 A 的各 个元素的代数余子式 A ij 所构成的如下矩阵
A11
A
A12
A1n
A21 A22 A2n
An1
An2 称为矩阵A 的伴随 矩阵.
Ann
注： A*中第i行第j列处的元素是A ji 而不是Aij
A11 A12
A21 A22
A31 A32
A13 A23 A33
5 2 1
10
2
2
7 2 1
18
例2: 设A 为n阶方阵, A * 是A 的伴随矩阵, 计算 A* A , AA*.
a11 a12 a1nA11 A21 An1 AAa2a 11 A a21 21 a 1 1 aA 21 n2 A 12 2 A a 21 n 2A 1 n A A n2
同理 A 也是 B 的逆矩阵, A、 B 互为逆矩阵。
12
注：
如果方阵A是可逆的,则A的逆矩阵是唯一的.
这是因为:
B、C 都是 A 逆矩阵,则有
BB E B AC B C A E C
所以A的逆矩阵是唯一的. 今后将A的逆矩阵记作 A1. 即若AB=BA=E,则
A1B
13
注1
A 1
并不是A的-1次方，不能写成
类似地,引入逆矩阵的概念
8
定义：对于n 阶方阵A，如果存在n阶方阵B，
使得
A B B A E
成立，则矩阵A称为可逆矩阵， B 称为A 的 逆矩阵或逆阵。
Baidu Nhomakorabea
说明：零矩阵不是可逆矩阵。
例如,
由于 EnEnEn,所以 E n 是可逆矩阵, 且 E n 的逆矩阵是E n .
9
同样,当 k1,k2,k3 都不为零时,由
16
1 0 1
例1.
设
A
2
1
0
,
求A 的伴随矩阵.
解:
3 2 5
10
A11 2
5 5
01
A21 2
2 5
01
A31 1
1 0
20
11
11
A12 3
10 5
A22 3
2 5
A32 2
2 0
21
A13 3
7 2
10
A23 3
2 2
10
A33 2
1 1
17
A*
如：
1 2
A
0
1
,
∵
1 A
2 1 0,
01
∴ A是非退化矩阵。
6
第四节 可逆矩阵与逆矩阵
一、逆矩阵的定义 二、逆矩阵判断及计算 三、逆矩阵的性质
7
一、逆矩阵的定义 在矩阵乘法中，对于任意n阶方阵A都有
AnE E nAA ,
单位阵E n具有与数1在数的乘法中类似的性质.
而对于任意数 a，若a0,则存在 a 1 使得 a a 1a1a1,
n 阶方阵是 n2 个数按一定方式排成的
数表. 而 n 阶行列式是按行列式的定义 所确定的一个数．要清楚两者的含义 及记号的区别.
2
2、方阵行列式的性质 设 A ，B 均为n 阶方阵
（1） AT A （2） kA kn A （3） ABAB|BA|
推广： 若 A 1,A 2,LA S为同 阶方阵,则 A 1 A 2 L A S A 1A 2L A S
1
k
1
1
k2
k1
1 kn
是对角矩阵
k2
的逆矩阵
k n
11
例
2 1
A
3
4
,
B
1 5
4 3
1
2
,
因为
2
AB
3
1 1 4
4
5
3
1
2
1 0
0 1
,
BA
1 5
4 3
1 2
2
3
1 4
1 0
0
1
,
即 A B B A E
所以A为可逆矩阵， B 为A 的逆矩阵。
a an n1 1A n a1 n 2 a n 2 A an n2 n A1n a A n 2nA n n A A n nn
A
O
O
A
A
,
A
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所以 AA* AE, 同理 A*A AE,
故有
AA*A*AAE,
当 A 0 时，我们有
A A 1 A* A 1 A*AE.
从而A可逆, 且 A 1 1 A* . A
1 A
,
的形式。
问题 是否所有的方阵都可逆呢？ 否则，如何判别矩阵是否可逆？ 若A为可逆矩阵，如何求 A 1 ?
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二. 矩阵可逆的判别、逆矩阵的求法 方阵可逆的必要条件：
命题：若A可逆, 则 A 0
证：设A可逆, 则它有逆矩阵A 1 , 使得
从而
AA1 E .
AA1AA1E1,
所以
A 0
第三节 n阶方阵的行列式
1、定义：设 A = ( aij )n×n 为 n阶方阵 . 由A 中
所有的元素按它们在 A 中的排列位置构成的
n阶行列式称为方阵A 的行列式, 记作 A 或
det A, 即
a11 a12 L a1n
A
a21 a22 L a2n
MM
M
an1 an2 L ann
1
注： 方阵与行列式的区别
20
这样我们得到下述定理： 定理: n阶方阵A是可逆的充分必要条件是 A 0 , 即A是非退化的, 而且
A 1 1 A* . A
说明：该定理给出了判断一个矩阵是否可 逆的一种方法，并且给出了求逆矩 阵的一种方法，称之为伴随矩阵法。
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例3：设
1 0 1
A
2
1
0
,
3 2 5
判断A是否可逆？ 若可逆，求出 A 1 .
特别地： An A n
3
1 1 0 2 4 1
例1 设 A0 2 0, B1 5 0,求 2AB5
1 1 1 0 1 1
解
11
A0 2
0
2 4
0 2, B 1 5
1 0 5,
1 1 1
0 1 1
2AB5 23AB5 8AB58AB5
8 2 5 5 8 150
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例2 设 A k 1 E n ,B k 2 E n ,其中 k1,k2 是数, 求 A B 及 AB
k1
k2
1
k3
k
1
1 k2
1
k1
1 k3
1 k2
k1
1 k3
k2
k 3
1 0 0 0 1 0
0 0 1
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知对角矩阵
k1
是其逆矩阵.
k2
k 3
1 k1
是可逆矩阵,且
1 k2
1 k3
一般地,若 k1,k2,,kn 都不为零,则对角矩阵
解 A B k 1 E n k 2 E n
k1nEnk2nEnk1n k2n
A B k 1 E n k 2 E n
(k1k2)Enk1k2nEn
k1k2n
注：一般地 ABAB
5
4、退化矩阵： 设 A 为n 阶方阵, 若 A 0 , 则称 A是非
退化的或非奇异的；若 A 0 , 则称 A是退化 的或奇异的。
15
问题：上述必要条件是不是充分的？即若 A 0 , A一定可逆吗？
伴随矩阵: 设 A(aij )nn ,行列式 A 的各 个元素的代数余子式 A ij 所构成的如下矩阵
A11
A
A12
A1n
A21 A22 A2n
An1
An2 称为矩阵A 的伴随 矩阵.
Ann
注： A*中第i行第j列处的元素是A ji 而不是Aij
A11 A12
A21 A22
A31 A32
A13 A23 A33
5 2 1
10
2
2
7 2 1
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例2: 设A 为n阶方阵, A * 是A 的伴随矩阵, 计算 A* A , AA*.
a11 a12 a1nA11 A21 An1 AAa2a 11 A a21 21 a 1 1 aA 21 n2 A 12 2 A a 21 n 2A 1 n A A n2
同理 A 也是 B 的逆矩阵, A、 B 互为逆矩阵。
12
注：
如果方阵A是可逆的,则A的逆矩阵是唯一的.
这是因为:
B、C 都是 A 逆矩阵,则有
BB E B AC B C A E C
所以A的逆矩阵是唯一的. 今后将A的逆矩阵记作 A1. 即若AB=BA=E,则
A1B
13
注1
A 1
并不是A的-1次方，不能写成
类似地,引入逆矩阵的概念
8
定义：对于n 阶方阵A，如果存在n阶方阵B，
使得
A B B A E
成立，则矩阵A称为可逆矩阵， B 称为A 的 逆矩阵或逆阵。
Baidu Nhomakorabea
说明：零矩阵不是可逆矩阵。
例如,
由于 EnEnEn,所以 E n 是可逆矩阵, 且 E n 的逆矩阵是E n .
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同样,当 k1,k2,k3 都不为零时,由
16
1 0 1
例1.
设
A
2
1
0
,
求A 的伴随矩阵.
解:
3 2 5
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A11 2
5 5
01
A21 2
2 5
01
A31 1
1 0
20
11
11
A12 3
10 5
A22 3
2 5
A32 2
2 0
21
A13 3
7 2
10
A23 3
2 2
10
A33 2
1 1
17
A*
如：
1 2
A
0
1
,
∵
1 A
2 1 0,
01
∴ A是非退化矩阵。
6
第四节 可逆矩阵与逆矩阵
一、逆矩阵的定义 二、逆矩阵判断及计算 三、逆矩阵的性质
7
一、逆矩阵的定义 在矩阵乘法中，对于任意n阶方阵A都有
AnE E nAA ,
单位阵E n具有与数1在数的乘法中类似的性质.
而对于任意数 a，若a0,则存在 a 1 使得 a a 1a1a1,