逆矩阵的计算

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如果方阵A是可逆的， 的逆阵一定是唯一 如果方阵 是可逆的，则 A 的逆阵一定是唯一 是可逆的 的。 这是因为：设 B、C 都是 A的逆矩阵， 则有 这是因为： 的逆矩阵， 、 的逆矩阵 B = BE = B（AC）=（BA）C = EC = C， （ ） （ ） ， 的逆阵是唯一的。 所以 A 的逆阵是唯一的。 A的逆阵记作 -1。 即若 的逆阵记作A 即若AB = BA = E，则 的逆阵记作 ， B = A -1 。 例如
A11= 2，A21= 6，A31=－4， 2， 6， A12=－3，A22=－6，A32=5， =5， A13= 2，A23= 2，A33=－2， 2， 2，
6 − 4 2 * 得 A = − 3 − 6 5 , 所以 2 2 − 2
1 3 − 2 1 * 3 5 −1 A = A = − . −3 A 2 2 1 1 − 1
(
)
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B = 2E − A2 ( E − A)−1
1 0 0 1 0 12 1 0 0 1 0 1 −1 = 2 0 1 0 − 0 2 0 ⋅ 0 1 0 − 0 2 0 0 0 1 − 1 0 1 0 0 1 − 1 0 1
3 2 0 −1 − 2 4 3 − 6, 设A = 2 1 2 , B = 2 2 1 1 0 1 − 1
因为AB=BA=E，所以B是A的逆阵，即 ，所以 是 的逆阵 的逆阵， 因为 A -1 = B
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矩阵可逆的条件
3 2 0 −1 − 2 4 3 − 6, 设A = 2 1 2 , B = 2 2 1 1 0 1 − 1
因为AB = BA = E，所以 是A的逆矩阵，同样 也 的逆矩阵， 因为 ，所以B是 的逆矩阵 同样A 的逆矩阵。 是B 的逆矩阵。
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例10 设
1 2 3 1 3 2 1 A = 2 2 1, B = 5 3, C = 2 0, 3 4 3 3 1
求矩阵X使满足 求矩阵 使满足AXB = C。 使满足 。 分析： 分析： 若A-1 ，B -1 存在，则由 -1左乘 存在，则由A 左乘AXB = C，又 ， 右乘AXB = C， 用B-1右乘 ， A-1 AXBB-1 = A-1 CB-1 ， 有 X = A-1 CB-1 。 即
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Ex.6
1 0 1 B 设A = 0 2 0, 又3阶方阵 满足等式 − 1 0 1 BA+ 2E = A2 + B, 其中 是3阶单位阵 求B. E ,
解 由BA+ 2E = A2 + B可得2E − A2 = B − BA,
或2E − A2 = B( E − A), 即B = 2E − A2 ( E − A)−1 .
§3
逆
阵
★逆矩阵的概念 ★矩阵可逆的条件 ★逆矩阵的求法
矩阵之间没有定义除法， 矩阵之间没有定义除法，而数的运算有 除法，本节相对于实数中的除法运算， 除法，本节相对于实数中的除法运算，引入 逆矩阵的概念。 逆矩阵的概念。
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逆阵的概念
定义7 对于n阶方阵 阶方阵A，如果有一个n 方阵B， 定义7 对于 阶方阵 ，如果有一个 阶方阵 ，使 AB = BA = E， ， 可逆的， 逆矩阵。 则说方阵 A 是可逆的，并把方阵 B 称为 A 的逆矩阵。 注意：只有方阵才有逆矩阵的概念。 注意：只有方阵才有逆矩阵的概念。 由定义即得： 也是B 由定义即得：当B为A 的逆矩阵时，A也是 的逆 为 的逆矩阵时， 也是 矩阵。 矩阵。 例如
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1 3 − 2 3 5 −1 3 − 1 −1 , B = 解 A = − −3 − 5 2 , 2 2 1 1 − 1
于是
X = A CB 1 3 2 1 3 3 3 − 1 5 2 0 = − −3 −5 2 2 2 1 3 1 1 − 1
可逆。 即A可逆。 此时 = 1≠ 0。 可逆 此时|A| 。 定理1表明，可逆阵的行列式一定不等于零。 定理 表明，可逆阵的行列式一定不等于零。这 表明 个结论反过来也成立。请看下面的定理2。 个结论反过来也成立。请看下面的定理 。
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定理2 定理2
的行列式不等于0 可逆， 若A的行列式不等于0 ，则A可逆，且 的行列式不等于 可逆
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二、不允许出现的“运算”： 不允许出现的“运算”
★矩阵与数的加、减法； 矩阵与数的加、减法； 矩阵与矩阵相除； ★矩阵与矩阵相除； 数除以矩阵。 ★数除以矩阵。 矩阵的运算中矩阵不能出现在“分母” 矩阵的运算中矩阵不能出现在“分母”中。这与 行列式是根本不同的。因为行列式是“ 行列式是根本不同的。因为行列式是“数”，当这个 数不等于零时，就可以出现在分母中， 数不等于零时，就可以出现在分母中，因此行列式可 以出现在分母中。 以出现在分母中。
0 − 1 3 4 −1 1 1 0 − 2 3 − 3 1 , B = 0 , 1 1 5 5 −5 −8 2 −2 4 0 1 计算AB, 并求A−1 .
10 0 0 0 0 10 0 0 解 容易计算出 = AB = 10E, 0 0 10 0 0 0 0 10 1 1 −1 即A B = E, 于是由推论知 = A B. 10 10
需要说明的是：通常利用伴随阵 来计算A的逆 需要说明的是：通常利用伴随阵A* 来计算 的逆 矩阵的方法只限于阶数不超过3的矩阵， 矩阵的方法只限于阶数不超过3的矩阵，否则计算量可 能很大。 能很大。 对于阶数高于3 的矩阵， 对于阶数高于3 的矩阵，以后将介绍用初等变换 的方法来求逆矩阵。 的方法来求逆矩阵。
1 1 −2 1 3 − 1 = 0 − 2 − 5 2 = 10 − 4. 0 2 − 10 4
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−1
−1
矩阵的运算小结
一、已定义过的运算： 已定义过的运算：
★矩阵与矩阵的加、减法； 矩阵与矩阵的加、减法； 矩阵与数的乘积； ★矩阵与数的乘积； 矩阵与矩阵的乘积； ★矩阵与矩阵的乘积； 方阵的行列式； ★方阵的行列式； 逆矩阵； ★逆矩阵； 矩阵的转置。 ★矩阵的转置。
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三、矩阵运算中要注意的地方 ★以下运算都只有方阵才有： 以下运算都只有方阵才有： 方阵才有 (1). 逆矩阵； 逆矩阵； (2). 方幂； 方幂； (3). 矩阵的行列式。 矩阵的行列式。 交换律 ★矩阵的乘法通常没有交换律、消去律。 矩阵的乘法通常没有交换律、消去律。 ★两个非零矩阵相乘的结果可能是零矩阵。 两个非零矩阵相乘的结果可能是零矩阵。 即当两个矩阵的乘积为零矩阵时， 即当两个矩阵的乘积为零矩阵时，不能推 出其中必有一个为零矩阵。 出其中必有一个为零矩阵。 ★用一个数去乘以矩阵与用一个数去乘以行列 式是不同的。 式是不同的。
12 0 0 1 * 1 −1 A = A = 0 8 0 | A| 24 0 0 6
1 2 =0 0
0 1 3 0
0 0 . 1 4
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a1 0 , 由上例可推得设A = 0 0
1 a1 0 则A−1 = 0 0 0 1 a2 0 0 L L O L
, 当| A|≠ 0, λ, µ为整数时有
A A =A
λ µ λ +µ
,(A ) = A .
λ µ
λµ
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例9
解
1 2 3 . 求方阵 A = 2 2 1的逆阵 3 4 3 ≠0， 可逆。 经计算可得： |A| = 2 ≠0，知A可逆。 经计算可得： | 可逆
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Ex.4
2 0 0 . 设A = 0 3 0, 求A的逆矩阵 0 0 4
解 因| A|= 24 ≠ 0,故A可逆 .
又
A11 = 12,
A22 = 8,
A33 = 6,
Aij = 0(i, j = 1,2,3, 且i ≠ j),
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12 0 0 * 所以A = 0 8 0, 于是 0 0 6
证 因为|A| |B| = |E| ＝1，故|A| ≠ 0， 0， 因为 ， | 存在， 因而 A -1存在， 于是 B = E B =（A -1 A）B = A -1 （AB）= A -1 E = A -1 。 （ ） ）
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可用来求一些矩阵的逆矩阵。 注：定理2可用来求一些矩阵的逆矩阵。 定理 可用来求一些矩阵的逆矩阵
(λA) =
−1
1
A−1 .
(4).若A可逆, 则A 也可逆 且( A ) = ( A ) . ,
T
T −1
−1 T
证 AT ( A−1 )T = ( A−1 A)T = ET = E.
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当| A|≠ 0时,
定义
A = E, A = ( A ) ,
0
−k
−1 k
为正整数。 其中 k 为正整数。
0 a2 0 0
L 0 L 0 (a1a2 Lan ≠ 0), O 0 L an
0 0 . 0 1 an
也可以直接按定义来验证这一结论。 也可以直接按定义来验证这一结论。
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Ex.5
1 1 1 2 设A = 1 −2 2 0
定理1 可逆， 定理1 若方阵 A 可逆，则 A 的行列式不等于 0 。 可逆， 证 A 可逆，即有 A -1 ，使 AA -1 = E， ， ||A |=|E| 1， 故 |A|| -1 |=| | = 1， || 所以| | 所以|A| ≠ 0 。
3 7 5 − 7 例如 设A = ， 2 5 , B = − 2 3 , 易见 易见AB=BA=E，
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方阵的逆阵满足下述运算规律： 方阵的逆阵满足下述运算规律：
(1).若A可逆, 则A−1也可逆 且( A−1 )−1 = A. , (2).若A可逆 数λ ≠ 0, 则λA也可逆 并且 , ,
λ (3).若A, B是同阶可逆方阵则AB也可逆 且 , ,
( AB)−1 = B−1 A−1 . 证 ( AB)( B−1 A−1 ) = A(BB−1 ) A−1 = AEA−1 = E.
1 2 例如 设A = 可逆。 可逆 2 3, 则| A|= −1 ≠ 0 故A可逆。 3 − 2 1 * 1 3 − 2 − 3 2 * −1 因为A = − 2 1 , 所以A = | A | A = − 1 − 2 1 = 2 − 1.
1 * A = A, A
−1
A A . 其中 *为方阵 的伴随阵
证 由例 9 知AA* = A*A = |A|E， | | ，
因 A ≠ 0, 故有
−1
1 * 1 * A( A ) = ( A ) A = E, A A
1 * , A. 所以 有A = A
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由定理1和定理2可得：矩阵 由定理1和定理2可得：矩阵A 是可逆方阵的充 分必要条件是 |A| ≠ 0 。 | 称为奇异方阵 否则称为非 奇异方阵， 当 |A| = 0 时，A 称为奇异方阵，否则称为非 | 奇异阵。 奇异阵。 推论 ），则 若 AB = E（或 BA = E），则B = A -1 。 （ ），