极坐标与参数方程取值范围问题

极坐标与参数方程取值范围问题一．解答题（共12小题）

1．已知曲线C

1的极坐标方程为ρ2cos2θ=8，曲线C

2

的极坐标方程为，曲线C

1

、

C

2

相交于A、B两点．（p∈R）

（Ⅰ）求A、B两点的极坐标；

（Ⅱ）曲线C

1

与直线（t为参数）分别相交于M，N两点，求线段MN的长度．2．【坐标系与参数方程】设直线l的参数方程为（t为参数），若以直角坐标系xOy的O点为极点，Ox轴为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程为ρ=．

（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；（2）若直线l与曲线C交于A、B两点，求|AB|．

3．（选修4﹣4：坐标系与参数方程）已知曲线C的参数方程是（φ为参数，a ＞0），直线l的参数方程是（t为参数），曲线C与直线l有一个公共点在x轴上，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系．

（Ⅰ）求曲线C普通方程；

（Ⅱ）若点在曲线C上，求的值．

4．已知在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐

标系，圆锥曲线C的极坐标方程为，定点，F

1，F

2

是圆锥曲线C的左、右焦点．直

线经过点F

1且平行于直线AF

2

．

（Ⅰ）求圆锥曲线C和直线的直角坐标方程；

（Ⅱ）若直线与圆锥曲线C交于M，N两点，求|F

1M|•|F

1

N|．

5．在平面直角坐标系xoy中，曲线C

1

的参数方程为（a＞b＞0，ϕ为参数），在

以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C

2

是圆心在极轴上，且经

过极点的圆．已知曲线C

1上的点对应的参数ϕ=，射线θ=与曲线C

2

交于点．

（Ⅰ）求曲线C

1，C

2

的方程；

（Ⅱ）若点A（ρ

1，θ），在曲线C

1

上，求的值．

6．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的圆心的极坐标为（，），半径r=，点P的极坐标为（2，π），过P

作直线l交圆C于A，B两点．

（1）求圆C的直角坐标方程；

（2）求|PA|•|PB|的值．

7．在平面直角坐标系xOy中，曲线C

1

为（1＜a＜6，φ为参数）．在以O为原点，

x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C

2

的极坐标方程为ρ=6cosθ，射线为

θ=α，与C

1的交点为A，与C

2

除极点外的一个交点为B．当α=0时，|AB|=4．

（1）求C

1，C

2

的直角坐标方程；

（2）设C

1与y轴正半轴交点为D，当时，设直线BD与曲线C

1

的另一个交点为E，

求|BD|+|BE|．

8．极坐标系中，圆C方程ρ=2cosθ﹣2sinθ，A（，2π），以极点作为直角坐标系的原点，极轴作为x轴的正半轴，建立直角坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位．

（Ⅰ）求圆C在直角坐标系中的标准方程；

（Ⅱ）设P为圆C上的任意一点，圆心C为线段AB中点，求|PA|•|PB|的最大值．9．（选修4﹣4：极坐标系与参数方程）

极坐标系中，求圆ρ=上的点到直线ρcos（θ+）=1的距离的取值范围．

10．已知直线C

1：（t为参数），曲线C

2

：ρ+=2sin（θ+）．

（1）求直线C

1的普通方程与曲线C

2

的直角坐标方程；

（2）求直线C

1被曲线C

2

所截的弦长．

11．已知直线l是过点P（﹣1，2），方向向量为=（﹣1，）的直线，圆方程ρ=2cos （θ+）

（1）求直线l的参数方程

（2）设直线l与圆相交于M，N两点，求|PM|•|PN|的值．

12．已知点P的极坐标为，曲线C的极坐标方程为ρ=﹣4cosθ，过点P的直线l交曲线C与M、N两点，求|PM|+|PN|的最大值．

极坐标与参数方程取值范围问题

参考答案与试题解析

一．解答题（共12小题）

1．已知曲线C

1的极坐标方程为ρ2cos2θ=8，曲线C

2

的极坐标方程为，曲线C

1

、

C

2

相交于A、B两点．（p∈R）

（Ⅰ）求A、B两点的极坐标；

（Ⅱ）曲线C

1

与直线（t为参数）分别相交于M，N两点，求线段MN的长度．【解答】解：（Ⅰ）由得：，

∴ρ2=16，

即ρ=±4．

∴A、B两点的极坐标为：或．

（Ⅱ）由曲线C

1

的极坐标方程ρ2cos2θ=8化为ρ2（cos2θ﹣sin2θ）=8，

得到普通方程为x2﹣y2=8．

将直线代入x2﹣y2=8，

整理得．

∴|MN|==．

2．【坐标系与参数方程】设直线l的参数方程为（t为参数），若以直角坐标系xOy的O点为极点，Ox轴为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程为ρ=．

（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；（2）若直线l与曲线C交于A、B两点，求|AB|．

【解答】解：（1）由ρ= 得ρsin2θ=8cosθ，∴ρ2sin2θ=8ρcosθ，∴y2=8x，∴曲线C表示顶点在原点，焦点在x上的抛物线．

（2），即y=2x﹣4，代入y2=8x得 x2﹣6x+4=0，∴x

1+x

2

=6，x

1

•x

2

=4，

∴|AB|=•|x

1﹣x

2

|=•=•=10．