人教版小学数学六年级上册《8数学广角——数与形》优质课教学设计_0

第八单元数学广角——数与形的教学设计

一、教材说明和教学建议

（一）教学目标

1、使学生通过自主研究发现图形中隐藏着的书的规侓，并会应用所发现的规侓。

2、使学生会利用图型来解决一些有关的问题。

3、使学生在解决数学问题的过程中，体会和掌握数形结合`、归纳推理、极限等基本的数学思想。

（二）内容安排及其特点

1、教学内容和作用。

数形结合是一种非常重要的数学思想，把数与行结合起来解决问题可使复杂

的问题变得更简单，使抽象的问题变得更直观。

数与形相结合的例子在小学教材中比比皆是。有的时候，是图形中隐含着数的规侓，可利用数的规侓来解决图形的问题。有时候，是利用图形来直观地解释

一些比较抽象的数学原理与事实，让人一目了然。尤其是小学生思维的抽象程

度还不够高.经常需要借助直观模型来帮助理解。

例如：利用长方形模型来教学乘法的算理，利用线段图来帮助学生理解分数除

法的算理，利用面积模型来解释两位乘两位数的算理、乘法分配侓、完全平方

公式等（如下图）。还有时候，数与形密不可分，可用“数”来解决“形”的问题，也可以用“形”来解决“数”的问题。例如：几何及微积分中曲线与方程、方程组及函数与图像互为工具互为解释，有机融合。小学中的正比例关系和反比比例关

系图象也很好的反映了这样的思想。

本单元中，教材以“1+3+5+7+……+（2n-1）=n2”“1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 +……=1”为例，引导学生认识和利用数学与形的结合，可以解决

一些有趣的数学问题。具体编排结构如下：等差数列1,3,5，…之

和与正方形数的关系例1 数与形求等比数列

1/2,1/4,1/8，…之和例2 从上表可以看出，本单元的教学内容分为两个层

次。一是使学生通过数与形的对照，利用图形直观形象的特点表示出数的规律。例如，例1中，从图形的角度直观的理解“正方形数”和“平方数”的特点

二、是借助图形解决一些比较抽象的、复杂的、不好解释的问题

。例如，例2中，解决1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 +……的求和问题，教材利用分数意义的直观模型，使学生直观的理解“无限”的抽象概念；再如，练习二十二第6题，通过画示意图的方式可以比较便捷的解决比较抽象的

问题。2、教材编排特点。本单元教材在编排上有下面几个特点。

⑴突出探索规律、应用规律的编排意图。不管是数还是形，都突出对其规律

的探索。例如，通过观察和计算1、1+3、1+3+5、1+3+5+7+…既能发现加数的规律（从1开始的连续奇数的相加），又能发现和的规律（都是连

续的正方形数）；通过观察和计算1/2+1/4、1/2+1/4+1/8、

1/2+1/4+1/8+1/16，…同样，既能发现加数的规律，又能发现和的规律。

在发现规律的基础上，通过推理，再引导学生把规律应用于一般的情形，

解决问题。

⑵在利用数形解决问题的过程中积累基本的活动经验，培养基本的数学思想。

例如，在例2中，让学生通过计算，发现和越来越趋向于1，感受什么叫

“无限接近”。虽然无法一一穷举所得的结果，但可以利用观察到的规律进行“无穷无尽的”类推。使学生在这一过程中体会推理和极限的思想。

（三）教学建议

1、引导学生数形结合，相互印证。形的问题中包含数的规律，数的

问题也可以用形来帮助解决，教学时，要让学生通过解决问题体会到数与

形的这种完美结合。既可以从数的角度出发，让学生看看可以怎样用图形

来表示数的规律，也可以让学生寻找图形中所包含的数的规律。通过数与

形的对应关系，互相印证结果、感受数学的魅力。例如，在例1中可以先

让学生计算1+3+5+…的得数，使学生发现得到的和都是“平方数”，再通过图形的规律理解“平方数”和“正方形数”的含义。也就是说，如果用1个小正方形、3个小正方形、5个小正方形……可以共同拼出一些大小不一的大正方形图。也可以有规律的呈现由小正方形拼成的大小不一的大正方形图，

让学生看看前后两个大正方形图相差多少个小正方形，例如，边长是2的

大正方形和边长是1大正方形，相差的是3个小正方形；边长是3的大正

方形和边长是2大正方形，相差的是5个小正方形……相差的小正方形数正好是形中的小正方形数。因此，每个大正方形图中都隐藏着一个算式，即1+3+5+…+（2n-1）=n2。

2、使学生感受到用形来解决数的有关问题的直观性与简捷性。图形

的直观、形象的特点，决定了化数为形往往能够达到以简驭繁的目的。例如，例2中，用举例的方法求出等比数列的有限和，都不能证明无限多项

相加的结果为1。但是如果用圆和线段的图形加以说明，学生则比较容易理解当一个数无限趋近于1时，其结果就是1.一个极其抽象的极限问题，由

于用图形来解决，就变得十分直观和便捷了。

3、引导学生从不同的角度探索数与形的通用模式。小学阶段，虽然不要求写出一个数列的通式，但可以通过数形结合的方法，利用图形的规律，从不同的角度，用自己的语言描述出数列的通用模式。例如，第109页第1题，根据例1的结论，很容易得到第n个图形中最外围的小正方形数为：（2n+1）2-（2n-1）2，也可以从结果看到第一个图最外圈有8个小正方形，第二个图最外圈有8×2个小正方形，第三个图最外圈有8*3个小正方形……通过推理，可知第n个图最外圈就有8×n个小正方形，每一次都是

在前一个图的基础上增加8个小正方形。还可以引导学生进一步思考：每

次多的这8个小正方形都是怎么来的？使学生观察到是由于每边增加2个

小正方形所产生的。

三、布置作业