圆周角课件

推论：在同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧也
相等。
C2
C1
C3
A
·O
B
结论
推论：半圆或直径所对的圆周角都 相等，都等于90°（直角）。 反过来也是成立的，即
90°的圆周角所对的弦是圆的直径。
求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角 形是直角三角形．（提示：作出以这条边为直径的圆.）
(2)一个定理：一条弧所对的圆周角等于
该弦所对的圆心角的一半；
(3)二个推论： 同圆内，同弧或等弧所对的圆周角
相等；相等的圆周角所对的弧相等。 半圆或直径所对的圆周角是直角；
90°的圆周角所对的弦是直径。
∴AD⊥BC，
B
E DC
∵AB=AC，
∴AD平分顶角∠BAC，即∠BAD=∠CAD，
∴ ⌒BD= ⌒DE （同圆或等圆中，相等的圆周角 所对弧相等）。
例题
如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平
分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长．
解：∵AB是直径，
C
∴ ∠ACB= ∠ADB=90°．
已知：△ABC
，CO为AB边上的中线，且CO=
1 2
AB
求证： △ABC 为直角三角形.
C
证明： 以AB为直径作⊙O，
∵AO=BO，
CO=
1
2 AB,
∴AO=BO=CO.
A
·
B
O
∴点C在⊙O上.
又∵Hale Waihona Puke BaiduB为直径,
∴∠ACB=
1 2
×180°= 90°.
∴ △ABC 为直角三角形.
练习一：1.求圆中角X的度数。
35°
120°
120°
O.
70° x
A
B
O.
X
A
O
A
B
C
2.如图，圆心角∠AOB=100°，则
∠ACB=1__3_0。°
3、 如图，在直径为AB的半 圆中，O为圆心，C、D为半 圆上的两点，∠COD=500， 则∠CAD=__2_5_°_____
内容小结：
(1)一个概念（圆周角）
(2)一个定理：同弧或等弧所对的圆周角等于
在Rt△ABC中，
BC AB2 AC2 102 62 8 A
·O
B
∵CD平分∠ACB，
AD BD.
D
∴AD=BD.
又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，
AD BD 2 AB 2 10 5 2(cm)
2
2
1.如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形ABCD的对
角线把4个内角分成8个角，这些角中哪些是相等的角？
· O
∴∠ABC=∠APC=60°
B
C
(同弧所对的圆周角相等）
同圆理周，角，∵∠B∴A∠CB和A∠CC=P∠BC都PB是=6⌒0°BC。所对的
∴△ABC等边三角形。
练 已知：如图，在△ABC中，AB=AC,
习 以AB为直径的圆交BC于D,交AC于E,
三 求证：B⌒D=D⌒E
A
证明：连结AD.
∵AB是圆的直径，点D在圆上， ∴∠ADB=90°，
圆心角的一半；
(3)二个推论： 同圆或等圆中，同弧或等弧所对的
圆周角相等；相等的圆周角所对的弧 相等半。圆或直径所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径。
练习二：如图，P是△ABC的外接圆上的一点
∠APC=∠CPB=60°。求证：△ABC是等
边三角形。 证明：∵∠ABC和∠APC
A P
都是 A⌒C 所对的圆周角。
已知：△ABC
，CO为AB边上的中线，且CO=
1 2
AB
求证： △ABC 为直角三角形.
C
证明： 以AB为直径作⊙O，
∵AO=BO，
CO=
1
2 AB,
∴AO=BO=CO.
A
·
B
O
∴点C在⊙O上.
又∵AB为直径,
∴∠ACB=
1 2
×180°= 90°.
∴ △ABC 为直角三角形.
内容小结：
(1)一个概念（圆周角）
∠1 = ∠4 ∠5 = ∠8
∠2 = ∠7 ∠3 = ∠6
A1
2
C
8 7
3
4
B
6 5
D
2.如图，你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？你有多少种方法？与同学
交流一下．
方法三
方法一
O
A
B
C
O
方法二
D 使用帮助
A · B
方法四
O
3.求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三 角形是直角三角形．（提示：作出以这条边为直径的圆.）
圆周角定理
在同一个圆或等圆中 ,同弧或等弧 所对的圆周角相等，都等于该弧或等 弧所对的 圆心角的一半；
如图：则有 ∠∠∠AAADCCBBB===12∠12AAAOODB；B.；B
1.在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧之间有什么关系？
2.半圆（或直径）所对的圆周角是直角吗?90°的圆周角所对 弦是直径吗？