圆周角课件
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圆周角(优秀课件)
A C
●O
●O
B
B
圆周角∠BAC与圆心角∠BOC的大小关系.
1.第一种情况：
∵ OA=OC ∴∠A=∠C 又 ∠BOC=∠A＋∠C ∴∠BOC=2∠A
即∠A= 1 ∠BOC 2A OB来自C2.第二种情况：
A
证明：由第1种情况得
O
∠BAD＝12 ∠ BOD
B
C
D
∠CAD＝ 1 ∠ COD
2
∠BAD＋∠CAD＝1 ∠ BOD＋1 ∠COD
2
2
即∠BAC= 1 ∠BOC 2
3.第三种情况：
A
证明：作射线AO交⊙O于D。
由第1种情况得
∠CAD＝ 1 ∠ COD
2
∠BAD＝12 ∠ BOD
∠CAD－∠BAD＝1 ∠ COD－1
2
2
即∠BAC= 1 ∠BOC 2
O C
DB
∠BOD
归纳总结
圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的 C 圆心角的一半．
2.一条弧所对的圆周角等于这条弧所 对的圆心角的一半．
3 同弧或等弧所对的圆周角相等 直径（或半圆）所对的圆周角是直 角， 90°的圆周角所对的弦是直 径．
弦，若∠ACD=40°，则∠BOD 的度数为
C
A
.O B
D
6.如图，△ABC的顶点A、B、C都在⊙O上， ∠C＝30°，AB＝2，则⊙O的半径是多少？
C
O A
B
7. 如图，以 ABCD的一边AB为直 径作⊙O， ⊙O过点C，若 ∠AOC=70 °，则∠BAD的度数为
D
A
.O
C
B
小结:
1.圆周角定义:顶点在圆上,并且两边都和圆相 交的角叫圆周角.
数学九年级上第三篇第四节《圆周角》课件
数学九年级上第三篇第四节《圆周 角》课件
目录
• 圆周角基本概念与性质 • 圆周角定理及其推论 • 弧长与扇形面积计算 • 圆锥曲线中圆周角应用 • 拓展延伸：其他几何图形中圆周角应用 • 总结回顾与课堂练习
01 圆周角基本概念与性质
圆周角定义及特点
圆周角定义
顶点在圆上，并且两边都和圆相 交的角叫做圆周角。
圆周角性质总结
01
02
03
性质1
在同圆或等圆中，如果两 个圆周角相等，那么它们 所对的弧也相等。
性质2
在同圆或等圆中，如果两 条弧相等，那么它们所对 的圆周角也相等。
性质3
在同圆或等圆中，同弧或 等弧所对的圆周角相等， 都等于这条弧所对的圆心 角的一半。
02 圆周角定理及其推论
圆周角定理内容
ห้องสมุดไป่ตู้圆周角定义
圆柱、圆锥等立体图形中圆周角应用
圆柱中的圆周角
圆柱侧面展开图是一个矩形，其相邻两边夹角即为圆周角。利用圆周角定理可解决圆柱中 的相关问题。
圆锥中的圆周角
圆锥侧面展开图是一个扇形，其圆心角即为圆锥的顶角，而圆周角则为顶角的一半。利用 这些性质可解决圆锥中的相关问题。
圆周角定理在立体图形中的应用
在解决立体图形的问题时，可利用圆周角定理将问题转化为平面问题，从而简化计算过程 。
设扇形半径为r cm，则根据扇 形面积计算公式有 (45° × π × r²) / 360 = 24cm²，解得 r≈4.37cm（保留两位小数）。 再根据弧长计算公式，弧长 = 45° × 4.37cm × π / 180 ≈ 3.43cm（保留两位小数）。
04 圆锥曲线中圆周角应用
圆锥曲线基本概念回顾
典型例题解析
目录
• 圆周角基本概念与性质 • 圆周角定理及其推论 • 弧长与扇形面积计算 • 圆锥曲线中圆周角应用 • 拓展延伸：其他几何图形中圆周角应用 • 总结回顾与课堂练习
01 圆周角基本概念与性质
圆周角定义及特点
圆周角定义
顶点在圆上，并且两边都和圆相 交的角叫做圆周角。
圆周角性质总结
01
02
03
性质1
在同圆或等圆中，如果两 个圆周角相等，那么它们 所对的弧也相等。
性质2
在同圆或等圆中，如果两 条弧相等，那么它们所对 的圆周角也相等。
性质3
在同圆或等圆中，同弧或 等弧所对的圆周角相等， 都等于这条弧所对的圆心 角的一半。
02 圆周角定理及其推论
圆周角定理内容
ห้องสมุดไป่ตู้圆周角定义
圆柱、圆锥等立体图形中圆周角应用
圆柱中的圆周角
圆柱侧面展开图是一个矩形，其相邻两边夹角即为圆周角。利用圆周角定理可解决圆柱中 的相关问题。
圆锥中的圆周角
圆锥侧面展开图是一个扇形，其圆心角即为圆锥的顶角，而圆周角则为顶角的一半。利用 这些性质可解决圆锥中的相关问题。
圆周角定理在立体图形中的应用
在解决立体图形的问题时，可利用圆周角定理将问题转化为平面问题，从而简化计算过程 。
设扇形半径为r cm，则根据扇 形面积计算公式有 (45° × π × r²) / 360 = 24cm²，解得 r≈4.37cm（保留两位小数）。 再根据弧长计算公式，弧长 = 45° × 4.37cm × π / 180 ≈ 3.43cm（保留两位小数）。
04 圆锥曲线中圆周角应用
圆锥曲线基本概念回顾
典型例题解析
圆周角-PPT课件
E
20°
30°
∴∠ABF=∠D=20°，∠FBC=∠E=30°.
∴∠x=∠ABF+∠FBC=50°.
A F
C
下列说法是否正确，为什么？
拓展巩固
“在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等”.
一条弦所对应的圆周角有两类.
D
如图所示，连接BO、EO. 显然，∠C与∠D所对应的圆心角和为 ，
O.
所以36根0°据圆周角定理可知∠C+∠D = . 180°
通过积极引导，帮助学生有意识地积累活动经验，获得成功的 体验.
知识回顾
O
1.圆心角的定义?
顶点在圆心的角叫圆心角.
A
B
2.图中∠ACB 的顶点和边有哪些特点？
C
考考你：你能仿照圆心角的定义，给下
图中象∠ACB 这样的角下个定义吗？
O
A
B
探索新知
顶点在圆上，并且两边都和圆相交 的角叫圆周角．（两个条件必须同时具备，缺一不可）
24.1 圆的有关性质
24.1.4 圆周角
教学目标
【知识目标】 理解圆周角的概念。探索圆周角与同弧所对的圆心角之间的关
系，并会用圆周角定理及推论进行有关计算和证明. 【能力目标】
经历探索圆周角定理的过程，初步体会分类讨论的数学思想， 渗透解决不确定的探索型问题的思想和方法，提高学生的发散思维能 力. 【情感目标】
意两点，连接AB，AC，BD，CD.∠A与∠D相等吗？ 请说明理由.
D
同弧所对的圆周角相等.
问题2 如图，若
,那么 ∠A与∠B相等吗？
想一想： 反过来，若∠A=∠B，那么
成立吗？
AB E
O
C
2.4 圆周角 课件 苏科版数学九年级上册(30张PPT)
知识点 1 圆周角
感悟新知
1. 圆周角的定义 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的 角叫做圆周角.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
特别解读 圆周角必须满足两个条件： 1. 顶点在圆上；2. 两边都和圆相交.
2. 圆心角与圆周角的区别与联系
感悟新知
名称 关系
圆心角
圆周角
顶点在圆心
顶点在圆上
区别
在同圆中，一条弧所 对的圆心角只有唯一
一个
特别提醒
感悟新知
1. 求圆中的某一个圆周角时，根据“圆内接四 边形的对角互补”，可以转化为求其内接四边形的 对角的度数.
2. 圆内接四边形的一组对角其实是圆中一条弧 所对的两个圆周角，因此，在同圆或等圆中，相等 的弧所对的圆周角相等或互补.
结构导图
课堂小结
圆周角
概念
圆周角定理的推论 圆周角定理 圆内接四边形的性质
感悟新知
2. 一条弦(非直径)所对的圆周角有两种类型，一类是劣弧所 对的圆周角，是一个锐角；另一类是优弧所对的圆周角， 是一个钝角. 如图2.4-4，弦AB所对的圆周角是∠ACB与 ∠ADB，它们分别是A⌒B所对的圆周角和 A⌒CB所对的圆周角.
特别提醒
感悟新知
1. 一条弧所对的圆周角有无数个. 2. 一条弧所对的圆心角只有一个. 3. 由于圆心角的度数与它所对的弧的度数相 等，所以也可以说：圆周角的度数等于它所对 的弧的度数的一半. 这两种表述是一致的，解题 时，也可以直接作为定理加以应用.
∴ OB＝12BC．∵ OB＝2， ∴ BC＝2OB＝4．∴⊙A的半径为2．
方法点拨
感悟新知
“90°的圆周角所对的弦是直径”是判定直 径的常用方法．特别是在平面直角坐标系中， 当圆经过坐标原点O 时，连接圆与两坐标轴的 交点，得到的弦是直径．
《圆周角》九年级数学初三上册PPT课件
时间：20XX
前言
学习目标
1.理解圆周角的定义，了解与圆心角的关系，会在具体情景中辨别圆周角。
2.掌握圆周角定理及推论，并会运用这些知识进行简单的计算和证明;
3.学习中经理操作、观察、猜想、分析、交流、论证等数学活动，体验圆周角的、定理的探索。
重点难点
重点：理解并掌握圆周角定理及推论。
难点：圆周角定理的证明。
Concise And Concise Do Not Need Too Much Text
时间：20XX
第二十四章 圆
24.1.4 圆周角
人 教 版
数 学 九 年 级 上 册
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Concise And Concise Do Not Need Too Much Text
圆心角和圆周角之间存在的关系
情景二（证明∠BAC=
1 2
3
5
D
4
6
1
∠BOC）:
2
连接AO，延长AO,与⊙O相交于点D
证明二：
OA=OC=>∠4＝∠2
OA=OB=>∠1＝∠3
∠5＝∠1 ＋∠3
∠6＝∠5 ＋∠4
∠=∠5+∠6
=> ∠ = ∠。
圆心角和圆周角之间存在的关系
情景三（证明∠BAC=
B
A
个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形。
O
这个圆叫做这个多边形的外接圆。
例：四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
⊙O是四边形ABCD的外接圆。
圆周角课件
11、如图，在⊙O中，B⌒C=2⌒DE， ∠ BOC=84°，求 ∠A
的度数。
7.如图,圆O中,AB是直径,半径CO⊥AB,
D是CO的中点,DE∥AB,求∠ABE的度数.
C
E
D
A O
B
五、补充知识
1.如图,在⊙O中,∠BAD=50°,求∠C的大小.
A
2.若∠BAD=80°,求∠C的大小.
●O
即：∠ABC = 1 ∠AOC
2
四、巩固训练：
1.如图,在⊙O中,∠BOC=50°,求∠A的大
小.
解: ∠A= 1∠BOC=25°.
2
B C
●O A
2.练习:在下列各图中， ∠α１＝ 70°，∠α２＝ 60°，
C
７５º α１
A
O
B A
C α２ O １２０º
B
∠α３＝ 120°，∠α４＝ 140° .
B
D
3.若∠BCD=120°,求∠A的大小.
C
由此，你能得到什么结论
圆周角定理推论： 圆内接四边形对角互补。 （注：顶点都在圆上的四边形叫圆内接四边形）
. O
A
B
7、如图(1),在⊙O中,∠BAD =50°,求∠C的大小.
∠C=130º
A
C D
B
●O
B
D
EA ●O
●O
B
C (1)
A
C
(2)
(3)
8、如图(2),在⊙O中,∠B,∠D,∠E的大小有什么关系?
为什么? ∠B=∠D=∠E
9、如图(3),AB是直径,你能确定∠C的度数吗?∠C=90º
10、AB、AC为⊙O的两条弦，延长CA到D，使AD=AB，如 果∠ADB=35º，求∠BOC的度数。
的度数。
7.如图,圆O中,AB是直径,半径CO⊥AB,
D是CO的中点,DE∥AB,求∠ABE的度数.
C
E
D
A O
B
五、补充知识
1.如图,在⊙O中,∠BAD=50°,求∠C的大小.
A
2.若∠BAD=80°,求∠C的大小.
●O
即：∠ABC = 1 ∠AOC
2
四、巩固训练：
1.如图,在⊙O中,∠BOC=50°,求∠A的大
小.
解: ∠A= 1∠BOC=25°.
2
B C
●O A
2.练习:在下列各图中， ∠α１＝ 70°，∠α２＝ 60°，
C
７５º α１
A
O
B A
C α２ O １２０º
B
∠α３＝ 120°，∠α４＝ 140° .
B
D
3.若∠BCD=120°,求∠A的大小.
C
由此，你能得到什么结论
圆周角定理推论： 圆内接四边形对角互补。 （注：顶点都在圆上的四边形叫圆内接四边形）
. O
A
B
7、如图(1),在⊙O中,∠BAD =50°,求∠C的大小.
∠C=130º
A
C D
B
●O
B
D
EA ●O
●O
B
C (1)
A
C
(2)
(3)
8、如图(2),在⊙O中,∠B,∠D,∠E的大小有什么关系?
为什么? ∠B=∠D=∠E
9、如图(3),AB是直径,你能确定∠C的度数吗?∠C=90º
10、AB、AC为⊙O的两条弦，延长CA到D，使AD=AB，如 果∠ADB=35º，求∠BOC的度数。
35圆周角PPT教学课件
12
即:∠BAC= ∠BOC
2
第11页/共19页
圆周角定理：
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
∵∠BAC和∠BOC都对B⌒C
∴∠BAC= 1 ∠BOC 2
B C
B C
B C
●O
●O
●O
A
A A
第12页/共19页
问题1、如图1,在⊙O中,∠C,∠D,∠E的大小有什么关
系?为什么?
D
C E
=2∠BAC
1 ∴∠BAC= 2 ∠BOC
第9页/共19页
能否也使圆心O落在圆周角的边上?
A
O
B
C
D
求证：
1 ∠BAC= ∠BOC 2
(2)当圆心O在圆周角∠BAC的内部时,过点A 作直径AD 由(1)得∠BAD= 1 ∠BOD
2
∠DAC= 1 ∠DOC
21
∴ ∠BAD+ ∠DAC= (∠BOD + ∠DOC)
。
∠ BAC
思考： ∠A与同弧所对的圆心角 ∠ BOC 的度数有何关系？
Zx.xk
A
B
第6页/共19页
O C
思考： ∠A与同弧所对的圆心角 ∠ BOC 的度数有何关系？
1 猜想：∠A＝ ∠BOC
即：∠BOC＝Zx.2xk ∠A
2
B
命题：一条弧所对的圆周角等于它 所对的圆心角的一半.
A
O C
第7页/共19页
温馨提示：分类
角边上
A
角内
A
角外
A
O
O
O
B
C
C
已知B ：如图C ，∠BOC和∠BAC分别是B B⌒C
圆周角定理PPT课件
关系？
n 为了解决这个问题,我们先探究同弧所对的圆周角和 圆心角之间有的关系.
你会画同弧所对的圆周角和圆心角吗?
精选2021最新课件
5
探究同一条弧所对的圆周角和圆心角的关系
1、分别量一量图23.1.10中弧AB所对的两 个圆周角的度数比较一下. 再变动点C在 圆周上的位置，看看圆周角的 度数有没有变化. 你发 现其中有什么规律吗？
C
O.
A
B
顶点在圆上
两边都与圆相交
这样的角叫圆周角。
精选2021最新课件
3
问题探讨：
判断下列图形中所画的∠P是否为圆周角？并说明理
由。
P
P
P
P 不是
顶点不 在圆上。
是
顶点在圆上， 两边和圆相 交。
不是
两边不和 圆相交。
精选2021最新课件
不是 有一边和圆 不相交。
4
类比圆心角 探知 圆周角
• 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆心角相等. • 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角有什么
B
n老师提示:能否转化为1的情况? n过点B作直径BD.由1可得:
AD C
n∠ABD
=
∠1 AOD,∠CBD
2
=
∠1 COD,
2
●O
∴ ∠ABC = ∠1 AOC.
2
B
同弧所对的圆周角等于它所对
你能写出这个命题吗?
的圆心角的一半.
精选2021最新课件
11
圆周角和圆心角的关系 A
C
• 如果圆心不在圆周角的一边上,结果 会怎样?
四边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角，
这些角中哪些是相等的角？
n 为了解决这个问题,我们先探究同弧所对的圆周角和 圆心角之间有的关系.
你会画同弧所对的圆周角和圆心角吗?
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5
探究同一条弧所对的圆周角和圆心角的关系
1、分别量一量图23.1.10中弧AB所对的两 个圆周角的度数比较一下. 再变动点C在 圆周上的位置，看看圆周角的 度数有没有变化. 你发 现其中有什么规律吗？
C
O.
A
B
顶点在圆上
两边都与圆相交
这样的角叫圆周角。
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3
问题探讨：
判断下列图形中所画的∠P是否为圆周角？并说明理
由。
P
P
P
P 不是
顶点不 在圆上。
是
顶点在圆上， 两边和圆相 交。
不是
两边不和 圆相交。
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不是 有一边和圆 不相交。
4
类比圆心角 探知 圆周角
• 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆心角相等. • 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角有什么
B
n老师提示:能否转化为1的情况? n过点B作直径BD.由1可得:
AD C
n∠ABD
=
∠1 AOD,∠CBD
2
=
∠1 COD,
2
●O
∴ ∠ABC = ∠1 AOC.
2
B
同弧所对的圆周角等于它所对
你能写出这个命题吗?
的圆心角的一半.
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11
圆周角和圆心角的关系 A
C
• 如果圆心不在圆周角的一边上,结果 会怎样?
四边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角，
这些角中哪些是相等的角？
圆周角(精华课件)
弧、弦与圆心角的 关系定理：
心圆 角周 的角
弧、弦与圆周角的 关系定理：
1、在同圆或等圆中，相等的
一定 半理
1、在同圆或等圆中，相等的
圆心角所对的弧相等，所对
.
： 圆周角所对的弧相等，所对
的弦也相等．
一 的弦也相等． 条
弧
2、在同圆或等圆中，相等的 所 2、在同圆或等圆中，相等的
思考：1、“同圆或等圆”的条件能否去掉？
2、判断正误：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、
两条弧、两条弦、两条弦心距、两个圆周角中有一
组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等。
C B
E
A
O
D
C
F
O
A
B
D
练习1
1、试找出下图中所有相等的圆周角。
D
A1
87
2
3 4
6
5
B
C
∠2=∠7 ∠1=∠4
∠3=∠6 ∠5=∠8
求：∠AOB =
C
4、已知∠AOB＝110°，
O
B 求：∠ACB =
O
B
D
A
A
C
• 定 理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 • 也可以理解为：一条弧所对的圆心角是它所对的圆周角
的二倍。
推论
• 弧相等，圆周角是否相等？反过来呢？
推 论 同1 弧或等弧所对的圆周角相等；
同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。
一、复习引入:
1.圆心角的定义?
O.
答:顶点在圆心的角叫圆心角
2.上节课我们学习了一个反映圆
心角、弧、弦三个量之间关系的 B
C
一个结论，这个结论是什么？
心圆 角周 的角
弧、弦与圆周角的 关系定理：
1、在同圆或等圆中，相等的
一定 半理
1、在同圆或等圆中，相等的
圆心角所对的弧相等，所对
.
： 圆周角所对的弧相等，所对
的弦也相等．
一 的弦也相等． 条
弧
2、在同圆或等圆中，相等的 所 2、在同圆或等圆中，相等的
思考：1、“同圆或等圆”的条件能否去掉？
2、判断正误：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、
两条弧、两条弦、两条弦心距、两个圆周角中有一
组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等。
C B
E
A
O
D
C
F
O
A
B
D
练习1
1、试找出下图中所有相等的圆周角。
D
A1
87
2
3 4
6
5
B
C
∠2=∠7 ∠1=∠4
∠3=∠6 ∠5=∠8
求：∠AOB =
C
4、已知∠AOB＝110°，
O
B 求：∠ACB =
O
B
D
A
A
C
• 定 理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 • 也可以理解为：一条弧所对的圆心角是它所对的圆周角
的二倍。
推论
• 弧相等，圆周角是否相等？反过来呢？
推 论 同1 弧或等弧所对的圆周角相等；
同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。
一、复习引入:
1.圆心角的定义?
O.
答:顶点在圆心的角叫圆心角
2.上节课我们学习了一个反映圆
心角、弧、弦三个量之间关系的 B
C
一个结论，这个结论是什么？
《圆周角》PPT课件
O
1.(2008东莞调研文、理)如图所示,圆O上一点C在直径AB上的射影为D，CD=4，BD=8，则圆O的半径等于 ．ABOD
C
分析：由射影定理得
2.如图, ⊙O的直径 AB 为10cm,弦AC为6cm,∠ACB 的平分线交⊙O于 D, 求BC、AD、BD的长.
我能行
3.如图，BC为⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D， ，BF和AD相交于E，求证：AE=BE。
比一比，看谁最快！
2、如上题图，若∠3=∠7，则____=____.
圆周角定理的推论3：
半圆（或直径）所对的圆周角是 ， 90°的圆周角所对的弦是 。
直角
直径
如图，∠AC1B=∠AC2B=∠AC3B=
例1 如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆直径。求证：
A
B
C
D
E
顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
顶点在圆心的角叫做圆心角。
什么叫做圆周角？圆心角呢?
下列各图中的∠CDE哪些是圆周角?
E
⑴
⑵
⑶
⑷
√
×
√
×
看一看,谁理解?
如图,观察圆周角∠ACB与圆心角∠AOB,它们的大小有什么关系?
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
圆周角定理：
1、如图，∠A是⊙O的圆周角，∠BOC=80°，则∠A= ，2、如图，∠E=46°则∠DOC=_____,∠OCD=______.
∴AE=BE
3.3 圆周角定理
- .
本节学习目标：1、理解圆周角定理、圆心角定理以及两个 推论；2、会利用圆周角定理、圆心角定理以及 两个推论进行计算、证明。
右图中 所对的圆周角是 ， 所对的圆心角是 .
1.(2008东莞调研文、理)如图所示,圆O上一点C在直径AB上的射影为D，CD=4，BD=8，则圆O的半径等于 ．ABOD
C
分析：由射影定理得
2.如图, ⊙O的直径 AB 为10cm,弦AC为6cm,∠ACB 的平分线交⊙O于 D, 求BC、AD、BD的长.
我能行
3.如图，BC为⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D， ，BF和AD相交于E，求证：AE=BE。
比一比，看谁最快！
2、如上题图，若∠3=∠7，则____=____.
圆周角定理的推论3：
半圆（或直径）所对的圆周角是 ， 90°的圆周角所对的弦是 。
直角
直径
如图，∠AC1B=∠AC2B=∠AC3B=
例1 如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆直径。求证：
A
B
C
D
E
顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
顶点在圆心的角叫做圆心角。
什么叫做圆周角？圆心角呢?
下列各图中的∠CDE哪些是圆周角?
E
⑴
⑵
⑶
⑷
√
×
√
×
看一看,谁理解?
如图,观察圆周角∠ACB与圆心角∠AOB,它们的大小有什么关系?
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
圆周角定理：
1、如图，∠A是⊙O的圆周角，∠BOC=80°，则∠A= ，2、如图，∠E=46°则∠DOC=_____,∠OCD=______.
∴AE=BE
3.3 圆周角定理
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本节学习目标：1、理解圆周角定理、圆心角定理以及两个 推论；2、会利用圆周角定理、圆心角定理以及 两个推论进行计算、证明。
右图中 所对的圆周角是 ， 所对的圆心角是 .
圆周角课件
周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系.
∵∠AOC是△ABO的外角，
A
∴∠AOC=∠B+∠A.
∵OA=OB， ∴∠A=∠B.
老师期望: 你可要理 解并掌握
C ●O
∴∠AOC=2∠B. 即 ∠ABC = ∠1 AOC.
这个模型. B
2
你能写出这个命题吗?
同弧所对的圆周角等于它所对
的圆心角的一半.
圆周角和圆心角的关系
A
B
如图, 若
⌒⌒
AC = BD
则 ∠ D=∠A
C
D
∴AB∥CD
● 1.如图,在⊙O中,∠BOC=50°,求∠A的大小.
解: ∠A = ∠1 BOC = 25°.
2
B C
●O A
2.试找出下图中所有相等的圆周角。
D
A1
87
2
3 4
6
5
B
C
∠2=∠7 ∠1=∠4
∠3=∠6 ∠5=∠8
3：已知⊙O中弦AB的等于半径， 求弦AB所对的圆心角和圆周角的度数。
D
A
O 40° B
C
这节课你有什么收获和体会，和大家一起 分享一下吧！
2
B
同弧所对的圆周角等于它所对
你能写出这个命题吗? 的圆心角的一半.
圆周角和圆心角的关系
● 如样果? 圆心不在圆周角的一边上,结果会怎 ● 3圆.周当角圆∠心A(BOC)与在圆圆心周角角∠(∠AOACB的C)大的小外关部系时,
会怎样?
A C
●O
B
老师提示:能否也转化为1的情况?
A C
过点B作直径BD.由1可得:
● 如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎 样?
∵∠AOC是△ABO的外角，
A
∴∠AOC=∠B+∠A.
∵OA=OB， ∴∠A=∠B.
老师期望: 你可要理 解并掌握
C ●O
∴∠AOC=2∠B. 即 ∠ABC = ∠1 AOC.
这个模型. B
2
你能写出这个命题吗?
同弧所对的圆周角等于它所对
的圆心角的一半.
圆周角和圆心角的关系
A
B
如图, 若
⌒⌒
AC = BD
则 ∠ D=∠A
C
D
∴AB∥CD
● 1.如图,在⊙O中,∠BOC=50°,求∠A的大小.
解: ∠A = ∠1 BOC = 25°.
2
B C
●O A
2.试找出下图中所有相等的圆周角。
D
A1
87
2
3 4
6
5
B
C
∠2=∠7 ∠1=∠4
∠3=∠6 ∠5=∠8
3：已知⊙O中弦AB的等于半径， 求弦AB所对的圆心角和圆周角的度数。
D
A
O 40° B
C
这节课你有什么收获和体会，和大家一起 分享一下吧！
2
B
同弧所对的圆周角等于它所对
你能写出这个命题吗? 的圆心角的一半.
圆周角和圆心角的关系
● 如样果? 圆心不在圆周角的一边上,结果会怎 ● 3圆.周当角圆∠心A(BOC)与在圆圆心周角角∠(∠AOACB的C)大的小外关部系时,
会怎样?
A C
●O
B
老师提示:能否也转化为1的情况?
A C
过点B作直径BD.由1可得:
● 如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎 样?
《圆周角定理》课件
[例2] 如图所示,已知点A,B,C为圆上三个点,且∠AOB=2∠BOC.求证:∠ACB=2∠CAB.
[导学探究]
由圆周角定理可得∠AOB=2∠
可得结论.
ACB
,∠BOC=2∠
CAB ,从而根据∠AOB=2∠BOC
证明:因为∠AOB 和∠ACB 对着,
所以∠AOB=2∠ACB.
因为∠BOC 和∠CAB 对着,
所以∠BOC=2∠CAB.
因为∠AOB=2∠BOC,
所以 2∠ACB=2×2∠CAB,
即∠ACB=2∠CAB.
[例3] 如图所示,四边形ABCD的四个顶点都在☉O上,点E在对角线AC上.
(1)若∠CBD=35°,∠CDB=30°,求∠BAD的度数;
[导学探究]
1.题(1)由同弧所对圆周角相等,可得∠CAD=∠
3.圆周角
第1课时
圆周角定理
一、圆周角
,并且两边都和圆 相交 的角叫做圆周角.
2.半圆或直径所对的圆周角都 相等 ,都等于 90° (直角).
1.顶点在
圆上
二、圆周角定理
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角
一半 .相等的圆周角所对的弧 相等
相等 ,都等于该弧所对的圆心角的
.
探究点一
直径、半圆所对的圆周角
AC= -= - =8.
因为 PE⊥AB,所以∠APE=90°.
又因为∠ACB=90°,所以∠APE=∠ACB.
又因为∠PAE=∠CAB,
所以△AEP∽△ABC.
所以 = ,
×
即 =
.
所以 PE= = .
探究点二
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推论：在同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧也
相等。
C2
C1
C3
A
·O
B
结论
推论：半圆或直径所对的圆周角都 相等，都等于90°（直角）。 反过来也是成立的，即
90°的圆周角所对的弦是圆的直径。
求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角 形是直角三角形．（提示：作出以这条边为直径的圆.）
圆周角定理
在同一个圆或等圆中 ,同弧或等弧 所对的圆周角相等，都等于该弧或等 弧所对的 圆心角的一半；
如图：则有 ∠∠∠AAADCCBBB===12∠12AAAOODB；B.；B
1.在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧之间有什么关系？
2.半圆（或直径）所对的圆周角是直角吗?90°的圆周角所对 弦是直径吗？
已知：△ABC
，CO为AB边上的中线，且CO=
1 2
AB
求证： △ABC 为直角三角形.
C
证明： 以AB为直径作⊙O，
∵AO=BO，
CO=
1
2 AB,
∴AO=BO=CO.
A
·
B
O
∴点C在⊙O上.
又∵AB为直径,
∴∠ACB=
1 2
×180°= 90°.
∴ △ABC 为直角三角形.
练习一：1.求圆中角X的度数。
已知：△ABC
，CO为AB边上的中线，且CO=
1 2
AB
求证： △ABC 为直角三角形.
C
证明： 以AB为直径作⊙O，
∵AO=BO，
CO=
1
2 AB,
∴AO=BO=CO.
A
·
B
O
∴点C在⊙O上.
又∵AB为直径,
∴∠ACB=
1 2
×180°= 90°.
∴ △ABC 为直角三角形.
内容小结：
(1)一个概念（圆周角）
· O
∴∠ABC=∠APC=60°
B
C
(同弧所对的圆周角相等）
同圆理周，角，∵∠B∴A∠CB和A∠CC=P∠BC都PB是=6⌒0°BC。所对的
∴△ABC等边三角形。
练 已知：如图，在△ABC中，AB=AC,
习 以AB为直径的圆交BC于D,交AC于E,
三 求证：B⌒D=D⌒E
A
证明：连结AD.
∵AB是圆的直径，点D在圆上， ∴∠ADB=90°，
35°
120°
B
O.
X
A
O
A
B
C
2.如图，圆心角∠AOB=100°，则
∠ACB=1__3_0。°
3、 如图，在直径为AB的半 圆中，O为圆心，C、D为半 圆上的两点，∠COD=500， 则∠CAD=__2_5_°_____
内容小结：
(1)一个概念（圆周角）
(2)一个定理：同弧或等弧所对的圆周角等于
(2)一个定理：一条弧所对的圆周角等于
该弦所对的圆心角的一半；
(3)二个推论： 同圆内，同弧或等弧所对的圆周角
相等；相等的圆周角所对的弧相等。 半圆或直径所对的圆周角是直角；
90°的圆周角所对的弦是直径。
∠1 = ∠4 ∠5 = ∠8
∠2 = ∠7 ∠3 = ∠6
A1
2
C
8 7
3
4
B
6 5
D
2.如图，你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？你有多少种方法？与同学
交流一下．
方法三
方法一
O
A
B
C
O
方法二
D 使用帮助
A · B
方法四
O
3.求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三 角形是直角三角形．（提示：作出以这条边为直径的圆.）
圆心角的一半；
(3)二个推论： 同圆或等圆中，同弧或等弧所对的
圆周角相等；相等的圆周角所对的弧 相等半。圆或直径所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径。
练习二：如图，P是△ABC的外接圆上的一点
∠APC=∠CPB=60°。求证：△ABC是等
边三角形。 证明：∵∠ABC和∠APC
A P
都是 A⌒C 所对的圆周角。
∴AD⊥BC，
B
E DC
∵AB=AC，
∴AD平分顶角∠BAC，即∠BAD=∠CAD，
∴ ⌒BD= ⌒DE （同圆或等圆中，相等的圆周角 所对弧相等）。
例题
如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平
分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长．
解：∵AB是直径，
C
∴ ∠ACB= ∠ADB=90°．
在Rt△ABC中，
BC AB2 AC2 102 62 8 A
·O
B
∵CD平分∠ACB，
AD BD.
D
∴AD=BD.
又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，
AD BD 2 AB 2 10 5 2(cm)
2
2
1.如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形ABCD的对
角线把4个内角分成8个角，这些角中哪些是相等的角？