参数方程及极坐标专题(学生版)
极坐标与参数方程高考真题58题(学生) (1)
极坐标与参数方程高考真题1、（2018北京理10）在极坐标系中，直线cos sin a ρθρθ+=（0a >）与圆2cos ρθ=相切，则_______a =．2、（2018江苏21C ）在极坐标系中，直线l 的方程为πsin()26ρθ-=，曲线C 的方程为4cos ρθ=，求直线l 被曲线C 截得的弦长．3、（2018新课标Ⅰ理22）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为||2y k x =+.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=. （1）求2C 的直角坐标方程；（2）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程.4、（2018新课标Ⅱ理22）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 4sin x θy θ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为1cos 2sin x t αy t α=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）． （1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率．5、（2018新课标Ⅲ理22）在平面直角坐标系xOy 中，O ⊙的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），过点(0,且倾斜角为α的直线l 与O ⊙交于A B ，两点．（1）求α的取值范围；（2）求AB 中点P 的轨迹的参数方程．6、（2018天津理12）已知圆2220x y x +-=的圆心为C ，直线1232x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t 为参数)与该圆相交于A ，B 两点，则ABC ∆的面积为_______.7、（2017新课标Ⅰ理22）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为41x a ty t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）．（1）若1a =-，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到la ．8、（2017新课标Ⅱ理22）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为(2,)3π，点B 在曲线2C 上，求OAB ∆面积的最大值．9、（2017新课标Ⅲ理22）在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为2+,,x t y kt =⎧⎨=⎩（t 为参数），直线l 2的参数方程为2,,x m m my k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（为参数）．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ． （1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cosθ+sinθ)，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．10、（2017北京理11）在极坐标系中，点A 在圆22cos 4sin 40ρρθρθ--+=上，点P 的坐标为（1,0），则|AP|的最小值为___________．11、（2017江苏21C ）在平面坐标系中xOy 中，已知直线l 的参考方程为x 82t ty ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）,曲线C的参数方程为2x 2s ,y ⎧=⎪⎨⎪=⎩（s 为参数）。
极坐标与参数方程专题复习
OM的角度θ来刻画(如图所示).这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为
点M的极坐标.ρ称为点M的 极径 ，θ称为点M的极角
.
一般认为ρ≥0.当极角θ的取值范围是[0,2π)时，平面上的点(除去极
点)就与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应的关系.我们设定，极点的
例、将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原
来的2倍，得到曲线C.求曲线C的标准方程；
2.极坐标系
(1)极坐标与极坐标系的概念
在平面内取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长
度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了
一个极坐标系.点O称为极点，射线Ox称为极轴.
0，直线 l 的参数方程为
(t 为参数)，射线 OM 的极坐标方程
y＝t
3π
为 θ＝ 4 .求圆 C 和直线 l 的极坐标方程；
题型三、距离的最值： 用“参数法”
1.曲线上的点到直线距离的最值问题
2.点与点的最值问题
“参数法”：设点---套公式--三角辅助角
①设点： 设点的坐标，用该点在所在曲线的的参数 方程来设
直线
圆
普通方程
参数方程
y－y0＝tan α(x－x0)
x＝x0＋tcos α，
(t 为参数)
y＝y0＋tsin α
(x-a)2＋(y-b)2＝r2
2
椭圆
抛物线
2
x y
2＋ 2＝1(a>b>0)
a b
y2＝2px(p>0)
ቊ
= +
(为参数)
= +
参数方程与极坐标方程及应用(学生版)
参数方程与极坐标方程及应用简单曲线的极坐标方程题型一：平面直角坐标系中的伸缩变换 1．求椭圆x 24＋y 2＝1经过伸缩变换x ′＝12x ，y ′＝y后的曲线方程．2．将圆x 2＋y 2＝1变换为椭圆x 29＋y 24＝1的一个伸缩变换公式为φ：X ＝ax (a ＞0)，Y ＝by (b ＞0)，求a ，b 的值．题型二：极坐标系与直角坐标系的互化【例1】 在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos θ－π3＝1(0≤θ＜2π)，M ，N 分别为曲线C 与x 轴，y 轴的交点．(1)写出曲线C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．[题型训练]已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρ·cosθ－π4＝2. (1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．题型三：极坐标方程的应用【例2】 在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．[题型训练] 在极坐标系中，求直线ρsinθ＋π4＝2被圆ρ＝4截得的弦长．课后练习1．(2018·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为y ＝k |x |＋2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0.(1)求C 2的直角坐标方程；(2)若C 1与C 2有且仅有三个公共点，求C 1的方程．2．(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程； (2)设点A 的极坐标为2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值．3．(2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t ，(t 为参数，a >0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .二：参数方程 [常用结论]根据直线的参数方程的标准式中t 的几何意义，有如下常用结论：过定点M 0的直线与圆锥曲线相交，交点为M 1，M 2，所对应的参数分别为t 1，t 2. (1)弦长l ＝|t 1－t 2|；(2)弦M 1M 2的中点⇒t 1＋t 2＝0；(3)|M 0M 1||M 0M 2|＝|t 1t 2|. 题型一：参数方程与普通方程的互化 1．将下列参数方程化为普通方程．(1)x ＝1t，y ＝1tt 2－1(t 为参数)；(2)x ＝2＋sin 2θ，y ＝－1＋cos 2θ(θ为参数)．2.如图所示，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，求圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程．题型二：参数方程的应用【例1】在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，直线l 经过点P (1,2)，倾斜角α＝π6.(1)写出圆C 的普通方程和直线l 的参数方程；(2)设直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，求|P A |·|PB |的值．[题型训练] 在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线l 的参数方程为x ＝3＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，直线l 与曲线C ：x ＝1cos θ，y ＝tan θ(θ为参数)相交于不同的两点A ，B .(1)若α＝π3，求线段AB 的中点的直角坐标；(2)若直线l 的斜率为2，且过已知点P (3,0)，求|P A |·|PB |的值．题型三：极坐标、参数方程的综合应用【例2】 在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25.(1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率．[题型训练] (2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为x ＝2＋t ，y ＝kt (t 为参数)，直线l 2的参数方程为x ＝－2＋m ，y ＝mk(m 为参数)．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C . (1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M为l 3与C 的交点，求M 的极径．课后练习1．(2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为x ＝1＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)．(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率．2．(2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点．(1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程．最新两年高考题选做1．(2021年高考全国甲卷理科)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρθ=． (1)将C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点A 的直角坐标为()1,0，M 为C 上的动点，点P 满足AP =，写出Р的轨迹1C 的参数方程，并判断C 与1C 是否有公共点．2．(2021年高考全国乙卷理科)在直角坐标系xOy 中，C 的圆心为()2,1C ，半径为1．(1)写出C 的一个参数方程;(2)过点()4,1F 作C 的两条切线．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．3．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,sin k kx t y t= = (t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos 16sin 30ρθρθ−+=． (1)当1k =时，1C 是什么曲线？(2)当4k =时，求1C 与2C 的公共点的直角坐标．4．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)已知曲线C 1，C 2的参数方程分别为C 1：224cos 4sin x y θθ = = ，(θ为参数)，C 2：1,1x t ty t t=+ =−(t 为参数)．(1)将C 1，C 2的参数方程化为普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．设C 1，C 2的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程．5．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22223x t t y t t=−− =−+ (t 为参数且t ≠1)，C 与坐标轴交于A 、B 两点．(1)求||AB ；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程．。
极坐标与参数方程题型及解题方法乐乐课堂
极坐标与参数方程题型及解题方法乐乐课堂一、极坐标的基本概念极坐标是一种描述平面内点位置的坐标系统，它由极径r和极角$\\theta$组成。
在极坐标系中，点P的坐标表示为$(r,\\theta)$。
二、极坐标与直角坐标的转换在直角坐标系中，点P(x,y)的极坐标表示为$r=\\sqrt{x^2+y^2}$和$\\theta=\\arctan(\\frac{y}{x})$。
而在极坐标系中，点$(r,\\theta)$的直角坐标表示为$x=r\\cos(\\theta)$和$y=r\\sin(\\theta)$。
三、极坐标下常见图形的参数方程1.圆的极坐标方程圆的极坐标方程为r=a，其中a为圆的半径。
其参数方程为$x=a\\cos(\\theta)$和$y=a\\sin(\\theta)$。
2.点到极轴的距离为常数的曲线当点P到极轴的距离为常数k时，曲线的极坐标方程为$r=k\\sec(\\theta)$。
其参数方程为$x=k\\sec(\\theta)\\cos(\\theta)$和$y=k\\sec(\\theta)\\sin(\\theta)$。
3.阿基米德螺线阿基米德螺线的极坐标方程为$r=a+b\\theta$，其中a为曲线与极点的距离，b为线密度。
其参数方程为$x=(a+b\\theta)\\cos(\\theta)$和$y=(a+b\\theta)\\sin(\\theta)$。
四、参数方程的意义及解题方法参数方程是以参数为自变量描述变量间关系的方程形式，通常在描述运动过程或复杂图形时应用较广。
解决参数方程的问题，一般需要先确定参数的取值范围，然后通过合理选择参数值，逐步计算出曲线上各点的坐标，从而描绘出曲线的形状。
五、乐乐课堂实例分析在乐乐课堂，老师通常会设计一些关于极坐标和参数方程的题目，让学生通过计算参数方程的方式解题，深入理解数学概念。
例如，老师会出一道题目：“已知曲线的参数方程为x=t2，y=t+1，求曲线的极坐标方程并绘制图形。
极坐标系与参数方程专题
练习题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 评卷人 得分一、选择题1．在极坐标系中，点)65,2(π到直线4)3sin(=-πθρ的距离为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．在极坐标系中，设圆C ：4cos ρθ=与直线:(R)4l πθρ=∈交于A ，B 两点，求以AB 为直径的圆的极坐标方程为（ ） A ．22sin()4πρθ=+B ．22sin()4πρθ=-C ．22cos()4πρθ=+D ．22cos()4πρθ=-3．化极坐标方程2cos 0ρθρ-=为直角坐标方程为（ ） A ．221x y +=或1y = B ．1x =C ．221x y +=或1x = D ．1y =4．已知圆的直角坐标方程为2220x y y +-=．在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，该圆的方程为（）A ．2cos ρθ=B ．2sin ρθ=C ．2cos ρθ=-D ．2sin ρθ=-5．在极坐标中，与圆4sin ρθ=相切的一条直线方程为（ ）A ．sin 2ρθ=B ．cos 2ρθ=C ．cos 4ρθ=D ．cos 4ρθ=-6．参数方程2cos (3sin x y θθθ=⎧⎨=⎩，，为参数)和极坐标方程4sin ρθ=所表示的图形分别是（ ）（A ）圆和直线 （B ）直线和直线 （C ）椭圆和直线 （D ）椭圆和圆 评卷人 得分二、填空题7．在极坐标系中，经过点)3,4(π且与极轴垂直的直线的极坐标方程为 ．8．（坐标系与参数方程选做题）极坐标系下，直线2)4cos(=-πθρ与圆2=ρ的公共点个数是________；9．极坐标系中，圆θρsin 4=的圆心到直线)(3R ∈=θπθ 的距离是 ．10．已知圆C 的参数方程为cos ,(1sin .x y ααα=⎧⎨=+⎩为参数），直线l 的极坐标方程为sin 1ρθ=，则直线l 与圆C 的交点的直角坐标为 ．三、解答题（题型注释）11．在平面直角坐标系中，已知直线l 过点(),12P - ，倾斜角6πα=，再以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为3ρ=． （Ⅰ）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 分别交于、M N 两点，求PM PN ⋅的值．12．在极坐标系中，已知曲线)4sin(22:πθρ-=C ，P 为曲线C 上的动点，定点)4,1(πQ ．（1）将曲线C 的方程化成直角坐标方程，并说明它是什么曲线； （2）求P 、Q 两点的最短距离．13．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过点(10)A -，，其倾斜角是α，以原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C 的极坐标方程是26cos 5ρρθ=-．（Ⅰ）若直线l 和曲线C 有公共点，求倾斜角α的取值范围； （Ⅱ）设()B x y ，为曲线C 任意一点，求3x y +的取值范围．14．在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为212242x ty t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）．再以原点为极点，以x 正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系xoy 有相同的长度单位．在该极坐标系中圆C 的方程为4sin ρθ=． （1）求圆C 的直角坐标方程；（2）设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点M 的坐标为()2,1-，求MA MB +的值．15．在极坐标系中，已知点A 的极坐标为(22,)4π-，圆E 的极坐标方程为4cos 4sin ρθθ=+，试判断点A 和圆E 的位置关系16．已知曲线1C 的参数方程为45cos ,55sin x t y t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ＝． （1）把1C 的参数方程化为极坐标方程；（2）求1C 与2C 交点的极坐标（0,02ρθπ≥≤＜）．17．在平面直角坐标系xoy 中，已知曲线1cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），将1C 上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的2和2倍后得到曲线2C ，以平面直角坐标系xoy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线():2cos sin 4l ρθθ+=．（1）试写出曲线1C 的极坐标方程与曲线2C 的参数方程；（2）在曲线2C 上求一点P ，使点P 到直线l 的距离最小，并求此最小值．18．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线12cos :3sin x C y αα=-+⎧⎨=+⎩（α为参数），28cos :23sin x Cy θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）． （1）将12,C C 的方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若1C 上的点P 对应的参数为2πα=，Q 为2C 上的动点，求PQ 中点M 到直线l ：cos 33πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭的距离的最大值．19．在直角坐标系中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为，M ，N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点．（1）写出C 的直角坐标方程，并求M 、N 的极坐标； （2）设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．20．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立坐标系．已知点A 的极坐标为2,4π⎛⎫⎪⎝⎭，直线的极坐标方程为cos 4a πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且点A 在直线上．（1）求a 的值及直线的直角坐标方程；（2）圆C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩，（α为参数），试判断直线与圆的位置关系．21．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为()2sincos 0a a ρθθ=>，过点()2,4P --的直线l 的参数方程为222242x ty t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），直线l 与曲线C 相交于,A B 两点．（Ⅰ）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （Ⅱ）若2PA PB AB ⋅=，求a 的值．22．在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为122322x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ （t 为参数），若以直角极坐标方程为2cos()4πρθ=-．（1）求直线l 的倾斜角；（2）若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求AB 的距离．23．已知在直角坐标系xOy 中，曲线t t y t x C (,233,211:1⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=为参数，)2≠t ，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线θρsin 32:2=C ，曲线θρcos 2:3=C ． （Ⅰ）求C 2与C 3交点的直角坐标；（Ⅱ）若C 2与C 1相交于点A ，C 3与C 1相交于点B ，求||AB 的值．24．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程1cos (sin x y ϕϕϕ=+⎧⎨=⎩为参数）．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求圆C 的极坐标方程； （Ⅱ）射线4:πθ=OM 与圆C 的交点为O 、P 两点，求P 点的极坐标．25．已知曲线C 的参数方程是()cos sin x y m ααα=⎧⎨=+⎩为参数，直线l 的参数方程为()5152545x t t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数， （1）求曲线C 与直线l 的普通方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于,P Q 两点，且455PQ =，求实数m 的值。
极坐标与参数方程专题
极坐标与参数方程专题1.已知曲线1C 的直角坐标方程1422=+y x ，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，P 是曲线1C 上一点，∠xOP=α,)0(πα≤≤,将点P 绕点O 逆时针旋转角α后得到点Q, OQ OM 2=，OM 点M 的轨迹是曲线2C 。
（1）求曲线2C 的极坐标方程；（2）求|OM |的取值范围。
2.在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，X 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是θρcos 4=，直线l 的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=t y t x 21233（t 是参数）。
（1）过极点作直线l 的垂线，垂足为点P ，求P 的极坐标；(2)若点M,N 分别为曲线C 和直线l 上的动点，求|MN|的最小值。
3.已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+-=ty tx 21（t 是参数），在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为6)4sin(242--=πθρ。
（1）求直线l 与圆C 的直角坐标方程；x-y+3=0 (x+2)2+(y-2)2=2 （2）设P ，Q 为直线l 与圆C 的两个交点，A （-1,2），求|PA|+|AQ|的值。
4.已知曲线1C 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-+=t t y tt x 12122（t 是参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，单位长度保持不变，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2)4sin(=+πθρ。
（1）试求曲线1C 和直线l 的普通方程；y 2=x x+y=2 （2）求出它们的公共点的极坐标。
5.长为3的线段两端点A ，B 分别在x 轴正半轴和y 轴正半轴上滑动，BA =3PA ，点P 的轨迹为曲线C ，（1）以直线AB 的倾斜角α为参数，求曲线C 的参数方程； （2）求点P 到点D(0，-2)距离的最大值。
6.已知某圆的极坐标方程为6)4cos(242=+--πθρρ （1）将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；（2）若点P （x,y ）在该圆上，求x+y 的最大值和最小值.7.已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+-=-=ty tx 23，t 为参数），以坐标原点o 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为)3cos(4πθρ-= （1）将直线l 的参数方程化为普通方程，将圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程。
(完整版)极坐标和参数方程知识点+典型例题及其详解
极坐标和参数方程知识点+典型例题及其详解知识点回顾(一）曲线的参数方程的定义：在取定的坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即 ⎩⎨⎧==)()(t f y t f x并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数． （二）常见曲线的参数方程如下：1．过定点（x 0,y 0），倾角为α的直线：ααsin cos 00t y y t x x +=+= （t 为参数）其中参数t 是以定点P （x 0，y 0）为起点，对应于t 点M （x ，y )为终点的有向线段PM 的数量，又称为点P 与点M 间的有向距离．根据t 的几何意义，有以下结论．错误!．设A 、B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为t A 和t B ,则AB ＝A B t t -＝B A A B t t t t ⋅--4)(2． 错误!．线段AB 的中点所对应的参数值等于2BA t t +． 2．中心在（x 0，y 0），半径等于r 的圆：θθsin cos 00r y y r x x +=+= （θ为参数）3．中心在原点，焦点在x 轴(或y 轴）上的椭圆：θθsin cos b y a x == (θ为参数） （或 θθsin cos a y b x ==）中心在点（x0,y0）焦点在平行于x 轴的直线上的椭圆的参数方程为参数）ααα(.sin ,cos 00⎩⎨⎧+=+=b y y a x x4．中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的双曲线：θθtg sec b y a x == （θ为参数） （或 θθec a y b x s tg ==)5．顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上的抛物线：pty pt x 222== （t 为参数，p ＞0）直线的参数方程和参数的几何意义过定点P （x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）． （三）极坐标系1、定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点,引一条射线Ox,叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。
极坐标与参数方程知识点总结大全(学生版)
坐标系与参数方程知识点总结大全一、平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点(),P x y 是平面直角坐标系中的任意一点,在变换： 的作用下,点(),P x y 对应到点,称为平面直角坐标系中的 ,简称 .二、极坐标系的概念(1)极坐标系的建立如图所示,在平面内取一个定点,叫做 ,自 引一条射线,叫做 ;再选定一个 单位,一个 单位(通常取弧度)及其正方向(通常取 时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系. (2)极坐标设M 是平面内一点,极点与点M 的距离OM 叫做点M 的 ,记为;以 为始边, 为终边的角叫做点M 的 ,记为.有序数对叫做点M 的 ,记作.一般地,不作特殊说明时,我们认为可取任意实数.特别地,当点在 时,它的极坐标为()()0,R θθ∈.和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定 ,那么除 外,平面内的点可用唯一的极坐标表示;同时,极坐标表示的点也是唯一确定的. 3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位, 如图所示:(2)互化公式:设是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是,极坐标是(),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:点直角坐标极坐标互化公式在一般情况下,由确定角时,可根据点所在的象限最小正角.4.常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点,半径为的圆圆心为,半径为的圆圆心为,半径为的圆过极点,倾斜角为的直线(1)(2)过点,与极轴垂直的直线过点,与极轴平行的直线注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程点可以表示为等多种形式,其中,只有的极坐标满足方程.三、参数方程1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数①,并且对于的每一个允许值,由方程组①所确定的点都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数的变数叫做 ,简称 ,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做 .2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数中的一个与参数的关系,例如,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系,那么就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使的取值范围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。
极坐标与参数方程大题及答案
极坐标与参数方程大题及答案一、极坐标问题1.求解方程$r = 2\\cos(\\theta)$的直角坐标方程。
首先，根据极坐标到直角坐标的转换公式：$$x = r\\cos(\\theta)$$$$y = r\\sin(\\theta)$$将$r = 2\\cos(\\theta)$代入上述两式，得到：$$x = 2\\cos(\\theta)\\cos(\\theta)$$$$y = 2\\cos(\\theta)\\sin(\\theta)$$化简上述两个式子，得到直角坐标方程为：$$x = 2\\cos^2(\\theta)$$$$y = 2\\cos(\\theta)\\sin(\\theta)$$2.将直角坐标方程x2+y2−4x=0转换为极坐标方程。
首先，我们可以将直角坐标方程中的x2和y2替换成r2，从而得到：r2+y2−4x=0然后，将直角坐标方程中的x和y替换成$r\\cos(\\theta)$和$r\\sin(\\theta)$，得到：$$r^2 + (r\\sin(\\theta))^2 - 4(r\\cos(\\theta)) = 0$$将上述方程化简，得到极坐标方程为：$$r^2 + r^2\\sin^2(\\theta) - 4r\\cos(\\theta) = 0$$3.将极坐标方程$r = \\sin(\\theta)$转换为直角坐标方程。
使用极坐标到直角坐标的转换公式，将$r = \\sin(\\theta)$代入，得到：$$x = \\sin(\\theta)\\cos(\\theta)$$$$y = \\sin^2(\\theta)$$化简上述两个式子，得到直角坐标方程为：$$x = \\frac{1}{2}\\sin(2\\theta)$$$$y = \\sin^2(\\theta)$$二、参数方程问题1.求解方程$\\frac{x + y}{x - y} = 2$的参数方程。
极坐标与参数方程(学生版)
极坐标与参数方程极坐标与参数方程在高考中常以填空或选择的形式出现，在知识上结合解析几何，考查学生曲线方程的转化能力，以及解析几何的初步技能。
题目难度不大，但需要学生能够快速熟练的解决问题 一、基础知识： （一）极坐标：1、极坐标系的建立：以平面上一点为中心（作为极点），由此点引出一条射线，称为极轴，这样就建立了一个极坐标系2、点坐标的刻画：用一组有序实数对(),ρθ确定平面上点的位置，其中ρ代表该点到极点的距离，而θ表示极轴绕极点逆时针旋转至过该点时转过的角度，通常：[)0,0,2ρθπ>∈3、直角坐标系与极坐标系坐标的互化：如果将极坐标系的原点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴重合，则同一个点可具备极坐标(),ρθ和直角坐标(),x y ，那么两种坐标间的转化公式为：222cos sin x y x y ρθρθρ⎧=⎪=⎨⎪=+⎩，由点组成的直角坐标方程与极坐标方程也可按照此法则进行转化，例如：极坐标方程cos sin 11x y ρθρθ+=⇒+=（在转化成,x y 时要设法构造cos ,sin ρθρθ ，然后进行整体代换即可）（二）参数方程：1、如果曲线(),0F x y =中的变量,x y 均可以写成关于参数t 的函数()()x f t y g t =⎧⎪⎨=⎪⎩，那么()()x f t y g t =⎧⎪⎨=⎪⎩就称为该曲线的参数方程，其中t 称为参数2、参数方程与一般方程的转化：消参法 （1）代入消参：()323323x t y x y t =+⎧⇒=+-⎨=+⎩（2）整体消参：2211x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，由222112t t t t ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭可得：22x y =+（3）平方消参：利用22sin cos 1θθ+=消去参数例如：22cos 3cos 312sin 94sin 2xx x y y y θθθθ⎧=⎪=⎧⎪⇒⇒+=⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩3、常见图形的参数方程： （1）圆：()()222x a y b r -+-=的参数方程为：[)cos 0,2sin x a r y b r θθπθ=+⎧∈⎨=+⎩，，其中θ为参数，其几何含义为该圆的圆心角（2）椭圆：()222210x y a b a b +=>>的参数方程为[)cos 0,2sin x a y b θθπθ=⎧∈⎨=⎩，，其中θ为参数，其几何含义为椭圆的离心角（3）双曲线：()222210x y a b a b -=>>的参数方程为[)10,2cos tan x ay b θπθθ⎧=⎪∈⎨⎪=⎩，，其中θ为参数，其几何含义为双曲线的离心角（4）抛物线：()220y px p =>的参数方程为222x pt y pt⎧=⎨=⎩，其中t 为参数（5）直线：过(),M a b ，倾斜角为θ的直线参数方程为cos sin x a t t R y b t θθ=+⎧∈⎨=+⎩，，其中t 代表该点与M 的距离注：对于极坐标与参数方程等问题，通常的处理手段是将方程均转化为直角坐标系下的一般方程，然后利用传统的解析几何知识求解 二、典型例题：例1：已知直线参数方程为33x t y t =+⎧⎨=-⎩，圆C 的参数方程为2cos 2sin 2x y θθ=⎧⎨=+⎩，则圆心到直线的距离为____________例2：以直角坐标系的原点为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，在两种坐标系中取相同的单位长度，点A 的极坐标为4π⎛⎫⎪⎝⎭，曲线C 的参数方程为2cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩，则曲线C 上的点到点A 距离的最大值为___________例3：已知在平面直角坐标系xOy 中圆C的参数方程为：3cos 13sin x y θθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，以Ox 为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为cos 06πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则圆C 截直线所得弦长为__________例4：已知两曲线参数方程分别为()0sin x y θθπθ⎧=⎪≤<⎨=⎪⎩和254x t y t⎧=⎪⎨⎪=⎩，它们的交点坐标为_____________例5：在极坐标系中，直线()sin cos a ρθθ-=与曲线=2cos 4sin ρθθ-相交于,A B两点，且AB =实数a 的值为_____________例6：以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线的极坐标方程为()4R πθρ=∈，它与曲线12cos 22sin x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）相交于两点,A B ，则AB =_________例7：在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为11x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是sin 13πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则两曲线交点间的距离是______________ 例8：已知曲线的极坐标方程分别为12:cos 3,:4cos C C ρθρθ==，其中0,02πρθ≥≤<，则曲线12,C C 交点的极坐标为_______例9：已知在极坐标系中，O 为极点，圆C 的极坐标方程为4sin 3πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，点P 的极坐标为4,3π⎛⎫⎪⎝⎭，则OCP 的面积为___________例10：在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为2212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，（其中t 为参数），以原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为ρ=设点()2,1M -，曲线12,C C 交于,A B ，求MA MB ⋅的值三、历年好题精选1、已知直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为3x t y =-⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以直角坐标系xOy 中的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，圆C 的极坐标方程为24cos 30ρρθ-+=，则圆心C 到直线l 的距离为________2、（2020，北京）在极坐标系中，点2,3π⎛⎫⎪⎝⎭到直线()cos 6ρθθ+=的距离为______3、（2020，广东）已知直线l的极坐标方程为2sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，点A的极坐标为74A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，则点A 到直线l 的距离为_______4、（2019，新课标II ）在直角坐标系xOy 中，曲线1cos :sin x t C y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0t ≠），其中0απ≤<，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线23:2sin ,:C C ρθρθ== （1）求23,C C 交点的直角坐标（2）若12,C C 相交于点A ，13,C C 相交于点B ，求AB 的最大值5、（2019，陕西）在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为132x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，C的极坐标方程为ρθ= （1）写出C 的直角坐标方程（2）P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标。
极坐标与参数方程题型及解题方法(学生版)
极坐标与参数方程题型与方法归纳1、 题型与考点（1）{极坐标与普通方程的互相转化极坐标与直角坐标的互相转化（2）{参数方程与普通方程互化参数方程与直角坐标方程互化 (3){利用参数方程求值域参数方程的几何意义2、解题方法及步骤 （1）参数方程与普通方程的互化化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法；化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t ，先确定一个关系()x f t =（或()y g t =，再代入普通方程(),0F x y =，求得另一关系()y g t =（或()x f t =）.一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标（或纵坐标）例1、方程2222t t t t x t y --⎧=-⎪⎨=+⎪⎩（为参数）表示的曲线是（ ） A. 双曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支 D.圆练习1、与普通方程210x y +-=等价的参数方程是（ ）（t 为能数）222sin cos ....cos 1sin x t x tgt x t x A B C D y t y tg t y t y t===⎧⎧⎧⎧=⎪⎨⎨⎨⎨==-==⎪⎩⎩⎩⎩练习2、设P 是椭圆222312x y +=上的一个动点，则2x y +的最大值是 ，最小值为 .（2）极坐标与直角坐标的互化利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，这二者互化的前提条件是（1）极点与原点重合；（2）极轴与x 轴正方向重合；（3）取相同的单位长度.设点P 的直角坐标为(),x y ，它的极坐标为(),ρθ，则222cos sin x y x y y tg x ρρθρθθ⎧=+=⎧⎪⎨⎨==⎩⎪⎩或；若把直角坐标化为极坐标，求极角θ时，应注意判断点P 所在的象限（即角θ的终边的位置），以便正确地求出角θ.例2、极坐标方程24sin 52θρ⋅=表示的曲线是（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线的一支 D. 抛物线练习1、已知直线的极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则极点到该直线的距离是练习2、极坐标方程2cos 0ρθρ-=转化成直角坐标方程为（ ）A ．201y y +==2x 或B ．1x =C ．201y +==2x 或xD ．1y =练习3、点M的直角坐标是(-，则点M 的极坐标为（ ）A ．(2,)3πB ．(2,)3π-C ．2(2,)3πD ．(2,2),()3k k Z ππ+∈（3）、参数方程与直角坐标方程互化例题3：已知曲线1C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+-=θθsin 10cos 102y x （θ为参数），曲线2C 的极坐标方程为θθρsin 6cos 2+=．（1）将曲线1C 的参数方程化为普通方程，将曲线2C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）曲线1C ，2C 是否相交，若相交请求出公共弦的长，若不相交，请说明理由．练习1、坐标系与参数方程.已知曲线C ：θ⎩⎨⎧θ+=θ+=(sin 21cos 23y x 为参数，0≤θ<2π)， （Ⅰ）将曲线化为普通方程；（Ⅱ）求出该曲线在以直角坐标系原点为极点，x 轴非负半轴为极轴的极坐标系下的极坐标方程．（4）利用参数方程求值域例题4、在曲线1C ：⎩⎨⎧=+=）y x 为参数θθθ(sin cos 1上求一点，使它到直线2C：12(112x t t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数）的距离最小，并求出该点坐标和最小距离。
第七讲 极坐标与参数方程(学生版)
第七讲极坐标与参数方程【知识要点】1．极坐标系与点的极坐标(1)极坐标系：在平面内取一个定点O (极点)，自极点O 引一条射线Ox (极轴)；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标：平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对),(θρM 称为点M 的极坐标．其中ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角．记作),(θρM 2．极坐标与直角坐标的互化点M 直角坐标),(y x 极坐标),(θρ互化公式⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x ⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=)0(tan 222x x y y x θρ3．直线的极坐标方程(1)直线l 过极点，且极轴到此直线的角为α，则直线l 的极坐标方程是)(R ∈=ραθ．(2)直线l 过点)0,(a M 且垂直于极轴，则直线l 的极坐标方程为a =θρcos .(3)直线过)2,(πb M 且平行于极轴，则直线l 的极坐标方程为b =θρsin .4．曲线的参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标y x ,都是某个变数t 的函数⎩⎨⎧==)()(t g y t f x ,并且对于t 的每一个允许值，由这个方程组所确定的点),(y x M 都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数y x ,的变数t 叫做参变数，简称参数．5．参数方程与普通方程的互化通过消去参数从参数方程得到普通方程，如果知道变数y x ,中的一个与参数t 的关系，例如)(t f x =，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系)(t g y =，那么⎩⎨⎧==)()(t g y t f x ,就是曲线的参数方程．在参数方程与普通方程的互化中，必须使y x ,的取值范围保持一致．6．常见曲线的参数方程和普通方程点的轨迹普通方程参数方程直线)(tan 00x x y y -=-α⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x (t 为参数)圆222)()(r b y a x =-+-⎩⎨⎧+=+=θθsin cos r b y r a x (θ为参数)椭圆)0(12222>>=+b a by a x ⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x (ϕ为参数)7．直线参数方程几何意义(1)若倾斜角为α的直线过点)(00y x M ，，t 为参数，则该直线的参数方程可写为⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x (t 为参数)．(其中参数t 是以定点)(00y x M ，为起点，对应于t 点)(y x P ，为终点的有向线段MP 的数量，又称为点M 与点P 间的有向距离．)(2)若直线过点M ，直线与圆锥曲线交于两点Q P ,，它们对应的参数分别为21,t t .则||||MQ MP 、的几何意义就是：||||||||21t MQ t MP ==，；||||MQ MP +的几何意义就是：=+||||MQ MP |t ||t |21+；||||MQ MP ⋅的几何意义就是：||||||21t t MQ MP ⋅=⋅；||PQ 的几何意义就是：2122121214)(|||PQ ||||PQ |t t t t t t t t ⋅-+=-=-=，即.线段PQ 的中点所对应的参数值等于221t t +，若定点)(00y x M ，为线段PQ 中点，则021=+t t .【例题解析】【例1】(2014全国1卷)已知曲线C ：19422=+y x ，直线l ：⎩⎨⎧-=+=t y t x 222,(t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为030的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值．【例2】(2015全国1卷)在直角坐标系xOy 中，直线1C :2-=x ，圆2C ：()()22121x y -+-=,以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。
易错点17 极坐标和参数方程(学生版)
易错点17 极坐标和参数方程易错点1.极坐标1．极坐标与直角坐标的互化：①互化条件：（1）极点与原点重合；（2）极轴与x 轴正方向重合；（3）取相同的单位长度。
②互化公式：设M 是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是(,)x y ，极坐标是(,)(0)ρθρ≥，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表：点M 直角坐标(,)x y 极坐标(,)ρθ互化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩ 222tan (0)x y yx x ρθ⎧=+⎪⎨=≠⎪⎩说明：若把直角坐标化为极坐标，求极角θ时，应注意判断点P 所在的象限（即角θ的终边的位置），以便正确地求出角θ； 利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题。
易错点2.参数方程 1.常见的参数方程: (1)直线的参数方程：若直线过00(,)x y ，α为直线的倾斜角，则直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t为参数)，其中参数t 的几何意义是直线上定点P 0到动点P 的有向线段P 0P 的数量，若动点P 在定点P 0的上方，则t >0；若动点P 在定点P 0的下方，则t <0；若动点P 与定点P 0重合，则t ＝0.定点P 0到动点P 的距离是|P 0P |＝|t |. （2）圆的参数方程：①圆222x y r +=的参数方程⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x （θ为参数）②圆()()222x a y b r -+-=的参数方程为：00cos sin x x r y y r θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）（3）椭圆22221x y a b +=的参数方程cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩ （θ为参数）（4）抛物线22y px =的参数方程222x Pt y Pt⎧=⎨=⎩（t 为参数）2.关于参数几点说明：（1）参数方程中参数可以是有物理意义，几何意义，也可以没有明显意义。
课外辅导---极坐标与参数方程(学生版)(精)
极坐标系与参数方程（教师版）一、坐标系1．平面直角坐标系的建立：在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。
2．空间直角坐标系的建立：在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。
3．极坐标系的建立：在平面上取一个定点O ，自点O 引一条射线OX ，同时确定一个单位长度和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。
（其中O 称为极点，射线OX 称为极轴。
）①设M 是平面上的任一点，ρ表示OM 的长度，θ表示以射线OX 为始边，射线OM 为终边所成的角。
那么有序数对(, ρθ称为点M 的极坐标。
其中ρθ约定：极点的极坐标是ρ=0，θ可以取任意角。
4．直角坐标与极坐标的互化以直角坐标系的O 为极点，x 轴正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的单位长度平面内的任一点P 的直角坐标极坐标分别为（x ，y ）和(, ρθ，则x =2ρ=y =tan θ=二、曲线的极坐标方程1．直线的极坐标方程：若直线过点00(, M ρθ，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：sin( sin( ρθ-α=ρθ-α几个特殊位置的直线的极坐标方程（1）直线过极点（2）直线过点M(a,0且垂直于极轴（3）直线过(, 2M b π且平行于极轴图：方程：2．圆的极坐标方程：若圆心为00(, M ρθ，半径为r 的圆方程为：2220002cos( 0r ρρρθθρ--+-=几个特殊位置的圆的极坐标方程（1）当圆心位于极点（2）当圆心位于(,0 M r （3）当圆心位于(, 2M r π图：方程：3．直线、圆的直角坐标方程与极坐标方程的互化x =2ρ=y =θ=三、参数方程1．参数方程的意义在平面直角坐标系中，若曲线C 上的点(, P x y 满足((x f t y f t =⎧⎨=⎩，该方程叫曲线C 的参数方程，变量t 是参变数，简称参数 2．参数方程与普通方程的互化（1）参数方程化为普通方程常见参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线：⑴cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）；⑵00(x x at t y y bt =+⎧⎨=+⎩为参数）（3）2sin cos x y θθ=⎧⎨=⎩[0,2 θπ∈（4）1( 21(2a x t t b y t t⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）（5）cos sin x a r y b r ϕϕ=+⎧⎨=+⎩（ϕ为参数）常见化普通方程为参数方程，1、圆222( ( x a y b r -+-=的参数方程。
2021极坐标参数方程150题学生版30题
π 针π 针2 2021 高考数学押题卷一、解答题1. 在直角坐标系x 씸ຠ 中，抛物线C 的方程为ຠ2 = 针x .（1） 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 C 的极坐标方程； （2） 直线 l 的参数方程是x = 2 ʹ tcosαtl C 交于A ，B 两点，AB =针 6，求l 的倾斜角.ຠ = tsin α （为参数）， 与【来源】【市级联考】河南省六市 2019 届高三第二次联考数学（文)试题 x = 1 − 2 t t 为 参 数2. 在直角坐标系x 씸ຠ 中，已知曲线C 1的参数方程：2 ，以ຠ = 2 t2坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ =2asin θ ʹa ⸸ ㄸ ．（1） 若曲线C 1与曲线C 2相切，求a 的值；（2） 若曲线C 1与曲线C 2交于 A ，B 两点，且|AB |= 6，求 a 的值．【来源】江西省吉安市 2019 届高三下学期第一次模拟考试数学（文)试题3. 选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系x 씸ຠ 中，过点P − 2, − 针 的直线l 的参数方程为x = 2 ʹ 2 t2 （t ຠ =− 针 ʹ 2 t2为参数），以坐标原点 씸 为极点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线 C 的极坐标方程为ρsin 2θ = 2cos θ，记直线l 与曲线C 分别交于M ,⸸ 两点.（1） 求曲线C 和l 的直角坐标方程； （2） 证明： PM , M⸸ , P⸸ 成等比数列.【【全国市级联考】河北省定州市2018-2019 学年高二下学期期中考试数学（理)试题 4. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为x = 3cos α （α为参数），在ຠ = sin α以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点M 的极坐标为 2 2, 3π ，针直线l 的极坐标方程为ρsin θ −ʹ 2 = ㄸ．（1） 求直线l 的直角坐标方程与曲线 C 的普通方程；（2） 若N 是曲线C 上的动点，P 为线段MN 的中点，求点P 到直线l 的距离的最π 针2 2大值．【来源】【校级联考】山东省郓城一中等学校 2019 届高三第三次模拟考试数学（文) 试题5. 在平面直角坐标系 x 씸ຠ 中，曲线 C 的参数方程为x = 3c 磔-α (α为参数），在以ຠ = -ݏn α坐标原点씸 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点 M 的极坐标为 2 2, 3π ，针直线l 的极坐标方程为ρsin θ −ʹ 2 = ㄸ．（1） 求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程；（2） 若⸸ 是曲线C 上的动点，P 为线段M⸸ 的中点，求点P 到直线l 的距离的最大值．【来源】【校级联考】山东省郓城一中等学校 2019 届高三第三次模拟考试数学（理)试6．[选修 4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系x 씸ຠ 中，曲线C 的参数方程为 x = 2ʹt（t 为参数，ʹ ⸸ ㄸ），以坐1 ຠ = 2ʹ 标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ = 针sinθ.（1） 求C 1的普通方程和极坐标方程；（2） 若C 1与C 2相交于A 、B 两点，且 AB = 2 3，求ʹ 的值.【来源】江西省赣州市 2019 届高三 3 月摸底考试数学（理)试题 7. 在直角坐标系 x 씸ຠ 中，直线 l 的参数方程为 x =− 2 ʹ t, tn ⸸ ㄸ. ຠ = nt （ 为参数），其中 以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为θ =π (ρ ∈ R)，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos2θ = 1.2（1） 求C 1,C 2的直角坐标方程；（2） 已知点 P ( − 2,ㄸ)，l 与C 1交于点Q ，与C 2交于A,B 两点，且|PA| · |PB| = |PQ|2，求l 的普通方程.【来源】【市级联考】福建省泉州市 2019 届普通高中毕业班第二次质量检查文科数学试题x 228.已知椭圆C: 2 ʹ ຠ = 1 左顶点为A ，씸 为原点，M ，⸸ 是直线x = t 上的两个动点，且M 씸 ⊥ 가⸸，直线AM 和A⸸ 分别与椭圆C 交于E ，D 两点（1） 若t =− 1，求ΔM 가⸸ 的面积的最小值；tπ 针（2） 若E ，씸，D 三点共线，求实数t 的值.【来源】【校级联考】浙江省金丽衢十二校 2019 届高三第一次联考数学试题9. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线C x = 2 ʹ tc 磔 -θt 为参数），C ：x = 针m 2（m 为参数）．1： ຠ = t -ݏn θ （ 2 ຠ = 针m（1） 将 C 1，C 2 的方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2） 设曲线 C 1 与 C 2 的交点分别为 A ，B ，O 为坐标原点，求△OAB 的面积的最小值．【来源】【市级联考】辽宁省辽阳市 2019 届高三下学期一模数学（理科)试题10.选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系x 씸ຠ 中，点 M ㄸ,1 ，直线 l: x = 2t（t 为参数），以原点 씸 为极点，ຠ = 1 ʹ t x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为 7ρ2 ʹ ρ2cos2θ = 2针.（1） 求曲线C 的直角坐标方程； （2） 设直线l 与曲线C 交于点A,B ，求1ʹ的值.MAMB【来源】【市级联考】广东省湛江市 2019 年普通高考测试（二)理科数学试题11.在极坐标系中，已知 A 1, π3,B 9,AB 的垂直平分线l 与极轴交于点C ，求l 的极坐标方程及ΔABC 的面积．【来源】【全国百强校】江苏省海安高级中学 2019 届高三第二学期四月模拟考试数学试题12.在直角坐标系x 씸ຠ 中，曲线C 1的参数方程为 x = 1 ʹ 2c 磔-θ（θ为参数），以ຠ = 1 ʹ 2-ݏn θ原点씸 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为2ρcos θ −= m ， m ∈ R .（1） 当m = 针 时，判断曲线C 1与曲线C 2的位置关系；（2） 当曲线C 1上有且只有一点到曲线C 2的距离等于 2时，求曲线C 1上到曲线C 2距离为 2 2的点的坐标.【来源】【校级联考】江西省上饶市重点中学 2019 届高三六校第二次联考文科数学试题13.在直角坐标系x 씸ຠ 中，圆 C 的参数方程为 x = 3 ʹ 2cos α （α为参数），以直ຠ = 1 ʹ 2sin α角坐标系的原点 씸 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求圆C 的极坐标方程；π 3π针ຠ = -ݏnφຠ = m ʹt ຠ = 2 ʹ 2-ݏnφ（2）设曲线l1的极坐标方程为θ = π(ρ ≤ ㄸ)，曲线l2的极坐标方程为θ = π(ρ ≤ ㄸ)，6 3求三条曲线C，l1，l2所围成图形的面积.【来源】【校级联考】河北省示范性高中2019 届高三下学期 4 月联考数学（文)试题x =− 1 − 2 t,14.在直角坐标系x씸ຠ中，直线l 的参数方程为 2ຠ = 2 ʹ2t2（t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C 的极坐标方程为ρcos2θ = sinθ.（1）求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A，B 两点，P( − 1,2)，求|PA| · |PB|.【来源】【市级联考】河北省邯郸市2018-2019 学年高二下学期期中考试数学试题（理15.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系x磔ຠ中，圆C的参数方程为x = 1 ʹc磔-φ（φ为参数），现以原点씸为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求圆C 的极坐标方程；（Ⅱ）设P,Q 是圆C 上的两个动点，且∠P씸Q = π，求씸P ʹ씸Q 的最大值.3【来源】【市级联考】湖南省株洲市2019 届高三第二次教学质量检测（二模)文科数学17.在平面直角坐标系x씸ຠ中，曲线C1的参数方程为x =− 1 − t（其中t 为参数）.以坐标原点씸为原点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ = 针 2sin θʹ.（I）写出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（II）设点P，Q 分别在曲线C1，C2上运动，若P，Q 两点间距离的最小值为2 2，求实数m 的值.【来源】【市级联考】安徽省淮南市2019 届高三第二次模拟考试文科数学试卷18.在直角坐标系x磔ຠ中，曲线C1的参数方程为x = 2c磔-φ（φ为参数），以原点씸为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ = 针cosθ.（1）求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2π针2ຠ = 针s i n θ ຠ = sin θ 的值.【来源】【市级联考】甘肃省兰州市 2019 届高三实战模拟考试（二诊)数学（文)试题19. 直角坐标系x 씸ຠ 中，曲线C 1的参数方程为x = 2 ʹ 5c 磔-α(其中α为参数）；ຠ = 1 ʹ 5-ݏn α以씸 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为θ =3π (ρ ∈ R)，曲线c :ρ = 针sinθ．针（Ⅰ）求曲线C 1的普通方程和极坐标方程；（Ⅱ）已知直线l 与曲线C 1和曲线C 2分别交于M 和⸸ 两点（均异于点 씸），求线段 M⸸ 的长．【来源】【市级联考】山东省青岛市 2019 届高三 3 月教学质量检测（一模)数学（理) 20．在平面直角坐标系 xOy 中，圆C 的参数方程为 x = 针cosθ(θ为参数)，直线l 经过点P(1,2)，倾斜角α＝π．6(1) 写出圆C 的普通方程和直线l 的参数方程；(2) 设直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，求|PA|·|PB|的值．【【全国百强校】吉林省实验中学2018-2019 学年高二下学期期中考试数学（文) 21．[选修 4-4:坐标系与参数方程] x = 2 ʹ 3 t已知曲线l 的参数方程为 5ຠ = 1 − 针t5(t 为参数)，以原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρ = 针 2cos θ −(1) 求曲线C 的直角坐标方程;(2) 设P(2，1).直线l 与曲线C 交于点A ，B .求|PA||PB|的值.【来源】【市级联考】广西壮族自治区南宁、梧州等八市 2019 届高三 4 月联合调研考试数学（理)试题22. 选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系x 씸ຠ 中，曲线C 的参数方程为 x = c o s θ(θ为参数），过点 M ㄸ,且倾斜角为α的直线l 与曲线C 交于A,B 两点.（1） 求α的取值范围；（2） 求AB 中点Q 的轨迹的参数方程.【来源】【市级联考】内蒙古赤峰市 2019 届高三 4 月模拟考试数学（理)试题2ຠ = 3 ʹ s i n t 2 2 ຠ = 6 ʹ t ຠ = 3sinθ ຠ = 1 ʹ 3s i n θ23. 在平面直角坐标系 x 씸ຠ 中，椭圆C 的参数方程为x = 3cosφ（φ为参数）.ຠ = 2sinφ以坐标原点씸 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为 ρcosθ ʹ ρsinθ = 1.（1） 求椭圆C 的极坐标方程和直线 l 的直角坐标方程；（2） 若点P 的极坐标为(1, π )，直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求 PA ʹ PB2的值.【来源】【市级联考】四川省雅安市 2019 届高三第三次诊断考试数学（理)试题24. 已知曲线C 1: x =− 针ʹ c o s t （t 为参数），C : x = 3cos θ ຠ = sin θ （θ为参数） （Ⅰ）将C 1,C 2的方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）若C 1上的点对应的参数为 t = π，Q 为C 2上的动点，求 PQ 中点M 到直线x = 3 ʹ tຠ =− 2 ʹ t（t 为参数）距离的最小值.【来源】【校级联考】陕西省西安地区陕师大附中、西安高级中学等八校 2019 届高 三 4 月联考数学（理)试题25. 选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系x 씸ຠ 中，直线l 的参数方程为 x = t（t 为参数），以原点 씸为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 上有一点P ，且点 P ，C 的极坐标分别为 2 2, π 针，(2,ㄸ).（1） 求圆C 的直角坐标方程及直线 l 的普通方程；（2） 设直线l 与坐标轴的两个交点分别为 A ，B ，点E 在圆C 上运动，求ΔABE 面积的最大值.【来源】【市级联考】湖南省益阳市 2019 届高三 4 月模拟考试数学（理)试题26. 曲线C 的参数方程为 x = 2cosθ（θ为参数），以平面直角坐标系 x 磔ຠ 的原点씸 为极点,x 轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线 l:ρ(cosθ − 2sinθ) = 1ㄸ 。
参数方程(学生版)
高二选修4-4参数方程（1）班级：____姓名：_____1.会选择适当的参数写出曲线的参数方程2.掌握参数方程化为普通方程几种基本方法3.利用圆锥曲线的参数方程来确定最值，解决有关点的轨迹问题一.参数方程的定义1.一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C 上任一点P 的坐标x 和y 都可以表示为某个变量t 的函数：()()x f t y g t =⎧⎨=⎩；反过来，对于t 的每个允许值，由函数式()()x f t y g t =⎧⎨=⎩所确定的点P (x ，y )都在曲线C 上，那么方程()()x f t y g t =⎧⎨=⎩叫作曲线C 的参数方程，变量t 是参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程，参数方程可以转化为普通方程．2．关于参数的说明．参数方程中参数可以有物理意义、几何意义，也可以没有明显意义．3．曲线的参数方程可通过消去参数而得到普通方程；若知道变数x 、y 中的一个与参数t 的关系，可把它代入普通方程，求另一变数与参数t 的关系，则所得的()()x f t y g t =⎧⎨=⎩，就是参数方程．二.圆的参数方程以圆心为原点，半径为r 的圆的参数方程:cos sin x r ty r t =⎧⎨=⎩(t 为参数)．圆的圆心为O 1(a ，b)，半径为r 的圆的参数方程为：cos sin x a r ty b r t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）.三．椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)．规定θ的范围为θ∈[0，2π)．这是中心在原点O 、焦点在x 轴上的椭圆参数方程．四．双曲线x 2a 2－y2b 2＝1的参数方程为tan x asec y b ϕϕ=⎧⎨=⎩(φ为参数)．规定φ的范围为φ∈[0，2π)，且φ≠π2，φ≠3π2.这是中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线参数方程．五．曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数，t ∈R)其中p 为正的常数．这是焦点在x 轴正半轴上的抛物线参数方程．练习1：已知曲线C 的参数方程是为参数）t (1232⎩⎨⎧+==t y tx （1） 判断点M(0,1),N(5,4)与曲线C 的关系； （2） 已知点P(6,a)在曲线C 上，求a.练习2：（1）曲线C:191622=+y x 的参数方程为_____________________ (2) 曲线C: 9)2()1(22=-++y x 的参数方程为_____________________类型一.参数方程与普通方程的互化例1：指出参数方程3cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩⎝ ⎛⎭⎪⎫θ为参数，0＜θ＜π2表示什么曲线练习1：指出参数方程315cos 215sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数，0≤θ＜2π)表示什么曲线练习2：指出参数方程⎩⎨⎧==θθsin 2cos 3y x (θ为参数，0≤θ＜2π)表示什么曲线练习3：指出参数方程1,13x t y t=+⎧⎨=+⎩(t 为参数) 表示什么曲线类型二.曲线参数方程的应用例2：在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩(α为参数)． (1)已知在极坐标(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π2，判断点P 与直线l 的位置关系；(2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．课后作业1. (2014·新课标全国卷Ⅰ)已知曲线194:22=+y x C ，直线⎩⎨⎧-=+=ty tx l 222:（t 为参数）(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求PA 的最大值与最小值.2. 已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φy ＝3sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ=2.正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A 、B 、C 、D 以逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2，π3)(Ⅰ)求点A 、B 、C 、D 的直角坐标；(Ⅱ)设P 为C 1上任意一点，求|PA| 2+ |PB|2 + |PC| 2+ |PD|2的取值范围。
专题30 极坐标与参数方程的应用(学生版)
方法技巧专题30 极坐标与参数方程的应用【一】轨迹方程的问题1.例题【例1】在极坐标系中，已知圆的圆心(6,)3C π，半径3r =，Q 点在圆C 上运动．以极点为直角坐标系原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系．（1）求圆C 的参数方程；（2）若P 点在线段OQ 上，且:2:3OP PQ =，求动点P 轨迹的极坐标方程．【例2】在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为22cos ,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），以点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆C 的极坐标方程；（2）过极点O 作直线与圆C 交于点A ，求OA 的中点所在曲线的极坐标方程.【例3】已知圆C 经过点P )3,2(π，圆心C 为直线ρsin )3(πθ-＝－3与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．2.巩固提升综合练习【练习1】 （2019年高考全国Ⅱ卷理数）在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P ．（1）当0=3θπ时，求0ρ及l 的极坐标方程； （2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程．【练习2】在极坐标系中，已知圆C 经过点P )4,22(π，圆心为直线ρsin(θ－π3)＝－3与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．【练习3】 （2019年高考全国Ⅲ卷理数）如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A ，(2,)4B π，(2,)4C 3π，(2,)D π，弧AB ，BC ，CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2π，(1,)π，曲线1M 是弧AB ，曲线2M 是弧BC ，曲线3M 是弧CD ．（1）分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；（2）曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M 上，且||OP =P 的极坐标．【二】转化中的应用问题【例1】已知曲线C 1的参数方程为45cos ,55sin x t y t=+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(Ⅰ)把C 1的参数方程化为极坐标方程； (Ⅱ)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．【练习1】在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1,1x y t ⎧=⎪⎨=+⎪⎩(t 为参数)．在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=． （Ⅰ）求直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 交于,P Q 两点，求POQ ∠．【三】最值、几何意义的综合问题1.例题【例1】 已知点(,)P x y 是圆2220x y y +-=上的动点. (1)求2x y +的取值范围；(2)若0x y a ++≥恒成立，求实数a 的取值范围.【例2】已知在直角坐标系中，曲线的参数方程为x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ (t 为参数）．在极坐标系（与直角坐标取相同的长度单位，且以原点为极点，轴的非负半轴为极轴）中，曲线的方程为221cos sin 22a ap a ρρθθ--=+，[0,2]a ∈．（Ⅰ）求曲线直角坐标方程，并说明方程表示的曲线类型；（Ⅱ）若曲线、交于A 、B 两点，定点P(0,-2)，求PA PB ⋅的最大值．xOy 1C O x 2C 2C 1C 2C【例3】在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为132x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数).以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρθ=. (Ⅰ)写出⊙C 的直角坐标方程；(Ⅱ)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标.【例4】 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为2cos 12sin x y ϕϕ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（ϕ为参数），以坐标原点O为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）在曲线C 上取两点M ，N 与原点O 构成MON △，且满足π2MON ∠=，求MON △面积的最大值.【例5】在直角坐标系中，圆C 的方程为25)6(22=++y x ．（Ⅰ）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的参数方程是（为参数）,l 与C 交于B A ,两点，10=AB ，求l 的斜率．2.巩固提升综合练习xOy x cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩t【练习1】在平面直角坐标系xOy 中，设(,)P x y 是椭圆2213x y +=上的一个动点，求S x y =+的最大值.【练习2】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，(θ为参数)，直线l 的参数方程为41x a ty t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数).(1)若1a =-，求C 与l 的交点坐标；(2)若C 上的点到la .【练习3】在平面坐标系中xOy 中，已知直线l 的参考方程为82x t ty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)，曲线C 的参数方程为22x sy ⎧=⎪⎨=⎪⎩(s 为参数).设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值.【练习4】已知直线11: x t l y =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），曲线1cos : 2sin x C y θθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立直角坐标系．（1）求曲线1C 的极坐标方程，直线1l 的普通方程；（2）把直线1l 向左平移一个单位得到直线2l ，设2l 与曲线1C 的交点为M ，N ，P 为曲线1C 上任意一点，求PMN △面积的最大值．【练习5】在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1cos sin x t y t αα=+=⎧⎨⎩（t 为参数，0πα≤<），以O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=．（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）设()1,0A ，直线l 交曲线C 于M ，N 两点，P 是直线l 上的点，且211AP AM AN=+，当AP 最大时，求点P 的坐标．1．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩(α为参数)，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()4ρθπ+=(Ⅰ)写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；(Ⅱ)设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求||PQ 的最小值及此时P 的直角坐标.2．已知曲线1C 的参数方程是⎩⎨⎧==ϕϕsin 3cos 2y x (ϕ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2=ρ.正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且A 、B 、C 、D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为)3,2(π.(Ⅰ)求点A 、B 、C 、D 的直角坐标；(Ⅱ)设P 为1C 上任意一点，求2222||||||||PD PC PB PA +++的取值范围.3．已知在直角坐标系xOy内，直线l的参数方程为3cos,21sin.2x ty tθθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t为参数，θ为倾斜角）．以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为)4ρθπ=+．（1）写出曲线C的直角坐标方程及直线l经过的定点P的坐标；（2）设直线l与曲线C相交于两点A B、，求点P到A B、两点的距离之和的最大值．4．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）求C上的点到l距离的最小值．5．在极坐标系中，已知点P(2√2,π2)，圆C的方程为ρ=2√2cosθ，求过点P且与圆C相切的直线的极坐标方程。
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参数方程与极坐标专题
1．选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线1:x t l y =⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立直角坐标系, 圆1C
：2cos 4sin 60ρθρθ--+=.
（1）求圆1C 的直角坐标方程，直线1l 的极坐标方程；
（2）设1l 与1C 的交点为,M N ，求1C MN ∆的面积.
2．在极坐标系中，曲线C 的方程为2cos 29ρθ=
，点)6P π．以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系．
（1）求直线OP 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；
（2）若直线OP 与曲线C 交于A 、B 两点，求
11||||
PA PB +的值．
3．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C
的参数方程为(sin x a a y a
⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数） ，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4sin cos ρθθ
=+. （1）求曲线12,C C 的直角坐标方程;
（2）已知点,P Q 分别是线12,C C 的动点，求PQ 的最小值.
在直角坐标系xOy 中，过点(2,1)P -的直线l 的倾斜角为45︒，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2
sin 4cos ρθθ=，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ．
（1）求曲线C 的直角坐标方程；
（2）求||||PA PB ⋅．
5．选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为315415x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩
（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建
立极坐标系，曲线C
的极坐标方程)4π
ρθ=+. （I ）求曲线C 的直角坐标方程；
（II ）若直线l 与曲线C 交于M N ，两点，求||MN .
6．坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为13
x t y t =+⎧⎨
=-⎩（t 为参数），在以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正
半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为22cos sin θρθ
=． （Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；
（Ⅱ）若直线l 与曲线C 相交于A B 、两点，求弦长AB ．
在极坐标系中，已知点)4,
4(π，直线为1)4sin(=+πθρ. （1）求点)4,
4(π的直角坐标系下的坐标与直线的普通方程； （2）求点)4,4(π到直线1)4sin(=+π
θρ的距离.
8．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为
2cos 704πρθ⎛
⎫--+= ⎪⎝⎭
． （1）求曲线C 的直角坐标方程并指出其形状；
（2）设(),P x y 是曲线C 上的动点，求()()11t x y =++的取值范围．。