第一章 算法基础——距离计算
距离的计算
∴
PO AP2 AO2
正四棱锥O-ABCD中，点0在平面 ABCD的射影点为正方形ABCD的对 角线交点E，点P到平面PAC的距离 为OE. ∵ OE⊥平面ABCD，AE⊂ 平面 ABCD ∴OE⊥AE,△ABC为直角三角形
∴ OE OA2 AE2
AP n
sin cos AP, n
d
AP n
AP n
O
d AP sin AP
AP n A
AP n
d n
其中AP 为斜向量，n 为法向量。
AP n0 , 其中n0为平面的单位向量；
四、应用举例
【例1】 如图, 在空间直角坐标系中有单位正方体ABCD－A'B'C'D'
P
α
AB C D
4.是否容易直接求解点到平面的距离?直接求存在什么困难？
P
d
O
P在平面 上正摄影点O的具体位置很难确定。
正三棱锥P-ABC中，点P在平面ABC 的射影点为正△ABC的重心O，点P 到平面PAC的距离为PO. ∵ PO⊥平面ABCD，AO⊂ 平面 ABC∴PO⊥AO,△PAO为直角三角形
1 2 2
22
2 sin 2
3
3; 而PC 2
因此h PC SACB 2 2 3
S PAB
23 3
三、探究新知
5.等距离法求点面距离适用性有限，那么根据已有的学习
经验能否尝试用向量法求解点面距离？
sin d
AP
d | AP | sin
P
n
2、等体积法：转化为该点为顶点的三棱锥的高，利用等体积转化求解
距离计算
摘要：颜色恒常性算法通常使用距离测量是基于数学方法进行评价，如角误差。
然而，并不知道这些距离与人类视觉距离是否相关。
因此，本文的主要目的是分析的几个性能指标和质量之间的相关性，通过心理物理实验，用不同的颜色恒常性算法获得输出图像。
随后处理的问题是性能指标的分布，表明在一个大的图像中可以提供更多附加的和替代的信息，而且得到了改进的感性意义，即人类观察者之前存在的差异得到了明显的改善。
©2009美国光学学会颜色恒常性是视觉系统的能力，无论是人或机器，尽管光源颜色发生了巨大变化也可以保持稳定的物体颜色。
颜色恒常性是颜色和计算机视觉的一个主题部分。
为了解决颜色恒常性的问题，通常的方法是通过估计从视觉场景中的光源，然后恢复这些反射光源。
许多的颜色恒常性的方法已经被提出，例如，[ 1，4 ]–。
为基准，颜色恒常性算法的精度是通过计算在相同数据的距离度量集如[ 5,6 ]评价。
事实上，这些距离的措施计算到什么程度原光源向量近似估计。
两种常用的距离度量是欧氏距离和角度误差，后者可能是更广泛的应用。
然而，这些距离的措施本身是基于数学原理和归一化RGB颜色空间计算，它是未知的是否与人类视觉距离措施。
此外，其他的距离度量可以基于人眼视觉原理的定义。
因此，在本文中，一种颜色恒常性算法分类法不同距离的措施第一，从数学基础的距离知觉和颜色恒常性的特定距离。
然后，设置距离这些措施的颜色恒常知觉的比较。
显示距离的措施和看法之间的相关性，颜色校正后的图像与视觉检测的参考光照下的原始图像相比。
在这种方式中，距离度量的心理物理学实验涉及的颜色校正后的图像进行配对比较。
此外，以下[ 7 ]，一个绩效指标的分布的讨论，表明附加的和替代的信息可以提供进一步的洞察在一个大的组的图像的颜色恒常性算法的性能。
最后，除了性能措施的心理评估，颜色恒常性算法之间的感知差异分析。
这种分析是用来提供一个获得的性能改进的感性意义的指示。
换句话说，这种分析的结果可以用来表明是否观察者可以看到之间的颜色校正两颜色恒常性算法产生的图像的差异。
高中数学必修3知识点总结：第一章_算法初步
高中数学必修3知识点总结第一章算法初步1.1.1算法的概念1、算法概念：在数学上，现代意义上的“算法”通常是指能够用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成.2. 算法的特点:(1)有限性：一个算法的步骤序列是有限的，必须在有限操作之后停止，不能是无限的.(2)确定性：算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果，而不理应是模棱两可.(3)顺序性与准确性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后继步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能实行下一步，并且每一步都准确无误，才能完成问题.(4)不唯一性：求解某一个问题的解法不一定是唯一的，对于一个问题能够有不同的算法.(5)普遍性：很多具体的问题，都能够设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决.1.1.2程序框图1、程序框图基本概念：（一）程序构图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形。
一个程序框图包括以下几局部：表示相对应操作的程序框；带箭头的流程线；程序框外必要文字说明。
（二）构成程序框的图形符号及其作用学习这局部知识的时候，要掌握各个图形的形状、作用及使用规则，画程序框图的规则如下：1、使用标准的图形符号。
2、框图一般按从上到下、从左到右的方向画。
3、除判断框外，绝大局部流程图符号只有一个进入点和一个退出点。
判断框具有超过一个退出点的唯一符号。
4、判断框分两大类，一类判断框“是”与“否”两分支的判断，而且有且仅有两个结果；另一类是多分支判断，有几种不同的结果。
5、在图形符号内描绘的语言要非常简练清楚。
（三）、算法的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构。
1、顺序结构：顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序实行的，它是由若干个依次执行的处理步骤组成的，它是任何一个算法都离不开的一种基本算法结构。
必修三第一章《算法初步》
第一章算法初步本章教材分析算法是数学及其应用的重要组成部分，是计算科学的重要基础.算法的应用是学习数学的一个重要方面.学生学习算法的应用,目的就是利用已有的数学知识分析问题和解决问题.通过算法的学习,对完善数学的思想，激发应用数学的意识,培养分析问题、解决问题的能力，增强进行实践的能力等，都有很大的帮助.本章主要内容：算法与程序框图、基本算法语句、算法案例和小结.教材从学生最熟悉的算法入手，通过研究程序框图与算法案例，使算法得到充分的应用，同时也展现了古老算法和现代计算机技术的密切关系.算法案例不仅展示了数学方法的严谨性、科学性，也为计算机的应用提供了广阔的空间.让学生进一步受到数学思想方法的熏陶，激发学生的学习热情.在算法初步这一章中让学生近距离接近社会生活，从生活中学习数学，使数学在社会生活中得到应用和提高，让学生体会到数学是有用的，从而培养学生的学习兴趣.“数学建模”也是高考考查重点.本章还是数学思想方法的载体，学生在学习中会经常用到“算法思想” “转化思想”，从而提高自己数学能力.因此应从三个方面把握本章：（1）知识间的联系；（2）数学思想方法；（3）认知规律.本章教学时间约需12课时，具体分配如下（仅供参考）：1.1.1 算法的概念约1课时1.1.2 程序框图与算法的基本逻辑结构约4课时1.2.1 输入语句、输出语句和赋值语句约1课时1.2.2 条件语句约1课时1.2.3 循环语句约1课时1.3算法案例约3课时本章复习约1课时1.1 算法与程序框图1.1.1 算法的概念整体设计教学分析算法在中学数学课程中是一个新的概念，但没有一个精确化的定义，教科书只对它作了如下描述：“在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确有限的步骤.”为了让学生更好理解这一概念，教科书先从分析一个具体的二元一次方程组的求解过程出发，归纳出了二元一次方程组的求解步骤，这些步骤就构成了解二元一次方程组的算法.教学中，应从学生非常熟悉的例子引出算法，再通过例题加以巩固.三维目标1.正确理解算法的概念,掌握算法的基本特点.2.通过例题教学，使学生体会设计算法的基本思路.3.通过有趣的实例使学生了解算法这一概念的同时，激发学生学习数学的兴趣.重点难点教学重点：算法的含义及应用.教学难点：写出解决一类问题的算法.课时安排 1课时教学过程导入新课思路1（情境导入）一个人带着三只狼和三只羚羊过河，只有一条船，同船可容纳一个人和两只动物，没有人在的时候，如果狼的数量不少于羚羊的数量狼就会吃羚羊.该人如何将动物转移过河？请同学们写出解决问题的步骤，解决这一问题将要用到我们今天学习的内容——算法. 思路2（情境导入）大家都看过赵本山与宋丹丹演的小品吧，宋丹丹说了一个笑话，把大象装进冰箱总共分几步？答案：分三步，第一步：把冰箱门打开；第二步：把大象装进去；第三步：把冰箱门关上. 上述步骤构成了把大象装进冰箱的算法，今天我们开始学习算法的概念. 思路3（直接导入）算法不仅是数学及其应用的重要组成部分，也是计算机科学的重要基础.在现代社会里，计算机已成为人们日常生活和工作中不可缺少的工具.听音乐、看电影、玩游戏、打字、画卡通画、处理数据，计算机是怎样工作的呢？要想弄清楚这个问题，算法的学习是一个开始. 推进新课 新知探究 提出问题（1）解二元一次方程组有几种方法？ （2）结合教材实例⎩⎨⎧=+-=-)2(,12)1(,12y x y x 总结用加减消元法解二元一次方程组的步骤.（3）结合教材实例⎩⎨⎧=+-=-)2(,12)1(,12y x y x 总结用代入消元法解二元一次方程组的步骤.（4）请写出解一般二元一次方程组的步骤.（5）根据上述实例谈谈你对算法的理解. （6）请同学们总结算法的特征. （7）请思考我们学习算法的意义. 讨论结果：（1）代入消元法和加减消元法. （2）回顾二元一次方程组⎩⎨⎧=+-=-)2(,12)1(,12y x y x 的求解过程，我们可以归纳出以下步骤： 第一步，①+②×2，得5x=1.③ 第二步，解③，得x=51. 第三步，②-①×2，得5y=3.④ 第四步，解④，得y=53.第五步，得到方程组的解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.53,51y x(3)用代入消元法解二元一次方程组⎩⎨⎧=+-=-)2(,12)1(,12y x y x 我们可以归纳出以下步骤： 第一步，由①得x=2y －1.③第二步，把③代入②，得2(2y －1)+y=1.④ 第三步，解④得y=53.⑤ 第四步，把⑤代入③，得x=2×53－1=51. 第五步，得到方程组的解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.53,51y x(4)对于一般的二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+)2(,)1(,222111c y b x a c y b x a其中a 1b 2－a 2b 1≠0,可以写出类似的求解步骤： 第一步，①×b 2-②×b 1，得 （a 1b 2－a 2b 1）x=b 2c 1－b 1c 2.③ 第二步，解③，得x=12212112b a b a c b c b --.第三步，②×a 1-①×a 2，得（a 1b 2－a 2b 1）y=a 1c 2－a 2c 1.④ 第四步，解④，得y=12211221b a b a c a c a --.第五步，得到方程组的解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=.,1221122112212112b a b a c a c a y b a b a c b c b x(5)算法的定义：广义的算法是指完成某项工作的方法和步骤，那么我们可以说洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法，菜谱是做菜的算法等等.在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确有限的步骤. 现在，算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题.(6)算法的特征：①确定性：算法的每一步都应当做到准确无误、不重不漏.“不重”是指不是可有可无的，甚至无用的步骤，“不漏” 是指缺少哪一步都无法完成任务.②逻辑性：算法从开始的“第一步”直到“最后一步”之间做到环环相扣，分工明确，“前一步”是“后一步”的前提，“后一步”是“前一步”的继续.③有穷性：算法要有明确的开始和结束，当到达终止步骤时所要解决的问题必须有明确的结果，也就是说必须在有限步内完成任务，不能无限制地持续进行.(7)在解决某些问题时，需要设计出一系列可操作或可计算的步骤来解决问题，这些步骤称为解决这些问题的算法.也就是说，算法实际上就是解决问题的一种程序性方法.算法一般是机械的，有时需进行大量重复的计算，它的优点是一种通法，只要按部就班地去做，总能得到结果.因此算法是计算科学的重要基础.应用示例思路1例1 （1）设计一个算法，判断7是否为质数.（2）设计一个算法，判断35是否为质数.算法分析：（1）根据质数的定义，可以这样判断：依次用2—6除7，如果它们中有一个能整除7，则7不是质数，否则7是质数.算法如下：（1）第一步，用2除7，得到余数1.因为余数不为0，所以2不能整除7.第二步，用3除7，得到余数1.因为余数不为0，所以3不能整除7.第三步，用4除7，得到余数3.因为余数不为0，所以4不能整除7.第四步，用5除7，得到余数2.因为余数不为0，所以5不能整除7.第五步，用6除7，得到余数1.因为余数不为0，所以6不能整除7.因此，7是质数.（2）类似地，可写出“判断35是否为质数”的算法：第一步，用2除35，得到余数1.因为余数不为0，所以2不能整除35.第二步，用3除35，得到余数2.因为余数不为0，所以3不能整除35.第三步，用4除35，得到余数3.因为余数不为0，所以4不能整除35.第四步，用5除35，得到余数0.因为余数为0，所以5能整除35.因此，35不是质数.点评：上述算法有很大的局限性，用上述算法判断35是否为质数还可以，如果判断1997是否为质数就麻烦了，因此，我们需要寻找普适性的算法步骤.变式训练请写出判断n(n>2)是否为质数的算法.分析：对于任意的整数n(n>2)，若用i表示2—(n-1)中的任意整数，则“判断n是否为质数”的算法包含下面的重复操作：用i除n,得到余数r.判断余数r是否为0，若是，则不是质数；否则，将i的值增加1，再执行同样的操作.这个操作一直要进行到i的值等于(n-1)为止.算法如下：第一步，给定大于2的整数n.第二步，令i=2.第三步，用i除n,得到余数r.第四步，判断“r=0”是否成立.若是，则n不是质数，结束算法；否则，将i的值增加1，仍用i表示.第五步，判断“i＞（n-1）”是否成立.若是，则n是质数，结束算法；否则，返回第三步. 例2 写出用“二分法”求方程x2-2=0 (x>0)的近似解的算法.分析：令f(x)=x2-2,则方程x2-2=0 (x>0)的解就是函数f(x)的零点.“二分法”的基本思想是：把函数f(x)的零点所在的区间［a,b］(满足f(a)·f(b)<0）“一分为二”，得到［a,m］和［m,b］.根据“f(a)·f(m)<0”是否成立，取出零点所在的区间［a,m］或［m,b］，仍记为［a,b］.对所得的区间［a,b］重复上述步骤，直到包含零点的区间［a,b］“足够小”，则［a,b］内的数可以作为方程的近似解.解：第一步，令f(x)=x2-2,给定精确度d.第二步，确定区间［a,b］，满足f(a)·f(b)<0.第三步，取区间中点m=2ba.第四步，若f(a)·f(m)<0，则含零点的区间为［a,m］；否则，含零点的区间为［m,b］.将新得到的含零点的区间仍记为［a,b］.第五步，判断［a,b］的长度是否小于d或f(m）是否等于0.若是，则m是方程的近似解；否则，返回第三步.当d=0.005时，按照以上算法，可以得到下表.a b |a-b|1 2 11 1.5 0.51.25 1.5 0.251.375 1.5 0.1251.375 1.437 5 0.062 51.406 25 1.437 5 0.031 251.406 25 1.421 875 0.015 6251.414 062 5 1.421 875 0.007 812 51.414 062 5 1.417 968 75 0.003 906 25于是，开区间（1.414 062 5,1.417 968 75）中的实数都是当精确度为0.005时的原方程的近似解.实际上，上述步骤也是求2的近似值的一个算法.点评：算法一般是机械的，有时需要进行大量的重复计算，只要按部就班地去做，总能算出结果，通常把算法过程称为“数学机械化”.数学机械化的最大优点是它可以借助计算机来完成，实际上处理任何问题都需要算法.如：中国象棋有中国象棋的棋谱、走法、胜负的评判准则；而国际象棋有国际象棋的棋谱、走法、胜负的评判准则；再比如申请出国有一系列的先后手续，购买物品也有相关的手续……思路2例1 一个人带着三只狼和三只羚羊过河，只有一条船，同船可容纳一个人和两只动物，没有人在的时候，如果狼的数量不少于羚羊的数量就会吃羚羊.该人如何将动物转移过河？请设计算法.分析：任何动物同船不用考虑动物的争斗但需考虑承载的数量，还应考虑到两岸的动物都得保证狼的数量要小于羚羊的数量，故在算法的构造过程中尽可能保证船里面有狼，这样才能使得两岸的羚羊数量占到优势.解：具体算法如下：算法步骤：第一步：人带两只狼过河，并自己返回.第二步：人带一只狼过河，自己返回.第三步：人带两只羚羊过河，并带两只狼返回.第四步：人带一只羊过河，自己返回.第五步：人带两只狼过河.点评：算法是解决某一类问题的精确描述，有些问题使用形式化、程序化的刻画是最恰当的.这就要求我们在写算法时应精练、简练、清晰地表达，要善于分析任何可能出现的情况，体现思维的严密性和完整性.本题型解决问题的算法中某些步骤重复进行多次才能解决，在现实生活中，很多较复杂的情境经常遇到这样的问题，设计算法的时候，如果能够合适地利用某些步骤的重复，不但可以使得问题变得简单，而且可以提高工作效率.例2 喝一杯茶需要这样几个步骤：洗刷水壶、烧水、洗刷茶具、沏茶．问：如何安排这几个步骤？并给出两种算法，再加以比较．分析：本例主要为加深对算法概念的理解，可结合生活常识对问题进行分析，然后解决问题．解：算法一：第一步，洗刷水壶.第二步，烧水.第三步，洗刷茶具.第四步，沏茶.算法二：第一步，洗刷水壶.第二步，烧水，烧水的过程当中洗刷茶具.第三步，沏茶.点评：解决一个问题可有多个算法，可以选择其中最优的、最简单的、步骤尽量少的算法．上面的两种算法都符合题意，但是算法二运用了统筹方法的原理，因此这个算法要比算法一更科学．例3 写出通过尺轨作图确定线段AB一个5等分点的算法.分析：我们借助于平行线定理，把位置的比例关系变成已知的比例关系，只要按照规则一步一步去做就能完成任务.解：算法分析：第一步，从已知线段的左端点A出发，任意作一条与AB不平行的射线AP.第二步，在射线上任取一个不同于端点A的点C，得到线段AC.第三步，在射线上沿AC的方向截取线段CE=AC.第四步，在射线上沿AC的方向截取线段EF=AC.第五步，在射线上沿AC的方向截取线段FG=AC.第六步，在射线上沿AC的方向截取线段GD=AC，那么线段AD=5AC.第七步，连结DB.第八步，过C作BD的平行线，交线段AB于M，这样点M就是线段AB的一个5等分点. 点评：用算法解决几何问题能很好地训练学生的思维能力，并能帮助我们得到解决几何问题的一般方法，可谓一举多得，应多加训练.知能训练设计算法判断一元二次方程ax2+bx+c=0是否有实数根.解：算法步骤如下：第一步，输入一元二次方程的系数：a，b，c.第二步，计算Δ=b2－4ac的值.第三步，判断Δ≥0是否成立.若Δ≥0成立，输出“方程有实根”；否则输出“方程无实根”，结束算法.点评：用算法解决问题的特点是：具有很好的程序性，是一种通法.并且具有确定性、逻辑性、有穷性.让我们结合例题仔细体会算法的特点.拓展提升中国网通规定：拨打市内电话时，如果不超过3分钟，则收取话费0.22元；如果通话时间超过3分钟，则超出部分按每分钟0.1元收取通话费，不足一分钟按一分钟计算.设通话时间为t（分钟），通话费用y（元），如何设计一个程序，计算通话的费用.解：算法分析：数学模型实际上为：y 关于t 的分段函数. 关系式如下：y=⎪⎩⎪⎨⎧∉>+-+∈>-+≤<).,3(),1]3([1.022.0),,3(),3(1.022.0),30(,22.0Z t T T Z t t t t 其中［t －3］表示取不大于t －3的整数部分. 算法步骤如下：第一步，输入通话时间t.第二步，如果t≤3，那么y=0.22；否则判断t ∈Z 是否成立，若成立执行 y=0.2+0.1×(t －3)；否则执行y=0.2+0.1×（［t －3］+1）. 第三步，输出通话费用c. 课堂小结（1）正确理解算法这一概念.(2)结合例题掌握算法的特点，能够写出常见问题的算法. 作业课本本节练习1、2.设计感想本节的引入精彩独特，让学生在感兴趣的故事里进入本节的学习.算法是本章的重点也是本章的基础，是一个较难理解的概念.为了让学生正确理解这一概念，本节设置了大量学生熟悉的事例，让学生仔细体会反复训练.本节的事例有古老的经典算法，有几何算法等，因此这是一节很好的课例.1.1.2 程序框图与算法的基本逻辑结构整体设计教学分析用自然语言表示的算法步骤有明确的顺序性，但是对于在一定条件下才会被执行的步骤，以及在一定条件下会被重复执行的步骤，自然语言的表示就显得困难，而且不直观、不准确.因此，本节有必要探究使算法表达得更加直观、准确的方法.程序框图用图形的方式表达算法，使算法的结构更清楚、步骤更直观也更精确.为了更好地学好程序框图，我们需要掌握程序框的功能和作用，需要熟练掌握三种基本逻辑结构.三维目标1．熟悉各种程序框及流程线的功能和作用.2．通过模仿、操作、探索，经历通过设计程序框图表达解决问题的过程.在具体问题的解决过程中，理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构.3.通过比较体会程序框图的直观性、准确性.重点难点数学重点：程序框图的画法.数学难点：程序框图的画法.课时安排4课时教学过程第1课时程序框图及顺序结构导入新课思路1（情境导入）我们都喜欢外出旅游，优美的风景美不胜收，如果迷了路就不好玩了，问路有时还听不明白，真是急死人，有的同学说买张旅游图不就好了吗，所以外出旅游先要准备好旅游图.旅游图看起来直观、准确，本节将探究使算法表达得更加直观、准确的方法.今天我们开始学习程序框图.思路2（直接导入）用自然语言表示的算法步骤有明确的顺序性，但是对于在一定条件下才会被执行的步骤，以及在一定条件下会被重复执行的步骤，自然语言的表示就显得困难，而且不直观、不准确.因此，本节有必要探究使算法表达得更加直观、准确的方法.今天开始学习程序框图. 推进新课新知探究提出问题（1）什么是程序框图？（2）说出终端框（起止框）的图形符号与功能.（3）说出输入、输出框的图形符号与功能.（4）说出处理框（执行框）的图形符号与功能.（5）说出判断框的图形符号与功能.（6）说出流程线的图形符号与功能.（7）说出连接点的图形符号与功能.（8）总结几个基本的程序框、流程线和它们表示的功能.（9）什么是顺序结构？讨论结果：（1）程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形.在程序框图中，一个或几个程序框的组合表示算法中的一个步骤；带有方向箭头的流程线将程序框连接起来，表示算法步骤的执行顺序.（2）椭圆形框：表示程序的开始和结束，称为终端框（起止框）．表示开始时只有一个出口；表示结束时只有一个入口．（3）平行四边形框：表示一个算法输入和输出的信息,又称为输入、输出框，它有一个入口和一个出口．（4）矩形框：表示计算、赋值等处理操作，又称为处理框（执行框），它有一个入口和一个出口．（5）菱形框：是用来判断给出的条件是否成立，根据判断结果来决定程序的流向，称为判断框，它有一个入口和两个出口．（6）流程线：表示程序的流向．（7）圆圈：连接点．表示相关两框的连接处，圆圈内的数字相同的含义表示相连接在一起．（8）总结如下表.图形符号名称功能终端框（起止框）表示一个算法的起始和结束输入、输出框表示一个算法输入和输出的信息处理框（执行框）赋值、计算判断框判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”或“Y”；不成立时标明“否”或“N”流程线连接程序框连接点连接程序框图的两部分(9)很明显，顺序结构是由若干个依次执行的步骤组成的，这是任何一个算法都离不开的基本结构.三种逻辑结构可以用如下程序框图表示：顺序结构条件结构循环结构应用示例例1 请用程序框图表示前面讲过的“判断整数n(n>2)是否为质数”的算法.解：程序框图如下:点评：程序框图是用图形的方式表达算法，使算法的结构更清楚，步骤更直观也更精确.这里只是让同学们初步了解程序框图的特点，感受它的优点，暂不要求掌握它的画法. 变式训练观察下面的程序框图，指出该算法解决的问题.解：这是一个累加求和问题，共99项相加，该算法是求100991431321211⨯++⨯+⨯+⨯ 的值.例2 已知一个三角形三条边的边长分别为a ，b ，c ，利用海伦—秦九韶公式设计一个计算三角形面积的算法，并画出程序框图表示.（已知三角形三边边长分别为a,b,c ，则三角形的面积为S=))()((c p b p a p p ---），其中p=2cb a ++.这个公式被称为海伦—秦九韶公式）算法分析：这是一个简单的问题，只需先算出p 的值，再将它代入分式，最后输出结果.因此只用顺序结构应能表达出算法. 算法步骤如下：第一步，输入三角形三条边的边长a,b,c. 第二步，计算p=2cb a ++. 第三步，计算S=))()((c p b p a p p ---.第四步，输出S.程序框图如下：点评：很明显，顺序结构是由若干个依次执行的步骤组成的，它是最简单的逻辑结构，它是任何一个算法都离不开的基本结构. 变式训练下图所示的是一个算法的流程图，已知a 1=3，输出的b=7,求a 2的值.解：根据题意221a a =7, ∵a 1=3,∴a 2=11.即a 2的值为11.例3 写出通过尺轨作图确定线段AB 的一个5等分点的程序框图. 解：利用我们学过的顺序结构得程序框图如下：点评：这个算法步骤具有一般性，对于任意自然数n ，都可以按照这个算法的思想，设计出确定线段的n 等分点的步骤，解决问题，通过本题学习可以巩固顺序结构的应用. 知能训练有关专家建议，在未来几年内，中国的通货膨胀率保持在3%左右，这将对我国经济的稳定有利无害.所谓通货膨胀率为3%，指的是每年消费品的价格增长率为3%.在这种情况下，某种品牌的钢琴2004年的价格是10 000元，请用流程图描述这种钢琴今后四年的价格变化情况，并输出四年后的价格.解：用P 表示钢琴的价格，不难看出如下算法步骤： 2005年P=10 000×（1+3%）=10 300； 2006年P=10 300×（1+3%）=10 609； 2007年P=10 609×（1+3%）=10 927.27； 2008年P=10 927.27×（1+3%）=11 255.09； 因此，价格的变化情况表为：年份 2004 2005 2006 2007 2008 钢琴的价格 10 00010 30010 60910 927.2711 255.09程序框图如下：点评：顺序结构只需严格按照传统的解决数学问题的解题思路，将问题解决掉.最后将解题步骤 “细化”就可以.“细化”指的是写出算法步骤、画出程序框图. 拓展提升如下给出的是计算201614121++++ 的值的一个流程图，其中判断框内应填入的条件是______________.答案：i>10.课堂小结（1）掌握程序框的画法和功能.（2）了解什么是程序框图，知道学习程序框图的意义.（3）掌握顺序结构的应用，并能解决与顺序结构有关的程序框图的画法.作业习题1.1A 1.设计感想首先，本节的引入新颖独特，旅游图的故事阐明了学习程序框图的意义.通过丰富有趣的事例让学生了解了什么是程序框图，进而激发学生学习程序框图的兴趣.本节设计题目难度适中，逐步把学生带入知识的殿堂，是一节好的课例.第2课时条件结构导入新课思路1（情境导入）我们以前听过这样一个故事，野兽与鸟发生了一场战争，蝙蝠来了，野兽们喊道：你有牙齿是我们一伙的，鸟们喊道：你有翅膀是我们一伙的，蝙蝠一时没了主意.过了一会儿蝙蝠有了一个好办法，如果野兽赢了，就加入野兽这一伙，否则加入另一伙，事实上蝙蝠用了分类讨论思想，在算法和程序框图中也经常用到这一思想方法，今天我们开始学习新的逻辑结构——条件结构.思路2（直接导入）前面我们学习了顺序结构，顺序结构像是一条没有分支的河流，奔流到海不复回，事实上多数河流是有分支的，今天我们开始学习有分支的逻辑结构——条件结构.推进新课新知探究提出问题（1）举例说明什么是分类讨论思想？（2）什么是条件结构？（3）试用程序框图表示条件结构.（4）指出条件结构的两种形式的区别.讨论结果：（1）例如解不等式ax>8(a≠0),不等式两边需要同除a,需要明确知道a的符号，但条件没有给出，因此需要进行分类讨论，这就是分类讨论思想.（2）在一个算法中，经常会遇到一些条件的判断，算法的流程根据条件是否成立有不同的流向.条件结构就是处理这种过程的结构.（3）用程序框图表示条件结构如下．条件结构：先根据条件作出判断，再决定执行哪一种操作的结构就称为条件结构（或分支结构），如图1所示.执行过程如下：条件成立，则执行A框；不成立，则执行B框．图1 图2注：无论条件是否成立，只能执行A、B之一，不可能两个框都执行．A、B两个框中，可以有一个是空的，即不执行任何操作，如图2.（4）一种是在两个“分支”中均包含算法的步骤，符合条件就执行“步骤A”，否则执行“步骤B”；另一种是在一个“分支”中均包含算法的步骤A，而在另一个“分支”上不包含算法的任何步骤，符合条件就执行“步骤A”，否则执行这个条件结构后的步骤.应用示例例1 任意给定3个正实数，设计一个算法，判断以这3个正实数为三边边长的三角形是否存在，并画出这个算法的程序框图.算法分析：判断以3个任意给定的正实数为三条边边长的三角形是否存在，只需验证这3个数中任意两个数的和是否大于第3个数.这个验证需要用到条件结构.算法步骤如下：第一步，输入3个正实数a，b，c.第二步，判断a+b>c，b+c>a，c+a>b是否同时成立.若是，则存在这样的三角形；否则，不存在这样的三角形.程序框图如右图：点评：根据构成三角形的条件，判断是否满足任意两边之和大于第三边，如果满足则存在这样的三角形，如果不满足则不存在这样的三角形.这种分类讨论思想是高中的重点，在画程序框图时，常常遇到需要讨论的问题，这时要用到条件结构.例2 设计一个求解一元二次方程ax2+bx+c=0的算法，并画出程序框图表示.。
距离计算——精选推荐
距离计算在做分类时常常需要估算不同样本之间的相似性度量(Similarity Measurement)，这时通常采⽤的⽅法就是计算样本间的“距离”(Distance)。
采⽤什么样的⽅法计算距离是很讲究，甚⾄关系到分类的正确与否。
本⽂的⽬的就是对常⽤的相似性度量作⼀个总结。
本⽂⽬录：1. 欧⽒距离2. 曼哈顿距离3. 切⽐雪夫距离4. 闵可夫斯基距离5. 标准化欧⽒距离6. 马⽒距离7. 夹⾓余弦8. 汉明距离9. 杰卡德距离&杰卡德相似系数10. 相关系数&相关距离11. 信息熵1. 欧⽒距离(Euclidean Distance)欧⽒距离是最易于理解的⼀种距离计算⽅法，源⾃欧⽒空间中两点间的距离公式。
(1)⼆维平⾯上两点a(x1,y1)与b(x2,y2)间的欧⽒距离：(2)三维空间两点a(x1,y1,z1)与b(x2,y2,z2)间的欧⽒距离：(3)两个n维向量a(x11,x12,…,x1n)与b(x21,x22,…,x2n)间的欧⽒距离：也可以⽤表⽰成向量运算的形式：(4)Matlab计算欧⽒距离Matlab计算距离主要使⽤pdist函数。
若X是⼀个M×N的矩阵，则pdist(X)将X矩阵M⾏的每⼀⾏作为⼀个N维向量，然后计算这M个向量两两间的距离。
例⼦：计算向量(0,0)、(1,0)、(0,2)两两间的欧式距离X = [0 0 ; 1 0 ; 0 2]D = pdist(X,'euclidean')结果：D =1.00002.0000 2.23612. 曼哈顿距离(Manhattan Distance)从名字就可以猜出这种距离的计算⽅法了。
想象你在曼哈顿要从⼀个⼗字路⼝开车到另外⼀个⼗字路⼝，驾驶距离是两点间的直线距离吗？显然不是，除⾮你能穿越⼤楼。
实际驾驶距离就是这个“曼哈顿距离”。
⽽这也是曼哈顿距离名称的来源，曼哈顿距离也称为城市街区距离(City Block distance)。
新教材高中数学第一章平面直角坐标系中的距离公式课件北师大版选择性必修第一册ppt
2
2
解析 设对称点 Q 的坐标为(a,b),由题意,得
解得
-4
= 5,
× (-1) = -1,
+3
即 Q(-2,5).
答案 B
3.直线关于直线的对称
典例3在平面直角坐标系中,直线y=2x+1关于y=x-2对称的直线l的方程为
(
)
A.x-4y-11=0 B.4x-y+11=0
C.x-2y+7=0
2
5 +(-12)
|-6|
= 13 ,
2
|-6|
由题意得
=2,则 c=32 或 c=-20.
13
∴所求直线的方程为5x-12y+32=0或5x-12y-20=0.
探究四
距离公式的综合应用
例4在直线l:3x-y-1=0上求一点P,使得点P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大.
解 如图所示,设点B关于直线l的对称点B'的坐标为(a,b),则kBB'·kl=-1,
综上所述,所求直线的方程为x-y=0或x+7y=0或x+y-2=0或x+y-6=0.
探究三
两条平行线间的距离
例3已知直线l1:2x-7y-8=0,l2:6x-21y-21=0,l1与l2是否平行?若平行,求l1与l2间
的距离.
2
6
2
解 l1 的斜率为 k1=7,l2 的斜率 k2=21 = 7.
因为 k1=k2,且 l1 与 l2 不重合,所以 l1∥l2.
l2 的方程可化为 2x-7y-7=0,
1
53
所以 l1 与 l2 间的距离为 d=
=
最新人教版高中数学必修3第一章《第一章算法初步》本章概要
第一章算法初步本章综述随着计算机技术的飞速发展,计算机已经普及到千家万户.你肯定玩过一些好玩的游戏,惊奇于它的灵活与机智,为什么它也会有智能?大家可能运行过一些方便的程序,它们简化了我们的繁杂的操作,让我们从简单,乏味、重复的操作中解脱出来,是什么在它们后面支持和控制着它们呢?其实,不是计算机本身,而是我们的算法.你想学习如何控制它们吗?那就跟我们来吧,进入算法精彩的世界.算法初步是高中阶段传统的数学基础知识以外的新增内容.在数学发展的历程中,寻求对一类问题的算法一直是数学发展的一个重要特点.我国古代数学发展的主导思想,就是构造“算法”来解决实际问题.在现代,算法已是数学及其应用科学中的重要组成部分,并成为计算机科学的重要基础.随着现代信息技术的飞速发展,算法在科学技术和社会发展中发挥着越来越大的作用,并日益融入社会生活的许多方面.算法思想也逐渐成为每一个现代人应具有的数学素养.算法是一个全新的课题,但我们并不陌生,数学必修一中我们学习过求函数零点的二分算法;数学必修二的解析几何初步中,我们把利用公式计算的几何问题进行分步求解,形成算法;又如解方程的算法、解不等式的算法等,这些算法都是对解决一类问题有效的通法,其过程称为“数学机械化”,即大量重复、循环、复杂的逻辑推理运算由计算机完成.我们在第一部分主要学习一下算法的概念以及它的特点和主要用处,研究一下算法的思想,算法的几种常见的结构,即三种结构:顺序结构、条件结构、循环结构以及用程序框图来简洁清晰地表示算法.体验一下用简单清晰的图形表示我们的思想,会发现数学简单中的美丽,你会发现算法实质上就是我们的思维过程.第二部分主要开始学习一些编程的基本语句,你可以尝试着自己来做一个算法程序,以解决一些繁杂的问题.这可是非常令人自豪的事情.第三部分主要介绍中国古代数学中的三个算法案例:辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法、进位制.本章的重点是算法的概念和算法的三种基本逻辑结构及对应的基本算法语句.正确理解算法的概念是我们以后设计算法的基础.顺序结构、条件结构和循环结构这三种基本逻辑结构的重要性在于:理论上已经证明了,用它们可以表示一个算法.本章的难点是循环语句.对于我们来说,应用循环结构来实现反复执行的计算是一种新的思想和方法,刚开始时不容易掌握,学习时有一定的困难.本章是以知识应用为主的一章,在以前面各章知识为平台的基础上,详细地讨论各种问题的算法,是对以前的知识的抽象概括和进一步理解.本章所研究的算法是计算机科学的最主要的基础学科之一,是数学在计算机应用中的体现.由于计算机已经渗透到各个学科,算法作为大家以后学习的基础占有重要的位置.随着计算机的进一步普及,计算机技术会在我们的生活中起到不可取代的作用,而算法思想也成为我们每个现代人都应该具有的素质.。
GIS算法基础——计算点到直线、射线、线段的距离
点到线距离的计算1、作业说明1.1 任务点到线距离的计算（包括直线、射线、线段）1.2 要求人机交互，鼠标屏幕取点进行计算，输出计算结果2、程序说明2.1 大体上分三步进行：2.1.1 首先进行画线操作：鼠标在屏幕上取两点（鼠标左键两点）1、画线段直接利用DrawLine函数，将在屏幕上获取的两点坐标传递给函数的参数即可。
2、画直线由于直线是无限的，所以此时要借助于屏幕上所取两点的直线方程，通过求出与所在容器边缘的交点，结合具体情况，将求出的交点的坐标传递给DrawLine函数的参数，即可画出当前范围内的直线形状。
3、画射线画射线与画直线的思路大致相同，不过需判断射线的方向，此处借助所取的第二个点和第一个点的位置关系判断方向，最后再将所取的第一个点和求得的射线方向与容器边缘的交点坐标传递给DrawLine函数的参数即可。
2.1.2 开始绘制第三个点（鼠标右键取该点）借助于DrawEllipse函数（详情参见代码部分）2.1.3 线和点绘制完成后，开始进行距离的计算1、点到直线的距离：可直接利用点到线之间的距离公式2、点到线段的距离：由于点在线段上的投影可能不在线段上，故还需要求出点到线段两端点坐标的距离，再将最小值作为结果输出3、点到射线的距离：同理，若点的投影不在射线上，则其最小距离为点到射线起始端点的距离2.2 窗体界面介绍首先是ComeBox，对其添加三项：计算点到线段的距离、计算点到直线的距离、计算点到射线的距离在PictureBox里进行点和线的绘制，在TextBox里显示点到线的距离值3、源代码using System;using System.Collections.Generic;using ponentModel;using System.Data;using System.Drawing;using System.Linq;using System.Text;using System.Threading.Tasks;using System.Windows.Forms;namespace me{public partial class Form1 : Form{public Form1(){InitializeComponent();}//首先定义两个变量：屏幕上所取的两个点private Point m_ptStart; private Point m_ptEnd;//定义两个集合：myplist存放用于画线的两个点，pt存放第三个点List<Point> myplist = new List<Point>();List<Point> pt = new List<Point>();//result用来存放点到线的距离值double result;//自定义方法：两点之间的距离double ptdis(Point p0, Point p1){return System.Math.Sqrt((p1.X - p0.X) * (p1.X - p0.X) + (p1.Y - p0.Y) * (p1.Y - p0.Y));}//自定义最大最小值函数double max(double x, double y){return x > y ? x : y;}double min(double x, double y){return x > y ? y : x;}//自定义方法：点和线之间的距离double pldis(Point p0, Point p1, Point p2){double result;double A = p2.Y - p1.Y;double B = p1.X - p2.X;double C = p2.X * p1.Y - p1.X * p2.Y;result = System.Math.Abs(A * p0.X + B * p0.Y + C) /System.Math.Sqrt(A * A + B * B);return result;}//自定义方法：获取点在线上的投影Point GetProjectPt(Point p0, Point p1, Point p2){Point ProjectPt=new Point();if (p2.X == p1.X){ProjectPt.X = p1.X;ProjectPt.Y = p0.Y;}else{double k = (p2.Y - p1.Y) / (p2.X - p1.X);ProjectPt.X = (int)((k * p1.X + p0.X / k + p0.Y - p1.Y)/(k+1/k));ProjectPt.Y = (int)(-1 / k * (ProjectPt.X - p0.X) + p0.Y);}return ProjectPt;}/*当comboBox1里面的项改变时，清除之前的所有数据比如计算点到直线的距离时，清除点到线段的距离*/private void comboBox1_SelectedIndexChanged(object sender, EventArgs e){myplist.Clear();textBox1.Text = "";Graphics g = pictureBox1.CreateGraphics();g.Clear(Color.White);}// 对pictureBox1的MouseDown事件进行编辑，当鼠标按下时，会产生哪些操作private void pictureBox1_MouseDown(object sender, MouseEventArgs e){Pen blue = new Pen(Color.Blue, 3);Graphics g = pictureBox1.CreateGraphics();//当按下鼠标左键时，在屏幕上取两点画线if (e.Button == MouseButtons.Left){Point p = new Point(e.X, e.Y);myplist.Add(p);}//当按下鼠标右键时，在屏幕上取第三个点if (e.Button == MouseButtons.Right){Point p = new Point(e.X, e.Y);pt.Clear();//改变所取的第三个点时，清除上一次的数据（距离）和图形（点）g.Clear(Color.White);pt.Add(p);//此处将第三个点画成椭圆形式g.DrawEllipse(blue, pt[0].X, pt[0].Y, 1, 1);//在取点的同时，进行点到线距离的计算，并将结果值显示在textBox1上Point p3 = new Point();p3 = GetProjectPt(pt[0], m_ptStart,m_ptEnd);//获取点在线上的投影点//分情况讨论if(comboBox1.Text=="计算点到线段的距离"){if (p3.X >max(m_ptStart.X,m_ptEnd.X ) || p3.X < min( m_ptStart.Y,m_ptEnd.Y)){//点在线段上的投影不在线段上double dis1 = ptdis(pt[0], m_ptStart);double dis2 =ptdis(pt[0], m_ptEnd);result = min(dis1, dis2);}elseresult = pldis(pt[0], m_ptStart, m_ptEnd);}if(comboBox1.Text=="计算点到射线的距离"){if (p3.X < myplist[0].X) //点在射线上的投影不在射线上result = ptdis(pt[0], m_ptStart);elseresult = pldis(pt[0], m_ptStart, m_ptEnd);}if (comboBox1.Text == "计算点到直线的距离")result = pldis(pt[0], m_ptStart, m_ptEnd);textBox1.Text = result.ToString(); //将结果显示在textBox1上}//开始画线if (myplist.Count > 1){//A、B、C分别是直线一般方程中的三和参数，即A*x+B*y+C=0double A = myplist[1].Y - myplist[0].Y;double B = myplist[0].X - myplist[1].X;double C = myplist[1].X * myplist[0].Y - myplist[0].X * myplist[1].Y; //通过switch语句，输入comboBox1的文本内容，判断将要进行哪一种操作switch (comboBox1.Text){case"计算点到线段的距离":{ //起点和终点即为屏幕上所取的两个点m_ptStart = myplist[0];m_ptEnd = myplist[1];break;}case"计算点到直线的距离"://画直线时，需要将起始点和pictureBox1容器边缘交点联系起来{ //起点坐标m_ptStart.Y = 0;m_ptStart.X = (int)(-C / A);//终点坐标m_ptEnd.Y = pictureBox1.Height;m_ptEnd.X = (int)(-(C + B * m_ptEnd.Y) / A);break;}case"计算点到射线的距离"://画射线时同样要考虑到线与pictureBox容器边缘的交点，比较困难的是判断射线方向（借助于所取两点的位置关系）{Point p0 = new Point();Point p1 = new Point();//起点坐标if (myplist[1].Y == myplist[0].Y){p0.Y = myplist[0].Y; p0.X = 0;p1.Y = myplist[0].Y; p1.X = pictureBox1.Width;}else{p0.Y = 0;p0.X = (int)(-C / A);//终点坐标p1.Y = pictureBox1.Height;p1.X = (int)(-(C + B * p1.Y) / A);}//结合所取两点的位置关系确定最终传递给DrawLine的是哪两点if (myplist[1].Y >= myplist[0].Y){m_ptEnd.X = p1.X;m_ptEnd.Y = p1.Y;}else{m_ptEnd.X = p0.X;m_ptEnd.Y = p0.Y;}m_ptStart = myplist[0];break;}}g.DrawLine(blue, m_ptStart, m_ptEnd);//画线}}}}4、结果展示实现功能：首先在下拉列表中选择将要计算点到哪种线的距离，选择好后，鼠标左键取两点自动画线，之后鼠标右键取点，在取点的同时，会自动显示距离值，并且在选取下一个点时，上一组的数据自动清除4.1 计算点到线段的距离4.2 计算点到直线的距离：4.3 计算点到射线的距离。
数学距离问题知识点总结
数学距离问题知识点总结一、基本概念1.1 距离的定义在数学中，距离通常定义为一个非负实数，用来度量两个点之间的距离。
具体来说，设X是一个集合，d是定义在X×X上的函数，如果对于任意的x，y，z∈X，满足以下条件：1）非负性：d(x, y) ≥ 0，且d(x, y) = 0当且仅当x = y；2）对称性：d(x, y) = d(y, x)；3）三角不等式：d(x, y) + d(y, z) ≥ d(x, z)。
那么d称为X上的一个距离。
这里的X称为度量空间，d称为度量，(X, d)则称为距离空间。
1.2 距离的性质距离具有许多重要的性质，其中一些是基本的，一些则是从距离的定义可以推出的。
一般来说，距离具有以下性质：1）恒等性：d(x, y) = 0当且仅当x = y；2）对称性：d(x, y) = d(y, x)；3）三角不等式：d(x, y) + d(y, z) ≥ d(x, z)；4）三点共线定理：如果三个点在一条直线上，那么它们之间的两两距离之和等于它们之间最远的距离。
1.3 距离空间的例子距离空间是一个非常广泛的概念，它包括了很多不同的数学结构。
以下是一些常见的距离空间的例子：1）欧几里得空间：最常见的距离空间是欧几里得空间，它是一个n维实数向量空间R^n，其中的距离定义为：d(x, y) = √((x1 - y1)^2 + (x2 - y2)^2 + ... + (xn - yn)^2)。
2）离散度量空间：X上的一个距离d称为离散度量，如果对于任意的x，y∈X，有d(x, y) = 1当且仅当x ≠ y。
这种距离空间又称为离散空间。
3）度量的子空间：如果(X, d)是一个距离空间，Y是X的一个子集，那么(Y, d|Y×Y)也是一个距离空间，其中d|Y×Y表示距离d在Y×Y上的限制。
1.4 距离的扩展在一些情况下，我们可以把距离的定义扩展到更一般的情况。
人教版高中数学必修三第一章算法初步算法初步小结教案1
⼈教版⾼中数学必修三第⼀章算法初步算法初步⼩结教案1算法初步⼩结教案第⼀章算法初步1.1.1算法的概念[课⽂导读]计算机的问世可谓20世纪最伟⼤的发明，它把⼈类社会带进了信息技术的时代，⽽算法是计算机科学的重要基础，就像使⽤算盘⼀样，⼈们要给计算机编制“⼝诀”——算法，才能让它⼯作。
要想了解计算机的⼯作原理，算法的学习是⼀个开始。
做任何事情都有⼀定的步骤。
例如，你想考⼤学⾸先要填报名志愿表，拿到准考证，参加考试，得到录取通知书，到⼤学报名注册等。
这些步骤都是按⼀定顺序进⾏的，缺⼀不可。
现实⽣活中，我们很多事情都是这样⼀步⼀步的完成的。
可见算法并不是⼀个全新的概念，它融⼊在我们的现实⽣活中。
在我国古代，“算法”取得了辉煌的成就。
[经典例题]例1.烧⽔泡茶请看⼀下烧⽔泡茶的过程解：烧⽔泡茶可分下⾯4步完成。
Step1：洗好⽔壶；Step2：灌上凉⽔，放在⽕上，等待⽔开；Step3：洗茶杯，茶杯⾥放好茶叶；Step4：⽔开后再冲⽔泡茶。
例2.⼈⿁过河现在河的岸边有三个⼈和三个⿁，河上只有⼀条⼩船，船上最多能坐两个“⼈”，在河的任何⼀边，当⿁的个数⽐⼈多时，⿁就会吃掉⼈。
请问如何才能使⼈和⿁都平安的到达对岸。
解：要想使⼈⿁都安全过河，需要下⾯11步。
Step1：Step2：Step3：Step4：Step5：Step6：Step7：Step8：Step9： Step10：Step11：[总结提炼]从事各种⼯作和活动，都要事先想好⼯作的步骤，然后按部就班的进⾏，这样就可以避免产⽣错误。
定义：我们把⽤来解决问题的⼀系列步骤叫做算法（algorithm ）。
算法⼀词源于算术(algorism)，即算术⽅法，是指⼀个由已知推求未知的运算过程。
随着计算机的出现，⼈们常把这些“步骤”编写为“程序”由计算机来解决。
算法必须符合以下条件：1.算法的每⼀步要做什么必须是明确的，不能含糊不清，模棱两可；例如，要把全班同学分成两队，“⾼个⼦的同学站出来”这个步骤就是不确定的，含糊的，哪些同学算⾼，哪些同学算矮？个⼦中等的同学就会不知所措。
距离的计算
马氏距离
马氏距离：马氏距离(Mahalanobis distance)是 由印度统计学家马哈拉诺比斯(P. C. Mahalanobis)提出的，表示数据的协方差距离。 它是一种有效的计算两个未知样本集的相似度的 方法。与欧氏距离不同的是它考虑到各种特性之 间的联系（例如：一条关于身高的信息会带来一 条关于体重的信息，因为两者是有关联的）并且 是尺度无关的(scale-invariant)，即独立于测量 尺度。对于一个均值为μ，协方差矩阵为Σ的多变 量向量,其马氏距离为((x-μ)'Σ^(-1)(xμ))^(1/2)。
距离的计算
Mr.叶
欧拉距离
欧拉距离：两点间的直线距离。即平时生
活中默认使用的距离。 勾股定理：即如果直角三角形两直角边长 度为A和B，斜边长度为C，那么 A2+B2=C2
曼哈顿距离
出租车几何或曼哈顿距离用以标明两个点
上在标准坐标系上的绝对轴距总和。图中 红线代表曼哈顿距离，绿色代表欧氏距离， 也就是直线距离，而蓝色和黄色代表等价 的曼哈顿距离。
棋盘距离：取横向距离和纵
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小练习
假设正方形的边长是1， 求从红色正方形到蓝 色正方形的欧拉距离、 曼哈顿距离、棋盘距 离。
必修3知识点总结：第一章_算法初步
高中数学必修3知识点总结第一章算法初步1.1.1 算法的概念1、算法概念:在数学上，现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成2.算法的特点：(1)有限性：一个算法的步骤序列是有限的，必须在有限操作之后停止，不能是无限的(2)确定性：算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当是模棱两可(3)顺序性与正确性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后继步骤,前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都准确无误，才能完成问题(4)不唯一性：求解某一个问题的解法不一定是唯一的，对于一个问题可以有不同的算法(5)普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决.1.1.2 程序框图1、程序框图基本概念:(一)程序构图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形。
一个程序框图包括以下几部分：表示相应操作的程序框；带箭头的流程线；程序框外必要文字说明。
学习这部分知识的时候，要掌握各个图形的形状、作用及使用规则，画程序框图的规则如下:1、使用标准的图形符号。
2、框图一般按从上到下、从左到右的方向画。
3、除判断框外，大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点。
判断框具有超过一个退出点的唯一符号。
4、判断框分两大类，一类判断框“是”与“否”两分支的判断，而且有且仅有两个结果；另一类是多分支判断，有几种不同的结果。
在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。
(三)算法的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构。
1、顺序结构：顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行的,它是由若干个依次执行的处理步骤组成的，它是任何一个算法都离不开的一种基本算法结构。
新教材北师大版选择性必修第一册第1章11.6平面直角坐标系中的距离公式课件(42张)
[跟进训练] 2．若直线 m 被直线 l1：x－y＋1＝0 与 l2：x－y＋3＝0 所截得的 线段的长为 2 2，则 m 的倾斜角可以是________．(写出所有正确答 案的序号) ①15° ②30° ③45° ④60° ⑤75°
①⑤ [如图，由两平行线间距离可得 d＝|1－23|＝ 2，
故 m 与两平行线的夹角都是 30°，而两平行线的倾斜角为 45°， 则 m 的倾斜角为 75°或 15°，故选①⑤．]
[思路点拨] 由点到直线的距离公式列出等式求 a．
－2 或 4 或 6 [由题意，得 a26＋a4＝|4a－a2a＋2＋a46|，即 4a－a2＋6 ＝±6，解之得 a＝0 或－2 或 4 或 6．
检验得 a＝0 不合题意，所以 a＝－2 或 4 或 6．]
1．用点到直线的距离公式时，直线方程要化为一般式． 2．求解两平行直线的距离问题也可以在其中一条直线上任取一 点，再求这一点到另一直线的距离．
[解] 设所求的点为 C(x，0)，于是有 |AC|＝ x＋12＋0－22＝ x2＋2x＋5， |BC|＝ x－22＋0－ 72＝ x2－4x＋11， 由|AC|＝|BC|得，x＝1， 所以，所求点为 C(1，0)，且|CA|＝ 1＋12＋0－22＝2 2．
类型 2 点到直线(或平行直线间)的距离公式 【例 2】 若 O(0，0)，A(4，－1)两点到直线 ax＋a2y＋6＝0 的 距离相等，则实数 a＝________．
3．两条平行直线间的距离公式 (1)概念：夹在两条平行直线间的公__垂__线__段__的长度就是两条平行 直线间的距离．
(2)公式：两条平行|C1直－线C2|l1：Ax＋By＋C1＝0 与 l2：Ax＋By＋C2 ＝0 之间的距离 d＝ A2＋B2 (其中 A、B 不全为 0，且 C1≠C2)．
编程 计算距离 快速算法
编程计算距离快速算法在计算距离时，常见的方法是使用欧几里得距离公式来计算两个点之间的长度。
然而，如果需要在大规模数据集上计算距离时，欧几里得距离的计算可能会变得非常耗时。
因此，为了提高计算效率，可以使用一些快速算法来计算距离。
其中一种常见的快速算法是使用曼哈顿距离。
曼哈顿距离是通过将两点的坐标在各个维度上的差值相加得出的。
例如，如果有两个点A(2, 3)和B(5, 7)，那么曼哈顿距离可以通过以下计算得出：|2-5| + |3-7| = 3 + 4 = 7。
与欧几里得距离相比，曼哈顿距离的计算更为简单，因为它不涉及平方和开方的运算。
因此，在大规模数据集上计算距离时，曼哈顿距离通常会比欧几里得距离更快。
除了曼哈顿距离，另一种常见的快速算法是使用切比雪夫距离。
切比雪夫距离是通过将两点的坐标在各个维度上的差值取绝对值后的最大值得出的。
例如，如果有两个点A(2, 3)和B(5, 7)，那么切比雪夫距离可以通过以下计算得出：max(|2-5|, |3-7|) = max(3, 4) = 4。
切比雪夫距离的计算也非常简单，因为它只涉及取绝对值和比较大小的操作。
与曼哈顿距离相比，切比雪夫距离的计算更为快速。
因此，当数据集非常大且计算效率至关重要时，切比雪夫距离可能是一个更好的选择。
除了使用特定的距离公式，另一种可行的方法是使用近似算法来计算距离。
近似算法可以通过牺牲一定的精确度来提高计算的速度。
例如，Locality Sensitive Hashing (LSH)是一种常见的近似算法，它可以在高维数据集上快速计算近似的距离。
LSH将数据点映射到一个低维的哈希空间中，并使用哈希函数来确定数据点之间的邻近关系。
通过将数据点映射到低维空间并使用哈希函数计算距离，LSH可以在保持较高准确性的同时大大提高计算效率。
尽管使用近似算法进行距离计算可以提高计算速度，但由于近似算法会引入一定的误差，因此在某些应用场景中可能会影响最终结果的准确性。
距离的计算用
新知探究
论一论
l
A
探究一：点到直线的距离
P
A
s
如图，已知直线l和直线l外一点A,AA l , 垂足为A, 在l上 取一点P，其中s是直线l的方向向量， s0 是 s 的单位向量， 则点A到直线l的距离d = AA __________(用向量表达)
即已知PA、 s、 直角三角形AAP, 求 AA .
温故知新
七种距离
忆一忆
（1）点与点的距离 （2）点到直线距离 （3）点到平面的距离 说明：其中点与点、点与直 线、点到平面的距离是基础，求 其它几种距离一般化归为求这三 种距离.
（4）两平行直线间的距离
（5）两条异面直线间的距离 （6）直线与平面的距离 （7）两平行平面间的距离
．点到直线的距离 (1)定义：因为直线和直线外一点确定一 个平面，所以空间中点A到直线l的距离 问题就是空间中某一个平面内的点到直 线的距离.
新知探究
较一较
空间一点A到直线l的距离的算法框图如下 空间一点A到平面的距离的算法框图如下 找到平面 在平面上 确定直线l的 在直线l上 的法向量 n 任取一点P 方向向量s 任取一点P 计算向量PA 计算向量PA在向量s上的投影PAs 计算点A到直线l的距离d
计算向量PA 计算向量PA在向量n上的投影PAn0 计算点A到平面的距离d
l P
A
s
A
说明：求平行线之间的距离通常转化为 求点到直线的距离。
新知探究
空间一点A到直线l的距离的算法框图如下 确定直线l的 在直线l上 方向向量s 任取一点P
计算向量PA 计算向量PA在向量s上的投影PAs0 计算点A到直线l的距离d
．点到平面的距离
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1.4 距离计算
数值距离的计算是机器学习算法中对分析结果非常重要的衡量标准。
数字计算主要集中的两
个方面：一方面是距离计算；另一方面是概率计算。
距离和概率是机器学习算法中最为核心
的数值，是表达信息异同相似的数值体现。
1.4.1 欧氏距离
欧氏距离（也称欧几里得度量）是一个通常采用的距离定义，指在m维空间中两点之间的真
实距离，或者向量的自然长度（即该店到原点的距离）。
在二维和三维空间中的欧氏距离就
是两点之间的实际距离。
二维，两点P()和P()间的欧氏距离公式：
三维，两点P()和P()间的欧氏距离公式：
优点：欧氏距离是距离算法中最常用的方式，日常生活中的大部分距离都可以通过欧式距离
进行计算。
缺点：将数据的特征进行独立的计算，且差别是等同的。
1.4.2 马氏距离
马氏距离是由印度统计学家马哈拉诺比斯提出的一种表示数值协方差距离的概念。
这种协方
差距离体现的是数据样本分布的距离。
与欧氏距离不同的是，它考虑到各种特性之间的联系，并且是尺度无关的，即独立于测量尺度。
马氏距离可以用于计算两个未知样本信息集合的相
似度分析。
1.4.3 曼哈顿距离
曼哈顿距离是由19世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创词汇，是一种使用在几何度量空间的几何
学用语，用以表明两个点在标准坐标系上的绝对轴距离总和。
它表示的不是两点的直线距离，而是实际从A点到达B点的距离。
二维平面的两点a()和b()间的曼哈顿距离：
1.4.4 切比雪夫距离
切比雪夫距离是向量空间中的一种度量，两个点之间的距离定义为其各坐标数值差的最大值。
切比雪夫距离得名自俄罗斯数学家切比雪夫。
二维两点间的切比雪夫距离：
n维两点间的切比雪夫距离：
1.4.5 闵氏距离
闵氏距离又称作闵可夫斯基距离。
n维的两个变量间的闵可夫斯基距离的定义如下：
其中p是一个变参，当p=1时，实质就是曼哈顿距离；当p=2时，则它时欧氏空间中的一种测度，被看作欧氏距离的一种推广，欧氏距离是闵氏距离中p等于2的一种特征情况。
而当p趋近于无穷大时，则可以视为切比雪夫距离。
1.4.6 海明距离
在信息论中，两个等长字符串之间的海明距离时两个字符串对应位置的不同字符的个数。
海明重量时字符串相对于同样长度的零字符串的海明距离，也就是说，它时字符串中非零的元素个数。
对于固定的长度n，海明距离时该长度字符向量空间上的度量，很显然它满足非负性、唯一性及对称性，并且可以很容易地通过完全归纳法证明它满足三角不等式。
两个字a与b之间的海明距离也可看作特定运算a-b的海明重量。