9.利用向量求点到平面的距离

是与
0
n
同方向的单位法向量)
说明：
利用法向量求点到平面的距离，常
常不必作出垂线段，利用平面的法向量，
把点A到平面 的距离 看成点A与平面 内
的任意一点B所构成的向量 在法向量 方
向上的射影的长度，此种方法具有程序
化，不需
技巧，可以人人
学会。
例1. 如图，已知正方形ABCD的边
长为4，E、F分别是AB、AD的中点，
(1)建立适当的空间直角坐标系,求出需要的点 的坐标; (2)求出平面的法向量 n ;
(3)作向量 A B (点A为平面外一定点,点B为平面内任一点);
(4)求向量 A B 在法向量 n 上的射影的长度
d |A B||cosA B , n ||A Bn|
|
AB |
n n|
||
ABn0
|.
|n|
( 其中n
方法指导:①作直线a、b的方向向量a、b，求a、 b的法向量n，即此异面直线a、b的公垂线的方 向向量；②在直线a、b上各取一点A、B，作
向量AB；③求向量AB在n上的射影d，则异面 直线a、b间的距离为
AB • n d
n
B
b
n
a
A
例2：已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，
求异面直线DA1与AC的距离。z
GC⊥平面ABCD，且GC＝2，求点B到
平面EFG的距离．
G
答 案 ：2 1 1
11
D
F
A E
C B
z
D'
例：棱长为4的正方体ABCD
A' B'C' D'中，P,Q分别是CD, A'
DD'的中点，求点P到平面
Q
C' B'
A'QC'的距离 简解：
D
P
y
C
A'(4,0,4), Q(0,0,2)
A
B
x
C '(0,4,4), P(0,2,0)
D1
C1
答案：d 3 3
A1 D
B1
C y
A
B
x
练习.如图，已知 ABC是等腰三角形，
AB=BC=2a,∠ABC=120°,且SA⊥平
面ABC, SA= 3a, 求点A 到平面SBC的
距离．
z
S
A x
Cy B
利用法向量求 点到平面的距离
求点到平面的距离
P
一般Leabharlann Baidu法：
利用定义先作出过
d
这个点到平面的垂
线段，再计算这个
垂线段的长度。
O
还可以用等积法求距离.
探索新知
已知平面 ,点A , 设 n 是平面 的
法向量，则点 A到 的距离AO的长如 何表示呢 ?
A
AB n0 n
o
B
归纳小结
用法向量求点到平面距离的一般过程是:
A'Q (4,0,2)
PQ (0,2,2)
A'C' (4,4,0) n ' (8,8,16 )
取 n (1,1,2)
距离 | PQ•n| 6 6
| n|
6
你能探究线面距离，面面距离求法吗？
线面距离，面面距离都可以转化 为点到面的距离
你能探究异面直线间距离的求法吗？
异面直线间距离的求法：