用空间向量求点到面的距离 PPT
1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题(课件)
二面角的大小为
.
π4或34π 解析: cos〈m,n〉=|mm|·|nn|= 22,∴〈m,n〉=π4. ∴两平面所成二面角的大小为π4或34π.
经典例题
角度1:点线距
题型一 利用空间向量求距离
用向量法求点到直线的距离时需注意以下几点: (1)不必找点在直线上的垂足以及垂线段. (2)在直线上可以任意选点,但一般选较易求得坐标的特殊点. (3)直线的方向向量可以任取,但必须保证计算正确.
则 在法向量 n 上的投影向量的长度即为异面直线 a,b 的距离,所以距离为
.
自主学习
二.空间角的向量求法 空间角包括线线角、线面角、二面角,这三种角的定义确定了它
们相应的取值范围,结合它们的取值范围可以用向量法进行求解.
自主学习
角的分类
向量求法
范围
两异面直线 l1 与 l2 所成的角为 θ
设 l1 与 l2 的方向向量分别为 u,v,
经典例题
题型一 利用空间向量求距离
例 2 在三棱锥 S-ABC 中,△ABC 是边长为 4 的正三角形,平面 SAC⊥平面 ABC,
SA=SC=2 3,M,N 分别为 AB,SB 的中点,如图所示.求点 B 到平面 CMN 的 距离.
取 AC 的中点 O,连接 OS,OB. ∵SA=SC,AB=BC,∴AC⊥SO,AC⊥BO. ∵平面 SAC⊥平面 ABC,平面 SAC∩平面 ABC=AC, ∴SO⊥平面 ABC. 又 BO⊂平面 ABC,∴SO⊥BO. 又∵△ABC 为正三角形,O 为 AC 的中点,∴AO⊥BO. 如图所示,分别以 OA,OB,OS 所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴, 建立空v>|
则 cosθ=
|u·v| = |u||v|
用空间向量研究距离、夹角问题
用空间向量研究距离问题课程标准学习目标1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题.2.体会向量方法在研究几何问题中的作用 1.借助直线的方向向量和平面的法向量,能计算点到直线的距离、点到平面的距离,并知道两条平行直线之间的距离、直线与平面平行时两者间的距离、两个平行平面之间的距离. 2.能分析和解决一些立体几何中的距离问题,体会向量方法与综合几何方法的共性和差异,体会直线的方法向量和平面的法向量的作用,感悟向量是研究几何问题的有效工具知识点 用空间向量研究距离问题 1.点到直线的距离如图1-4-18,已知直线l 的单位方向向量为u ,A 是直线l 上的定点,P 是直线l 外一点,设AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,则向量AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 在直线l 上的投影向量AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a ·u )u.在Rt △APQ 中,由勾股定理,得PQ= = .图1-4-182.点到平面的距离如图1-4-19,已知平面α的法向量为n ,A 是平面α内的定点,P 是平面α外一点.过点P 作平面α的垂线l ,交平面α于点Q ,则n 是直线l 的方向向量,且点P 到平面α的距离就是AP⃗⃗⃗⃗⃗ 在直线l 上的投影向量QP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的长度.因此PQ=AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n|n |= = . 图1-4-19【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面α外一点A 到平面α的距离,就是点A 与平面α内一点B 所成向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 的长度.( )(2)直线l∥平面α,则直线l到平面α的距离就是直线l上的点到平面α的距离.()(3)若平面α∥平面β,则两平面α,β的距离可转化为平面α内某条直线到平面β的距离,也可转化为平面α内某点到平面β的距离.()3.解决立体几何中问题的步骤用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”可以概括为“一化二算三译”六字诀.“一化”就是把立体几何问题转化为向量问题;“二算”就是通过向量运算,研究点、线、面之间的位置关系以及它们之间的距离问题;“三译”就是把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义.探究点一点到直线的距离例1 如图1-4-20,在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A'B'C'D',AB=1,BC=2,AA'=3,求点B到直线A'C的距离.图1-4-20变式1 [2020·潍坊高二期末] 已知A(0,0,2),B(1,0,2),C(0,2,0),则点A到直线BC的距离为()B.1A.2√23C.√2D.2√2变式2 已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是C1C,D1A1的中点,求点A到直线EF的距离.[素养小结]用向量法求点到直线的距离的一般步骤:(1)建立空间直角坐标系;(2)求直线的方向向量;(3)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线上的投影向量的长度;(4)利用勾股定理求解.另外,要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化.探究点二点到平面的距离例2 如图1-4-21,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F,G分别是C1C,D1A1,AB的中点,求点A到平面EFG的距离.图1-4-21变式如图1-4-22所示,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD=DA=2,F,E分别为AD,PC的中点.(1)求证:DE∥平面PFB;(2)求点E到平面PFB的距离.图1-4-22[素养小结]用向量法求点到平面的距离的步骤:(1)建系:建立恰当的空间直角坐标系;(2)求点的坐标:写出(求出)相关点的坐标;(3)求向量:求出相关向量的坐标;(4)利用公式即可求得点到平面的距离.探究点三线面距和面面距例3 如图1-4-23所示,在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面为直角梯形,AB∥CD且∠ADC=90°,AD=1,CD=√3,BC=2,AA1=2,E是CC1的中点,求直线A1B1到平面ABE的距离.图1-4-23变式如图1-4-24,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,求平面A1BC1与平面ACD1的距离.图1-4-24[素养小结](1)求线面距离可以转化为求直线上任意一点到平面的距离,利用求点到平面的距离的方法求解即可.(2)求两个平行平面间的距离可以转化为求点到平面的距离,利用求点到平面的距离的方法求解即可.拓展如图1-4-25,四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形,PD⊥平面ABCD,且PD=1,E,F 分别为AB,BC的中点.求:图1-4-25(1)点D到平面PEF的距离;(2)直线AC到平面PEF的距离.1.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,点E是A1B1的中点,则点A到直线BE的距离为()A.6√55B.4√55C.2√55D.√552.在三棱锥P-ABC中,PA,PB,PC两两垂直,且PA=PB=PC=1,则点P到平面ABC的距离是()A.√66B.√63C.√36D.√333.若正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3,则点B到平面ACD1的距离为()A.√3B.√33C.3√22D.324.如图1-4-26,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,点F,G分别是AB,CC1的中点,则点D1到直线GF的距离为.图1-4-265.在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AA 1=1,AD=DC=√3,Q 是线段A 1C 1上一点,且C 1Q=13C 1A 1,则点Q 到平面A 1DC 的距离为 .用空间向量研究距离问题参考答案【课前预习】知识点1.√|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2-|AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |2 √a 2-(a ·u )22.|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n |n |||AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ||n |诊断分析 (1)× (2)√ (3)√ 【课中探究】探究点一例1 解:因为AB=1,BC=2,AA'=3, 所以A'(0,0,3),C (1,2,0),B (1,0,0), 所以直线A'C 的方向向量A'C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,-3). 又BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0),所以BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 在A 'C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影向量的长度为|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 'C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||A 'C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√14,所以点B 到直线A'C 的距离d=√|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2-(|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 'C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||A 'C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|) 2=√4-1614=2√357. 变式1 A [解析] ∵A (0,0,2),B (1,0,2),C (0,2,0),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,2,-2),∴点A 到直线BC 的距离d=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |√1-(cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC⃗⃗⃗⃗⃗ >)2=1×√1-(-11×3)2=2√23.故选A .变式2 解:连接AF ,以D 为原点,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向,建立空间直角坐标系,如图所示,设DA=2,则A (2,0,0),E (0,2,1),F (1,0,2),则EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-2,1),FA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,-2). |EF⃗⃗⃗⃗⃗ |=√12+(-2)2+12=√6,FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·EF⃗⃗⃗⃗⃗ =1×1+0×(-2)+(-2)×1=-1, FA ⃗⃗⃗⃗⃗ 在EF ⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影向量的长度为|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ||EF ⃗⃗⃗⃗⃗|=√6, 所以点A 到直线EF 的距离d=√|FA |2-(√6) 2=√296=√1746. 探究点二例2 解:以D 为坐标原点,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则A (2,0,0),E (0,2,1),F (1,0,2),G (2,1,0), 所以AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0),GE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,1,1),GF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-1,2). 设n=(x ,y ,z )是平面EFG 的法向量, 点A 到平面EFG 的距离为d ,则{n ·GE⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·GF⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以{-2x +y +z =0,-x -y +2z =0,取z=1,得n=(1,1,1),所以d=|AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ||n |=√3=√33,即点A 到平面EFG 的距离为√33.变式 解:(1)证明:以D 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则P (0,0,2),F (1,0,0),B (2,2,0),E (0,1,1), 所以FP⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,2),FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,0),DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,1), 所以DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12FP ⃗⃗⃗⃗⃗ +12FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,又因为DE ⊄平面PFB , 所以DE ∥平面PFB. (2)因为DE ∥平面PFB ,所以点E 到平面PFB 的距离等于点D 到平面PFB 的距离. 设平面PFB 的法向量为n=(x ,y ,z ), 则{n ·FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{x +2y =0,-x +2z =0,取x=2,得n=(2,-1,1). 因为FD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,0),所以点D 到平面PFB 的距离d=|FD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ||n |=√6=√63,所以点E 到平面PFB 的距离为√63.探究点三例3 解:如图,以D 为坐标原点,分别以DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向,建立空间直角坐标系,则A 1(1,0,2),A (1,0,0),E (0,√3,1),C (0,√3,0). 过点C 作AB 的垂线交AB 于点F ,易得BF=√3, ∴B (1,2√3,0),∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2√3,0),BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-√3,1). 设平面ABE 的法向量为n=(x ,y ,z ), 则{n ·AB⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{2√3y =0,-x -√3y +z =0,取x=1,得n=(1,0,1).∵AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,2),∴点A 1到平面ABE 的距离d=|AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ||n |=√2=√2.∵直线A 1B 1到平面ABE 的距离等于点A 1到平面ABE 的距离, ∴直线A 1B 1到平面ABE 的距离为√2.变式 解:如图,建立空间直角坐标系,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,0),AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,1),设平面ACD 1的法向量为n=(x ,y ,z ),由n ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⊥AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 得{-x +y =0,-x +z =0,取x=1,得n=(1,1,1),所以平面ACD 1的一个法向量为n=(1,1,1),因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0),所以点B 到平面ACD 1的距离d=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ||n |=√3=√33. 因为平面A 1BC 1与平面ACD 1的距离等于点B 到平面ACD 1的距离, 所以平面A 1BC 1与平面ACD 1的距离为√33.拓展 解:(1)连接DE.∵PD ⊥平面ABCD ,∴PD ⊥AD ,PD ⊥CD ,又AD ⊥CD , ∴可建立如图所示的空间直角坐标系,则P (0,0,1),A (1,0,0),C (0,1,0),E 1,12,0,F 12,1,0,∴PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =1,12,-1,EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =-12,12,0. 设平面PEF 的法向量为n=(x ,y ,z ), 则{n ·EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{-12x +12y =0,x +12y -z =0,取x=1,则平面PEF 的一个法向量为n=1,1,32.易知DE⃗⃗⃗⃗⃗ =1,12,0,设D 到平面PEF 的距离为d , 则d=|DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ||n |=|1+12|√172=3√1717, 故点D 到平面PEF 的距离为3√1717.(2)由(1)知,平面PEF 的一个法向量为n=1,1,32.∵EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =-12,12,0,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,0), ∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥EF⃗⃗⃗⃗⃗ . ∵AC ,EF 不共线,∴AC ∥EF ,又∵AC ⊄平面PEF ,EF ⊂平面PEF ,∴AC ∥平面PEF. 易得AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,12,0,设直线AC 到平面PEF 的距离为h , 则h=|AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ||n |=12√172=√1717, 故直线AC 到平面PEF 的距离为√1717. 【课堂评价】1.B [解析] 如图,以B 为原点,分别以BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系,则BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0),BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,2),设∠ABE=θ,则cos θ=|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗||BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||BE ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2×√5=√55,则sin θ=√1-cos 2θ=2√55,故点A 到直线BE 的距离d=|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |sin θ=2×2√55=4√55. 2.D [解析] 以P 为原点,分别以PA ,PB ,PC 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A (1,0,0),B (0,1,0),C (0,0,1),则PA⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,0),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,1),易得平面ABC 的一个法向量为n=(1,1,1),则P 到平面ABC 的距离d=|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ||n |=√33.3.A [解析] 如图,以D 为原点,分别以DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x ,y ,z 轴的正方向,建立空间直角坐标系,则B (3,3,0),A (3,0,0),C (0,3,0),D 1(0,0,3),所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,3,0),AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,0,3),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,3,0).设平面ACD 1的法向量为n=(x ,y ,z ),则{n ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-3x +3y =0,n ·AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-3x +3z =0,取x=1,得n=(1,1,1),∴点B 到平面ACD 1的距离d=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ||n |=√3=√3.故选A . 4.√423 [解析] 连接GD 1.以D 为坐标原点,分别以DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x ,y ,z 轴的正方向,建立空间直角坐标系,则D 1(0,0,2),F (1,1,0),G (0,2,1),所以GF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-1,-1),GD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-2,1),所以GF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·GD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |GF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2-1√3=1√3,|GD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5,所以点D 1到直线GF 的距离为√5-13=√423. 5.√33 [解析] 连接DQ ,建立如图所示的空间直角坐标系,则D (0,0,1),C (0,√3,1),A 1(√3,0,0),C 1(0,√3,0),由C 1Q=13C 1A 1,得Q √33,2√33,0,∴DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,0),DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,0,-1),DQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√33,2√33,-1.设平面A 1DC 的法向量为n=(x ,y ,z ),由{n ·DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得{√3y =0,√3x -z =0,可取n=(1,0,√3),∴点Q 到平面A 1DC 的距离d=|DQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ||n |=√33.。
向量法求空间点到平面的距离课件
a•b abcos(为a与b的夹角)
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2
二、新课
向量法求点到平面的距离
B
n
A
O
1 、剖析 B O : 平 , 如 面垂 图 O ,则 足 , B 到 点 为 平 的面 距离就是
线 B段 的 O 长度。
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3
例 2、如图,已知正方形 ABCD 的边长为 4,E、F
AB ( 2,1, 0), CB ( 2, 0, 0), CP (0, 1,1) ,
设平面 PBC 的法向量为 n ( x, y, z) ,
则
n
CB
0
z
n CP 0
(x, y, z)( 2,0,0) 0
(
x,
y,
z)
(0,
1,1)
0
∴
x y
0 z
x
令 y 1, n (0, 1, 1) ,d= 2
向量法求空间点到平面的距离
B
n
A
O
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1
新课导入: 我们在路上行走时遇到障碍一般会绕过它,在生活中我们知道转弯,那 么在学习上也一样,要想求空间一点到平面距离,就必须找到或间接找 到它,而这样做恰恰是一个比较困难的问题,今天我们就让思维转个弯, 用向量法解决这个难题。
一、复习引入: 1、空间中如何求点到距面离? 方法1、直接做或找距离; 方法2、等体积法; 方法3、空间向量。
2
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y
7
BE(2,0,0)
设平面 EFG 的一个法向量A
为 n (x, y, z)
E
B
y
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4
练习1
用空间向量解决距离问题(第1课时)(课件)高二数学同步备课
(2)在三棱锥中用等体积法求解.
|·|
(3)向量法:d= || (n 为平面的法向量,A 为平面上一点,MA 为过点 A
的斜线段)
练一练
2.如图,已知正方形ABCD的边长为1,PD⊥平面ABCD,且PD=1,
E,F分别为AB,BC的中点.
(1)求点D到平面PEF的距离;
解
则
建立如图所示的空间直角坐标系,
则=(-2,2,0),1 =(-2,0,4),1 1 =(-2,-2,0),
设平面 AD1C 的法向量为 n=(x,y,z),
· = 0,
-2 + 2 = 0,
则
得
-2 + 4 = 0.
·1 = 0,
取 z=1,则 x=y=2,所以 n=(2,2,1).
|·1 1 |
→ ———→
|BC
· A′C |
4
→ ———→
所以BC在 A′C 上的投影长为
=
.
———→
14
| A′C |
所以点 B 到直线 A′C 的距离 d=
→ ———→
→ 2 BC· A′C 2
|BC| -
=
———→
| A′C |
16 2 35
4-14= 7 .
归纳
用向量法求点到直线的距离的一般步骤
1
1
D(0,0,0),P(0,0,1),A(1,0,0),C(0,1,0),E1,2,0,F2,1,0.
设DH⊥平面PEF,垂足为H,
→
→
→
→ 1 1
则DH=xDE+yDF+zDP=x+2y,2x+y,z,
用空间向量求距离
四种距离的统一向量形式:
点到平面的距离:
uuur r
直线到平面的距离:
d
|
AP n | r
平面到平面的距离:
n
异面直线的距离:
例1.如图所示,在平行四边形ABCD中, AB AC 1, ACD 900 ,将它沿对角线AC折起,使AB与CD成 600角,求B、D间的距离.
A
D
B
C
例2.已知正方形ABCD的边长为4,CG 平面ABCD, CG 2, E、F分别是AB、AD的中点,求点B到平面 GEF的距离.
z
P
A x
F Cy Q
E
B
例5.正方体ABCD A1B1C1D1的边长为4, M、N、 E、F分 别 是A1 D1、A1 B1、D1C1、B1C1的 中 点. (1)求证 : 平面AMN // 平面EFBD;
(2)求平面AMN与平面EFBD间的距离.
垂线段的长度。
O
还可以用等积法求距离.
向量法求点到平面的距离
sin uduur
d | AP | sin
P
AP
r n
uuur r | AP n |
sin uuur r
AP n
d
O
d | AP n |
A
uuur
r
n
其中 AP 为斜向量,n 为法向量。
注:点到平面的距离等于点和这个平面的任何一点所组成 向量与此平面法向量的数量积的绝对值除于法向量的模.
空间中的距离主要有: 点点、点线、点面、线线、线面、面面
空间两点之间的距离
根据两向量数量积的性质和坐标运算,
利用公式
a
a2 或
a
x2 y2 z2
第1课时 用空间向量研究距离问题 高中数学人教A版选择性必修第一册课件
所以=
1
,0,1
2
1
2
1
,0,1
2
1
0,-1,
2
,M
,=
,
, =(1,1,0).
设 n=(x,y,z),且 n⊥,n⊥,
1
2
+ = 0,
· = 0,
所以
即
1
· = 0,
- + = 0,
2
= -2,
1
即
取 z=2,则 x=-4,y=1,
情境:在平面内任取一点 O,作=a,=b,过点 A 作直线
OB 的垂线,垂足为 A1,则1 就是 a 在 b 上的投影向量.
【思考】
已知两个非零向量 a,b,a 和 b 的夹角为 θ,那么 a 在 b 上
的投影是什么?a 在 b 上的投影向量是什么?
提示:a 在 b 上的投影为|a|cos θ,a 在 b 上的投影向量
5 5
ABC 的一个法向量.
由题意,知 =(-7,-7,7),
所以点 D 到平面 ABC
84
5
|·|
42 2
的距离为
= =
.
||
2
5
4.同类练如图,已知正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1,则点 A 到平面 BDC1 的
3 .
距离为
3
解析:以 D 为坐标原点,DA,DC,DD1 所在直线分别为 x 轴、
.
【思考】
(1)若“单位方向向量 u”变为“方向向量 s”,投影向量
,PQ 分别如何表示?
||
· ·
·
高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.7 点到平面的距离课件 湘教版选修2-1
d=|AP1|=___||_A_P_|_c_o_s_∠_P_A__N_|__=___|_A_|Pn_·|_n_| __.
1.已知直线 l 过点 A(1,-1,2),和 l 垂直的一个向量为 n=
(-3,0,4),则 P(3,5,0)到 l 的距离为( )
A.5
B.14
C.154
D.45
答案:C
2.已知直线 l 与平面 α 相交于点 O,A∈l,B 为线段 OA 的中
d=
|B→C|2-B→|CA→·′AC→′|C2=
16 4-14
=2
35 7.
用向量法求点到直线的距离的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系; (2)求直线的方向向量; (3)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向 量上的射影长; (4)利用勾股定理求解.另外,要注意平行直线间的距离与点到 直线的距离之间的转化.
则 A(4,0,0),B(0,3,0),P0,0,95, 所以A→B=(-4,3,0),A→P=-4,0,95, 所以A→P在 AB 上的投影长为|A→P|A·→BA→| B|=156, 所以点 P 到 AB 的距离为 d= |A→P|2-1562= 16+8215-22556=3. 答案:3
点到直线的距离 如图,在空间直角坐标系中有长方体 ABCD-A′B′C′D′, AB=1,BC=2,AA′=3,求点 B 到直线 A′C 的距离.
又 AC∥平面 PEF,
所以
AC
到平面
PEF
的距离为
17 17 .
用向量法求点面距的步骤 (1)建系:建立恰当的空间直角坐标系; (2)求点坐标:写出(求出)相关点的坐标; (3)求向量:求出相关向量的坐标; (4)利用公式即可求得点到平面的距离.
用向量法求空间距离课件
在某些情况下,向量法求空间距离可 能会遇到奇异点,即某些点的坐标值 可能为无穷大或不确定。对于这些点 ,应采取适当的处理方式,如排除或 进行特殊处理。
实际应用中的考虑因素
坐标系选择
在实际应用中,应根据问题的具体情 况选择合适的坐标系,如笛卡尔坐标 系、极坐标系等。不同的坐标系可能 会影响向量法求空间距离的结果。
03
向量法求空间距离的实例解析
点到直线的距离实例
总结词
利用向量法求点到直线的最短距离
详细描述
首先,我们需要确定直线和点在三维空间中的坐标。然后,通过向量的点积和向量的模长,我们可以计算出点到 直线的向量。最后,利用向量法公式,我们可以求出点到直线的最短距离。
点到平面的距离实例
总结词
利用向量法求点到平面的最短距离
未来研究的方向与展望
1 2
深入研究向量法的理论基础
进一步探讨向量法的数学基础和原理,提高其理 论水平。
拓展向量法的应用领域
发掘向量法在其他领域的应用价值,如机器学习 、数据分析和人工智能等。
3
开发向量法的算法优化
针对向量法的计算过程进行优化,提高其计算效 率和精度。
THANKS
感谢观看
用向量法求空间距离课件
目 录
• 向量法求空间距离的基本概念 • 向量法求空间距离的公式推导 • 向量法求空间距离的实例解析 • 向量法求空间距离的注意事项 • 总结与展望
01
向量法求空间距离的基本概念
向量的概念
向量
既有大小又有方向的量。
向量的表示
用有方向的线段表示向量,线段的长度表示向量 的大小,箭头表示向量的方向。
向量法求空间距离的优势与局限性
• 适用范围广:向量法不仅可以用于求解空间距离,还可以 用于解决其他几何问题。
用空间向量研距离、夹角问题(第二课时)课件
d=
|B→C1|2-B→C1·A→→1C1
2=
|A1C1|
10-952=153.
例题解析
例 2.已知向量 n=(2,0,1)为平面α的法向量,点 A(-1,2,1)在α内,则点 P(1,2,2)到平面α的距离 为( B)
5
5
A. 5 B. 5 C.2 5 D. 10
∵P→A=(-2,0,-1),n=(2,0,1),∴点
7 7.
7 又二面角 B-AP-C 为锐二面角,故二面角 B-AP-C 的余弦值为 7 .
课堂小结
1.点到线的距离; 2.点到面的距离; 3.空间异面直线所成角; 4. 空间直线与平面所成角; 5. 二面角。
感谢您的观看
设 AC1 与平面 BB1C1C 所成的角为θ,
则 sin
θ=|cos〈n,A→C1〉|=||AA→→CC11|·|nn||=
6 4 ,∴cos
θ=
1-sin2θ=
10 4.
例题解析
例 7.如图所示,ABCD-A1B1C1D1 是棱长为 6 的正方体,E,F 分别是棱 AB,BC 上的动点,且 AE=BF.当 A1,E,F,C1 共面时,平面 A1DE 与平面 C1DF 所成锐二面角的余弦值为( B )
3.求平面和平面所成的角(二面角)
如图,若 PA⊥ 于 A,PB⊥β于 B,平面 PAB 交 l 于 E,则∠AEB 为二面角 - l -β的平面角,∠AEB+∠APB=180°若 n1、n2 分别为面 ,β的法向量, ∠.AEB=<n1,n2>(n1,n2 的方向指向二面角的异侧)或π-<n1,n2>(n1,n2 的方向 指向二面角的同侧),即二面角θ等于它的两个面的法向量的夹角(或夹角 的补角).
3.2.3空间距离的向量求法
DB (2,2,0), DN (0,1,2),
设平面BDMN的一个法向量为
z
n ( x, y, z), 则
2 x 2 y 0 n (2, 2,1), y 2z 0
x
O
y
| AB n | | 2 (2) | 4 d . 2 2 2 n 3 2 (2) 1
P d O
n
PA n ( PO OA) n PO n,
| PA n || PO n || PO || n |
| PA n | | PA n | PO , 即d n n
例1.已知正方形ABCD的边长为4,CG⊥平面ABCD, CG=2,E、F分别是AB、AD的中点,求点B到平面GEF 的距离。
n
| PA n | ★所以计算公式还是: d n
例2.
如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F,M,N 分别为A1B1,A1D1,B1C1,C1D1 的中点. 求平面AEF和平面BDMN的距离.
解: (2)如图建立空间直角坐标系,则A(2,0,0), B(2, 2,0), N (0,1, 2), AB (0, 2,0),
解:∵BD//平面C1MN, ∴只需求点B与 平面C1MN的距离, 如图建立直角坐标系,则B(2,2,0), M (1, 2,0), N (0,1,0), C1 (0, 2, 2),
NM (1,1, 0), NC1 (0,1, 2) BM (1, 0, 0)
z
y x
x y 0 x 2z , 令z 1, 则n (2, 2,1), y 2 z 0 y 2 z | n BM | | (1) 2 | 2 d . |n| 22 (2) 2 12 3
《空间向量求距离》课件
点到直线的距 离
通过向量的数量积和 向量的叉积可以求解 点到直线的最短距离。
点到平面的距 离
通过向量的数量积和 向量的叉积可以求解 点到平面的最短距离。
线段间的距离
通过向量的数量积和 向量的叉积可以计算 线段间的距离。
示例演示
我们将通过具体的示 例来演示如何计算不 同情况下的空间向量 的距离。
总结
空间向量的加减法
1
减法定义
2
向量的减法是指将减去的向量的对应分
量与被减向量的对应分量相减,得到一
个新的向量。
3
加法定义
向量的加法是指将两个向量的对应分量 相加,得到一个新的向量。
示例演示
通过具体的示例演示,我们将更好地理 解向量的加减法。
空间向量的数量积
1
数量积性质
2
数量积具有交换律、分配律和结合律等
空间向量基础知识
通过本课件,您已经掌握了 空间向量的基础概念和性质。
空间向量的运算和性质
您已经学会了空间向量的加 减法、数量积和向量积等运 算。
空间向量求距离的方法
通过向量的数量积和叉积, 您可以计算点到直线、点到 平面和线段间的距离。
Q&A
在本节中,您可以向我们提问,并得到关于空间向量的解答。
性质。
3
数量积定义
数量积是指两个向量的对应分量相乘再 相加的结果。
示例演示
我们将通过一些实例来展示数量积的具 体应用。
空间向量的向量积
向量积的定义
向量积是指两个向量 通过向量积公式计算 而得到的另一个向量。
向量积的性质
向量积具有垂直于原 向量的性质,可用于 求平面的法向量。
向量积的意义
向量积在物理学、几 何学等领域中有广泛 的应用。
利用空间向量求空间距离
23 3
.
练习6:如图, ABCD是正方形,SB 面ABCD,且SA与 面ABCD所成的角为45,点S到面ABCD的 距离为1,求AC与SD的距离。
Sz
B
Ay
xC
D
分析:过 P 作 PO⊥ 于 O,连结 OA.
P
n
则 d=| PO |= | PA | cos APO.
∵ PO ⊥ , n , ∴ PO ∥ n .
A O
∴cos∠APO=|cos PA, n |.
∴d=| PA||cos PA, n |= | PA | | n | | cos PA, n | = | PA n | .
|n|
|n|
这个结论说明,平面外一点到平面的距离等于连结此点与平面
上的任一点(常选择一个特殊点)的向量在平面的法向量上的射影的
绝对值.
例1、已知正方形ABCD的边长为4,CG⊥
平面ABCD,CG=2,E、F分别是AB、AD的
中点,求点B到平面GEF的距离。
z
G
xD F
A
E
C B
y
解:如图,建立空间直角坐标系 C-xyz.
△ABC 中, AC BC 2 , BCA 90 , E 是 AB 的中点,
求异面直线CE 与 AB1 的距离.
解:如图建立坐标系C xyz,则C(0,0,0), E(1,1,0), A(2,0,0), B1(0,2,4).
CE
设CE,
AB(11的,1,公0)垂, A线B1的方(2向,2,向4),量为n
由题设 C(0,0,0),A(4,4,0),B(0,4,0), D(4,0,0),E(2,4,0),F(4,2,0),G(0,0,2).
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2、求向量—求点到平面内任一点对应的向量AP
3、求法向量—求出平面的一个uuu法r 向r 量
4、代入公式—通过公式 d
|
A
P r
n
|
代入求解.
n
练考题、验能力、轻巧夺冠
[题后感悟] 用向量法求点面距的方法与步骤,n
O
为法向量。
练习.已知平面α的一个法向量n=(-2,-2,1), 点A(-1,3,0)在α内,则P(-2,1,4)到α的距离为________. 解析: d=|P→|An·|n|=|1×-2-+222×+--22+2+-124×1| =130.
答案:
10 3
变式练习:已知正方形ABCD的边长为1,PD⊥平面ABCD, 且PD=1,E,F分别为AB,BC的中点.求点D到平面PEF的距 离;
解析:建立以D为坐标原点,DA,DC,DP分别为x轴, y轴,z轴的空间直角坐标系,如图所示.
则P(0,0,1),A(1,0,0),C(0,1,0), E1,12,0,F12,1,0, E→F=-12,12,0,P→E=1,12,-1, 设平面PEF的法向量n=(x,y,z), 则n·E→F=0,且n·P→E=0, 所以-12x+12y=0, x+12y-z=0.
[例1] 正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F,G分别 是C1C,D1A1,AB的中点,求点A到平面EFG的距离.
解: 建系 如图,建立空间直角坐标系,
求向量 求法向量
则 A(2,0,0),E(0,2,1),F(1,0,2),G(2,1,0),
uuur
uuur
∴ EF =(1,-2,1), EG =(2,-1,-1),
uur GA=(0,-1,0).设 n=(x,y,z)是平面 EFG 的法向量,
uuur
则n·uEuFur =0, n·EG =0,
∴x2- x-2yy+ -zz= =00, ,
∴x=y=z.可取 n=(1,1,1),
uur
代入公式
∴d=|G|An|·n|=
1= 3
33,
即点
A
到平面
EFG
的距离为
3 3.
大家应该也有点累了,稍作休息
大家有疑问的,可以询问和交
令x=2,则y=2,z=3, 所以n=(2,2,3), 所以点D到平面PEF的距离为d=|D→|En·| n| = 4|2++41+| 9=137 17, 因此,点D到平面PEF的距离为137 17.
用向量方法求点到平面的距离时:
1、建坐标系—建立恰当的空间直角坐标系
用空间向量求点到面的距离
P
一、求点到平面的距离
一般方法:
d
利用定义先作出过
这个点到平面的垂
O
线段,再计算这个
垂线段的长度。
向量法求点到平面的距离
d
sin u u ur
d| AP|sin
AP
P
r
u u ur r
n
| AP n |
sin u u ur r
d
AP n
uuur r
d | A Pr n |