第五章 概率及概率分布
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概率第五章_大数定律与中心极限定理090505
加法法则
P ( − Eξ ε ) = ξ ≥
P(ξ ≥ Eξ + ε ) + P (ξ ≤ Eξ − ε )
k
=
≤
k : xk ≥ E +
∑ξ ε p
k
+
k : xk ≤ E −
∑ξ ε p
pk +
k :xk ≥ E +
∑ξ ε
( x − Eξ ) 2
ε
2
k :xk ≤ E −
∑ξ ε
( x − Eξ ) 2
， 方差 Dξ n ( n = 1, 2,L)，且 Dξi < l (i = 1, 2,L) 其中 l 与 i 无关的
1 Eξ = (1 + 2 + 3 + L + 6) 6
35 7 故 Eξ = Dξ = 12 2
4 2 = P (ξ = 5) + P(ξ = 6) + P (ξ = 1) + P (ξ = 2) = = 6 3 7 1 P( − 2 ) = P(ξ ≥ 5.5) + P(ξ ≤ 1.5) = P (ξ = 6) + P (ξ = 1) = ξ ≥
即
lim P ( − p < ε ) = 1 n →∞ n
ξ
此定理表明：当试验在不变的条件下重复进行很多次时， 随机事件的频率 频率在它的概率 概率附近摆动。 频率 概率 由贝努里大数定律可知，若事件A的概率很小很小时，则 它的频率也很小很小，即事件A很少发生或几乎不发生， 这种事件叫小概率事件。反之，若随机事件的概率很接近1， 则可认为在个别试验中这事件几乎一定发生。 同分布的两个或多个随机变量: 同分布的两个或多个随机变量 离散型: 它们的概率分布律相同. 离散型 它们的概率分布律相同 连续型: 它们的概率密度函数相同. 连续型 它们的概率密度函数相同 所以它们的期望与方差一定相同. 所以它们的期望与方差一定相同
P ( − Eξ ε ) = ξ ≥
P(ξ ≥ Eξ + ε ) + P (ξ ≤ Eξ − ε )
k
=
≤
k : xk ≥ E +
∑ξ ε p
k
+
k : xk ≤ E −
∑ξ ε p
pk +
k :xk ≥ E +
∑ξ ε
( x − Eξ ) 2
ε
2
k :xk ≤ E −
∑ξ ε
( x − Eξ ) 2
， 方差 Dξ n ( n = 1, 2,L)，且 Dξi < l (i = 1, 2,L) 其中 l 与 i 无关的
1 Eξ = (1 + 2 + 3 + L + 6) 6
35 7 故 Eξ = Dξ = 12 2
4 2 = P (ξ = 5) + P(ξ = 6) + P (ξ = 1) + P (ξ = 2) = = 6 3 7 1 P( − 2 ) = P(ξ ≥ 5.5) + P(ξ ≤ 1.5) = P (ξ = 6) + P (ξ = 1) = ξ ≥
即
lim P ( − p < ε ) = 1 n →∞ n
ξ
此定理表明：当试验在不变的条件下重复进行很多次时， 随机事件的频率 频率在它的概率 概率附近摆动。 频率 概率 由贝努里大数定律可知，若事件A的概率很小很小时，则 它的频率也很小很小，即事件A很少发生或几乎不发生， 这种事件叫小概率事件。反之，若随机事件的概率很接近1， 则可认为在个别试验中这事件几乎一定发生。 同分布的两个或多个随机变量: 同分布的两个或多个随机变量 离散型: 它们的概率分布律相同. 离散型 它们的概率分布律相同 连续型: 它们的概率密度函数相同. 连续型 它们的概率密度函数相同 所以它们的期望与方差一定相同. 所以它们的期望与方差一定相同
03第五章_概论及概论分布
用于比较几个分属性质不同的观测值在各
自数据分布中相对位置的高低。
计算不同质的观测值的总和或平均值，以
表示在团体中的相对位置。
当研究需要合成不同质的数据时，如果已知这 些不同质的观测值的次数分布为正态，这时可采用 Ｚ分数来计算不同质的观测值的总和或平均值。
表示标准测验分数
经过标准化的心理和教育测验，常常
种数学模型计算出的概率分布。
３、基本随机变量分布与抽样分布
依所描述的数据的样本特性，可将概率分
布分为基本随机变量分布与抽样分布 （sampling distribution）。
基本随机变量分布是随机变量各种不同取
值情况的概率分布，抽样分布是从同一总体 内抽取的不同样本的统计量的概率分布。
二、二项分布
抽到第一题或第二题的概率应为抽到第一题的概率和抽到第二题的概率之和即四个学生都抽到第一题即四个学生同时抽到第一题其概率应为抽到第一题的概率的乘积即20个黑球共50个球中随机抽取两次放回抽样问抽出一个黑球和一个白球的概率是多少
第五章
概率及概论分布
一、概率的一般概念
1.概论的定义
后验概率（或统计概率）
率之和，即
0 0 6 1 5 2 2 4 P P P C p q C p q C p q ( 0) 1 2 6 6 6
3 2 3 2 6 15 5 5 5 5
6
m n
（5．2）
2．概率的公理系统
（1）任何随机事件Ａ的概率都是在0与1之间 的正数，即 0 ≤ P（A）≤1 （2）不可能事件的概率等于零，即 P（A）= 0 （3）必然事件的概率等于1，即 P （A ）= 1
自数据分布中相对位置的高低。
计算不同质的观测值的总和或平均值，以
表示在团体中的相对位置。
当研究需要合成不同质的数据时，如果已知这 些不同质的观测值的次数分布为正态，这时可采用 Ｚ分数来计算不同质的观测值的总和或平均值。
表示标准测验分数
经过标准化的心理和教育测验，常常
种数学模型计算出的概率分布。
３、基本随机变量分布与抽样分布
依所描述的数据的样本特性，可将概率分
布分为基本随机变量分布与抽样分布 （sampling distribution）。
基本随机变量分布是随机变量各种不同取
值情况的概率分布，抽样分布是从同一总体 内抽取的不同样本的统计量的概率分布。
二、二项分布
抽到第一题或第二题的概率应为抽到第一题的概率和抽到第二题的概率之和即四个学生都抽到第一题即四个学生同时抽到第一题其概率应为抽到第一题的概率的乘积即20个黑球共50个球中随机抽取两次放回抽样问抽出一个黑球和一个白球的概率是多少
第五章
概率及概论分布
一、概率的一般概念
1.概论的定义
后验概率（或统计概率）
率之和，即
0 0 6 1 5 2 2 4 P P P C p q C p q C p q ( 0) 1 2 6 6 6
3 2 3 2 6 15 5 5 5 5
6
m n
（5．2）
2．概率的公理系统
（1）任何随机事件Ａ的概率都是在0与1之间 的正数，即 0 ≤ P（A）≤1 （2）不可能事件的概率等于零，即 P（A）= 0 （3）必然事件的概率等于1，即 P （A ）= 1
概率与概率分布
第五章 概率及概率分布
掌握概率的概念、性质和法则 明确概率分布的含义，了解二项试验和分布
的基础知识。
概率与概率分布
第一节 概率的一般概念
概率论起源于17世纪，当时在人口统计、人 寿保险等工作中，要整理和研究大量的随机数据资 料，这就需要一种专门研究大量随机现象的规律性 的数学。
参赌者就想：如果同时掷两颗骰子 ，则点数 之和为9 和点数之和为10 ，哪种情况出现的可能 性较大？
概率与概率分布
一、频率和概率的定义
1. 频率 对随机现象进行观测时，若事件Ａ在ｎ次观测中出 现了ｍ次,则ｍ与ｎ的比值，就是事件Ａ出现的频 率（也称为相对频数）。用 Ｗ（Ａ）表示事件Ａ 的频率。 公式为：Ｗ（Ａ）=ｍ/ｎ
概率与概率分布
2. 概率
概率是对随机事件出现可能性大小的客观量度。
事件Ａ发生的概率记为P（Ａ）。
概率与概率分布
二、概率的性质
1. 对于任何事件Ａ，均有0≤Ｐ（Ａ）≤1 2. 不可能事件的概率为零，P（V）=0 3. 必然事件的概率为1，P（U）=1
概率与概率分布
三、概率的加法和乘法
1. 概率的加法
互不相容事件：在一次试验中不可能同时出现的 事件。
事件之和：有限个互不相容事件中任意一个发生。 如：A+B=A或B发生。
假设把两枚硬币投1000次，得到的结果为下表：
正面的数量 0 1 2
总计
频数（f） 253 499 248 1000
百分比（%） 25.3 49.9 24.8 100.0
概率分布实质上是无限次抛掷的频数分布。尽 管我们永远不能观察到这个无限次抛掷的频数 分布，但我们知道这是的频数分布会无限接近 概率分布。
概率与概Байду номын сангаас分布
掌握概率的概念、性质和法则 明确概率分布的含义，了解二项试验和分布
的基础知识。
概率与概率分布
第一节 概率的一般概念
概率论起源于17世纪，当时在人口统计、人 寿保险等工作中，要整理和研究大量的随机数据资 料，这就需要一种专门研究大量随机现象的规律性 的数学。
参赌者就想：如果同时掷两颗骰子 ，则点数 之和为9 和点数之和为10 ，哪种情况出现的可能 性较大？
概率与概率分布
一、频率和概率的定义
1. 频率 对随机现象进行观测时，若事件Ａ在ｎ次观测中出 现了ｍ次,则ｍ与ｎ的比值，就是事件Ａ出现的频 率（也称为相对频数）。用 Ｗ（Ａ）表示事件Ａ 的频率。 公式为：Ｗ（Ａ）=ｍ/ｎ
概率与概率分布
2. 概率
概率是对随机事件出现可能性大小的客观量度。
事件Ａ发生的概率记为P（Ａ）。
概率与概率分布
二、概率的性质
1. 对于任何事件Ａ，均有0≤Ｐ（Ａ）≤1 2. 不可能事件的概率为零，P（V）=0 3. 必然事件的概率为1，P（U）=1
概率与概率分布
三、概率的加法和乘法
1. 概率的加法
互不相容事件：在一次试验中不可能同时出现的 事件。
事件之和：有限个互不相容事件中任意一个发生。 如：A+B=A或B发生。
假设把两枚硬币投1000次，得到的结果为下表：
正面的数量 0 1 2
总计
频数（f） 253 499 248 1000
百分比（%） 25.3 49.9 24.8 100.0
概率分布实质上是无限次抛掷的频数分布。尽 管我们永远不能观察到这个无限次抛掷的频数 分布，但我们知道这是的频数分布会无限接近 概率分布。
概率与概Байду номын сангаас分布
人大版_贾俊平_第五版_统计学_第5章_概率与概率分布
P ( ) = 1； P ( ) = 0
可加性
若A与B互斥，则P ( A∪B ) = P ( A ) + P ( B ) 推广到多个两两互斥事件A1，A2，…，An，有 P
( A1∪A2 ∪… ∪An) = P ( A1 ) + P (A2 ) + …+ P (An )
5.2.2 概率的加法法则 法则一
• 必然事件：每次试验一定出现的事件，用表示
例如：掷一枚骰子出现的点数小于7
• 不可能事件：每次试验一定不出现的事件，用表示
例如：掷一枚骰子出现的点数大于6
样本空间
1. 基本事件 • 一个不可能再分的随机事件 • 例如：掷一枚骰子出现的点数 2. 样本空间 • 一个试验中所有基本事件的集合，用表示 • 例如：在掷枚骰子的试验中，{1,2,3,4,5,6} • 在投掷硬币的试验中，{正面，反面}
连续型随机变量 1. 随机变量 X 取无限个值 2. 所有可能取值不可以逐个列举出来，而是 取数轴上某一区间内的任意点
试验 随机变量 可能的取值
X0 使用寿命(小时) 抽查一批电子元件 半年后工程完成的百分比 0 X 100 新建一座住宅楼 X0 测量一个产品的长度 测量误差(cm)
4800 1500 P( A B) P( A) P( B) 0.504 12500 12500
法则二 对任意两个随机事件 A 和 B ，它们和的 概率为两个事件分别概率的和减去两个事件 交的概率，即
P ( A∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( A∩B )
事件的关系和运算（事件的包含） 若事件 A发生必然导致事件 B 发生，则称 事件 B 包含事件 A ，或事件 A 包含于事件 B ，记 作或 A B或 B A
第五章概率与正态分布
正态分布曲线的特点
• 钟形轴对称曲线，对称轴是随机变量的平均数
。
• 正态分布曲线的位置和形状分别由平均数
和标准差 决定。
• 平均数大小决定图形向左移或右移。 • 标准差大小决定图形的陡峭程度，即纵线的最大
值。
y
0 1
5 1
x
－4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
图5.3 平均数不等，标准差相等的正态分布示意图
标准正态分布表中各变量的含义
表 5.4 标准正态分布表中各变量的说明
Z 横轴坐标
原始变量（Xi）取值转换后的标准
分数（Zi）
Y 纵轴高度
某一点取值（Zi）所对应的概率密
度（相对频次，Yi）
P （0，Zi）两点间 取值界于区间（0，Zi）的概率
曲线下的面积
• 已知下列Z值，查表求P值。
– （1）Z＝-1与Z＝1之间的概率 – （2）Z＝-2与Z＝2之间的概率 – （3）Z＝-3与Z＝3之间的概率 – （4）Z＝-1.96与Z＝1.96之间的概率 – （5）Z＝-2.58与Z＝2.58之间的概率
• 经验概率 对多次重复相同或相似试验所得到的数据进行分 析，获得事件发生的相对频率，作为对此事件 发生概率的一个估计。
P(A) a,N NFra bibliotek事件的概率
• 先验概率 • 当试验满足:试验中各种可能结果（基本事件）是
有限的，并且每种结果发生的可能性是不变时， 则某事件发生的概率等于该事件包含的基本事件 数除以试验中可能发生的基本事件总件数之商。 • 设N代表可能发生的基本事件总数，K代表事件A 包含的基本事件数，则A事件发生的概率为：
– 例：某公共汽车停车点上乘客候车的时间记为 随机变量Y
第五章概率与概率分布
P( A)
事件A发生的次数m 重复试验次数n
m n
英语字母出现频率
space 0.2 ; I 0.055 ; C 0.023 ; G 0.011 ; Q 0.001 ; E R U B Z 0.105 ; T 0.072 ; 0.054 ; S 0.052 ; 0.0225 ; M 0.021 ; 0.0105 ; V 0.008 ; 0.001 O H P K 0.0654 ; 0.047 ; 0.0175 ; 0.003 ; A D Y X 0.063 ; 0.035 ; 0.012 ; 0.002 ; N 0.059 L 0.029 W 0.012 J 0.001
一、概率(Probability)的定义
概率：0-1之间的数，衡量事件A发生可能 性（机会）的数值度量。记P（A） •Probability: A value between 0 and 1, inclusive, describing the relative possibility (chance or likelihood) an event will occur.
P ( A) A包 含 的 可 能 结 果 (偶 数 ) 全部可能结果 3 6
实际与理论分析不符时，实际中可能作弊。
如：河北银行人员为买奖券，盗2000万并没中大奖。
西安彩票中心人员中奖率极高,结果是作弊。
例：已知有148名学生统计表
专业
性别
男 女
金融学院 工商学院 经济学院 会计学院 15 15 22 14 30 12 25 15
摘自：概率论与数理统计简明教程1988》李贤平 卞国瑞 立鹏，高等教育出版社
吴
大量统计的结果,用于破解密码
美国正常人血型分布
教育统计学 第五章
1 P e 2
( x )2 2 2
正态分布
0.13%
2.14%
13.59%
34.13% - 1
34.13%
13.59%
2.14% 3 3
0.13%
-3பைடு நூலகம்
- 2
1
2
0.13%
2.14%
13.59% 34.13% 34.13% 13.59% 2.14% 0.13 %
-
3
独立性 乘法公式 P(AB)=P(A)P(B)
独立试验概型（非等概）
在此概型中，基本事件的概率可以直接计 如果掷的分币非均匀，出现 算出来；单它与古典概型不同，这些基本 “上”的概率为2/3，出现 事件不一定是等概的。 “下”的概率为1/3，则 例5.10 P(“恰有两次正面朝上”)=？
掷一均匀分币，独立重复五次，求其中恰有两次 正面朝上的概率？ n=25=32个（基本事件） “恰有两次正面朝上”=10个（基本事件）
-
2
-
1
1
2
3
0.13%
2.14%
13.59%
34.13% - 1
34.13%
-3
- 2
13.59%
2.14%
0.13%
1
2
3
标准正态分布
0.13% -3
2.14% -2
13.59% -1
34.13% 0
34.13% 1
13.59% 2
2.14% 3 3
0.13%
丁
例5.1
盒子中装有五个球（三个白球、二各黑球）从中 任取一个，问：取到白球的概率是多少？
P(取到白球）=3/5 例5.2
教育统计学概率及概率分布练习题目答案
答案：86.65分
第五章 概率及概率分布
练习11
○ 有100人其统计能力呈现正态分布，欲将分成ABCD四个等距等级，问各等级应该有多少人？ ○ 答案：
A等级7人 B等级43练 习 5
l从 男 生 占 2 / 5 的学校中随机 抽取6个学生， 问正好抽到4个 男生的概率是 多少？至少抽 到4个女生的概 率是多少？
l答 案 ： 0 . 1 3 8 2 ， 0.5443
l练 习 6
l从 男 生 占 1 / 2 的学校中随机 抽取10个学生， 请问理论上抽 取男生的平均 数是多少？标 准差呢？
6
答 案 ： 3 0 2 . 1 5
第五章 概率及概率分布
练习9 某测试成绩呈正态分布，平均分72，标准差6，问平均分上下多少分中间包括95%的
学生？ 答案：60.24分至83.76分之间
○ 练习10 ○ 某考试从1600人中选出200人，成绩呈正态，平均分74，标准差11，问选拔分数线多少？
0 6 答案：0.375
第五章 概率及概率分布
练习3
一学生从5个试题中任意抽取一题，抽取每题的 概率都是五分之一，则抽到第一题或第二题的 概率是多少？
答案：0.4
练习4
一学生从5个试题中任意抽取一题（抽后放回）， 抽取每题的概率都是五分之一，则两个学生都 抽到第一题的概率是多少？
答案：0.04
l答 案 ： 5 ， 1.58
第五章 概率及概率分布
1
练 习 7
3
答 案 ： 8 道 或 以 上 。
2
学 生 做 1 0 道 判 断 题 ， 凭 猜 测 可 以 猜 对 一 半 。 那么，学生必须做对多少道题目，我们才有 95%的把握认为他们掌握了相关知识呢？
第五章 概率及概率分布
练习11
○ 有100人其统计能力呈现正态分布，欲将分成ABCD四个等距等级，问各等级应该有多少人？ ○ 答案：
A等级7人 B等级43练 习 5
l从 男 生 占 2 / 5 的学校中随机 抽取6个学生， 问正好抽到4个 男生的概率是 多少？至少抽 到4个女生的概 率是多少？
l答 案 ： 0 . 1 3 8 2 ， 0.5443
l练 习 6
l从 男 生 占 1 / 2 的学校中随机 抽取10个学生， 请问理论上抽 取男生的平均 数是多少？标 准差呢？
6
答 案 ： 3 0 2 . 1 5
第五章 概率及概率分布
练习9 某测试成绩呈正态分布，平均分72，标准差6，问平均分上下多少分中间包括95%的
学生？ 答案：60.24分至83.76分之间
○ 练习10 ○ 某考试从1600人中选出200人，成绩呈正态，平均分74，标准差11，问选拔分数线多少？
0 6 答案：0.375
第五章 概率及概率分布
练习3
一学生从5个试题中任意抽取一题，抽取每题的 概率都是五分之一，则抽到第一题或第二题的 概率是多少？
答案：0.4
练习4
一学生从5个试题中任意抽取一题（抽后放回）， 抽取每题的概率都是五分之一，则两个学生都 抽到第一题的概率是多少？
答案：0.04
l答 案 ： 5 ， 1.58
第五章 概率及概率分布
1
练 习 7
3
答 案 ： 8 道 或 以 上 。
2
学 生 做 1 0 道 判 断 题 ， 凭 猜 测 可 以 猜 对 一 半 。 那么，学生必须做对多少道题目，我们才有 95%的把握认为他们掌握了相关知识呢？
第五章 概率及概率分布
P A B P ( A) P ( B)
16
第一节 概率的一般概念
三、概率的加法和乘法 1、概率的加法 例如：抛掷一枚硬币，正面朝上和正面朝下的概率各为0.50， 问在实验中，硬币正面朝上或朝下的概率是多少？ 答：硬币正面朝上或朝下的概率是1。 获得一、二、三等奖的概率分别为：0.002、0.005和0.993， 获奖的概率是多少？ 答：获奖的概率为1。
17
第一节 概率的一般概念
三、概率的加法和乘法 2、概率的乘法 A事件出现的概率不影响B事件出现的概率，这两个事件为独 立事件。 两个独立事件积的概率，等于这两个事件概率的乘积。表示 两个事件同时出现的概率。 用公式可表示为：
P ( A B ) P ( A) P ( B)
18
第一节 概率的一般概念
npq 101/ 2 1/ 2 1.58
31
第二节 二项分布
四、二项分布的平均数和标准差 例如：有一份试卷，共有50道选择题，并且都为四选一，假 定一个学生一点都不会，只能凭猜测来回答。问凭猜测来回 答，平均能猜对几道题，猜对题目数的标准差为多少。 分析：因为完全不会做而只是靠猜测，因此属于二项分布的 运用条件。
8
第一节 概率的一般概念
一、概率的定义 （2）后验概率——
表5.1 抛掷硬币试验中正面朝上的频率 试验者 德摩根 蒲丰 皮尔逊 皮尔逊 抛硬币次数 2048 4040 12000 24000 正面朝上次数 1061 2048 6019 12012 正面朝上频率 0.5181 0.5069 0.5016 0.5005
职教学院 刘春雷 E-mail：lcl2156@
1
第五章
概率及概率分布
第一节 概率的一般概念 第二节 二项分布
心理统计学05-概率分布及集中常用概率分布特征
• 性质：
np, npq
正态分布
• 正态分布曲线函数 • 图像
f (x)
e 1
2
( x u)2
2 2
N(μ，0.25)
N(-2，1)
N(0，1)
N(2，1)
N(μ，1)
平均数不同，标准差相同 记作X～N(μ,σ2)
N(μ，2.25) 平均数相同，标准差不同
正态分布——应用
• 假定500个学生某科成绩分布接近于正态分布N（70,100）， 问：①75分以下有多少人？②85分以上有多少人？③介于 65和80分之间有多少人？
概率等于1
概率介于（0,1）之间
概率等于0
概率：事件出现可能性大小的数字描述，在[0,1]之间取值
概率定义——后验（经验）概率
• 设随机事件A在相同的条件下进行的n次试验中发生了n次A ，
• •
则当件称nA趋在fnn /(A于该nA是)无条事穷件nnA件大下A时发在该生这数的n次值概试将率验稳。中定即发在：生一的个频常数数，上记，成这一常数称。为事
用概率差求介于65分与80分之间的人数 500x0.5328=266.4≈266人
正态分布——应用
• 某县对初一年级1000名学生进行能力测验，结果μ＝75，σ ＝10，现拟根据此结果选取25名学生作为“尖子班”重点 培养，假定测验成绩近似正态分布，问多少分以上才能被 选到“尖子班”学习？
• 解 求25名学生比例：25/1000=0.025=2.5%
0.5180 0.5069 0.4979 0.5016 0.5005
概率定义——先验（古典）概率
• 满足以下两个条件
•
每次试验中所有可能出现的结果的个数是有限的；
np, npq
正态分布
• 正态分布曲线函数 • 图像
f (x)
e 1
2
( x u)2
2 2
N(μ，0.25)
N(-2，1)
N(0，1)
N(2，1)
N(μ，1)
平均数不同，标准差相同 记作X～N(μ,σ2)
N(μ，2.25) 平均数相同，标准差不同
正态分布——应用
• 假定500个学生某科成绩分布接近于正态分布N（70,100）， 问：①75分以下有多少人？②85分以上有多少人？③介于 65和80分之间有多少人？
概率等于1
概率介于（0,1）之间
概率等于0
概率：事件出现可能性大小的数字描述，在[0,1]之间取值
概率定义——后验（经验）概率
• 设随机事件A在相同的条件下进行的n次试验中发生了n次A ，
• •
则当件称nA趋在fnn /(A于该nA是)无条事穷件nnA件大下A时发在该生这数的n次值概试将率验稳。中定即发在：生一的个频常数数，上记，成这一常数称。为事
用概率差求介于65分与80分之间的人数 500x0.5328=266.4≈266人
正态分布——应用
• 某县对初一年级1000名学生进行能力测验，结果μ＝75，σ ＝10，现拟根据此结果选取25名学生作为“尖子班”重点 培养，假定测验成绩近似正态分布，问多少分以上才能被 选到“尖子班”学习？
• 解 求25名学生比例：25/1000=0.025=2.5%
0.5180 0.5069 0.4979 0.5016 0.5005
概率定义——先验（古典）概率
• 满足以下两个条件
•
每次试验中所有可能出现的结果的个数是有限的；
社会统计学5
四、t分布
• 在概率论和统计学中t分布用于根据小样本来估计呈正态 分布且方差未知的总体的均值。如果总体方差已知 （例 如在样本数量足够多时），则应该用正态分布来估计总 体均值。
• t分布也称为学生t分布。其推导是由威廉·戈塞于1908年 首先发表的，当时他在都柏林的健力士酿酒厂工作，因 此不能以他本人的名义发表，所以论文使用了学生 student这一笔名。之后罗纳德·费雪将t检验在理论及经 验层面做 了进一步的深入研究，他将此分布称为学生分 布。t分布的特征如下：
正态分布的两个参数对曲线形状的影响，如图5-6所示。
• （１）在σ一定的情况下，若μ增大，图形右移，若μ减小，图形 左移，但整个图形形状不变。
• （２）当μ不变的情况下，σ越小，则对应的图形越尖瘦。
• （３）μ和σ的意义：综合二者，正态分布的位置是由μ决定的， 而正态分布的形状 “高、矮、胖、瘦”则是由σ决定的。
• ３、主观概率法
• 主观概率法是指人们利用自己的经验知识、现有资料对事件出现的 可能性大小作出主观估测的方法，主观估计的可能程度称为主观概 率。人们对某一事件发生的信念程度可以用数字（０～１）来衡量。 在相同情况下，人们对于同一事件可能提出不同的概率，甚至于对 成功或失败的机会持完全相反的态度。
（四）正态分布的概率计算
（五）标准正态分布的下侧分位数、 上侧分位数以及尾概率
• 对于正态分布随机变量 X，α下侧分位数定义为满足关系 P(X≤Xα）=α的数Xα，这里的α称为下（左）侧尾率 。 而α上侧分位数定义为满足关系P(X＞Xα)=α的数，这里的 α称为上 （右）侧尾率。通常用Zα表示正态分布的α 上侧 分位数，即对于标准正态分布变量Z，有P(Z≥Zα）=α。 图5-8给出了0.025上侧分位数Zα=Z0.025及相应的尾概率 （α＝0.025）。
第五章概率分布
32
T分数优点： 1.没有负数，若出现小数时可以四舍五入，误差不
会很大。 2.它的取值范围比较符合百分制的记分习惯，易于
被人们接受。 3.由于偶然因素导致原始分数偏态，运用T分数可转
化为正态。
2019/12/11
33
例：某研究中随机抽取了180名学生的某一能 力测验分数，由于这些分数不是正态，需 要正态化。已有研究表明学生的总体能力 分布为正态，所以可以用正态化原理和T分 数公式将其正态化。
2．当总体分布为非正态而其方差又未知时， 若满足n>30这一条件，样本平均数的分布 近似为t分布。
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40
2. 2 值都是正值。 3. 2 分布的和也是 2 分布。 4. 如果df＞ 2,这时 2 分布的平均数：
2 d,f方差 22＝ 2df
5. 2 是连续型分布，但有些离散型的分布也 近似 2分布。
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42
• 2 分布为在统计分析中应用于计数数据的
假设检验以及样本方差与总体方差差异是 否显著的检验等。
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43
四、F分布
• 来自两个正态总体的独立样本，其方差之 比的样本分布为：
F
s / 22源自n1 11 s / 2
2
n2 1
2
• 来自同一总体，12 22 ，F比率：
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36
样本平均数的分布
2.总体分布非正态，但方差已知，当n大于30 时，其样本平均数的分布为渐进正态分布。
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37
（一）t分布的特点
1.平均数为0。 2.以平均值0左右对称的分布，左侧t为负值，右侧
为正值。 3.变量取值在-∞～+∞之间。 4.当样本容量趋于∞时，t分布为正态分布，方差为1；
概率分布及概率分布图
概率密度函数图
总结词
概率密度函数图是一种展示连续概率分布的图形，通过曲线的高低表示概率密度的大小。
详细描述
概率密度函数图是连续概率分布的图形表示，它通过曲线的高低表示概率密度的大小。在概率密度函数图中，曲 线下方的面积表示事件发生的概率。这种图形可以帮助我们了解连续随机变量的分布情况，并用于估计和预测未 来的事件。
02 离散概率分布
二项分布
01
02
03
定义
二项分布是描述在n次独 立重复的伯努利试验中成 功的次数的概率分布。
公式
$B(n, p) = C(n, k) p^k (1-p)^{n-k}$，其中C(n, k)是组合数，表示从n个 不同项中选取k个的方法 数。
应用场景
例如，抛硬币的结果（正 面或反面），或者给定数 量的独立事件中成功事件 的次数。
泊松分布
定义
泊松分布是描述在单位时间内（或单 位面积内）随机事件的次数，当这些 事件以小概率发生，并且这些事件之 间是独立的。
公式
应用场景
例如，放射性衰变或者网络中同时发 生的请求数。
$P(X=k) = frac{e^{lambda}lambda^k}{k!}$，其中 $lambda$是事件的平均发生率。
05 概率分布及概率分布图的 应用实例
在统计学中的应用
1 2 3
描述性统计
概率分布图可以用来描述数据的分布情况，如频 数分布图、直方图等，帮助我们了解数据的集中 趋势、离散程度等。
假设检验
在假设检验中，概率分布图可以用来表示样本数 据和理论分布之间的比较，帮助我们判断样本数 据是否符合预期的分布。
概率分布的种类
离散概率分布
描述离散随机变量的取值概率，如二项分布、泊 松分布等。
第5章 常用概率分布2
正态分布的参数
1
2
3
图9 标准差相同、均数不同的正态分布曲线
正态分布的参数
σ1 σ2 σ3 σ1<σ2<σ3
图10 均数相同、标准差不同的正态分布曲线
正态分布
二、正态概率密度曲线下的面积规律
正态曲线下面积总和为1；
正态曲线关于均数对称；对称的区域内面积相等； 对任意正态曲线，按标准差为单位，对应的面积相 等；
计算z值：
z1 x1
( 1.96 )
1.96
z2
x2
( 1.96 )
1.96
0.025 1.96
查附表1：确定概率 结论：95％
0.025 -1.96
正态分布
例 已知X服从均数为 、标准差 为的正态分布， 1 .96 试估计：(1)X取值在区间 上的概率； (2)X 取值在区间 上的概率。 2.58
记为N(0,1)。 标准正态分布是一条曲线。
标准正态分布曲线下的面积
μ±1范围内的面积为68.27% μ±1.96范围内的面积为95%
μ±2.58范围内的面积占99%
图12 正态曲线下的面积分布示意
标准正态分布曲线下的面积的计算
求z值，用z值查表，得到所求区间面积占总面
积的比例。 曲线下对称于0的区间，面积相等。 曲线下总面积为100％或1。
计算z值：
Z 130 123 .02 1.46 4.79
查附表1：确定概率
0.0721 0.0721 1.46
结论：7.21％
-1.46
概率和概率
• 对古典型试验，设试验的一切基本事件有n 个， 而事件所包含的基本事件有k个，则事件A的概 率为： P(A)=A包含的基本事件数/一切基本事件数 =k/n 例1： 袋内装有五个白球，三个黑球，从中任 意取两个，计算取出的两个球都是白球的概率。
解：组成试验的基本事件总数n=14,组成所求事件 A（取/14=0.357
加法法则
2. 频率方法 若在n次试验中，事件A发生了m次，则 m/n称为事件A发生的频率。 一个事件的频率不是固定的常数，这是 因为n次试验中，该实验发生的次数m不是 一个固定的常数，它可以随机地取0，1， 2···，n中的任何一个值。但在实验的多次 ··· 重复中，频率具有稳定性。
例：统计学家抛掷硬币的历次试验结果
事件的概率
• 1.古典方法 引例 有十个小学生，给他们编上1到10的号码，现在从 中抽取随机一个，很容易想到“取得偶数号码” 的可能性是5/10，“取得的号码不大于2”的可能 性是2/10，等等。 上述例子有两个特点：一是实验的一切基本事件 是有限的；二是一切基本事件的可能性都一样。 具有这两个特点的实验叫古典型实验，称它的数 学模型叫古典概型。
第五章 概率和概率分布
第一节 概率
一.事件及事件的概率
（一）随机事件 （二）事件的概率
二.概率的两个基本法则
（一）加法法则 （二）乘法法则
随机事件
• 我们经常碰到这样一类现象，在同样条件下多次 进行统一实验，或多次观测同一现象，所得结果 并不完全一样，在每次试验或观测之前不能确切 预料将出现什么结果，这的现象叫做随机现象。
• 随机现象发生的每一个结果，叫做一个随机事件， 简称事件。常用大写字母A,B,C,D···表示。 ···
• 例如，为检查一批零件的合格率，随即取出十个来检 查，结果可能是没有次品，可能有一个次品，也可能 有两个次品等。其中每一个结果都是一个事件。此外， 次品数不多于四个，次品数在五与十之间等结果也都 是事件。 • 在上述例子中，有两个特殊事件，一件是“次品 数在0与10之间”，这是必然，叫做必然事件。另一 个是“次品数不在0与10之间”，这是不可能，叫做 不可能事件。
概率论5章
F ( x, y) A[ B arctanx][C arctany]
求常数A，B，C.
解: F ( , ) A[ B
F ( , y ) A[ B
2
][C
2
]1
2
][ C arctan y ] 0
F ( x, ) A[ B arctan x ][ C
x y
f ( x, y)dxdy
dx 8e
x 0 ( 2 x 4 y ) x dy 2e 2 x (e 4 y ) |0 dx 0
= 0 =
0
2e
2 x
(1 e
4 y
)dx 2e
0
2 x
dx 2e6 x dx
0
F ( , y ) lim F ( x, y ) 0
x
§5.1 二维随机变量及分布函数
二、联合分布函数 性质 ⑤ 随机点(X,Y)落在矩形区域
{( x, y) | x1 X x2 , y1 Y y2}
的概率
y y2
y1 0 x1 x2 x
P( x1 X x2 , y1 Y y2 ) F ( x2 , y2 ) F (x2 , y1 ) F (x1, y2 ) F (x1, y1 )
y0 0 y0 0
x
§5.4 边缘分布
一、边缘分布函数 1．边缘分布 设F(x,y)为二维随机变量(X,Y)的联合分布函数，称
P(X≤x)=P(X≤x,Y<+≦)
x , y
其中 -≦<μ1<+≦, -≦<μ2<+≦,σ1>0,σ2>0 ,|ρ|<1,
第5讲：概率及正态分布
164 175 170 163 168 161 177 173 165 181 155 178 164 161 174 177 175 168 170 169 174 164 176 181 181 167 178 168 169 159 174 167 171 176 172 174 159 180 154 173 170 171 174 172 171 185 164 172 163 167 168 170 174 172 169 182 167 165 172 171 185 157 174 164 168 173 166 172 161 178 162 172 179 161 160 175 169 169 175 161 155 156 182 182
模型推导出的总体的次数分布 ➢ 基本随机变量分布： ➢ 抽样分布：样本统计量的分布
概率分布的分类结构图
分布
经验分布——频次分布
理论分布——概率分布
总体分布
抽样分布
离散分布——二项分布
连续分布——正态分布
第二节 正态分布
数学情景
从 某 中 学 男 生 中 随 机 抽 取 出 8 4 名 ， 测 量 身 高 ， 数 据 如 下 （ 单 位 ： cm ):
出正面次数 出正面频率
1
0.25
23
0.46
51
0.51
1061 2048 6019 12012
0.518 0.5069 0.5016 0.5005
试验者
蒲丰 Pearson
概率的统计定义
在一定条件下，进行n次重复试验，当n 充分大时，随机事件A出现的频率稳定在某一 数值P附近摆动。随着试验次数的增多，这种 摆动的幅度越小。我们则定义事件A的概率为 P（A）=P。
模型推导出的总体的次数分布 ➢ 基本随机变量分布： ➢ 抽样分布：样本统计量的分布
概率分布的分类结构图
分布
经验分布——频次分布
理论分布——概率分布
总体分布
抽样分布
离散分布——二项分布
连续分布——正态分布
第二节 正态分布
数学情景
从 某 中 学 男 生 中 随 机 抽 取 出 8 4 名 ， 测 量 身 高 ， 数 据 如 下 （ 单 位 ： cm ):
出正面次数 出正面频率
1
0.25
23
0.46
51
0.51
1061 2048 6019 12012
0.518 0.5069 0.5016 0.5005
试验者
蒲丰 Pearson
概率的统计定义
在一定条件下，进行n次重复试验，当n 充分大时，随机事件A出现的频率稳定在某一 数值P附近摆动。随着试验次数的增多，这种 摆动的幅度越小。我们则定义事件A的概率为 P（A）=P。
高中数学概率及概率分布教案
高中数学概率及概率分布教案
一、概率的基本概念
1. 概率的定义及性质
2. 事件与样本空间
3. 事件的互斥与独立
二、概率的计算方法
1. 古典概率
2. 频率概率
3. 几何概率
4. 条件概率
三、概率分布
1. 随机变量及其概率分布
2. 离散随机变量的分布
- 二项分布
- 泊松分布
- 几何分布
3. 连续随机变量的分布
- 正态分布
- 均匀分布
- 指数分布
四、概率在实际问题中的应用
1. 生活中的概率问题
2. 统计学中的概率应用
五、综合练习及实例分析
1. 案例分析
2. 任务练习
3. 试题讲解及解析
以上为高中数学概率及概率分布教案的基本内容，教师可根据学生的实际情况进行调整和修改，以更好地适应课堂教学的需要。
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三、正态分布
三、正态分布
①已知Z值求面积：
求z=0至某一z值之间的面积； 求两个z值之间的面积； 求某一z值以上或以下的面积；
②已知面积求z值：从附表中p值一列寻找与已
知面积最接近的值，然后在第一列寻找与之对应 的z值。
三、正态分布
（二)正态分布在测验记分方面的应用
1、将原始分数转化为标准分数
一、概率及概率分布的一般概念
离散型随机变 量的概率分布
连续型随机变 量的概率分布
二项 分布
泊松 分布
超几何 分布
均匀 分布
正态 分布
指数 分布
其他
一、概率及概率分布的一般概念
2）经验分布与理论分布
依分布函数的来源而划分。 经验分布：是指根据观察或实验所获得的数据而编制 的次数分布或相对频数分布。 理论分布：一是随机变量概率分布的函数——数学模 型，二是按某种数学模型计算出来的总体的次数分布。
P(A)=m/n
先验概率是在特定条件下直接计算出来的， 不是由频率估计出来的，当试验重复次数充分大 时，后验概率接近先验概率。
一、概率及概率分布的一般概念
3 概率的基本性质 1）概率的公理系统
任何随机事件A的概率都是在0与1之间的正数。 不可能事件的概率等于0，P(V)=0。 必然事件的概率等于1，P(U)=1。
二、二项分布
2）二项分布
二项分布（binomi distribution）是一种具有广泛用途 的离散型随机变量的概率分布，由贝努里创造，又叫贝努 里分布。 二项分布是指试验仅有两种不同性质结果的概率分布 ，即各个变量都可归为两个不同性质中的一个，两个观测 值是对立的，因而二项分布又可以说是两个对立事件的概 率分布。
三、正态分布
正态分布（normal distribution):也称常 态分布或者常态分配，是连续随机变量概 率分布的一种，学生成绩的好坏，能力的 高低，身高、体重等身体状态都属于正态 分布。 正态分布是由莫弗1733年发现的，拉普 拉斯，高斯对正态分布的研究也作出了贡 献，所以正态分布有时也称高斯分布。
一、概率及概率分布的一般概念
4 何谓概率分布？
概率分布（probability distribution）是指对随 机变量取值的概率分布情况用数学方法（函数） 进行描述。
一、概率及概率分布的一般概念
1）离散分布与连续分布
依随机变量是否具有连续性来划分的概率分布。 离散分布：当随机变量只取孤立的数值时，称为离散 随机变量，这种变量的概率分布称作离散分布。 连续分布：指连续随机变量的概率分布，即测量数据 的概率分布。
在比较学生几门学科的总成绩时，可将各科原始分数转化成标准分数 ，求其总和，再比较其总分大小。 标准分数的优点：各科标准分数的单位是绝对等价的；标准分数的数 值大小和正负，可以反映某一考分在团体中所处的位置。
2、确定录取分数线
在选拔性考试中，若考分呈正态分布，可将录取人数比率作为正态分 布中分线右侧的面积，由此找出相应标准分数，已知Z值求原始分数X.
一、概率及概率分布的一般概念
3）基本随机变量分布与抽样分布
这是依概率分布所描述的数据特征而划分的概率分 布类型。 基本随机变量分布：二项分布、正态分布 抽样分布：样本统计量的理论分布，样本统计量有 平均数、方差、标准差、相关系数、回归系数等。
二、二项分布
1 二项试验与二项分布
1）二项试验（贝努里试验） 必须满足以下几个条件： 任何一次实验恰好有两个结果（如由判断题组成的测验）； 共有n次试验，并且n是预先给定的任一正整数； 每次试验各自独立，各次试验之间无相互影响； 某种结果出现的概率在任何一次试验中都是固定的。 （注意：第3、4点有时较难保证，必要时可假设相等。） 例如：某射击手的命中率为0.70，由于身心状态变化，并不 能保证每次都是0.70，但为了计算假设相等。
（6）在正态分布曲线下，标准差与概率有一定的数 量关系。
三、正态分布
3 正态曲线的面积
（1）正态曲线与基线之间某一区间的面积，相当 于能在该区间找到个体的概率。 （2）标准正态曲线下面积的求法： 先将原始变量X值转化成标准分数（Z），因此 标准正态分布也成Z分布。
X
X 为原始数据，X 为平均数，S 为标准差
三、正态分布
（一）正态分布特征 1 正态分布曲线函数（密度函数）
描述正态分布曲线的一般方程为：
Y
N
X
2
2
2
e
2
三、正态分布
Y 表示变量X的高度或纵坐 标 X表示连续变量的任何一点 μ表示平均数 N表示总频数 σ表示此分布的标准差 π表示常数，约为3.14159 e表示常数，即自然对数之 底，约为2.71828
二、二项分布
3）二项各次试验都是彼此独立的，每次试验 某事件出现的概率都是p，某事件不出现的概率都是q(1-p), 则对于某事件出现X次（0，1，2，…，n）的概率分布为：
b x n p C p q
x n x
n x
二、二项分布
2 二项分布图
P(A)≈m/n
当观测次数n无限增大时，计算出的概率估计 值越趋近真实的概率值。这种概率是由事件A出 现的次数决定，因此称为后验概率。
一、概率及概率分布的一般概念
3）概率的古典定义（先验概率）
如果某一随机试验的结果有限，而且各个结 果在每次试验中出现的可能性相同，若所有可能 结果的总数为n，随机事件A包括m个可能结果， 则事件A的概率为：
第五章 概率及概率分布
一、概率及概率分布的一般概念
1 引言：什么是概率？
在掷硬币、抛骰子、抽扑克牌的游戏，以及 许多日常生活问题中存在着许多随机现象，又称 随机事件，或简称事件。 随机是指在一定条件下可能出现也可能不出 现，比如硬币掷起落下后，可能出现牡丹花，也 可能出现国徽图案。 表明随机事件出现可能性的客观指标就是概 率（probability）。
一、概率及概率分布的一般概念
例如：对学生进行考核，该生得优的概率为.10， 得良的概率为0.50，根据加法定理，该生考核成 绩为“优”或“良”的概率为： P(A+B)=P(A)+P(B) = 0.10+0.50 =0.60
一、概率及概率分布的一般概念
3）概率的乘法定理
两个独立事件同时出现的概率等于该两事件 概率的乘积。所谓独立事件指的是一个事件的出 现对另一个事件的出现不发生影响。 P(A· =P(A)P(B) B) 有限个独立事件积的概率，等于这些事件概 率的乘积。 P(A1·A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An)
三、正态分布
（二)正态分布在测验记分方面的应用 3、确定等级评定的人数（见教材P79） 4、品质评定数量化
等级数量化分数是将两位老师所评定的各等级人数百分 比分别作为正态曲线下的面积，再以平分每块面积中的Z 值，作为各等级数量化的分数。
练习
• 课内完成本章练习题。
感谢各位的参与！
一、概率及概率分布的一般概念
2 概率的定义 1）频率（相对频数）
随机事件A在n次试验中出现m次，m与n的 比值，就是随机事件A出现的频率，用公式表示 为：W(A)=m/n
一、概率及概率分布的一般概念
2）概率的统计定义（后验概率）
随着试验次数n的无限增大，随机事件A的频 率稳定于一个常数P，这一常数P就是随机事件A 出现概率的近似值，可以表示为：
二、二项分布
4 二项分布的应用
除了用来求成功事件恰好出现X次的概率之外，在教育中 主要用来判断试验结果的真实性与机遇性的界限。
例：有10道正误题，问答题者答对几题才能认为他是真会，或者说答对 几题，才能认为不是出于猜测因素？ 解：已知猜对与猜错的概率p=q=0.5，np=5，此二项分布接近正态分布， 故： μ=np=10 ×0.5=5 σ² =npq=10 ×0.5 ×0.5=2.5，σ=1.58 根据正态分布规律，当Z=1.645时，该点一下包含了全体的95%，原 始分数为μ+1.645Xσ=5+1.645 ×1.58=7.6=8。即完全凭猜测，10道题 中答对8道以下的可能性为95%。
三、正态分布
2 正态曲线的特点
1）曲线在Z=0（X=M d=Mo)处为最高点。 2）曲线以Z=0处为中心，双侧对称，无论Z是正是负， 平方后，Y值相等。 3）曲线从最高点向左右缓慢下降，并无限延伸，但 永不与基线相交。 4）标准正态分布上的平均数为0，标准差为1。
三、正态分布
（5）曲线从最高点向左右延伸时，在正负一个标准 差之内，既向下又向内弯。
从二项分布图可以看出： 当p=q,不管n多大，二项分 布呈对称形。 当n很大时，二项分布接 近于正态分布。 当n趋近与无限大时，正 态分布是二项分布的 极限。
二、二项分布
3 二项分布的平均数和标准差
当二项分布接近正态分布时，在n次二项试验中 成功事件出现次数的平均数为：
μ=np
方差为：
σ² =npq
一、概率及概率分布的一般概念
2）概率的加法定理
两个互不相容事件（互斥事件）A、B之和 的概率，等于两个事件概率之和。所谓不相容事 件是指在一次试验或调查中，若事件A发生，事 件B就一定不发生。
P（A+B)=P(A)+P(B)
有限个互不相容事件和的概率，等于这些事 件的概率之和。
P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)