统计学 第五章 概率与概率分布
统计学课件第5-7章概率分布、抽样分布及参数估计剖析.
概率分布、抽样分布及参数估计
Probability Distributions & Sampling Distributions
& Parameter Estimation
Wednesday, January 16, 2019
Statistical Research Office
1
本部分主要研究的问题有：
● 遵循随机性原则 --- 体现在在每一层抽选中；
● 每一层内应包含足够多的个体；
● 在同等条件下，抽样误差要小于简单随机抽 样和系统抽样的抽样误差。
Wednesday, January 16, 2019 Statistical Research Office 12
Wednesday, January 16, 2019
Statistical Research Office
7
●
常用的随机抽样组织方式
► 简单随机抽样（Simple random sampling)
►分层随机抽样（Stratified sampling)
►系统随机抽样（Systematic sampling)
►整群随机抽样 (Cluster sampling) 常用的随机抽样方法： ►重复抽样 (Sampling with replacement) ►不重复抽样（Sampling without replacement)
8
Wednesday, January 16, 2019
Statistical Research Office
★ 简单随机抽样 -定义：从总体中，按照随机的原则，使得总体 中每个个体都有同等被选中的机会，而先后抽 出的n个个体作为一个容量为n的样本。
统计学 第五章习题 正确答案
第五章 概论与概率分布重点知识1．样本、样本空间、随机事件的定义；2．事件的运算：交、并、对立事件、互斥事件；3．概论的定义：古典定义、统计定义、经验定义；4．概率的计算：加法公式，乘法公式，条件概率，事件的独立性，全概率公式，贝叶斯公式； 5．随机变量的定义，有几种类型；6．离散型随机变量及其分布的定义与性质，数学期望与方差：重点了解二项分布及其简单性质； 7．连续型随机变量及其分布的定义与性质，数学期望与方差：重点了解正态分布及其简单性质，会根据标准正态分布计算任何正态分布随机变量的概率；复习题一、填空1．用古典法求算概率．在应用上有两个缺点：①它只适用于有限样本点的情况；②它假设 。
2．若事件A 和事件B 不能同时发生，则称A 和B 是 事件。
3．在一副扑克牌中单独抽取一次，抽到一张红桃或爱司的概率是 ；在一副扑克牌中单独抽取一次，抽到一张红桃且爱司的概率是 。
4.甲、乙各射击一次，设事件A 表示甲击中目标，事件B 表示乙击中目标，则甲、乙两人中恰好有一人不击中目标可用事件 表示.5.已知甲、乙两个盒子里各装有2个新球与4个旧球，先从甲盒中任取1个球放入乙盒，再从乙盒中任取1个球，设事件A 表示从甲盒中取出新球放入乙盒，事件B 表示从乙盒中取出新球，则条件概率P(B A )=＿＿．6.设A,B 为两个事件，若概率P (A )=41,P(B)=32,P(AB)=61,则概率P(A+B)=＿＿．7.设A,B 为两个事件，且已知概率P(A)=0.4,P(B)=0.3，若事件A,B 互斥，则概率P(A+B)=＿＿． 8.设A,B 为两个事件，且已知概率P(A)=0.8，P(B)=0.4，若事件A ⊃B ，则条件概率P(B A )=＿＿． 9.设A,B 为两个事件，若概率P(B)=103,P(B A )=61,P(A+B)=54,则概率P(A)=＿＿．10.设A,B 为两个事件，且已知概率P(A )=0.7，P(B)=0.6,若事件A,B 相互独立，则概率P(AB)=＿＿． 11.设A,B 为两个事件，且已知概率P(A)=0.4，P(B)=0.3,若事件A,B 相互独立，则概率P(A+B)=＿＿． 12.设A,B 为两个事件，若概率P(B)=0.84，P(A B)=0.21，则概率P(AB)=＿＿． 13.设离散型随机变量X 的概率分布如下表ccccPX 4322101-则常数c =＿＿．14.已知离散型随机变量X 的概率分布如下表４１４１21P321X则概率P ｛3<X ｝=＿＿．15.已知离散型随机变量X 的概率分布如下表6632P213-X１１则数学期望)(X E =＿＿．16.设离散型随机变量X 服从参数为p 的两点分布，若离散型随机变量X 取1的概率p 为它取0的概率q 的3倍，则方差)(X D =＿＿.17.设连续型随机变量的概率X 密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他,0210,1)(2x x k x ϕ 则常数k =＿＿．18.设连续型随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤=其他,00,24)(2rx x x ϕ 则常数r =＿＿．19.已知连续型随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≥=-其他,00,2)(2x xex xϕ 则概率}11{<<-X P =＿＿．20.已知连续型随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其他,021,2)(2x x x ϕ 则数学期望)(X E =_____．21.设X 为随机变量，若数学期望1)12(=-X E ，则数学期望)(X E =＿＿．22.设X 为随机变量，若方差3)63(=-X D ，则方差)(X D =＿＿．二、单项选择1.设A,B 为两个事件，若事件A ⊃B ，则下列结论中( )恒成立.(a)事件A,B 互斥 （b)事件A,B 互斥 (c)事件A ,B 互斥 (d)事件A ,B 互斥 2.设A,B 为两个事件，则事件B A +=( ).(a)A +B (b)A-B (c)A B （d)AB3.投掷两颗均匀骰子，则出现点数之和等于6的概率为( ).(a)111 (b)115 (c)361 (d)3654.盒子里装有10个木质球与6个玻璃球，木质球中有3个红球、7个黄球，玻璃球中有2个红球、4个黄球，从盒子里任取1个球．设事件A 表示取到玻璃球，事件B 表示取到红球，则条件概率P(A B )=( )．(a)114 (b)74 (c)83 (d)535.设A,B 为两个事件，若概率P(A)=31,P(A B ）=32,P(A B )=53,则概率P(B)=＿＿．(a)51 (b)52 (c)53 (d)546.设A,B 为两个事件，且已知概率P(A)>O ，P(B)＞0，若事件A ⊃B,下列等式中( )恒成立．(a)P(A+B)=P(A)+P(B) (b)P(A-B)=P(A)-P(B)(c)P(AB)=P(A)P(B) (d)P(B A )=17.设A,B 为两个事件，则概率P(A+B)=( ).(a)P(A)+P(B) (b)P(A)+P(B)-P(A)P(B)(c)1-P （B A ) (d)1-P( A )P(B ) 8.设A,B 为两个事件，若概率P(A)=31,P(B)=41,P(AB)=121，则( ).(a)事件A 包含B (b)事件A ，B 互斥但不对立 (c)事件A ，B 对立 (d)事件A ，B 相互独立 9.设A,B 为两个事件，且已知概率P(A)=53,P(A+B)=107,若事件A,B 相互独立，则概率P(B)=( ).(a)161 （b)101 (c)41 (d)5210.设A,B 为两个事件，且已知概率P(A)>O ，P(B)>O ，若事件A,B 相互独立，则下列等式中( )恒成立．(a)P(A+B)=P(A)+P(B) (b)P(A+B)=P(A) (c)P(A-B)=P(A)-P(B) (d)P(A-B)=P(A)P(B )11.中（ ）可以作为离散型随机变量X 的概率分布．(a)6321-P321X１１ (b)653-21P321X１(c)6321P321X １１ (d)65321P321X １12.已知离散型随机变量X 的概率分布如下表52511015110142101PX-则下列概率计算结果中（ ）正确．(a)0}3{==X P (b)0}0{==X P . (c)1}1{=->X P (d)1}4{=<X P13.设离散型随机变量X 的所有可能取值为-1与l ，且已知离散型随机变良X 取-1的概率为)10(<<p p ，取1的概率为q ，则数学期望=)(2X E ( ).(a)O (b)l (c)p q - (d)2)(p q - 14.设连续型随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≥+=其他,00,1)(2x x kx ϕ 则常数k =( ).(a)π1(b)π (c)π2(d)2π15.下列函数中（ ）不能作为连续型随机变量X 的概率密度．(a)⎩⎨⎧≤≤-=其他,001,3)(2x x x f (b)⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其他,021,2)(x x x g(c)⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其他,020,cos )(πx x x h (d)⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其他,02,sin )(ππx x x h 16.设X 为连续型随机变量,若b a ,皆为常数，则下列等式中（ ）非恒成立．(a)}{}{a X P a X P ==≥ (b)}{}{b X P b X P <=≤ (c)1}{=≠a X P (d)0}{==b X P 17.已知连续型随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他,040,81)(x x x ϕ 则数学期望)(X E =( ).(a)21 (b)2 (c)83 (d)3818.设X 为随机变量，若数学期望)(X E 存在，则数学期望))((X E E =（ ）.(a)O (b))(X E (c))(2X E (d)2))((X E 19.设X 为随机变量，若方差)(X D =4，则方差)43(+X D =（ ）.(a)12 (b)16 (c)36 (d)4020.设X ,Y 为随机变量，已知随机变量X 的标准差等于4，随机变量Y 的标准差等于3，若随机变量X ,Y 相互独立，则随机变量X -Y 的标准差等于（ ）.(a)1 (b)7 (c)5 (d)7四、名词解释1、 数学期望：2、 对立事件：3、 随机事件：4、 事件和：5、 事件积：6、 互斥事件：7、 互相独立事件：五、判断题1．对于连续型随机变量，讨论某一点取值的概率是没有意义的。
第五章概率与概率分布
P( A)
事件A发生的次数m 重复试验次数n
m n
英语字母出现频率
space 0.2 ; I 0.055 ; C 0.023 ; G 0.011 ; Q 0.001 ; E R U B Z 0.105 ; T 0.072 ; 0.054 ; S 0.052 ; 0.0225 ; M 0.021 ; 0.0105 ; V 0.008 ; 0.001 O H P K 0.0654 ; 0.047 ; 0.0175 ; 0.003 ; A D Y X 0.063 ; 0.035 ; 0.012 ; 0.002 ; N 0.059 L 0.029 W 0.012 J 0.001
一、概率(Probability)的定义
概率：0-1之间的数，衡量事件A发生可能 性（机会）的数值度量。记P（A） •Probability: A value between 0 and 1, inclusive, describing the relative possibility (chance or likelihood) an event will occur.
P ( A) A包 含 的 可 能 结 果 (偶 数 ) 全部可能结果 3 6
实际与理论分析不符时，实际中可能作弊。
如：河北银行人员为买奖券，盗2000万并没中大奖。
西安彩票中心人员中奖率极高,结果是作弊。
例：已知有148名学生统计表
专业
性别
男 女
金融学院 工商学院 经济学院 会计学院 15 15 22 14 30 12 25 15
摘自：概率论与数理统计简明教程1988》李贤平 卞国瑞 立鹏，高等教育出版社
吴
大量统计的结果,用于破解密码
美国正常人血型分布
教育统计学第五章
第三节
正态分布
正态分布又叫做常态分布，是一种连续型随机变 量的概率分布。正态分布形态上很像古代的大钟，中 间大两头小，左右最称，所以有人把它叫钟形分布。 △与二项分布比较：①同：正态分布也是一个理 论分布，有函数式。②异：正态分布是连续分布，而 二项分布是离散形的。其函数式也不同。 P=Q,N 无限
25
二、二项分布函数 是一种离散型随机变量的概率分布；基本上属 于理论分布。 定义：用n次方的二项展开式来表达在n次二项
试验中成功事件出现不同次数（X=0，1，…，n）
的概率分布叫做二项分布。
P( X ) ( p q)
n
26
N次试验中有x次成功，成功的概率为p。则
二项分布的概率函数可写作
9
又如：某班有45人，其中男生25人，女生20人， 现随机抽一个学生，问抽到女生的概率是多少？
解：
P ( A)
m n
20 0.44 45
答：抽到女生的概率0.44。
10
二、概率的性质 1、任何随机事件A的概率都是介于0与1之间的 正数；
2、不可能事件的概率等于0；
3、必然事件的概率等于1。
概率分布定义：对随机变量各个取值的概率用图 表或函数式进行的描述。
常用分类有以下三种
（1）按照随机变量的性质来分：离散分布和连 续分布 （2）按照概率分布的制作方法来分：经验分布 和理论分布
（3）按照考查的变量来分：基本随机变量分布 和抽样分布。
24
第二节
二项分布
一、二项试验 凡是满足以下条件的试验称为二项试验： （1）一次试验只有两种可能结果，即成功和失 败。 （2）各次试验相互独立，可反复进行。 （3）各次试验中成功的概率相等。
教育统计学 第五章
1 P e 2
( x )2 2 2
正态分布
0.13%
2.14%
13.59%
34.13% - 1
34.13%
13.59%
2.14% 3 3
0.13%
-3பைடு நூலகம்
- 2
1
2
0.13%
2.14%
13.59% 34.13% 34.13% 13.59% 2.14% 0.13 %
-
3
独立性 乘法公式 P(AB)=P(A)P(B)
独立试验概型（非等概）
在此概型中，基本事件的概率可以直接计 如果掷的分币非均匀，出现 算出来；单它与古典概型不同，这些基本 “上”的概率为2/3，出现 事件不一定是等概的。 “下”的概率为1/3，则 例5.10 P(“恰有两次正面朝上”)=？
掷一均匀分币，独立重复五次，求其中恰有两次 正面朝上的概率？ n=25=32个（基本事件） “恰有两次正面朝上”=10个（基本事件）
-
2
-
1
1
2
3
0.13%
2.14%
13.59%
34.13% - 1
34.13%
-3
- 2
13.59%
2.14%
0.13%
1
2
3
标准正态分布
0.13% -3
2.14% -2
13.59% -1
34.13% 0
34.13% 1
13.59% 2
2.14% 3 3
0.13%
丁
例5.1
盒子中装有五个球（三个白球、二各黑球）从中 任取一个，问：取到白球的概率是多少？
P(取到白球）=3/5 例5.2
贾俊平《统计学》(第6版)章节题库-第五章至第七章【圣才出品】
第5章概率与概率分布一、单项选择题1．一项试验中所有可能结果的集合称为（）。
A．事件B．简单事件C．样本空间D．基本事件【答案】C【解析】在同一组条件下，对某事物或现象所进行的观察或实验称作试验，观察或试验的结果称作事件。
如果一个事件不能分解成两个或更多个事件，则这个事件称为基本事件或者简单事件。
一个试验中所有的简单事件的全体称为样本空间或基本空间。
2．每次试验可能出现也可能不出现的事件称为（）。
A．必然事件B．样本空间C．随机事件D．不可能事件【答案】C【解析】随机事件是指在同一组条件下，每次试验可能出现也可能不出现的事件，也叫偶然事件。
必然事件是指在同一组条件下，每次试验一定出现的事件。
不可能事件是指在同一组条件下，每次试验一定不出现的事件。
3．抛3枚硬币，用0表示反面，l 表示正面，其样本空间为Ω=（）。
A．{000，001，010，100，011，101，110，111}B．{l，2，3}C．{0，1}D．{01，10}【答案】A【解析】样本空间为一个试验中所有的简单事件的全体。
抛3枚硬币，每抛一次都是由0和1组成的一个三位数的组合，所有的组合构成了样本空间，即{000，001，010，100，011，101，110，111}。
4．随机抽取一只灯泡，观察其使用寿命t ，其样本空间为Ω=（）。
A．{0t =}B．{0t <}C．{0t >}D．{0t ≥}【答案】D【解析】一个试验中所有的简单事件的全体称为样本空间或基本空间。
灯泡的使用寿命样本空间为Ω={0t ≥}。
5．观察一批产品的合格率p ，其样本空间为Ω=（）。
A．{01p <<}B．{01p ≤≤}C．{1p ≤}D．{0p ≥}【答案】B【解析】一个试验中所有的简单事件的全体称为样本空间或基本空间。
产品的合格率样本空间为Ω={01p ≤≤}。
6．抛掷一枚硬币，观察其出现的是正面还是反面，并将事件A 定义为：事件A=出现正面，这一事件的概率记作P(A)。
概率与概率分布
概率与概率分布概率是数学中的一个重要概念，它描述了事件发生的可能性。
在现实生活和各个学科领域中，概率都有着广泛的应用。
而概率分布则是概率理论的基础，用于描述不同事件发生的概率分布情况。
本文将介绍概率的定义，概率的性质以及概率分布的类型和应用。
一、概率的定义与性质1.1 概率的定义概率是指某个事件在特定条件下发生的可能性。
它通常用一个介于0和1之间的数值来表示，其中0代表不可能发生的事件，而1代表必然发生的事件。
概率的计算方法可以通过实验观察、理论推导或者数据统计等方式得到。
1.2 概率的性质概率具有以下几个重要的性质：1) 非负性：概率的值始终是非负的，即概率不会为负数。
2) 正则性：所有可能事件的概率之和等于1，即P(Ω) = 1，其中Ω代表样本空间。
3) 可列可加性：对于任意一组互不相容的事件Ai（i = 1,2,...,n），它们的概率之和等于各个事件概率的和，即P(A1∪A2∪...∪An) =P(A1)+ P(A2)+ ...+ P(An)。
二、概率分布的概念与类型2.1 概率分布的概念概率分布是用于描述随机变量可能取值的概率情况的函数或表格。
随机变量是实验结果的函数，它的取值是根据概率分布来确定的。
2.2 常见的概率分布类型2.2.1 离散概率分布离散概率分布是指随机变量的取值只能是离散的、有限或可数个的情况。
常见的离散概率分布有：1) 伯努利分布：描述了只有两个可能结果的随机试验，如抛硬币的结果。
2) 二项分布：用于描述重复n次、每次试验只有两个可能结果的情况。
3) 泊松分布：适用于描述单位时间或单位面积内随机事件发生次数的概率分布。
2.2.2 连续概率分布连续概率分布是指随机变量的取值可以是连续的、无限多个的情况。
常见的连续概率分布有：1) 均匀分布：描述在一个区间内每个取值出现的可能性相等的概率分布。
2) 正态分布：也称为高斯分布，是最常见的连续概率分布之一，广泛应用于各个领域。
概率论与数理统计 第五章
贝努里定理. 它的叙述如下:设是n次重复独立 对于任意给定的ε>0,有
lim P{| nA p | } 1
n
n
lim P{| nA p | } 1
n
n
其中nA/n是频率,p是概率,即次数多
时事件发生的频率收敛于概率.表示频率的稳定性.
定理3
lim P{|
n
1 n
n i 1
Xi
| } 1
数理统计的方法属于归纳法,由大量的资料作依据,而不
是从根据某种事实进行假设,按一定的逻辑推理得到的.例
如统计学家通过大量观察资料得出吸烟和肺癌有关,吸烟
者得肺癌的人比不吸烟的多好几倍.因此得到这个结论.
数理统计的应用范围很广泛.在政府部门要求有关的资
料给政府制定政策提供参考.由局部推断整体,学生的假期
第五章 大 数 定 律 与 中 心 极 限 定 律
§ 5.1大 数 定 律
定理1(切比雪夫定理) 设X1,X2,...,Xn,...是相互独立的随机变
量序列若存在常数C,使得D(Xi)≤C. (i=1,2,...n),则对任意给
定的ε>0,有
lim P{|
n
1 n
n i 1
[Xi
E( X i )] |
7200 6800 2
200 1
D 2
1
2100 2002
0.95
可见虽有10000盏灯,只要电力供应7200盏灯即有相当大的保 证率切贝谢夫不等式对这类问题的计算有较大价值,但它的精度 不高.为此我们研究下面的内容.
2021/9/5
10
§ 5.2 中 心 极 限 定 理
在随机变量的一切可能性的分布律中，正态分布占有特殊的
贾俊平《统计学》(第5版)章节题库-第5章 概率与概率分布【圣才出品】
客购买其他商品。则某顾客来超市购买食品的条件下，也购买其他商品的概率为（ ）。
A．0.80
B．0.60
C．0.4375
D．0.35
【答案】C
【解析】由于 A =顾客购买食品， B =顾客购买其他商品。则有 P A 80% ，
P B=
60%
,
P AB 35% 。则 P B
A
P AB P A
0.35 0.8
A．抛掷多次硬币，恰好有一半结果正面朝上 B．抛掷两次硬币，恰好有一次结果正面朝上 C．抛掷多次硬币，出现正面的次数接近一半 D．抛掷一次硬币，出现的恰好是正面 【答案】C
【解析】概率的统计定义：在相同条件下随机试验 n 次，事件 A 出现 m 次 m n ，
则比值 m n 称为事件 A 发生的频率。随着 n 的增大，该频率围绕某一常数上下波动，趋于
者对工作不满意，或者二者皆有的概率为 P AB P AB P AB P A
P B P AB 0.4 0.3 0.15 0.55 。
10．一家超市所作的一项调查表明，有 80％的顾客到超市是来购买食品，60％的人
是来购买其他商品，35％的人既购买食品也购买其他商品。设 A =顾客购买食品， B =顾
4．随机抽取一只灯泡，观察其使用寿命 t ，其样本空间为 Ω=（ ）。 A．{ t 0 } B．{ t 0 } C．{ t 0 } D．{ t 0 }
【答案】D 【解析】一个试验中所有的简单事件的全体称为样本空间或基本空间。灯泡的使用寿
命样本空间为 Ω={ t 0 }。
5．观察一批产品的合格率 p ，其样本空间为 Ω=（ ）。 A．{ 0 p 1 }
稳定，这个频率的稳定值即为该事件的概率，记为 P(A)。故概率 P(A)=1／2 的含义是抛 掷多次硬币，出现正面的次数接近一半。
高中数学统计学 PPT课件 图文
• 对于负的 x ，可由 (-x)1 x得到
• 对于标准正态分布，即X~N(0,1)，有
• P (a X b) b a • P (|X| a) 2 a 1
• 对于一般正态分布，即X~N( , )，有
• 方差为 D ( X ) ＝ npq
【例】某农庄饲养100只家禽,其中有5只鹅，现 从中任取一只，有放回地抽样3次。求在所抽取 的3只家禽中恰好有2只鹅的概率
解：设 X 为所抽取的3只家禽中鹅的数目，则 X~B ( 3 , 0.05)，根据二项分布公式有
P X 2 C 3 2 (0 .0)2 5 (0 .9)3 5 2 0 .0071
x!
— 给定的时间间隔、长度、面积、 体积内事件出现的平均数
e = 2.71828 x —给定的时间间隔、长度、面积、体
积内事件出现的次数
泊松概率分布的期望和方差
• 泊松分布的数学期望为 E(X)=
• 方差为 D(X)=
泊松分布
——实例3.2.6
【例】假定某人饲养了一群鸡，母鸡在周一产蛋的 个数X服从泊松分布，假设周一产蛋的平均数为2.5 个。试求
• f(x)不是概率
请多加注意啊！
概率密度函数
密度函数 f(x)表示X 的所有取值 x 及其频数f(x)
频数
f(x)
(值, 频数)
x
a
b
值
概率密度函数
在平面直角坐标系中画出f(x)的图形，则对于任何实数
x1 < x2，P(x1< X x2)是该曲线下从x1 到 x2的面积
概率是曲线下的面积， 哈哈！
方差为：D(X) 6 xi E(X)2pi i1
概率分布及概率分布图
概率密度函数图
总结词
概率密度函数图是一种展示连续概率分布的图形，通过曲线的高低表示概率密度的大小。
详细描述
概率密度函数图是连续概率分布的图形表示，它通过曲线的高低表示概率密度的大小。在概率密度函数图中，曲 线下方的面积表示事件发生的概率。这种图形可以帮助我们了解连续随机变量的分布情况，并用于估计和预测未 来的事件。
02 离散概率分布
二项分布
01
02
03
定义
二项分布是描述在n次独 立重复的伯努利试验中成 功的次数的概率分布。
公式
$B(n, p) = C(n, k) p^k (1-p)^{n-k}$，其中C(n, k)是组合数，表示从n个 不同项中选取k个的方法 数。
应用场景
例如，抛硬币的结果（正 面或反面），或者给定数 量的独立事件中成功事件 的次数。
泊松分布
定义
泊松分布是描述在单位时间内（或单 位面积内）随机事件的次数，当这些 事件以小概率发生，并且这些事件之 间是独立的。
公式
应用场景
例如，放射性衰变或者网络中同时发 生的请求数。
$P(X=k) = frac{e^{lambda}lambda^k}{k!}$，其中 $lambda$是事件的平均发生率。
05 概率分布及概率分布图的 应用实例
在统计学中的应用
1 2 3
描述性统计
概率分布图可以用来描述数据的分布情况，如频 数分布图、直方图等，帮助我们了解数据的集中 趋势、离散程度等。
假设检验
在假设检验中，概率分布图可以用来表示样本数 据和理论分布之间的比较，帮助我们判断样本数 据是否符合预期的分布。
概率分布的种类
离散概率分布
描述离散随机变量的取值概率，如二项分布、泊 松分布等。
概率分布与频率分布的计算
概率分布与频率分布的计算在统计学中，概率分布和频率分布是两个重要的概念，用于描述数据的分布情况。
本文将从概率分布和频率分布的定义、计算方法及应用等方面进行论述。
一、概率分布的计算概率分布是指一组数据中各个取值的概率情况。
通常使用概率密度函数或概率质量函数来计算概率分布。
下面将分别介绍两种计算方法。
1. 概率密度函数（Probability Density Function，简称PDF）概率密度函数是一种用来描述连续型随机变量概率分布的函数。
对于具体的连续型随机变量，可以通过概率密度函数计算出在某个取值范围内的概率。
以正态分布为例，其概率密度函数为：\(f(x) = \frac{1}{{\sqrt{2\pi}\sigma}}e^{-(x-\mu)^2/{2\sigma^2}}\)其中，\(x\)为取值，\(\mu\)为均值，\(\sigma\)为标准差。
通过该概率密度函数，我们可以计算出在某个取值范围内的概率。
2. 概率质量函数（Probability Mass Function，简称PMF）概率质量函数是一种用来描述离散型随机变量概率分布的函数。
对于离散型随机变量，可以通过概率质量函数计算出每个取值对应的概率。
以二项分布为例，其概率质量函数为：\(P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}\)其中，\(X\)为取值，\(n\)为试验次数，\(k\)为成功次数，\(p\)为成功的概率。
通过该概率质量函数，我们可以计算出每个取值对应的概率。
二、频率分布的计算频率分布是指一组数据中各个取值的频率情况。
通常使用频率表或频率直方图来计算频率分布。
下面将分别介绍两种计算方法。
1. 频率表频率表是一种用来汇总和展示数据中各个取值的频率情况的表格。
它包括了各个取值以及它们在数据中出现的频率。
举例来说，对于一组考试成绩数据，可以使用频率表来展示每个成绩段的学生人数。
2. 频率直方图频率直方图是一种用来可视化展示数据中各个取值的频率情况的图表。
第5章 常用概率分布2
正态分布的参数
1
2
3
图9 标准差相同、均数不同的正态分布曲线
正态分布的参数
σ1 σ2 σ3 σ1<σ2<σ3
图10 均数相同、标准差不同的正态分布曲线
正态分布
二、正态概率密度曲线下的面积规律
正态曲线下面积总和为1；
正态曲线关于均数对称；对称的区域内面积相等； 对任意正态曲线，按标准差为单位，对应的面积相 等；
计算z值：
z1 x1
( 1.96 )
1.96
z2
x2
( 1.96 )
1.96
0.025 1.96
查附表1：确定概率 结论：95％
0.025 -1.96
正态分布
例 已知X服从均数为 、标准差 为的正态分布， 1 .96 试估计：(1)X取值在区间 上的概率； (2)X 取值在区间 上的概率。 2.58
记为N(0,1)。 标准正态分布是一条曲线。
标准正态分布曲线下的面积
μ±1范围内的面积为68.27% μ±1.96范围内的面积为95%
μ±2.58范围内的面积占99%
图12 正态曲线下的面积分布示意
标准正态分布曲线下的面积的计算
求z值，用z值查表，得到所求区间面积占总面
积的比例。 曲线下对称于0的区间，面积相等。 曲线下总面积为100％或1。
计算z值：
Z 130 123 .02 1.46 4.79
查附表1：确定概率
0.0721 0.0721 1.46
结论：7.21％
-1.46
教育统计学第5讲 概率与概率分布
（二）确定能力分组或等级评定的人数
例： 若有100人某种能力呈正态分布，欲将其分成5 个等距的等级，问各等级应有的人数。
例10 若有100人某种能力呈正态分布，欲将其 分成5个等距的等级，问各等级应有的人数。
解:
6σ÷5=1.2σ，每个等级应占1.2个标准差的距离，确定各等
级的Z值界限，然后查表，计算下表:
第三节 二项分布
一、二项试验与二项分布
二项试验: 在同一条件下，将一种试验重复进行n次，如果： ①在每次试验中，所有可能出现的事件只有两个，即A与 A ， 记 P A p, P A ，且 q p与q在各次试验中保持不变；②各 次试验相互独立。
（一）确定录取分数线
某县对初一年级1000名学生进行能力测验，结果μ＝75 ，σ＝10，现拟根据此结果选取25名学生作为“尖子班 ”重点培养，假定测验成绩 近似正态分布，问多少分以 上才能被选到“尖子班”学习？
（二）确定能力分组或等级评定的人数
如果学生知识能力的水平呈正态分布，欲将他们分成等距 的几个等级或几个组，在确定各等级人数时，可把正态分布中 Z=-3至Z=3之间6个标准差的距离分成相等的几份(因为正态分 布在X=±3之间的面积为0.9973，几乎包括了全体)，即将6个 标准差除以分组或等级的数目，作到Z分数等距，然后查正态 分布表求出各组Z分数之间的面积，将各组的概率乘以总人数， 则可得到各等级或分组应有的人数。
教育统计学 05讲 概率与概率分布
引言
描述统计（统计图表，集中量数，离异量数，相关） 推论统计：从具体的研究资料出发推论一般的方法。从 样本出发来推断总体分布的过程就叫统计推断。如：
根据某学生几次考试情况，推论他真实学习成绩如何 ；
概率论与数理统计--第五章 统计量及其分布
5.2.2 频数--频率分布表
样本数据的整理是统计研究的基础，整理数据的最常用方法之一是给出其频数分布表或频率分布表。
例5.2.2 为研究某厂工人生产某种产品的能力， 我们随机调查了20位工人某天生产的该种产品 的数量，数据如下
(1) 对样本进行分组：作为一般性的原则，组数通 常在5~20个，对容量较小的样本;
这是一个容量为10的样本的观测值，(体会抽样作用) 对应的总体为该厂生产的瓶装啤酒的净含量。
这样的样本称为完全样本。
例5.1.4 考察某厂生产的某种电子元件的 寿命，选了100只进行寿命试验，得到 如下数据：
表5.1.2 100只元件的寿命数据
表5.1.2中的样本观测值没有具体的数值， 只有一个范围，这样的样本称为分组样本。
设总体X具有分布函数F(x), x1, x2, …, xn 为取自该总体的容量为n的样本，则样本联合分布函数为
用简单随机抽样方法得到的样本称为 简单随机样本，也简称样本。
于是，样本 x1, x2, …, xn 可以看成是 独立同分布( iid ) 的随机变量， 其共同分布即为总体分布。
5.2.1 经验分布函数
(2) 确定每组组距：近似公式为 组距d = (最大观测值 最小观测值)/组数;
(3) 确定每组组限： 各组区间端点为 a0, a1=a0+d, a2=a0+2d, …, ak=a0+kd, 形成如下的分组区间 (a0 , a1] , (a1, a2], …, (ak-1 , ak]
社会统计学5
四、t分布
• 在概率论和统计学中t分布用于根据小样本来估计呈正态 分布且方差未知的总体的均值。如果总体方差已知 （例 如在样本数量足够多时），则应该用正态分布来估计总 体均值。
• t分布也称为学生t分布。其推导是由威廉·戈塞于1908年 首先发表的，当时他在都柏林的健力士酿酒厂工作，因 此不能以他本人的名义发表，所以论文使用了学生 student这一笔名。之后罗纳德·费雪将t检验在理论及经 验层面做 了进一步的深入研究，他将此分布称为学生分 布。t分布的特征如下：
正态分布的两个参数对曲线形状的影响，如图5-6所示。
• （１）在σ一定的情况下，若μ增大，图形右移，若μ减小，图形 左移，但整个图形形状不变。
• （２）当μ不变的情况下，σ越小，则对应的图形越尖瘦。
• （３）μ和σ的意义：综合二者，正态分布的位置是由μ决定的， 而正态分布的形状 “高、矮、胖、瘦”则是由σ决定的。
• ３、主观概率法
• 主观概率法是指人们利用自己的经验知识、现有资料对事件出现的 可能性大小作出主观估测的方法，主观估计的可能程度称为主观概 率。人们对某一事件发生的信念程度可以用数字（０～１）来衡量。 在相同情况下，人们对于同一事件可能提出不同的概率，甚至于对 成功或失败的机会持完全相反的态度。
（四）正态分布的概率计算
（五）标准正态分布的下侧分位数、 上侧分位数以及尾概率
• 对于正态分布随机变量 X，α下侧分位数定义为满足关系 P(X≤Xα）=α的数Xα，这里的α称为下（左）侧尾率 。 而α上侧分位数定义为满足关系P(X＞Xα)=α的数，这里的 α称为上 （右）侧尾率。通常用Zα表示正态分布的α 上侧 分位数，即对于标准正态分布变量Z，有P(Z≥Zα）=α。 图5-8给出了0.025上侧分位数Zα=Z0.025及相应的尾概率 （α＝0.025）。
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26
5.2 条件概率概念(conditional probability)
概率 （Probability） 在事件B已经发生的条件下，求事件A发生的概 率，称这种概率为事件B发生条件下事件A发生 的条件概率，记为
P(AB) P(A|B) = P(B)
27
5.2 概率的乘法公式(multiplicative rule)
5.1 事件的概率
投掷一枚硬币，出现正面和反面的频率，随着 投掷次数 n 的增大，出现正面和反面的频率， 稳定在1/2左右
1.00
0.75
0.50 0.25
0.00
0
25
50 75 试验的次数 10
100
125
概率的性质与运算法则
11
5.2 概率的性质与运算法则
1 概率的基本性质
2 概率的加法法则
4800 1500 P( A B) P( A) P( B) 0.504 12500 12500
22
5.2 概率的加法法则
法则二
对任意两个随机事件A和B，它们和的概率 为两个事件分别概率的和减去两个事件交 的概率，即P ( A∪B ) = P ( A ) + P ( B ) P ( A∩B )
知道的 在试验结束之前，不能确定该次试验的 确切结果
5
5.1 随机事件及其概率的概念
事件的概念
事件(event)：随机试验的每一个可能结果(任何样本点集合) 例如：掷一枚骰子出现的点数为3
随机事件(random event)：每次试验可能出现也可能不出现的
事件 例如：掷一枚骰子可能出现的点数 必然事件(certain event)：每次试验一定出现的事件，用表示
5.2 概率的性质与运算法则
1 概率的基本性质
2 概率的基本法则
3 随机变量的概念20 Nhomakorabea5.2 概率的加法法则
法则一
两个互斥事件之和的概率，等于两个事件 概率之和。设A和B为两个互斥事件，则P ( A∪B ) = P ( A ) + P ( B ) 事件A1，A2，…，An两两互斥，则有P
13
5.2 概率的概念
某钢铁公司所属企业职工人数
工厂
男职工
4400 3200 900 8500
女职工
1800 1600 600 4000
合计
6200 4800 1500 12500
习题
炼钢厂 炼铁厂 轧钢厂 合计
样题
【例】某钢铁公司所属三个工厂的职工人数如下表。从
该公司中随机抽取1人，问：
(1)该职工为男性的概率 (2)该职工为炼钢厂职工的概率
( A1∪A2 ∪… ∪An) = P ( A1 ) + P (A2 )
+ …+ P (An )
21
5.2 概率的加法法则
样题
【例】根据钢铁公司职工的例子，随机抽取一名职工， 计算该职工为炼钢厂或轧钢厂职工的概率
习题
答案
解：用A表示“抽中的为炼铁厂职工”这一事件；B
表示“抽中的为轧钢厂职工”这一事件。随机抽取一 人为炼铁厂或轧钢厂职工的事件为互斥事件A与B 的 和，其发生的概率为
P(A )
m p n
16
5.2 概率的概念
样题
某工厂为节约用电，规定每天的用电量指标为 1000 度。按
照上个月的用电记录， 30 天中有 12 天的用电量超过规定指 标，若第二个月仍没有具体的节电措施，试问该厂第一天用 电量超过指标的概率
习题
答案
上个月30天的记录可以看作是重复进行了30次试验，试验A
14
5.2 概率的概念
• 解：(1)用A 表示“抽中的职工为男性”这一事件；A为全公司
习题
男职工的集合；基本空间为全公司职工的集合。则
P(A )
答案
全公司男性职工人数 8500 0.68 全公司职工总人数 12500
(2) 用B 表示“抽中的职工为炼钢厂职工”；B为炼钢厂全体
职工的集合；基本空间为全体职工的集合。则
表示用电超过指标出现了12次据概率的统计定义有
P( A)
超过用电指标天数 12 0.4 试验的天数 30
17
5.2 主观概率定义
主观概率定义
对一些无法重复的试验，确定其结果的概率只 能根据以往的经验人为确定概率是一个决策者 对某事件是否发生，根据个人掌握的信息对该 事件发生可能性的判断
23
5.2 概率的加法法则
样题
设某地有甲、乙两种报纸，该地成年人中有20%读
甲报纸，16%读乙报纸，8%两种报纸都读。问成 年人中有百分之几至少读一种报纸。
习题
答案
设A＝{读甲报纸}，B＝{读乙报纸}，C＝{至少读一
种报纸}。则P ( C ) =P ( A∪B ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( A∩B ) =0.2 + 0.16 - 0.08 =0.28 0.28
样题
习题
P ( B) p ( Ai ) P( B | Ai )
i 1
3
0.25 0.05 0.35 0.04 0.40 0.02 0.0345
33
5.2 贝叶斯公式(逆概公式)
1.与全概公式解决的问题相反，贝叶斯公式
是建立在条件概率的基础上寻找事件发生的
原因 2.设n个事件A1，A2，…，An 两两互斥，
概率 （Probability）
1.用来计算两事件交的概率
2.以条件概率的定义为基础 3.设A、B为两个事件，若P(B)>0，则
P(AB)=P(B)P(A|B)，或P(AB)=P(A)P(B|A)
28
5.2 概率的乘法公式(例题分析)
样题
设有1000件产品，其中850件是正品，150件是
次品，从中依次抽取 2 件，两件都是次品的概率 是多少？
3 条件概率与 独立事件
12
5.2 概率的概念
概率 定义： 如果某一随机试验的结果有限，而且各个结果在每次 试验中出现的可能性相同，则事件A发生的概率为该 事件所包含的基本事件个数 m 与样本空间中所包含 的基本事件个数 n 的比值，记为： 公式：
P( A) 事件A所包含的基本事件个数 m ＝ 样本空间所包含的基本 事件个数 n
7
5.1 随机事件及其概率
1 随机事件的 几个基本概念
2 事件的概率
3 概率计算的 几个例子
8
5.1 事件的概率
事件 （Probability）
事件A的概率是对事件A在试验中 出现的可能性大小的一种度量
表示事件A出现可能性大小的数
值 事件A的概率表示为P(A) 概率的定义有：古典定义、统计 定义和主观概率定义 9
的概率，则称两个事件独立 2.若事件A与B独立，则P(B|A)=P(B)，
P(A|B)=P(A)
3.此时概率的乘法公式可简化为
•P(AB)=P(A)·P(B)
4.推广到n个独立事件，有
P(A1 A2 …An)=P(A1)P(A2) … P(An)
30
5.2 事件的独立性(例题分析)
样题 【例】某工人同时看管三台机床，每单位时间(如30分钟) 内机床不需要看管的概率：甲机床为0.9，乙机床为0.8， 丙机床为0.85。若机床是自动且独立地工作，求
24
5.2 概率的性质与运算法则
1 概率的基本性质
2 概率的加法法则
3 条件概率与 独立事件
25
5.2 条件概率概念(conditional probability)
概念
在事件B已经发生的条件下，求事件A发生的 概率，称这种概率为事件B发生条件下事件A
发生的条件概率，记为
P(A|B) =
P(AB) P(B)
习题
答案
解：设 A1表示“产品来自甲台机床”， A2表示“产品来自乙 台机床”， A3表示“产品来自丙台机床”， B表示“取到次 品”。根据贝叶斯公式有： 0.2 5 0.0 5 P( A | B ) 0.3 6 2 3 1 0.0 3 4 5 0.3 5 0.0 4 P ( A2 | B ) 0.4 0 6 0.0 3 4 5 0.4 0.0 2 P ( A3 | B ) 0.2 3 2 0.0 3 4 5 35
习题
（1）在30分钟内三台机床都不需要看管的概率
（2）在30分钟内甲、乙机床不需要看管，且丙机床需要 看管的概率 答案 解：设 A1，A2，A3为甲、乙、丙三台机床不需要看管的事 件， A3 为丙机床需要看管的事件，依题意有 (1) P(A1A2A3)= P(A1) P(A2) P(A3)=0.90.80.85=0.612 (2) P(A1A2A3)= P(A1) P(A2) P(A3)= 0.90.8(10.85)=0.108 31
5.2 全概公式
定义
设事件A1，A2，…，An 两两互斥， A1+A2+…+
An=（满足这两个条件的事件组称为一个完备事
件组），且P(Ai)>0(i=1,2, …,n)，则对任意事件B， 有
n
P( B) p( Ai ) P( B | Ai )
i 1
32
5.2 全概公式(例题分析)
【例】某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各种机 床的次品率分别为5%、4%、2%，它们各自的产品分 别占总产量的25%、35%、40%，将它们的产品组合 在一起，求任取一个是次品的概率。 答案 解：设 A1表示“产品来自甲台机床”， A2表示“产品 来自乙台机床”， A3表示“产品来自丙台机床”， B 表示“取到次品”。根据全概公式有
习题
答案
设 Ai 表示“第 i 次抽到的是次品”(i=1,2)，所求