统计学 第五章 概率与概率分布

5.2 全概公式
定义
设事件A1，A2，…，An 两两互斥， A1+A2+…+
An=（满足这两个条件的事件组称为一个完备事
件组），且P(Ai)>0(i=1,2, …,n)，则对任意事件B， 有
n
P( B) p( Ai ) P( B | Ai )
i 1
32
5.2 全概公式(例题分析)
【例】某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各种机 床的次品率分别为5%、4%、2%，它们各自的产品分 别占总产量的25%、35%、40%，将它们的产品组合 在一起，求任取一个是次品的概率。 答案 解：设 A1表示“产品来自甲台机床”， A2表示“产品 来自乙台机床”， A3表示“产品来自丙台机床”， B 表示“取到次品”。根据全概公式有
习题
（1）在30分钟内三台机床都不需要看管的概率
（2）在30分钟内甲、乙机床不需要看管，且丙机床需要 看管的概率 答案 解：设 A1，A2，A3为甲、乙、丙三台机床不需要看管的事 件， A3 为丙机床需要看管的事件，依题意有 (1) P(A1A2A3)= P(A1) P(A2) P(A3)=0.90.80.85=0.612 (2) P(A1A2A3)= P(A1) P(A2) P(A3)= 0.90.8(10.85)=0.108 31
26
5.2 条件概率概念(conditional probability)
概率 （Probability） 在事件B已经发生的条件下，求事件A发生的概 率，称这种概率为事件B发生条件下事件A发生 的条件概率，记为
P(AB) P(A|B) = P(B)
27
5.2 概率的乘法公式(multiplicative rule)
23
5.2 概率的加法法则
样题
设某地有甲、乙两种报纸，该地成年人中有20%读
甲报纸，16%读乙报纸，8%两种报纸都读。问成 年人中有百分之几至少读一种报纸。
习题
答案
设A＝{读甲报纸}，B＝{读乙报纸}，C＝{至少读一
种报纸}。则P ( C ) =P ( A∪B ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( A∩B ) =0.2 + 0.16 - 0.08 =0.28 0.28
习题
答案
设 Ai 表示“第 i 次抽到的是次品”(i=1,2)，所求
概率为P(A1A2)
P( A 1 A2 ) P ( A 1 ) P ( A2 | A 1) 150 149 * 0.0224 1000 999
29
5.2 事件的独立性(independence)
1.一个事件的发生与否并不影响另一个事件发生
概率 （Probability）
1.用来计算两事件交的概率
2.以条件概率的定义为基础 3.设A、B为两个事件，若P(B)>0，则
P(AB)=P(B)P(A|B)，或P(AB)=P(A)P(B|A)
28
5.2 概率的乘法公式(例题分析)
样题
设有1000件产品，其中850件是正品，150件是
次品，从中依次抽取 2 件，两件都是次品的概率 是多少？
7
5.1 随机事件及其概率
1 随机事件的 几个基本概念
2 事件的概率
3 概率计算的 几个例子
8
5.1 事件的概率
事件 （Probability）
事件A的概率是对事件A在试验中 出现的可能性大小的一种度量
表示事件A出现可能性大小的数
值 事件A的概率表示为P(A) 概率的定义有：古典定义、统计 定义和主观概率定义 9
知道的 在试验结束之前，不能确定该次试验的 确切结果
5
5.1 随机事件及其概率的概念
事件的概念
事件(event)：随机试验的每一个可能结果(任何样本点集合) 例如：掷一枚骰子出现的点数为3
随机事件(random event)：每次试验可能出现也可能不出现的
事件 例如：掷一枚骰子可能出现的点数 必然事件(certain event)：每次试验一定出现的事件，用表示
5.1 事件的概率
投掷一枚硬币，出现正面和反面的频率，随着 投掷次数 n 的增大，出现正面和反面的频率， 稳定在1/2左右
1.00
0.75
0.50 0.25
0.00
0
25
50 75 试验的次数 10
100
125
概率的性质与运算法则
11
5.2 概率的性质与运算法则
1 概率的基本性质
2 概率的加法法则
随机事件及其概率
3
5.1 随机事件及其概率
1 随机事件的 几个基本概念
2 事件的概率
3 概率计算的 几个例子
4
5.1 随机事件及其概率的概念
试验的概念
特征 在相同条件下，对事物或现象所进行的观察 特点 可以在相同的条件下重复进行 每次试验的可能结果可能不止一个，但
试验的所有可能结果在试验之前是确切
表示用电超过指标出现了12次据概率的统计定义有
P( A)
超过用电指标天数 12 0.4 试验的天数 30
17
5.2 主观概率定义
主观概率定义
对一些无法重复的试验，确定其结果的概率只 能根据以往的经验人为确定概率是一个决策者 对某事件是否发生，根据个人掌握的信息对该 事件发生可能性的判断
例如：掷一枚骰子出现的点数小于7
不可能事件(impossible event)：每次试验一定不出现的事件， 用表示 例如：掷一枚骰子出现的点数大于6
6
5.1 随机事件及其概率的概念
实验的概念
基本事件 一个不可能再分的随机事件
例如：掷一枚骰子出现的点数
样本空间 一个试验中所有基本事件的集合，用Ω 表 示 例如：在掷枚骰子的试验中， Ω ={1,2,3,4,5,6} 在投掷硬币的试验中，Ω ={正面，反面}
统计学
第五章 概率与概率分布
学习目标
本章学习目标
定义试验、结果、事件、样本空间、概率 描述和使用概率的运算法则 定义和解释随机变量及其分布 计算随机变量的数学期望和方差 计算离散型随机变量的概率和概率分布 计算连续型随机变量的概率
用正态分布近似二项分布
用Excel计算分布的概率 2
A1+A2+…+ An= (满足这两个条件的事件
组称为一个完备事件组)，且
P(Ai)>0(i=1,2, …,n)，则
P ( Ai | B ) P ( Ai ) P ( B | Ai )
p( A
j 1
n
j
) P( B | A j )
34
5.2 贝叶斯公式(例题分析)
样题
【例】某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各种机床的次 品率分别为5%、4%、2%，它们各自的产品分别占总产量的 25%、35%、40%，将它们的产品组合在一起，如果取到的 一件产品是次品，分别求这一产品是甲、乙、丙生产的概率
5.2 概率的性质与运算法则
1 概率的基本性质
2 概率的基本法则
3 随机变量的概念
20
5.2 概率的加法法则
法则一
两个互斥事件之和的概率，等于两个事件 概率之和。设A和B为两个互斥事件，则P ( A∪B ) = P ( A ) + P ( B ) 事件A1，A2，…，An两两互斥，则有P
习题
答案
解：设 A1表示“产品来自甲台机床”， A2表示“产品来自乙 台机床”， A3表示“产品来自丙台机床”， B表示“取到次 品”。根据贝叶斯公式有： 0.2 5 0.0 5 P( A | B ) 0.3 6 2 3 1 0.0 3 4 5 0.3 5 0.0 4 P ( A2 | B ) 0.4 0 6 0.0 3 4 5 0.4 0.0 2 P ( A3 | B ) 0.2 3 2 0.0 3 4 5 35
P(A )
m p n
16
5.2 概率的概念
样题
某工厂为节约用电，规定每天的用电量指标为 1000 度。按
照上个月的用电记录， 30 天中有 12 天的用电量超过规定指 标，若第二个月仍没有具体的节电措施，试问该厂第一天用 电量超过指标的概率
习题
答案
上个月30天的记录可以看作是重复进行了30次试验，试验A
4800 1500 P( A B) P( A) P( B) 0.504 12500 12500
22
5.2 概率的加法法则
法则二
对任意两个随机事件A和B，它们和的概率 为两个事件分别概率的和减去两个事件交 的概率，即P ( A∪B ) = P ( A ) + P ( B ) P ( A∩B )
样题
习题
P ( B) p ( Ai ) P( B | Ai )
i 1
3
0.25 0.05 0.35 0.04 0.40 0.02 0.0345
33
5.2 贝叶斯公式(逆概公式)
பைடு நூலகம்
1.与全概公式解决的问题相反，贝叶斯公式
是建立在条件概率的基础上寻找事件发生的
原因 2.设n个事件A1，A2，…，An 两两互斥，
24
5.2 概率的性质与运算法则
1 概率的基本性质
2 概率的加法法则
3 条件概率与 独立事件
25
5.2 条件概率概念(conditional probability)
概念
在事件B已经发生的条件下，求事件A发生的 概率，称这种概率为事件B发生条件下事件A
发生的条件概率，记为
P(A|B) =
P(AB) P(B)
13
5.2 概率的概念
某钢铁公司所属企业职工人数
工厂
男职工
4400 3200 900 8500
女职工
1800 1600 600 4000
合计
6200 4800 1500 12500
习题
炼钢厂 炼铁厂 轧钢厂 合计
样题
【例】某钢铁公司所属三个工厂的职工人数如下表。从
该公司中随机抽取1人，问：
(1)该职工为男性的概率 (2)该职工为炼钢厂职工的概率
3 条件概率与 独立事件
12
5.2 概率的概念
概率 定义： 如果某一随机试验的结果有限，而且各个结果在每次 试验中出现的可能性相同，则事件A发生的概率为该 事件所包含的基本事件个数 m 与样本空间中所包含 的基本事件个数 n 的比值，记为： 公式：
P( A) 事件A所包含的基本事件个数 m ＝ 样本空间所包含的基本 事件个数 n
14
5.2 概率的概念
• 解：(1)用A 表示“抽中的职工为男性”这一事件；A为全公司
习题
男职工的集合；基本空间为全公司职工的集合。则
P(A )
答案
全公司男性职工人数 8500 0.68 全公司职工总人数 12500
(2) 用B 表示“抽中的职工为炼钢厂职工”；B为炼钢厂全体
职工的集合；基本空间为全体职工的集合。则
的概率，则称两个事件独立 2.若事件A与B独立，则P(B|A)=P(B)，
P(A|B)=P(A)
3.此时概率的乘法公式可简化为
•P(AB)=P(A)·P(B)
4.推广到n个独立事件，有
P(A1 A2 …An)=P(A1)P(A2) … P(An)
30
5.2 事件的独立性(例题分析)
样题 【例】某工人同时看管三台机床，每单位时间(如30分钟) 内机床不需要看管的概率：甲机床为0.9，乙机床为0.8， 丙机床为0.85。若机床是自动且独立地工作，求
主观概率例子
例如，我认为2015年的中国股市是一个大牛 市
18
5.2 主观概率定义
非负性
对任意事件A，有 0 P(A) 1
规范性
必然事件的概率为1；不可能事件的概率为0。 即P ( ) = 1； P ( ) = 0 可加性 若A与B互斥，则P ( A∪B ) = P ( A ) + P ( B ) 推广到多个两两互斥事件A1，A2，…，An，有 P ( A1∪A2 ∪… ∪An) = P ( A1 ) + P (A2 ) + …+ P (An ) 19
P(B )
炼钢厂职工人数 6200 0.496 全公司职工总人数 12500
15
5.2 概率的概念
概率 在相同条件下进行n次随机试验，事件A出现
m 次，则比值 m/n 称为事件A发生的频率。
随着n的增大，该频率围绕某一常数P上下摆动， 且波动的幅度逐渐减小，取向于稳定，这个频 率的稳定值即为事件A的概率，记为
( A1∪A2 ∪… ∪An) = P ( A1 ) + P (A2 )
+ …+ P (An )
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5.2 概率的加法法则
样题
【例】根据钢铁公司职工的例子，随机抽取一名职工， 计算该职工为炼钢厂或轧钢厂职工的概率
习题
答案
解：用A表示“抽中的为炼铁厂职工”这一事件；B
表示“抽中的为轧钢厂职工”这一事件。随机抽取一 人为炼铁厂或轧钢厂职工的事件为互斥事件A与B 的 和，其发生的概率为