薄板弯曲的变分原理及有限元素法
薄板弯曲问题
物理方程
应变
位移函数
薄板在弯曲变形后，薄板的法线没有伸缩；
w z 0 z
w wx, y
位移函数
薄板的法线，在薄板弯扭以后，保持为薄 板弹性曲面的法线；
xz yz 0
w u 0 x z
w v 0 y z
位移函数
u w z x
利用12个结点位移条件，由广义坐标法可 建立形函数，显然十分麻烦。
位移函数
w( x, y ) 1 2 x 12 xy
3
f x, y
w f x, y x y y
w f x, y y x x
D Dz
薄板弯曲问题的有限元法
结点 位移函数 位移 用插值方法求 内部各点位移
几何方程
结点力
平衡方程
应力
物理方程
应变
内力与应力的关系
薄板内力微元体如图所示。
h/2
- h/2
yx zdxdz
h/2 - h/2
y
h/2
- h/2
x zdydz
h/2
- h/2
x xy zdydz
该转角的确定包含了单元全部结点位移参数，由于非公共 边上结点位移的协调关系不能保证，因此一般
综上所述，本节构造的位移场不能完全满足收敛的协调性 准则，具体为挠度及切向转角跨单元协调，法向转角跨单 元不协调，因此该单元不是完全协调元。
弹性薄板矩形（R12）单元
4) 非完全协调元的收敛性
4 i 1
w N i d i N d
已知支座位移问题时
薄板弯曲问题的有限元法
有限元法与程序-板的弯曲
2） 相邻单元公共边切向转角：
3） 相邻单元公共边法向转角：
该转角的确定包含了单元全部结 点位移参数，由于非公共边上结 点位移的协调关系不能保证，因 此一般
综上所述，本节构造的位移场不能完全满足收敛的协调性 准则，具体为挠度及切向转角跨单元协调，法向转角跨单 元不协调，因此该单元不是完全协调元。
abdddz
2
➢子矩阵为
a11 a12 a13
[krs ]33 a21
a22
a23
(r,
s
1,
2,
3,
4)
a31 a32 a33
a11
3H
15
b2 a2
0
a2 b2
0
14
ห้องสมุดไป่ตู้
4
5
b2 a2
0 0
a12
3Hb 2 3
5 a2 b2
0i
15 a2 b2
i
5
0
j
aaa222113H33bHH2aba2232(21331)5H05(53baabab2222(5ii000jj5)1ba(15522iba(ba22322ij)j05)(53j000 )i
[S
' i
]33
Eh3 96(1 2 )ab
6
b a
6
b a
0 (1 0 (1
0) 0 )
6 6
a
b a
b
0 0
(1 (1
0 0
) )
(1 )ii (3 2 3 2 4)
2i (1 0 )(1 30 )
2ai (1 0 )(1 30 ) (1 )bi (3 2 20 1)
➢ 对于三角形单元，面积坐标的一、二、三次齐次分别有以 下项：
第五章 薄板弯曲问题有限元讲义
第五章薄板弯曲问题有限元法第一节薄板弯曲问题的有关概念一、基本概念1．薄板的定义：薄板是由上下两个平行的表面所构成的片状结构，其间距称为板厚。
同时，定义等分板厚的面为中面，当中面为平面时，称为平板，当中面为曲面时则称为壳体。
2．挠度; 板结构在承受横向载荷（弯矩、扭矩和横向剪力）作用下，发生弯扭而使薄板中面上各个点沿垂直中面方向发生的横向变形称为挠度，记为w。
3．薄板的两类问题：（1）平面应力板问题，载荷作用于板面内—（薄膜单元）；在拉、压力和面内切力作用下，板内将产生薄膜内力，从而使板产生面内变形。
（2）薄板弯曲问题：其特点为：a) 几何尺寸：板的厚度远较长与宽的几何尺寸为小(一般厚度与板面最小尺寸之比小于1/5-1/10)；（否则称为厚板）b) 载荷条件：结构仅承受垂直于板中面的横向载荷作用。
c) 小挠度条件；即挠度与板厚之比值较小，一般为w/t ≤1/5。
研究薄板弯曲问题时，通常以未变形的板的中面为xoy平面，厚度方向为z轴方向，3．板的一般问题：一般情况下，板既可承受横向载荷作用，也可同时承受平行于板中面的膜载荷作用。
(1) 薄板：在小挠度情况下，当两种载荷同时作用时，可认为两种变形互不影响，因此膜载荷的作用可按平面应力问题进行处理，而横向载荷的作用则按薄板弯曲问题来分析，两种问题引起的薄膜内力和弯曲内力的叠加便是一般载荷综合作用的结果。
（2）厚板：当1<w／t<5时为大挠度板,w／t≥5时为特大挠度板。
在大挠度情况下，薄板面内变形和弯扭变形之间将相互影响，即横向载荷也可能产生膜内力和面内变形，而膜载荷也可能产生弯曲内力和弯曲变形。
这时描述薄板变形的数学方程是非线性的，应采用更复杂的理论分析方法。
二．薄板弯曲问题求解的假设：（克希霍夫假设）1．法线假设垂直板中面的法线在板变形后仍垂直于弯曲的挠曲面，且法线线段没有伸缩，板的厚度无变化。
这样，垂直于中面的正应变便可忽略，即εz=0根据几何方程，可得因此挠度只是x,y的函数，表示为w=w(x,y)，也即薄板中面上法线的各点都有相同位移。
《弹性力学与有限元》第2章轴对称圆板的弯曲
《弹性理学与有限元法》
第 2 章 轴对称圆板的弯曲
面清晰，将正应力及剪应力τ rz 分别绘在图 2-3-2a 及 b 上。
图 2-3-1 圆形薄板的应力分量
在垂直于 r 轴的截面上，作用着σ r 和τ rz 。由式（2-2-4）比，是关于 z 的奇 函数，所以它在薄板全厚上的代数和为零，只能合成为弯矩。在该截面的单位宽
线垂直于变形后的中曲面，而且线段长度也保持不变。这与材料力学中梁弯曲问
题平面假设相似。该假定进一步表明：①
εz
=
∂w ∂z
=
0 ，也即 w
=
w( x,
y) ②不考
虑薄板的横剪力对板的影响，即应力分量τ zx 、τ zy 远小于σ x 、σ y 、τ xy ，它们引
起的变形可以忽略不计，即：γ zx = 0 ，γ zy = 0
d dr
(∇2w)
+
C1
考虑到圆形薄板的下面和上面的边界条件为
τ( )zr z=±h / 2 = 0
即可得出 w 表示τ zr 的表达式：
( ) ( ) τ zr
=
2
E 1− µ2
⎛ ⎜ ⎝
z
2
−
h2 4
⎞ ⎟ ⎠
d dr
∇2w
(2-2-6)
（4）将应力分量σ z 也用 w 表示，利用（1-1）中的第三式，取体力分量 Fvz = 0 得：
ω = Cr2 + D + p0 r4 64D0
此时薄板的内力
Mr
= −2(1+ µ)D0C3
− 3+ µ 16
p0r 2
Mθ
=
−2(1
+
µ
薄板弯曲问题有限元法
T
wl xl yl
Fzl M zl M yl T
j
xj
yj
wj
7
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薄板弯曲时，只有w(x,y)是薄板变形的未知基本函数，而其它量，如u,v 等都是w(x,y)的函数，故薄板矩形单元的位移函数的选择实际就是w(x,y) 的选取。注意单元有12个自由度，则
w(x, y) 1 2x 3 y 4x2 5xy 6 y2
1 2
(w,
Ljj
w, Ljm
),
a5
1 2
(w,Lii
w, Lim
),
6
1 2
(w,Lii
w, Lij
w, Lji
w,Ljj
),
7
wj
wm
1 2 (w,Ljj
w, Ljm
)
8
wi
wm
1 2
(w,Lii
w, Lim
)
w,Lij 表示w对Li的 偏导数在j点的值。
9
wi
wj
1 2
(w,Lii
角形和矩形。为了使相邻单元间同时可传递力和力矩，节点当作刚性节点
，即节点处同时有节点力和节点力矩作用。每个节点有三个自由度，即一
个扰度和分别绕x，y轴的转角。 1.设位移函数
l
xl
yl wl
m
xm ym wm
节点位移分量和节点力分量
i
xi
yi
wi
q e wi xi yi F e Fzi M xi M yi
w(x, y) c1 c2 x c3x2 c4 x3
四个系数刚好通过i，j两个端点的扰度值和绕y轴的两个转角值唯一确定 ；同时，相邻单元在此边界上也能通过i，j的值唯一确定，故连续。
薄板弯曲问题的有限元求解
薄板弯曲问题的有限元求解1.问题描述如图所示，已知悬臂矩形薄板，其几何尺寸为20m×10m×1m,左边固定，右上角节点上作用有向下垂直于板中面的集中载100N。
材料的弹性模量为Ex=300GPa,泊松比μ=0.3，求薄板的位移、应力及固定端反力。
2.分析步骤（1）进入Ansys（设定工作目录和工作文件）；（2）设置计算类型为Structural；（3）选择单元类型shell63，选择与厚度有关，在Real constants中定义厚度参数为1；（4）定义材料参数弹性模量为EX:3e11;泊松比PRXY：0.3；（5）建立几何模型生成节点和单元。
此题结构简单，受力也简单，因此可用4个单元来分析。
首先创造节点，节点的坐标是：1（0，0，1）2（0，5，1）3(0,10,1) 4(10,0，1) 5(10,5,1) 6(10,10,1) 7(20,0,1) 8(20,5,1) 9(20,10,1)，操作如下：GUI：Preprocessor>Modeling>Create>Nodes>In Active CSGUI：Preprocessor>Modeling>Create>Elements>AutoNumbered>ThruNodes，逆时针方向依次连接这几个点形成4个4节点四边形单元（6）施加载荷与约束加载与施加边界条件板的左边完全被固定，其自由度为0；右边第9节点施加了一个垂直方向的集中力（7）求解 （8）查看结果 1）变形结果可得最大变形为51011.0-⨯m 2）查看节点位移3）查看等效应力可以看出3节点受最大应力1248Pa，节点7所受应力最小。
4）查看节点力及力矩可以看出节点1、2、3既受到Z轴的集中力又受到X、Y的弯矩。
节点9只受外载作用。
3.如果将例题中的受力作如下图的改变，则此时单元的计算应为薄壳问题。
按照前面的计算方法可得出节点的线位移、角位移及力和力矩。
冲压工艺中的金属薄板弯曲成形研究
冲压工艺中的金属薄板弯曲成形研究金属薄板的弯曲成形是冲压工艺中常见的一种加工方式，它广泛应用于制造行业中，例如汽车制造、电子设备制造等领域。
本文将对冲压工艺中金属薄板弯曲成形的研究进行探讨，并分析其在实际应用中的问题与解决方案。
一、金属薄板弯曲成形的定义和原理金属薄板弯曲成形是指将平面金属薄板通过外力施加，使其在某一方向上发生弯曲变形的工艺过程。
其原理是利用外力的作用，使金属薄板的内部分子结构发生变化，从而实现弯曲成形。
二、金属薄板弯曲成形的工艺参数1. 弯曲角度：金属薄板在弯曲成形过程中的角度大小，通常用度数或弧度表示。
2. 弯曲半径：金属薄板弯曲成形中弯曲部位与直线部位的连续过渡半径，也称为滚辊半径。
3. 弯曲力：使金属薄板发生弯曲变形所需要施加的力量，即外力大小。
4. 弯曲速度：金属薄板在弯曲成形过程中的运动速度。
三、金属薄板弯曲成形的影响因素1. 材料性质：不同种类的金属材料具有不同的力学性能和表面硬度，这将直接影响金属薄板的弯曲成形效果。
2. 板材厚度：金属薄板的厚度越大，其弯曲成形所需要的弯曲力和半径也会相应增加。
3. 弯曲角度和半径：弯曲角度和半径会对金属薄板材料的弯曲性能和弯曲力产生影响。
4. 弯曲速度：弯曲速度的改变会影响到金属薄板的弯曲成形效果，过快或过慢的速度都可能导致不良的弯曲成形结果。
四、金属薄板弯曲成形工艺的问题与解决方案1. 弯曲成形角度不准确：造成这一问题的原因可能是材料的性质不一致或者弯曲力过大，解决方案是合理选择金属材料和控制弯曲力大小。
2. 弯曲半径过小或过大：一般情况下，弯曲半径过小会引起金属板材变形，弯曲半径过大则会导致弯曲不充分。
解决方案是根据实际需求选择合适的弯曲半径。
3. 弯曲过程中出现裂纹：这可能是由于弯曲速度过快引起的，解决方案是降低弯曲速度并增加润滑剂的使用。
4. 表面质量不理想：金属薄板在弯曲成形过程中可能会出现划痕或凸起等表面缺陷，解决方案是提高润滑效果和控制加工环境的干净程度。
有限元薄板弯曲有限元法
M x M xy Qx x y M xy M y Qy x y
o
Mx
My M yxy
a
z
Qy
2 M xy 2 M y 2M x 2 q 2 2 x xy y
{M } [ D]{ }
2 w x Qy D 2 w y Qx D
Qx Qy q0 x y
4w 4w 4w q 2 2 2 4 x 4 x y y D
y
o
Mx
My M yx My
x
M xy
h
Mx Qx
a
z
Qy
h / 2 xz xz zdz xz z z h / 2 xz z z h / 2 dz x zx h / 2 z h / 2 z h / 2 x y z zdz 0 利用 Qx
一、薄板弯曲理论基础 2、基本方程
应力形式
Ez 2 w 2w x 2 2 2 1 x y Ez 2 w 2w y 2 1 2 y 2 x Ez 2 w xy 1 xy
Eh3 D 12(1 2 )
---弯曲刚度
弯矩的定义：
( M x , M y , M xy )
h/2 h / 2
( x , y , xy ) zdz
记为： {M } [ D]{ }
Qy
一、薄板弯曲理论基础 2、基本方程
Qx
M yx
o
Mx
My M yx My M xy
薄板弯曲问题弹性理论分析及数值计算资料
薄板弯曲问题弹性理论分析及数值计算课程设计指导教师：孙秦学院：航空学院姓名：程云鹤学号： 2011300092班级： 01011105薄板弯曲问题弹性理论分析及数值计算一、一般三维体弹性系统求解微分方程体系总结1、弹性力学中的基本假定（1）连续性，即假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满。
（2）完全弹性，物体在引起形变的外力被除去后可完全恢复原形 （3）均匀性，即假定物体是由同一材料组成的。
（4）各向同性，物体的弹性在所有各个方向都相同。
（5）和小变形假定，即假定位移和形变是微小的。
2、平衡微分方程在一般空间问题中，包含15个未知函数，即6个应力分量、6个形变分量和3个位移分量，它们都是x,y,z 坐标变量的函数。
对于空间问题，在弹性体区域内部，考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立平衡微分方程、几何方程和物理方程；并在给定约束面或面力的边界上，建立位移边界条件或应力边界条件。
然后在边界条件下根据所建立的三套方程求解应力分量、形变分量和位移分量。
在物体内的任一点P ，割取一个微小的平行六面体，如图1-1所示。
根据平衡条件即可建立方程。
(1)分别以连接六面体三对相对面中心的直线为矩轴，列出力矩的平衡方程0=∑M ，可证明切应力的互等性：yx xy xz zx zy yz ττττττ===,,(2)分别以轴轴、轴、z y x 为投影轴，列出投影的平衡方程0=∑x F ，0=∑y F ，0=∑z F ，对方程进行约简和整理后，得到空间问题的平衡微分方程如下⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=+∂∂+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂000z yzxz z y xyzy y x zx yx x f y x z f x z y f z y x ττσττσττσ (1-1)3、物体内任一点的应力状态现在，假定物体在任一点P 的6个直角坐标面上的应力分量 ,,z y x ，σσσyx xy xz zx zy yz ττττττ===,,为已知，试求经过P 点的任一斜面上的应力。
薄板弯曲问题的有限单元法
薄板弯曲问题的基本方程 2. 薄板弯曲问题的非协调矩形单元 3. 非协调三角形板单元 4. 薄板弯曲问题的协调元
1.
6.1 薄板弯曲问题的基本方程
1 弹性薄板的基本假设（克希霍夫假设） 无挤压 薄板弯曲时，平行于中面的各层面之间无挤压。这意 味着薄板弯曲后厚度保持不变，因此可取 z w / z 0 。显 然挠度w只是x,y的函数：
M x h/2 3 h {M } M y z{ }dz [ D0 ]{ } [ D]{ } 12 M -h/2 xy
(5)
[D]是板的弯曲刚度矩阵．显然
12 z { } 3 {M } h
最大应力发生在薄板的上下表面
{ } z h / 2
w w( x, y)
(1)
直法线 变形前垂直于中面的直线 段，变形后仍为直线，且仍然垂直 于弯曲后的中面。这意味着yz和zx 平面内的剪应变为零
u w zx 0, z x w v yz 0 y z
从而得：
u w , z x v w z y
两个四次项的选取，保证了在单元边界上，即x=const，y=const 时，位移是三次多项式。
w( x, c) 1 2 x 3c 4 x 2 5 xc 6 c 2 7 x 3 8 x 2 c 9 xc 2 10 c 3 11 x 3c 12 xc3 A1 A2 x A3 x 2 A4 x 3 w(d , y ) 1 2 d 3 y 4 d 2 5 dy 6 y 2 7 d 3 8 d 2 y 9 dy2 10 y 3 11d 3 y 12 dy3 B1 B2 y B3 y 2 B4 y 3
薄板弯曲问题的理论分析
薄板弯曲问题的理论分析洪兵胡小仙薄板弯曲问题的理论分析薄板弯曲问题的理论分析汽车工程研究院洪兵?胡小仙问题研究?【摘要]本文主要讨论汽车车身上常用的薄板材料的弯曲问题,分析其变形的特征,平衡方程以及相应的边界条件,为薄板的结构分析提供理论基础.主题词:薄板弯曲平衡方程边界条件薄钢板在汽车车身上的使用相当普遍,如顶盖,侧围,地板,门板,前罩板,横梁,纵梁及各种加强件等车身上的主要结构零件均由薄钢板冲压而成,重量占汽车车身总重量的70%以上,在车身结构中,薄钢板具有承载作用,负荷使薄钢板产生扭转,弯曲等变形,其中以弯曲变形最为常见.因此,从理论上分析薄板的弯曲变形问题,对于分析车身结构强度和受力状况是相当必要的.1薄板弯曲变形的基本特征利用材料力学和弹性力学的知识,可以得到三维弹性体的边界平衡方程为_1,2㈣1.1aQ:i(u)nj=&i=1,2,3第一式为弹性体Q内部,第二式为Q的边界.其中,为应力,nj为各面法向,u为应变位移,￡为体积载荷,gi为边界载荷.方程(1)适用于包括薄板在内的一般性三维弹性体,而薄板具有其自身的特点,从这一方程出发可以得到薄板变形的一些特殊性.以薄板的中性面(即弯曲前后无变化的面)作为x,_x平面建立坐标系进行分析.下面就先分别给出两个显着的特征,再进行证明.(1)3】==33=0在薄板弯曲过程中,板的厚度远小于其他两个方向的几何尺寸(如汽车顶盖厚度与长,宽尺寸的差别可以达到200倍以上),因此为了得到弯曲变形,只需要在板平面上加上一个不大的载荷,这一载荷远小于由此而产生的内部的纵向伸缩应力.因此,在平衡方程(1)中,可以略去载荷gi,从而得到3∑(o)n:o()j2ii=gO()j=l此处n=(n,n,n)为边界面的外法向.在车身的结构设计中,不可能允许薄板由于承载产生较大的变形,这对于汽车的安全是有极大隐患的,所以,这里只考虑小变形,可以认为弯曲后薄板的外法向与坐标轴X3平行,即n一(0,0,±1).因此,在板面上有3ni±j3O(3)j=l由于是薄板,可以认为式(3)在板内部也是成立的,于是就得到第一个特征.当然,这个特征是近似的,但至少相对于其他应力分量是极小量.(2)薄板的弯曲变形完全取决于横向位移(即所谓挠度,它只依赖于纵向坐标xl,x),而纵向位移LII~.U2以及应变(~11TM.￡￡12,￡2l则完全由挠度决定.薄板在弯曲变形时,内部的纵向纤维产生拉伸或压缩.在板受载荷向内凹的一面是压收稿日期:2005—08—21问题研究?长安科技2005年第11卷第4期缩,向外凸的一面是拉伸.形变在整个厚度方向连续地从压缩方向变到拉伸方向,根据数学上连续函数的罗尔定理,可知必然存在—个既没有压缩,又没有拉伸的中性面,在中性面两侧的变形方向相反.由于是均质材料,所以中性面x,-J-~,于上下板面,即位于板厚的中间.根据坐标设定,可知变形前的中性面为Xl--X平面,即x3=O.在中性面上,三个方向的位移分别为u=u=0,u=u(XI,x2)(4)由于板厚度很小,可以认为挠度u沿着薄板厚度方向是一致的,即u3(x1,x2,x3)≈u(xl'x2)(5)根据推导出的第一个特征,考虑到是小变形,并记中性面的横向位移(即挠度),w=u于是有变关系)一)-lT(11)==l2此即三维弹性问题的Hook定理.其中,E为材料的弹性模量,为材料的泊松比,仅为线膨胀系数,下为温升.同时也可以得到薄板弯曲的应变能体密度w一~-1-琳e22.2](12)(6)2薄板弯曲变形的变分形式和平衡方程由此即可得到应变s与无穷小旋转角通过挠度W的表达式20xi一袅2(7)lq=争磬一争磬+磬{产等一=等一磬(8)}:=争一如杂令曲率一},i,j=l,2,这就是中性面经过弯曲后的曲率张量的一阶近似,容易得到s----X3KⅡ,Kij=Kjii,j=l,2(9)对式(8)分别求X1xX的偏导,可以得到一Kl2,一I(22(10):K根据以卜分析.可以得到薄板弯曲的府力府F面便用变分原理分析薄板的弯曲变形.不考虑热效应(即温升下=0),于是Ho0k 定理式(11)和应变能式(12)通过关系式(9), 可用曲率K表示为],f(1-v)ZKi2i+(ZKk)l(14)1-vlk=l"其中,符号函数6ij:{:--≠ji.由于中性面对称于上下板面,设板厚为h,令MijJ—Il,2X3%dx,,i,j=1,2(15)将式(14)代入式(15)雷得到MD【(1一)K+(∑k=lKkk)6J(16)其中,D:—.进一步写为2啦一Ⅳ洪兵胡小仙薄板弯曲问题的理论分析M11=D(K11+1JK22),M22=D(vK11+),M12=M21=D(1一r)K12(17)此即薄板弯曲变形的Hook定理,此处刻画"应变"的是曲率K刻画"应力"的是M根据式(15)可知M的力学意义即为力矩,其中M..表示x.方向断面上绕+x轴的弯矩,M表示x方向断面上绕一x.轴的弯矩,M.表示x:方向断面上绕+x轴的扭矩, M.表示x.方向断面上绕一x.轴的扭矩.比例常数D即为材料的抗弯刚度.类似地计算应变能面积密度,可得到外功势能F(w)=』P3wdx1dx2+Iq3wdl+IⅡ,dl(18)要从变分原理导出薄板弯曲的平衡方程,就需要建立Green公式,即运用Gauss积分公式把Dw,v1变为区域Q上只含v本身而不含其导数的表达式.由于此处D(w,v1中含有v的二阶导数,因此需要两次运用Gauss积分公式.汽车车身上使用的薄板一般为成品钢板材,可以认为是等厚均质材料,即在Q内E,P.h等为常数,于是相应的平衡解W有足够的光滑度以保证Gauss积分公式的合法性.经过理论推导可得到Green公式1.1D(w,V):llMij(w)Kj(v)dx.d】【2:一』喜+讪一l(w)dl+[(w)】=-)(19)由式(18),式(19)可得附一:一I(窆dxd】【2+In(Q)+i=1d]【i.J砸l. -q3)vdI+dll(w)+m-)dl问题研究?+∑[M(w)】):0(20)其中ft:Q3i:喜警J'a:∑iJ=12(21)1一aQ:MZMij,ninjFIaQ:M=∑M1n.(22)可以从力学意义上理解各个系数,P,表示作用在板Q上的横向载荷,q,表示作用在边界aQ上的横向载荷,m.表示作用在边界aQ上的弯矩载荷,Q,i表示xi方向断面上的横向剪力,Q,表示法向为n的断面上的横向剪力,M表示法向为n的断面上绕切向t的弯矩,一M表示同一断面上绕法向n的扭矩. 由于v在Q内部,边界aQ以及点P;上的任意性,根据式(20)可以得到薄板弯曲的平衡方程和边界条件Q:一2-P.(23)IQ,n(w)+-q3aQ:lM(w):ml(24)l[M(w)】;=0i=l2一,m将式(21),Hook定理(17)以及曲率K的定义代人式(23),得到用挠度W表示的薄板弯曲方程毒OX蔷0誓OX)+2矗1D(卜1X1,…～l2 最告誓+警p(25)这是关于挠度的四阶椭圆型偏微分方程. 对于{习质等厚度的薄板,由于D,1J均为常数,方程可以简化为双调和方程Q:DAw=p3(26)29问题研究?长安科技2005年第11卷第4期3薄板弯曲变形的边界条件根据以上分析可知,薄板弯曲的平衡方程(25)或(26)是关于挠度w的四阶椭圆型偏微分方程,在定解时一般要在边界上规定两个边界条件.根据汽车车身的具体情况, 可以将边界条件分为三类.第一类边界条件是规定几何约束,又可分两种情况.(1-1)规定横向位移,即:已知.f27)(1-2)规定切向转角,即F"60,(W)=CD已知,或:一已知.(28)对于这两种几何约束,变分问题中的虚位移v必须满足相应的化零约束条件F】:v=0,F:=0(29)dn而应变能泛函照旧,但外功势能则改为一fq,vdl+m-dOvdl}(30)于是可以利用Green公式,由变分原理得到平衡方程(23),而边界条件则改为F:Q3n+:q,(31)aft—F:M咖(w)=ml(32)恰好补足了几何约束(27),(28)式以外的边界条件.也就是说,当在边界某段上规定了横向位移w后,当地的任何横向载荷q 就不起作用了,同理,规定了切向转角(1)i后, 当地的切向弯矩mi也不起作用了.第二类边界条件是规定载荷即力学边界条件,也分两种情况.(2—1)F上规定横向载荷q,.由式(36),边界条件的数学形式为Qn(w)+_q3(33)它表示在边界上的横向剪力平衡,包含有w 的三阶导数,此处可以认为是板边界上的扭30矩落差产生有效的横向剪力,和Q一al起与外载荷q平衡.(2—2)r上规定弯矩载荷m..由式(24),边界条件的数学形式为r2:M(w)=ml(34)它表示边界上的弯矩平衡.此外,从式(24)还可以看出,当边界aQ的角点Pi不受载荷时,扭矩M在该点为连续.若在Pi有点载荷,则在外功势能一F(v) 中应增加"点项"v(pi),此时可导出Pi点的平衡方程Pi:[M(w)]:=(35)它表示扭矩在点Pi处必有跳跃,以产生有效的横向点力而与点载荷ri平衡.需要指出的是,力学边界条件是变分问题的自然边界条件,与内部平衡方程一样都是在势能达到极小值时自动得到满足的,它们其实就是边界上的平衡方程.在这里,自然边界条件包含w的二阶或三阶导数,解析形式非常复杂,变分原理的优越性在此就得到了充分的体现.第三类边界条件是弹性支承,出现于板在边界上或板面上与外界有弹性耦合时,可分为三种情况.(3一1)r3上除横向载荷q外,还承受正比于挠度w的横向弹性反力一CoW,co>O为弹性耦合常数.此时r上单位长度有弹性能,对外功势能和虚功泛函均有贡献,此时上的平衡方程为Q3~(w)++c0w-q3(36)(3-2)F3~I~,T弯矩载荷In.外,还承受正比于切向转角的弹性反矩一cco=c,el>0为弹性耦合常数.此时上F3上单位长度有弹性能,对外功洪兵胡小仙薄板弯曲问题的理论分析势能和虚功泛函均有贡献,此时上的平衡方程为r3:M(w)--C1m-(37)f3—31板面上与外界有弹性耦合,即弹性地基板.设在Q的子域Q上承受正比于挠度的横向弹性反力一cw,c>0为弹性耦合常数. 此时板面Q,的单位面积上有弹性能,对总势能和虚功泛函均有贡献,可以得到板体Q 内的平衡方程为Q～Q:Q:在工程实际中,可以根据材料的受力状态,在上述三类边界条件中任取两个,并且在不同的区段上可以有不同的取法,因此可能出现很复杂的组合.应该注意,边界条件(1—1)对(2—1)或(3—1),(1—2)对(2—2)或(3—2)是互相矛盾的,不能同时选取.另外,在实际的结构中,由于形状和受力状态复杂,计算量非常巨大,必须使用有限元软件进行分析处理.运用有限元对薄问题研究?板进行分析,常使用以下三种板元:不完全双三次矩形~(Adini—Clough—Melosh元),不完全三次三角形元(Zienkiewicz元)和完全二次三角形元(Morley元).4结束语经过一系列的理论分析,推导出了薄板弯曲变形的平衡方程及边界条件,为实践中对薄板材料的结构和受力状态进行分析提供了理论基础.当然,在工程实际中,各种材料的结构和受力非常复杂,仅依靠理论的分析计算是不够的,必须有相关试验进行实际的验证和调整.参考文献[1】冯康.弹性结构的数学理论.上海交通大学出版社.1996年4月第1版[2】钱伟长.弹性力学.科学出版社,1980年9月第1版[3】孙国钧.材料力学.上海交通大学出版社,2002年6月第1版[4】章仰文,邵国年.数学分析.上海交通大学出版社, 2000年7月第1版责任编辑曾莉(上接第26页)建模,并用非线性接触算法求解.在本文中,利用非线性有限元软件ABAQUS实现.(3)通过仿真表明,后端盖刚度过低,导致在螺栓力作用下发生较大翘曲变形,使得与密封垫失去接触,导致密封失效,仿真结果与试验现象相符合.(4)优化后的结构在后端盖边缘处增加了加强筋,并适当调整了中间加强筋的位置和大小,经仿真和试验验证,达到密封要求.参考文献I1]BelytschoT.,"uw.K.,MoranB.NonlinearFinite ElementsforContinuaandStructl?res,JohnWileyand SonsLtd,2000【2】王勖成有限单元法.北京:清华大学出版}土2o03 【3】ABAQUSInc.ABAQUS有限元软件6.4版入门指南.北京:清华大学出版社,2004【4】ABAQUSInc.ABAQUSAnalysisUsersManua1. ABAQUSInc.2003责任编辑曾莉31,托监啦: ∑:∑。
有限元4-薄板弯曲问题
有限元4-薄板弯曲问题第4章弹性薄板弯曲问题的有限元法薄板弯曲问题在理论上和应用上都具有重要意义,并有专门著作加以论述（如耀乾《平板理论》）。
象其它弹性力学问题一样，用微分方程、差分法等经典方法所能求解的薄板问题很有限，一般只能解决等厚、小孔口、支承情况较简单的单跨板。
故工程设计中以往多采用简化、近似、图表等方法来解决板的设计问题。
在板的分析中，常取板的中面为xoy 平面(如图)。
平板结构按其厚度t 与短边a 的比值大小而分为:厚板（Thick plate ）和薄板（Thin plate)两种。
当1<<a< p="">t时称为薄板平板上所承受的荷载通常有两种:1. 面拉压荷载。
由面拉压刚度承担, 属平面应力问题。
2. 垂直于板的法向荷载, 弯扭变形为主,具有梁的受力特征, 即常说的弯曲问题。
平板在垂直于板面的荷载作用下产生挠度W 。
当最大挠度w 远小于t 时, 称为小挠度问题(or 刚性板)(stiffness plate) 当最大挠度w 与t 相差不大时,称为大挠度问题(or 柔性板)(flexure plate)(工程定义: 51≤t w 为刚性板；551≤≤tw 为柔性板； 5>tw为绝对柔性板。
) 4.1 基本理论一、基本假定１、略去垂直于中面的法向应力。
（0=z σ），即以中面上沿Z 方向的挠度W 代表板的挠度)２、变形前垂直中面的任意直线，变形后仍保持为垂直中面的直线。
（─法向假定0=zx τ,0=zy τ）３、板弯曲时，中面不产生应力。
(─中面中性层假定)上述假定常称为薄板小挠度问题假定（or 柯克霍夫假定）。
符合上述假定的平板即为刚性板。
二、基本方法以上述假定为基础，板分析中常用挠度w 作为基本未知量,下面介绍以w 为基本未知量所导出的有关方程。
１、几何方程（应变─挠度关系）①弹性曲面沿x, y 方向的倾角从中面取出一微小矩形ABCD ，如图所示，设其边长为dx, dy ，变形后弯曲成曲面A'B'C'D' 设A 点挠度w , 则沿x 方向倾角(绕y 轴)x wy ??=θ (B ’点绕度 dx xw w ??+) 沿y 方向倾角(绕x 轴)y wx ??=θ (D ’点绕度 dy yw w ??+) ② 沿x, y 方向位移作平行于xoz 平面,设中面上点A 到A 1的距离为Z ，变形后,A 点有挠度W, 同时发生弯曲，曲面沿x 方向的倾角为xw, 根据法线假定,则A 1点沿x 方向的位移:x wz u ??-= (负号为方向与x 相反)同理取yoz 平面得： y w z v ??-= (4-1-1)③ Z 平面的应变分量和曲、扭率基本假定，由于0===zy zx zττσ, 故板任意点的应变与平面问题相同:xv y u yv x uxy y x ??+=??==εεε→代入将V U .{}??-??-??-=y x w z y w z x w z xy y x 222222εεεε＝ (4-1-2)此为Z 平面的应变─挠度度几何方程。
05-01薄板弯曲问题的基本原理
§4-2 空间等参数单元的数学分析在进行空间等参数单元的力学分析时，需要用到（1） 各个形函数对整体坐标的导数（求应变）；（2） 局部坐标系中微分体的体积及微分面的面积（载荷移置、刚度矩阵）； （3） 局部坐标面的法向余弦（载荷移置）。
现在来分别导出这些参数的表达式。
一、形函数对整体坐标的导数● 由复合函数的求导法则，有xN x N x N x N i i i i ∂∂∙∂∂+∂∂∙∂∂+∂∂∙∂∂=∂∂ζζηηξξ (x,y,z)不过，由上节(4-17)和(4-18)式知，等参数单元的形函数N i 及x,y,z 均只是局部坐标ξ，η，ζ的显函数，所以，利用上式无法求出形函数N i 对整体坐标x,y,z 的导数。
● 我们如将Ni 理解为局部坐标ξ，η，ζ的复合函数，则有ξξξξ∂∂∙∂∂+∂∂∙∂∂+∂∂∙∂∂=∂∂yy N y y N x x N N i i i i （ξ，η，ζ） 等等，所以有⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∂∂∂∂∂∂=⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∂∂∂∂∂∂⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∂∂∂∂∂∂z N y N x N J z N y N x N z y x z y x z yx N N N i i i i i i i i i ][ζζζηηηξξξζηξ (4-19) 从而有⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∂∂∂∂∂∂=⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∂∂∂∂∂∂-ζηξi i i i i i N N N J z N y N x N 1][ (4-20) 这里⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=ζζζηηηξξξz y x z y x z yxJ ][ (4-21)称为雅可比矩阵。
将(4-18)式代入上式。
于是得⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂=∑∑∑======ni n i i i ni ni ii ni n i ii N N N N N N x N x Nx N J 212121111111][ζζηηξξζηξ● 能够保证式(4-20)● 0°〈θ〈180°，一般应尽量控制在● 在单元内的任一点P ，沿局部坐标ξ、ζ的方向分别作微分矢量a 、b 、c 对应局部坐标的d ξ，d η，d ζ)，间形成一平行六面体(图4-9)。
薄板弯曲的变分原理及有限元素法
第三章 薄板弯曲的变分原理及有限元素法3.1 基本问题基本认识：板作为承力的结构元件，主要通过弯曲起作用。
如果垂直于板面的挠度与板的厚度相比很小的话1<<Hw，则由弯曲而引起的板中面的拉伸作用就可以忽略不及，这是所谓的小挠度问题，一般认为4.0<H w以下。
反之，Hw越大，弯曲引起的中面拉伸的影响越来越大，就不能忽略不计，导致所谓大挠度问题。
除板的弯曲变形之外，还伴随有剪切变形，剪切作用的影响一方面取决于材料的剪切模量，另一方面取决于厚度/跨度（H ）之比，即横向剪切随l H 的增大而增大。
通常把不考虑剪切作用（横向剪应变无穷大）的板理论叫做薄板理论，把考虑剪切作用的板理论叫做厚板理论。
本章仅考虑小挠度薄板问题。
基本假设：取板的中面为xy 平面，取z 轴与y x ,轴垂直，设板的厚度为h ，可以是()y x ,的函数。
① 变形假设：变形前垂直于中面的直线段在变形后没有伸缩，并且继续垂直变形后的中面。
由此得：()()()()y x w z y x w ywz z y x v x w zz y x u ,,,,,,,=∂∂-=∂∂-=② 内力假设：板内应力的6个分量的大小不是同一量级，一般xy y x τσσ,,最大，yz xz ττ,约小一个量级，而z σ又小一个量级；在静力学分析中，0=z σ。
控制方程（内力平衡方程及物理方程）① 由弹性力学方法，对于均质材料构成的薄板，应力分量yz xz xy y x τττσσ,,,,可用5个内力()()()()()y x Q y x Q y x M y x M y x M y x xy y x ,,,,,,,,,表示，即：x x zM h 312=σ y y zM h 312=σ xy xy zM h312=τ （矩定义为单位宽度上的矩） x xzQ h z h ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=224123τ y yz Q h z h ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=224123τ ⎰-=22h h x x zdz M σ ⎰-=22h h y y zdz M σ ⎰-=22h h xy xy zdz M τdz Q h h xz x ⎰-=22τ dz Q h h yz y ⎰-=22τNote ：上述的弯距及剪力代表单位宽度上的，而不是整个板侧面的。
薄板弯曲问题的有限元分析
变分原理与有限元素法课程报告报告名称：薄板弯曲问题的有限元分析姓名：学号：导师：专业：2015.5.15目录1.问题描述 (3)2.理论基础 (3)2.1矩形薄板弯曲单元 (3)2.1.1挠度函数 (3)2.1.2单元刚度矩阵 (5)2.2四边简支矩形板的纳维叶解法 (5)3.有限元模型 (6)4.结果与分析 (7)4.1均布载荷作用下四边简支板 (7)4.2集中载荷作用下四边简支板 (8)4.2均布载荷作用下四边固支板 (9)4.2集中载荷作用下四边固支板 (10)4.5总结 (11)1.问题描述一块方板，边长为L，厚度为t（51/801≤≤t L ），材料为铝，分别用不同密度的四节点12个自由度的矩形单元来划分网格。
要求：考虑四边简支和四边固支两种边界情况，分别计算受均匀载荷q 和在板中心处受集中载荷P 两种载荷情况下，板的中心挠度max ω(不超过板厚t 的1/5)，进而计算出不同情况下的方板的中心挠度系数；将计算出的系数与精确解进行比较，通过比较发现不同有限元网格密度对薄板弯曲问题计算结果的影响。
本例中，方板边长L=40mm，厚度t=1mm，铝的弹性模量E=70GPa，泊松比3.0=μ，粗略计算当q=0.1MPa 或者P=50N 时，板中心挠度小于板厚的1/5，属于小挠度弯曲，因此载荷可取这两个值。
2.理论基础2.1矩形薄板弯曲单元2.1.1挠度函数薄板弯曲单元中比较简单的是四节点12个自由度的矩形单元，将矩形薄板沿坐标方向划分为若干矩形单元，如图1所示，每个单元设有四个节点，每个节点位移有三个分量：挠度w，绕x 轴的转角y w x ∂∂=/θ，绕y 轴的转角x w y ∂-∂=/θ，即)4,3,2,1()/()/(}{=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∂∂-∂∂=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=i x w y w w w i i i yi xi i i ϕϕδ图1单元的节点位移为TT T T Te ]}{}{}{}{[}{4321δδδδδ=节点荷载为)4,3,2,1(}{=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=i M M V F yi xi i i 单元的节点荷载为TT T T Te F F F F F ]}{}{}{}{[}{4321=取位移函数为31231131029283726524321xy y x y xy y x x y xy x y x w αααααααααααα+++++++++++=在位移函数中，前三项包含了单元的刚体位移状态，二次项代表了单元的均匀应变状态。
具有压电材料薄板弯曲控制的有限元法
具有压电材料薄板弯曲控制的有限元法本文旨在聚焦于压电材料薄板弯曲控制的有限元法，以探讨以有限元法实现薄板弯曲控制的机理、技术、计算过程及其应用场景。
首先，本文介绍了压电材料的基本理论和特性，并简要介绍了有限元法的基本概念，特别是薄板弯曲的有限元模型。
其次，本文结合压电材料的基本理论与有限元模型，给出了实现薄板弯曲控制的有限元法的基本原理、计算过程及其应用场景，并结合实例分析了实现薄板弯曲控制的有限元法的应用效果。
最后，本文结合近期论文研究成果，对未来实现薄板弯曲控制的有限元法的发展方向进行了展望。
压电材料是一类具有非常特殊的力学性能的材料，因其可以在电场作用下发生形变而被广泛应用于航空航天领域、机械领域以及智能制造等领域。
压电材料的特定力学性能主要表现为介电常数和形变行为之间存在着对应的压电应力压电效应，当外加电压发生变化时，压电材料的形变行为也会发生变化。
有限元法是一种通过将连续体构件划分成若干个有限元素，根据定义好的有限元模型将复杂的力学场作用转换为节点间的力学问题，以解决有关结构力学问题的数值模拟方式。
在应用有限元法分析压电材料的弯曲控制时，可以利用有限元模型快速准确地求解出复杂的表面形变和内部应力分布，从而能够更好地分析、控制压电材料的薄板弯曲控制。
需要注意的是，在利用有限元法分析薄板弯曲控制时，除了要考虑压电材料的本身性能外，还需要合理考虑外加电势场作用，以及压电材料与其它实体材料器件的结合效应等因素，以达到有效地控制压电材料的薄板弯曲。
此外，利用有限元法分析压电材料的薄板弯曲控制时，还需要考虑压电材料的结构形状、尺寸、厚度以及其它影响其特性的参数，以精确地模拟出真实情况，从而更好地控制压电材料的薄板弯曲行为。
随着节能减排、环保等政策的深入实施，利用压电材料薄板弯曲控制的有限元法，可以开发出更加高效、更加精细的薄板弯曲控制系统，以应对更加复杂的需求，如机械制造精度控制、结构优化设计等。
第五章薄板弯曲问题有限元讲义
第五章薄板弯曲问题有限元讲义第五章薄板弯曲问题有限元法第⼀节薄板弯曲问题的有关概念⼀、基本概念1．薄板的定义：薄板是由上下两个平⾏的表⾯所构成的⽚状结构，其间距称为板厚。
同时，定义等分板厚的⾯为中⾯，当中⾯为平⾯时，称为平板，当中⾯为曲⾯时则称为壳体。
2．挠度; 板结构在承受横向载荷（弯矩、扭矩和横向剪⼒）作⽤下，发⽣弯扭⽽使薄板中⾯上各个点沿垂直中⾯⽅向发⽣的横向变形称为挠度，记为w。
3．薄板的两类问题：（1）平⾯应⼒板问题，载荷作⽤于板⾯内—（薄膜单元）；在拉、压⼒和⾯内切⼒作⽤下，板内将产⽣薄膜内⼒，从⽽使板产⽣⾯内变形。
（2）薄板弯曲问题：其特点为：a) ⼏何尺⼨：板的厚度远较长与宽的⼏何尺⼨为⼩(⼀般厚度与板⾯最⼩尺⼨之⽐⼩于1/5-1/10)；（否则称为厚板）b) 载荷条件：结构仅承受垂直于板中⾯的横向载荷作⽤。
c) ⼩挠度条件；即挠度与板厚之⽐值较⼩，⼀般为w/t ≤1/5。
研究薄板弯曲问题时，通常以未变形的板的中⾯为xoy平⾯，厚度⽅向为z轴⽅向，3．板的⼀般问题：⼀般情况下，板既可承受横向载荷作⽤，也可同时承受平⾏于板中⾯的膜载荷作⽤。
(1) 薄板：在⼩挠度情况下，当两种载荷同时作⽤时，可认为两种变形互不影响，因此膜载荷的作⽤可按平⾯应⼒问题进⾏处理，⽽横向载荷的作⽤则按薄板弯曲问题来分析，两种问题引起的薄膜内⼒和弯曲内⼒的叠加便是⼀般载荷综合作⽤的结果。
（2）厚板：当1⼆．薄板弯曲问题求解的假设：（克希霍夫假设）1．法线假设垂直板中⾯的法线在板变形后仍垂直于弯曲的挠曲⾯，且法线线段没有伸缩，板的厚度⽆变化。
这样，垂直于中⾯的正应变便可忽略，即εz=0根据⼏何⽅程，可得因此挠度只是x,y的函数，表⽰为w=w(x,y)，也即薄板中⾯上法线的各点都有相同位移。
2．正应⼒假设在平⾏于中⾯的截⾯上，应⼒分量ζz、τzx及τyz远⼩于其他三个应⼒分量，可忽略不计。
3．⼩挠度假设板中⾯只发⽣弯曲变形⽽没有⾯内变形，即中⾯内各点没有平⾏于中⾯的位移，表⽰为：在这些假设前提下，薄板的位移、应变和应⼒都可⽤挠度w表⽰。
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第三章薄板弯曲的变分原理及有限元素法3.1 基本问题基本认识：板作为承力的结构元件，主要通过弯曲起作用。
如果垂直于板面的挠度与板的厚度相比很小的话w1 ，则由弯曲而引起的板中面的拉伸作用就可以忽略不及，这是所谓的小挠度H问题，一般认为w0.4 以下。
反之，越大，弯曲引起的中面拉伸的影响越来越大，就不能忽略不计，导致所谓大挠度问题。
除板的弯曲变形之外，还伴随有剪切变形，剪切作用的影响一方面取决于材料的剪切模量，另一方面取决于厚度/跨度（H l ）之比，即横向剪切随H l 的增大而增大。
通常把不考虑剪切作用（横向剪应变无穷大）的板理论叫做薄板理论，把考虑剪切作用的板理论叫做厚板理论。
本章仅考虑小挠度薄板问题。
基本假设：取板的中面为xy平面，取z轴与x, y轴垂直，设板的厚度为h，可以是x,y 的函数。
① 变形假设：变形前垂直于中面的直线段在变形后没有伸缩，并且继续垂直变形后的中面。
由此得：② 内力假设：板内应力的6 个分量的大小不是同一量级，一般x , y , xy最大，xz , yz约小x y xy xz yz 一个量级，而z 又小一个量级；在静力学分析中，z 0。
控制方程（内力平衡方程及物理方程）① 由弹性力学方法，对于均质材料构成的薄板，应力分量x , y , xy , xz , yz可用5 个内力M x x,y,M y x,y,M xy x,y,Q x x,y ,Q y x,y 表示，即：12 12 12x 3 zM x y 3 zM y xy 3 zM xy （矩定义为单位宽度上的矩）hhhNote：上述的弯距及剪力代表单位宽度上的，而不是整个板侧面的。
②用内力表示的平衡方程：分布的横向载荷在薄板理论中，内力Q x,Q y 不产生应变，因而也不做功，可在以后的分析中不计算它们，在上式中消去Q x ,Q y 即得：③几何关系：④物理关系：（各向同性体）点应力应变关系： 内力与应变关系： x E1 v 0 xyv 10 y1 v 21vxy0 0 2xy注意： G 21E v D 121Eh v 2 ⑤ 单位面积上的应变能及余应变能（密度） 应变能密度（曲率作为自变量）变分： U M x k x M y k y 2M xy k xy w（ 单位长度上转角的变化 ）∴ M x k x U M y y k y M xy 1U （这也是一种物理关系） 2 k xy 代入关于内力矩的物理关系，有： 注意：上式中都是关于曲率的二次项， 而且从物理上对于任意的曲率 U >0 ，故 U 称为正定的二 次齐次函数。
余应变能密度： （可看作是内力矩的函数） 当板的变形由一种状态变到相邻的另一种状态时， V 的变分为： 在以前的研究中， 我们把内力表示成变形的函数， 我们把体系中的两类量都看成独立可变的，故有上式 ，（上式中由于 V 的表达式，变分的结 而构造和研究关于变形的泛函； 在这里， 果又可只认为只有内力矩变化） 。
这是一种认识观点， 对于后面理解广义变分原理有利的。
当然， 还应当注意这两类变量之间存在着物理关系的约束。
由 V 的表达式可知： k x M xV k yV M y 2k xy V （研究其中一项时，让其它两项的变分为 xy M xy 0） 代入内力矩关系，可知 V 是 M x ,M y , M xy 的正定二次齐次函数。
⑥ 用挠度表示的平衡关系： 把内力矩的物理关系及曲率的几何关系代入原平衡方程，即得：4w44ww 2x y y坐标旋转引起的变换 p D 4wp （双调和方程）在研究板问题时， 经常用到不同坐标系表示的包括法向导数等， 因此在不同坐标系下， 板弯曲的基本量之间有什么联系是我们经常要遇到的计算。
取两个不同的坐标系，如右图 ① 坐标变换关系： ② 函数的方向导数：对于一个函数 F x, y F x , ,y , 由求导的链式规则：③ 只要将 F 换成 w 即得曲率在不同坐标系下的转轴公式。
④ 弯、扭矩的转轴规律应注意到 M x ,M xy ,M y 是单位宽度上的矩，推导时要依据平衡关系。
由此得：剪力的转轴规律符合矢量投影规律，即： 典型的边界条件 （如右图）：板在 xy 平面上所占区域；c ：板的边界； n ：边界外法线；s ：边界切线方向； n, s 符合右手定则 典型边界条件有三种：① 固支边：如在 c 1 上， w w ， w n1 nn这里， w, n 为 c 1上已知的关于弧长 s 的函数。
② 简支边：如在 c 2 的部分边界上简支，则有：w,M n 为c 2上已知的关于弧长的函数。
③ 自由边：在自由边上 （指无位移限制 ） 已知作用在边界上的力（即所谓的自然边界条件）。
从内力和内力矩角度看，边界上能反映出来的有M n , M ns , Q n 三个，但不能取： M n MM ns M ns ，Q n Q n因从做功角度讲， M ns 和 Q n 并不完全独立，分析如下：给自由边界 c 3上的挠度有一变分 w ，则 M ns ，Q n 在 w 上所作的功为：可见， M ns 相当于 M ns 线分布载荷以及作用在自由边两端的集中载荷 M ns 。
由于在自由边 s同理：2F2F2F 2 F sin 22 Fcos sinF 2 x yy 2cos 2两端总是有支持的，所以在该两端上的 M ns 对板变形不产生影响，所以分析时略去不计。
由上分析， M ns Q n 是与 w 相应的广义力，故自由边的边界条件应为： s 在c 3上， M n M n ， M ns Q n q n （与点应力的力边界条件相似）sq n s 是已知作用在 c 3 上的线布载荷。
若在自由边界的某一点 s s 0 上有一集中载荷 p ，那么有：若没有集中载荷， M ns 应是 s 的连续函数， ﹡自由边界上有尖角的情况：n 为 A点前面一段终点的法向量；n 为 A 点后面一段起点的法向量。
命两个法向量与 x 轴的夹角为 , 。
在 A 点前后的两个扭矩：由于要求M ns 连续，即 M ns M ns由此得：当 A 点尖角的两条边平行于 x,y 轴，90 , 0故得：M xy 03.2 最小势能原理M ns s 0 0 M ns s 0 0 pp 表示单位宽度上的力。
M ns 的跳跃量相应于集中载荷。
考虑如图的板受载系统：c 1上：ww w, n nC 2c 2上：w w,M n M nc 3上： M nsM n M n , ns Q nqsc3s整个系统的势能包括两部分：C 1① 板的应变能 2 Udxdy U 为应变能密度，是曲率的二次函数； ② 外载荷（包括边界力）的势能：'w'pwdxdy qwds M n ds （ 一次泛函，固支边界位移变分为 0）c 3 c 2 c 3 n令 w 是问题的精确解， w k 是可能的挠度（在 c 1 上满足 w w, wn ；在 c 2 上满足w w ）n最小势能原理指出 ：与精确解 w 相应的总势能 w 达到最小值，即小于任何其它可能位移 w k 相应的总势能。
证明的过程与梁的步骤全同。
令： w w k w,w k w w与 w k 相应的总势能 可以证明： '' w, w 0，且若 w 不是刚体运动，则 2 w 0。
因此有，w k wc 2上3.3 最小余能原理① 概说余能原理是一个数学原理， 并不对应物理上的保守势场中的能量守恒原理。
它的着眼点是固 定位移， 看可能的力系统变化 （这些力系统一定满足平衡关系和力边界条件， 这是一种狭义理解w 满足齐次的边界条件：c 1上, c 2上,w w 0, nw0将最小势能原理写成变分形式：（留给同学自己完成 ）c 32M x 2M xy2 x2 x x yM ns s 2M y 2yp wdxdy这里是 Galerken 虚功的形式）nsQ n q wdsc2wM n M n ds 0n平衡方程：2 2M2M xy 2M y 2 xy 2 yp 02x y yc 3上M nssQ n q方式）。
那么从此观点上看，显然只有满足位移协调关系的那一个力系才是精确解。
余能原理：在满足平衡关系的所有力系中，只有满足位移协调关系的那组力系，使系统余能 取极值。
如果这个系统是稳定的，则取最小值。
② 数学证明：考虑与上小节相同的一块薄板弯曲问题， 命w,M x ,M y ,M xy ,Q x ,Q y 是问题的 精确解；再取 M x s ,Mys,M x s y ,Q x s ,Q y s 为一组可能的内力。
按要求可能的力系满足：整个系统的总余能：1 2Vdxdy M ns Q n wdsM n n ds （边界上已知力变分为 0）c 1 c2sc1固定了某种位移形态，则自变函数即为 M x ,M y ,M xy ,Q x ,Q y M ,与精确解相应的余能记为： 1 M , 2 M , 3 M ；与可能内力相应的余能为： 1 M s , 2 M s , 3 M s 。
取：ssQ x Q x Q x Q y Q y Q y （内力，而不是外载荷）由于两套力系都满足平衡关系及力的边界条件， 这些关系又都是线性的， 所以， 可能内力增 量满足下列M x s M x s yxy sM xyM yx yQ x sQ y sxya ． 平衡条件：Q x s 0 sQ y 0 p0s n力边界条件：在 c 2 上： b ． 在 c 3 上：s nsM n ,s M nss sQ n q sn首先，要做的工作是分别给出精确解和可能的内力的余能大小。
分是域内的余应变能2；另一部分是已知位移的部分边界上的余能系统余能包括两部分， 一部1。
V M x k x M y k y 2M xy k xy在线性应力应变关系下）齐次方程和齐次边界条件：在c2 上：M n 0M在c3 上：M n 0, M ns Q n 0s上两套式子表明：与内力增量相应的外载荷为零。
将系统余能细致给出表达式，有：由功的互等定理，知上式等于零。
2M 1 d 11 M x 2 d 22 M y 2 2d 12 M x M y dxdy （大于零） 2若 M 0 则有： M s M 此即最小余能原理。
余能原理的变分表达即： 0变化），即是说，这种变分是条件变分（原理） 。
其二，可以想象， 平衡关系，所以变分的结果肯定是用力表达的变形协调关系。
3.4.2 9 个位移参数的三角形部分协调元一个） 各基函数的形状：由余能原理要求，可能内力必须满足平衡条件，所以M x , M y 及 M xy 不能独立变分（即任意因为可能力系的变化要求满足 1．三角形划分每个节点的位移参数： w, x节点的位移列阵T T T T[q 1 q 2 q 3 ]2．面积坐标系① 面积坐标的定义：A i iA i = 1,2,3 ）x 2 y 2x 3 y 3x 1y 1，其他两个类推。