数学建模论文——下料问题
公选课数学建模论文钢管下料问题
公选课-数学建模论文-钢管下料问题钢管下料问题摘要生产中常会遇到通过切割、剪裁、冲压等手段,将原材料加工成所需大小这种工艺过程,称为原料下料问题.按照进一步的工艺要求,确定下料方案,使用料最省,或利润最大是典型的优化问题.针对钢管下料问题，我们采用数学中的线性规划模型.对模型进行了合理的理论证明和推导，然后借助于解决线性规划的专业软件Lingo 11.0，对题目所提供的数据进行计算，从而得出最优解.关键词线性规划最优解钢管下料1、问题的提出某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割出售．从钢管厂进货得到的原材料的钢管的长度都是1850mm ，现在一顾客需要15根290 mm ，28根315 mm ，21根350 mm 和30根455 mm 的钢管．为了简化生产过程，规定所使用的切割模式的种类不能超过4种，使用频率最高的一种切割模式按照一根原料钢管价值的1/10增加费用，使用频率次之的切割模式按照一根原料钢管价值的2/10增加费用，以此类推，且每种切割模式下的切割次数不能太多（一根原钢管最多生产5根产品），此外为了减少余料浪费，每种切割模式下的余料浪费不能超过100 mm ，为了使总费用最小，应该如何下料？2、问题的分析首先确定合理的切割模式，其次对于不同的分别进行计算得到加工费用，通过不同的切割模式进行比较，按照一定的排列组合，得最优的切割模式组，进而使工加工的总费用最少.3、基本假设假设每根钢管的长度相等且切割模式理想化.不考虑偶然因素导致的整个切割过程无法进行.4、定义符号说明（1）设每根钢管的价格为a ，为简化问题先不进行对a 的计算.（2）四种不同的切割模式：1x 、2x 、3x 、4x .（3）其对应的钢管数量分别为：i r 1、i r 2、i r 3、i r 4（非负整数）.5、模型的建立由于不同的模式不能超过四种，可以用i x 表示i 按照第种模式（i =1,2,3,4）切割的原料钢管的根数，显然它们应当是非负整数.设所使用的第i 种切割模式下每根原料钢管生产290mm ，315mm,,350mm 和455mm 的钢管数量分别为i r 1，i r 2，i r 3，i r 4（非负整数）. 决策目标 切割钢管总费用最小，目标为：Min=（1x ⨯1.1+2x ⨯1.2+3x ⨯1.3+4x ⨯1.4）⨯a (1)为简化问题先不带入a约束条件 为满足客户需求应有11r ⨯1x +12r ⨯2x +13r ⨯3x +14r ⨯4x ≧15 (2) 21r ⨯1x +22r ⨯2x +23r ⨯3x +24r ⨯4x ≧28 (3) 31r ⨯1x +32r ⨯2x +33r ⨯3x +34r ⨯4x ≧21 (4) 41r ⨯1x +42r ⨯2x +43r ⨯3x +44r ⨯4x ≧15 (5) 每一种切割模式必须可行、合理，所以每根钢管的成品量不能大于1850mm 也不能小于1750mm.于是：1750≦290⨯11r +315⨯21r +350⨯31r +455⨯41r ≦1850 （6） 1750≦290⨯12r +315⨯22r +350⨯32r +455⨯42r ≦1850 （7） 1750≦290⨯13r +315⨯23r +350⨯33r +455⨯43r ≦1850 （8） 1750≦290⨯14r +315⨯24r +350⨯34r +455⨯44r ≦1850 （9）由于排列顺序无关紧要因此有 1x ≧2x ≧3x ≧4x (10) 又由于总根数不能少于（15⨯290+28⨯315+21⨯350+30⨯455）/1850≧18.47 (11) 也不能大于（15⨯290+28⨯315+21⨯350+30⨯455）/1750≦19.525 (12) 由于一根原钢管最多生产5根产品，所以有i r 1+i r 2+i r 3+i r 4≦5 (13)7、模型的求解将（1）~（13）构建的模型输入Lingo11.0即取1x 切割模式14根及2x 切割模式5根，即可得到最优解：Min=（14⨯11/10+5⨯12/10）⨯a=21.4a6、结果分析、模型的评价与改进下料问题的建模主要有两部分组成，一是确定下料模式，二是构造优化模型.对于下料规格不太多时，可以采用枚举出下料模式，对规格太多的，则适用于本模型.而从本模型中可以看出尽管切割模式x3、x4的余料最少，但是其成本比较高因而舍弃.7、参考文献【1】姜启源，谢金星，叶俊,数学模型(第三版)，清华大学出版社，第121页.8、附录模型求解的算法程序：model:min=x1*1.1+x2*1.2+x3*1.3+x4*1.4;r11*x1+r12*x2+r13*x3+r14*x4>=15;r21*x1+r22*x2+r23*x3+r24*x4>=28;r31*x1+r32*x2+r33*x3+r34*x4>=21;r41*x1+r42*x2+r43*x3+r44*x4>=15;290*r11+315*r21+350*r31+455*r41<=1850; 290*r12+315*r22+350*r32+455*r42<=1850; 290*r13+315*r23+350*r33+455*r43<=1850; 290*r14+315*r24+350*r34+455*r44<=1850;290*r11+315*r21+350*r31+455*r41>=1750; 290*r12+315*r22+350*r32+455*r42>=1750; 290*r13+315*r23+350*r33+455*r43>=1750; 290*r14+315*r24+350*r34+455*r44>=1750;x1+x2+x3+x4>=19;x1+x2+x3+x4<=20;x1>=x2;x2>=x3;x3>=x4;r11+r21+r31+r41<=5;r12+r22+r32+r42<=5;r13+r23+r33+r43<=5;r14+r24+r34+r44<=5;@gin(x1);@gin(x2);@gin(x2);@gin(x4);@gin(r11);@gin(r12);@gin(r13);@gin(r14); @gin(r21);@gin(r22);@gin(r23);@gin(r24); @gin(r31);@gin(r32);@gin(r33);@gin(r34); @gin(r41);@gin(r42);@gin(r43);@gin(r44); end经运行得到输出如下：Global optimal solution found.Objective value: 21.40000Objective bound: 21.40000Infeasibilities: 0.000000Extended solver steps: 1Total solver iterations: 34507Variable Value Reduced Cost X1 14.00000 -0.1000000 X2 5.000000 0.000000 X3 0.000000 0.1000000 X4 0.000000 0.2000000 R11 0.000000 0.000000 R12 3.000000 0.000000 R13 0.000000 0.000000 R14 0.000000 0.000000 R21 2.000000 0.000000 R22 0.000000 0.000000 R23 1.000000 0.000000 R24 0.000000 0.000000 R31 2.000000 0.000000 R32 0.000000 0.000000 R33 3.000000 0.000000 R34 0.000000 0.000000 R41 1.000000 0.000000 R42 2.000000 0.000000 R43 1.000000 0.000000 R44 4.000000 0.000000。
板材数模论文(1)
数学建模〔一〕、装箱设计问题〔二〕、板材玻璃下料问题组员：日期：板材玻璃下料问题摘要该问题属于优化问题中的排样问题。
排样下料问题在很多工业领域中都有广泛的应用，解决好排样问题，可以提高材料的利用率。
本文解决的是玻璃板材的最优化下料策略，不同的下料策略形成不同的线性规划模型。
在充分理解题意的基础上，以使用原材料张数最少、材料利用率最高为目标，采用逐级优化的方法，进行下料方案的筛选。
在第一题中，对每块原材料进行两个层次的切割。
首先按照零件需求量选用由大面积到小面积下料的两个方向排料优选的下料策略，成品料的长在原材料的长和宽两个方向上分别排列，求出最优解；其次采用由大面积到小面积下料中成品料的长和宽在原材料的长、宽两个方向套裁排料优选，而对每次切割的余料按同种方法再进行一次切割。
算出所需原材料的块数和利用率，求出最正确下料方案。
按照原材料的利用率，筛选出最正确的下料方案为按照零件需求量，进行几种零件的配套优选下料方案，所选方案是原材料的长对成品的宽，所求需要原材料的块数为579，利用率为95.03%。
第二题的求解以第一题相似，当有两种规格的原材料时，在第一题的基础上，通过控制第一种规格原材料的基础上，来选取两种材料的最正确组合。
求得需要规格为2100cm×1650cm的原材料447块，需要规格为2000cm×1500cm的原材料146块，共计593块，利用率为%。
此模型可以推广到更多板材排样下料领域的应用，通过逐级优化和组合原理，确定各种切割方式，然后再进行优化问题的求解。
关键词：优化排样板材下料最优化一·问题重述在大型建筑工程中，需要大量使用玻璃材料，如门窗等。
在作材料预算时，需要求出原材料的张数。
已知板材玻璃原材料和下料后的成品料均为矩形。
由于玻璃材料特点，切割玻璃时，刀具只能走直线，且中间不能拐弯或停顿，即每切一刀均将玻璃板一分为二。
切割次序和方法的不同、各种规格搭配〔即下料策略〕不同，材料的消耗将不同。
钢管下料数学建模
钢管下料数学建模摘要：本论文通过数学建模的方法研究了钢管下料问题。
首先，提出了一个钢管下料的数学模型，建立了目标函数和约束条件，以求解钢管的最优下料方案。
接着，采用了一种基于遗传算法的优化方法对模型进行求解，通过对实际钢管下料问题的实例进行仿真实验，验证了模型的可行性和有效性。
最后，对论文的研究结果进行了分析和总结，并对进一步的研究方向进行了展望。
关键词：钢管下料；数学建模；遗传算法；最优化1. 引言钢管的下料是制造业中常见的生产工艺之一。
通过合理的下料方案，可以最大限度地利用原材料，提高钢管的利用率。
因此，钢管下料问题的研究对于降低生产成本、提高生产效率具有重要意义。
2. 钢管下料的数学模型2.1 目标函数钢管下料的目标是使得原材料的浪费最小化。
因此，我们可以将下料的浪费量作为目标函数，即最小化浪费的总量。
2.2 约束条件钢管下料的约束条件主要包括原材料的长度限制、钢管的尺寸要求、切割工具的限制等。
这些约束条件需要在数学模型中进行描述和考虑。
3. 遗传算法优化方法遗传算法是一种基于生物进化理论的优化算法，可以通过模拟自然选择、交叉和变异等过程，搜索最优解。
我们可以将钢管下料问题转化为一个优化问题，通过遗传算法来求解最优下料方案。
4. 实验仿真我们通过对一组实际钢管下料问题的实例进行仿真实验，验证了数学模型和遗传算法的可行性和有效性。
实验结果表明，采用遗传算法可以得到较优的下料方案，并且在一定时间内可以找到满足约束条件的最优解。
5. 结果分析和总结通过对实验结果的分析和总结，我们可以得出以下结论：数学模型和遗传算法在钢管下料问题中具有较好的应用效果，可以提高下料方案的优化效果和生产效率。
6. 进一步展望在进一步的研究中，我们可以考虑对模型进行改进和扩展，以适应更复杂的钢管下料问题。
此外，可以结合其他优化算法和数据挖掘技术，进一步提高钢管下料的效果和精度。
数学建模下料问题
表5-3 钢管下料的合理切割模式
4米钢管根数 6米钢管根数 8米钢管根数 余料（米） 4 0 0 3 3 1 0 1 2 0 1 3
模式1 模式2 模式3 模式4 模式5 模式6 模式7
1 1 0 0
2 1 3 0
0 1 0 2
3 1 1 3
问题化为在满足客户需要的条件下，按照哪些种合 理的模式，切割多少根原料钢管，最为节省。而 所谓节省，可以有两种标准，一是切割后剩余的 总余料量最小，二是切割原料钢管的总根数最少。 下面将对这两个目标分别讨论。
(38) (39) (40) (41)
每一种切割模式必须可行、合理，所以每根原料钢管的 成品量不能超过19米，也不能少于16米（余量不能大于3 米），于是
16 4r11 5r21 6r31 8r41 19 16 4r12 5r22 6r32 8r42 19 16 4r13 5r23 6r33 8r43 19
Min x1 x2 x3
（37）
约束条件 为满足客户的需求，应有
r11 x1 r12 x2 r13 x3 50
r21 x1 r22 x2 r23 x3 10 r31 x1 r32 x2 r33 x3 20 r41 x1 r42 x2 r43 x3 15
即按照模式2切割15根原料钢管，按模式5切割5根，按模 式7切割5根，共27根，可算出总余料量为35米。与上面 得到的结果相比，总余料量增加了8米，但是所用的原料 钢管的总根数减少了2根。在余料没有什么用途的情况下， 通常选择总根数最少为目标。
问题2）的求解
问题分析 按照解问题1）的思路，可以通过枚举法首先确 定哪些切割模式是可行的。但由于需求的钢管规格增加到4 种，所以枚举法的工作量较大。下面介绍的整数非线性规 划模型，可以同时确定切割模式和切割计划，是带有普遍 性的方法。 同1）类似，一个合理的切割模式的余料不应该大于或等于 客户需要的钢管的最小尺寸（本题中为4米），切割计划中 只使用合理的切割模式，而由于本题中参数都是整数，所 以合理的切割模式的余量不能大于3米。此外，这里我们仅 选择总根数最少为目标进行求解。
关于钢材下料问题的数学建模论文
B 题 钢管下料问题摘要应客户要求，某钢厂用两类同规格但不同长度的钢管切割出四种不同长度的成品钢管。
故该原料下料问题为典型的优化模型。
钢厂在切割钢管时，又要求每种钢管的切割模式都不能超过5种，故我们先分别列出两种原料钢管出现频率较高的切割模式，每一问都需要针对不同钢管节约要求分别求出5种切割模式的最佳组合。
第一问要求余料最少，在切割模式的选择方面，我们尽量要求余料为零，并在此基础上要求切割得成品钢管除满足客户要求外，多余客户要求的钢管数也要尽可能的少，运用Lingo 软件求出余料最少时，需要65根A 类钢管采用4种切割模式切割，需要40根B 类钢管采用2种切割模式切割，总余料为20米。
第二问要求总根数最少，故我们只要求总根数最少，在这里我们分了两种情况：有余料时，需A 类钢管65根，采用5种切割模式，需B 类钢管38根，采用4种切割模式，余料各为2米；无余料时，需A 类钢管75根，采用3种切割模式，需B 类钢管39根，采用4种切割模式。
第三问我们运用Lingo 软件求出较优解为当m=0.4时最大收益h=a-159，具体切割模式见模型求解部分。
为了找到替代比例与最大收益的关系，我们分别给m 赋值为0、10%、20%、30%、40%时，用Lingo 解得各自的最大收益，并用四次拟合的方法大致算出了最大收益z 和替代比例m 的关系，为4322083.31416.7279.1715.833160h a m m m m =+-+--（a 为总售出额）。
第四问就是将钢厂下料问题一般化，将本文中模型进行推广，得出了可普遍应用的一般化模型。
关键词：优化模型、整数规划模型、线性规划模型、非线性规划模型、Lingo 、四次拟合问题重述某钢厂主要生产两种结构用无缝钢管，两类钢管除长度不同外规格无差别，A 类型钢管长度为19米，B 类型钢管长度为29米。
假设某单位要订购该钢厂的一批钢管，要求钢厂将原料钢管按照客户订单的要求进行切割成不同长度，具体如下：钢厂在切割钢管时，要求每种钢管的切割模式都不能超过5种，建立数学模型解决下列问题： （1）在满足订单要求的前提下，如何切割才能使余料最省；（2）在满足订单要求的前提下，如何切割才能使耗费原料钢管的数量最少；（3）如果B 类钢管的单价是A 类钢管的2.5倍，又目前钢厂B 类钢管产量不足，如果客户要求将B 类钢管中的5米、7米和8米三种长度的订货量必须全部满足，而B 类中3米的订货量中可以有不超过40%的部分用A 类代替，又该如何切割，才能使钢厂的收益最大，并给出替代比例与最大收益之间的关系。
数学建模合理下料问题
数学建模合理下料问题某钢管零售商从钢管厂进货，然后将钢管按照顾客的要求切割后售出，从钢管厂进货时，每根钢管的长度都是19米①现在有一客户需要50根4米、20根6米、15根8米的钢管，应如何下料最节省？②零售商如果采用的不同切割方式太多，将会导致生产过程的复杂化，从而增加生产和管理成本，所以该零售商规定采用的不同切割方式不能超过3种。
此外，该客户除需要①中的三种钢管外，还需要10根5米的钢管，应如何下料最省？(一)模型假设：1，假设钢管可以任意分割一根钢管可以有以下7种分法：①②③④⑤⑥⑦4米 4 3 2 1 1 0 06米0 1 0 2 1 3 08米0 0 1 0 1 0 2余料 3 1 3 3 1 1 3符号说明：x1-x7，表示对应分割方法下4，6,8米钢管的根数w , 表示所用的19米钢管数h , 表示余料模型分析：要求下料最节省，也即是所用的19米钢管数w最少。
客户需要50根4米、20根6米、15根8米的钢管，可以得到以下方程式：4x1+3x2+2x3+x4+x5>=50x2+2x4+x5+3x6>=20x3+x5+x7>=15Min h=3x1+x2+3x3+3x4+x5+x6+3x7模型求解：上述问题属于线性规划，它可以用单纯形法方法求解，也可以用LINDO软件求解。
用LINDO求解如下：直接输入min 3x1+x2+3x3+3x4+x5+x6+3x7subject to4x1+3x2+2x3+x4+x5=50x2+2x4+x5+3x6=20x3+x5+x7=15end将文件存储并命名后，选择菜单“solve”，并对提示“DO RANGE(SENSITIVITY)ANALYSIS”回答“是”或“否”。
即可得输出结果。
LP OPTIMUM FOUND AT STEP 4OBJECTIVE FUNCTION V ALUE1) 35.00000VARIABLE V ALUE REDUCED COSTX1 0.000000 0.000000X2 10.000000 0.000000X3 5.000000 0.000000X4 0.000000 4.750000X5 10.000000 0.000000X6 0.000000 4.750000X7 0.000000 1.500000模型假设：一根钢管可以有以下15种分法：⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾⑿⒀⒁⒂44 3 3 2 2 2 1 1 1 0 0 0 0 0 0 米0 1 0 2 1 0 3 1 0 2 2 1 1 0 0 5米0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 2 1 3 0 6米0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 2 8米3 2 1 1 0 3 0 2 1 3 1 2 0 1 3 余料符号说明：x1-x15，表示对应分割方法下4，5,6,8米钢管的根数w , 表示所用的19米钢管数h , 表示余料模型分析：要求下料最节省，也即是所用的19米钢管数w最少。
钢管下料数学建模
钢管下料数学建模一、引言钢管下料是工业生产中常见的一项工艺，它涉及到如何将原始的钢管按照预定的尺寸进行切割，以便于后续加工和使用。
在进行钢管下料时，数学建模可以帮助我们计算出最佳的下料方案，以最大程度地减少浪费，提高生产效率。
本文将以钢管下料数学建模为主题，探讨如何利用数学方法求解钢管下料问题。
二、问题描述假设有一根长度为L的钢管，需要按照给定的尺寸进行切割。
切割时需要考虑以下几个因素：1. 切割后的钢管长度需要满足给定的要求；2. 切割时需要考虑钢管的浪费情况，即尽量减少剩余钢管的长度；3. 切割时需要考虑生产效率，即尽量减少切割次数。
三、数学建模钢管下料问题可以抽象为一个数学模型，通过建立数学模型，我们可以计算出最佳的下料方案。
下面将介绍两种常见的数学建模方法。
1. 贪心算法贪心算法是一种简单而常用的数学建模方法，它通过每一步都选择局部最优解来达到全局最优解。
在钢管下料问题中，贪心算法可以按照以下步骤进行：1）将钢管初始长度L赋值给一个变量remain；2）根据给定的尺寸要求，选择一个长度小于等于remain的最大钢管尺寸，将其切割出来；3）将remain减去切割出来的钢管长度，得到剩余的钢管长度；4）重复步骤2和3，直到remain小于等于0。
2. 动态规划动态规划是一种更加复杂但是更加精确的数学建模方法，它通过将原问题划分为多个子问题，并保存子问题的解来求解原问题。
在钢管下料问题中，动态规划可以按照以下步骤进行：1）建立一个长度为L+1的数组dp，dp[i]表示长度为i的钢管的最佳下料方案所需的最少切割次数；2）初始化dp数组，将dp[0]设置为0，其余元素设置为正无穷大；3）从长度为1开始，依次计算dp[1]、dp[2]、...、dp[L]的值；4）最终dp[L]即为所求的最佳下料方案所需的最少切割次数。
四、案例分析为了更好地理解钢管下料数学建模，我们以一个具体的案例进行分析。
假设有一根长度为9米的钢管，需要切割成长度分别为2米、3米和4米的三段钢管。
大学论文电气工程与自动化专业数学建模方法与应用课程论文基于最优理论的钢管下料问题
XX 大学本科生课程论文论文题目：基于最优理论的钢管下料问题学院：珠海学院学系：电气自动化研究所专业：电气工程及其自动化课程名称：数学建模方法及应用学生姓名：学号：指导教师：2010年6 月23 日基于最优化理论的钢管下料问题[摘要]本题求解的是钢管下料问题，是一个整数线性规划的优化模型。
问题（1）求解如何下料最为节省，对于如何为最节省，给出两个目标，一个是剩余总余料最省，另一个是切割原料钢管总根数最少。
对于总余料的定义为：每根钢管切割后不能再切割出产品的部分及生产出来而没有卖掉的产品。
两个目标虽然不同，但是最优解中所用的切割模式和切割钢管根数是一样的，因此两个模型具有等价性。
问题（2）求解的是如何下了是总费用最少。
总费用包括两个方面的费用：一是用于购买原料钢管的费用，这部分费用由购买原料钢管总根数决定；二是切割原料钢管的增加费用。
由于切割每根原料钢管的增加费用与原料钢管的价值成正比关系，可以目标函数转化为钢管根数的函数。
根据事实依据增加一些适当的约束条件，使软件快速和有效地求解。
[关键字]：钢管下料优化模型整数规划目录1．问题重述42．问题分析42.1.问题一42.2.问题二53．模型假设54．符号说明65．模型建立与求解65.1.问题一65.2.问题二96．模型检验及评价11参考文献11附录一12附录二151.问题重述某钢管零售商从钢管厂进货,将钢管按照顾客的要求切割后售出. 从钢管厂进货时得到的原料钢管长度都是1850mm. 现有一客户需要15根290mm、28根315mm、21根350mm 和30根455mm的钢管.一根原料钢管最多生产5根产品. 此外, 为了减少余料浪费,每种切割模式下的余料浪费不能超过100mm.（1）应如何下料最节省？（2）为了简化生产过程, 规定所使用的切割模式的种类不能超过4种, 使用频率最高的一种切割模式按照每切割一根原料钢管价值的1/10增加费用, 使用频率次之的切割模式按照一根原料钢管价值的2/10增加费用, 依此类推。
合理下料问题
合理下料问题摘要节省原材料，提高材料的利用率，减少废料，降低成本，提高经济效益，对各工业领域来说都是一项有意义的事情。
本文提出了下料问题的一种使用数学模型，来研究钢管最合理的切割方法。
关键字：最优化线性规划 LINGO软件一、问题重述某钢管零售商从钢管厂进货，然后将钢管按照顾客的要求切割后售出，从钢管厂进货时，每根钢管的长度都是19米①现在有一客户需要50根4米、20根6米、15根8米的钢管，应如何下料最节省？②零售商如果采用的不同切割方式太多，将会导致生产过程的复杂化，从而增加生产和管理成本，所以该零售商规定采用的不同切割方式不能超过3种。
此外，该客户除需要①中的三种钢管外，还需要10根5米的钢管，应如何下料最省？二、问题分析1、现在的目标是确定一个合理的方案使得下料最省，获利最多。
2、①从题目给出的数据可知，客户所需要的三种不同长度的钢管都是由钢管厂19米长的钢管切割而来的，具体的切割方式有以下7种：方式4m钢管/根6m钢管/根8m钢管/根余料/米一 4 0 0 3二 3 1 0 1三 2 0 1 3四 1 2 0 3五 1 1 1 1六0 3 0 1七0 0 2 3②从题目给出的数据可知，客户所需要的四种不同长度的钢管都是由钢管厂19米长的钢管切割而来的，具体的切割方式有以下16种：方式4m钢管/根5m钢管/根6m钢管/根8m钢管/根余料/米一 4 0 0 0 3二 3 1 0 0 2三 3 0 1 0 1四 2 0 0 1 3五 2 2 0 0 1六 2 1 1 0 0七 1 0 2 0 3八 1 3 0 0 0九 1 1 0 1 2十 1 0 1 1 1 十一0 0 3 0 1 十二0 0 0 2 3 十三0 1 2 0 2 十四0 1 1 1 0 十五0 2 0 1 1 十六0 2 1 0 3三、模型假设（1）假设切割不损失钢管。
四、符号说明Xn表示采用方式n的次数；Z表示切割总根数。
数学建模 之易拉罐下料问题
易拉罐形状和尺寸的最优设计模型
【摘要】本模型是易拉罐形状和尺寸的最优设计问题。其关键问题是如何优化易拉罐
形状和尺寸比例以达到节省生产成本的目的。根据最优化理论，根据给出的不同的易拉罐形
状，利用算数几何平均值不等式求极小值的方法，以易拉罐表面积为目标函数的数学模型，
求出盖直径和罐高之比为 1：1，这与所测量的顶盖到底的高度约为顶盖直径的 2 倍这一关
含量为 355ml 的易拉罐高 123.7 mm与罐体半径 30.51 mm还是比较接近的（饮料罐不能装
满饮料，必须留有一定的空间余量）。
4
易拉罐形状和尺寸的最优设计模型
但也看出两组数据之间也存在一定差异，这是因为我们所测量的易拉罐下底并非是一个 圆面，而是一个向上凸的拱面，接近上、下底部分是两个正圆台。
一．问题重述
我们只要稍加留意就会发现现在销量很大的饮料（例如饮料量为 355ml 的可口可乐、青
岛啤酒等）的饮料罐（即易拉罐）的形状和尺寸几乎都是一样的，这并非偶然，这是某种意
义下的最优设计。当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限
的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。因此，我
模型二：主体为正圆柱体，上面部分为正圆台模型建立
当易拉罐的上面部分是一个正圆台，下面部分是正圆柱体时（如
图 4），假设正圆柱体部分的罐内半径为 R ，罐内高为 h2 ，罐壁厚
为 b ；正圆台部分上底内半径为 r1 ，正圆台 内高为 h1 。根据假设 1
可知，易拉罐罐底与罐盖的厚度均为 2b ，仍以制作易拉罐的材料最
在罐底部分，根据拱桥的原理：桥面设计成一定的拱形时， 它的受力比一般平面桥要大得多。因此我们把罐底底轨内的部分 设计成具有一定弧度的拱面，使其能够更好的承受罐内液体的压 力。
下料问题数学建模(钢管)
防盗窗下料问题摘要本文针对寻找经济效果最优的钢管下料方案，建立了优化模型。
问题中的圆形管下料设定目标为切割原料圆形管数量尽可能少且在使用一定数量圆形管的过程中使被切割利用过的原料总进价尽可能低。
问题中的方形管原料不足以提供所需截得的所用钢管，故设目标为使截得后剩余方形管总余量最小。
模型的建立过程中，首先运用了C语言程序，利用逐层分析方法，罗列出针对一根钢材的截取模式；然后根据条件得出约束关系，写出函数关系并对圆形管下料建立了线性模型，对方形管下料建立了非线性模型；接着，在对模型按实际情况进行简化后，借助lingo程序对模型求解，得出了模型的最优解，并给出了最符合经济效果最优原则的截取方案。
关键词：钢管下料；最优化；lingo；问题提出某不锈钢装饰公司承接了一住宅小区的防盗窗安装工程，为此购进了一批型号为304的不锈钢管，分为方形管和圆形管两种，方管规格为25×25×1.2(mm),圆管规格Φ19×1.2(mm)。
每种管管长有4米和6米两种，其中4米圆形管5000根，6米圆形管9000根，4米方形管2000根，6米方形管2000根。
根据小区的实际情况，需要截取1.2m圆管8000根， 1.5m圆管16500根，1.8m圆管12000根，1.4m方形管6000根，1.7m方形管4200根，3m方形管2800根。
请根据上述的实际情况建立数学模型，寻找经济效果最优的下料方案。
基本假设和符号说明1、假设钢管切割过程中无原料损耗或损坏；2、假设余料不可焊接；3、假设同种钢材可采用的切割模式数量不限；4、假设不同长度钢管运费、存储资源价值没有区别；5、假设该304型号不锈钢管未经切割则价值不变，可在其它地方使用。
为便于描述问题，文中引入一些符号来代替基本变量，如表一所示：问题分析与模型建立问题中的圆形管原料足够，寻找经济效果最优的下料方案，即目标为切割原料圆形管数量尽可能少。
考虑到6米圆形管与4米圆形管的采购价格应该是不同的，所以我们寻求的是在使用一定数量6米圆形管与4米圆形管的过程中使被切割利用过的原料总进价尽可能低。
数学建模--钢管下料问题
钢管下料问题摘要:如何建立整数规划模型并得出整数规划模型的求解方法是本实验要点,本题建立最常见的线性整数规划,利用分支定界法和Lingo 软件进行求解原料下料类问题，即生产中通过切割、剪裁、冲压等手段，将原材料加工成所需大小；按照工艺要求，确定下料方案，使所用材料最省，或利润最大。
分支定界法可用于解纯整数或混合的整数规划问题，此方法灵活且便于用计算机求解，所以现在它已是解整数规划的重要方法。
Lingo 软件的功能是可以求解非线性规划(也可以做线性规划,整数规划等)，特点是运算速度快，允许使用集合来描述大规模的优化问题。
大规模数学规划的描述分为四个部分： model:1．集合部分（如没有，可省略） SETS:集合名/元素1，元素2，…，元素n/：属性1，属性2，… ENDSETS2．目标函数与约束部分3．数据部分（如没有，可省略）4．初始化部分（如不需要初始值，可省略） end关键字：材料 Lingo 软件 整数规划问题描述：某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割后售出，从钢管厂进货时得到的原料都是19米。
（1）现有一顾客需要50根4米、20根6米和15根8 米的钢管。
应如何下料最节省？（2）零售商如果采用的不同切割模式太多，将会导致生产过程的复杂化，从而增加生产和管理成本，所以该零售商规定采用的不同切割模式不能超过3种。
此外，该客户除需要（1）中的三种钢管外，还需要10根5米的钢管。
应如何下料最节省。
（1）问题简化：问题1. 如何下料最节省 ? 节省的标准是什么？原料钢管:每根19米 4米50根 6米20根 8米15根问题2. 客户增加需求：由于采用不同切割模式太多，会增加生产和管理成本，规定切割模式不能超过3种。
如何下料最节省？问题分析：切割模式,例如：按照客户需要在一根原料钢管上安排切割的一种组合。
为满足客户需要，按照哪些种合理模式，每种模式切割多少根原料钢管，最为节省？两种标准：1.原料钢管剩余总余量最小。
2004年全国首届研究生数学建模优秀论文B题
零件集合 G1 ，故上述所算出的所用的原材料数要小于等于 100 4 ，注意若
4
iG1
a
ij
0 ，即表示第 j 种下料方式中没有切割到零件集合 G1 中的零件，因此：
aij 0, i G1 ，这样按照注释 1 中的约定
0 ˆ 0 ，可知正好表示：这种下料方式 0
不产生集合 G1 中的零件，故而这条约束很完善； 6． 约束中第五条和第四条的解释类似； 约束中第六条和第七条表示 aij 和 x j 要取整数。 对于废料的度量：由于存在锯缝为 5mm，对任何一种可行的下料方式
时的锯缝可以是直的也可以是弯的，切割所引起的锯缝损耗忽略不计.据估计， 该 企 业 每 天 最 大 下 料 能 力 是 20 块 要 求 在 4 天 内 完 成 的 零 件 标 号 ( i ) 为 : 3,7,9,12,15, 18, 20, 25, 28, 36.
1
二．问题的分析 在生产实践中，经常会遇到如钢材、木材等条型材的下料问题，即如何根据 原材料的长度、零件的尺寸以及需求量确定出使原材料消耗最少的最优下料方 案。本题要求：在生产能力容许的条件下，以最少数量的原材料，尽可能按时完 成需求任务, 同时下料方式数也尽量地小。 对于一维下料问题，首先我们必须找出全部可行的下料方式；然后才能确定 下料方式作为决策变量和形式约束条件的结构系数，这样才能建立优化决策模 型，通过计算机编程计算得到我们所需要的最优下料方案。考虑到这里是单一原 材料下料问题，这大大减少了下料方式；但由于零件的种类有 53 种之多，因此 下料方式仍然很多，计算量很大，所以在建立优化模型的基础上，我们需要找到 比较合适的算法来解决这类实际问题。近年来，国内外关于这方面的研究比较活 跃，并涌现出了不少近似算法，如 Gilmore 与 Gomory 用线性规划建立的一刀切 问题的数学模型；Dyckhoff 提出的线性规划方法以及 Sarker 提出的动态规划方 法等。由于下料问题属于布局问题，不同于一般的数值性优化,近年又出现应用 遗传算法来求解下料优化问题。 我们力图建立一种实用的模型——多目标整数规 [1] [2][7] ，并提出一种新的优化思想方法——启发式多层次逐层优化方法， 划模型 解决此问题；同时与其他的求解方法进行比较。 对于二维下料问题，我们采用分类层次分析法；由于原材料的长度为 3000mm，宽度为 100mm，而 43 种零件的长度最小的为 155mm，这样就不会出现零 件的长边在原材料的宽边上切割的情况， 也就是说零件的长边都是顺着原材料的 长边切割的。考虑到零件的宽有 20，30，35，50（mm）这 4 种规格，为了尽量 节省材料，我们应该使原材料在宽边上尽量利用完全，这样只有几种宽边完全利 用的组合方式（5 种） ，分别为：50-50，50-30-20， 30-30-20-20，35-35-30， 20-20-20-20-20。我们把零件按宽边的规格分为 4 类（20，30，35，50） ，对每 一类都可按问题一的处理一维下料问题的方式找最优的方案， 然后再把他们按上 述的几种方式进行组合，以求得最优解。
易拉罐下料问题数学建模论文
平顶山学院数学与信息科学学院数学与应用数学专业数学建模论文文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.论文名称易拉罐下料问题2011年12月15日易拉罐下料问题摘要数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并“解决”实际问题的一种强有力的数学手段。
数学建模就是用数学语言描述实际现象的过程。
其中，线性规划方法是数学建模方法中的一种，它是在第二次世界大战中发展起来的一种重要的数量方法，是运筹学的一个最重要的分支，理论上最完善，实际应用得最广泛。
主要用于研究有限资源的最佳分配问题，即如何对有限的资源作出最佳方式地调配和最有利地使用，以便最充分地发挥资源的效能去获取最佳的经济效益。
在建立模型时，考虑到实际题目的要求，我们对易拉罐的生产模式进行了合理的设计并约定特定的公式符号以及对问题进行进一步分析。
对几种易拉罐的生产模式进行定量描述，采用线性规划方法建立线性规划模型，并通过LINGO软件对模型进行求解，以确定最佳的生产方式。
对于问题（3）我们用求极值的方法确定易拉罐高h与底面半径r之间关系，进而根据体积求出h和r的值，再用类似于上述的方法求解。
最后，本文对模型进行评价，指出了模型的科学性跟合理性。
关键词：最大生产量 盈利 形状与尺寸一、问题重述易拉罐生产企业采用一套柔性制造系统生产一种容量为255毫升的易拉罐，这种易拉罐是用镀锡板冲压制成的。
易拉罐为圆柱，罐高13cm ，上盖和下底直径为5cm 。
加工原料为50cm ×60cm 的镀锡板。
（1）200张镀锡板最多可以生产多少只易拉罐？怎样安排生产？（2）现在可以每一张1元的市场价购买最多2万张镀锡板，每种不同的加工模式需要付出100元生产准备费。
每张镀锡板加工费0.1元，而加工余料可以1元/平方米的价格出售。
每只易拉罐加工费0.02元，收益为0.2元。
产量至少达到怎样的规模公司才可以盈利？怎样安排生产，可以使总利润达到最大？（3）如果允许改变易拉罐的形状，怎样可以进一步节省材料和提高利润？对于变形后的易拉罐回答（1）（2）中的问题。
数学建模之下料问题
数学建模第三次作业下料问题摘要本文是针对如何对钢管进行下料问题，根据题目要求以及下料时有关问题进行建立切割费用最少以及切割总根数最少两个目标函数通过结果分析需要使用何种切割模式。
生产方式所花费的成本价格或多或少有所不同，如何选取合理的生产方式以节约成本成为了很多厂家的急需解决的问题。
这不仅仅关系到厂家的利益，也影响到一个国家甚至整个人类星球的可利用资源，人们的生活水平不断提高对物资的需求量也不断上升，制定有效合理的生产方式不仅可以为生产者节约成本也可以为社会节约资源，以达到资源利用最大化。
本文以用于切割钢管花费最省及切割总根数最少为优化目标，通过构建多元函数和建立线性整数规划模型，利用数学及相关方面的知识对钢管的切割方式进行优化求解最佳方案。
本文最大的特色在于通过求解出切割钢管花费最省及切割总根数最少时分别得出两种目标函数取最小值时的切割模式。
通过结果发现两种目标函数取最小值时所需切割根数都一样。
于是选择切割钢管花费最省为目标函数，此时的切割模式达到最少，这样既满足了总根数最小有满足了切割费用最小。
关键词：切割模式LINGO软件线性整数一、问题的提出某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割后出售。
从钢管厂进货时得到的原料钢管的长度都是1850mm。
现有一客户需要15根290mm、28根315mm、21根350mm和30根455mm的钢管。
为了简化生产过程，规定所使用的切割模式的种类不能超过4种，使用频率最高的一种切割模式按照一根原料钢管价值的1/10增加费用，使用频率次之的切割模式按照一根原料钢管价值的2/10增加费用，依次类推，且每种切割模式下的切割次数不能太多（一根钢管最多生产5根产品）。
此外，为了减少余料浪费，每种切割模式下的余料不能超过100mm。
为了使总费用最小，应如何下料？二、基本假设1、假设所研究的每根钢管的长度均为1850mm的钢管。
2、假设每次切割都准确无误。
3、假设切割费用短时间内不会波动为固定值。
钢管下料数学建模
钢管下料数学建模（实用版）目录一、引言二、钢管下料问题的背景和意义三、数学建模方法和技术的选择四、具体建模方法和解决方案五、结论正文一、引言随着我国经济的快速发展，钢铁工业作为基础产业之一，其生产效率和质量的提升成为了行业面临的重要问题。
其中，钢管下料问题作为钢铁生产过程中的关键环节，如何提高下料效率和减少材料浪费，对于提高整体生产效益具有重要意义。
为此，我们需要对钢管下料问题进行数学建模，以期找到最优解决方案。
二、钢管下料问题的背景和意义钢管下料是指将一根钢管按照一定的切割模式进行切割，得到一定长度的钢管。
这个问题在钢铁、建筑等行业具有普遍性。
钢管下料问题的关键在于如何在满足生产需求的同时，最大限度地减少材料浪费，提高生产效率。
因此，对钢管下料问题进行数学建模，有助于优化资源配置，提高整体生产效益。
三、数学建模方法和技术的选择针对钢管下料问题，我们可以采用数学建模方法进行求解。
数学建模主要包括线性规划、非线性规划、整数规划等。
其中，线性规划适用于求解目标函数线性、约束条件线性的问题；非线性规划适用于求解目标函数非线性、约束条件非线性的问题；整数规划则适用于求解整数解的问题。
针对钢管下料问题，我们可以根据具体情况选择合适的数学建模方法。
四、具体建模方法和解决方案在对钢管下料问题进行数学建模时，我们可以根据实际生产需求和切割模式，建立目标函数和约束条件。
具体来说，可以根据钢管的总长度、不同长度的钢管数量以及切割模式等，建立目标函数和约束条件。
然后，采用相应的数学建模方法，求解最优解，从而得到最佳的切割方案。
五、结论通过对钢管下料问题进行数学建模，我们可以找到最优的切割方案，从而在满足生产需求的同时，最大限度地减少材料浪费，提高生产效率。
数学建模——下料问题
由假设 2,3 为了使每种切割模式下的余料浪费不能超过 100mm，构造如下约束 条件：
1750 290r11 215r21 350r31 455r41 1850 1750 290r12 215r22 350 r32 455r42 1850 1750 290r13 215r23 350 r33 455r43 1850 1750 290r14 215r24 350 r34 455r44 1850
2.2 模型的求解 运用 lingo，对上述线性规划问题求解，得到如下结果：
2.3 结果分析 使用原料钢管总根数为 16+6+1=23 根，切割模式为： 模式 1 将每根原料钢管切割 1 根 290mm，1 根 215mm，1 根 355mm，2 根 455mm， 共 16 根 模式 2 将每根原料钢管切割 2 根 215mm，3 根 455mm，共 6 根 模式 3 将每根原料钢管切割 5 根 355mm，共 1 根 模式 4 将每根原料钢管切割 4 根 455mm，共 0 根 3 模型的检验与进一步分析 3.1 模型的检验 客户需要 15 根 290mm、28 根 215mm、21 根 350mm 和 30 根 455mm 的钢管，原 料钢管 1850mm，那么至少需要原料钢管为 15 290 28 215 21 350 30 455 =17 根 1850
为了确定原料钢管数量的最大值，我们采用枚举法求解，将 1 根原料钢管分 别切割成 290mm、215mm、350mm 和 455mm 根数进行讨论，可得表 1 结果， 表 1 原料钢管数量的最大值讨论结果
切割长度 方案 1 方案 2 方案 3 方案 4 方案 5 方案 6 方案 7 方案 8 290mm 215mm 350mm 455mm 总长 余量 原料钢管 根数
数学建模论文钢管下料
数学建模承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：我们的电子文件名：所属学校（请填写完整的全名）：广西教育学院参赛队员(打印并签名) ：1. 陈夏玲2. 陈秋兰3. 熊明利指导教师或指导组负责人(打印并签名)：日期：2013 年6月16日钢管下料问题的建模与求解问题：某钢管零售商从钢管厂进货将钢管按照顾客的要求切割后售出。
从钢管进货时，得到的原料钢管的原料都是1850mm。
现有一客户需要15根295mm、28根315mm、21根350mm和30根455mm的钢管。
为了简化生产过程规定所使用的切割模式的总类不能超过4种，使用频率最高的一种切割模式按照一根原料钢管价值得1/10增加费用，使用频率次之的切割模式按照一根原料钢管价值的2/10增加费用，以此类推，且每种切割模式下的切割次数不能太多（一根原料钢管最多生产5根产品）。
此外，为了减少余料浪费，每种切割模式下的余料浪费不能超过100mm。
为了使总费用最小，应如何下料？二、摘要本文以钢管下料为背景，在尽量减少余料浪费，简化生产过程等约束条件下，应如何选取最优切割方案使总费用最小的问题进行了简要的分析。
首先通过提取问题中的有用信息，即所使用的切割模式的种类不能超过4种，且每种切割模式下的切割次数不能太多（一根原钢管最多生产5根产品）等，可以列出一系列约束条件。
由于切割模式使用频率可以有两种或两种以上相同，为了简便起见，对问题进行了一些简化假设，然后在这些假设下建立了数学规划模型，对问题进行了初步解答。
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3.下料问题班级：计科0901班姓名：徐松林学号：2009115010130摘要：本文建立模型，以最少数量的原材料以及最少的余料浪费来满足客户的需求。
主要考虑到两方面的问题。
钢管零售商是短时间内出售钢管，则应该以最少原材料根数为目标函数来建模模型；钢管零售商是长时间内出售钢管，则应该以最少余料浪费为目标函数。
有效地使用背包问题及线性规划、非线性规划等算法，算出最优解。
特别是钢管零售商是短时间内出售钢管，需要分析切割模式的种类1到4种的各个情况的整数最优解，再依次比较每个情况的最优解得出总的最优解。
关键词：余料、原材料、加工费、总费用。
一、问题背景工厂在实际生产中需要对标准尺寸的原材料进行切割，以满足进一步加工的需要，成为下料问题。
相关数据表明，原材料成本占总生产成本的百分比可以高达45%～60%，而下料方案的优劣直接影响原材料的利用率，进而影响原材料成本。
因此需要建立优化的下料方案，以最少数量的原材料以及最少的余料浪费，尽可能按时完成需求任务。
二．问题描述及提出某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割后售出.从钢管厂进货时得到的原料钢管长度都是1850mm.现有一客户需要15根290mm、28根315mm、21根350mm 和30根455mm的钢管.为了简化生产过程，规定所使用的切割模式的种类不能超过4种，使用频率最高的一种切割模式按照一根原料钢管价值的1/10增加费用，使用频率次之的切割模式按照一根原料钢管价值的2/10增加费用，依此类推，且每种切割模式下的切割次数不能太多（一根原料钢管最多生产5根产品）。
此外，为了减少余料浪费，每种切割模式下的余料浪费不能超过100mm.为了使总费用最小，应如何下料？在该目标下要求考虑下面两个问题：1.若钢管零售商是短时间内出售钢管（即每次将钢管按照顾客的要求切割后售出，多余的零件不准备下次售出），则每次应该以最少原材料根数为目标函数。
2.若钢管零售商是长时间内出售钢管（即每次将钢管按照顾客的要求切割后售出，多余的零件也留着准备下次售出），则每次应该以最少余料浪费为目标函数。
三．符号说明L：1850mm长的原料钢管。
a:长为290mm的零件。
b:长为315mm的零件。
c:长为350mm的零件。
d:长为455mm的零件。
e:余料。
p：一根原料钢管的价值。
x1:按照方案1需切割的原料钢管的个数。
x2:按照方案2需切割的原料钢管的个数。
x3:按照方案3需切割的原料钢管的个数。
x4:按照方案4需切割的原料钢管的个数。
x5:按照方案5需切割的原料钢管的个数。
x6:按照方案6需切割的原料钢管的个数。
x7:按照方案7需切割的原料钢管的个数。
x8:按照方案8需切割的原料钢管的个数。
x9:按照方案9需切割的原料钢管的个数。
x10:按照方案10需切割的原料钢管的个数。
s:原料费。
q：加工费。
Q:总费用x:频率最高的一种切割方案。
y:频率次之的切割方案。
由x,y依此类推定义n,m。
四．问题分析由上问题描述可知，每根钢管L对应有很多种分割零件方案。
分别如下：满足条件：1：规定所使用的切割模式的种类不能超过4种。
2：每种切割模式下的切割次数不能太多（一根原料钢管最多生产5根产品）。
3：为了减少余料浪费，每种切割模式下的余料浪费不能超过100mm.为了使总费用最小。
满足条件2和条件3的方案有10种。
从条件1知，现在从10个切割方案中选出不超过4种的方案使得总费用最小。
则从x1到x10中至少有6个约束变量为0。
.6．模型的建立与求解首要满足原料费最小值。
次要满足加工费最小值。
1.基于问题一：目标函数：原料费s=(x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10)*p加工费q=(x/10+y*2/10+n*3/10+m*4/10)*p约束函数:3*x1+2*x2+1*x1+1*x1+1*x1>=15;1*x2+2*x3+1*x4+3*x6+2*x7+1*x8>=28;2*x4+3*x5+1*x6+2*x7+3*x8+5*x9>=21;2*x1+2*x2+2*x3+1*x4+1*x5+1*x6+1*x7+1*x8+4*x10>=30xj>=0,j=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10且xj为整数;(i)先不考虑整数的限制，即解相应的线性规划，的最优解为：x1=0.4190,x2=1.7087,x3=9.3878,x4=0.3278,x5=0.6114,x6=0.4138,x7=0.3306, x8=5.2868,x9=0.3156,x10=0.0000。
(ii)因为xj当前均非整数，故不满足整数要求，则需进行分支定界法。
（即每次对一个最趋近于0的点取0，在回带，使之最少有6个变量为0，依次顺序为x10=0—>x9=0—>x6=0—>x4=0—>x1=0—>x2=0具体操作见matlab程序）当回带到第6个值为0的变量时得当前最优解：x1=0,x2=0,x3=11.2,x4=0,x5=3.8,x6=0,x7=1.8,x8=2,x9=0,x10=0。
（1）当切割模式的种类为4种此时可得最优解：x1=0,x2=0,x3=11,x4=0,x5=4,x6=0,x7=2,x8=2,x9=0,x10=0。
原料费s=19p加工费q=3.3p总费用Q=22.3p（2）当切割模式的种类为3种此时可得最优解：x1=0,x2=0,x3=12,x4=0,x5=3,x6=0,x7=0,x8=4,x9=0,x10=0。
原料费s=19p加工费q=3p总费用Q=22p（3）当切割模式的种类为2种此时可得最优解：x1=0,x2=0,x3=15,x4=0,x5=0,x6=0,x7=0,x8=7,x9=0,x10=0。
原料费s=22p加工费q=2.9p总费用Q=24.9p（4）当切割模式的种类为1种此时可得最优解：x1=0,x2=0,x3=0,x4=30,x5=0,x6=0,x7=0,x8=0,x9=0,x10=0。
原料费s=30p加工费q=3p总费用Q=33p综上所述：最优解：切割方案的种类为3种：按照方案3切割的原料钢管的个数为12根；按照方案5切割的原料钢管的个数为3根；按照方案8切割的原料钢管的个数为4根是，所的费用最少，为22p。
2.基于问题二:目标函数：余料：e=x1*70+x2*45+x3*20+x4*90+x5*55+x6*100+x7*65+x8*30+x9*100+x10*30加工费q=(x/10+y*2/10+n*3/10+m*4/10)*p约束函数:3*x1+2*x2+1*x1+1*x1+1*x1>=15;1*x2+2*x3+1*x4+3*x6+2*x7+1*x8>=28;2*x4+3*x5+1*x6+2*x7+3*x8+5*x9>=21;2*x1+2*x2+2*x3+1*x4+1*x5+1*x6+1*x7+1*x8+4*x10>=30xj>=0,j=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10且xj为整数;此时可得最优解：x1=0,x2=0,x3=15,x4=0,x5=0,x6=0,x7=0,x8=7,x9=0,x10=0。
余料e=510mm。
恰各个解都满足条件。
最优解：切割方案的种类为2种：按照方案3切割的原料钢管的个数为15根；按照方案8切割的原料钢管的个数为3根；按照方案8切割的原料钢管的个数为7根是，所的余料最少，为510mm。
七．模型评价求解结果表明，若钢管零售商是短时间内出售钢管（即每次将钢管按照顾客的要求切割后售出，多余的零件不准备下次售出），则每次应该以最少原材料根数为目标函数。
若钢管零售商是长时间内出售钢管（即每次将钢管按照顾客的要求切割后售出，多余的零件也留着准备下次售出），则每次应该以最少余料浪费为目标函数。
本模型在对问题深入分析地基础上，有效地使用背包问题及线性规划、非线性规划等算法，对于实用下料问题提出简明的方案优化算法，结果接近最优解。
模型在算法的稳定性等方面缺乏理论分析，有效度的定义需要更加严密的证明。
附录：matlab代码：问题一中：（i）f=[1 1 1 1 1 1 1 1 1 1];a=[-3 -2 -1 -1 -1 0 0 0 0 0;0 -1 -2 -1 0 -3 -2 -1 0 0;0 0 0 -2 -3 -1 -2 -3 -5 0;-2 -2 -2 -1 -1 -1 -1 -1 0 -4];b=[-15;-28;-21;-30];ib=[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0];ub=[];x=linprog(f,a,b,[],[],ib,ub)sum(x)x =0.41901.70879.38780.32630.61140.41380.33065.28680.3156ans =18.8000(ii)f=[1 1 1 1];a=[-1 -1 0 0;-2 0 -2 -1;0 -3 -2 -3;-2 -1 -1 -1];b=[-15;-28;-21;-30];ib=[0 0 0 0];ub=[];x=linprog(f,a,b,[],[],ib,ub)sum(x)Optimization terminated.x =11.20003.80001.80002.0000ans =18.8000问题二中：f=[70 45 20 90 55 100 65 30 100 30]; a=[-3 -2 -1 -1 -1 0 0 0 0 0;0 -1 -2 -1 0 -3 -2 -1 0 0;0 0 0 -2 -3 -1 -2 -3 -5 0;-2 -2 -2 -1 -1 -1 -1 -1 0 -4];b=[-15;-28;-21;-30];ib=[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0];ub=[];x=linprog(f,a,b,[],[],ib,ub)sum(x)Optimization terminated.x =0.00000.000015.00000.00000.00000.00000.00007.00000.0000 ans =22.0000。