材料力学 第14章 超静定结构
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第十四章材料力学超静定结构
RMB B
第32次作业：习题14— 4 a,b 第33次作业：习题14—5a,14—8 第34次作业：习题14—3a,14—15 第35次作业：习题14—3b,14—11
P
x1
x1
1
1P
2 EI
a
(
0
Px2
)a2dx2
Pa 3 2EI
11
2 EI
[
a
2 0
x12dx1
a
(
0
a 2
)
2dx2
] 7 Pa 3 12 EI
则
7Pa3 Pa3 12 EI X12EI 0
6
X17P
P
P
由平衡方程求得：
RA
RB
6 7
P
H AH B P
M
A
M
B
4 7
P
a
A
B
HA
HB
RA MA
P
PP
X2 P
例3 试求图示刚架的全部约束反力。刚架EI为常数。 C
解：图示刚架有三个多余未知力。但
P
P
由于结构是对称的，而载荷反对称，
a
a
故对称轴横截面上轴力、弯矩为零，
只有一个多余未知力（剪力），只需
A
B
列出一个正则方程求解。
11X11P 0
用莫尔定理求1P和11。
P
P X1 X1
x2 x2
将上述结果代入变形协调方程得 11P
16
X1l3 5Pl 3 0 3EI 48EI
X
1
5 16
P
(f) A
3Pl
⑤求其它约束反力
16
由平衡方程可求得A端反
材料力学-力法求解超静定结构
3 优化结构设计
力法求解超静定结构时，可以根据计算结果优化结构设计，提高结构的强度和稳定性。
结论与总结
力法是求解超静定结构的有效方法，通过合理应用材料力学基础和力法的原理，我们能够准确求解反力分布并 分析结构的应力情况。
样例分析
结构：桥梁
使用力法求解桥梁上的悬臂梁，计算主梁的支座反 力和悬臂梁的应力分布。
结构：楼房
将力法应用于楼房结构，确定楼板的支座反力并分 析楼梯的受力情况。
实用提示和技巧
1 标定自由度
在应用力法时，正确标定结构的自由度是成功求解反力的重要步骤。
2 验证计算结果
对计算得到的反力进行验证，确保结果的准确性，避免错误的设计决策。
材料力学-力法求解超静 定结构
超静定结构的定义
超静定结构是指具有不止一个不可靠支持反力的结构。它们挑战了传统的结构分析方法，需要使用力法进行求 解。
材料力学基础
材料力学研究材料的受力和变形规律，包括弹性力学、塑性力学和损伤力学。 这些基础理论为力法求解超静定结构提供了必要的工具。
力法的原理
力法是一种基于平衡原理和支座反力法则的结构分析方法。它通过对超静定结构施加虚位移，建立受力平衡方 程，求解未知反力。
超静定结构应用力法求解的步骤
1
确定结构类型
了解结构是否为超静定结构，并确定不
计算反力
2
可靠支持反力的个数。
根据力法原理，建立并求解受力平衡方
程，计算未知反力。
3
验证平衡
通过检查受力平衡方程是否满足等式的
确定应力分布
4
要求，验证计算的反力是否正确。
பைடு நூலகம்
根据已知反力和结构的几何特性，计算 并绘制应力分布图。
力法求解超静定结构时，可以根据计算结果优化结构设计，提高结构的强度和稳定性。
结论与总结
力法是求解超静定结构的有效方法，通过合理应用材料力学基础和力法的原理，我们能够准确求解反力分布并 分析结构的应力情况。
样例分析
结构：桥梁
使用力法求解桥梁上的悬臂梁，计算主梁的支座反 力和悬臂梁的应力分布。
结构：楼房
将力法应用于楼房结构，确定楼板的支座反力并分 析楼梯的受力情况。
实用提示和技巧
1 标定自由度
在应用力法时，正确标定结构的自由度是成功求解反力的重要步骤。
2 验证计算结果
对计算得到的反力进行验证，确保结果的准确性，避免错误的设计决策。
材料力学-力法求解超静 定结构
超静定结构的定义
超静定结构是指具有不止一个不可靠支持反力的结构。它们挑战了传统的结构分析方法，需要使用力法进行求 解。
材料力学基础
材料力学研究材料的受力和变形规律，包括弹性力学、塑性力学和损伤力学。 这些基础理论为力法求解超静定结构提供了必要的工具。
力法的原理
力法是一种基于平衡原理和支座反力法则的结构分析方法。它通过对超静定结构施加虚位移，建立受力平衡方 程，求解未知反力。
超静定结构应用力法求解的步骤
1
确定结构类型
了解结构是否为超静定结构，并确定不
计算反力
2
可靠支持反力的个数。
根据力法原理，建立并求解受力平衡方
程，计算未知反力。
3
验证平衡
通过检查受力平衡方程是否满足等式的
确定应力分布
4
要求，验证计算的反力是否正确。
பைடு நூலகம்
根据已知反力和结构的几何特性，计算 并绘制应力分布图。
材料力学第十四章__超静定结构
§14．1 超静定结构概述
整理课件
本节应用能量法求解静不定系统。 应用能量法求解静不定系统，特别是对桁 架、刚架等构成的静不定系统，将更加有效 。 求解静不定问题的关键是建立补充方程。 静不定系统，按其多余约束的情况，可以 分为外力静不定系统和内力静不定系统。
整理课件
支座反力静不定 类型反力静定内力静不定
整理课件
解静不定梁的一般步骤
(4)在求出多余约束反力的基础上，根据静 力平衡条件，解出静不定梁的其它所有支 座反力。 (5)按通常的方法（已知外力求内力、应力 、变形的方法）进行所需的强度和刚度计 算。
整理课件
例：作图示梁的弯矩图 。
整理课件
解：变形协调条件为
A 0
即
MAl2Pl2 10 2 382
A
M10 1
D
P
1
2
(d)
(e)
1 P0 2M E 1 0 M P d I s2 P E 20 2 a (I 1 c
o) s (1 )d P2(a 1 ) 2 E2 I
1102M E102IdsE aI02(1)2d2EaI
上面两式代入 正则方程：
11
X 整理课1件
Pa( 2
)
求出X1后，可得图（C）
解得
MA
3Pl 16
整理课件
3Pl MA 16
11 P
5P
16
整理课件
另解：变形协调条件为
vB 0
即
RBl2
2l Pl2
5l
0
2 386
解得
5P
RB 16
整理课件
5P
5Pl/32
16
3Pl 16
新超静定结构14刘鸿文第四版材料力学的课件25页PPT
n1X1n2X2nnXnnF0
矩阵形式：
11 12 1nX1 1F
21
n1
22
n2
2nnn X Xn2 2nFF0
ii 表示沿着 X i方向X i 1单独作用时所产生的位移
i j 表示沿着 X i方向 X j 1 单独作用时所产生的位移
iF 表示沿着 X i方向载荷F单独作用时所产生的位移
▪ 对称结构在对称载荷作用下的情况：
F
F
F
X3
X2
F
X1
X3 X2
P
P
P
P
用图乘法可证明
当对称结构上受对称载荷作用时，在对称面上反对称内力等于零。
可得：
1 22 12 33 20
于是正则方程可化为
11X1 13X3 1F
31X1 33X3 3F
22X2 0
目录
对称结构在反对称载荷作用下的情况：
目录
Xi 1引起的弯矩为M i
设：
X
j
1引起的弯矩为M
j
载荷F引起的弯矩为 M F
则：
ii
l
Mi Mi EI
dx
ij
l
Mi Mj EI
dx
iF
l
Mi MF EI
dx
目录
14-3 对称及反对称性质的利用
对称性质的利用：
对称结构：若将结构绕对称轴对折后， 结构在对称轴两边的部分将完全重合。
1PE 1Iq23aa2 qE4 aI
B
a
X1
B a
1
q
C aD a
A
q C aD a
由 1X 11 1 P 0得 X 13 q 8a
A
矩阵形式：
11 12 1nX1 1F
21
n1
22
n2
2nnn X Xn2 2nFF0
ii 表示沿着 X i方向X i 1单独作用时所产生的位移
i j 表示沿着 X i方向 X j 1 单独作用时所产生的位移
iF 表示沿着 X i方向载荷F单独作用时所产生的位移
▪ 对称结构在对称载荷作用下的情况：
F
F
F
X3
X2
F
X1
X3 X2
P
P
P
P
用图乘法可证明
当对称结构上受对称载荷作用时，在对称面上反对称内力等于零。
可得：
1 22 12 33 20
于是正则方程可化为
11X1 13X3 1F
31X1 33X3 3F
22X2 0
目录
对称结构在反对称载荷作用下的情况：
目录
Xi 1引起的弯矩为M i
设：
X
j
1引起的弯矩为M
j
载荷F引起的弯矩为 M F
则：
ii
l
Mi Mi EI
dx
ij
l
Mi Mj EI
dx
iF
l
Mi MF EI
dx
目录
14-3 对称及反对称性质的利用
对称性质的利用：
对称结构：若将结构绕对称轴对折后， 结构在对称轴两边的部分将完全重合。
1PE 1Iq23aa2 qE4 aI
B
a
X1
B a
1
q
C aD a
A
q C aD a
由 1X 11 1 P 0得 X 13 q 8a
A
材料力学第十四章-超静定结构
材料力学第十四章-超静 定结构
欢迎来到材料力学第十四章的学习！本章将介绍超静定结构，我们将一起探 索它的特点、设计方法、力学分析以及应用领域。让我们开始学习吧！
超静定结构的定义
1 什么是超静定结构?
超静定结构是指具有多余约束的结构，其构件由多于所需的约束连接。
超静定结构的特点
1 多余约束的好处
超静定结构具有更高的稳定性和刚度，能够承受更大的荷载。
2 调整性能
通过改变约束条件，可以调整超静定结构的性能。
超静定结构的设计方法
1
力学方法
利用材料力学的知识和结构理论进行设计和分析。
2
优化设计
采用优化算法寻找最佳的结构设计。
3
经验和直觉
通过经验和直觉进行设计和改进。
超静定结构的力学分析
受力分析
通过受力分析了解超静定结构中力的传递和分布。
应力分析
通过应力分析研究超静定结构中的应力分布和变形。
超静定结构的应用领域
桥梁工程
超静定结构可以提高桥梁的稳定性和承载能力。
航空航天
超静定结构可以减轻飞行器的重量，提高性能。
建筑设计
超静定结构可以实现更大跨度和更复杂的建筑形 态。
机械设计
超静定结构可以提高机械设备的稳定性和准确性。
超静定结构的挑战与解决方案
1
挑战
超静定结构的设计和分析复杂，需要考虑多个因素。
2
解决方案
借助计算机辅助设计和模拟技术，提高设计和分析的效率。
3
创新思维
采用创新的方法和理念，寻找超静定结构的新应用。
总结与展望
通过本章的学习，我们了解了超静定结构的定义、特点、设计方法、力学分 析、应用领域以及面临的挑战。希望这些知识能够帮助您深入了解这一领域， 并为未来的设计和研究提供启示。
欢迎来到材料力学第十四章的学习！本章将介绍超静定结构，我们将一起探 索它的特点、设计方法、力学分析以及应用领域。让我们开始学习吧！
超静定结构的定义
1 什么是超静定结构?
超静定结构是指具有多余约束的结构，其构件由多于所需的约束连接。
超静定结构的特点
1 多余约束的好处
超静定结构具有更高的稳定性和刚度，能够承受更大的荷载。
2 调整性能
通过改变约束条件，可以调整超静定结构的性能。
超静定结构的设计方法
1
力学方法
利用材料力学的知识和结构理论进行设计和分析。
2
优化设计
采用优化算法寻找最佳的结构设计。
3
经验和直觉
通过经验和直觉进行设计和改进。
超静定结构的力学分析
受力分析
通过受力分析了解超静定结构中力的传递和分布。
应力分析
通过应力分析研究超静定结构中的应力分布和变形。
超静定结构的应用领域
桥梁工程
超静定结构可以提高桥梁的稳定性和承载能力。
航空航天
超静定结构可以减轻飞行器的重量，提高性能。
建筑设计
超静定结构可以实现更大跨度和更复杂的建筑形 态。
机械设计
超静定结构可以提高机械设备的稳定性和准确性。
超静定结构的挑战与解决方案
1
挑战
超静定结构的设计和分析复杂，需要考虑多个因素。
2
解决方案
借助计算机辅助设计和模拟技术，提高设计和分析的效率。
3
创新思维
采用创新的方法和理念，寻找超静定结构的新应用。
总结与展望
通过本章的学习，我们了解了超静定结构的定义、特点、设计方法、力学分 析、应用领域以及面临的挑战。希望这些知识能够帮助您深入了解这一领域， 并为未来的设计和研究提供启示。
第14章 超静定结构资料.
代（2）入（1）式可得：Δ1 Δ1P δ11X1 ——（3）
P
3. 建立变形协调条件, 并确定 X1
因 B 点原为一可动铰支座, 故
A
Δ1 0
即： Δ1P δ11X1 0 —（4）
B
a
4
4
O
从而：
X1
Δ1P δ11
式（4）所表示的标准式的方程式称为力法的正则方程，而
上述的解题过程中以“力 X 1 ”为基本未知量，由变形协调条件
一．力法及正则方程的概念
举例说明：曲杆如图 (a) 所示, 试求支座 B 的约束反力。
P
B
a
A
4
4
O
(a)
P
B
X1
A
4
O
(b)
解: 1. 建立基本静定系如图 (b) 所示。 2. 将静定系分解成图 (c) 和图 (d) 两种情况的叠加。
P
A
4
(c)
1P B
A O
X1
B
X1
4
O
(d)
A
4
(e)
11 若 B 点的竖向位移用 Δ1表示, 则:
并求出各个载荷单独作用下多余约束处的 变形量。 (3)根据多余约束处的变形条件，建立变形几何关系，
求出未知约束反力。
2.举例说明：
例14-1：试求图示静不定梁的约束反力。
q B
L
解：
（1）建立基本静定系统如图<a>所示 （2）将图<a>分解成图<b>和图<c>两种情况的叠加
图中：
q B
RB (a)
q
(c)
( b)
4. 平面杆系： 若杆系中各杆的轴线在同一平面内（形心主惯性平面），且
P
3. 建立变形协调条件, 并确定 X1
因 B 点原为一可动铰支座, 故
A
Δ1 0
即： Δ1P δ11X1 0 —（4）
B
a
4
4
O
从而：
X1
Δ1P δ11
式（4）所表示的标准式的方程式称为力法的正则方程，而
上述的解题过程中以“力 X 1 ”为基本未知量，由变形协调条件
一．力法及正则方程的概念
举例说明：曲杆如图 (a) 所示, 试求支座 B 的约束反力。
P
B
a
A
4
4
O
(a)
P
B
X1
A
4
O
(b)
解: 1. 建立基本静定系如图 (b) 所示。 2. 将静定系分解成图 (c) 和图 (d) 两种情况的叠加。
P
A
4
(c)
1P B
A O
X1
B
X1
4
O
(d)
A
4
(e)
11 若 B 点的竖向位移用 Δ1表示, 则:
并求出各个载荷单独作用下多余约束处的 变形量。 (3)根据多余约束处的变形条件，建立变形几何关系，
求出未知约束反力。
2.举例说明：
例14-1：试求图示静不定梁的约束反力。
q B
L
解：
（1）建立基本静定系统如图<a>所示 （2）将图<a>分解成图<b>和图<c>两种情况的叠加
图中：
q B
RB (a)
q
(c)
( b)
4. 平面杆系： 若杆系中各杆的轴线在同一平面内（形心主惯性平面），且
材料力学超静定全版
结构与支承物的连接处只 能发生转动，不能发生刚 性位移。
按几何特征分类
连续性
Hale Waihona Puke 结构在各个方向上都是连 续的。非连续性
结构在某些方向上存在间 断，如梁的弯曲变形。
平面性
结构在某个平面内发生变 形，如薄板弯曲。
按求解方法分类
解析法
01
近似法
02
03
实验法
通过数学解析的方法求解超静定 问题，需要建立复杂的数学模型。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
解决超静定问题的技术和方法在工程 实践中具有广泛的应用价值，为复杂 结构的分析和设计提供重要的理论支 持和技术指导。
02 超静定问题的分类
按支承情况分类
01
02
03
固定支承
结构与支承物的连接处不 能发生任何方向的位移， 只能发生转动。
弹性支承
结构与支承物的连接处既 有刚性位移，又有弹性位 移。
铰支承
机械装置超静定问题分析
总结词
保障机械运转稳定性
详细描述
机械装置在运转过程中会受到各种外力和内 力的作用，导致其发生变形和位移。超静定 问题分析能够评估机械装置在不同工况下的 稳定性，预防因变形和位移引起的故障，提 高机械运转的可靠性和效率。
05 超静定问题的未来研究方 向
新型材料的超静定问题研究
详细描述
复杂结构如高层建筑、大跨度桥梁、空间结构等，其 超静定问题涉及到多个自由度和多种非线性因素，需 要深入研究其静力、动力和稳定性等问题。
多场耦合的超静定问题研究
要点一
总结词
要点二
详细描述
多场耦合的超静定问题研究将成为一个重要方向。
按几何特征分类
连续性
Hale Waihona Puke 结构在各个方向上都是连 续的。非连续性
结构在某些方向上存在间 断，如梁的弯曲变形。
平面性
结构在某个平面内发生变 形，如薄板弯曲。
按求解方法分类
解析法
01
近似法
02
03
实验法
通过数学解析的方法求解超静定 问题，需要建立复杂的数学模型。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
解决超静定问题的技术和方法在工程 实践中具有广泛的应用价值，为复杂 结构的分析和设计提供重要的理论支 持和技术指导。
02 超静定问题的分类
按支承情况分类
01
02
03
固定支承
结构与支承物的连接处不 能发生任何方向的位移， 只能发生转动。
弹性支承
结构与支承物的连接处既 有刚性位移，又有弹性位 移。
铰支承
机械装置超静定问题分析
总结词
保障机械运转稳定性
详细描述
机械装置在运转过程中会受到各种外力和内 力的作用，导致其发生变形和位移。超静定 问题分析能够评估机械装置在不同工况下的 稳定性，预防因变形和位移引起的故障，提 高机械运转的可靠性和效率。
05 超静定问题的未来研究方 向
新型材料的超静定问题研究
详细描述
复杂结构如高层建筑、大跨度桥梁、空间结构等，其 超静定问题涉及到多个自由度和多种非线性因素，需 要深入研究其静力、动力和稳定性等问题。
多场耦合的超静定问题研究
要点一
总结词
要点二
详细描述
多场耦合的超静定问题研究将成为一个重要方向。
第14章静不定结构详解
（a）
外力超静定
（b）
内力超静定
（c）
外力超静定
（d）
内力超静定
（e）
混合超静定
(Statically Indeterminate Structure) 四、超静定次数的判定
（1）外力超静定次数的判定:根据约束性质确定支反力的个 数,根据结构所受力系的类型确定独立平衡方程的个数,二者的差 即为结构的超静定次数；
§14-2 用力法解静不定结构
一、力静定结构的多余约束，用多余约束力代替多余约束,得 到一个几何不变的静定系统,称为原静不定系统的“相当系统”;
2.在多余约束处满足“变形几何条件”,得到变形协调方程; 3.由补充方程求出多余约束力;（利用能量法求解） 4.在基本系统上求解原超静定结构的内力和变形. （解除多余约束后的静定结构）
(Statically Indeterminate Structure)
第十四章 静不定问题分析
§14-1 静不定结构概述 §14-2 用力法解静不定结构 §14-3 对称及反对称性质的应用
(Statically Indeterminate Structure)
§14-1 静不定结构概述
一、静不定结构
M
=
FB (asinϕ) −
F (a sin(φ
−
π
)) 4
当在B点作用一单位力时（图d）,
弯矩方程为
B
F
ϕ FB
A
π/4
(b)
B
M = asinϕ M = asinϕ
1
ϕ
A (d)
(Statically Indeterminate Structure)
应用莫尔积分,并设曲杆的EI为常量,
材料力学第14章(静不定)
a
qa4 8EI
( M1 M1) ( M1 M2) ( M2 M2)
( MF M1)
(MF M2)
⑤代入力法正则方程：
4a3
a3
qa4
3EI
X1 2EI
X2
6EI
0
a3 2EI
X1
a3 3EI
X
2
qa4 8EI
0
X1
1 7
qa
X2
5 28
qa
⑥画弯矩图
A 5qa
28
q
qa
7
B
qa2 qa2 7
1 6
2
B
A
应用叠加法求桁架各杆的内力
( P78)
表14.1
杆件 编号 FNi FNi
1 －F 1
2 －F 1
3
01
401
5 2F 2
6 0 2
FNPi FNi FNi X1
－F/2 －F/2 F/2 F/2
F/ 2 －F/ 2
[题2-43] 求三杆的轴力，各杆的EA相等。 解：
1
2
3
l
a
a
1
A
q
MF图
B
1 2
qa
2
a
a
A
1
B M1图
A
1
M2图
Ba
11
1 EI
1 2
a
2
2 3
a
a
2
a
4a3
3EI
12
1 EI
1 2
a2
a
a3 2EI
22
1 EI
1 2
a2
2 3
a
刘鸿文《材料力学》(第6版)复习笔记和课后习题及考研真题详解-第14~15章【圣才出品】
22KN·m。
梁内最大正应力：σ′max＝|Mmax|/W＝22×103/（141×10－6）Pa＝156MPa。
14.2 用力法解题 6.35 和 6.41。 解：（1）用力法解题 6.35 解除支座 C，代之以支反力为 X1，其相当系统如图 14-2-4 所示。
5 / 98
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故由莫尔定理可得
11=
FN FN l EA
M Mdx 5l 2a3 EI EA 3EI
1F =
FN F N l EA
M Mdx 2Fl
EI
EA
将以上两式代入力法方程可得：X1＝－Δ1F/δ11＝6FlI/（15Il＋2a3A）。
故各杆内力：FN1＝[（3Il＋2a3A）/（15Il＋2a3A）]·F，FN2＝[6lI/（15Il＋2a3A）]·F。
由静力平衡条件可得，在力 F 单独作用下：FN1＝F，FN2＝0，M1＝M2＝0。
当在 B 点单独作用一单位力时，有
＿
＿
FN1＝－2，FN2＝1
＿
AC 段：M1＝x（0≤x＜a）。
3 / 98
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＿
＿
BC 段：M2＝x＋FN1（x－a）＝2a－x（a≤x≤2a）。
（3）用力法解题 6.40
图 14-2-3 解除拉杆内力，代之以反力 X1，其相当系统如图 14-2-3 所示。 其力法方程：δ11X1＋Δ1F＝0。 其中，q 单独作用下，拉杆内力 FN＝0。 AB 的弯矩方程：M（x）＝－qx2/2，（0≤x≤4）。
＿
在 B 点单独作用一单位力时，拉杆内力FN1＝1。
1．解除多余约束，并代之以约束力 X1、X2、X3…，得到基本静定系统；
梁内最大正应力：σ′max＝|Mmax|/W＝22×103/（141×10－6）Pa＝156MPa。
14.2 用力法解题 6.35 和 6.41。 解：（1）用力法解题 6.35 解除支座 C，代之以支反力为 X1，其相当系统如图 14-2-4 所示。
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故由莫尔定理可得
11=
FN FN l EA
M Mdx 5l 2a3 EI EA 3EI
1F =
FN F N l EA
M Mdx 2Fl
EI
EA
将以上两式代入力法方程可得：X1＝－Δ1F/δ11＝6FlI/（15Il＋2a3A）。
故各杆内力：FN1＝[（3Il＋2a3A）/（15Il＋2a3A）]·F，FN2＝[6lI/（15Il＋2a3A）]·F。
由静力平衡条件可得，在力 F 单独作用下：FN1＝F，FN2＝0，M1＝M2＝0。
当在 B 点单独作用一单位力时，有
＿
＿
FN1＝－2，FN2＝1
＿
AC 段：M1＝x（0≤x＜a）。
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＿
＿
BC 段：M2＝x＋FN1（x－a）＝2a－x（a≤x≤2a）。
（3）用力法解题 6.40
图 14-2-3 解除拉杆内力，代之以反力 X1，其相当系统如图 14-2-3 所示。 其力法方程：δ11X1＋Δ1F＝0。 其中，q 单独作用下，拉杆内力 FN＝0。 AB 的弯矩方程：M（x）＝－qx2/2，（0≤x≤4）。
＿
在 B 点单独作用一单位力时，拉杆内力FN1＝1。
1．解除多余约束，并代之以约束力 X1、X2、X3…，得到基本静定系统；
材料力学超静定问题
材料力学超静定问题
材料力学是研究物质内部受力和变形的学科，其中超静定问题是力学中的一个
重要分支。
超静定问题是指在结构中由于支座的限制，导致结构处于超静定状态，无法通过静力学方法进行完全确定。
在实际工程中，超静定问题的解决对于结构的设计和分析具有重要意义。
超静定问题的解决方法有很多种，其中较为常用的是引入位移法和能量法。
位
移法是通过引入未知的位移量来解决超静定问题，通过位移的约束条件和力的平衡条件来求解结构的内力和位移。
而能量法则是通过能量的原理来解决超静定问题，通过构造适当的能量函数，利用能量的最小原理来求解结构的内力和位移。
在实际工程中，超静定问题的解决需要结合具体的结构和受力情况来进行分析。
通常可以通过建立结构的受力模型，确定支座的约束条件，引入适当的未知量，建立相应的方程组，利用位移法或能量法来求解结构的内力和位移。
在进行计算时，需要考虑结构的受力平衡和位移连续性等条件，确保所得到的解是合理的。
除了位移法和能量法外，还可以利用有限元方法来求解超静定问题。
有限元方
法是一种数值计算方法，通过将结构福利分割成有限个单元，建立相应的数学模型，利用数值计算的方法来求解结构的内力和位移。
有限元方法具有较高的计算精度和适用范围，可以有效地求解复杂结构的超静定问题。
总的来说，超静定问题的解决是结构力学中的一个重要课题，对于工程实践具
有重要意义。
在实际工程中，需要根据具体的结构和受力情况，选择合适的方法来进行分析和求解。
通过合理的建模和计算，可以有效地解决超静定问题，为工程设计和分析提供可靠的依据。
材料力学(刘鸿文)第十四章超静定结构
P
aa
2a
2a
4、作刚架的弯矩图
q=4KN/m B
4m
4m
C
四、静不定综合
1、两根长为L＝2米的竖直简支梁，在跨中用一根拉紧的金属丝
相连。左边梁的抗弯刚度为EI1＝50KNm2，右边梁的抗弯刚度 为EI2＝150KNm2。金属丝的横截面面积为65毫米2，E＝70GPa， 求在两梁的跨中施加两个2KN的力后，金属丝内的应力。
a C
D
a
2a
B
8、两个长度相等的悬臂梁之间用一拉杆连接，梁与 杆采用同种材料制成。梁的抗弯截面系数为 WZ=AL/16，惯性矩为IZ=AL2/3。其中：A为杆的 横截面面积；L为梁的长度。求拉杆内的应力。
L
L
P
L/2 L/2
9、L1/L2=2/3，EI1/EI2=4/5。中间夹一刚珠。 求梁内的最大弯矩。
也可以把卡盘处视为多余约束而解除，得到静定基。
9 相当系统
在外载和多余约束作用下的静定基称为相当系统。
R
P
P
M P
10 超静定问题的分析方法
1.位移法： 以未知位移为基本未知量。
列出用位移表示的力的平衡方程
2.力法： 以未知力为基本未知量。
① 变形比较法 ② 力法正则方程 ③ 三弯矩方程
§14–2 变形比较法 原理：
支梁，AB的A端固定，B端自由。加载前两梁在中
点接触，不计梁的自重。求在力P的作用下B端沿作
用力方向的位移。
D
P
A
B
C
15 水平刚性横梁AB上部由杆1和杆2悬挂，下部由 铰支座C支承，如图所示。由于制造误差，使杆1的 长度做短了δ=1.5mm。已知两杆的材料和横截面面 积均相同，且E1=E2=E=200GPa，A1=A2=A。试求 装配后两杆的应力。
材料力学刘鸿文第六版最新课件第十四章 超静定结构
EI 对
EI 对
EI 对
E1I1
称 E1I1 E1I1 轴
称 E1I1 E1I1 轴
称 E1I1 轴
15
正确利用对称、反对称性质，则可推知某些未知量，可大
大简化计算过程：如对称变形对称截面上，反对称内力为零；
反对称变形对称截面上，对称内力为零。
例如： 对 称
X2 X3 X3
X1 X1 X2 P
轴
X3 X3
24
[例4 ] 试用三弯矩方程作等刚度连续梁AC的弯矩图。见图(a)。
解：AC梁总共有二跨，跨
q
长l1=l2=l 。中间支座编号应 (a)A
取为1，即n=1。由于已知0，
l
2两支座上无弯矩，故
P=ql
B
C
l/2 l/2
M n1M00; M nM1M B; M n1M 20
q (b)A
MB P=ql
26
将图(d)中的单位弯矩图乘以
5 ql 2 32
便得到MB在简支梁上 产生的M图，
再与载荷引起的M 图(c)相加，
就得到梁AC的弯矩 (e) 图，见图(e)。
1 ql 2 8
1 ql 2 4
5 ql 2 32
11ql 2 64
+
+
–
5 ql 2
32
27
X1l3 5Pl 3 0 3EI 48EI
X1
5 16
P
(f)
⑥求其它约束反力
11P 16
A
3Pl 16
由平衡方程可求得A端反
力，其大小和方向见图(f)。
⑦进一步可作其他计算： 如作弯矩图可如图（g）所示
(g) –
材料力学-第十四章 超静定结构
4 链条的一环如图所示。试求环内最大弯矩。
-3-
第十四章 超静定结构
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5 为改善桥式起重机大梁的刚度和强度，在大梁的下方增加预应力拉杆 CD。梁的计算简 图如图 b 所示。由于 CC’′和 DD′两杆甚短，且刚度较大，其变形可以不计。试求拉杆 CD 因吊重Ｐ而增加的内力。
-4-
第十四章 超静定结构
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学号
姓名
6 折杆截面为圆形，直径。d=2cm,a=0.2m，l=1m,f=650N，E=200GPa，G=80GPa。试 求 F 力作用点的垂直位移。
7 求解图示超静定刚架。
-5-
第十四章 超静定结构
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8 车床夹具如图所示，EI 已知。试求夹具 A 截面上的弯矩。
-6-
第十四章 超静定结构
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1 图示杆系各杆的材料相同，横截面面积相等，试求各杆的内力。建议用力法求解。
-1-
第十四章 超静定结构
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2 作图示刚架的弯矩图。设刚架各杆的 EI 皆相等。
姓名
-2-
第十四章 超静定结构
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3 刚架的Ａ，Ｂ两点由拉杆ＡＢ相联接，拉杆的抗拉刚度为ＥＡ。试作刚架的弯矩图。
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例题 14-4
M1 图
M F图
1 a 2 2a a3 ⋅ = δ11 = EI 2 3 3EI ∆1F 1 a 2 qa 2 qa 4 ⋅ =− 2 8 = − 16EI EI
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例题 14-4
由力法正则方程δ11 X1 + ∆1F = 0得： 3qa X1 = 16 3qa ∴X C = ，YC = 0，M C = 0 16 qa 3qa X A (→) = X B (←) = ,YA = YB = (↑) 16 2 qa 2 M A (顺时针) = M B (逆时针) = 16
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对 称 结 构
对称结构的对称变形
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对 称 结 构
对称结构的对称变形
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对 称 结 构 对称结构的对称变形
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对 称 结 构
对称结构的对称变形
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对称结构，反对称载荷 对称结构，
判断载荷反对称的方法： 判断载荷反对称的方法：
将对称面（轴）一侧的载荷反向，若变为 将对称面（ 一侧的载荷反向， 对称的，则原来的载荷便是反对称的。 对称的，则原来的载荷便是反对称的。
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对 称 结 构
对称结构的对称变形－ 对称结构的对称变形－对称结构在对称载 荷作用下: 荷作用下:
约束力、内力分量以及变形和位移都是对称的; 约束力、内力分量以及变形和位移都是对称的; 反对称的内力分量必为零; 反对称的内力分量必为零; 某些对称分量也可等于零或变为已知。 某些对称分量也可等于零或变为已知
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对称结构，反对称载荷 对称结构，
对称结构的反对称变形
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对称结构，反对称载荷 对称结构，
对称结构的一般变形
一般变形
对称变形
反对称变形
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例题14例题14-3 14
等截面平面框架的受力情况如图所示。 等截面平面框架的受力情况如图所示。试求最大弯矩及 其作用位置。 其作用位置。
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按图示的极坐标系写出1/4圆环的弯矩方程： 按图示的极坐标系写出1/4圆环的弯矩方程： 圆环的弯矩方程
M (ϕ ) = F R sin ϕ − X1R(1 − cos ϕ ) − X 2 2
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例题14例题14-5 14
两端固定的半圆环在对称截面处受集中力F作用。 两端固定的半圆环在对称截面处受集中力F作用。环轴线 的半径为R 弯曲刚度为EI， 的半径为R，弯曲刚度为EI，不计剪力和轴力对圆环变形 的影响。试用卡氏第二定理求对称截面上的内力。 的影响。试用卡氏第二定理求对称截面上的内力。
M F图
(逆时针)
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例题14例题14-2 14
试求图示刚架的支反力。已知两杆的弯曲刚度均为EI， 试求图示刚架的支反力。已知两杆的弯曲刚度均为EI 不计剪力和轴力对刚架变形的影响。 不计剪力和轴力对刚架变形的影响。
解：结构为一次超静定， 结构为一次超静定， 支座B为多余约束， 支座B为多余约束，解 除后用多余反力X 除后用多余反力X代替 （图（b）所示）。 所示）。
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例题14例题14-2 14
BD段 BD段： M ( x) = 0， DC段 DC段： M ( x) = −M e，
M =x
M =x
M =a
qy 2 CA段： M ( y) = −M e − ， CA段 2
a 1 a 2 4a3 δ11 = x dx + ∫ a 2dy = 3EI 0 EI ∫0 a 1 11M e a 2 qa 4 1 a qy 2 ∆1F = − ∫a M e xdx + ∫（M e + )ady = + 0 2 6 EI 2 EI 8
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§14.3 对称及反对称性质的利用
求解超静定结构时，可以利用结构的对称性 求解超静定结构时，可以利用结构的对称性 利用结构的 和反对称性减少未知力的个数，简化计算。 反对称性减少未知力的个数，简化计算。 减少未知力的个数
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对 称 结 构
对称结构 —— 几何形状、尺寸、材料、约束 几何形状、尺寸、材料、 等对称于某一对称轴。 等对称于某一对称轴。
影响系数
δij (i = 1,2,3; j = 1,2,3)
Mi M j EI
M Mi EI
处施加单位力， 点处X 在Xj处施加单位力，在Xi点处 i方向的位移
δ ij = δ ji = ∫
dx
∆iF = ∫
dx
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q A B
1 L3 δ11 = ∫ M ( x1 ) ⋅ M ( x1 )dx = EI 0 3EI
第 十 四 章
超静定结构
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第十四章 超静定结构 十四章
§14.1 §14.2 §14.3 §14.4 超静定结构概述 用力法解超静定结构 用力法解超静定结构 对称及反对称性质的利用 连续梁及三弯矩方程
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§14.1
超静定结构概述
超静定分类： 超静定分类：
外力超静定 内力超静定 既有内力超静定， 既有内力超静定，又有外力超静定
6
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超静定结构
静定结构
静定结构
7
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二、内力静不定系统
有些结构， 有些结构，支座反力可以由静力平衡 条件全部求出， 条件全部求出，但无法应用截面法求出所 有内力，这类结构称为内力静不定系统。 有内力，这类结构称为内力静不定系统。 求解内力静不定系统， 求解内力静不定系统，需要解除杆件 或杆系的内部约束。 或杆系的内部约束。
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§14.2
用力法解超静定结构
在求解静不定结构时， 在求解静不定结构时，一般先解除多余约 束，代之以多余约束力，得到基本静定系。再 代之以多余约束力，得到基本静定系。 根据变形协调条件得到关于多余约束力的补充 方程。这种以“ 方程。这种以“力”为未知量，由变形协调条 为未知量， 件为基本方程的方法， 力法。 件为基本方程的方法，称为力法。
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对称结构，反对称载荷 对称结构， 对称结构的反对称变形 —— 对称结构 在反对称载荷作用下: 在反对称载荷作用下:
其约束力、内力分量、变形和位移等 其约束力、内力分量、 必须是反对称的； 必须是反对称的； 对称的内力分量、约束力必为零； 对称的内力分量、约束力必为零； 某些反对称约束力和反对称的内力分 量也可能为零。 量也可能为零。
δ11 X1 + δ12 X 2 + δ13 X 3 = −∆1F δ 21 X1 + δ 22 X 2 + δ 23 X 3 = −∆2 F δ 31 X1 + δ 32 X 2 + δ 33 X 3 = −∆3F
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协调方程的矩阵形式 （力法正则方程） 力法正则方程）
δ11 δ12 δ13 X1 − ∆1F δ X = − ∆ 21 δ 22 δ 23 2 2 F δ 31 δ 32 δ 33 X 3 − ∆3F
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例题 14-3
解：载荷关于对角线AC 和BD反对称。 由平衡条件可得： 2 Q = P cos 45°= P 2 M max Pa = 2
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M max 发生在外载荷P作用点处
例题 14-4
平面刚架受力如图， 常数。 平面刚架受力如图，各杆 EI=常数。试求 处的约 常数 试求C处的约 束力、支座反力。 束力、支座反力。
A
x1
X1 =1
X1 =
3qL 8
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例题 14-1
试求图示平面刚架的支座反力。已知各杆 EI=常数。 试求图示平面刚架的支座反力。 常数。 常数
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例题 14-1
M1 图
M F图
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例题 14-1
M1 图
4a3 1 a 2 2a δ11 = ⋅ + a 2 ⋅ a = 3EI EI 2 3 1 qa3 qa 4 ∆1F = − 2 ⋅ a = − 2EI EI 3qa 由δ11 X1 + ∆1F = 0 得 X1 = 8 3qa (↓) ∴X B = 0, YB = 8 11qa qa 2 (↑), M A = 8 X A = 0, YA = 8
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求 解 方 法：
解除
1 结构静定化 杆件或支座 2 在未知力处 3
变形条件 Mohr积分 积分 求解 建立
静定基（不唯一， 静定基（不唯一，以 方便为准） 变形协调条件
借助 补充方程（力法） 补充方程（力法）
4 力法方程
线性方程
未知力
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以一例说明解法
q
1
2
3
X1
X2
X3
• 静定基（含未知数） 静定基（含未知数）
解：半圆环为三次超静定。在对 圆环为三次超静定。 称截面处将环切开，得到静定系， 称截面处将环切开，得到静定系， 切面处的多余反力有三个：X1、 切面处的多余反力有三个： X2 和 X3。
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例题14例题14-5 14
考虑到结构和荷载的对称性， X3 =0 。 考虑到结构和荷载的对称性， 和切开前的环相比，应满足的变形相条件是切口两边的 和切开前的环相比， 相对线位移、相对角位移均为零，即： 相对线位移、相对角位移均为零， ∆ = 0， 0， θ =0
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建立方程的过程
∆1 = δ11 X1 + δ12 X 2 + δ13 X 3 + ∆1F