材料力学 第14章 超静定结构

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例题 14-4
M1 图
M F图
1 a 2 2a a3 ⋅ = δ11 = EI 2 3 3EI ∆1F 1 a 2 qa 2 qa 4 ⋅ =− 2 8 = − 16EI EI
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例题 14-4
由力法正则方程δ11 X1 + ∆1F = 0得： 3qa X1 = 16 3qa ∴X C = ，YC = 0，M C = 0 16 qa 3qa X A (→) = X B (←) = ,YA = YB = (↑) 16 2 qa 2 M A (顺时针) = M B (逆时针) = 16
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对 称 结 构
对称结构的对称变形
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对 称 结 构
对称结构的对称变形
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对 称 结 构 对称结构的对称变形
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对 称 结 构
对称结构的对称变形
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对称结构，反对称载荷 对称结构，
判断载荷反对称的方法： 判断载荷反对称的方法：
将对称面（轴）一侧的载荷反向，若变为 将对称面（ 一侧的载荷反向， 对称的，则原来的载荷便是反对称的。 对称的，则原来的载荷便是反对称的。
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对 称 结 构
对称结构的对称变形－ 对称结构的对称变形－对称结构在对称载 荷作用下: 荷作用下:
约束力、内力分量以及变形和位移都是对称的; 约束力、内力分量以及变形和位移都是对称的; 反对称的内力分量必为零; 反对称的内力分量必为零; 某些对称分量也可等于零或变为已知。 某些对称分量也可等于零或变为已知
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对称结构，反对称载荷 对称结构，
对称结构的反对称变形
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对称结构，反对称载荷 对称结构，
对称结构的一般变形
一般变形
对称变形
反对称变形
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例题14例题14-3 14
等截面平面框架的受力情况如图所示。 等截面平面框架的受力情况如图所示。试求最大弯矩及 其作用位置。 其作用位置。
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按图示的极坐标系写出1/4圆环的弯矩方程： 按图示的极坐标系写出1/4圆环的弯矩方程： 圆环的弯矩方程
M (ϕ ) = F R sin ϕ − X1R(1 − cos ϕ ) − X 2 2
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例题14例题14-5 14
两端固定的半圆环在对称截面处受集中力F作用。 两端固定的半圆环在对称截面处受集中力F作用。环轴线 的半径为R 弯曲刚度为EI， 的半径为R，弯曲刚度为EI，不计剪力和轴力对圆环变形 的影响。试用卡氏第二定理求对称截面上的内力。 的影响。试用卡氏第二定理求对称截面上的内力。
M F图
(逆时针)
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例题14例题14-2 14
试求图示刚架的支反力。已知两杆的弯曲刚度均为EI， 试求图示刚架的支反力。已知两杆的弯曲刚度均为EI 不计剪力和轴力对刚架变形的影响。 不计剪力和轴力对刚架变形的影响。
解：结构为一次超静定， 结构为一次超静定， 支座B为多余约束， 支座B为多余约束，解 除后用多余反力X 除后用多余反力X代替 （图（b）所示）。 所示）。
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例题14例题14-2 14
BD段 BD段： M ( x) = 0， DC段 DC段： M ( x) = −M e，
M =x
M =x
M =a
qy 2 CA段： M ( y) = −M e − ， CA段 2
a 1 a 2 4a3 δ11 = x dx + ∫ a 2dy = 3EI 0 EI ∫0 a 1 11M e a 2 qa 4 1 a qy 2 ∆1F = − ∫a M e xdx + ∫（M e + )ady = + 0 2 6 EI 2 EI 8
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§14.3 对称及反对称性质的利用
求解超静定结构时，可以利用结构的对称性 求解超静定结构时，可以利用结构的对称性 利用结构的 和反对称性减少未知力的个数，简化计算。 反对称性减少未知力的个数，简化计算。 减少未知力的个数
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对 称 结 构
对称结构 —— 几何形状、尺寸、材料、约束 几何形状、尺寸、材料、 等对称于某一对称轴。 等对称于某一对称轴。
影响系数
δij (i = 1,2,3; j = 1,2,3)
Mi M j EI
M Mi EI
处施加单位力， 点处X 在Xj处施加单位力，在Xi点处 i方向的位移
δ ij = δ ji = ∫
dx
∆iF = ∫
dx
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q A B
1 L3 δ11 = ∫ M ( x1 ) ⋅ M ( x1 )dx = EI 0 3EI
第 十 四 章
超静定结构
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第十四章 超静定结构 十四章
§14.1 §14.2 §14.3 §14.4 超静定结构概述 用力法解超静定结构 用力法解超静定结构 对称及反对称性质的利用 连续梁及三弯矩方程
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§14.1
超静定结构概述
超静定分类： 超静定分类：
外力超静定 内力超静定 既有内力超静定， 既有内力超静定，又有外力超静定
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超静定结构
静定结构
静定结构
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二、内力静不定系统
有些结构， 有些结构，支座反力可以由静力平衡 条件全部求出， 条件全部求出，但无法应用截面法求出所 有内力，这类结构称为内力静不定系统。 有内力，这类结构称为内力静不定系统。 求解内力静不定系统， 求解内力静不定系统，需要解除杆件 或杆系的内部约束。 或杆系的内部约束。
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§14.2
用力法解超静定结构
在求解静不定结构时， 在求解静不定结构时，一般先解除多余约 束，代之以多余约束力，得到基本静定系。再 代之以多余约束力，得到基本静定系。 根据变形协调条件得到关于多余约束力的补充 方程。这种以“ 方程。这种以“力”为未知量，由变形协调条 为未知量， 件为基本方程的方法， 力法。 件为基本方程的方法，称为力法。
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对称结构，反对称载荷 对称结构， 对称结构的反对称变形 —— 对称结构 在反对称载荷作用下: 在反对称载荷作用下:
其约束力、内力分量、变形和位移等 其约束力、内力分量、 必须是反对称的； 必须是反对称的； 对称的内力分量、约束力必为零； 对称的内力分量、约束力必为零； 某些反对称约束力和反对称的内力分 量也可能为零。 量也可能为零。
δ11 X1 + δ12 X 2 + δ13 X 3 = −∆1F δ 21 X1 + δ 22 X 2 + δ 23 X 3 = −∆2 F δ 31 X1 + δ 32 X 2 + δ 33 X 3 = −∆3F
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协调方程的矩阵形式 （力法正则方程） 力法正则方程）
δ11 δ12 δ13 X1 − ∆1F δ X = − ∆ 21 δ 22 δ 23 2 2 F δ 31 δ 32 δ 33 X 3 − ∆3F
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例题 14-3
解：载荷关于对角线AC 和BD反对称。 由平衡条件可得： 2 Q = P cos 45°= P 2 M max Pa = 2
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M max 发生在外载荷P作用点处
例题 14-4
平面刚架受力如图， 常数。 平面刚架受力如图，各杆 EI=常数。试求 处的约 常数 试求C处的约 束力、支座反力。 束力、支座反力。
A
x1
X1 =1
X1 =
3qL 8
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例题 14-1
试求图示平面刚架的支座反力。已知各杆 EI=常数。 试求图示平面刚架的支座反力。 常数。 常数
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例题 14-1
M1 图
M F图
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例题 14-1
M1 图
4a3 1 a 2 2a δ11 = ⋅ + a 2 ⋅ a = 3EI EI 2 3 1 qa3 qa 4 ∆1F = − 2 ⋅ a = − 2EI EI 3qa 由δ11 X1 + ∆1F = 0 得 X1 = 8 3qa (↓) ∴X B = 0, YB = 8 11qa qa 2 (↑), M A = 8 X A = 0, YA = 8
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求 解 方 法：
解除
1 结构静定化 杆件或支座 2 在未知力处 3
变形条件 Mohr积分 积分 求解 建立
静定基（不唯一， 静定基（不唯一，以 方便为准） 变形协调条件
借助 补充方程（力法） 补充方程（力法）
4 力法方程
线性方程
未知力
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以一例说明解法
q
1
2
3
X1
X2
X3
• 静定基（含未知数） 静定基（含未知数）
解：半圆环为三次超静定。在对 圆环为三次超静定。 称截面处将环切开，得到静定系， 称截面处将环切开，得到静定系， 切面处的多余反力有三个：X1、 切面处的多余反力有三个： X2 和 X3。
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例题14例题14-5 14
考虑到结构和荷载的对称性， X3 =0 。 考虑到结构和荷载的对称性， 和切开前的环相比，应满足的变形相条件是切口两边的 和切开前的环相比， 相对线位移、相对角位移均为零，即： 相对线位移、相对角位移均为零， ∆ = 0， 0， θ =0
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建立方程的过程
∆1 = δ11 X1 + δ12 X 2 + δ13 X 3 + ∆1F
∆2 = δ 21 X1 + δ 22 X 2 + δ 23 X 3 + ∆2 F ∆3 = δ 31 X1 + δ 32 X 2 + δ 33 X 3 + ∆3F
利用协调条件： 利用协调条件： ∆1 = 0, ∆2 = 0, ∆3 = 0
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对称结构，反对称载荷 对称结构，
对称结构的反对称变形 F
F/2
F
F/2
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对称结构，反对称载荷 对称结构，
对称结构的反对称变形
M
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对称结构，反对称载荷 对称对称变形
对称变形
对于扭转问题：根据扭转力偶矢量或扭矩矢量， 对于扭转问题：根据扭转力偶矢量或扭矩矢量， 若矢量对称则为反对称问题， 若矢量对称则为反对称问题，若矢量反对称则 为对称问题（所有力偶都如此)。 为对称问题（所有力偶都如此)
∆1 = 0, ∆2 = 0, ∆3 = 0
位移协调条件
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建立方程的过程
以∆1为例说明
X1
X2
X3
(M X1 + M X 2 + M X 3 + M q )M1 ( x) M ( x)M1 ( x) ∆1 = ∫ dx = ∫ dx EI EI M X 3 M1 ( x) M X 1 M1 M X 2 M1 ( x) M q M1 ( x) =∫ dx + ∫ dx +∫ dx +∫ dx EI EI EI EI M q M1 M1M1 M 2 M1 M 3 M1 dx + X 2 ∫ dx +X 3 ∫ = X1 ∫ dx + ∫ dx EI EI EI EI = δ11 X1 + δ12 X 2 + δ13 X 3 + ∆1F
3
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§14.1 超静定结构概述
q
1
2
3
外力超静定
既有内力超静定， 既有内力超静定，又有外力超静定 内力超静定
目录
4
外力超静定
B D α α A F C
内力超静定
5
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一、外力超静定系统
由于外部的多余约束而构成的静不定系统, 由于外部的多余约束而构成的静不定系统 一 般称为外力静不定系统。 般称为外力静不定系统。 求解外力静不定系统的基本方法， 求解外力静不定系统的基本方法，是解除多余 约束，代之以多余约束反力， 约束，代之以多余约束反力，根据多余约束处的变 形协调条件建立补充方程进行求解。 形协调条件建立补充方程进行求解。 解除多余约束后得到的静定结构， 解除多余约束后得到的静定结构，称为原静不 定系统的基本静定系统， 相当系统。 定系统的基本静定系统，或相当系统。
1 ∆1F = ∫ M ( x1 ) ⋅ M ( x1 )dx1 EI 0 1 1 2 qL4 = ∫ − qx1 ⋅ x1dx1 = − EI 0 2 8EI
L L
L
q A B
静定基
1 M ( x1 ) = − qx12 2
X1
A x1
M ( x1 ) = x1
B
δ11X1 + ∆1F = 0
L3 qL4 =0 X1 − 3EI 8EI
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例题14例题14-2 14
由力法正则方程 11 X1 + ∆1F = 0得： δ
X=
∆1F
δ11
= 16.56kN
根据图（b）所示的静定系，通过平衡关系 所示的静定系， 根据图（ 求得A点的反力： 求得A点的反力：
FAX = 50kN， M A = 92.2kN ⋅ m
FAy = 16.56kN