材料力学14章静不定结构习题课
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材料力学课件-第61讲 第十四章 静不定问题分析(2)
1
2
3
4
5
6
8
P
FN7
m
m’
FN7
求解思路讨论：
A 点在与F 垂直方向位移
例: A点位移与F 方向相同，求角
解：配置单位载荷系统
作业 14-1 14-2 14-3
谢 谢
B
M
O
R
A
B
M0
q
O
R
A
B
1
图(1)
4. 计算B端水平位移（1）
方法1
B端的水平位移为
4. 计算B端水平位移（2）
q
O
R
A
B
M0
图(二)
方法2
q
O
R
A
B
1
图(2)
结果相同！
例2：求B 端反力
1. 问题分析
静不定度
相当系统
变形协调条件
2度
相当系统
单位载荷系统 1
单位载荷系统 2
④单位载荷系统
第 14 章 静不定问题分析(2)
第六十讲知识点 力法分析静不定问题（续）
外静不定问题分析（续） 内静不定问题分析
§2 用力法分析静不定问题（续）
外静不定问题分析(续)
题1：已知外力偶 M0 ，求B端约束反力和水平位移。
q
O
R
A
B
M0
1. 问题分析
静不定度
相当系统
变形协调条件
FB
例2：求B 端反力（续）
变形协调条件
相当系统
内力静不定问题分析
分析桁架内力与qCD ，各杆EA同
1. 问题分析
几度静不定问题？
材料力学第十四章__超静定结构
§14．1 超静定结构概述
整理课件
本节应用能量法求解静不定系统。 应用能量法求解静不定系统，特别是对桁 架、刚架等构成的静不定系统，将更加有效 。 求解静不定问题的关键是建立补充方程。 静不定系统，按其多余约束的情况，可以 分为外力静不定系统和内力静不定系统。
整理课件
支座反力静不定 类型反力静定内力静不定
整理课件
解静不定梁的一般步骤
(4)在求出多余约束反力的基础上，根据静 力平衡条件，解出静不定梁的其它所有支 座反力。 (5)按通常的方法（已知外力求内力、应力 、变形的方法）进行所需的强度和刚度计 算。
整理课件
例：作图示梁的弯矩图 。
整理课件
解：变形协调条件为
A 0
即
MAl2Pl2 10 2 382
A
M10 1
D
P
1
2
(d)
(e)
1 P0 2M E 1 0 M P d I s2 P E 20 2 a (I 1 c
o) s (1 )d P2(a 1 ) 2 E2 I
1102M E102IdsE aI02(1)2d2EaI
上面两式代入 正则方程：
11
X 整理课1件
Pa( 2
)
求出X1后，可得图（C）
解得
MA
3Pl 16
整理课件
3Pl MA 16
11 P
5P
16
整理课件
另解：变形协调条件为
vB 0
即
RBl2
2l Pl2
5l
0
2 386
解得
5P
RB 16
整理课件
5P
5Pl/32
16
3Pl 16
材料力学(单辉组)第十四章静不定问题分析
FBy F
B
F A xA
Rj
F Ay
MA
Rj
A
静定基
解：4个反力，3个平衡方程，1次外力静不定
认为B处为多余约束，移去B支座，加反力
变形协调条件: DBy=0
11
FBy F 利用截面法求弯矩
M
B
Rj
A
M j FR1 cosj FByRsinj
利用卡氏第二定理求位移
静定基
曲杆弯矩正号 使曲率增大
静定基
A
B
Dcy
V Fcy
M2
M 2 Fcy
EI dx AB
2
M1
M1 Fcx
EI dx BC
1
a2 EI
1 2
Fcx
1 3
Fcy
3 8
qa2
C
Fcx
Fcy 利用变形协调条件求支反力
由
D D
cx cy
0 0
4
3
1
2
根据多余的约束条件
几何方程 物理方程
补充方程
当杆件外形、载荷较复杂或材料为非线性弹 性时，问题难于求解
由于能量方法可较容易给出载荷与位移关系， 从而采用能量法比较容易处理静不定问题
9
EX1
F
B
Rj
A
已知：小曲率杆，半径R
不计剪力和轴力对曲杆变形影响
求解：支反力和内力？
10
FBy F
B
4
有缝 q
F Ax A F A y (a)
刚架
B
FBy
材料力学(15)第十四章 静不定问题分析
F
静不定问题分析
F
1（内）＋1（外）＝ 2 度
3（内）＋3（外）＝ 6 度
F
梁：外3 环：内3 圆环
梁环接触：1
3+3+1=7 度
Page 9
第十四章
静不定问题分析
梁杆结构的静不定问题
(b) (a) (a): 1度 (b): 2度 (c) (c): 2度
Page10
第十四章
静不定问题分析
§14-2
8
静不定问题分析
a 4 a 5 7 6 8 3
a 2
1
N i N i li m / m EA i 1 a [(2 2) N 7 (2 2) P] 0 P EA
2 N7 P 2
1 1
思考：若求加载点的水平位移，如何选择单位载荷状态
4 5
6 8 3
2 1
4 5
q
FS
M
FN
断开：内力静定
刚性连接：多了三个约束
F F
单闭口的平面刚架或曲杆 内3度静不定
内6度
Page 7
第十四章 F F
静不定问题分析
6度内力静不定
F
F
5度内力静不定 加一中间铰减 少一度静不定
F F
F F
2度内力静不定
4度内力静不定,加一根二力 杆增加一度静不定
Page 8
第十四章 混合静不定
H
利用单位载荷法建立补充方程
Page20
P
第十四章
x2
B
RB N
静不定问题分析
x1 C
N
D
真实载荷状态(相当系统)：
RB RD N 2
静不定问题分析
F
1（内）＋1（外）＝ 2 度
3（内）＋3（外）＝ 6 度
F
梁：外3 环：内3 圆环
梁环接触：1
3+3+1=7 度
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第十四章
静不定问题分析
梁杆结构的静不定问题
(b) (a) (a): 1度 (b): 2度 (c) (c): 2度
Page10
第十四章
静不定问题分析
§14-2
8
静不定问题分析
a 4 a 5 7 6 8 3
a 2
1
N i N i li m / m EA i 1 a [(2 2) N 7 (2 2) P] 0 P EA
2 N7 P 2
1 1
思考：若求加载点的水平位移，如何选择单位载荷状态
4 5
6 8 3
2 1
4 5
q
FS
M
FN
断开：内力静定
刚性连接：多了三个约束
F F
单闭口的平面刚架或曲杆 内3度静不定
内6度
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第十四章 F F
静不定问题分析
6度内力静不定
F
F
5度内力静不定 加一中间铰减 少一度静不定
F F
F F
2度内力静不定
4度内力静不定,加一根二力 杆增加一度静不定
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第十四章 混合静不定
H
利用单位载荷法建立补充方程
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P
第十四章
x2
B
RB N
静不定问题分析
x1 C
N
D
真实载荷状态(相当系统)：
RB RD N 2
《材料力学》精品课程(全册)第十四章 超静定结构
,YB
9qa 16
X
A
qa 16
,
YA
7qa 16
目录
上面我们讲的是只有一个多余约束的情况！ 那么当多余约束不止一个时，力法方程是什么样的呢？
P2
P2
P1
P1
P3
P3
X3
X1
X2
目录
变形协调条件 ：
1 2 3 0
i 表示 X作i 用点沿着 方向X的i 位移
由叠加原理：
1 1X1 1X 2 1X3 1P 0 1 11 X 1 12 X 2 13 X 3 1P 0
C
B 11
对于线弹性结构，位移与力成正比，X1是单位力“1”的X1倍，故1X1
的X1倍，即有
1X1 11 X1
也是11
所以（*）式可变为： 11 X 1 1F 0
若：
11
l3 3EI
于是可求得
1F
Fa 2 6EI
(3l a)
X1
Fa 2 2l 3
(3l
a)
目录
例14.1：试求图示平面刚架的支座反力。已知各杆 EI=常数。
可得：
12 21 23 32 0
于是正则方程可化为
11 X 1 13 X 3 1F
31 X 1 33 X 3 3F
22 X 2 0
目录
对称结构在反对称载荷作用下的情况：
F P
F P
F
X3
X2
F
X1
X3 X2
P
P
同样用图乘法可证明
当对称结构上受反对称载荷作用时，
在对称面上对称内力等于零。
目录
例如：
该体系中多出一个外部约束，为一次超静定梁
高等教育大学本科课件 材料力学 第14章 静不定问题分析
M
l
A
B
HA RA HC
相当系统
x1 l
A
l x2 C RC B
l x2 1C
单位载荷状态
真实载荷状态(相当系统)：
HA HC
RA
M l
HC
M ( x1 )
(
M l
HC
) x1
M ( x2 ) HC x2
C 0
单位载荷状态：
M( x1 ) x1 M( x2 ) x2
C
1 EI
[
l
0 M( x1 ) M( x1 )dx1
§14-2 用力法分析静不定问题
➢ 几个概念： 基本系统： 解除多余约束后的静定结构（静定基）
相当系统： 作用有载荷和多余反力的基本系统。
Page11
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
➢ 第一类静不定问题：存在多余的外部约束
解除多余的外部约束，代之以支反力
相当系统
在解除约束处，建立变形协调条件
Page3
BUAA
➢ 内力静不定
MECHANICS OF MATERIALS
存在多余内部约束 平面桁架：
内力静不定度 = m - 2n + 3 m: 杆数 n: 节点数
外力静定 内力静不定(一度)
几何可变
4 - 24 + 3 = -1
5 - 24 + 3 = 0
6 - 24 + 3 = 1
Page4
例1：已知EI为常数，求A
A
M l
B
解： 解静不定，求解多余未知力
l
存在1个多余外部约束：
一度外力静不定
C
第十四章北航 材料力学 全部课件 习题答案
dM qRd R1cos( ) qR21cos( )d
所以，在切向载荷 q 与多余未知力 FBy 作用下，截面的弯矩为
6
M
(
)
0
qR2
1
cos(
)d
FBy
R
sin
qR2
(
sin
)
FBy
R
sin
(b)
在图 c 所示铅垂单位载荷作用下，截面的弯矩则为
M () Rsin
根据单位载荷法，得相当系统横截面 B 的铅垂位移为
1
9F 4
2FN1
2
3F 2
FN1
1
0
得
FN1 F
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
由此得
FN2
F 4
,
FN3
F 2
2. 角位移计算
施加单位力偶如图 d 所示，并同样以刚性杆 BC 与 DG 为研究对象，则由平衡方程
11
M B 0, 1 F N2 2a F N3 3a 0
MG 0, F N2 2a F N3 a 0
M ( ) qR2 4 sin π
在图 d 所示水平单位载荷作用下，截面的弯矩则为
M () R(1cos)
于是，得截面 B 的水平位移为
ΔBx
1 EI
π/2
R(1
0
cos )qR2
4 π
sin
Rd
qR4 EI
π2 8
π 2
2 π
1
( )
14-5 图示桁架，各杆各截面的拉压刚度均为 EA，试求杆 BC 的轴力。
MG 0, F 3a FN1 3a FN2 2a FN3 a 0
得
FN2
材料力学第14章(静不定)doc资料
应用叠加法：
11F1X1 0
由1X111X1
∴变形协调方程
1F1X 110
或： 1X 11 1F0 A ——力法正则方程
F
B
1F
1X1
X1
11
1
系数δ11和Δ1F可由莫尔定理(积分或图乘)求得(图c、d) F
1FE 1[I (1 2Pl)(6 52l)](c)
5 Pl 3
Pl
6 EI
11 E 1[I(1 22l2l)(3 22l)] (d)
X1 A
F
B
C
二、力法正则方程
1X 11 1F0
变形协调方程的标准形式，即所谓的力法正则方程。
X1——多余未知量；
11——在基本静定系上， X1取单位值时引起的在X1作用点沿
X1方向的位移； 1F——在基本静定系上， 由原载荷引起的在X1作用点沿
X1方向的位移；
力法解超静定的基本步骤：
①判定静不定次数 ②选取并去除多余约束，代以多余约束反力。 ③画出两个图：原载荷图和单位力图。
M(j1)Rsijn1
M(j2)Rsijn2
1F202M (j1)M E (j1I)Rdj1F E3R I0 2(1co j1)ssijn 1dj1
FR 3 2 EI
F
A
j2
j1 B
O
F
2
F
2
１ A j2
j1
１
O
M(j1)Rsijn1
M(j2)Rsijn2
11 202M(j1)M E(j1I)Rdj12ER3I02sin2j1dj1
FB
A
a
a
C X1
X1 D
a a
材料力学(单辉祖)第十四章静不定问题分析
求解上式可得
X1
=
1−
π2
π
4⋅ −1
P 2
=
4−π π2 −8
P
,8X2来自=π π−3
2
−1
⋅
PR 4
=
2(π
π2
− 3)
−8
PR
8
27
Example-7
在平面xy内，由k根等直杆组 y
成的杆系，在结点A处用铰连 接在一起，并受到水平载荷P1 和垂直载荷P2的作用。已知各 杆的材料相同，其拉压弹性模
∂X 1
∂X 2
Rϕ
25
Example-6
由对称截面处的约束条件， 可得变形相容性条件
Δ = ∂Uc = 0, θ = ∂Uc = 0
∂X 1
∂X 2
P/2 X2
X1 X3
Rϕ
即
∫ − 1
EI
π 2
0
⎜⎛ ⎝
PR 2
sin
ϕ
−
X 1R(1 −
cos ϕ )
−
X
2
⎟⎞ ⎠
⋅
R(1 −
cosϕ )Rdϕ
F
M (ϕ ) = FR (1− cosϕ ) − FByR sinϕ
π
∫ Δ By
=
∂Vε ∂FBy
=
2
[M
0
(ϕ ) ∂M (ϕ )][EI ]−1Rdϕ
∂FBy
8
Example-1
π
M (ϕ ) = FR (1− cosϕ ) − FByR sinϕ
∫ Δ By
=
∂Vε ∂FBy
=
2
[EI ]−1 ⎡⎣FR (1− cosϕ ) − FBy R sinϕ ⎤⎦ (−R sinϕ ) Rdϕ
14章静不定结构-习题课解析
A
B a
1
1
B
ω 1=Fa2/2
FD F
a
Fa D a2 C a2
a
D a
C
F
ω 2=Fa2/2
C
F
a
a
2 2
A
X1
X1 B
1M 1 2 M 2 1 Fa 2a Fa Δ1F a EI EI 2 3 2 EI C D 5Fa 3 a 6EI 3 1M1 2 M 2 1 a 2 2a 5 a 3 1F F 11 2 a X 1 EI EI EI 2 3 3 EI 11 2
C
f
M =-PRsinφ j[0, /4] M =Rsin(π/4+φ)
A
P C
B
C f 45 °
f A
a
B X1 B 1
M2 1 4 2 4 2 2 11 ds R sin Rd R sin j Rd j 0 0 E I EI 4 s 1 R3 4 1 1 1 4 0 cos 2 d 0 cos 2j Rdj EI 2 2 2 2 2 3 3 4 R 1 1 4 R sin 2 cos 2j EI 2 4 4 EI 0 2 4 0 C MM 1 4 1P ds R sin j PR sin j Rdj 0 EI EI 4 f s
4
2 PR 1 2 PR 3 j 1 4 cos 2j sin 2j 2 EI 4 16 EI 2 4 0
材料力学(17)第十四章-3PPT课件
反对称载荷作用时
对称面上：
M z 0 M y 0 FN 0 fz 0 fy 0 0
T
FSy FSz
T
具有反对称性质的内力分量
Page10
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
平面刚架空间受力时的对称与反对称问题
H F
y z x
A
结构与载荷均关于CH 铅垂面对称,对称面上无集 中力
FN
z Bx
截面上只存在对称性的内力分量 Mz , My, FN
载荷关于AB对称
My=Me/2, FN=0 载荷作用面垂直于圆环平面 Mz=0 可直接写出圆环的内力分布
Page13
BUAA C My Me y D M My z Bx
MECHANICS OF MATERIALS
求圆环的内力分布（1/4圆弧）
RD
C D A B 0 A B 0 1
R
C B
B
相当系统
C B 0
单位载荷状态
Page5
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
例：EI为常数，求A截面相对于O点的位移
P
120° C
A B R
O
解: 问题分析：
三度内力静不定 结构轴对称，载荷具有三个 对称轴
P
60° 60°
B’
A’
A截面相对于O点的位移是载荷 P的相应位移 利用卡氏定理求位移
M ( ) M B FNB R(1 cos ) 3 MB PR(1 cos ) 3
MB PR ( 2 3 9) 6
A/O
V 6
材料力学 静不定结构-习题课
⎛ π ⎞⎞ ⎛ − FR sin ⎜ ϕ − ⎟ ⎟ ( R sin ϕ ) Rdϕ ∫π 4 ⎜ 4 ⎠⎠ ⎝ ⎝
π
2
X
1
A
F
C
B
φ
A
∆1F F ∴ X1 = − = ↑) ( δ11 2 2
C
1
φ
B
A
例 8 、求图示结构 的约束反力
C EI
EA
3）对静定基进行受力分析，建立相当系统 4）研究AB梁的B点与BC杆的B点的竖直相 对线位移，建立正则方程
1 = EI
由δ 11 X 1 + Δ1F = 0 得
3qa X1 = 8
FBx = 0, FBy FAx = 0, FAy
3qa = ↓ 8
() ()
qa (逆时针) MA = 8
2
11qa = ↑ , 8
例13：已知刚架的弯曲刚度为EI。 试求支座B处的反力。
q0 C a B
解：
δ 11
1 ⎛ = ⎜ EI ⎝
习 题 课
力法及正则方程
力法的正则方程:
⎧ δ 11 X 1 + δ 12 X 2 + ⋯ + δ 1n X n + Δ1F = Δ1 ⎪δ X + δ X + ⋯ + δ X + Δ = Δ ⎪ 21 1 22 2 2n n 2F 2 ⎨ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⎪ ⎪ ⎩δ n1 X 1 + δ n 2 X 2 + ⋯ + δ nn X n + ΔnF = Δn
3qa X1 = 16
例10：平面刚架受力如图，各杆 EI=常数。试求C处的约束力及 支座A、B的约束反力.
π
2
X
1
A
F
C
B
φ
A
∆1F F ∴ X1 = − = ↑) ( δ11 2 2
C
1
φ
B
A
例 8 、求图示结构 的约束反力
C EI
EA
3）对静定基进行受力分析，建立相当系统 4）研究AB梁的B点与BC杆的B点的竖直相 对线位移，建立正则方程
1 = EI
由δ 11 X 1 + Δ1F = 0 得
3qa X1 = 8
FBx = 0, FBy FAx = 0, FAy
3qa = ↓ 8
() ()
qa (逆时针) MA = 8
2
11qa = ↑ , 8
例13：已知刚架的弯曲刚度为EI。 试求支座B处的反力。
q0 C a B
解：
δ 11
1 ⎛ = ⎜ EI ⎝
习 题 课
力法及正则方程
力法的正则方程:
⎧ δ 11 X 1 + δ 12 X 2 + ⋯ + δ 1n X n + Δ1F = Δ1 ⎪δ X + δ X + ⋯ + δ X + Δ = Δ ⎪ 21 1 22 2 2n n 2F 2 ⎨ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⎪ ⎪ ⎩δ n1 X 1 + δ n 2 X 2 + ⋯ + δ nn X n + ΔnF = Δn
3qa X1 = 16
例10：平面刚架受力如图，各杆 EI=常数。试求C处的约束力及 支座A、B的约束反力.
材料力学14章-3静不定结构中对称与反对称性质
材料力学14章-3静不定结 构中对称与反对称性质
在材料力学的14章-3中，我们将探讨静不定结构中的对称与反对称性质。了 解这些性质对于理解结构的力学行为至关重要。
对称性与反对称性
对称性和反对称性是结构力学中重要的概念。它们可以帮助我们分析和预测 结构的行为，并提供简化问题的方法。
静Hale Waihona Puke 定结构介绍静不定结构是指需要使用静力学和弹性力学的原理进行分析的结构。它们在工程中非常常见，需要特殊的技巧 来解决。
对称性的定义和特点
对称性是指一个结构在某种变换下保持不变的特性。它可以简化结构分析， 并揭示结构的关键特点和行为。
反对称性的定义和特点
反对称性是指一个结构在特定条件下会发生变化的特性。它可以帮助我们理 解结构的变形和应力分布。
对称性与反对称性在结构中的应用
对称性和反对称性在结构设计和分析中具有广泛的应用。它们能够帮助我们优化结构设计、降低成本，并提高 结构的可靠性和稳定性。
对称性与反对称性的优劣比较
对称性和反对称性各自具有优劣势，根据结构的具体需求和约束条件，选择适合的性质可以使结构更加高效和 可靠。
结论和要点
通过研究材料力学14章-3中的对称与反对称性质，我们可以更好地理解和分析静不定结构的行为。这些概念在 结构设计和分析中起着重要的作用。
在材料力学的14章-3中，我们将探讨静不定结构中的对称与反对称性质。了 解这些性质对于理解结构的力学行为至关重要。
对称性与反对称性
对称性和反对称性是结构力学中重要的概念。它们可以帮助我们分析和预测 结构的行为，并提供简化问题的方法。
静Hale Waihona Puke 定结构介绍静不定结构是指需要使用静力学和弹性力学的原理进行分析的结构。它们在工程中非常常见，需要特殊的技巧 来解决。
对称性的定义和特点
对称性是指一个结构在某种变换下保持不变的特性。它可以简化结构分析， 并揭示结构的关键特点和行为。
反对称性的定义和特点
反对称性是指一个结构在特定条件下会发生变化的特性。它可以帮助我们理 解结构的变形和应力分布。
对称性与反对称性在结构中的应用
对称性和反对称性在结构设计和分析中具有广泛的应用。它们能够帮助我们优化结构设计、降低成本，并提高 结构的可靠性和稳定性。
对称性与反对称性的优劣比较
对称性和反对称性各自具有优劣势，根据结构的具体需求和约束条件，选择适合的性质可以使结构更加高效和 可靠。
结论和要点
通过研究材料力学14章-3中的对称与反对称性质，我们可以更好地理解和分析静不定结构的行为。这些概念在 结构设计和分析中起着重要的作用。
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2
2a 3
Fa2 2
a
5Fa3 6EI
X1
1P
11
F 2
F
B a
C a
F
X1 X1 B a
C a
例3：刚架的弯曲刚度为EI，承受力F。 F
F
试求：刚架多余约束反力。
F 1
a
A
A
11
1 EI
a2 8
2 3
a 2
a3 4
7a3 24EI
a a
A
B
F
F
X1 X1
a
a
A
B
Δ1F
1 EI
(A) 强度提高,刚度不变
(B) 强度不变,刚度提高
(C) 强度,刚度都提高 (D) 强度,刚度都不变 答案：(C)
三、下图所示结构是
静不定机构
(A) 0 次 (B) 2次 (C) 3次 (D) 4次
(a)图
(b)图
答案：(A)
二、下图所示结构是
静不定机构
(A) 1次 (B) 2次 (C) 3次 (D) 4次
1 F
Fa
例5：已知结构的弯曲刚度为EI， 试求对称轴上A截面的内力。
解：11
2a EI
,
Δ1F
Fa2 4EI
A
由 11X1 1F 0 得
X1
Fa 8
a
FSA 0
1
FNA
F 2
,
MA
Fa 8
A X1 F/2
a Fa
a
a
F 1
Fa/2 1
F/2
例6：已知刚架的弯曲刚度为EI。 试求截面A处弯矩。
Fa2 2
a 2
Fa3 4EI
X1
1P
11
6F 7
例4：已知刚架的弯曲刚度为EI，试求刚架内最大弯矩
及其作用位置。
a Fa
A
B
C
a
E
D
a
解：
11
2a3 EI
,
Δ1F
Fa3 3EI
由 11X1 1F 0
得
X1
F 6
()
M max
5Fa 6
作用于固定端A
a Fa
A
B
C
a
E
D
a
a
X1
a aa
PR 3 AEI
11
1 EI
2 0
R
2sin
2
j
Rdj
R 3
4EI
X
1
1P
11
P
0.318P
讨论：已知图示半圆曲杆的
Me
弯曲刚度为EI，试求曲杆支
C
座A处垂直反力FAy。
R
A
B
解：
Me /2
C R X1 A
Me /2
R
R1
例15 半圆形曲杆ACB为直杆AD、BF铰接如图。曲杆及直杆的抗弯刚度均为
1
N1
1
1
1
1
约束反力三次静不定
2）解除B点约束，建立静定基
P
X1 X 3
1 1P
M2
l
0
M
P .M1 dx EI
0
X2
3）对静定基进行受力分析， 建立相当系统
4）研究B点竖直,水平位移 和转角建立正则方程
12
l
0
M 2.M1dx EI
0
13
l
0
EI。求D、F处的反力矩MD、MF（只考虑杆件的弯曲变形）。 P
解： 由对称性知 N＝P/2。 一、 分析图。由对称性取一半研
究，求B点水平位移使用莫尔积 分，在任一横截面上，
M NR(1 cosj) FRsinj
M R sin j
VBx
MM l EI
dx
PR 3 4EI
FR 3
4EI
VBx
D
NA
1 D
D
A,B,C,D,E,F
A
A
A M ( ) 1
3) 用E,A两截面将刚架截开, 取EA(1/3)段研究:
M ( ) NA.R.(1 cos )
1P
0
3 M P ( )M ( )Rd
EI
11
0
3
M
( )M
EI
( )Rd
例21、求图示结构的约束反力
P
P
A
CB
a
b
l
MP Pa
解：1）判断静不定种类及次数
1 8
5 6
1 2
29Fa3 48EI
由 11X1 Δ1F Δ 得
X1
29F 64
3EIΔ 4 a3
例2：刚架的弯曲刚度为EI，承受力F。 A
试求：刚架多余约束反力。
F
A
B
A
Байду номын сангаас
X1 X1 B
D
a
a
FD
C
D
C
a
a
A
F
F
11
2 EI
a2 2
2a 3
a3
5a3 3EI
D
Δ1F
1 EI
Fa2
X1
1F
11
F 22
F
C
B
A
FC A
B
X
1
FC
B
φ
A
C A
B
1
φ
例8、求图示结构 C
的约束反力
EI
EA
a
A EI l
B
P 解：1）判断静不定种类及次数
约束反力一次静不定
2）解除B点约束，建立静定基
3）对静定基进行受力分析，建立相当系统 4）研究AB梁的B点与BC杆的B点的竖直相 对线位移，建立正则方程
使用莫尔积分，在任一横截面上，
M FRcos（j/4） j[/4，/2]
M R sinj
j[0，/2]
11
s
M2 ds
EI
1 EI
2 R sinj 2 Rdj R3
0
4EI
MM 1
1P
s
ds E I EI
2
4
FR
sin
j
4
R
sin
j
Rdj
FR3 8 2EI
,
ΔiF
n k 1
FNi,k FNF,k lk Ek Ak
例1：刚架的弯曲刚度为EI，承受力F后，支座C有一 下陷量Δ，试求刚架C处的反力。
a/2 F a/2
B
C
Δ a
A
解：
a/2 F a/2
F
a
B
C
Δ
Fa/2
X1
1
a
Fa/2
a
A
11
a3 EI
1 2
2 3
1
4a3 3EI
Δ1F
Fa3 EI
答案：(B)
四、下图所示结构是
静不定机构
(A) 0 次 (B) 2次 (C) 3次 (D) 4次
答案：(A)
例17、求图示结构梁DE的最大正应力σmax=?
a
B
A
1 1P 11.X1 0
X1
a
D
a
C
aE
P
1 P.a
1P
2 EI
.(1 .a.1 22
Pa.2 3
.1 2
a)
Pa3 6EI
2
解：1）判断静不定种类及次数
1 Pa
a
例20:求图示闭合圆形刚架在A截面上的弯矩 M A 因为A,E都是结构的对称截面
B
NE
所以: A,E截面上反对称的内力等于0
C
P
E
ME
E 即:A,E截面上只有轴力和弯矩 又因为CD是对称轴 NE NA且M E M A
以CD轴为Y轴: y 0
NE .cos30 N A.cos30 0
由11X1 Δ1F 0 得
X1
3qa 8
FBx 0, FAx 0,
FBy
3qa 8
FAy
11qa 8
,
M
A
qa2 8
逆时针
例13：已知刚架的弯曲刚度为EI。 q0
试求支座B处的反力。
C
解：
11
1 EI
a x12 dx1
0
a 0
a2
dx2
4a3 3EI
a A
Δ1F
1 EI
Ni .Ni EAi
.li
(7
6 2).P.a 3EA
0
0
0
0
0
0
0 0 0
11
10 Ni.Ni.li i1 EAi
(4 4 2).a EA
1
0
a
1 2Pa 3 a
2 2 2Pa 3 2 2a 1 4Pa 3 a
由正则方程
X1
即为杆AB的轴力
而原结构中其它各杆的轴力=？
2 4 2Pa 3 2 2a FNI Ni Xi.N i
a
a
q
解： 11
2a EI
,
Δ1F
qa3 EI
q
由 11X1 1F 0 得
a q A
a
M
A
X1
1 2
qa2
q
q
另解：
q
FS
2qa ,
MA
qa2 2
A X1
qa
FS
FS
例7: 1/4圆形曲杆ACB如图。半径为R，曲杆抗弯刚度为
EI。求:A、B处的反力矩（只考虑杆件的弯曲变形）。