有效数字规则
有效数字的计算法则
有效数字的计算法则
有效数字是指在最后一个数字后面的数字都是不确定的数字。
有效数字的计算法则是指在进行数学计算时，应当根据有效数字的规则进行计算以保证结果的准确性。
以下是一些有效数字的计算法则： 1. 加减法：在进行加减法运算时，结果的有效数字应当与被加数或被减数中有效数字最少的那个数相同。
2. 乘法：在进行乘法运算时，结果的有效数字应当与被乘数和乘数中有效数字的总和相同。
3. 除法：在进行除法运算时，结果的有效数字应当与被除数中有效数字的总数相同。
4. 幂运算：在进行幂运算时，结果的有效数字应当与底数中有效数字的总数相同。
5. 对数运算：在进行对数运算时，结果的有效数字应当与真数中有效数字的总数相同。
在进行数学计算时，应当注意有效数字的规则，以保证计算结果的准确性。
同时，应当注意四舍五入的规则，以便得到正确的有效数字。
- 1 -。
有效数字及运算法则
有效数字及运算法则
一、有效数字的一般概念
定义：在测量结果的数字表示 中，由若干位可靠数字加一位 可疑数字，便组成了有效数字。
上述例子中的测量结果均为三 位有效数字
N
2 65
差（不确定度）决定有效数字，有：
N 0.96 0.03cm
运算规则：结果的有效数字与其底或被开
方数的有效数字位数相同。
如： 1002=100102
100=10.0
49 = 7.0 4.02=16 正确
49 = 7 4.02=16.0 错误
试确定N的有效数字。
解： （1）先计算N
N 3.21 6.5 0.957cm 21.8
（2）计算不确定度 N
N
A
2
B
2
C
2
0.01 2
0.2 2
0.004
2
2
N A B C 3.21 6.5 21.843 65
=
1.0102 100
= 1.0
10.02 lg100.0 35 27.3211 27.31 = 100 2.0000 35
0.01 = 2104 35 = 2104
试用有效数字计算结果： （1）123.98 - 40.456 + 7.8 = 171.0 （2） lg10.00 = 1.0000 （3）789.30 × 50 ÷ 0.100 = 3.9×103 （4）1.002 = 1.00
有效数字及其运算规则
有效数字及其运算规则有效数字是科学计数法和普通计数法中最为重要的概念之一，它们在各个领域的数学运算和实际应用中都起着至关重要的作用。
本文将介绍有效数字的概念、计算规则以及其在科学与工程领域中的实际应用。
1. 有效数字的概念有效数字是指测量或表达数据时所能表达的最可靠的数字。
它们通常由测量精度和测量仪器的精确度决定。
有效数字的数量表示了测量值的精度与可靠性。
2. 有效数字的计算规则有效数字的计算规则基于四则运算原理，即加法、减法、乘法和除法。
下面将介绍每种运算的规则：2.1 加法和减法运算规则在加法和减法运算中，有效数字的结果取决于被操作数中最不精确的数字。
具体规则如下：- 保留小数点后面最少的位数。
- 结果中小数点的位置与被操作数中小数点位置对齐。
2.2 乘法和除法运算规则在乘法和除法运算中，有效数字的结果取决于被操作数中最少的有效数字位数。
具体规则如下：- 保留最少有效数字的位数。
- 结果小数点的位置取决于被操作数中小数点的位置及有效数字的位数。
3. 有效数字的应用有效数字在科学和工程领域中有广泛的应用。
以下是几个常见领域的例子：3.1 物理学中的有效数字在物理学中，实验数据的精度对研究结果的可靠性至关重要。
通过使用有效数字，我们可以准确地表达测量结果的误差范围，并对实验数据进行分析和比较。
3.2 工程学中的有效数字在工程学中，有效数字对于设计和制造过程中的精确度至关重要。
例如，在计算结构材料的强度和稳定性时，使用有效数字可以有效地确定其可靠性和安全性。
3.3 金融学中的有效数字在金融学中，有效数字可以帮助我们计算和分析财务数据，如收入、支出、利润等。
使用有效数字可以更加准确地评估投资风险和决策效果。
4. 总结有效数字是数学和实际应用中至关重要的概念之一。
它们通过运算规则可以帮助我们准确地表达、计算和分析数据。
有效数字的应用涵盖了物理学、工程学、金融学等多个领域。
我们应该在各个领域中灵活运用有效数字的概念，并重视数据的精确性和可靠性。
有效数字知识点总结
有效数字知识点总结有效数字的定义有效数字是指用于表示测量结果或实验数据的数字。
有效数字反映了测量结果或数据的准确性和精度。
通常情况下，有效数字是从左侧第一个非零数字开始，到最后一个数字结束。
有效数字不包括前导零，但包括末尾的零。
例如，测量结果为0.035时，有效数字为35。
而测量结果为0.0035时，有效数字为3.5。
有效数字的规则有效数字有一些表示规则，这些规则有助于确定和处理测量结果和实验数据的准确性和精度。
下面是有效数字的一些基本规则：1. 所有非零数字都是有效数字。
2. 所有前导零都不是有效数字。
3. 所有末尾的零在小数点后面的数字之后都是有效数字。
4. 在科学计数法表示的数字中，有效数字从第一个非零数字开始，到末尾的数字结束。
举例说明：测量结果为0.035时，有效数字为35，共有两个有效数字。
测量结果为0.0035时，有效数字为3.5，共有两个有效数字。
数字5.20是有三个有效数字，0前方的0不是有效数字。
科学计数法表示的数字3.25×10^4有三个有效数字。
有效数字的应用了解有效数字的概念和规则对于正确处理测量数据和计算结果至关重要。
有效数字的应用涉及到测量数据的记录、计算结果的表示和估计值的确定。
以下是有效数字的一些应用：1. 测量数据的记录在记录测量数据时，应根据有效数字的表示规则进行记录。
记录测量数据时，应该遵循以下规则：在小数点后有限位数的数字的记录时，应该根据有效数字的表示规则来确定有效数字的位数。
在测量数据不确定的情况下，应该确定使用的有效数字的位数。
2. 计算结果的表示在进行测量数据的计算时，应根据有效数字的表示规则确定计算结果的有效数字的位数。
在对测量数据进行加减、乘除等运算时，应该根据有效数字的表示规则，确定计算结果的有效数字的位数，并对计算结果进行四舍五入。
3. 估计值的确定在进行测量数据的估计时，可以根据有效数字的表示规则，确定估计值的有效数字的位数。
有效数字及其运算规则
有效数字及其运算规则一、测量结果的有效数字1．有效数字的定义及其基本性质测量结果中所有可靠数字加上末位的可疑数字统称为测量结果的有效数字。
有效数字具有以下基本特性：有效数字具有以下基本特性：（1）有效数字的位数与仪器精度（最小分度值）有关，也与被测量的大小有关。
）有效数字的位数与仪器精度（最小分度值）有关，也与被测量的大小有关。
对于同一被测量量，如果使用不同精度的仪器进行测量，则测得的有效数字的位数是不同的。
例如用千分尺（最小分度值00.011m m ，0.004m mD =仪）测量某物体的长度读数为84.8334m m 。
其中前三位数字“483”是最小分度值的整数部分，是可靠数字；末位“4”是在最小分度值内估读的数字，为可疑数字；它与千分尺的D 仪在同一数位上，所以该测量值有四位数字。
如果改用最小分度值（游标精度）为00.022m m 的游标卡尺来测量，其读数为84.844m m ，测量值就只有三位有效数字。
游标卡尺没有估读数字，其末位数字“4”为可疑数字，它与游标卡尺的0.02m m D 仪＝也是在同一数位上。
也是在同一数位上。
（2）有效数字的位数与小数点的位置无关，单位换算时有效数字的位数不应发生改变。
2．有效数字与不确定度的关系在我们规定不确定度的有效数字只取一位时，任何测量结果，其数值的最后一位应与不确定度所在的那一位对齐。
如39(8.922700.0005)/g c m r =±，测量值的末位“7”刚好与不确定度00.0005的“5”对齐。
”对齐。
由于有效数字的最后一位是不确定度所在位，因此有效数字或有效位数在一定程度上反映了测量值的不确定度（或误差限值）。
测量值的有效数字位数越多，测量的相对不确定度越小；有效位数越少，相对不确定度就越大。
越小；有效位数越少，相对不确定度就越大。
3．数值的科学表示法二、有效数字的运算规则1．数值的舍入修约原则测量值的数字的舍入，首先要确定需要保留的有效数字和位数，保留数字的位数确定以222()()()A B C D +D +D 2222()()0.300.088A C D +D +2222()()0.0402483.751.2R T RTD D æöæöæöæ+´=+´ç÷ç÷ç÷çèøèøèøè2。
有效数字保留位数规则
有效数字保留位数规则
根据有效数字保留位数规则，一般来说，测量结果中的有效数
字位数应当与测量仪器的精确度相匹配。
具体规则如下：
1. 对于小数，有效数字是从第一个非零数字开始一直到最后一
个非零数字为止。
例如，对于测量结果为3.14159，有效数字为5
个。
2. 对于整数，所有非零数字都是有效数字。
例如，对于测量结
果为500，有效数字为3个。
3. 当测量结果用科学记数法表示时，有效数字是指所有的数字，包括指数部分的数字。
4. 当进行加减运算时，结果应当保留与被加减数中有效数字最
少的那个数相同的有效数字位数。
5. 当进行乘法和除法运算时，结果应当保留与被乘除数中有效
数字最少的那个数相同的有效数字位数。
有效数字保留位数规则的应用可以帮助我们在实验和测量中准确地表示和处理测量结果，避免因为不恰当的数字处理而导致的误差。
这对于科学研究和工程实践来说都是非常重要的。
数字修约规则(有效数字)
数字修约规则一、有效数字所谓有效数字，就是实际能测得的数字。
它的末一位为不准确数字，其余数字均为准确数字。
有效数字中“0”的意义▪“0”有两种意义：▪1.是作为数字定位，如：在0.312中，小数点前面的“0”是定位用的，它有3位有效数字；在0.012中，“1”前面的2个“0”是定位用的，它有2位有效数字。
▪2.是有效数字，如：在10.1430中，两个“0”都是有效数字，所以它有6位有效数字。
有效数字中“0”的意义▪综上所述，数字之间的“0”和末尾的“0”都是有效数字，而数字前面所以的“0”只起定位作用。
以“0”结尾的正整数，有效数字的位数不确定。
例如4500这个数，就不好确定几位有效数字。
应根据实际有效数字位数书写来确定：4.5×103 2 位有效数字4.50×103 3 位有效数字4.500×103 4 位有效数字数字修约规则▪为了适应生产和科技工作的需要，我国已经正式颁布了GB8170-87《数字修约规则》，通常称为“四舍六入五成双”法则。
即当位数≤4时舍去，尾数≥6时进位，尾数=5时，应视保留的末尾数是奇数还是偶数，5前为偶数时5应舍去，5前为奇数则进位。
▪数字修约规则这一法则具体应用如下：▪被舍弃的第一位数字大于5，则其前一位加1▪若被舍弃的第一位数字等于5而其后数字全部为零，则按“四舍六入五成双”法则而定进或舍。
▪若被舍弃的第一位数字等于5而其后数字并非全为零则进1▪若被舍弃的数字包括几位数字时，不得对该数字进行连续修约，而应根据以上各条只做1次处理。
有效数字运算规则▪加减法在加减法运算中，保留有效数字的位数，以小数点后位数最少的为准，即以绝对误差最大的数为准。
有效数字运算规则▪乘除法在乘除法运算中，保留有效数字的位数，以位数最少的数为准，即以相对误差最大的数为准。
有效数字运算规则▪自然数在分析化学运算中，有时会遇到一些倍数或分数的关系。
例如：水的相对分子质量=2×1.008+16.00=18.02其中“2”不能看做1位有效数字。
有效数字的运算法则
有效数字的运算法则
有效数字运算规则是：加减法：先按小数点后位数最少的数据，保留其它各数的位数，再进行加减计算，计算结果也使小数点后保留相同的位数。
乘除法：先按有效数字最少的数据保留其它各数，再进行乘除运算，计算结果仍保留相同有效数字。
乘方和开方：对数据进行乘方或开方时，所得结果的有效数字位数保留应与原数据相同。
1、加减法：先按小数点后位数最少的数据，保留其它各数的位数，再进行加减计算，计算结果也使小数点后保留相同的位数。
2、乘除法：先按有效数字最少的数据保留其它各数，再进行乘除运算，计算结果仍保留相同有效数字。
3、乘方和开方：对数据进行乘方或开方时，所得结果的有效数字位数保留应与原数据相同。
4、对数计算：所取对数的小数点后的位数（不包括整数部分）应与原数据的有效数字的位数相等。
5、在计算中常遇到分数、倍数等，可视为多位有效数字。
— 1 —
6、在乘除运算过程中，首位数为"8"或"9"的数据，有效数字位数可多取1位。
7、在混合计算中，有效数字的保留以最后一步计算的规则执行。
8、表示分析方法的精密度和准确度时，大多数取1～2位有效数字。
— 2 —。
有效数字及计算规则
二. 数字修约 各测量值有效数字位数可能不同,因 此计算前要先对各测量值进行修约。 应保留的有效数字位数确定之后,其 余尾数一律舍弃的过程称为修约。 修约应一次到位,不得连续多次修约。
修约规则:为四舍六入五留双。例如,将 下列数据修约为两位有效数字
8.369 8.4 7.4500 7.4 7.549 7.5 7.3500 7.4 7.4501 7.5
三. 有效数字的计算规则 (1) 进行数值加减时,结果保留小数点
后位数应与小数点位数最少者相 同。 例如, 0.0121+12.56+7.8432 可先修约后计算,即
0.01+12.56+7.84=20.41
(2) 进行数值乘除时,结果保留位数应与 有效数字位数最少者相同。 例如, (0.0142×24.43×305.84)/28.67 可先修约后计算, (0.0142×24.4×306)/28.7=3.69。
(3) 进行数值乘方或开方时, 结果有 效数字位数不变。 例如, 6.542=42.8 7.56 2.75
(4) 进行对数计算时,对数尾数的位数应
与真数的有效数字位数相同。
例如：
[H ] 6.31011mol/L pH 10.20
(5) 表示分析结果的精密度和准确度 时, 误差和偏差等只取一位或两 位有效数字。
第七节 有效数字及计算规则
一. 有效数字 有效数字: 是在分析工作中实际测量到
的数字,除最后一位是可疑的外,其余的数 字都是确定的。它一方面反映了数量的 大小,同时也反映了测量的精密程度。
例如, 用分析天平称NaCl1.2007g,可能 有±0.0001g的误差;用台秤称1.20g,可能 有±0.01g的误差。 注意: 数字0可以是测量得到的有效数 字,但当0只用来定位时,就不能是有效 数字,并且有效数字的位数与小数点的 位置无关。 例如： 1.2007g 0.0012007g
有效数字及其运算规则
1. 有效数字及其运算规则1. 1 有效数字1. 定义有效数字就是实际能测到的数字。
有效数字的位数和分析过程所用的分析方法、测量方法、测量仪器的准确度有关。
我们可以把有效数字这样表示。
有效数字＝所有的可靠的数字+ 一位可疑数字表示含义：如果有一个结果表示有效数字的位数不同，说明用的称量仪器的准确度不同。
例：7.5克用的是粗天平7.52克用的是扭力天平7.5187克用的是分析天平2. “0”的双重意义作为普通数字使用或作为定位的标志。
例：滴定管读数为20.30毫升。
两个0都是测量出的值，算做普通数字，都是有效数字，这个数据有效数字位数是四位。
改用“升”为单位，数据表示为0.02030升，前两个0是起定位作用的，不是有效数字，此数据是四位有效数字。
3. 规定(1)．倍数、分数关系无限多位有效数字(2). pH、pM、lgc、lgK等对数值，有效数字由尾数决定。
例： pM＝5.00 （二位）[M]=1.0×10-5 ；PH＝10.34（二位）；pH＝0.03（二位）注意：首位数字是8，9时，有效数字可多计一位, 如9.83―四位。
1. 2 数字修约规则（“四舍六入五成双”规则）规定：当尾数≤4时则舍，尾数≥6时则入；尾数等于5而后面的数都为0时，5前面为偶数则舍，5前面为奇数则入；尾数等于5而后面还有不为0的任何数字，无论5前面是奇或是偶都入。
例：将下列数字修约为4位有效数字。
修约前修约后0.526647--------0.52660.36266112------0.362710.23500--------10.24250.65000-------250.618.085002--------18.093517．46--------3517注意：修约数字时只允许一次修约，不能分次修约。
如：13.4748－13.471. 3 计算规则1. 加减法先按小数点后位数最少的数据保留其它各数的位数，再进行加减计算，计算结果也使小数点后保留相同的位数。
有效数字及其运算规则
§1、４有效数字及其运算规则一、有效数字得一般概念１、有效数字任何一个物理量,其测量结果必然存在误差。
因此，表示一个物理量测量结果得数字取值就是有限得。
我们把测量结果中可靠得几位数字,加上可疑得一位数字,统称为测量结果得有效数字。
例如,2、78得有效数字就是三位,２、7就是可靠数字,尾位“8”就是可疑数字。
这一位数字虽然就是可疑得,但它在一定程度上反映了客观实际,因此它也就是有效得。
2、确定测量结果有效数字得基本方法(１)仪器得正确测读仪器正确测读得原则就是：读出有效数字中可靠数部分就是由被测量得大小与所用仪器得最小分度来决定。
可疑数字由介于两个最小分度之间得数值进行估读，估读取数一位(这一位就是有误差得）。
例如,用分度值为1ｍm得米尺测量一物体得长度，物体得一端正好与米尺零刻度线对齐，另一端如图１-1。
此时物体长度得测量值应记为L=83.87cm。
其中,83、8就是可靠数,尾数“7”就是可疑数,有效数字为四位。
（2)对于标明误差得仪器,应根据仪器得误差来确定测量值中可疑数所以用该电压表测量时，其电压值只需读到小数点后第一位。
如某测量值为1２、3Ｖ,若读出:1２、32Ｖ,则尾数“2”无意义,因为它前面一位“3”本身就就是可疑数字。
(3)测量结果得有效数字由误差确定。
不论就是直接测量还就是间接测量,其结果得误差一般只取一位。
测量结果有效数字得最后一位与误差所在得一位对齐。
如L=(83、87±0、02）cm就是正确得，而L=(83、868±0、02)cm与L＝(83、9±0、0２)ｃm都就是错误得。
3、关于“0”得问题有效数字得位数与十进制得单位变换无关。
末位“0”与数字中间得“0”均属于有效数字。
如2３、 20ｃm；１0、2V等，其中出现得“0”都就是有效数字。
小数点前面出现得“0”与它之后紧接着得“0”都不就是有效数字。
如0.２5cｍ或0．04５ｋg中得“0”都不就是有效数字,这两个数值都只有两位有效数字。
有效数字及其运算规则
有效数字及其运算规则一、有效数字的含义及位数为了得到准确的分析结果，不仅要准确地测量，而且还要正确地记录和运算，即记录的数字不仅表示数量的大小，而且要正确的反映测量的精确程度。
如某物重0.5180g 、其中0.518 是准确的，“0 ”位可疑，即其有上下一个单位的误差，也就是说此物重的绝对误差为二．有效数字的运算规则：1 ．和或差的有效数字：几个数相加减时，和或差的有效数字的保留，应以小数点后位数最少的数据为根据，即决定于绝对误差最大的那个数据。
例如：0.0121+25.64+1.05782 ＝26.70992应依25.64 为依据，即：原式＝26.71小数点后位数的多少反映了测量绝对误差的大小，如小数后有1 位，它的绝对误差为±0.1 ，而小数点有 2 位时，绝对误差为±0.01 。
可见，小数点具有相同位数的数字，其绝对误差的大小也相同。
而且，绝对误差的大小仅与小数部分有关，而与有效数字位数无关。
所以，在加减运算中，原始数据的绝对误差，决定了计算结果的绝对误差大小，计算结果的绝对误差必然受到绝对误差最大的那个原始数据的制约而与之处在同一水平上。
2 ．乘除法几个数相乘、除时，其积或商的有效数字应与参加运算的数字中，有效数字位数最少的那个数字相同。
即：所得结果的位数取决于相对误差最大的那个数字。
商应与0.0325 在同一水平上，即取3 位。
又如：3.001×2.1= 6.3有效数字的位数的多少反映了测量相对误差的大小。
如 2 位有效数字1.0 和9.9 它们的都是±0.1 ，相对误差分别为±10% 和±1%, 即：两位有效数字的相对误差总在±1% ～10%叁位有效数字的相对误差总在±0.1 ～1%肆位有效数字的相对误差总在±0.01 ～±0.1% 之间。
可见，相同有效数字位数的数字，其相对误差E r，处在同一水平上：而且E r的大小，仅与有效数字位数有关，而与小数点位数无关。
有效数字的规则
有效数字的规则有效数字是指一个数字表示的精度和准确度。
在科学和工程领域，有效数字的规则是非常重要的，因为它们决定了实验结果和计算结果的可信度。
有效数字的规则包括四个方面：数字的位数、小数点的位置、末位数字的舍入和零的处理。
首先，有效数字的位数是指一个数字中的有效数字的个数。
有效数字的位数决定了数字的精度。
在科学计数法中，有效数字的位数由数字的系数确定。
例如，科学计数法中的数字3.14有三个有效数字，而数字0.00314有四个有效数字。
在一般的数字表示法中，有效数字的位数由小数点的位置决定。
例如，数字123.45有五个有效数字，而数字0.00123有三个有效数字。
其次，小数点的位置也是有效数字的规则之一。
小数点的位置决定了数字的数量级。
在科学计数法中，小数点的位置由数字的指数确定。
例如，科学计数法中的数字3.14×10^2表示的是314，而数字3.14×10^-2表示的是0.0314。
在一般的数字表示法中，小数点的位置由数字的位数确定。
例如，数字123.45表示的是123.45，而数字0.00123表示的是0.00123。
第三，末位数字的舍入是有效数字的规则之一。
末位数字的舍入决定了数字的准确度。
在科学计数法中，末位数字的舍入由数字的精度确定。
例如，科学计数法中的数字3.1456×10^2表示的是315，而数字3.1456×10^-2表示的是0.0315。
在一般的数字表示法中，末位数字的舍入由数字的精度和舍入规则确定。
例如，数字123.456表示的是123.456，而数字123.454表示的是123.45。
最后，零的处理也是有效数字的规则之一。
零的处理决定了数字的准确度。
在科学计数法中，零的处理由数字的精度和舍入规则确定。
例如，科学计数法中的数字3.000×10^2表示的是300，而数字3.000×10^-2表示的是0.03。
在一般的数字表示法中，零的处理由数字的位数和小数点的位置确定。
有效数字规则
有效数字规则有效数字是指一个数字的所有位数都是准确且有意义的数字。
根据有效数字规则，一个数字的有效数字位数取决于该数字的精确度。
以下是有效数字的规则和应用。
1. 规则一：所有非零数字都是有效数字。
例如，数字123456789有9个有效数字。
2. 规则二：所有非零数字之间的零都是有效数字。
例如，数字10203有5个有效数字。
3. 规则三：数字中的前导零不是有效数字。
例如，数字0.00123只有3个有效数字。
4. 规则四：在科学计数法中，指数部分表示有效数字的位数。
例如，数字3.14 x 10^5有3个有效数字。
有效数字的应用广泛存在于科学、工程和金融领域。
以下是一些实际应用的例子。
1. 科学实验中的测量结果需要使用有效数字来表示。
例如，温度计测量的结果为25.3℃，则有效数字为3。
2. 工程中的尺寸和精度要求需要使用有效数字来表示。
例如，建筑图纸上的尺寸为2.54米，则有效数字为3。
3. 金融领域中的利率和汇率需要使用有效数字来表示。
例如，年利率为3.75%，则有效数字为3。
4. 化学实验中的化学方程式和计量单位需要使用有效数字来表示。
例如，化学方程式H2O表示水，有效数字为2。
除了有效数字的规则和应用，还有一些常见的误解需要避免。
1. 误解一：末尾的零是有效数字。
实际上，末尾的零只有在非零数字之间时才是有效数字。
2. 误解二：所有的数字都是有效数字。
实际上，前导零不是有效数字。
3. 误解三：有效数字决定了数字的精确度。
实际上，有效数字只是表示了数字的精确度，但并不代表数字本身的精确度。
总结起来，有效数字是一个数字的准确且有意义的位数，遵循一定的规则。
它在科学、工程和金融等领域有着广泛的应用。
了解有效数字的规则和应用可以帮助我们正确地表示和理解数字的精确度。
在实际应用中，我们应该根据具体的要求和情境来确定和使用有效数字，以确保数据的准确性和可靠性。
有效数字的规则
§1.4有效数字及其运算规则一、有效数字的一般概念1.有效数字任何一个物理量，其测量结果必然存在误差。
因此，表示一个物理量测量结果的数字取值是有限的。
我们把测量结果中可靠的几位数字，加上可疑的一位数字，统称为测量结果的有效数字。
例如，2.78的有效数字是三位，2.7是可靠数字，尾位“8”是可疑数字。
这一位数字虽然是可疑的，但它在一定程度上反映了客观实际，因此它也是有效的。
2.确定测量结果有效数字的基本方法(1)仪器的正确测读仪器正确测读的原则是：读出有效数字中可靠数部分是由被测量的大小与所用仪器的最小分度来决定。
可疑数字由介于两个最小分度之间的数值进行估读，估读取数一位(这一位是有误差的)。
例如，用分度值为1mm的米尺测量一物体的长度，物体的一端正好与米尺零刻度线对齐，另一端如图1-1。
此时物体长度的测量值应记为L=83.87cm。
其中，83.8是可靠数，尾数“7”是可疑数，有效数字为四位。
(2)对于标明误差的仪器，应根据仪器的误差来确定测量值中可疑数所以用该电压表测量时，其电压值只需读到小数点后第一位。
如某测量值为12.3V，若读出：12.32V，则尾数“2”无意义，因为它前面一位“3”本身就是可疑数字。
(3)测量结果的有效数字由误差确定。
不论是直接测量还是间接测量，其结果的误差一般只取一位。
测量结果有效数字的最后一位与误差所在的一位对齐。
如L=(83.87±0.02)cm是正确的，而L=(83.868±0.02)cm和L=(83.9±0.02)cm 都是错误的。
3.关于“0”的问题有效数字的位数与十进制的单位变换无关。
末位“0”和数字中间的“0”均属于有效数字。
如23. 20cm；10.2V等，其中出现的“0”都是有效数字。
小数点前面出现的“0”和它之后紧接着的“0”都不是有效数字。
如0.25cm或0.045kg中的“0”都不是有效数字，这两个数值都只有两位有效数字。
有效数字运算规则
有效数字运算规则
加减法：在加减法运算中，保留有效数字的以小数点后位数最小的为准，即以绝对误差最大的为准。
乘除法：先按有效数字最少的数据保留其它各数，再进行乘除运算，计算结果仍保留相同有效数字。
具体地说，是指在分析工作中实际能够测量到的数字。
能够测量到的是包括最后一位估计的，不确定的数字。
我们把通过直读获得的准确数字叫做可靠数字;把通过估读得到的那部分数字叫做存疑数字。
把测量结果中能够反映被测量大小的带有一位存疑数字的全部数字叫有效数字。
数据记录时，我们记录的数据和实验结果真值一致的数据位便是有效数字。
规定有效数字是为了体现测量值和计算结果实际达到的准确度。
保留有效数字的规则
保留有效数字的规则
保留有效数字的规则 1
保留有效数字的规则 2
1.当保留n位有效数字，若第n+1位数字≤4就舍掉。
2.当保留n位有效数字，若第n+1位数字≥6时，则第n 位数字进1。
3.当保留n位有效数字，若第n+1位数字=5且后面数字为0时，则第n位数字若为偶数时就舍掉后面的数字，若第n 位数字为奇数时加1；若第n+1位数字=5且后面还有不为0的任何数字时，无论第n位数字是奇或是偶都加1。
以上称为“四舍六入五留双”。
保留有效数字的规则 3
如果约数的绝对误差不超过其一位数的半个单位，那么从左到右，从第一个不为零的数字到这个数字，每一个数字称为一个有效数字。
通过舍入方法切割的近似数字的每个数字都是有效数字。
同一量的近似值，有效位数越多，准确度越高。
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L 2.756 10 m
6
U L 2 10 m 0.02 10 m
4 6
L (2.76 0.02) 10 m
6
l （ 1.48 0.03 ）cm
√
2
g （980.13 0.3 ）cm / s
一、列表法
表1 加速度a与斜面高度h的关系
2.220 14.55 2.794 18.34 3.368 22.16 3.942 25.99
h(cm) 1.646 a(cm/s2) 10.77
二、作图法—图示法和图解法
作图的具体方法和步骤: 1.定坐标轴. 2.定坐标比例 定比例（或叫分度）就是确定毫米方格 纸每格所代表的物理量的大小。
5.常数的运算 不影响运算结果的有效数字位数。
R 10.00 cm S R 2 3.1416 (10.00) 2 314.2 cm 2 L 2R 2 3.1416 10.00 62.83 cm
四、测量值最终由不确定度定位
1.不确定度的有效数字 不确定度的中间过程要求保留2位有效数字 不确定度的最后表达要求只取1位有效数字, 修约规则:非零即进，只进不舍。 Ex取1-2位有效数字， E＜10%取1位， E≥10%取2位。
三角函数运算
U 60 00' 0 02' , y sin ,
y y U y ？
2 f 2 U y U cos U 0.5 3 10 4 180 60
y sin sin 60 00' 0.8660 y y U y 0.8660 0.0003
4.标出实验点。 5.连线。 6.在图的下面写图的名称。
特别要求：在图上明显处写上坐标轴的比 例、姓名、上课时间.
三、逐差法
望远） 增重n’(mm) 减重n”(mm) 平均n(mm)
1 1.000 7.1 9.2 8.2
2 2.000 14.9 16.7 15.8 23.8 0.1 23.7
一、什么叫有效数字？
例：甲、乙和丙三人分别用米尺测某 物的长度，米尺最小分度是1mm，某 物长度在323 mm —324 mm之间， —过于粗糙
甲测得：323 mm
乙测得：323.6 mm —6是估读出来的,可疑 的,323是可靠数 丙测得:323.67 mm —7是无法估读的
有效数字=可靠数字+1位可疑数字
在实验报告纸上做下列练习，要写出详 细计算过程，计算结果网上输入、检查 和评分，在第3周上课之前完成，计算 过程和作图第4周交。 作业一，P50-P52: 练习1,练习2,练习3,练习4,练习5/(1,2)， 练习6,练习7,练习8,练习9,练习10,
3 3.000 22.1 25.5 23.8
4 4.000 29.1 34.2 31.6 31.6 8.2 23.4
5 5.000 36.6 42.1 39.4 39.4 15.8 23.6
6 6.000
0 -0.1 0.2 0.1
ni+3(mm) ni(mm) △ni(mm)
n 2.36102 m
V （ 9.3 0.04 ）V
×
×
g 983.6 cm / s
2 2 2 2
U g 110 cm / s 0.110 cm / s g 9.836102 cm / s 2 g Ug （9.8 0.1） 102 cm / s 2
一、列表法 二、作图法—图示法和图解法 三、逐差法
2.测量值的最后一位与不确定度U所在位 对齐，四舍五入，舍入多余位数 。
(1) x 1.254 mm U x 0.05 mm x x Ux （ 1.25 0.05）mm
(2) v 8.353cm / s U v 0.4 cm / s v （8.4 0.4 ）cm / s
至少每一小格(1mm)反映数据最后一 位可靠数字的1单位。 例如: 横轴1mm:0.010cm 纵轴1mm:0.10cm/s2
3.标度 在坐标轴上每隔一定的间距, 用整齐数标出分度值. 原点不一定是（0，0）点. 终点. 数据特别大或特别小，可以 用”×10n”或”×10-n”形式写在单 位前.
三、有效数字运算规则 （间接测量值的有效数字）
1.加减运算, 取小数后位数最少 例：N=41.8+15.41-8.372=48.8
2.乘除运算, 一般取位数最少
2147 .28 10.045 N 1179 18.30
3.幂的运算 乘方、开方的有效数字位数与其底的 有效数字位数相同。
4.三角函数和对数运算 先进行不确定度估算，运算结果取至 不确定度所在那一位。
2
对数运算
x x U x 1998 2, y y U y ？ f 2 1 1 2 U y ( ) U x U x 2 4 10 4 x x ln 10 1998 ln 10 y lg x lg1998 3.3006 y y U y 3.3006 0.0004 y lg x,
0.00021 0.0021 0.00210
二位有效数字 二位有效数字 三位有效数字
0.002100 四位有效数字
3.位数不因单位换算而改变。 m=30.20g≠30200mg =3.020×104mg
科学记数法 α =0.000017度-1 = 1.7×10-5度-1 L=3.8×10-3 m=3.8×10-1cm=3.8mm
7.2 mm 7.25 mm 7.24 mm 7.243 mm
二、几个注意问题
1.可估读的仪器应估读最小刻度以下的一 位可疑数；若正好对准刻度线，则估读 数为零，补上“0”作为可疑数。
37.0 mm≠ 37 mm 17.010mm≠ 17.01 mm
2.第一位非零数字前的“0”不是有效数字， 第一位非零数字后的“0”是有效数字。