图像信息题(答案)

1、如图1，矩形ABCD 中，BC =6cm ，点P 从A 点出发，以1cm/s 的速度沿A ﹣B ﹣C 匀速运动，运动到C 点时停止；点Q 从B 点出发，以a cm/s 的速度沿B ﹣C ﹣D ﹣A 匀速运动，运动到A 点时停止．若P 、Q 两点同时出发，设点P 运动的时间为t （s ），△PBQ 的面积为S （cm 2），S 与t 之间的函数关系由图2中的曲线段．．．OEF ，线段．．FG 、GH 表示．
（1）写出点F 的实际意义▲，a=▲；
（2）求图2中曲线段OEF 对应的函数表达式以及这个函数的最大值；
（3）在点P 、Q 运动的过程中，若满足90PQD ︒∠=，求t 的值．
（1）点F 表示的实际意义是点Q 运动到点C 的位置，3a =；
………3分（2）函数关系式是23922S t t =-+，………4分最大值是827；………5分
（3）当点Q 在BC 边上时，02t <≤，由△PBQ ∽△QCD ，得3
3363t t t =--，解得：6137±=t .………7分当点Q 在CD 边上时，23t <≤，由QC=PB ，得336t t -=-，解得：94
t =.………9分当点Q 在AD 边上时，39t <≤，由PC=DQ ，得939t t -=-解得：92t =.………11分
综上，t 的值为6
137±=t 或49=t 或29=
t 图1图2
2
2、如图1所示，直角梯形OABC的顶点A、C分别在y轴正半轴与x轴负半轴上．过点B、C作直线l．将直线l平移，平移后的直线l与x轴交于点D，与y轴交于点E．
（1）将直线l向右平移，设平移距离CD为t（t≥0），直角梯形OABC被直线l扫过的面积（图中阴影部分）为s，s关于t的函数图象如图2所示，OM为线段，MN为抛物线的一部分，NQ为射线，N点横坐标为4．
①求梯形上底AB的长及直角梯形OABC的面积，
②当2＜t＜4时，求S关于t的函数解析式；
（2）在第（1）题的条件下，当直线l向左或向右平移时（包括l与直线BC重合），在直线AB上是否存在点P，使△PDE为等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
分析：（1）先要看分段函数所表示的意思是什么，当0＜x≤2时，E在B和A之间扫过的梯形的部分是个平行四边形，当2＜x＜4时，E在A点右侧，且D在O点左侧时，扫过的梯形的部分是个五边形，当x≥4时，扫过的梯形的面积就是整个梯形的面积．
①由上面的分析可看出当t=2时，就是E、A重合的时候，那么AB=2，可根据此时梯形的平行四边形的面积为8求出OA的长；而当t=4时，就是D于O重合的部分，因此OC=4，那么梯形的面积就可以求出来了．
②根据上面的分析当2＜t＜4时，直角梯形OABC被直线l扫过的面积=直角梯形OABC面积一直角三角形DOE面积，然后可用t表示出OD、OE的长，然后根据得出的等量关系求出S、t的函数关系式；
（2）要分三种情况进行讨论：
①以点D为直角顶点，作PP1⊥x轴
在Rt△ODE中，OE=2OD，设OD=b，OE=2b．由于Rt△ODE≌Rt△P1PD，（图示阴影）因此b=4，2b=8，在上面二图中分别可得到P点的生标为P（-12，4）、P（-4，4）
E点在0点与A点之间不可能；
②以点E为直角顶点
同理在②二图中分别可得P点的生标为P（-，4）、P（8，4）E点在0点下方不可能．③以点P为直角顶点
同理在③二图中分别可得P点的生标为P（-4，4）（与①情形二重合舍去）、P（4，4），E点在A点下方不可能．
综上可得P点的生标共5个解，分别为P（-12，4）、P（-4，4）、P（-，4）、
P（8，4）、P（4，4）．
解答：解：（1）①AB=2
OA==4，OC=4，S梯形OABC=12
②当2＜t＜4时，
直角梯形OABC被直线l扫过的面积=直角梯形OABC面积一直角三角形DOE面积，∵AB∥CD，OA=4，
∴==，
∴OE=8-2t
S=12-（4-t）×（8-2t）=-t2+8t-4；
（2）存在
P1（-12，4），P2（-4，4），P3（-，4），P4（4，4），P5（8，4）
下面提供参考解法二：
以直角进行分类进行讨论（分三类）：
第一类如上分析中①所示图∠P为直角：
设直线DE：y=2x+2b，此时D（-b，0），E（0，2b）的中点坐标为，
直线DE的中垂线方程：y-b=-，
令y=4得．
由已知可得PE=DE即
化简得3b2-32b+64=0
解得b1=8，b2=将之代入P（-8，4）
∴P1=（4，4）P2（-4，4）；
第二类如上分析中②所示图∠E为直角：
设直线DE：y=2x+2b，此时D（-b，o），E（O，2b），
直线PE的方程：y=-，
令y=4得P（4b-8，4）．
由已知可得PE=DE即
化简得b2=（2b-8）2
解之得，b1=4，b2=将之代入P（4b-8，4）
∴P3=（8，4）
第三类如上分析中③所示图∠D为直角：
设直线DE：y=2x+2b，此时D（-b，o），E（O，2b），
直线PD的方程：y=-（x+b），
令y=4得P（-b-8，4）．
由已知可得PD=DE即
解得b1=4，b2=-4将之代入P（-b-8，4）
∴P5=（-12，4）、P6（-4，4）、[P6（-4，4）与P2重合舍去]．
综上可得P点的坐标共5个解，分别为P（-12，4）、P（-4，4）、P（-，4）、P（8，4）、P（4，4）．
3、如图①，在矩形ABCD中，AB=30cm，BC=60cm．点P从点A出发，沿A→B→C→D 路线向点D匀速运动，到达点D后停止；点Q从点D出发，沿D→C→B→A路线向点A 匀速运动，到达点A后停止．若点P、Q同时出发，在运动过程中，Q点停留了1s，图②是P、Q两点在折线AB-BC-CD上相距的路程S（cm）与时间t（s）之间的函数关系图象．（1）请解释图中点H的实际意义？（2）求P、Q两点的运动速度；（3）将图②补充完整；（4）当时间t为何值时，△PCQ为等腰三角形？请直接写出t的值
（1）图中点H的实际意义：P、Q两点相遇；
（2）由函数图象得出，当两点在F点到G点两点路程随时间变化减慢得出此时Q点停留1秒，只有P点运动，此时纵坐标的值由75下降到45，
故P点运动速度为：30cm/s，再根据E点到F点S的值由120变为75，根据P点速度，得出Q点速度为120-75-30=15（cm/s），
即P点速度为30cm/s，Q点速度为15cm/s；
（3）如图所示：根据4秒后，P点到达D点，只有Q点运动，根据运动速度为15cm/s，
还需要运动120-45=75（cm），则运动时间为：75÷15=5（s），画出图象即可；
（4）如图1所示，
当QP=PC，此时QC=BP，即30-30t=（30-15t），
解得：t=，
故当时间t=s时，△PCQ为等腰三角形，
如图2所示，
当D，P重合，QD=QC时，
Q为AB中点，则运动时间为：（15+60+30）÷15+1=8（s），
故当时间t=8s时，△PCQ为等腰三角形．
若PC=CQ
故90-30t=30-15t
解得：t=4
则4+1=5（S）
综上所述：t=或t=5或t=8秒时，△PCQ为等腰三角形．
4.如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P以1cm/秒的速度沿折线BE-ED-DC运动到点C时停止，点Q以2cm/秒的速度沿BC运动到点C时停止．设P、Q同时出发t秒时，
△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（其中曲线OG为抛物线的一部分，其余各部分均为线段），则下列结论：
①当0＜t≤5时，y=t2；②当t=6秒时，△ABE≌△PQB；③cos∠CBE=；④当t=秒时，
△ABE∽△QBP；
其中正确的是
A.①②
B.①③④
C.③④
D.①②④
分析：根据图（2）可以判断三角形的面积变化分为四段，①当点P在BE上运动，点Q到达点C时；②当点P到达点E时，点Q静止于点C，从而得到BC、BE的长度；③点P到达点D时，点Q静止于点C；④当点P在线段CD上，点Q仍然静止于点C时．
解答：
根据图（2）可得，当点P到达点E时点Q到达点C，
∵点P、Q的运动的速度分别是1cm/秒、2cm/秒
∴BC=BE=10，
∴AD=BC=10．
又∵从M到N的变化是4，
∴ED=4，
∴AE=AD-ED=10-4=6．
∵AD∥BC，
∴∠1=∠2，
∴cos∠1=cos∠2===．
故③错误；
如图1，过点P作PF⊥BC于点F，
∵AD∥BC，
∴∠1=∠2，
∴sin∠1=sin∠2===，
∴PF=PB•sin∠1=t，
∴当0＜t≤5时，y=BQ•PF=×2t×t=t2，故①正确；
如图3，当t=6秒时，点P在BE上，点Q静止于点C处．
在△ABE与△PQB中，，
∴△ABE≌△PQB（SAS）．
故②正确；
如图4，当t=秒时，点P在CD上，此时，PD=-BE-ED=-10-4=，
PQ=CD-PD=8-=，
∵==，==，
∴=
又∵∠A=∠Q=90°，
∴△ABE∽△QBP，故④正确．
综上所述，正确的结论是①②④．
故选D．。