选修基本不等式

例3: 如图，把一块边长是a 的正方形铁片的各角切
去大小相同的小正方形， 再把它的边沿着虚线折转
作成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多
少时？才能使盒子的容积最大？
解: 设小正方形边长为x, 盒子的容积为V,则
V (a 2 x)2g x1[(a 2 x)g (a 2 x)g 4 x]
4
1 4(a2x)(3 a2x)4x322a73,
证：设长方体同一顶点处的三条棱长 分别为x,y,z, 体积为V,表面积 为S，则S=2(xy+yz+xz),于是得
V2(xyz)2xygxzgyz
z xy
(xyxzyz)3 (S)3，
3
6
∴当且仅当xy=yz=xz, 即x=y=z时，V2有最大值，
从而可知，表面积为定值S的长方体中，以正方 体的体积最大.
(0,
1 )上的最大值.
3
解 ： Q 0x1, 13x0,故 得 3
yx2(13x)4[3xg3xg (13x)] 92 2
4[3x/23x/213x]31.
9百度文库
3
243
当 且 仅 当 3 x 13 x,即 x2时 ，
2
9
函 数 yx2(13x)取 最 大 值1． 243
例2 求证:在表面积一定的长方体中,以正方体的体积 最大.
定理:设 x, y, z 都是正数，那么 ⑴若 xyz S （定值），则 当 x y z 时， x y z 有最小值 33 s. ⑵若 x y z p （定值），则 当 x y z 时， xyz 有最大值 p3/27.
注 ： 一 正 、 二 定 、 三 相 等
例1
求函数
yx2(13x)在
a 3 b 3 c 3 3 a b c (a ,b ,c R )
问题探讨 已 知 a,b,c R , 求 证 a3b3c33abc， 并 探 讨 等 号 成 立 的 条 件 ．
(x y )3 x 3 3 x 2 y 3 x y 2 y 3 证 :Qa3b3c33abc
( a 3 3 a 2 b 3 a b x 2 3 b y 3 3 ) 3 (a x 2 b y) 3 (a x b 2 2 x c y 3 y 3 a 2) b c
33 abc，
当 且 仅 当 a b c 时 ， 等 号 成 立 ．
定 理 3如 果 a,b,cR,
那 么 abc3abc， 3
当 且 仅 当 abc时 ， 等 号 成 立 ．
即：三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数
定理3可以推广一般的情形：
对于 n 个正数 a1, a2 , a3,L an，它们的算术平均值 不小于它们的几何平均值，即
三个正数的算术-几何 平均不等式
02.06.2020
复习回顾
1.基本不等式:
(1)如果a,bR，那么a2b2 2ab, 当且仅当ab时，等号成立．
(2)如果a,b0，那么ab ab, 2
当且仅当ab时，等号成立．
(3)如果a,b0，那么ab(ab)2, 2
当且仅当ab时，等号成立．
2.用均值不等式求最值时,要满足: 一正、二定、三相等.
1 .求 函 数 y x 2 (1 5 x )(0 x 1 )的 最 大 值 ． 答 案 :当 x12 5时 ,y 5 m ax67 45.
2 . 若 x ,y R ,且 x y 2 8 ,求 x 2 y 的 最 小 值 ．
答 案 : 当 x 2 ,y 2 时 , x 2 y 取 最 小 值 6 ．
(a b )3 c 3 3 a 2 b 3 a b 2 3 a b c
( a b c ) [ ( a b ) 2 ( a b ) c c 2 ] 3 a b ( a b c )
( a b c ) [ a 2 2 a b b 2 a c b c c 2 3 a b ]
3 .求 函 数 yx22(x0 )的 最 小 值 ． x
答 案 : 当 x 1 时 , y m in 3 .
x
当 且 仅 当 a 2x4x,即 xa时 , 等 号 成 立 ,
6
即 小 正 方 形 的 边 长 是 原 正 方 形 边 长
a
的 1时 , 盒 子 的 容 积 取 最 大 值 2a3．
6
27
例 3.已 知 a,b,cR,求 证 ：
3(abc3abc)2(ab ab).
3
2
课堂练习：
a1 a2 a3 L n
an ≥ n a1a2a3 L
an
(当且仅当 a1 a2 a3 L an 时取等号.)
基本不等式的变形：
① 若 a,bR,则 ab （ a 2b） 2.
② 若 a ,b ,c R ,则 a b c （ a 3 bc） 3.
③ 若 a 1 ,a 2 ,L ,a n R ,则 a 1 a 2 L a n （ a 1 a 2 n L a n ） n .
问题探讨
1.把 不 等 式 ab 2
ab(a,bR)推 广 到
三 个 正 数 的 情 形 ,结 果 是 什 么 ？
a3 bc3abc(a,b,cR).
2 . 怎 么 证 明 以 上 不 等 式 ？
3 . 我 们 先 考 虑 把 不 等 式 a2 b 22 a b (a ,b R ) 推 广 到 三 个 正 数 的 情 形 ,结 果 是 什 么 ？
a3b3c33abc, 当 且 仅 当 a b c 时 ， 等 号 成 立 ．
问题探讨
怎 么 证 明 不 等 式 a b c 3a b c (a ,b ,c R ) ？ 3
证：Qabc a 3 b 3 c 3 3 a b c (a ,b ,c R ) (3 a)3 (3 b)3 (3 c)3
( a b c ) [ a 2 b 2 c 2 a b b c a c ]
问题探讨 已 知 a,b,c R , 求 证 a3b3c33abc， 并 探 讨 等 号 成 立 的 条 件 ．
证 :Qa3b3c33abc 1 (a b c )[2 a 2 2 b 2 2 c 2 2 a b 2 b c 2 a c ] 2 1 (a b c )[(a b )2 (b c )2 (a c )2 ] 0 , 2