用二次函数求面积最值

原题引申1
▪ 1. 画出函数y=x2-2x-3的图象，利用图 象回答：
一、审题分析--- 编者意图
此题作为二次函数与实际问题的一个综合运用题目， 编者要求学生能用运动变化的观点看数学问题，进一步 发展学生的数形结合思想。
本题从旨在引导利用二次函数y=ax2+bx+c的图象 和性质，特别是顶点坐标的意义来求面积的最小值， 也是对课本49页探究1的变式与拓展。也让学生去感受 数学来源于生活并服务于生活。
一、审题分析--- 题目背景
1、题材背景：本题出自人教版九年级上册22.3的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ7题.
2、知识背景：本题涉及的知识点有：① 正方形的性质及面 积，② 全等三角形的证明，③ 勾股定理，④ 抛物线的顶点、 二次函数的最值,⑤几何图形中的动点问题。 3、方法背景：学生从小学开始就知道正方形面积公 式是正方形面积等于边长乘边长，边长大正方形面积 也就大，边长小面积就小，所以此题的关键在于怎么 求出正方形EFGH边长的最小值。
=(x-1)2-4
画出函数图象：
●
-1
y=x2-2x-3
●
12 3
-1 0 1 2 3 0 -3 -4 -3 0
-3 ● ● -4 ●
画函数图象的步骤：
1)列表 2)描点 3)连线(用圆滑的曲线)
说解法
分析：这道题作为二次函数的典型复习题，用于复习和巩固 二次函数的图象及其性质。 （1）分别令x=0，y=0即可求得交点坐标； （2）把函数解析式转化为顶点坐标形式，即可得顶点坐标； （3）①根据图象与x轴交点可知方程的解；
二、解题过程---说题目意思
待求的结论是：问我们当点E位于何处时， 正方形EFGH的面积最小？这样的一个问题情景 学生还是比较熟悉的。当AE的长改变时会引起 EF也发生变化，正方形EFGH的面积也就随之改 变。所以此题是一个动态几何问题，题目就是相 当于问AE等于多少时EF最长。
说题目
▪ 画出函数y=x2-2x-3的图象，这是题目 对我们的第一要求。到这个阶段应该 如何作图？列表、描点、连线是作函 数图象的三步曲，但现在我们已经对 二次函数图象比较熟悉，就应采用五 点作图法。
二、解题过程---知识准备
1．能抛物线y=ax2+bx+c（a>0）的开口向 ， 顶点坐标是 ，当x= 时，y有最 值是 .
2．学生看课本49页探究1的解法，再次感受把图形面 积化为二次函数关系式来表示的化归思想。
二、解题过程---说题目意思
题目类型：本题从二次函数与实际问题的关系考察学生 数形结合思想，是个综合性较强的题目。
②、③根据图象即可得知x的取值范围。
解答
y=x2-2x-3 =(x+1)(x-3)
y=x2-2x-3
x＜-1或x＞3
●
-1
●
12 3
-1＜x＜3
-3 ● ●
解：由图象知 -4 ●
②①当方程x2-2x-3=0的时，解函为数x1=值-1大，于x20=；3．
③当
时，函数值小于0.
说思想
本题的设计先考察了把一元二次方程一般式化成 顶点式、化归的数学思想方法，其次有效地考查了学 生的作图能力，最后要求学生充分展现数形结合思想。
数学是研究现实世界中数与形关系的学科。我 国著名数学家华罗庚教授有这么一段名言：“数与形， 本是相倚依，焉能分作两边飞。数缺形时少直觉，形 少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事非。”
此名言见人教版教师教学用书九上P105
题形变式
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所 示，根据图象解答下列问题： (1)写出方程ax2+bx+c=0的两个根；
已知条件：有两个正方形，内部小正方形的顶点E，F， G，H分别位于外部大正方形ABCD的四条边上。
待求的结论是：问我们当点E位于何处时，正方 形EFGH的面积最小？这样的一个问题情景学生 还是比较熟悉的。当AE的长改变时会引起EF也 发生变化，正方形EFGH的面积也就随之改变。 所以此题是一个动态几何问题，题目就是相当于 问AE等于多少时EF最长。
(2) 由图先找到抛物线的对称轴， 要y随x的增大而减小
则x的取值范围为x＞2; (3) ∵ax2+bx+c＞0
∴不等式解集为1＜x＜3。
●
●
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说反思
▪ 实际解题时有些学生为什么会对这类题感 到困惑呢？
▪ 我想主要是因为他们不能较快的由关系式 作出抛物线草图，或者不能理解图象上点 的坐标的意义，也就是缺乏数形结合思想。
说题目
此题分为三问，第一问：方程 x2-2x-3=0 的解
是什么，第二、三都是x取什么值时，函数的值大于或 小于0。由易到难，步步为营，符合数学设问由浅入深 的原则。
做好这个题对以后高中数学求函数值域、解 一元二次不等式有很大的帮助，所以此题也是初 高中数学的连接纽带。
说解法
y=x2-2x-3
=x2-2x+1-1-3
说题流程 一、审题分析： 题目背景 ，学情分析， 教材编写意图
三、总结提升:
解题方法总结 ， 题目变式延伸
二、解题过程： 知识准备 ，说题目意思 说题目的解法 ，解题操作， 解题归纳
四、评价分析：
教法设计 ，教学反思
原题展现 习题22.3
▪ 7. 如图，点E，F，G，H分别位于正方形 ABCD的四条边上，四边形EFGH也是正方 形，当点E位于何处时，正方形EFGH的面 积最小。
4.思想背景：化归思想、函数思想、数形结合思想 。
一、审题分析--- 学情分析
1.学生特点：本题的教学对象是九年级学生，他们的观 察能力有所发展，有一定的模仿能力，会想到课本49页 探究1是通过二次函数性质求图形面积最大或最小值， 具有了一定化归思想 。
2.估计学生会出现的错误：有学生直接认为四个直角 三角形全等，也就有了AE=BF，先求出小正方形的 边长，然后再利用边长的平方求面积。甚至会选取E 在几个特殊点时求正方形EFGH的面积，然后从中取 个最小面积所对的AE值作为题目的答案。
(2)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围
(3)写出不等式ax2+bx+c＞0的解集。
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问题:(1)写出方程ax2+bx+c=0的两个根；
(2)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围
(3)写出不等式ax2+bx+c＞0的解集。
解:(1)由抛物线y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象, 可得x1=1，x2=3；