八年级数学上册 第12章 整式的乘除 12.3 乘法公式教案
八年级数学上册第12章整式的乘除教案2新版华东师大版word版本
整式的乘除
教
学知识与技术
经过对试题讲评，应当使学生进一步理解和掌握知
的利用知识解决问题，提升能力。
识，更好
目
标
过程与方法
查阅试卷，发现问题，提出问题，研究谈论，解决问题，提升能力。
培育学生优异的学习质量。
感情态度与价值观
教课要点试卷中存在的问题。
教课难点认识错误，正确改正，逐渐提升。
教课内容与过程教法学法设计
一. 你对本章整式的乘除知识掌握的如何？请自己估量一下
自己的分数。
面向全体学生提出
相关的问题。
明确要研
究，探究的问题是什么，
明确本节课的详尽任
务。
.
二.本节课我们一起来研究我们的单元考试题。
三 . 学生查阅试卷
四.从中发现问题 .
鼓舞学生去研究、
解析、探究解决问题的
方法。
五 . 学生提出问题.
六 . 师生研究解析问题.共同解决问题.
七.预习下一课的内容.
教
学
反
思。
2024-2025学年华师版初中数学八年级(上)教案第12章整式的乘除12.5因式分解(第2课时)
第12章 整式的乘除12.5 因式分解第2课时 两数和与两数差的积——因式分解教学目标1.理解平方差公式，弄清平方差公式的形式和特点；2.让学生经历探究因式分解的过程，理解和领悟因式分解，发现因式分解的基本方法——公式法；3.掌握运用平方差公式因式分解的方法，能正确运用平方差公式把多项式分解因式，培养学生多步骤因式分解的能力.教学重难点重点：掌握公式法（两数和与两数差的积）进行因式分解. 难点：怎样进行多项式的因式分解，如何能将多项式分解彻底.复习巩固1.因式分解是怎样定义的？因式分解有什么特点？2.把下面多项式分解因式：（1）3222320515y x y x y x -+； （2）22230156mn mn n m +-； （3）()()b a y b a x +-+； （4）()()()22332a b a b a a b +--+. 【答案】（1）()224135y xy y x -+. （2）()32510mn m n n -+. （3）()()a b x y +-. （4）-()()23a b a b ++. 3.计算：()()a b a b +-. 【答案】 22b a -.教学过程导入新课【创设情境，课堂引入】我们知道，整式乘法与因式分解相反，因此，利用整式乘法与因式分解的这种关系，可以得到因式分解的方法.如果把乘法公式反过来用，就可以将某些多项式分解因式，这种因式分解的方法叫做公式法.探索：根据上面的计算，请你猜想22a b -的结果. 把乘法公式()()22a b a b a b +-=-反过来， 就得到：教学反思探究新知【实践探究，交流新知】思考：两数和与两数差的积——因式分解： （1）（2）用文字叙述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积. 【注意】（1）要弄清楚整式乘法中的两数和与两数差的积与因式分解中的两数和与两数差的积的区别，因式分解中左边是两个数的平方差，右边是这两个数的和乘以这两个数的差；（2）a ，b 可以是单独的数或具体的字母，也可以是多项式. 例如：【小组讨论，师生互学】例1 把下列多项式分解因式：（1）2251a -； （2）222z y x -； （3）2201.094n m -.解：（1）()()()222125151515a a a a -=-=+-；（2）()()()22222x y z xy z xy z xy z -=-=+-；（3）()222242220.010.10.10.19333m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.例2 把下列各式分解因式：（1）()()22q x p x +-+； （2）()()22916b a b a +--.分析：()()22q x p x +-+是x p +与x q +的平方差；把式子()216a b -- ()29a b +改写成()[]()[]2234b a b a +--后，可以看出它是4()a b - 与()b a +3的平 方差，所以它们都可以运用两数和与两数差的积因式分解.教学反思解：（1）()()22q x p x +-+()()()()x p x q x p x q =++++-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()2x p q p q =++-； （2）()()22916b a b a +--()()2243a b a b =--+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()4343a b a b a b a b =-++--+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()77a b a b =--. 例3 把下列各式分解因式：（1）35x x -； （2）44y x -. 解：（1）35x x - ()123-=x x()()311x x x =+-；（2）44y x -()()2222y x-=()()2222x y x y =+- ()()()22x y x y x y =++-.【注意】（1）如果多项式的各项含有公因式，那么先提公因式，再进一步因式分解.（2）因式分解要彻底，必须进行到每一个多项式都不能再分解为止. 同步练习：把下列各式分解因式：（1）3（a +b ）2-27c 2 ； （2）16（x +y ）2-25（x -y ）2； （3）a 2（a -b ）+b 2（b -a ）； （4）（5m 2+3n 2）2−（3m 2+5n 2）2. 【答案】（1）3（a +b +3c ）（a +b -3c ）；（2）（9x -y ）（9y -x ）；（3）（a +b ）（a -b ）2；（4）16（m 2+n 2）（m +n ）（m −n ）.【合作探究，解决问题】用平方差公式因式分解解决综合问题.（师生互动）例4 已知2 48-1可以被60和70之间某两个自然数整除，求这两个数. 【探索思路】被自然数整除的含义是什么？248-1这个数比较大，怎样求出符合要求的两个数？解：248-1＝（224+1）（224-1）＝（224+1）（212+1）（212-1） ＝（224+1）（212+1）（26+1）（26-1）.∵26＝64，∴26-1＝63，26+1＝65， ∴这两个数是65和63.教学反思【题后总结】（学生总结，老师点评）解决整除的基本思路就是将数化为整数乘积的形式，然后分析被哪些数整除.例5 利用因式分解计算： （1）1012-992；（2）5722×14-4282×14.【探索思路】观察式子特点，用提公因式法和公式法进行因式分解. 解：（1）1012-992＝（101+99）（101-99）＝400.（2）5722×14-4282×14＝（5722-4282）×14＝（572+428）（572-428）×14＝1 000×144×14＝36 000.【题后总结】（学生总结，老师点评）对于一些比较复杂的计算，如果通过变形转化为平方差公式的形式，可以使运算简便.课堂练习1.下列代数式中能用两数和与两数差的积因式分解的是（ ） A.a 2+b 2 B.−a 2−b 2 C.a 2−c 2−2ac D.−4a 2+b 22.将−4+0.09x 2分解因式的结果是（ ） A.（0.3x +2）（0.3x -2） B.（2+0.3x ）（2-0.3x ） C.（0.03x +2）（0.03x -2） D.（2+0.03x ）（2-0.03x ）3.已知多项式x +81b 4可以分解为（4a 2+9b 2）（2a +3b ）（3b -2a ），则x 的值是（ ）A.16a 4B.-16a 4C.4a 2D.-4a 2 4. 因式分解：249x -=_____________.5. 因式分解：2()1xy -＝ . 6. 因式分解：4x 2-y 2＝ . 7. 因式分解：a 2−144b 2＝ .8. 已知4m +n ＝40，2m -3n ＝5，求（m +2n ）2-（3m -n ）2的值. 参考答案1.D2.A3.B4. (23)(23)x x -+5. (1)(1)xy xy +-6. （2x +y ）（2x −y ）7.（a +12b ）（a −12b ）8. 解：原式＝（m +2n +3m −n ）（m +2n −3m +n ） ＝（4m +n ）（3n −2m ） ＝− （4m +n ）（2m −3n ）.当4m +n ＝40，2m −3n ＝5时，原式＝−40×5＝−200.课堂小结通过本节课的学习，要求同学们1.掌握两数和与两数差的积，并能灵活地利用两数和与两数差的积进行因式分解.2.进行因式分解过程中，有公因式的应先提取公因式，然后再分解，因教学反思式分解必须彻底.教学反思布置作业请完成本课时对应练习！板书设计因式分解——平方差法两数和与两数差的积：（1（2）用文字叙述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.。
2024-2025学年华师版初中数学八年级(上)教案第12章整式的乘除12.2整式的乘法(第1课时)
第12章 整式的乘除12.2 整式的乘法第1课时 单项式与单项式相乘教学目标1.让学生通过适当的尝试，获得直接的经验，体验单项式与单项式的乘法运算规律，总结运算法则.2.使学生能正确区别各单项式中的系数，同底数的幂和不同底数幂的因式.3.让学生感知单项式的乘法法则对两个以上的单项式相乘同样成立，知道单项式乘法的结果仍是单项式.4.使学生通过探索理解单项式的乘法中，系数与指数的不同计算方法，正确应用单项式的乘法步骤进行计算，能熟练地进行单项式与单项式相乘和含有加减运算的混合运算.教学重难点重点：对单项式运算法则的理解和应用.难点：尝试与探究单项式与单项式的乘法运算规律.教学过程复习巩固1.口述幂的运算的四个法则.【答案】同底数幂的乘法法则：m n m n a a a +=（m ，n 都是正整数）；幂的乘方：()nm m n a a =（m ，n 都是正整数）；积的乘方：()n n nb a ab =（n 是正整数）；同底数幂的除法法则：n m n m a a a -=÷（m ，n 是正整数，并且>m n ，0≠a ）.2.幂的运算的四个法则的联系和区别是什么？3.计算：（1）20032004155⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭； （2）()()532532b a b a -+ ； （3）()()32232x x -.【答案】（1）5； （2）0； （3）128x -.导入新课【创设情境，课堂引入】计算（1）3225x x ； （2）3225x x y .教学方式：教师启发引导学生，学生主动探索，逐步认识.分析：运用乘法交换律、结合律，把各因式的系数，相同的字母分别结合，教学反思然后相乘.（1）()()32325252510x x x xx=⨯⨯=；（2）()()32325252510x x y x x y x y =⨯⨯=.探究新知【实践探究，交流新知】通过上面两式的计算，启发引导学生归纳得出： 单项式与单项式相乘的法则： （1）系数相乘作为积的系数；（2）相同的字母，应用同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加； （3）只在一个单项式中出现的字母，连同它的指数作为积的一个因式； （4）单项式与单项式相乘的结果仍然是单项式.【合作探究，解决问题】【小组讨论，师生互学】 例1 计算：（1）()2332x y xy - ； （2）()()23254a b b c --. 解：（1）()2332x y xy - ()()()2332x x y y=⨯-⎡⎤⎣⎦………（乘法的交换律与结合律）436y x -=；（2）()()23254a b b c --()()()23254a b b c =-⨯-⎡⎤⎣⎦………（乘法的交换律与结合律）c b a 5220=.例2 计算：（1）()22332x y xy - ； （2）()()2323254a b b c --；（3）()()23254mna b b c --； （4）()()()3222229ab ab ab --.解：（1）()22322647323412x y xy x y x y x y -==；（2）()()()23232466341235425641600a b b c a b b c a b c --=-=-；（3）()()()()()()232232232545454mnmnmnm mn nm m n na b b c a bb c a bc +--=--=--；教学反思（4）()()()3222236224362989ab ab ab a b ab a b a b --=-=-.方法小结：进行计算时，有乘方先算乘方，再算单项式乘以单项式.【巩固练习】 计算： （1）()()433nnab ab - ； （2）23222332a b ab ⎛⎫- ⎪⎝⎭； （3）()()()()23322122a bc a bc abc abc -----. 【答案】（1）124b a ；（2）6523b a ；（3）0.【总结】（学生总结，老师点评） 单项式乘以单项式的注意事项：（1）计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积； （2）按顺序运算；（3）不要丢掉只在一个单项式里出现的字母因式；（4）单项式乘以单项式的法则对于多个单项式相乘仍然成立. 【拓展延伸】例3 已知-2x 3m +1y 2n 与7x n−6y −3−m 的积与x 4y 是同类项，求m 2＋n 的值. 【思考】根据-2x 3m +1y 2n 与7x n−6y −3−m 的积与x 4y 是同类项，可以得到什么？怎样求m 2+n 的值？解：因为-2x 3m +1y 2n 与7x n−6y −3−m 的积与x 4y 是同类项，所以3164,231,m n n m ++-=⎧⎨--=⎩ 解得2,3.m n =⎧⎨=⎩所以m 2+n ＝7.【总结】（学生总结，老师点评）根据单项式乘以单项式的法则，结合同类项，列出关于m ，n 的二元一次方程组，进而求得代数式的值.课堂练习1.计算3a ·2b 2的结果是（ ）A .3ab 2B .6b 2C .6ab 2D .5ab 2 2.计算-2a 2·3a 的结果是（ ）A .-6a 2B .-6a 3C .12a 3D .6a 3 3.若长方形的宽是a 2，长是宽的2倍，则长方形的面积为 _____.4.一个三角形的一边长为a ，这条边上的高的长度是它的13，那么这个三角形的面积是_____.5.计算：（1）-3x 2 ·5x 3； （2）4y ·（2xy 2）； （3）（-x ）3·（x 2y ）2.6.若（12m n a b ++）·（21n a b -）＝54a b ，求m +n 2的值.教学反思参考答案1.C2.B3.42a4.216a 5. 解：（1）原式＝（-3×5）（23x x ）＝-155 x ； （2）原式＝（4×2）（2y y ）x ＝83xy ； （3）原式＝（- x 3）·（42x y ）＝-72x y .6.解：原式＝1212154m n n a b a b ++-++＝， ∴ 1215214m n n ++-⎧⎨++⎩＝，＝， 解得31.m n ⎧⎨⎩＝，＝∴ 2 4.m n +＝课堂小结单项式乘以单项式中的“一、二、三”一个不变：单项式与单项式相乘时，对于只在一个单项式里出现的字母， 连同它的指数不变，作为积的因式.二个相乘：把各个单项式中的系数、相同字母的幂分别相乘.三个检验：单项式乘以单项式的结果是否正确，可从以下三个方面来 检验：①结果仍是单项式；②结果中含有单项式中的所有字母；③结果 中每一个字母的指数都等于相乘的单项式中同一字母的指数之和.布置作业请完成本课时对应练习！板书设计单项式与单项式相乘单项式与单项式相乘，只要将它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，连同它的指数一起作为积的因式.注意事项（1）应先进行符号运算； （2）按顺序运算；（3）不要丢掉只在一个单项式里出现的字母因式；（4）单项式乘以单项式的法则对于多个单项式相乘仍然成立.教学反思。
八年级数学上册 第12章《整式的乘除》教案 (新版)华东师大版-(新版)华东师大版初中八年级上册数学
例2先化简，再求值： ，其中 。（思路点拨：注意运算顺序及准确性）
(变式训练)：若 ，
求 的值。
3、乘法公式的灵活运用
例3已知 ，求 ； 的值。（Biblioteka 路点拨：注意公式的变形及相互关系）
4、因式分解的运用
例4求 的值
（思路点拨：注意观察数字特征，灵活运用因式分解进行有关计算）
（变式训练）计算:
整式的乘除
课 题
单元复习
课 型
复习课
教师复备
教学
目标
1、牢固掌握幂的运算性质和整式乘除的运算法则，理解、掌握乘法公式；
2、分解因式的方法及运用；
3、培养自己的运算能力，以及分析问题、解决问题的能力。
教学重点、难点
重点：有关乘除法的各种运算法则和公式的理解与运用。
难点：有关乘除法的各项运算法则的理解与应用。
课后
反思
课前
预习
【导学提纲】
知识结构与知识归纳：
（一）知识结构见教材P43
（二）知识归纳：
1、整式乘除相关法则及公式有哪些？
2、因式分解：
（1）因式分解的步骤是什么？
（2）因式分解的常用方法有哪些？
（3）分解因式要注意哪些问题？
典例
讲解
1、幂的运算性质
例1已知 （m、n为正整数），求 的值。（思路点拨：注意公式的逆用）
第12章 12.3 1.两数和乘以这两数的差
16．简便运算： (1)5923×6031 解：原式＝359989 (2)38.52－36.52
解：原式＝150
17．先化简，再求值：(x－1)(x＋1)－x(x－3)，其中 x＝3.
解：化简原式＝3x－1，值为 8 18．一个三位数的百位数字比十位数字小 1，个位数字比十位数字小 2，且十 位数字与个位数字之积比百位数字与个位数字之积大 2.求这个三位数． 解：设这个三位数中的百位数字为 x， 则(x＋1)(x－1)＝x(x－1)＋2， ∴x＝3，∴这个三位数为：342
19．观察下列各式，你会发现什么规律？ 1×3＝3＝22－1,3×5＝15＝42－1,5×7＝35＝62－1，…，11×13＝143＝122 －1，… 将你猜想到的规律用只含一个字母的式子表示出来． 解：(2n－1)(2n＋1)＝4n2－1(n 为正整数)
(3)(－2x2＋21)(－2x2－12) 解：(1)原式＝9 (2)原式＝16m2－9n2 (3)原式＝4x4－14 (4)原式＝－49x2＋196y2
(2)(4m－3n)(4m＋3n) (4)(23x－34y)(－32x－43y)
8．下列可用平方差公式计算的是( D )
A．(x＋y)(x＋y)
1．计算：(4＋x)(4－x)＝ 16－x2 ；(2a－1)(1＋2a)＝ 4a2－1 .
2．用平方差公式填空：
(1－5a)(5a＋1)＝1－25a2；(2x－3)(2x＋3) ＝4x2－9；(－2a2－5b)(－2a2＋5b )
＝4a4－25b2；99×101＝( 100－1 )( 100＋1 )＝ 9999 .
第12章 整式的乘除
12.3 乘法公式 1.两数和乘以这两数的差
平方差公式．
【例 1】计算： (1)(3a＋2b)(3a－2b)； (2)(3a－b)(－b－3a)． 【思路分析】通过仔细观察，必须符合平方差公式特征才能运用该公式进行
2024-2025学年华师版初中数学八年级(上)教案第12章整式的乘除12.1幂的运算(第2课时)
第12章 整式的乘除12.1 幂的运算第2课时 幂的乘方教学目标1.使学生掌握幂的乘方法则，并能够用式子表示；2.通过自主探索，让学生明确幂的乘方法则是根据乘方的意义和同底数幂的乘法法则推导出来的，并能利用幂的乘方的法则熟练地进行幂的乘方运算；3.培养学生在学习上探索与建构的思想.教学重难点重点：幂的乘方法则的应用. 难点：理解幂的乘方的意义.教学过程复习巩固1.同底数幂的乘法法则是什么？用式子怎样表示？【答案】同底数幂的乘法法则：底数不变，指数相加 ，m n m n a a a +=（m ，n 为正整数）.2.计算：（1）22000x x ；（2）()()2322--；（3）()()233x x x ---；（4）()()()23a b a b a b ---.【答案】（1）2002x ；（2）5(2)-；（3）8x ；（4）6()a b -.导入新课【创设情境，课堂引入】 根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空. （1）()()22223323=⨯=；（2）()()3333322232=⨯⨯=；（3）()()433333a a a a a a ==.探究新知【实践探究，交流新知】【教师引导，解决问题】【提问】同学们通过上述几道题的计算，观察一下这几道题有什么共同特点？【学生活动】先独立思考，再踊跃回答.教学反思两种运算，一种是同底数幂的乘法，另一种是幂的乘方. 【提问】通过计算探究其结果有什么规律？ 幂的乘方可以转化为同底数幂的乘法.【学生活动】根据上述探索得到的规律计算()nm a （m ，n 为正整数）.引入课题 概括：()n nm m mm m m mmn n a a a a a a +++===个个（m ，n 为正整数）.幂的乘方法则： （1）字母表示：()nm mn aa =（m ，n 为正整数）.（2）文字叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘. 【注意】a 可以是单独的字母，具体的数或者多项式. 【思考】同底数幂的乘法运算性质与幂的乘方的运算性质有什么相同点和【巩固练习】计算：（1）2432()x x x +； （2）33)(a 43()a ；（3）22()m x y +⎡⎤-⎣⎦； （4）（0.125）17×（216）3.【答案】621241(1)2(2)(3)()(4).8m x a x y +-；；；【合作探究，解决问题】【小组讨论，师生互学】 例1 计算： （1）()5310； （2）()43b； （3）()52a；（4）()()2332a a ⎡⎤--⎣⎦.解：（1）()155353101010==⨯； （2）()124343b b b ==⨯；（3）()105252a a a ==⨯； （4）()()()23362612aa a a a ⎡⎤--=--=-⎣⎦. 【思考】（-a 2）5和（-a 5）2的结果相同吗?为什么?【学生活动】先独立思考，再与同伴交流. 不相同.理由如下：（-a 2）5表示5个（-a 2）相乘，其结果是负的；教学反思（-a 5）2表示2个（-a 5）相乘，其结果是正的. 【思考总结】（学生总结，老师点评）(−a n )m ＝{a mn (m 为偶数)，−a mn(m 为奇数).例2 计算： （1）()()3422aa ； （2）()()4234244a a a aa+-；（3）()()()2433362x y x y x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤----⎣⎦⎣⎦⎣⎦.解：（1）()()34226814a a a a a ==； （2）()()4234248888442a a a a aa a a a +-=+-=-；（3）()()()()()()24333618181822x y x y x y x y x y x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤----=---=--⎣⎦⎣⎦⎣⎦.例3 如果292164n =，求3n 的值. 解：∵292164n =， ∴2418222n =， ∴1842=+n ， ∴4=n .课堂练习1.下列各式中，与51m x +相等的是（ ） A . 51()m x + B . 15()m x + C . 5()m x x D . 5m x x x2. 14x 不可以写成（ ）A . 533()x xB . 238()()()()x x x x ----C . 77()xD . 3452x x x x 3.若 28()m x x =，则m ＝ . 4.若 3212[()]m x x =，则m ＝ .5.若 22m m x x =，求9m x 的值.6.若 33n a =，求34()n a 的值.7.已知 2,3m n a a ==，求23m n a +的值.参考答案1. C2.C3.44.25.解： 2393332()28m m m m m x x x x x ＝＝，＝＝＝.6.解：344()381.n a ＝＝教学反思7.解：23m na+＝（a m）2·（a n）3＝22×33＝4×27＝108.课堂小结幂的乘方法则()().()]().m n mnm n p mnpa a m na a m n p⎧⎪=⎨⎪=⎩内容：幂的乘方，底数不变，指数相乘.字母表示：，都是正整数推广：[，，都是正整数【注意】幂的底数，可以是数，可以是字母，也可以是多项式.幂的乘方法则与同底数幂的乘法法则的区别在于：同底数幂的乘法是指数相加，而幂的乘方则是指数相乘.布置作业请完成本课时对应练习！板书设计幂的乘方1. 幂的乘方的运算法则：（a m）n＝a mn（m，n都是正整数），语言表述：幂的乘方，底数不变，指数相乘.2.【注意】（1）运用幂的乘方法则进行计算时，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆.（2）在幂的乘方中，底数可以是单项式，也可以是多项式.（3）(−a n)m＝{a mn(m为偶数)，−a mn(m为奇数).3.［（a m）n］p＝a mnp（m，n，p都是正整数）.教学反思。
八年级数学上册第12章整式的乘除12.3乘法公式1两数和乘以这两数的差课件(新版)华东师大版
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1．(孝感中考)下列计算正确的是( B ) A．b3· b3＝2b3 B．(a＋2)(a－2)＝a2－4 C．(ab2)3＝ab8 D．(8a－7b)－(4a－5b)＝4a－12b 2．计算：(x－y)(－y－x)的结果是( A ) A．－x2＋y2 C．x2－y2 B．－x2－y2 D．x2＋y2
解：原式＝9；
(2)(4m－3n)(4m＋3n)；
解：原式＝16m2－9n2；
1 1 (3)(－2x2＋ )(－2x2－ )； 2 2 1 4 解：原式＝4x － ； 4 2 3 2 3 (4)( x－ y)(－ x－ y)． 3 4 3 4 4 9 解：原式＝－ x2＋ y2. 9 16
7．边长为 acm 的正方形(a＞1)，一组对边的边长增加 1cm，另一组对边的 边长减少 1cm，得到的长方形的面积与原正方形的面积比较，有没有发生 变化？说明你的理由．
14．(青海中考)观察下列各式规律： (x－1)(x＋1)＝x2－1； (x－1)(x2＋x＋1)＝x3－1； (x－1)(x3＋x2＋x＋1)＝x4－1…
8 x 可得到(x－1)(x ＋x ＋x ＋x ＋x ＋x ＋x＋1)＝ －1
7
6
5
4
3
2
； .
n＋1 一般地(x－1)(xn＋xn－1＋x5＋…x2＋x＋1)＝ x －1
10．(x＋2)(x－2)(x2＋4)的计算结果是( C ) A．x4＋16 C．x4－16 B．－x4－16 D．16－x4
11．已知 m2－n2＝4.那么(m＋n)2(m－n)2 的结果是( C ) A．4 C．16 B．8 D．32
八年级数学上册 第12章 整式的乘除 12.2 整式的乘法 3 多项式与多项式相乘教案 (新版)华东
字母呈现：
1.通过动手操作：培养学生实践应用能力
2．恰当的渗透数形结合思想将抽象的代数运算直观化使学生易于理解、容易接受．
3．教师引导学生进行探索，必要时进行适当的启发和提示.
活动
三：
开放
训练
体现
应用
错题题号___________________________________
反思，更进一步提升.
教学
重点
多项式与多项式的乘法法则的理解及应用．
教学
难点
多项式与多项式的乘法法则的应用．
授课
类型
新授课
课时
第一课时
教具
(多媒体)
教学活动
教学
步骤
师生活动
设计意图
回顾
我们学习了单项式乘以单项式，单项式乘多项式，你能回忆一下它的运算法则吗？
做一做：1.计算：
① ②
2．计算：
① x ②6mn
不仅巩固的已学知识，还为新知识的学习做铺垫.
④(x－5)(x－6)；
⑤(x＋5)(x＋5)；
⑥(x－5)(x－5)．
1.模仿例题可使学生学会解题格式与思考过程．
2．让学生参与教学活动之中，领会多项式乘法的运用方法以及注意的问题.
考能力．
2．让学生通过“练一练”、“想一想”，自己尝试发现规律，激发学生对问题中所蕴藏的一些数学规律进行探索的兴趣．
活动
四：
课堂
总结
反思
【当堂检测】
1．计算：(1)(1－x)(0.6－x)；
(2)(2x＋y)(x－y)；
(3)(x－y)2；
华东师大版八年级上册数学第12章 《整式的乘除》教案2
课题积的乘方【学习目标】1．让学生通过计算、观察，理解积的乘方的运算性质及其推导过程；2．会进行积的乘方的运算，进而会进行混合运算，提高解决问题的能力；3．进一步培养学生学数学的兴趣、信心，感受数学的内在美．【学习重点】理解积的乘方法则，并能熟练运用法则进行积的乘方运算．【学习难点】综合运用同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、积的乘方法则进行相关的运算．行为提示：创景设疑，帮助学生知道本节课学什么．知识链接：1.边长为a的正方体的体积是V＝a3．2．幂的运算性质：a n的意义是n个a相乘，底数是a，指数是n．三种运算的主要特征：1．合并同类项：(1)同底数同指数；(2)系数相加；2．同底数幂相乘：(1)同底数；(2)指数相加；3．幂的乘方：乘方再乘方的形式．行为提示：教会学生看书，独学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案．教会学生落实重点．知识链接：1.乘方的意义：求几个相同因式乘积的运算．乘法的交换律：ab＝ba；乘法的结合律：abc＝a(bc)．2．由试一试的特殊问题推广到一般问题；3．积的乘方法则的推广：(abc)n＝[(ab)·c]n＝(ab)n·c n＝a n·b n·c n＝a n b n c n；情景导入生成问题1．问题引入若已知一个正方体的棱长为2×103cm，你能计算出它的体积是多少吗？讨论：该正方体体积应是V＝(2×103)3cm3，这个结果是幂的乘方形式吗？底数是2×103，其中一部分是103幂，但总体来看，底数是2和103的乘积．因此(2×103)3应该理解为积的乘方．如何计算呢？2．温故知新填空：(1)a m＋a m＝2a m，依据是合并同类项法则；(2)a3·a5＝a8，依据是同底数幂的乘法法则：底数不变，指数相加．(3)若a m＝8，a n＝30，则a m＋n＝240；(4)(a 4)3＝a 12，依据是幂的乘方的运算法则：底数不变，指数相乘； (5)(m 4)2＋m 5·m 3＝2m 8，(a 3)5·(a 2)2＝a 19．自学互研 生成能力知识模块一 探究积的乘方法则 阅读教材P 20～P 21，完成下面的内容： 1．试一试：请同学们根据乘方的意义及乘法运算律填空，并说出每一步的根据： (1)(ab)2＝(ab)·(ab) 第①步是用乘方的意义； ＝(aa)·(bb) 第②步是用乘法的交换律和结合律； ＝a 2b 2;__ 第③步是用同底数幂的乘法法则； (2)(ab)3＝(ab)·(ab)·(ab)＝(aaa)·(bbb)＝a 3b 3； (3)(ab)4＝(ab)·(ab)·(ab)·(ab)＝(aaaa)·(bbbb)＝a 4b 4．2．猜测并证明：从上面的计算你发现了什么规律？用文字与符号语言描述规律． 猜测：(ab)n ＝a n b n (n 是正整数)．证明：(ab)n ＝(ab)·(ab)·…·(ab),\s\do4(n 个ab )) 第①步是用乘方的意义；＝(aa·…·a),\s\do4(n 个a ))·(bb·…·b),\s\do4(n 个b )) 第②步是用乘法的交换律和结合律； ＝a n b n 第③步是用同底数幂的乘法法则．归纳：用语言叙述积的乘方法则：积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．用符号语言叙述便是：(ab)n ＝a n ·b n (n 是正整数)．同理得到：(abc)n ＝a n b n c n (n 是正整数)．范例：计算：(1)(2m)6；(2)⎝⎛⎭⎫－12a 3b 2；(3)－(－3x 2y 3)3；(4)(－2a 2)3－(－3a 3)2＋[－(2a)2]3. 解：(1)原式＝26·m 6＝64m 6； (2)原式＝⎝⎛⎭⎫－122·(a 3)2·b 2＝14a 6b 2； (3)原式＝－(－3)3·(x 2)3·(y 3)3＝27x 6y 9；(4)原式＝(－2)3·(a 2)3－(－3)2·(a 3)2＋(－1)3·(22a 2)3 ＝－8a 6－9a 6＋(－1)·(26a 6) ＝－17a 6－64a 6 ＝－81a 6.4.积的乘方法则运用需注意：(1)积的乘方法则要求底数是积的形式；(2)运算时，要特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都要分别乘方．还要注意系数及系数的符号(式子中的“－”号可看作“－1”)；知识链接：不要混淆幂的三种运算的性质．①同底数幂的乘法运算：同底数幂相乘，底数不变，指数相加； ②幂的乘方运算：幂的乘方，底数不变，指数相乘；③积的乘方运算：积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 学法指导：逆用同积的乘法法则．方法指导：积的乘方法则及逆用的互相结合．行为提示：教会学生怎么交流．先对学，再群学．充分在小组内展示自己，分析答案，提出疑惑，共同解决(可按结对子学—帮扶学—组内群学来开展)．在群学后期教师可有意安排每组展示问题，并给学生板书题目和组内演练的时间.知识模块二 探究积的乘方法则的逆用思考：积的乘方的运算法则能否进行逆运算呢？请验证你的想法． 积的乘方法则可以进行逆运算．即：a n ·b n ＝(ab)n (n 为正整数)．分析这个等式：左边是幂的乘积，而且幂指数相同，右边是积的乘方，且指数与左边指数相等，那么可以总结为：同指数幂相乘，底数相乘，指数不变．看来这也是降级运算了，即将幂的乘积转化为底数的乘法运算． 范例：计算： (1)(0.125)16×816；(2)⎝⎛⎭⎫5132015×⎝⎛⎭⎫2352014.解：(1)原式＝(0.125×8)16＝116＝1； (2)原式＝513×⎝⎛⎭⎫513×1352014＝513.知识模块三 有关积的乘方法则的综合运用 范例：已知a m ＝2，b m ＝3.求(a 3b 2)m 的值． 解：(a 3b 2)m ＝a 3m b 2m ＝(a m )3(b m )2＝23×32＝72.变例：若x 为正整数，且x 2n ＝7，求(3x 2n )2－4(x 2)2n 的值． 解：原式＝32x 4n －4x 4n ＝9x 4n －4x 4n ＝5(x 2n )2＝5×72＝245.交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 探究积的乘方法则 知识模块二 探究积的乘方法则的逆用 知识模块三 有关积的乘方法则的综合运用检测反馈 达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________________________________________课题 两数和(差)的平方【学习目标】1．让学生学会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的运算；2．体验数学活动充满着探索性和创造性，培养概括能力，体会数形结合的思想． 【学习重点】完全平方公式的推导及利用完全平方公式进行简单计算． 【学习难点】理解公式中字母的广泛含义．行为提示：创设问题情境导入，激发学生求知欲望．知识链接：1.(a＋b)(m＋n)＝am＋an＋bm＋bn．2．(1)(p＋1)2＝p2＋2p＋1；(2)(m－2)2＝m2－4m＋4.行为提示：教会学生看书，独学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案．教会学生落实重点．知识链接：1.整式的乘法法则：(1)单项式乘以单项式；(2)单项式乘以多项式；(3)多项式乘以多项式．2．数学方法：由一般到特殊．3．在代数的学习过程中，常把几何知识运用进来，注意“数形结合”的思想．行为提示：1.(a＋b)2≠a2＋b2；(a－b)2≠a2－b2.2．两数平方差公式：(1)结构特征：(首＋尾)2＝首2＋2×首×尾＋尾2；(2)口诀：首平方，尾平方，首尾二倍放中央；3．注意：(1)先把要计算的式子与完全平方公式对照，明确哪个是a，哪个是b；(2)利用公式计算时，最容易漏写2ab项，要特别注意．情景导入生成问题1．平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2；公式的特征是什么？2．应用平方差公式的注意事项是什么？3．多项式的乘法法则是什么？4．利用多项式乘法公式计算下列各题：(1)(p＋1)2＝(p＋1)(p＋1)＝________；(2)(m－2)2＝(m－2)(m－2)＝________．自学互研生成能力知识模块一探究两数和的平方公式阅读教材P32～P34，完成下面的内容：1．观察温故知新中计算练习的规律，你能很快地写出：(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝a2＋2ab＋b2．2．思考：你能说明a2＋b2与(a＋b)2的大小关系吗？解：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2≥a2＋b2.即(a＋b)2≥a2＋b2.3．图形演示：直观感知：a2＋b2≠(a＋b)2.几何探究(整体考虑，分割思考)：试一试：先观察右图，你能用一个代数式来表示该大正方形的面积吗？(a＋b)2．还有其他不同的表示方法吗？a 2＋2ab ＋b 2． 再用等式表示下图中图形面积的运算：(a ＋b)2＝a 2＋2ab ＋b 2．4．概括：我们得到了一个非常重要而且十分有用的结果： 两数和的平方公式：(a ＋b)2＝a 2＋2ab ＋b 2． 感悟规律：你发现公式有何特征吗？(1)左边是两数(项)和的平方，右边是两数的平方和加上两数积的2倍； (2)语言表述：两数和的平方，等于这两数的平方和加上它们积的2倍． 范例：计算： (1)(4m ＋n)2；(2)⎝⎛⎭⎫y ＋122；(3)(－2x ＋3y)2. 解：(1)原式＝(4m)2＋2×4m·n ＋n 2＝16m 2＋8mn ＋n 2；(2)原式＝y 2＋2×y·12＋⎝⎛⎭⎫122＝y 2＋y ＋14； (3)原式＝(－2x)2＋2×(－2x)·3y ＋(3y)2＝4x 2－12xy ＋9y 2. 变例：计算：(－3a －2b)2.解：原式＝[－(3a ＋2b)]2＝(3a ＋2b)2＝9a 2＋12ab ＋4b 2. 知识模块二 探究两数差的平方公式试一试：你一定也能发现：(a －b)2＝a 2－2ab ＋b 2．1．某学生写出了如下的算式(a －b)2＝[a ＋(－b)]2，他是怎么想的？你能继续做下去吗？ 解：他将－b 看作一个整体项，则(a －b)2＝[a ＋(－b)]2＝a 2＋2a·(－b)＋(－b)2＝a 2－2ab ＋b 2.学法指导：1.两数差的平方与平方差是有区别的，它们分别表示为(a －b)2与a 2－b 2；两数和的平方与平方和是有区别的，它们分别表示为(a ＋b)2与a 2＋b 2；2．体会数形结合的思想并运用； 3．完全平方公式： (a ＋b)2＝a 2＋2ab ＋b 2； (a －b)2＝a 2－2ab ＋b 2.口诀：首平方、尾平方，首尾二倍放中央，中间符号回头望．即：(a±b)2＝a 2±2ab ＋b 2.利用完全平方公式可进行简便运算，注意符号问题．行为提示：教会学生怎么交流．先对学，再群学．充分在小组内展示自己，分析答案，提出疑惑，共同解决(可按结对子学—帮扶学—组内群学来开展)．在群学后期教师可有意安排每组展示问题，并给学生板书题目和组内演练的时间．2．你能用教材图12.3.3中的面积关系来解释两数差的平方公式吗？ 根据图可得(a －b)2＝a 2－2ab ＋b 2.3．概括：两数差的平方公式：(a －b)2＝a 2－2ab ＋b 2． 感悟规律：你发现公式有何特征吗？(1)左边是两数(项)差的平方，右边是两数的平方和减去两数积的2倍； (2)语言表述：两数差的平方，等于这两数的平方和减去它们积的2倍． 范例1：计算：(1)(－2a －5)2；(2)⎝⎛⎭⎫－3a ＋13b 2. 解：(1)原式＝4a 2＋20a ＋25； (2)原式＝9a 2－2ab ＋19b 2.范例2：利用完全平方公式计算：(1)10.32；(2)992.解：(1)10.32＝(10＋0.3)2＝102＋2×10×0.3＋0.32＝100＋6＋0.09＝106.09； (2)992＝(100－1)2＝1002－2×100×1＋12＝10000－200＋1＝9801.交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 探究两数和的平方公式 知识模块二 探究两数差的平方公式检测反馈 达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________________________________________课题 两数和乘以这两数的差【学习目标】1．认识平方差公式，并了解公式的意义；2．会用平方差公式简化、计算、解决简单的实际问题；3．通过对平方差公式的几何意义的了解，体会代数与几何的内在统一． 【学习重点】理解并运用平方差公式化简计算并解决数学问题． 【学习难点】理解公式中字母的广泛含义，并灵活运用公式，把公式中的结构特征与实际问题联系起来．行为提示：创景设疑，帮助学生知道本节课学什么．知识链接：(a＋b)(m＋n)＝am＋an＋bm＋bn．行为提示：认真阅读课本，独立完成“自学互研”中的题目．自主的完成有关的练习，并在练习中发现规律，从猜测到探索到理解知识．知识链接：1.整式的乘法法则：(1)单项式乘以单项式；(2)单项式乘以多项式；(3)多项式乘以多项式．2．数学方法：由一般到特殊．3．平方差公式的特征：相同项的平方与相反项的差．情景导入生成问题1．问题：复习多项式的乘法法则并填空：(a＋b)(m＋n)＝am＋an＋bm＋bn．2．在一次智力抢答赛中，主持人提供了两道题：21×49＝________和103×97＝________，主持人话音刚落，就立刻有一个学生站起来抢答说，“第一题等于1029，第二题等于9991.”其速度之快，简直就是脱口而出，同学们，你知道他是如何计算的吗？你想不想掌握他的简便、快速的运算招数呢？学了本节之后，你也能计算的如此快．自学互研生成能力知识模块一探究平方差公式阅读教材P30～P32，完成下面的内容：1．计算：(1)(x＋2)(x－2)；(2)(1＋3a)(1－3a)．解：(1)原式＝x2－4；(2)原式＝1－9a2.2．问题：在完成上述计算练习中，你发现了什么特点？等式左边有什么特点？等式右边有什么特点？左边为两数和与两数差的积，右边结果为两数(或式)的平方差．3．平方差公式的代数方法推导：(a＋b)(a－b)＝a2－ab＋ab－b2(多项式乘法法则)＝a2－b2．(合并同类项)语言叙述为：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差．4．平方差公式结构特征：(1)左边是两个二项式相乘，二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2)右边是乘式中两项的平方差；(3)平方差公式的几何解释：观察教材图12.3.1发现：等式左边可表示为(a＋b)(a－b)，等式右边可表示为a2－b2，所以(a＋b)(a－b)＝a2－b2．5．理解平方差公式：问题：(1)下列各式都能用平方差公式吗？①(a－3)(a＋3)；(能)②(a＋3)(a－2)；(否)③(－a＋3)(－a－3)；(能) ④(a＋3)(－a－3)；(否)⑤(－a－3)(a－3)．(能)(2)能否用平方差公式，你有什么更快更好的判断方法吗？答：两个多项式中：两项相等，两项互为相反数．(3)在平方差这个结果中谁作被减数，谁作减数，你还有什么办法确定？ 答：相同项的平方减去相反项的平方．学法指导：不能直接使用平方差公式的，首先应用加法的交换律互换一下位置，看能不能满足平方差公式．学法指导：1.平方差公式使用需注意：(1)特点：相同项的平方减去相反项的平方．运用平方差公式进行乘法运算时一定要注意找准相同项和相反项；(2)注意：公式中的a 和b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式；2．运用平方差公式进行简便运算时，要先根据算式中的数的特征将算式写成两数和乘以两数差的形式，再运用平方差公式．学法指导：多个多项式相乘，要注意观察每个多项式的特点，看是否能用公式化简．行为提示：教会学生怎么交流．先对学，再群学．充分在小组内展示自己，分析答案，提出疑惑，共同解决(可按结对子学—帮扶学—组内群学来开展)．在群学后期教师可有意安排每组展示问题，并给学生板书题目和组内演练的时间．知识模块二 平方差公式的运用 范例1：计算：(1)(3x ＋2)(3x －2)；(2)(2y －x)(－2y －x)；(3)⎝⎛⎭⎫23x ＋5y ⎝⎛⎭⎫23x －5y ；(4)(－3x 2＋y 2)(y 2＋3x 2)． 解：(1)原式＝(3x)2－22＝9x 2－4；(2)原式＝(－x ＋2y)(－x －2y)＝(－x)2－(2y)2＝x 2－4y 2； (3)原式＝⎝⎛⎭⎫23x 2－(5y)2＝49x 2－25y 2； (4)原式＝(y 2－3x 2)(y 2＋3x 2)＝(y 2)2－(3x 2)2＝y 4－9x 4. 仿例：计算：(1)⎝⎛⎭⎫x 2＋32y ⎝⎛⎭⎫x 2－32y ；(2)(－2＋x)(－2－x)； (3)(2x ＋y)(2x －y)；(4)(－3x －2y)(2y －3x)． 解：(1)原式＝⎝⎛⎭⎫x 22－⎝⎛⎭⎫32y 2＝x 24－94y 2；(2)原式＝(－2)2－x 2＝4－x 2； (3)原式＝(2x)2－y 2＝4x 2－y 2；(4)原式＝(－3x ＋2y)(－3x －2y)＝(－3x)2－(2y)2＝9x 2－4y 2. 范例2：利用平方差公式计算： (1)1998×2002；(2)4023×3913.解：(1)原式＝(2000－2)×(2000＋2)＝20002－22＝4000000－4＝3999996； (2)原式＝⎝⎛⎭⎫40＋23×⎝⎛⎭⎫40－23＝402－⎝⎛⎭⎫232＝1600－49＝159959. 交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 探究平方差公式 知识模块二 平方差公式的运用检测反馈 达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________________________________________课题 幂的乘方【学习目标】1．理解幂的乘方法则，并能灵活运用法则进行计算； 2．能利用幂的乘方的性质解决一些实际问题；3．经历探索幂的乘方的运算性质，进一步体会幂的意义，发展推理能力和有条理的表达能力． 【学习重点】了解幂的乘方的性质，会进行幂的乘方的运算． 【学习难点】了解幂的乘方与同底数幂的乘法运算性质的区别，并能解决一些实际问题．行为提示：点燃激情，引发学生思考本节课学什么．情景导入 生成问题1．32中，底数是3，指数是2，n a 表示a 个n 的积，那么92＝81，(－2)9＝－512．2．计算：(1)102×105；(2)a 3·a 7；(3)x·x 5·x 7；(4)93×95. 解：(1)107；(2)a 10；(3)x 13；(4)98. 3．(1)a n 的意义是n 个a 相乘；(2)同底数幂的乘法运算：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．即a m ·a n ＝a m ＋n (m ，n 是正整数)．推广：a m ·a n ·a p ＝a m＋n ＋p．逆用：a m ＋n ＝a m ·a n (m ，n 是正整数)．知识链接：1.幂a n的意义是n个a相乘，a n的底数是a，指数是n．2．底数a可以是字母，也可以是单或多项式．行为提示：教会学生看书，独学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案．教会学生落实重点．学法指导：根据幂的法则进行计算，前提条件：必须是相同的底数的乘法形式．知识链接：(a m)n＝a mn.(m、n为正整数)学法指导：幂的乘方法则的推广：幂的乘方法则还可以逆用，即：a mn＝(a m)n(m、n为正整数)学法指导：逆用同底数幂乘法法则．行为提示：教会学生怎么交流．先对学，再群学．充分在小组内展示自己，分析答案，提出疑惑，共同解决(可按结对子学—帮扶学—组内群学来开展)．在群学后期教师可有意安排每组展示问题，并给学生板书题目和组内演练的时间．自学互研生成能力知识模块一探究幂的乘方的意义与法则阅读教材P19～P20，完成下面的内容：1．猜一猜：请同学们根据乘方的意义及同底数幂的乘法法则做下面一组题：(1)53表示2个2相乘，(23)2表示2个23相乘．(23)2＝23×23＝23＋3＝26；(2)53表示3个5相乘，(52)3表示3个52相乘．(52)3＝52×52×52＝52＋2＋2＝56；(3)a4表示4个a相乘，(a3)4表示4个a3相乘．(a3)4＝a3×a3×a3×a3＝a3＋3＋3＋3＝a12．2．猜一猜：从上面的计算你发现了什么规律？用自己的语言描述所发现的规律．上面各式的括号里都是幂的形式，然后再乘方，我们把这种运算叫做幂的乘方．猜想：(a m)n＝a mn(m，n是正整数)．3．证一证：当m，n为正整数时候，(a m)n＝a m·a m·…·a m,\s\do4(n个am))＝am＋m＋…＋m,\s\up6(n个m))＝a mn.4．归纳幂的乘方法则：一般地，(a m)n＝a mn(m，n都是正整数)，即幂的乘方，底数不变，指数相乘．范例：计算：(1)(103)5；(2)(a5)4；(3)(b m)4；(4)[(2a－3)2]5.解：(1)(103)5＝103×5＝1015；(2)(a5)4＝a5×4＝a20；(3)(b m)4＝b m×4＝b4m；(4)[(2a－3)2]5＝(2a－3)2×5＝(2a－3)10.仿例：计算：(1)(104)100；(2)(10m)2；(3)(a3－m)2；(4)－[(x＋y)2]5.解：(1)(104)100＝104×100＝10400；(2)(10m)2＝10m×2＝102m；(3)(a3－m)2＝a2(3－m)＝a6－2m；(4)－[(x＋y)2]5＝－(x＋y)2×5＝－(x＋y)10.变例：计算：(1)(24)7＝228；(2)[(－3)5]2＝310；(3)[(a3)2]4＝a24；(4)[(1－2b)3]3＝(1－2b)9．知识模块二幂的乘方法则的逆用范例：填空：(1)m12＝(m2)(6)＝(m6)(2)＝(m(3))4＝(m4)3；(2)102n＝100n．变例：已知10a＝5，10b＝6，求102a＋3b的值．解：102a＋3b＝102a·103b＝(10a)2·(10b)3＝52×63＝5400.仿例：计算：(1)(43)2＝[(22)3]2＝(26)2＝2(12)；(2)(93)3＝[(3)9]2；(3)已知x2n＝6，求x6n的值．解：x6n＝x2n×3＝(x2n)3＝63＝216.交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一探究幂的乘方的意义与法则知识模块二幂的乘方法则的逆用仿例：(1)(43)2＝46＝(22)6＝2(12)；(2)(93)3＝99＝(32)9＝2(18)．检测反馈达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________课题同底数幂的乘法【学习目标】1．知道同底数幂的乘法法则及由来，并能灵活运用法则进行计算；2．掌握同底数幂的乘法运算性质及注意问题，并能解决一些实际问题；3．通过用文字概括运算性质，提高学生数学语言的表达能力．【学习重点】同底数幂的乘法法则的推导与应用．【学习难点】在推导出同底数幂的乘法法则的过程中，培养学生的归纳能力和化归思想．行为提示：创景设疑，帮助学生知道本节课学什么．知识链接：1.几个相同因数的积的形式；2.a n 表示n 个a 的积．行为提示：教会学生看书，独学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案． 教会学生落实重点．知识链接：底数相同的积可以写成一个底数的形式．学法指导：根据同底数幂的法则进行计算，前提条件：必须是相同的底数的乘法形式．知识链接：a m ·a n ＝a m ＋n .(m 、n 为正整数)情景导入 生成问题1．问题引入在物理学和天文学中，常用光年作为衡量两个星球之间的距离，1光年是指光在真空中穿行1年的距离，如果光在真空中的速度约是3×105km /s ，1年以3.2×107s 来计算的话，那么1光年等于多少km?由问题可得：(3×105)×(3.2×107)＝(3×3.2)×(105×107)，其中的105×107等于多少呢？ 2．温故知新 (1)什么叫做幂？ (2)a n 表示的意义是什么？(3)请你说出下列各幂的底数和指数． 10，⎝⎛⎭⎫235，a ，(－4)2，(a ＋b)3自学互研 生成能力知识模块一 探究同底数幂的乘法法则 阅读教材P 17～P 19，完成下面的内容： 1．相信我能行：(1)请同学们根据幂的意义做下面一组题： ①23×24＝(2×2×2)×(2×2×2×2)＝2(7)； ②53×54＝(5×5×5)×(5×5×5×5)＝5(7)； ③a 3×a 4＝(a ×a ×a)×(a ×a ×a ×a)＝a (7)．(2)请根据上面的规律，请以幂的形式直接写出下列各题的结果：102×102＝104；104×105＝109；10m ×10n ＝10m ＋n ；⎝⎛⎭⎫110m ×⎝⎛⎭⎫110n ＝⎝⎛⎭⎫110m ＋n,.)2．猜一猜，当m ，n 为正整数的时候，(a ×a ×a …×a),\s\do4(m 个a ))·(a ×a ×a …×a),\s\do4(n 个a ))＝a ×a ×a …×a,\s\do4((m ＋n)个a ))＝a (m ＋n)．归纳：同底数幂乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 范例：相信我能行(1)x 2·x 5＝x 7； (2)106×106＝1012； (3)a 6·a ＝a 7;__ (4)x·x 2·x 3＝x 6； (5)(a －2)3(a －2)3＝(a －2)6；(6)(x ＋2y)m (x ＋2y)n (x ＋2y)p ＝(x ＋2y)m ＋n ＋p．仿例：计算：(1)10×103×104＝108；(2)(x －y)3(x －y)4(x －y)5＝(x －y)12．学法指导：底数有所不同，但是可以化为相同的，一定要注意符号．行为提示：指导学生按照范例的过程，写出仿例、变例的规范过程．学法指导：逆用同底数幂乘法法则．行为提示：教会学生怎么交流．先对学，再群学．充分在小组内展示自己，分析答案，提出疑惑，共同解决(可按结对子学—帮扶学—组内群学来开展)．在群学后期教师可有意安排每组展示问题，并给学生板书题目和组内演练的时间．知识模块二 底数是相反数的幂的乘法 范例：计算：(1)(－x)2·x 3·(－x)5；(2)(x ＋y)3·(－x －y)4； 解：(1)原式＝x 2·x 3·(－x 5)＝－x 2·x 3·x 5＝－x 10； (2)原式＝(x ＋y)3·(x ＋y)4＝(x ＋y)7. 仿例：计算：(1)(－a)3·a 5；(2)(a －b)·(b －a)2·(a －b)3； 解：(1)原式＝－a 3·a 5＝－a 8；(2)原式＝(a －b)·(a －b)2·(a －b)3＝(a －b)6. 知识模块三 同底数幂乘法法则的逆用 范例：若3m ＝16，3n ＝4，求3m ＋n 的值． 6解：3m ＋n ＝3m ·3n ＝16×4＝64.变例：已知a m ＝3，a n ＝5，求a m ＋n ，a m ＋2与a m ＋n ＋3的值．解：a m ＋n ＝a m ·a n ＝3×5＝15； a m ＋2＝a m ·a 2＝3a 2； a m＋n ＋3＝a m ·a n ·a 3＝3×5×a 3＝15a 3.交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一探究同底数幂的乘法法则知识模块二底数是相反数的幂的乘法知识模块三同底数幂乘法法则的逆用检测反馈达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________课题同底数幂的除法【学习目标】1．让学生通过计算、观察，理解同底数幂的除法法则；2．让学生会运用法则，熟练进行同底数幂的除法运算；3．通过适当的尝试，获取直接的经验，培养学生逆向思维能力．【学习重点】同底数幂的除法法则．【学习难点】逆用同底数幂的除法法则．行为提示：点燃激情，引发学生思考本节课学什么．知识链接：1.长方形的面积公式：S＝ab．2．同底幂的乘法法则及运用：a m·b n＝a m＋n；a m＋n＝a m·b n(m、n均为整数)情景导入生成问题1．问题引入已知一长方形的面积S＝107，其中一边a＝103，求另一边b的长．你能求出另一边b的长吗？你的方法是什么？请交流各自的做法．由题可得b＝107÷103，这是什么运算？用你熟悉的方法计算，然后观察指数之间有什么关系？2．温故知新(1)同底数幂的乘法运算：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．即a m·a n＝a m＋n(m，n是正整数)．推广：a m·a n·a p＝a m＋n＋p．逆用：a m＋n＝a m·a n(m，n是正整数)．(2)直接写出结果：①a3·a4＝a7；②y5·y6＝y11；③a7＝a2·a5；④(a＋b)6·(a＋b)12＝(a＋b)18；⑤(a＋b)18＝(a＋b)11·(a＋b)7．行为提示：教会学生看书，独学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案． 教会学生落实重点．学法指导：同底数幂的除法法则：a m ÷b n ＝a m －n (m 、n 都是正整数)； 条件：除法、同底数幂； 结果：底数不变，指数相减． 同底数幂除法法则运用需注意：1．切记公式成立的条件是a ≠0.因为若a ＝0，则a n ＝0，用0作除数无意义．2．首先要判定同底数相除，指数才相减，若底数的符号不相同，应先确定符号，化成底数相同的形式，再用法则计算．学法指导：做计算题时，写出具体的过程．行为提示：教会学生怎么交流．先对学，再群学．充分在小组内展示自己，分析答案，提出疑惑，共同解决(可按结对子学—帮扶学—组内群学来开展)．在群学后期教师可有意安排每组展示问题，并给学生板书题目和组内演练的时间．自学互研 生成能力知识模块一 探究同底数幂的除法法则 阅读教材P 22～P 23，完成下面的内容：试一试：请同学们根据除法的意义及同底数幂的乘法法则填空： (1)25÷22＝2522＝22×（23）22＝23； (2)a 7÷a 3＝a 7a 3＝a 3×（a 4）a 3＝a 4． 归纳：同底数幂相除，底数不变，指数相减，一般地，设m 、n 为正整数，m>n ，a ≠0，有a m ÷b n ＝a m －n . 范例：计算： (1)312÷34；(2)（－a ）7（－a ）4；(3)（－x 2y ）9（－x 2y ）5；(4)a 2m ＋1a m (m 是正整数)．解：(1)312÷34＝312－4＝38；(2)（－a ）7（－a ）4＝(－a)7－4＝(－a)3＝－a 3； (3)（－x 2y ）9（－x 2y ）5＝(－x 2y)9－5＝(－x 2y)4＝x 8y 4； (4)a 2m ＋1a m ＝a (2m ＋1)－m ＝a m ＋1.仿例：计算：(1)(－a)4÷(－a)2；(2)(a2b)k＋1÷(a2b)k.解：(1)原式＝(－a)2＝a2；(2)原式＝a2k＋2b k＋1÷a2k b k＝a2b.知识模块二底数是多项式的同底数幂的运算范例：计算：(1)(a＋b＋1)4÷(a＋b＋1)3；(2)(a－b)5÷(b－a)3.解：(1)原式＝a＋b＋1；(2)原式＝(a－b)5÷[－(a－b)3]＝－(a－b)5－3＝－(a－b)2.变例：(1)已知3m＝6，9n＝2，求32m－4n＋1的值；(2)已知9m·27m－1÷32m＝27，求m的值．解：(1)∵9n＝2，∴32n＝2，∴原式＝32m÷34n·3＝(3m)2÷(32n)2·3＝36÷4×3＝27.(2)∵9m·27m－1÷32m＝27，∴32m·33(m－1)÷32m＝33，∴32m＋(3m―3)－2m＝33，∴3m－3＝3，∴m＝2.交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一探究同底数幂的除法法则知识模块二底数是多项式的同底数幂的运算检测反馈达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________课题因式分解【学习目标】1．让学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念及其与整式乘法的区别与联系；2．让学生理解提公因式法及公式法并能熟练地运用两种方法分解因式；3．让学生初步感受对立统一的辨证观点以及实事求是的科学态度．【学习重点】掌握用提公因式法、公式法进行因式分解．【学习难点】对多项式进行因式分解，并将多项式分解彻底．行为提示：创景设疑，帮助学生知道本节课学什么．行为提示：教会学生看书，独学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案．教会学生落实重点．学法指导：1.整式的乘法法则：(1)多项式乘以多项式；(2)单项式乘以多项式；(3)单项式乘以单项式．2．分解因式要注意以下几点：(1)分解的对象必须是多项式；(2)分解的结果一定是几个整式的乘积的形式．情景导入生成问题1．情境引入这是教室的一块大黑板，如图所示，请同学们计算它的面积．(1)问：m(a＋b＋c)与ma＋mb＋mc相等吗？答：相等，m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc.(2)从左边到右边的变形是什么？从右边到左边的变形是什么？答：整式乘法，因式分解．2．温故知新(1)整式乘法有几种形式？答：单项式乘以单项式；单项式乘以多项式；多项式乘以多项式．(2)乘法公式有哪些？答：平方差公式；完全平方公式．自学互研生成能力知识模块一因式分解的定义阅读教材P42～P44，完成下面的内容：1．运用整式乘法的知识填空：(1)m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc；(2)(a＋b)(a－b)＝a2－b2；(3)(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2．2．对照上题完成以下填空：(1)ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)；(2)a2－b2＝(a＋b)(a－b)；(3)a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2．。
华东师大版八年级数学上册第十二单元《整式的乘除》教案
第12章整式的乘除12.1 幂的运算1.同底数幂的乘法【基本目标】1.掌握同底数幂的乘法法则，并能运用它进行熟练的计算.2.能利用同底数幂的乘法法则解决简单实际的问题.【教学重点】同底数幂乘法法则的推导与运用.【教学难点】同底数幂乘法法则的运用.一、创设情景，导入新课【情境导入】“盘古开天辟地”的故事：公元前一百万年，没有天没有地，整个宇宙是混浊的一团，突然间窜出来一个巨人，他的名字叫盘古，他手握一把巨斧，用力一劈，把混沌的宇宙劈成两半，上面是天，下面是地，从此宇宙有了天地之分，盘古完成了这样一个壮举，累死了，他的左眼变成了太阳，右眼变成了月亮，毛发变成了森林和草原，骨头变成了高山和高原，肌肉变成了平原与谷地，血液变成了河流.【教师提问】盘古的左眼变成了太阳，那么，太阳离我们多远呢？你可以计算一下，太阳到地球的距离是多少？光的速度为3×105千米/秒，太阳光照射到地球大约需要5×102秒，你能计算出地球距离太阳大约有多远呢？【学生活动】开始动笔计算，大部分学生可以列出算式：3×105×5×102=15×105×102=15×？（引入课题）二、师生互动，探究新知同底数幂的乘法法则.【教师活动】到底105×102=？同学们根据幂的意义自己推导一下，现在分四人小组讨论.【学生活动】分四人小组讨论、交流，举手发言，上台演示.计算过程：105×102=（10×10×10×10×10）×（10×10）=10×10×10×10×10×10×10=107.【教师活动】下面引例.请同学们计算并探索规律.（1）23×24=（2×2×2）×（2×2×2×2）=2（）；（2）53×54= =5（）；（3）（-3）7×（-3）6= =（-3）（）；（4）（110）3×（110）= =（110）( );（5）a3·a4= =a（）.提出问题：①这几道题目有什么共同特点？②请同学们看一看自己的计算结果，想一想，这些结果有什么规律？【学生活动】独立完成，并在黑板上演算.【教师总结】从而得出同底数幂的乘法法则a m·a n=a m+n（m、n为正整数）即同底数幂相乘，底数不变,指数相加.【教学说明】通过以上5个计算，让学生根据乘方的意义从特殊到一般探索同底数幂的乘法法则，水到渠成.三、随堂练习，巩固新知完成练习册中本课时对应的课后作业部分.四、典例精析，拓展新知例如果x m-n·x2n+1=x11，且y m-1·y4-n=y5，求m、n的值.【分析】根据同底数幂的乘法法则得：（m-n）+(2n+1)=11,(m-1)+(4-n)=5,用方程组解决.【答案】m=6，n=4【教学说明】教师提问：由两个等式我们想到了什么知识？如何建立m与n 之间的等量关系？教师深入强化数学中的转化思想.五、运用新知，深化理解【教学说明】注意同底数幂乘法可以推广到多个因式相乘，遇到形如（-a）6·a9转化为a6·a9.六、师生互动，课堂小结这节课你学习到什么？有什么收获？有何疑问与困惑与同伴交流，在学生交流发言的基础上教师归纳总结.完成练习册中本课时对应的课后作业部分.本节课从故事引入为激发学生探究同底数幂乘法法则的兴趣，探究同底数幂乘法法则时，注意用乘方的意义让学生自己发现归纳.始终遵循从特殊到一般的认知规律.在同底数幂乘法法则的运用中，不断渗透转化方程的数学思想.2.幂的乘方【基本目标】1.理解幂的乘方法则.2.运用幂的乘方法则计算.【教学重点】三理解幂的乘方法则.【教学难点】幂的乘方法则的灵活运用.一、创设情景，导入新课大家知道太阳、木星和月亮的体积的大致比例吗？我可以告诉你，木星的半径是地球半径的102倍，太阳的半径是地球半径的103倍，假如地球的半径为r，那么，请同学们计算一下太阳和木星的体积是多少？（球的体积公式为V=43πr3）【学生活动】进行计算，并在黑板上演算.解：设地球的半径为1，则木星的半径就是102，因此，木星的体积为V木星=43π（102）3.二、师生互动，探究新知【教师引导】（102）3=？利用幂的意义来推导.【学生活动】有些同学这时无从下手.【教师启发】请同学们思考一下a3代表什么？（102）3呢？【学生回答】a3=a×a×a,指3个a相乘.（102）3=102×102×102，就变成了同底数幂乘法运算，根据同底数幂乘法运算法则，底数不变，指数相加，102×102×102=102+2+2=106，因此（102）3=106.【教师活动】利用上面推导方法求（1）（a3）2；（2）（24）3；（3）（b n）+.【学生活动】推导上面几个算式并板演.【教师推进】请同学们根据所推导的几个题目，推导一下（a m）n的结果是多少？【学生活动】归纳总结并进行小组讨论，最后得出结论：【教学说明】通过问题的提出，再依据“问题推进”所导出的规律，利用乘方的意义和幂的乘法法则，让学生自己主动建构，获取新知：幂的乘方，底数不变，指数相乘.三、随堂练习，巩固新知完成练习册中本课时对应的课后作业部分.四、典例精析，拓展新知【教学说明】教师提问x6m与x2m在指数上有何关系，你想到了如何变形，化未知为已知（逆用幂的乘方法则）.五、运用新知,深化理解【教学说明】从跟踪练习中捕捉学生知识上、思维上的不足并及时跟进.六、师生互动，课堂小结这节课你学到了什么？有什么收获？有何困惑？与同伴交流，在学生交流发言的基础上教师归纳总结.完成练习册中本课时对应的课后作业部分.本节课在熟悉乘方的意义与同底数幂的法则的前提下推导幂的乘方法则，在教学过程中注意引导学生运用转化思想来解决新问题.在拓展新知时，注意联想与逆向思维能力的培养.3.积的乘方【基础目标】1.理解积的乘方法则.2.运用积的乘方法则计算.【教学重点】理解并掌握积的乘方法则.【教师难点】积的乘方法则的灵活运用.一、回顾交流，导入新课【教学说明】提问学生在前面学过的同底数幂的运算法则；幂的乘方运算法则的内容以及区别.【学生活动】踊跃举手发言，解说老师的提问.【课堂演练】计算：（1）（x4）3；（2）a·a5；（3）x7·x9（x2）3.【学生活动】完成上面的演练题，并从中领会这两个幂的运算法则.【教师活动】巡视，关注学生的练习，并请3位学生上台演示，然后再提出下面的问题.二、师生互动，探究新知【教师活动】请同学们完成教材P20填空，并注意每步变形的依据.【学生活动】完成书本填空并回答教师问题.【教师活动】你发现了什么规律？如何解释这个规律？【学生活动】分组讨论，解释.【师生互动】教师在学生发言的基础上板书.即积的乘方，把积中每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.三、随堂练习，巩固新知完成练习册中本课时对应的课后作业部分.四、典例精析，拓展新知例1 计算：（1）［（-x2y）3·（-x2y）2］3；（2）a3·a4·a+（a2）4+（-2a4）2.【分析】（1）按积的乘方法则先算括号里面的；（2）第一项是同底数幂的乘法，第二项是幂的乘方，第三项是积的乘方.【答案】（１）－ｘ３０ｙ１５；（2）6a8例2 用简便方法计算：【分析】先将指数化为相同的再逆用积的乘方法则.【答案】13/5【教学说明】例1由小组讨论交流解题思路，小组活动后，展示计算结果.教师根据反馈的情况总评.如（-2a4）2中的负号处理.例2在教师引导下，由小组合作完成，并强调遇到高指数时化成同指数,再利用积的乘方法则.五、运用新知,深化理解1.计算：（-3a3）2·a3+（-4a）2·a7-（5a3）3.b =0,求a2014·b2013的值.2.已知：（a-2）2+21【答案】1.-100a9; 2.-2【教学说明】由跟踪练习情况及时点评，如第一题中符号问题引起重视.六、师生互动，课堂小结这节课你学到了什么？有何收获？有何困惑？与同伴交流，在学生交流发言的基础上教师归纳总结.完成练习册中本课时对应的课后作业部分.本节课釆用探究与自主学习相结合的模式完成的，探究的目的是让学生会推导积的乘方法则.通过小组合作学习增强学习的主动性，突出学生的主体地位.并注意在其中的及时引导，发挥教师主导作用.教学中的简便运算应让学生体会转化思想的核心作用.4.同底数幂的除法【基本目标】1.理解同底数幂的除法法则.2.运用同底数幂的除法法则计算.【教学重点】掌握同底数幂的除法法则.【教学难点】同底数幂除法的应用.一、创设情景，导入新课【教师活动】地球的体积是1.1×1012km3，月球的体积2.2×1010km3，求地球的体积是月球的多少倍？如何列式？【学生活动】学生代表发言：（1.1×1012）÷（2.2×1010）【教师活动】1012÷1010=？下面我们一起探究.二、师生互动，探究新知【教师活动】完成教材P22填空，由填空你得出了什么规律？【学生活动】经小组交流后，汇报结果.【教学说明】板书：a m÷a n=a m-n，（a≠0，m＞n,且m、n为正整数）同底数相除，底数不变，指数相减.【教师活动】乘法与除法互为逆运算，我们能由同底数幂乘法法则来推导它吗？教师引导a n·（）=a m.设（）=a k.【学生活动】由小组讨论交流后汇报推导结果.【教学说明】我们的认知规律：猜测——归纳——证明.三、随堂练习，巩固新知完成练习册中本课时对应的课后作业部分.【教学说明】根据反馈情况及时订正，并与法则对比，找准错因.四、典例精析，拓展新知例1一张数码照片的文件大小是28K，一个存储量为26M（1M=210K）的移动存储器能存储多少张这样的照片？【分析】用储量26M除以每张照片的存储量的大小.【答案】28张【教学说明】教师可将此问题类比成总价、单价与数量关系，从而化为同底数幂的除法.例2若32×92a+1÷27a+1=81，求a的值.【分析】将左右都化成3的指数幂再比较对应.【答案】a=3【教学说明】左右两边能否化成同底数幂的运算，如何使用幂的运算法则，强调转化思想.小组活动时注意对学困生的辅导.五、运用新知，深化理解1.一种计算机每秒可进行1012运算，它工作1015次运算需要秒时间.2.若y2m-1÷y=y2，求m+2的值.【答案】1.103 2.4【教学说明】由跟踪练习情况及时点评，如y的指数不是0等.六、师生互动，课堂小结这节课你学到了什么？有何收获？有何疑惑？与同伴交流，在学生交流发言的基础上教师归纳总结.完成练习册中本课时对应的课后作业部分.本节课探究新知部分，注意如何使学生从特殊中发现规律，得到一般性结论，再由同底数幂的乘法法则（同底数幂除法法则）证明规律.积极鼓励学生主动地探究数学问题，加深对数学问题的理解,养成良好思维习惯，提高学生的数学素养.12.2整式的乘法1.单项式与单项式相乘【基本目标】1.通过学生自主探索，掌握单项式相乘的法则.2.掌握单项式相乘的几何意义.3.会运用单项式相乘的法则进行计算，并解决一些实际生活和科学计算中的问题.4.培养学生合作、探究的意识，养成良好的学习习惯.【教学重点】单项式与单项式相乘的法则.【教学难点】单项式与单项式相乘的法则的应用；单项式相乘的几何意义.一、复习旧知，导入新课我们已经学习了幂的运算性质，你能解答下面的问题吗？【教师活动】我们刚才已经复习了幂的运算性质.从本节开始，我们学习整式的乘法.我们知道，整式包括什么？（包括单项式和多项式.）因此整式的乘法可分为单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式.这节课我们就来学习最简单的一种：单项式与单项式相乘.二、师生互动，探究新知1.一个长方体的底面积是4xy，高度是3x，那么这个长方体的体积是多少？【学生活动】小组合作完成，在小组交流讨论后由代表发言.【教师活动】每一步的依据是什么？（乘法交换律）因此4xy·3x=4·xy·3·x=（4·3）·（x·x）·y=12x2y.（要强调解题的步骤和格式）2.仿照刚才的作法，你能解出下面的题目吗？【教师活动】第（2）题中在第二个单项式-4b2c中出现的c怎么办？【学生活动】由小组讨论归纳单项式乘单项式的法则.【教学说明】教师板书：单项式和单项式相乘，系数与系数相乘,相同字母的幂分别相乘；对于只在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式.三、随堂练习，巩固新知完成练习册中本课时对应的课后作业部分。
华师版八年级数学上册第12章 整式的乘除1 两数和乘以这两数的差
=9x2-y2-9y2+x2
=10x2-10y2
当x=-2，y=3时，
原式=10×(-2)2-10×32=40-90=-50.
1．下列能用平方差公式计算的式子是( )
A．(a-b)(a-b) B．(-a+b)(a-b)
C．(-a-b)(-a+b) D．(-a-b)(a+b)
=20232-(20232-1)
=1．
(a+b)(a-b)=a2-b2
两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差.
这个公式叫做两数和与这两数差的乘法公式，有时也简称为
平方差公式.
项不符合题意.
故选：C．
2．如图，大正方形与小正方形的面积差为72，则阴影部分的面积为
（ ）
A．22
B．24
C．30
D．36
【详解】解：设大正方形边长为x，小正方形边长为y，
则AE=x-y，x2-y2=72，
阴影部分的面积是：
1
1
1
· + · = (x-y)x·x+(x-y)·y
程所揭示的乘法公式
．
【详解】解：∵图1中阴影部分的面积为a2-b2，
图2中阴影部分的面积为(a+b)(a-b)，
∴可得乘法公式：a2-b2=(a+b)(a-b)，
故答案为：a2-b2=(a+b)(a-b)．
6．计算：(1-a)(1+a)(1+a2)=
【详解】解：(1-a)(1+a)(1+a2)
=(1-a2)(1+a2)
两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差.
八年级数学上册第12章整式的乘除12.1幂的运算12.1.3积的乘方教案新版华东师大版
12．1.3 积的乘方1．理解积的乘方法则．2．运用积的乘方法则计算．重点理解并掌握积的乘方法则．难点积的乘方法则的灵活运用．一、回顾与思考1．口述同底数幂的运算法则．2．口述幂的乘方运算法则．3．计算：(1)(x4)3；(2)a·a2；(3)x4· x3.二、探究新知做一做(1)(ab)2＝(ab)·(ab)＝(aa)·(bb)＝a( )b( )．(2)(ab)3＝________＝________＝a( )b( )．(3)(ab)4＝________＝________＝a( )b( )．提出问题：(1)同学们通过上述这几题的计算,观察一下,你能得到什么规律？(2)如果设n为正整数,将上述的指数改成n,即(ab)n,其结果是什么呢？教师活动：提出问题,引导,启发．学生活动：计算、观察、讨论、回答．教学方法与媒体：投影显示问题,学生自主探索,讨论交流．点评：积的乘方是幂的第三个运算法则,也是整式乘法的基础,在处理上仍然先通过数字的指数为例让学生计算,而后引导学生自主探索,讨论交流,归纳出一般指数情形的性质,即概括出：有(ab)n＝a n b n(n为正整数)．尽可能地让学生主动建模,获得新知,通过动脑、动口、动手提高自我总结能力．教学时引导学生关注每一步的依据．三、练习巩固1．计算：(1)(2b)3；(2)(2a3)2；(3)(－a)3；(4)(－3x)4.2．计算：(－3a3)2·a3＋(－4a)2·a7－(5a3)3.3．已知(a－2)2＋2b＋1＝0,求a2018·b2017的值．四、小结与作业小结1．积的乘方(ab)n＝a n b n(n为正整数),使用范围：底数是积的乘方．方法：把积的每个因式分别乘方,再把所得的幂相乘．2．在运用幂的运算法则时,注意知识拓展,底数和指数可以是数也可以是整式,对三个以上因式的积也适用．3．要注意运算过程,注意每一步的依据,还应防止符号上的错误．4．在建构新的法则时应注意前面学过的法则与新法则的区别与联系．作业教材第24页习题12.1第4题．本节课是采用探究与自主学习相结合的模式完成的,探究的目的是让学生会推导积的乘方法则．通过小组合作学习增强学习的主动性,突出学生的主体地位．并注意在其中的及时引导,发挥教师的主导作用．教学中的简便运算应让学生体会转化思想的核心作用．。
八年级数学上册第12章整式的乘除教案新版华东师大版word版本
整式乘除教具多媒体课型复习课教理解掌握整式乘法的法规. 公式，并能够运用整式进行整式学知识与技术乘法的运算。
目标整式再认，运用理解，训练增强，牢固提升。
过程与方法培育学生好的学习习惯。
感情态度与价值观教课要点整式乘法教课难点理解整式灵巧解题。
教课内容与过程教法学法设计一. 复习发问，回顾知识，请看下边的问题：1.整式乘法都有哪些？各种运算的法规是什么？2.乘法公式都有哪些？他们的表达形式各是什么？面向全体学生提出相关的问题。
明确要研究，探究的问题是什么，如何去研究和谈论。
.二.导入课题，研究知识：留给学生必定的思虑和回顾知识的时间。
本节课我们来复习整式的乘法为学生创建表现才干的平台。
三. 归纳知识，培育能力：1.整式的乘法法规；2.整式的除法法规；3..乘法公式。
四. 运用知识，解析解题：(一)知识填空：1.=；2.=；3.=；4.=；5.=；6.=；（二）计算题：1.；2.；3.；4..五 . 课堂练习：请见教材六. 课后小结：整式乘除法知识的复习七 . 课后作业 : 复印给学生。
教学反思从习题中认识学生对知识的掌握程度，完美学生的不足。
1．带领学生核对基础知识练习的答案，鼓舞学生总结每题所用的知识，并说出知识是如何利用的。
2．指引学生做中等难度的练习，鼓舞学生总结每题所用的知识。
3 ．引导学生分组谈论做出较难的练习，并鼓舞学生在做题时能从多个侧面、多个出发点考虑问题，从而宽阔学生的思路。
建立学生的自信心。
从习题中认识学生对知识的掌握程度，完美学生的不足。
1．带领学生核对基础知识练习的答案，鼓舞学生总结每题所用的知识，并说出知识是怎样利用的。
2．指引学生做中等难度的练习，鼓舞学生总结每题所用的知识。
3 ．指引学生分组谈论做出较难的练习，并鼓舞学生在做题时能从多个侧面、多个出发点考虑问题，从而宽阔学生的思路。
建立学生的自信心。
华师版八年级数学 12.3 乘法公式(学习、上课课件)
感悟新知
知1－练
例 2 计算： (1)10.3×9.7； (2)2 022×2 024－2 0232. 解题秘方：找出平方差公式的模型，利用平方差 公式进行计算.
感悟新知
解：(1)10.3×9.7
＝(10＋0.3)×(10－0.3)
＝102－0.32 ＝100－0.09
知2－讲
感悟新知
知2－讲
(6)ab＝12[(a＋b)2－(a2＋b2)]＝14[(a＋b)2－(a－b)2]； (7)(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc；
(8)a2＋b2＋c2＋ab＋ac＋bc＝12[(a＋b)2＋(b＋c)2＋(a＋c)2]
感悟新知
例 3 计算： (1)(x＋7y)2；(2)(－4a＋5b)2； (3)(－2m－n)2；(4)(2x＋3y)(－2x－3y).
感悟新知
知识点 2 两数和(差)的平方
知2－讲
1. 两数和(差)的平方公式(也称完全平方公式) 两数和 (差)的平方，等于这两数的平方和加上(减去)它们的积 的2倍. 用字母表示为(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－ 2ab＋b2 .
感悟新知
特别解读
知2－讲
1. 弄清公式的特征：公式的左边是一个二项式的平方，公
感悟新知
特别解读
知1－讲
公式的特征：
1. 等号左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完
全相同，另一项互为相反数；
2. 等号右边是乘式中两项的平方差；
3. 理解字母a，b的意义，平方差公式中的a，b既可代表一
个单项式，也可代表一个多项式.
感悟新知
2. 平方差公式的几种常见变化及应用
八年级数学上册第12章整式的乘除12.3乘法公式1两数和乘以这两数的差教案华东师大版(2021年整
八年级数学上册第12章整式的乘除12.3 乘法公式1 两数和乘以这两数的差教案（新版）华东师大版
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两数和乘以这两数的差。
八年级数学上册第12章整式的乘除12.3乘法公式教案新版华东师大版
乘法公式教学目标知识与技能处理习题，巩固学生的基础知识，培养学生综合复习问题的能力。
过程与方法核对答案，复习疑难问题，归纳总结知识。
情感态度与价值观完善自我，建立学生的自信心。
教学重点巩固基础知识，提高学生综合应用知识的能力。
教学难点了解学生的不足，建立完整的知识体系。
教学内容与过程教法学法设计一.复习提问，回顾知识，请看下面的问题：1.平方差公式：（1）公式的文字叙述；（2）公式的形式是。
2.完全平方公式：（1）公式的文字叙述；（2）公式的形式是。
3.在算式：①(xy)(xy)；②(12c)(12c)；③99×101；④(xa)(x b)⑤(xa)(xb)；⑥(12c)(12c).能利用平方差公式解的是；能利用完全平方公式解的是；二.导入课题，研究知识：本节课我们来运用学过的公式解决我也乘法公式的复习.面向全体学生提出相关的问题。
明确要研究，探索的问题是什么，怎样去研究和讨论。
.留给学生一定的思考和回顾知识的时间。
为学生创设表现才华的平台。
三.归纳知识，培养能力：乘法公式：1.平方差公式；2.完全平方公式；3.形式和特征。
4.特殊的整式乘法乘法公式。
四.运用知识，分析解题：问题1.计算：⑴(2x3y)2⑵(2a1)2⑶(a1)22.计算：⑴(a3)(a3) ⑵(2a3b)(2a3b) ⑶(12c)(1-2c) ⑷(b2a)(b-2a) ⑸(xy)(xy) ⑹(xy)(xy)五.课堂练习：请见教案和练习册。
六.课后小结：乘法公式七.课后作业：.复印给学生。
1．带领学生核对基础知识练习的答案，鼓励学生总结每题所用的知识，并说出知识是怎样利用的。
2．引导学生做中等难度的练习，鼓励学生总结每题所用的知识。
3．引导学生分组讨论做出较难的练习，并鼓励学生在做题时能从多个侧面、多个出发点考虑问题，从而开阔学生的思路。
建立学生的自信心。
4．引导学生做部分练习，做到进一步的巩固。
教学反思。
八年级数学上册第12章整式的乘除教案(2)新版华东师大版
整式乘除教学目标知识与技能理解掌握整式乘除法的法则.公式，并能够运用整式进行整式乘除法的运算。
过程与方法知识再认，运用理解，训练强化，巩固提高。
情感态度与价值观培养学生好的学习习惯。
教学重点整式乘除法的法则及、公式教学难点理解整式灵活解题。
教学内容与过程教法学法设计一. 复习提问，回顾知识，请看下面的问题：1. 整式乘法都有哪些？各种运算的法则是什么？2.乘法公式都有哪些？他们的表达形式各是什么？3.幂的运算公式有哪些？他们的表达形式各是什么？4.整式除法都有哪些？各种运算的法则是什么？二. 导入课题，研究知识：本节课我们来复习整式的乘法面向全体学生提出相关的问题。
明确要研究，探索的问题是什么，怎样去研究和讨论。
.留给学生一定的思考和回顾知识的时间。
为学生创设表现才华的平台。
三.归纳知识，培养能力： 1.整式的乘法法则； 2.整式的除法法则； 3..乘法公式；4. .幂的运算公式. 四.运用知识，分析解题： (一)知识填空： 1.yxxy 23233•-= ；2.()ba b a 6322332+•= ； 3.()()y x y x 2352-+= ； 4.()()m m 2121+-= ；5.()542+x = ；6.()()87+-y y = ； （二）计算题： 1.()()ca bc ba --÷•222332；2.()34232+-a a a ；3.xy xy y x x y 2643223÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+；4.()()95+-xy xy .五.课堂练习：请见教材，练习册。
六.课后小结：整式乘除法知识的复习 七.课后作业：复印给学生。
从习题中了解学生对知识的掌握程度，完善学生的不足。
1．带领学生核对基础知识练习的答案，鼓励学生总结每题所用的知识，并说出知识是怎样利用的。
2．引导学生做中等难度的练习，鼓励学生总结每题所用的知识。
3．引导学生分组讨论做出较难的练习，并鼓励学生在做题时能从多个侧面、多个出发点考虑问题，从而开阔学生的思路。
八年级数学上册第12章整式的乘除12.3乘法公式12.3.1两数和乘以这两数的差教案华东师大版(2
重庆市沙坪坝区虎溪镇八年级数学上册第12章整式的乘除12.3 乘法公式12.3.1 两数和乘以这两数的差教案（新版）华东师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（重庆市沙坪坝区虎溪镇八年级数学上册第12章整式的乘除12.3 乘法公式12.3.1 两数和乘以这两数的差教案（新版）华东师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
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两数和乘以这两数的差课题名称12.3。
1 两数和乘以这两数的差三维目标1．经历探索平方差公式的过程．2．会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算．重点目标平方差公式的推导和应用难点目标理解平方差公式的结构特征,灵活应用平方差公式．导入示标王剑同学去商店买了单价是9.8元／千克的糖块10。
2千克，售货员刚拿起计算器,王剑就说出应付99。
96元,结果与售货员计算出的结果相吻合。
售货员惊讶地问：“这位同学,你怎么算得这么快？”王剑同学说：“我利用了在数学上刚学过的一个公式。
”你知道王剑同学用的是一个什么样的公式吗?你现在能算出来吗?学了本节之后,你就能解决这个问题了。
复习1、多项式与多项式相乘法则2．利用多项式与多项式的乘法法则写出（x＋a)(x＋b）的结果。
3。
计算：（1）(x＋3)(x－3); （2）(a＋2b）(a－2b）；(3）（4m＋n）(4m－n)； (4）(5＋4y)(5－4y）。
目标三导学做思一：1、做一做，计算（x ＋3)（x －3)=（a＋2b）(a－2b)=（4m＋n)(4m－n）=（5＋4y）（5－4y）=（a ＋ b）（a－b）=归纳总结也就是说，这个公式叫做两数和与两数差的乘法公式，简称为平方差公式2。
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乘法公式
教学目标
知识与技能处理习题，巩固学生的基础知识，培养学生综合复习问题的
能力。
过程与方法核对答案，复习疑难问题，归纳总结知识。
情感态度与价值观完善自我，建立学生的自信心。
教学重点巩固基础知识，提高学生综合应用知识的能力。
教学难点了解学生的不足，建立完整的知识体系。
教学内容与过程教法学法设计
一.复习提问，回顾知识，请看下面的问题：
1. 平方差公式：
（1）公式的文字叙述；
（2）公式的形式是。
2. 完全平方公式：
（1）公式的文字叙述；
（2）公式的形式是。
3. 在算式：①(-x+y)(x+y)；②(1+2c)(1-2c)；
③99×101；④(x+a)(x+b)
⑤(x+a)(x+b)；⑥(1+2c)(1+2c).
能利用平方差公式解的是；
能利用完全平方公式解的是；
二.导入课题，研究知识：
本节课我们来运用学过的公式解决我也--------------------乘法公式的复习.
面向全体学生提出相关的问题。
明确要研究，探索的问题是什么，怎样去研究和讨论。
.
留给学生一定的思考和回顾知识的时间。
为学生创设表现才华的
平台。
三.归纳知识，培养能力：
乘法公式：
1.平方差公式；
2.完全平方公式；
3.形式和特征。
4.特殊的整式乘法----乘法公式。
四.运用知识，分析解题：
问题
1.计算：⑴(2x-3y)2
⑵(2a+1)2
⑶(-a-1)2
2.计算：⑴(a+3)(a+3) ⑵(2a+3b)(2a-3b) ⑶(1+2c)(1-2c)
⑷(b+2a)(b-2a) ⑸(x+y)(x+y) ⑹(-x+y)(-x-y)
五.课堂练习：
请见教案和练习册。
六.课后小结：
乘法公式
七.课后作业：.
复印给学生。
1．带领学生核对基础知识练习的答案，鼓励学生总结每题所用的知识，并说出知识是怎样利用的。
2．引导学生做中等难度的练习，鼓励学生总结每题所用的知识。
3．引导学生分组讨论做出较难的练习，并鼓励学生在做题时能从多个侧面、多个出发点考虑问题，从而开阔学生的思路。
建立学生的自信心。
4．引导学生做部分练习，做到进一步的巩
固。
教学反思。