【模型解题法】高中数学抛物线焦点弦模型
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【模型解题法】高中数学抛物线焦点弦模型
【模型思考】过抛物线焦点的直线，交抛物线于 两点，则称线段 为抛物线的焦点弦。
过抛物线 的焦点弦 的端点
分别抛物线准线 的垂线，交 于 ，
构成直角梯形 （图1）.这个图形是抛物线
问题中极为重要的一个模型，围绕它可以生出许
多重要的问题，抓住并用好这个模型，可以帮助
即 .
例6.如图3，直线 交准线于 ，求证：直线 轴.（多种课本中的题目）
例7．设抛物线 的焦点为 ，经过点 的直线交抛物线于 两点.点 在抛物线的准线上，且 轴.证明直线 经过原点.
例8.证明：梯形中位线MN长为 .
例9.连 .
例10.求证：以线段 为直径的圆与准线相切.
例11.连NF，证明：NF⊥AB，且 .
解法一：直线 的方程为： ，即 .
（由⑥得）,
解法二：
（由④得）
（由⑥得）
例4连 .
证明：设 ，
则 ,
故 .
例5设准线 与 轴交于点 ，证明： 是 与 的比例中项，
即 .
容易证明，留给读者完成。
例6如图3，直线 交准线于 ，证明：直线 轴.（多种课本中的题目）
分析：只要证 两点纵坐标相同。
证明：设 ，则 .
由例9，这个性质是显然成立的。
例11连NF，证明：NF⊥AB，且 .
证明：设 ，
又设直线 的方程为 ，则 ，
（由④得）
此即
在 为斜边上的高，故有
说明：在平面几何中，有下述定理： 斜边 上的高 是 的比例中项。
例12已知抛物线 的焦点为F， 是抛物线的焦点弦，过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M.
解：由于 ， ，
当 时，代入 中，得
.
例2求焦点弦 长.
解法一： 设 ，当
由 得 ，......①
. ......②
，准线方程 ，
.ห้องสมุดไป่ตู้
由②知， ......③
当 ，由（一）知 .
说明：
因此，由③得
特别，当 是通径长。
解法二：设 .
.
由 得
......④
......⑤
（由④得）
......⑥
.
例3求 的面积.
我们学好抛物线的基本知识与基本方法，同时，
它又体现了解析几何的重要思想方法。在图1中，
有哪些重要的几何量可以算出来？又可以获得哪
些重要结论呢?
【模型示例】设直线 的倾角为 ，当 时，称弦 为通径。
例1.求通径长.
例2．求焦点弦 长.
例3.求 的面积.
例4.连
例5.设准线 与 轴交于点 ，求证： 是 与 的比例中项，
（I）证明：点 在抛物线的准线上；
（Ⅱ）求证：·为定值；
证明：（I）设 ，
则 由已知，
设直线 的方程为： ，则由
得
由 得 ，所以过 两点的切线方程分别为：
即
【注： 过点( 的切线方程为： 】
由上式可得
显然 故
因此， .
由于抛物线准线方程为 ，故点 在抛物线的准线上。
因此，·为定值，其值为0.
例12.已知抛物线 的焦点为F， 是抛物线的焦点弦，过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M.
（I）证明：点 在抛物线的准线上；
（Ⅱ）求证：·为定值；
【小结】由抛物线的焦点弦所构成的直角梯形中蕴涵着丰富多彩的内容，可以获得多达十多条的重要结论，它涉及抛物线的定义与基本性质，在解决各类问题时，又贯穿着解析几何的基本思想方法，其中尤以求抛物线弦长时的两种方法集中体现了解决抛物线问题的基本思路与常用方法，应予以牢固把握。
它与准线方程 联立,得
.
由 得 .
因此 两点纵坐标相同， 轴.
例7设抛物线 的焦点为 ，经过点 的直线交抛物线于 两点.点 在抛物线的准线上，且 轴.证明：直线 经过原点.
分析：只要证 .
证法1：如图3，设 ，
再设直线 的方程为 .
， ，
三点共线.
证法2：如图4，设 与 相交于 ，准线与 轴交于 .
轴 .
（即 ），
（即 ）.
又
即点 是 的中点，与抛物线的顶点 重合，所以直线经过原点 .
【专家点评】2001年试题评价报告（高考专家组）指出：理科（19）题（即上题）是课本习题八第8题（系指 ），第13题（系指（六））的转化，揭示了抛物线的一个本质属性：“若抛物线 的焦点为 ， 是抛物线上的两点.点 在它的准线上，且 轴.则 三点共线的充要条件是 共线。
上面十多条结果归纳起来有：
（1）焦点弦长（通径长）；
（2） 的面积；
（3）梯形中位线长；
（4） ；
（5） ；
（6）两组直角三角形： 以及相应的比例线段；
（7） 为直径的圆与准线相切；
（8）过抛物线上 两点的切线的交点 落在准线上，且
【模型解析】
设直线 的倾角为 ，当 时，称弦 为通径。
例1求通径长.
【探究】
上面的课本题与高考题共有三个条件与一个结论（对于抛物线 及图3）：
①弦 过焦点 ；②点 在准线上；
③ 轴；④ 过顶点 .
可组成以下四个命题：
①②③ ④（高考题）
①②④ ③（课本题）
是否正确？
例8证明：梯形中位线MN长为 .
留给读者做。
例9连 .
证明较难，留作习题。
例10证明：以线段 为直径的圆与准线相切。
【模型思考】过抛物线焦点的直线，交抛物线于 两点，则称线段 为抛物线的焦点弦。
过抛物线 的焦点弦 的端点
分别抛物线准线 的垂线，交 于 ，
构成直角梯形 （图1）.这个图形是抛物线
问题中极为重要的一个模型，围绕它可以生出许
多重要的问题，抓住并用好这个模型，可以帮助
即 .
例6.如图3，直线 交准线于 ，求证：直线 轴.（多种课本中的题目）
例7．设抛物线 的焦点为 ，经过点 的直线交抛物线于 两点.点 在抛物线的准线上，且 轴.证明直线 经过原点.
例8.证明：梯形中位线MN长为 .
例9.连 .
例10.求证：以线段 为直径的圆与准线相切.
例11.连NF，证明：NF⊥AB，且 .
解法一：直线 的方程为： ，即 .
（由⑥得）,
解法二：
（由④得）
（由⑥得）
例4连 .
证明：设 ，
则 ,
故 .
例5设准线 与 轴交于点 ，证明： 是 与 的比例中项，
即 .
容易证明，留给读者完成。
例6如图3，直线 交准线于 ，证明：直线 轴.（多种课本中的题目）
分析：只要证 两点纵坐标相同。
证明：设 ，则 .
由例9，这个性质是显然成立的。
例11连NF，证明：NF⊥AB，且 .
证明：设 ，
又设直线 的方程为 ，则 ，
（由④得）
此即
在 为斜边上的高，故有
说明：在平面几何中，有下述定理： 斜边 上的高 是 的比例中项。
例12已知抛物线 的焦点为F， 是抛物线的焦点弦，过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M.
解：由于 ， ，
当 时，代入 中，得
.
例2求焦点弦 长.
解法一： 设 ，当
由 得 ，......①
. ......②
，准线方程 ，
.ห้องสมุดไป่ตู้
由②知， ......③
当 ，由（一）知 .
说明：
因此，由③得
特别，当 是通径长。
解法二：设 .
.
由 得
......④
......⑤
（由④得）
......⑥
.
例3求 的面积.
我们学好抛物线的基本知识与基本方法，同时，
它又体现了解析几何的重要思想方法。在图1中，
有哪些重要的几何量可以算出来？又可以获得哪
些重要结论呢?
【模型示例】设直线 的倾角为 ，当 时，称弦 为通径。
例1.求通径长.
例2．求焦点弦 长.
例3.求 的面积.
例4.连
例5.设准线 与 轴交于点 ，求证： 是 与 的比例中项，
（I）证明：点 在抛物线的准线上；
（Ⅱ）求证：·为定值；
证明：（I）设 ，
则 由已知，
设直线 的方程为： ，则由
得
由 得 ，所以过 两点的切线方程分别为：
即
【注： 过点( 的切线方程为： 】
由上式可得
显然 故
因此， .
由于抛物线准线方程为 ，故点 在抛物线的准线上。
因此，·为定值，其值为0.
例12.已知抛物线 的焦点为F， 是抛物线的焦点弦，过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M.
（I）证明：点 在抛物线的准线上；
（Ⅱ）求证：·为定值；
【小结】由抛物线的焦点弦所构成的直角梯形中蕴涵着丰富多彩的内容，可以获得多达十多条的重要结论，它涉及抛物线的定义与基本性质，在解决各类问题时，又贯穿着解析几何的基本思想方法，其中尤以求抛物线弦长时的两种方法集中体现了解决抛物线问题的基本思路与常用方法，应予以牢固把握。
它与准线方程 联立,得
.
由 得 .
因此 两点纵坐标相同， 轴.
例7设抛物线 的焦点为 ，经过点 的直线交抛物线于 两点.点 在抛物线的准线上，且 轴.证明：直线 经过原点.
分析：只要证 .
证法1：如图3，设 ，
再设直线 的方程为 .
， ，
三点共线.
证法2：如图4，设 与 相交于 ，准线与 轴交于 .
轴 .
（即 ），
（即 ）.
又
即点 是 的中点，与抛物线的顶点 重合，所以直线经过原点 .
【专家点评】2001年试题评价报告（高考专家组）指出：理科（19）题（即上题）是课本习题八第8题（系指 ），第13题（系指（六））的转化，揭示了抛物线的一个本质属性：“若抛物线 的焦点为 ， 是抛物线上的两点.点 在它的准线上，且 轴.则 三点共线的充要条件是 共线。
上面十多条结果归纳起来有：
（1）焦点弦长（通径长）；
（2） 的面积；
（3）梯形中位线长；
（4） ；
（5） ；
（6）两组直角三角形： 以及相应的比例线段；
（7） 为直径的圆与准线相切；
（8）过抛物线上 两点的切线的交点 落在准线上，且
【模型解析】
设直线 的倾角为 ，当 时，称弦 为通径。
例1求通径长.
【探究】
上面的课本题与高考题共有三个条件与一个结论（对于抛物线 及图3）：
①弦 过焦点 ；②点 在准线上；
③ 轴；④ 过顶点 .
可组成以下四个命题：
①②③ ④（高考题）
①②④ ③（课本题）
是否正确？
例8证明：梯形中位线MN长为 .
留给读者做。
例9连 .
证明较难，留作习题。
例10证明：以线段 为直径的圆与准线相切。