浅析幂级数展开式的应用

浅析幂级数展开式的应用摘要：函数展成幂级数能解决许多疑难问题。

本文讨论了幂级数展开式在解决数学问题中的应用。

关键词：函数；幂级数；展开式Analyses the Application of the Power Series ExpansionsAbstract：Function generative power series can solve a lot of difficulty .This paper discussed the power series expansions of the application in solving math problems.Key words：function，power series，expansion目录0 引言 (1)1 幂级数的展开 (1)1.1 直接展开法 (1)1.2 间接展开法 (1)2 幂级数展开式的应用 (2)2.1 利用幂级数求极限 (2)2.2 幂级数在不等式证明中的应用 (2)2.3 幂级数在组合恒等式中的应用 (3)2.4 应用幂级数求高阶导数 (4)2.5 应用幂级数展开式推导欧拉公式 (5)2.6 求非初等函数的原函数 (5)2.7 利用幂级数求数项级数的和 (6)2.8 幂级数在微分方程中的应用 (7)2.9 幂级数应用于近似计算 (8)3 结束语 (11)参考文献 (11)致谢 (12)浅析幂级数展开式的应用0 引言形如2001020()()()n n n a x x a a x x a x x ∞=-=+-+-+∑⋅⋅⋅0()n n a x x +-+⋅⋅⋅的函数项级数称为幂级数，巧妙地利用函数幂级数展开式及幂级数的性质，常能将问题化难为易，简化计算.1 幂级数的展开函数展开成幂级数主要有直接展开和间接展开两种方法.1.1 直接展开法直接展开法是比较麻烦的.首先，函数()f x 的各阶导数不一定容易求得，其次，要证明余项110()()()0(1)!n n n fR x x x n ξ++=-→+ ()n →∞，即使在初等函数中也是比较困难的.1.2 间接展开法间接展开法是根据函数()f x 的幂级数展开式的唯一性，选择与待展函数有关的已知函数展开式对其进行必要的运算，一般用的方法有：（1）应用基本展开式，通过变量替换或恒等变形转化为可应用基本展式； （2）应用逐项求导或逐项积分法；（3）应用级数的用算，如加、减、乘、除等； （4）用待定系数法.这样简化计算过程，就可以避免余项极限的研究.间接展开法是最常用的将函数展成幂级数的方法.2 幂级数展开式的应用幂级数是一类简单的函数项级数，通过幂级数的展开式来表示函数常能解决许多疑难问题，它在求极限、不等式的证明、组合分析、欧拉公式的推导、近似计算等方面有很重要的作用.2.1[1] 利用幂级数求极限例1[1] 求极限201lim ln 1x x x x →⎡⎤⎛⎫-+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 解 因为()23111111111ln 1123nn x x x x n x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-⋅+⋅-⋅⋅⋅+-⋅⋅+⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1,2,n =⋅⋅⋅所以我们可以得到()2312211111111ln 1123nn x x x x x x x x n x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=--⋅+⋅-⋅⋅⋅+-⋅⋅+⋅⋅⋅ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2111111123n n x nx --⎛⎫=-⋅+⋅⋅⋅-⋅⋅+⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭又因为()2111lim 10n n x n x --→⎛⎫-⋅⋅= ⎪⎝⎭所以2011lim ln 12x x x x →⎡⎤⎛⎫-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2.2[2] 幂级数在不等式证明中的应用例2 证明不等式222xx xe e e-+≤ (),x ∈-∞+∞. 证明 因为!n xn xe n ∞==∑()1!nnxn xen ∞-==-∑ (),x ∈-∞+∞而()2022!n x xn xe en ∞-=+=∑()222222!!xnn xen ∞==∑由于()()222!2!!nnxxn n ≤所以就可以得到222xx xe ee-+≤2.3[3] 幂级数在组合恒等式中的应用例3 证明02224nnk k n k k n k =-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∑ ()0,1,2k n =⋅⋅⋅.证明 由于()()121211414x x -=--()0111112224!k k k k x k ≥⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⋅⋅⋅--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-∑()0135212!kk k k xk ≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⎡⎤⎣⎦=∑()()135212!!!kkk k k x k k ≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⎡⎤⎣⎦=∑()02!!!kk k x k k ≥=∑02k k kx k ≥⎛⎫=⎪⎝⎭∑ 所以2k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭是()12114x -展开式k x 的系数，同理可得()222n k n k n k n k -⎛-⎫⎛⎫= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭是()12114x -展开式n kx -的系数 从而得到 0222nk k n k k n k =-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∑是()()1122111141414x x x ⋅=---展开式n x 的系数又114414nnx x x=++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅-所以02224nn k k n k k n k =-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∑2.4 应用幂级数求高阶导数例4 设()()2ln 2f x x x =-，求()1nf.解 由题目知()()()22ln 2ln 11f x x xx ⎡⎤=-=--⎣⎦令1t x =-，则上式就为 ()221l n 1nn ttn∞=-=-∑()11t -<≤()2111nn x n∞==--∑由此可以得到()()212!12!nn fn nn=-⋅=-()2110n f-=2.5[4] 应用幂级数展开式推导欧拉公式例5 试用幂级数展开式推导欧拉公式：sin 2ixixe e x i--=c o s2i x i xe ex -+=.解 当x 为实数时，由指数函数的幂级数展开式知!nxn xe n ∞==∑(),x ∈-∞+∞用纯虚数ix 代替变量x ，有()()()()()234511111!2!3!4!5!nixn ix e ix ix ix ix ix n ∞===++++++⋅⋅⋅∑由于i =，()41n i i +=，()421n i +=-，()43n ii +=-，()441n i+=，0,1,2,n =⋅⋅⋅从而得到243512!4!3!5!ixx x x x e i x ⎛⎫⎛⎫=-++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos sin x i x=+即cos sin ixe x i x =+ ()1在()1式中以x -替换x 可得cos sin ixex i x -=- ()2由()1()2两式可得s i n 2i xi xe e x i--=c o s 2i x i xe ex -+=2.6[5] 求非初等函数的原函数例6 求连续函数2x e -的原函数()F x . 解 由积分知识我们可知2x e -的原函数为 2xted t -⎰x R ∈因为!nxn xe n ∞==∑x R ∈令2x t =-，从而得到()2201!nnt n te n ∞-=-=∑()2462112!3!!nntttt n -=-+-+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅对幂级数在收敛区间内逐项求积分得()2xtF x edt-=⎰()3572111132!53!7!!21nn xxxxx n n +-=-+⋅-⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅+2.7 利用幂级数求数项级数的和例7 计算数项级数1112nn nn ∞=⋅+∑的和.解 首先构造一个辅助幂级数使其符合下面条件：(1) 使1112nn nn ∞=⋅+∑为幂级数当x 取特定值时的结果(2) 辅助幂级数容易求和本题取辅助级数()1nn s x x n =+，此时其收敛域为()1,1-，然后求辅助幂级数的和函数()1nn s x x n =+1111n n x n ∞=⎛⎫=- ⎪+⎝⎭∑1111nnn n x x n ∞∞===-+∑∑111111n n x x xx n ∞+==--+∑ () 0 , 1x x ≠<记 ()11111n n S x xn ∞+==+∑ () 1x < ()11'1nn x S x x x∞===-∑从而得到()100'1xx t S t dt dt t=-⎰⎰()()()110101ln 11x S x S dt x x t ⎛⎫-=-=---⎪-⎝⎭⎰所以()()l n 111x x S x xx-=++-111112ln 122nn nx S n ∞=⎛⎫⎛⎫==++ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭∑()21l n 2=-2.8[6] 幂级数在微分方程中的应用例8 求方程0y xy ''-=满足初始条件()00y =，()01y '=的特解. 解 设2012n n y a a x a x a x =+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅是0y xy ''-=的特解 则1122n n y a a x na x-'=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅()2221n n y a n n a x-''=+⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅由()00y =，()01y '=得00a =，11a = 将y 与y ''代入0y xy ''-=中得()()2230323210n n n a a a x n n a a x--+⋅-+⋅⋅⋅+⋅--+⋅⋅⋅=⎡⎤⎣⎦由于左边恒等于零，则各项系数必为零，即 220a = 3060a a -=⋅⋅⋅⋅⋅⋅()310n n n n a a -⋅--=由此可以得到20a =和递推公式()31n n a a n n -=-由00a =得03032a a ==⋅，进而得到69,a a ⋅⋅⋅皆为0；由20a =得25054a a ==⋅，进而得到811,a a ⋅⋅⋅皆为0；由11a =得1414343a a ==⋅⋅，471767643a a ==⋅⋅⋅⋅．故所求特解为：47437643xxy x =+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅()x -∞<<+∞2.9[7] 幂级数应用于近似计算()1 函数值的计算例9计算的近似值，使之绝对误差不超过410-. 解 因为3==⨯由 ()()()()2111112 !!nn x x x x n ααααααα--⋅⋅⋅-++=++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅ (1)x <令 512 , 53x α==得255111122553 1532 !3⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎢⎥=+++⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦252512423 1532 !53⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+⋅⋅⋅⎢⎥ ⎪ ⎪⨯⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦由于5291244310.0000253253⎛⎫⎛⎫+<⋅< ⎪ ⎪⨯⎝⎭⎝⎭ 所以51231 3.004953⎛⎫⎛⎫≈+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭例10 计算arcsin 0.2 ，绝对误差不超过410-. 解 设()arcsin f x x =，则()1221'()1f x x-==-()21111112221!nnnxn∞=⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⋅⋅⋅--+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=+-∑()1x<()()()21121!!112!nn nnnnxn∞=--=+-∑()()2121!!12!!nnnxn∞=-=+∑两边积分得()()()()()21121!!2!!2n1nnnf x f x xn∞+=--=++∑()1x<()()()21121!!arcsin2!!2n1nnnx x xn∞+=-=++∑()1x<令0.2x=得()()()()()21121!!arcsin0.20.20.22!!2k1kkkk∞+=-=++∑()()()()2122121!!0.22!!2k1knk nkrk∞++=+-=+∑()21110.22 1kk nk∞+=+<+∑()()()23240.21(0.20.2)23nn+≤+++⋅⋅⋅+()()230.20.9623nn+=+当1n=时()540.20.0000660.00010.965r≤=<⨯所以()()31a r c s i n0.20.20.20.201323≈+≈⨯()2 积分的近似值计算例11 计算210x e dx -⎰的近似值，使之绝对误差不超过410-.解 因为!nxn xe n ∞==∑() , x ∈-∞+∞所以就可以得到 ()2462211, 2!3!!n n xx x x exx R n-=-+-+⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅∈()()210111111 3104221!nxedx n n -=-+-+⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+⎰这是一个交错级数，由于 ()4711102717!75600a -==<⨯+⨯于是有21401111111103104221613209360xed x --⎛⎫--+-+-+< ⎪⎝⎭⎰所以积分的符合精度要求的近似值为21011111113104221613209360xed x -≈-+-+-+⎰0.7468≈3 结束语幂级数展开式在有些数学计算中提供了捷径，它有许多方便的运算性质，在研究函数方面成为一个很有力的工具.参考文献[1] 王金城.浅析幂级数展开式的应用[J].科技信息.2004年24期：425～427.[2] 刘玉琏.傅沛仁编; 数学分析讲义[M]. 高等教育出版社, 1992：61.[3] 张淑辉.幂级数的应用[J]. 太原教育学院学报. 2005年S1期：95.[4] 钟玉泉．复变函数论[Ｍ]．北京：高等教育出版社，2003：164～165.[5] 华东师范大学数学系．数学分析（下册）[Ｍ]．北京：高等教育出版社，2001：52～60.[6] 王高雄．常微分方程[Ｍ]．北京：高等教育出版社，2007：173～174.[7] 吉米多维奇．数学分析习题解（四）[Ｍ]．山东：山东科技出版社，1999：637～674.致谢本文是在张老师精心指导和大力支持下完成的。