二次函数根的判别式韦达定理
二次函数根的判别式、韦达定理
一元二次方的应用及根的判别式、韦达定理一、根的判别式1.一元二次方程根的判别式的定义：运用配方法解一元二次方程过程中得到 2224()24b b acx a a -+=，显然只有当240b ac -≥时，才能直接开平方得：2b x a += 也就是说，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠只有当系数a 、b 、c 满足条件240b ac ∆=-≥时才有实数根．这里24b ac -叫做一元二次方程根的判别式．2.判别式与根的关系：在实数范围内，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况(是否有实数根)由24b ac ∆=-确定．判别式：设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-则①0∆>⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根1,2x =．②0∆=⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122bx x a==-．③0∆<⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根．若a ，b ，c 为有理数，且∆为完全平方式，则方程的解为有理根；若∆为完全平方式，同时b -2a 的整数倍，则方程的根为整数根．说明: (1)用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值:上述判定方法也可以反过来使用，当方程有两个不相等的实数根时，0∆>;有两个相等的实数根时，0∆=;没有实数根时，0∆<．(2)在解一元二次方程时，一般情况下，首先要运用根的判别式24b ac ∆=-判定方程的根的情况(有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，无实数根)．当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根(二重根)，不能说方程只有一个根． ① 当0a >时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点； ② 当0a <时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点．3.一元二次方程的根的判别式的应用：一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用： （1）运用判别式，判定方程实数根的个数；（2）利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围； （3）通过判别式，证明与方程相关的代数问题；（4）借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题，最值问题．二、韦达定理如果一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠）的两根为12x x ，，那么，就有 ()()212ax bx c a x x x x ++=--比较等式两边对应项的系数，得1212b x x ac x x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=⋅⎪⎩L L L L L L L L L ①，② ①式与②式也可以运用求根公式得到．人们把公式①与②称之为韦达定理，即根与系数的关系．因此，给定一元二次方程20ax bx c ++=就一定有①与②式成立．反过来，如果有两数1x ，2x 满足①与②，那么这两数12x x ，必是一个一元二次方程20ax bx c ++=的根．利用这一基本知识常可以简捷地处理问题．利用根与系数的关系，我们可以不求方程20ax bx c ++=的根，而知其根的正、负性． 在24b ac ∆=-≥0的条件下，我们有如下结论： 当0c a <时，方程的两根必一正一负．若0b a -≥，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若0ba-<，则此方程的正根小于负根的绝对值． 当0c a >时，方程的两根同正或同负．若0b a ->，则此方程的两根均为正根；若0ba -<，则此方程的两根均为负根．⑴ 韦达定理：如果20(0)ax bx c a ++=≠的两根是1x ，2x ，则12bx x a+=-，12c x x a =．(隐含的条件：0∆≥)⑵ 若1x ，2x 是20(0)ax bx c a ++=≠的两根(其中12x x ≥)，且m 为实数，当0∆≥时，一般地： ① 121()()0x m x m x m --<⇔>，2x m <② 12()()0x m x m -->且12()()0x m x m -+->1x m ⇔>，2x m > ③ 12()()0x m x m -->且12()()0x m x m -+-<1x m ⇔<，2x m <特殊地：当0m =时，上述就转化为20(0)ax bx c a ++=≠有两异根、两正根、两负根的条件． ⑶ 以两个数12,x x 为根的一元二次方程(二次项系数为1)是：21212()0x x x x x x -++=． ⑷ 其他：① 若有理系数一元二次方程有一根a +a a ，b 为有理数)． ② 若0ac <，则方程20(0)ax bx c a ++=≠必有实数根． ③ 若0ac >，方程20(0)ax bx c a ++=≠不一定有实数根． ④ 若0a b c ++=，则20(0)ax bx c a ++=≠必有一根1x =．⑤ 若0a b c -+=，则20(0)ax bx c a ++=≠必有一根1x =-． ⑸ 韦达定理主要应用于以下几个方面：① 已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； ② 已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； ③ 已知方程的两根，求作方程；④ 结合根的判别式，讨论根的符号特征；⑤ 逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理；⑤ 利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的∆．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱．例题一、判断方程根的情况【例1】 不解方程，判别下列方程的根的情况：（1）22340x x +-=；（2）216924y y +=；（3）()25170x x +-=。
一元二次方程判别式和韦达定理
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1.根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆.（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.k x k x x 有实根，求方程已知关于0132=--a x a x a x 为一元二次方程，求方程已知关于03)2(2=++-数根？）方程有两个不等的实（数根？）方程有两个相等的实（？）方程只有一个实数根（为何值时，当的方程例：已知关于32101)1(2)2(2m m x m x m x =++---的值。
求没有实数根求的值。
有两个相等的实数根，，有两个不相等的实数根的一元二次方程关于为整数、已知n m n x m x n x m x n x m x x n m ,01)4(06)4(03)7(,,2222=++--=++++=++-+2.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0. 根与系数的关系（韦达定理）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅-=+acx x a bx x 2121常见变形：2212x x += 1211x x +=12(5)(5)x x -- =12||x x -==+3231x x例1、若1x 和2x 分别是一元二次方程03522=-+x x 的两根．（1）求12||x x -（2）求221211x x +（3）求3231x x +变式训练1、212,046x x m x x x 有两个实数根的一元二次方程已知关于=++-（1）的取值范围求m（2）的值求满足若m x x x x ,23,2121+=例2、设12,x x 是方程20x px q ++=的两实根，121,1x x ++是关于x 的方程20x qx p ++=的两实根，则p = ，q = ．变式训练1、。
第二章 一元二次方程专题复习2-根的判别式与韦达定理(含答案)
专题复习二 根的判别式与韦达定理重点提示： (1)根的判别式ac b 42-主要应用于判断方程根的情况.利用判别式判断方程根的情况时要注意方程是不是一元二次方程，如果方程的类型不确定还要进行分类讨论.（2）韦达定理主要反映一元二次方程根与系数的关系，利用韦达定理的前提条件是方程有解，即042≥-ac b .【夯实基础巩固】1． 已知x 1，x 2是方程x 2+2x ﹣5=0的两根，则的值为（ B ）A ．﹣B ．C ．D ．﹣2．已知x 2+px +q =0的两根是3，﹣4，则代数式x 2+px +q 分解因式的结果是（ C ）A ． （x +3）（x +4）B ． （x ﹣3）（x ﹣4）C ． （x ﹣3）（x +4）D ． （x +3）（x ﹣4）3．关于x 的方程x 2﹣2mx ﹣m ﹣1=0的根的情况是（ A ）A ． 有两个不相等的实数根B ． 有两个相等的实数根C ． 有两个实数根D ． 没有实数根4．关于x 的方程x 2﹣（m ﹣1）x +m ﹣2=0的两根互为倒数，则m 的值是（ C ）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 45．关于x 的方程x 2﹣（m ﹣3）x +m 2=0有两个不相等的实数根，则m 的最大整数值是（ B ）A ． 2B ． 1C ． 0D ． ﹣16．已知关于x 的一元二次方程x 2+kx +1=0有两个相等的实数根，则k = ±2 ．7．已知x 1，x 2是方程的两根，则的值为 3 ．8．已知a ，b 是一元二次方程x 2﹣2x ﹣1=0的两个实数根，则代数式（a ﹣b ）（a +b ﹣2）+ab 的值等于 ﹣1 ．9．已知关于x 的方程x 2+2mx +m 2﹣1=0.（1）不解方程，判别方程根的情况.（2）若方程有一个根为3，求m 的值．（1）∵∆=（2m ）2﹣4×1×（m 2﹣1）=4＞0，∴方程x 2+2mx +m 2﹣1=0有两个不相等的实数根.（2）∵x2+2mx+m2﹣1=0有一个根是3，∴32+2m×3+m2﹣1=0，解得m=﹣4或m=﹣2．10．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根．（1）求实数m的最大整数值.（2）在（1）的条件下，方程的实数根是x1，x2，求代数式x12+x22﹣x1x2的值．（1）∵x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，∴ =8﹣4m＞0，解得m＜2，∴m的最大整数值为1.（2）∵m=1，∴此一元二次方程为x2﹣2x+1=0.∴x1+x2=2，x1x2=1.∴x12+x22﹣x1x2=（x1+x2）2﹣3x1x2=8﹣3=5．【能力提升培优】11．若a，b，c为三角形三边，则关于x的一元二次方程x2+（a﹣b）x+c2=0的根的情况是（C）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定12．已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），给出下列命题：①若a+b+c=0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+bx+c=0两根为﹣1和2，则2a+c=0；③若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根．其中真命题有（C）A．1个B．2个C．3个D．0个13．设x1，x2是关于x的方程x2+px+q=0的两根，x1+1，x2+1是关于x的方程x2+qx+p=0的两根，则p，q的值分别为（A）A．﹣1，﹣3 B．1，3 C．1，﹣3 D．﹣1，3【解析】∵x1，x2是x2＋px＋q=0的两根，x1＋1，x2＋1是x2＋qx＋p=0的两根，∴x1＋x2=-p，x1x2=q，x1＋1＋x2＋1= x1＋x2＋2=-q，（x1＋1）（x2＋1）= x1x2+（x1＋x2）＋1=p.∴-p+2=-q，q-p＋1=p.∴p=-1，q=-3.14．若一元二次方程x2﹣（a+2）x+2a=0的两个实数根分别是3，b，则a+b=5．15．已知m，n是方程x2﹣2x﹣1=0的两根，且（7m2﹣14m+a）（3n2﹣6n﹣7）=8，则a的值等于﹣9．16．已知关于x的方程x2﹣（a+b）x+ab﹣1=0，x1，x2是此方程的两个实数根，现给出三个结论：①x1≠x2；②x1x2＜ab；③．则正确结论的序号是①②．17．关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有两个不等实根x1，x2．（1）求实数k的取值范围．（2）若方程两实根x1，x2满足|x1|+|x2|=x1x2，求k的值．（1）∵原方程有两个不相等的实数根，∴∆=（2k+1）2﹣4（k2+1）=4k2+4k+1﹣4k2﹣4=4k﹣3＞0，解得k＞.（2）∵k＞，∴x1+x2=﹣（2k+1）＜0.又∵x1x2=k2+1＞0，∴x1＜0，x2＜0.∴|x1|+|x2|=﹣x1﹣x2=﹣（x1+x2）=2k+1.∵|x1|+|x2|=x1x2，∴2k+1=k2+1.∴k1=0，k2=2.又∵k＞，∴k=2．18．设m是不小于﹣1的实数，关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3=0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）若+=1，求的值.（2）求+﹣m2的最大值．∵方程有两个不相等的实数根，∴∆= 4（m﹣2）2﹣4（m2﹣3m+3）=﹣4m+4＞0，解得m＜1.∴﹣1≤m＜1．（1）∵x1+x2=﹣2（m﹣2），x1x2=m2﹣3m+3，∴+===1，解得m1=，m2=（不合题意，舍去）.∴=﹣2．（2）+﹣m2=﹣m2=﹣2（m﹣1）﹣m2=﹣（m+1）2+3．当m=﹣1时，最大值为3．【中考实战演练】19．【烟台】等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1=0的两根，则n的值为（B）A．9B．10 C．9或10 D．8或10【解析】∵a,b,2是等腰三角形的三边长，∴a=2,b＜4或a＜4，b=2或a=b＞1. ∵a,b是x2-6x+n-1=0的两根，∴a+b=6.∴a=b=3.∴ab=n-1=9.∴n=10.20．已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2ax+a2+a﹣2=0的两实根，那么m+n的最大值是4．【开放应用探究】21．若x1，x2是关于x的方程x2+bx+c=0的两个实数根，且|x1|+|x2|=2|k|（k是整数），则称方程x2+bx+c=0为“偶系二次方程”．如方程x2﹣6x﹣27=0，x2﹣2x﹣8=0，x2+3x﹣=0，x2+6x ﹣27=0，x2+4x+4=0，都是“偶系二次方程”．（1）判断方程x2+x﹣12=0是否是“偶系二次方程”，并说明理由.（2）对于任意一个整数b，是否存在实数c，使得关于x的方程x2+bx+c=0是“偶系二次方程”？请说明理由．（1）不是.理由如下：解方程x2+x﹣12=0得x1=3，x2=﹣4．∴|x1|+|x2|=3+4=7=2×3.5．∵3.5不是整数，∴x2+x﹣12=0不是“偶系二次方程.（2）存在．理由如下：∵x2﹣6x﹣27=0和x2+6x﹣27=0是偶系二次方程，∴假设c=mb2+n.当b=﹣6，c=﹣27时，﹣27=36m+n．∵x2=0是偶系二次方程，∴n=0，m=﹣.∴c=﹣b2．∴可设c=﹣b2．对于任意一个整数b，c=﹣b2时， =b2﹣4c=4b2．∴x1=﹣b，x2=b．∴|x1|+|x2|=2|b|，∵b是整数，∴对于任何一个整数b，当c=﹣b2时，关于x的方程x2+bx+c=0是“偶系二次方程”．。
第三讲 一元二次方程根的判别式与韦达定理(精讲)(解析版)
2023年初高中衔接素养提升专题讲义第三讲 一元二次方程根的判别式与韦达定理（精讲）（解析版）【知识点透析】1、一元二次根的判别式一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a -+=，把24b ac -叫做一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，表示为：24b ac∆=-(1) 当Δ=240b ac ->时，方程有两个不相等的实数根：x =(2) 当Δ=240b ac -=时，因此，方程有两个相等的实数根：1,22b x a=-(3) 当Δ=240b ac -<时，因此，方程没有实数根．【知识点精讲】【例1】已知关于x 的一元二次方程2320x x k -+=，根据下列条件，分别求出k 的范围：(1) 方程有两个不相等的实数根；(2) 方程有两个相等的实数根(3)方程有实数根；(4) 方程无实数根．【解析】：2(2)43412k k ∆=--⨯⨯=-(1) 141203k k ->⇒<；(2) 141203k k -=⇒=；(3) 141203k k -≥⇒≥；(4) 141203k k -<⇒<．【变式1】（（2022秋·重庆开州·八年级统考期中）使得关于x 的不等式组6x ―a ≥―10―1+12x <―18x +32有且只有4个整数解，且关于x 的一元二次方程(a ―5)x 2+4x +1=0有实数根的所有整数a 的值之和为（ ）A ．35B ．30C ．26D ．21【答案】B【分析】先求出不等式组的解集，根据有且只有4个整数解可确定a 的取值范围，再通过根的判别式确定a 的取值范围，最后结合两个取值范围找出满足条件的整数相加即可．【详解】解：整理不等式组得：6x ―a ≥―10①―8+4x <―x +12②由①得：x ≥a ―106，由②得：x<4∵不等式组有且只有4个整数解，∴不等式组的4个整数解是：3，2，1，0，∴―1<a―106≤0，解得：4<a≤10，∵(a―5)x2+4x+1=0有实数根，∴Δ=b2―4ac=16―4×(a―5)×1=36―4a≥0,解得：a≤9，∵方程(a―5)x2+4x+1=0是一元二次方程，∴a≠5∴4<a≤9，且a≠5，满足条件的整数有：6、7、8、9；∴6+7+8+9=30，故选：B．【变式2】．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（2k+1）x+4（k―12）＝0．（1）求证：这个方程总有两个实数根；（2）若等腰△ABC的一边长a＝4b、c恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC 的周长．【解答】（1）证明：Δ＝（2k+1）2﹣4×1×4（k―12）＝4k2﹣12k+9＝（2k﹣3）2，∵无论k取什么实数值，（2k﹣3）2≥0，∴△≥0，∴无论k取什么实数值，方程总有实数根；（2）解：∵x=2k+1±(2k―3)2，∴x1＝2k﹣1，x2＝2，∵b，c恰好是这个方程的两个实数根，设b＝2k﹣1，c＝2，当a 、b 为腰，则a ＝b ＝4，即2k ﹣1＝4，解得k =52，此时三角形的周长＝4+4+2＝10；当b 、c 为腰时，b ＝c ＝2，此时b +c ＝a ，故此种情况不存在．综上所述，△ABC 的周长为10．【例2】已知实数x 、y 满足22210x y xy x y +-+-+=，试求x 、y 的值．【解析】：可以把所给方程看作为关于x 的方程，整理得：22(2)10x y x y y --+-+=由于x 是实数，所以上述方程有实数根，因此：222[(2)]4(1)300y y y y y ∆=----+=-≥⇒=，代入原方程得：22101x x x ++=⇒=-．综上知：1,0x y =-=【变式1】（2022秋·湖北武汉·八年级武汉市第一初级中学校考期末）已知a ，b ，c 满足a 2+6b =7，b 2―2c =―1，c 2―2a =―17，则a ―b +c 的值为（ ）A ．―1B ．5C ．6D ．―7【答案】B【分析】首先把a 2+6b =7，b 2―2c =―1，c 2―2a =―17，两边相加整理成a 2+6b +b 2―2c +c 2―2a +11=0，分解因式，利用非负数的性质得出a 、b 、c 的数值，代入求得答案即可．【详解】解：∵a 2+6b =7，b 2―2c =―1，c 2―2a =―17，∴a 2+6b +b 2―2c +c 2―2a =―，∴a 2+6b +b 2―2c +c 2―2a +11=0∴(a ―1)2+(b +3)2+(c ―1)2=0，∴a =1，b =―3，c =1，∴a ―b +c =1+3+1=5．故选：B ．【变式2】（（2022秋·江苏扬州·八年级统考期中）新定义，若关于x 的一元二次方程：m (x ―a )2+b =0与n (x ―a )2+b =0，称为“同类方程”．如2(x ―1)2+3=0与6(x ―1)2+3=0是“同类方程”．现有关于x 的一元二次方程：2(x ―1)2+1=0与(a +6)x 2―(b +8)x +6=0是“同类方程”．那么代数式ax 2+bx +2022能取的最大值是_________．【答案】2023【分析】根据“同类方程”的定义，可得出a ，b 的值，从而解得代数式的最大值．【详解】∵2(x ―1)2+1=0与(a +6)x 2―(b +8)x +6=0是“同类方程”，∴(a +6)x 2―(b +8)x +6=(a +6)(x ―1)2+1，∴(a +6)x 2―(b +8)x +6=(a +6)x 2―2(a +6)x +a +7，∴b +8=2(a +6)6=a +7 ，解得：a =―1b =2，∴a x 2+bx +2022=―x 2+2x +2022=―(x ―1)2+2023∴当x =1时，a x 2+bx +2022取得最大值为2023．故答案为：2023．2、一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为：x x ==所以：12b x x a+==-，12244ac c x x a a⋅====韦达定理：如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ，那么：1212,b c x x x x a a+=-=【知识点精讲】【例3】若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +；(2) 1211x x +；(3) 12(5)(5)x x --；(4) 12||x x -．【解析】：由题意，根据根与系数的关系得：12122,2007x x x x +=-=-(1) 2222121212()2(2)2(2007)4018x x x x x x +=+-=---=(2) 121212112220072007x x x x x x +-+===-(3) 121212(5)(5)5()2520075(2)251972x x x x x x --=-++=---+=-(4) 12||x x -====常见的一些变形结论：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：222121212()2x x x x x x +=+-，12121211x x x x x x ++=，22121212()()4x x x x x x -=+-，12||x x -=2212121212()x x x x x x x x +=+，33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+等等．韦达定理体现了整体思想．【例4】．已知关于x 的方程220x mx m -+=.（1）若2m =-，方程两根分别为1x ，2x ，求12x x -和3312x x +的值；（2）若方程有一正数，有一负数根，求实数m 的取值范围.【答案】．（14- （2）m <0【解析】（1）由22121212=()4x x x x x x -+-，33212121212()[()3]x x x x x x x x +=++-，借助韦达定理求解.（2）借助韦达定理表示方程有一正数，有一负数根的等价条件，进而求解.【详解】（1）当2m =-时，2222x x +-=即：210x x +-=1212140,1,1x x x x ∆=+>+=-=-因此：2212121212=()45x x x x x x x x -+-=∴-=3322212121212121212()[]()[()3]4x x x x x x x x x x x x x x +=++-=++-=-（2）220x mx m -+=212128,,22m m m m x x x x ∆=-+==21280002m m m m x x ⎧∆=->⎪∴<⎨=<⎪⎩【变式1】已知两不等实数a ，b 满足222a a =-，222b b =-，求22b a a b +的值.【解析】：b a ,是一元二次方程0222=-+x x 的不等实根则有2,2-=-=+ab b a原式=5)(]3))[(()())(()(22222233-=-++=+-+=+ab ab b a b a ab b ab a b a ab b a 【变式2】（2022秋·浙江杭州·八年级杭州外国语学校校考期末）设m 是不小于﹣1的实数，使得关于x 的方程x 2＋2（m ﹣2）x ＋m 2﹣3m ＋3＝0有两个实数根x 1，x 2．(1)若x 21+x 22=2，求m 的值；(2)令T ＝mx 11―x 1＋mx 21―x 2，求T 的取值范围．【答案】(1)1 (2)0<T ≤4且T ≠2【分析】首先根据方程有两个实数根及m 是不小于-1的实数，确定m 的取值范围，根据根与系数的关系，用含m 的代数式表示出两根的和、两根的积．（1）变形x 12+x 22为（x 1+x 2）2-2x 1x 2，代入用含m 表示的两根的和、两根的积得方程，解方程根据m 的取值范围得到m 的值；（2）化简T ，用含m 的式子表示出T ，根据m 的取值范围，得到T 的取值范围．(1)∵关于x 的方程x 2+2（m -2）x +m 2-3m +3=0有两个实数根，∴Δ=4（m -2）2-4（m 2-3m +3）≥0，解得m ≤1，∵m 是不小于-1的实数，∴-1≤m ≤1，∵方程x 2+2（m -2）x +m 2-3m +3=0x 1，x 2，∴x 1+x 2=-2（m -2）=4-2m ，x 1•x 2=m 2-3m +3．∵x 12+x 22=2，∴（x 1+x 2）2-2x 1x 2=2，∴4（m -2）2-2（m 2-3m +3）=2，整理得m 2-5m +4=0，解得m 1=1，m 2=4（舍去），∴m 的值为1；(2)T ＝mx 11―x 1＋mx 21―x 2，=mx 1(1―x 2)+mx 2(1―x 1)(1―x 1)(1―x 2)=m [(x 1+x 2)―2x 1x 2]1―(x 1+x 2)+x 1x 2=m (4―2m ―2m 2+6m ―6)1―4+2m +m 2―3m +3=―2m(m ―1)2m 2―m=―2m(m ―1)2m (m ―1)=2-2m ．∵当x =1时，方程为1＋2（m ﹣2）＋m 2﹣3m ＋3＝0，解得m =1或m =0．∴当m =1或m =0时，T 没有意义．∴―1≤m <1且m ≠0∴0<2-2m ≤4且T ≠2．即0<T ≤4且T ≠2．【变式3】．已知12x x ，是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．（1）是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值，若不存在，请说明理由；（2）若k 是整数，求使12212x x x x +-的值为整数的所有k 的值．【答案】（1）不存在k ；理由见解析；（2）235k =---，，．【详解】（1）假设存在实数k ，使()()12123222x x x x --=-成立．∵一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根∴()()24004441160k k k k k k ≠⎧⎪⇒<⎨∆=--⋅+=-≥⎪⎩，又1x ，2x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根∴1212114x x k x x k +=⎧⎪+⎨=⎪⎩∴()()()()222121212121212222529x x x x x x x x x x x x --=+-=+-939425k k k +=-=-⇒=，但0k < ．∴不存在实数k ，使()()12123222x x x x --=-成立．（2）∵()22212121221121244224411x x x x x x k x x x x x x k k +++-=-=-=-=-++∴要使其值是整数，只需1k +能整除4，∴11k +=±，2±，4±，注意到0k <，要使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值为－2，－3，－5．所以k 的值为235k =---，，【变式4】（2022秋·四川凉山·八年级校考阶段练习）设一元二次方程x 2―2022x +1=0的两根分别为a ，b ，根据一元二次方程根与系数的关系可知：ab =1，记S 1=11+a +11+b ,S 2=11+a2+11+b2,S3=11+a3+11+b3,⋯,S100=11+a100+11+b100，那么S1+S2+S3+⋯+S100=______．【答案】100【分析】根据ab=1得到b=1a ,b2=1a2,b3=1a3,…b100=1a100，代入计算即可．【详解】∵一元二次方程x2―2022x+1=0的两根分别为a，b，∴ab=1，∴b=1a ,b2=1a2,b3=1a3,…b100=1a100，∴S1=11+a+11+1a=11+a+a1+a=1+a1+a=1，S2=11+a2+11+1a2=11+a2+a21+a2=1+a21+a2=1，S100=11+a100+11+1a100=11+a100+a1001+a100=1+a1001+a100=1，∴S1+S2+S3+⋯+S100=1+1+1+…+1100=100，故答案为：100．。
一元二次方程根的判别式及韦达定理常见题型及注意事项
一元二次方程根的判别式及韦达定理常见题型及注意事项一、一元二次方程跟的判别式的常见题型 题型1：不解方程，判断一元二次方程根的情况.6232)3(;0123)2(;0345)1(222x x x x x x =+=++=--题型2：证明一元二次方程根的情况求证：无论k 取何实数，关于x 的一元二次方程：2(1)40x k x k -++-=总有两个不等实根。
题型3：已知一元二次方程根的情况．．，求方程中未知系数的取值范围 1．（ 2011·重庆）已知关于x 的一元二次方程．．．．．．(a －1)x 2－2x +1=0有两个不相等的．．．．．．实数根,则a 的取值范围是( )<2 B,a >2 <2且a ≠1 <－2·变式1：（2010·安徽芜湖）关于x 的方程．．(a －5)x 2－4x －1＝0有实数根．．．．，则a 满足（） A ．a ≥1 B ．a ＞1且a ≠5 C ．a ≥1且a ≠5 D ．a ≠5变式2：（2010 ·成都）若关于x 的一元二次方程2420x x k ++=有两个实数根，求k 的取值范围及k 的非负整数．．．．值.变式3：已知关于x 的一元二次方程(12)10k x --=有两个实数根，求k 的取值范围二、一元二次方程根与系数的关系------韦达定理的常见题型 题型1：已知一元二次方程的一根，求另一根及未知系数k 的值已知2-是方程210x kx ++=的一根，则方程的另一根是 ，k = 。
题型2：求与一元二次方程根有关的代数式的值；1. 已知12,x x 是方程22430x x --=的两根，计算： （1）2212x x +； ⑵1211x x +；⑶212()x x -变式：已知,a b 是方程2201230x x -+=的两实根，求22(20103)(20103)a a b b -+-+的值题型3：已知一元二次方程两根的关系．．．．．，求方程中未知系数的取值 1． 关于x 的一元二次方程22(21)10x k x k +-+-=的两个实根的平方和等于9，求k 的值变式1： （2011·荆州）关于x 的方程0)1(2)13(2=+++-a x a ax 有两个不相等的实根1x 、2x ，且有a x x x x -=+-12211，则a 的值是（ ）A ．1B ．－1C ．1或－1D ． 2变式2：（2010·中山）已知一元二次方程022=+-m x x ．（1）若方程有两个实数根，求m 的范围；（2）若方程的两个实数根为1x ，2x ，且1x +32x =3，求m 的值。
二次方程根公式大全,二次函数两个根的公式推导
二次方程根公式大全，二次函数两个根的公式推导二次方程根公式大全？一元二次方程_31、大多数情况下形式ax²+bx+c=0(a≠0)这当中ax²是二次项，a是二次项系数；bx是一次项；b是一次项系数；c是常数项。
使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。
2、变形式ax²+bx=0(a、b是实数，a≠0)；ax²+c=0(a、c是实数，a≠0)；ax²=0(a是实数，a≠0)。
一元二次方程的根与根的判别式当中有请看下方具体内容关系：（1）当△0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当△=0时，方程有两个相等的实数根；（3）当△0时，方程无实数根，但有2个共轭复根。
(这当中，△=b²-4ac，a、b、c分别是一元二次方程的二次项系数、一次项系数还有常数项。
)二次函数两个根的公式？二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0，a、b、c是常数）中含有两个变量x、y，我们只要先确定这当中一个变量，就可利用剖析解读式得出另一个变量，即得到一组解；而一组解就是一个点的坐标，其实二次函数的图象就是由大量个这样的点构成的图形。
设ax^2+bx+c=0的两根为x1，x2。
由韦达定理：(x1+x2)=-b/a,x1x2=c/a==b=-a(x1+x2)c=ax1x2ax^2+bx+c=ax^2-a(x1+x2)+ax1x2=a(x^2-(x1+x2)x+x1x2)。
由十相乘法字法得：ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)二次函数两根之积的公式：x1x2=c/a （应是一元二次方程两根之积或是说二次函数与x轴交点）其他公式韦达定理：两根之和公式x1+x2=-b/a 两根之积公式x1x2=c/a二次函数的根计算公式？因为二次函数 y=ax²+bx+c与x轴交点的横坐标，就是当y=0时，即求方程ax²+bx+c=0的根则两个根为:x=(-b±√(b²-4ac))/2a。
数学人教版九年级上册根的判别式与韦达定理
• 例1：已知关于x的方程 • x2-（2k-3）x+k2+1=0． （1）当k为何值时，此方程有实数根； （2）若此方程的两个实数根x1、x2满足 |x1|+|x2|=3，求k的值．
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• 例2：已知关于x的一元二次方程 • x2+（m+3）x+m+1=0． （1）求证：无论m取何值，原方程总有两 个不相等的实数根： （2）若x1，x2是原方程的两根，且 • |x1-x2|=2 ，求m的值，并求出此时方程的 两根．
• 练习1：已知关于x的方程x2-（m-2）x- =0． （1）求证：无论m为何值，方程总有两个 不相等实数根． （2）设方程的两实数根为x1，x2，且满足 |x1|=|x2|+2，求m的值和相应的x1，x2．
• 练习2:已知关于x的一元二次方程（x-3） （x-2）=|m|． （1）求证：对于任意实数m，方程总有两 个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是1，求m的值及方程 的另一个根．
根的判别式和韦达定理
• 一、知识平台 • 1、 根的判别式的应用： • △＞0 方程有2个不相等的实数解 • △ =0 方程有2个相等的实数解 • △ ≥0 方程有实数解 • △ ＜0 方程没有实数解
• 2、根与系数的关系 • 定理：如果 一元二次方程的两个根 • 是X1，X2，那么 • X1 +X2= ， X1X2=
根的判别式与韦达定理讲义
7、分别以方程 =0两根的平方为根的方程是（ ）
（A） （B） （C） （D）
二、已知方程 的两根为 、 ，且 > ,求下列各式的值:
（1） =；（2） =；
（3） =；（4） =.
三、选择题：
1、关于 的方程 ＝０有一个正根，一个负根，则 的值是（ ）
（A）0（B）正数（C）－8（D）－4
2、已知方程 =0的两根是 ， ，那么 （）
(A )－7 (B) 3 (C ) 7 (D)－3
7．若方程 有实数根，则[ ]．
8．若方程 有实数根，则[ ]．
（三）综合练习
10．一元二次方程 有两个不相等的实数根，求 的最大整数值．
11. 为何值时，方程 ：
（1）有两个相等的实数根；（2）没有实数根；（3）有两个不相等的实数根．
考点五、根与系数的关系（韦达定理）
⑴前提：对于 而言，当满足① 、② 时，才能用韦达定理。
课题
一元二次方程根的判别式、韦达定理
教学目的
熟练掌握根的判别式的作用，并能够活学活用；
掌握韦达定理的内容，并能够应用定理来解相关题目
教学内容
考点四、根的判别式
根的判别式的作用：①定根的个数；②求待定系数的值；③应用于其它。
典型例题：
例1、若关于 的方程 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是。
例2、关于x的方程 有实数根，则m的取值范围是( )
3、方程 的两根为 ， ，那么 + =， =.
4、如果一元二次方程 的两根互为相反数，那么 =；如果两根互为倒数，那么 =.
5方程 的两个根是2和－4，那么 =， =.
6、已知方程 的两根为 ， ，那么 =.
-二次函数与根的判别式、韦达定理
二次函数与根的判别式、韦达定理讲点1：公共点问题【例1】如图，抛物线y ＝－x 2＋4x －3的顶点为M ，直线y ＝－2x －9与y 轴交于点C ，与直线MO 交于点D ，现将抛物线的顶点在直线OD 上平移，平移后的抛物线与射线CD （含顶点C ）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围．CO DM yx【练】如图，已知抛物线y ＝－x 2＋2x ＋8与x 轴交于点A,B 两点，与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点，直线CD 交x 轴于点E ，过点B 作x 轴的垂线，交直线CD 于点F ，将抛物线沿其对称轴平移，使抛物线与线段EF 总有公共点．试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？FD CE A B O y x讲点2：距离问题【例2】如图，抛物线y ＝a(x －1)2＋4与x 轴交于A,B 两点，与y 轴交于点C ，点D 是抛物线的顶点，已知CD ＝2，在抛物线上共有三个点到直线BC 的距离为m ，求m 的值．CD BAOyx【练】如图，抛物线y ＝ax 2－6ax ＋5a 与x 轴交于A,B 两点（A 左，B 右），若抛物线与直线y ＝2x 的最近点之间的距离为255，求a 的值． yxO B A讲点3：隐藏判别式【例3】如图，点P 是直线l ：y ＝－2x －2上的点，过点P 的另一条直线m 交抛物线y ＝x 2与A,B 两点，试证明：对于直线l 上任意给定的一点P ，在抛物线上都能找到点A ，使得PA ＝AB 成立．PBAO yx【练】如图，已知二次函数y ＝a(x 2－6x ＋8)（a ＞0）的图象与x 轴分别交于点A,B ，与y 轴交于点C ，点D 是抛物线的顶点．当点P 在抛物线对称轴上时，设点P 的纵坐标t 是大于3的常数，试问：是否存在一个正数a ，使得四条线段PA,PB,PC,PD 与一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段能构成平行四边形）？请说明理由．CPDB AO y x讲点4：交点间的距离【例4】已知二次函数y ＝x 2－2mx ＋m 2＋m 的图象与函数y ＝kx ＋1的图象交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）（x 1＜x 2）两点．（1）如图1，当k ＝1，m 取不同值时，猜想AB 的长是否不变？并证明你的猜想；A BxOy（2）如图2，当m ＝0，k 取不同值时，猜想△AOB 的形状，并证明你的猜想．BAyOx【例5】如图，抛物线y ＝x 2－4x ＋5与y 轴交于点C ，过点N （1，2）作直线l ，交抛物线于点P ，交y 轴于点E ，连接PC ，若PE ＝PC ，求直线l 的解析式．lE P CN Oy x【练】如图，抛物线C 1：y ＝x 2＋4x ＋3交x 轴于A,B 两点，交y 轴于点C ，将抛物线C 1沿y 轴翻折得新抛物线C 2，过点C 作直线l 交抛物线C 1于点M ，交抛物线C 2于点N ，若MN ＝82，求直线l 的解析式．A B xyO C三、对称问题【例6】如图，已知抛物线y ＝x 2－2x －3，直线y ＝kx －1与抛物线交于P,Q 两点，且y 轴平分线段PQ ，求k 的值．QPO y x【练】如图，已知抛物线y ＝x 2－4x ＋3，过点D （0，－52）的直线与抛物线交于点M,N ，与x 轴交于点E ，且点M,N 关于点E 对称，求直线MN 的解析式．yxNEMD O四、与面积结合【例7】如图，抛物线y ＝x 2－4x ＋5顶点为M ，平移直线y ＝x 交抛物线于点H,K ，若S △MHK ＝3，求平移后直线的解析式．【课后反馈】1．如图，已知抛物线y ＝x 2－2x －3与x 轴交于A,B 两点，与y 轴交于点C ，将抛物线沿对称轴向上平移k 个单位长度后与线段BC 交于D,E 两个不同的点，求k 的取值范围．E C DB A O yx2．如图，抛物线y ＝ax 2－6ax ＋5a 与x 轴交于A,B 两点（A 左，B 右），若抛物线不通过直线y ＝2x 上方的点，求抛物线顶点纵坐标的取值范围．yxO B A3．如图，抛物线y ＝14x 2＋32x ＋2与x 轴交于A,B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，将抛物线沿直线BC 平移，与射线AC （含点A ）仅有一个公共点，求抛物线顶点横坐标的值或取值范围．CBAOyx4．如图，已知抛物线C ：y ＝x 2－2x ＋4和直线l ：y ＝－2x ＋8，直线y ＝kx （k ＞0）与抛物线C 交于A,B 两点，与直线l 交于点P ，分别过A,B,P 作x 轴的垂线，垂足依次为A 1、B 1、P 1，若11OA ＋11OB ＝1u OP ，求u 的值．A 1B 1P 1B AP O yx5．如图1，抛物线C 1：y ＝x 2＋4x ＋3顶点为M ，抛物线C 2与抛物线C 1开口方向相反，形状相同，顶点为N ，且M,N 关于点P （0，2）对称． （1）求抛物线C 2的解析式；N MPOyx（2）直线y ＝m 交抛物线C 1于点A,B ，交抛物线C 2于点C,D ，若AB ＝2CD ，求m 的值；DCB ANMOyx。
韦达定理和根的判别式
课 题 一元二次方程复习（二）教学目标 掌握两根与系数的关系（韦达定理）、一元二次方程根的判别式 重点、难点两根与系数的关系（韦达定理）、一元二次方程根的判别式的具体运用教学内容1、两根与系数的关系：如果一元二次方程20axbx c ++=的两根分别为x 1、x 2，则有：1212,bc x x x x aa+=-⋅=. 一元二次方程的两根与系数的关系的作用： （1）已知方程的一根，求另一根；（2）不解方程，求二次方程的根x 1、x 2的对称代数式的值，特别注意以下公式：①222121212()2x x x x x x +=+- ※②12121211x x x x x x ++= ※③22121212()()4x x x x x x -=+- ④2121212||()4x x x x x x -=+- ⑤2212121212(||||)()22||x x x x x x x x +=+-+⑥33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+ ⑦其他能用12x x +或12x x 表达的代数式。
（3）已知方程的两根x 1、x 2，可以构造一元二次方程：12212()0x x x x x x -++=（4）已知两数x 1、x 2的和与积，求此两数的问题，可以转化为求一元二次方程12212()0x x x x x x -++= 的两根。
2、一元二次方程根的判别式对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根的判别式是24b ac -：（1） 当240b ac ->时，方程有两个不相等的实数根；（2） 当240b ac -=时，方程有两个相等的实数根； （3）当240b ac -<时，方程无实数根。
温馨提示：若方程有实数根，则有240b ac -≥。
典型例题一、一元二次方程根的判别式例1当m 取什么值时，关于x 的方程0)22()12(222=++++m x m x 。
根的判别式与韦达定理
一元二次方程根的判别式和韦达定理一、根的判别式21.4022.02043.,22ac b b ac b x x a a ⎧⎪≠-∆⎪⎪∆>⎧⎪⎪⎪∆=⎨⎨⎪⎪∆<⎩⎪⎪-±--±∆⎪==⎪⎩22概念：对于一个一元二次方程ax +bx+c=0(a 0)来说，b 称为根的判别式，记为。
时，方程有个不相等的根根的判别式意义：时，方程有个相等的根时，方程没有实数根公式法：解为即为 【典型例题】1.当m 取什么值时，关于x 的方程0)22()12(222=++++m x m x 。
（1）有两个相等实根；（2）有两个不相等的实根； （3）没有实根。
2.当m 为什么值时，关于x 的方程01)1(2)4(22=+++-x m x m 有实根。
3．已知关于x 的方程01)12(22=+-+x k x k 有两个不相等的实数根1x 、2x ，问是否存在实数k ，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由。
【课堂练习】一、填空题：1、下列方程①012=+x ；②02=+x x ；③012=-+x x ；④02=-x x 中，无实根的方程是 。
2、已知关于x 的方程022=+-mx x 有两个相等的实数根，那么m 的值是 。
二、选择题：1、下列方程中，无实数根的是（ ）A 、011=-+-x xB 、 762=+yy C 、021=++x D 、0232=+-x x 2、若关于x 的一元二次方程01)12()2(22=+++-x m x m 有两个不相等的实根，则m 的取值范围是（ ）A 、43<mB 、m ≤43C 、43>m 且m ≠2D 、m ≥43且m ≠2 3、在方程02=++c bx ax （a ≠0）中，若a 与c 异号，则方程（ ）A 、有两个不等实根B 、有两个相等实根C 、没有实根D 、无法确定一、试证：关于x 的方程1)2(2-=+-x m mx 必有实根。
第14讲根的判别式与韦达定理(word版)
第14讲根的判别式与韦达定理模块一一元二次方程根的判别式知识导航式子b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）根的判别式，通常用希腊字母“△”来表示，即△＝b2－4ac．当△＞0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不等的实数根；当△＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根；当△＜0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实数根．计算判别式的值，可以判断一元二次方程根的情况；反之，若一元二次方程有两个不等实数根，则△＞0；若一元二次方程有两个相等实数根，则△＝0；若一元二次方程无实数根，则△＜0.注意：①当△＝0时，方程有两个相等的实根，不能说方程只有一个根②当△≥0时，方程有两个实根（一元二次方程有实根）．例1(1)已知关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0有解，求m的范围．-1x－m＝0有两个不相等实数根，求m的取值范围．(2)己知关于x的一元二次方程x2－m(3)求证：关于x的一元二次方程ax2－(3a＋l)x＋2(a＋l)＝0（a≠0）总有实数根(4)已知关于x的方程ax2－(3a＋l)x＋2(a＋l)＝0有两个不相等的实数根，求a的取值范围(5) （2016武汉元月调考第9题）关于x的方程（m－2）x2＋2x＋1＝0有实数根，求m的取值范围．拓展己知关于x的方程(n－1)x2＋mx＋1＝0有两个相等的实数根，试说明关于y的方程m2y2—2my－m2—2n2＋3＝0的根的情况【总结】1、在处理【例1】和【练1】这类问题时，一定要注意先判断方程类型，若方程类型不确定，则需要分类讨论2、关于方程类型，题目在设问方面会有下列说法：(1)“关于x的一元二次方程有解”则方程一定为一元二次方程．(2)“关于x的方程有两实根”则方程一定为一元二次方程．(3)“关于x的方程有解”则方程类型不确定，需要分类讨论例2(1) 己知a、b、c是三角形三边，求证：关于x的方程(a＋b)x2＋2cx＋（a＋b）＝0无实根．(2) 己知：a、b、c分别是△ABC的三边长，求证：关于x的方程b2x2＋(b2＋c2一a2)x＋c2＝0没有实数根．练习己知△ABC三边a，b，c，关于x的方程(a＋c)x2 ＋2bx－a＋c＝0，x2＋2ax＋b2＝0均有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状．模块二 一元二次方程根与系数关系知识导航：由因式分解法可知，方程（x －x 1）(x －x 2)＝0（x 1，x 2为已知数）的两根为x 1和x 2，将方程化为x 2＋px ＋q ＝0的形式，即x 2一(x 1＋x 2)x ＋ x 1x 2＝0，则二次项系数为1，一次项系数为p ＝－(x 1＋x 2)，q ＝ x 1x 2． 于是，上述方程两个根的和、积与系数的关系分别有如下关系：x 1＋x 2＝－p ， x 1x 2＝q对于一般地一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0，二次项系数a 未必是1．根据求根公式，x 1＝a ac b b 24-2-+， x 2＝aac b b 24-2-- 由此可知，x 1＋x 2＝－a b ， x 1x 2＝ac 这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两根之和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比．例3(1)若x 1，x 2是一元二次方程x 2—5x ＋6＝0的两个根，则x 1＋x 2的值是____(2)一元二次方程x 2—4x －c ＝0的一个根是3，则另一个根是____，c ＝___________(3)若方程x 2－3x 一1＝0的两根为x 1、x 2，则11x ＋21x 的值为____ (4)关于x 的一元二次方程x 2一mx ＋2m －1＝0的两个实数根分别是x 1、x 2，且x 12＋x 22＝7， 则(x 1－x 2)2的值是_____________练习(1)方程x 2—2x －1＝0的两个实数根分别为x 1、x 2，(x 1－l )( x 2－1)＝______________cz ，设x 1、x 2是方程2x 2—6x +l ＝o 的两个实数根，则(x 1－21x )( x 2－11x )的值为__________ 【总结】1、用韦达定理，常见的恒等变形有：11x ＋21x ＝2121x x x x +,x 12＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2,(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 21x x -＝212214)(x x x x -+x 13 ＋x 23＝(x 1 ＋x 2)(x 12＋x 22－x 1x 2)＝(x 1＋x 2)3－3x 1x 2(x 1＋x 2)2、韦达定理只有在两根存在的情况下才成立，故使用韦达定理的前提条件是b 2—4ac ≥0例4已知x 1，x 2是方程x 2—3x ＋l ＝0的两个实数根，则x 12＋x 22＝________________(x 1－2)(x 2－2)＝______________；x 12＋x 1·x 2＋x 22＝_____________,12x x ＋21x x ＝_________ x 1－x 2＝__________, x 12－x 22＝________;11x －21x ＝__________;12x x －21x x ＝___________练习已知x 1，x 2是方程2x 2—3x －5 ＝0的两个根，求下列代数式的值：x 12＋x 22＝__________,12x x ＋21x x ＝_________; 21x x -＝___________ x 12－x 22＝________;12x x －21x x ＝___________,x 12＋3x 22－3x 2＝_________________例5已知关于x 的方程x 2—2(k －l )x ＋k 2＝0有两个实数根x 1，x 2．(1)求k 的取值范围．(2) 若x l ＋x 2 ＝1－x 1x 2，求k 的值．练习关于x 的方程x 2＋2(a －l )x ＋a 2 －7a －4＝0的两根为x 1. x 2，且x 1x 2 －3x l －3x 2 ＋2＝0，求a 的值例6关于一元二次方程x 2 ＋2x ＋k ＋l ＝0的实数解是x l 和x 2．(1)求k 的取值范围；(2)如果x 1＋x 2－x 1x 2＜－1且k 为整数，求k 的值．练习己知关于x 的方程x 2 ＋2(m ＋2)x ＋m 2 －5＝0有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求m 的值．例7己知△ABC 的两边AB 、AC 的长是关于x 的一元二次方程x 2 －(2k ＋3)x ＋k 2 ＋3k ＋2＝0的两个实数根，第三边BC 的长是5．(1)k 为何值时，△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形；(2)k 为何值时，△ABC 是等腰三角形，并求△ABC 的周长．练习在等腰△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，已知a ＝3，b 和c 是关于x 的方程x 2＋mx ＋2－21m ＝0的两个实数根，求△ABC 的周长． 课后作业A 基础巩固1．已知x ＝l 是方程x 2＋bx －2＝0的一个根，则方程的另一个根是( )A .1B ．2C ．－2D ．－12． 已知一元二次方程x 2—4x ＋3＝0两根为x 1,x 2，则x 1·x 2＝( )A .4B ．3C ．－4D .－3 3． 己知关于x 的一元二次方程(1－2k )x 2—21+k x －1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是____．4． 关于x 的方程kx 2 ＋(l －k )x －l ＝0有两个不等实根，则k 的取值范围是____________．5． 关于x 的方程kx 2＋(l －k )x －l ＝0有实根，则k 的取值范围是_______________6． 求证：不论m 为何值时，关于x 的方程x 2一2mx －2m －4＝0总有两个不相等的实根．7． 如果一直角三角形的三边长分别为a ，b ，c ，b 为斜边，求证：关于x 的方程a (x 2 －1)一2cx ＋b (x 2 ＋1)＝0有两个相等的实数根8． 己知x 1，x 2是方程x 2－5x ＋2＝0的两个实数根，则x 12＋x 22＝________________(x 1－2)(x 2－2)＝______________；x 12＋x 1·x 2＋x 22＝_____________,12x x ＋21x x ＝_________ x 1－x 2＝__________, x 12－x 22＝________;11x －21x ＝__________;12x x －21x x ＝___________B 综合训练 9． （2015年汉阳区九上期中）己知关于x 的方程x 2—2(k －l )x ＋k 2＝0有两个实数根x 1，x 2．(1)求k 的取值范围；(2) 若x 1＋x 2＝1－ x 1x 2，求k 的值．10.已知关于x 的一元二次方程mx 2—2x ＋l ＝0．(1)若方程有两个实数根，求m 的范围；(2)若方程的两个实数根为x 1,x 2，且x 1x 2一x 1一x 2＝21，求m 的值 111.己知，关于x 的方程x 2一kx ＋k －1＝0(1)求证：无论k 取何值，方程总有两实数根(2)若等腰△ABC 的一边长为2，另两边为这个方程的两个根，求△ABC 的周长数学故事“石头剪刀布”或能揭示演化策略“石头剪刀布”是游戏中解决争端的常用方式，每人各出剪刀、石头、布中的一种，通过石头砸剪刀、剪刀剪布、布包住石头的规则，可以在两人甚至多人中决出胜负．不过，科学家发现，大自然也用自己的方式玩着类似“石头剪刀布”这样的游戏，数学家和生物学家利用这种方式研究了从人类社会到培养皿中的细菌的各种现象．如今，研究者又发现，当玩家不断改变策略时，三种武器的使用频率会轮流上升与下降，呈现出一种固定的模式．这一发现或许可以帮助我们理解生物在生存之争中是如何维持竞争策略的．一旦应用到生物中来，石头剪刀布就不仅仅是两个小孩子的游戏，而变成多玩家之间的复杂关系了．比方说，某些蜥蜴用来赢得伴侣的策略就有三种：侵略、合作与欺骗，这三种策略就和石头剪刀布一样，有着环状的胜负关系（侵略战胜合作，欺骗战胜侵略，合作战胜欺骗），而对于蜥蜴来说，成功繁衍后代就意味着赢得游戏，在生物的“石头剪刀布”游戏中，通常是大的种群中随机产生一对玩家开始比拼，每个玩家通常都保持一种固定的策略一一即对每一个对手都出同样的姿势（石头、剪刀或者布）．每次对决之后，赢家就增加一个（对应着繁衍后代），使用同样的策略，而输家则消失．对这种模型进行仔细的数学研究以后发现，出石头、剪刀和布的玩家会随着时间波动．随着初始情况中每种策略所占比例不同，整个群体的情况会分别演变成不同的长期行为，比如用石头、剪刀、布的个体各占三分之一，或者一种策略大幅减少另两种上升，过一段时间又反过来，呈现剧烈的周期波动．受到计算机模拟的启发，康奈尔大学的两位数学家Steven Strogatz 和Danielle Toupo 决定研究一下如果玩家中途改变策略会发生什么．“我觉得这个想法很吸引人，就想找到一种最简洁的数学模型来描述它，”Strogatz 说．他们试图回到最基础的原理，寻找纯粹的公式，而非复杂的计算机模拟．Strogatz 和Toupo 修正了“石头剪刀布”方程，允许一些“突变子女”存在，它们所采用的策略和亲代不同．此前的研究者也研究了突变，但一直假设突变是对称的，即每种策略变成其他策略的几率相同，但Strogatz 和To upo 考虑到了其他的模式，比如出石头的玩家可能会生下出布的子女，但反过来则不尽然．每种突变最终都会导致一种循环，即出石头、剪刀和布的玩家数都各自不停地上下波动，循环不息．而更令人惊讶的是，他们还证明哪怕突变率极低甚至接近于0，整个游戏还是会进入这种循环模式，论文发表于本月的《物理评论E 》（Physical ReviewE ）中，只是增加了一点点突变的因素，游戏结果就不再是三种各占三分之一的稳定态或是剧烈波动态了， “我认为该研究最吸引入的一点是，这种‘游戏’在自然界中真的存在，”加州大学圣克鲁兹分校的生态学家BarrySinervo 说，他没有参与这项工作，“哪怕你不是数学家，也会欣赏这一研究．”Sinervo-直在研究加州一种侧斑鬣蜥，该蜥蜴的种群行为也会进入像“石头剪刀布”一样的振荡状态．Sinervo和同事通过野外的长期观察发现，采取侵略、合作和欺骗三种策略的蜥蜴数目有一个6年的变化周期，每一代新的蜥蜴诞生时，主导策略都会变化．Strogatz和Toupo的新研究为Sinervo的工作提供了数学模型，来解释了这种变化周期，“对我来说，这篇论文的有趣之处就在这里．”Sinervo说，由于数学方面的限制，康奈尔大学的研究者还不能证明他们的发现适用于所有的突变模式，但Strogatz说他们预测会如此．研究更广泛的突变模式也可以更进一步地提供数学基础，帮助我们解释自然界这个大剧场里物种策略的兴衰变迁．。
第六课 根的判别式与韦达定理
第六课 根的判别式与韦达定理一、知识点1.一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0〔a ≠0〕根的判别式：2.韦达定理：如果一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0〔a ≠0〕的两个根是12,x x ，那么有： 12x x +=_________ 12x x =_________ 二、例题例1 解关于x 的方程：〔1〕x 2－3x ＋3＝0 〔2〕x 2－2x ＋a ＝0 〔3〕2210mx x ++=例2 方程2560x kx +-=的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．例3 关于x 的方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m 的值．例4 12,x x 是方程2520x x --=两个实数根，求以下式子的值：①1211x x +；②2212x x +；③3312x x +；④()()1211x x --；⑤12x x -例5 两个数的和为4，积为－12，求这两个数．例6 求作一个方程，使它的根是方程2780x x -+=的两根的平方的负倒数.例7 假设关于x 的一元二次方程x 2－x ＋a －4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a 的取值范围．三、练习： 1．填空题：〔1〕假设关于x 的方程mx 2＋ (2m ＋1)x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，那么实数m 的取值范围是 ．〔2〕方程kx 2＋4x －1＝0的两根之和为－2，那么k ＝ ．〔3〕关于x 的方程x 2－ax －3a ＝0的一个根是－2，那么它的另一个根是 ．〔4〕如果a ，b 是方程x 2＋x －1＝0的两个实数根，那么代数式a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3的值是 ． 〔5〕一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x 2－8x ＋7＝0的两根，那么这个直角三角形的斜边长等于 ．2．关于x 的方程x 2－kx －2＝0．〔1〕求证：方程有两个不相等的实数根；〔2〕设方程的两根为x 1和x 2，如果2(x 1＋x 2)＞x 1x 2，求实数k 的取值范围．3．一元二次方程22450x x --=的两个根分别是12,x x ，求以下式子的值：〔1〕12(2)(2)x x ++ 〔2〕3312x x + 〔3〕12x x -4．求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x 2－7x －1＝0各根的相反数．5．假设关于x 的方程x 2＋x ＋a ＝0的一个根大于1，另一根小于1，求实数a 的取值范围．。
求根公式根的判别式韦达定理
求根公式根的判别式韦达定理求根公式、根的判别式和韦达定理都是数学中与多项式方程有关的重要概念。
在代数学和高等数学中，这些定理被广泛应用于求解多项式方程的根以及分析多项式函数的性质。
下面将详细介绍这些定理的原理和应用。
一、求根公式求根公式是一个重要的定理，它告诉我们如何求解一元二次方程和一元三次方程的根。
具体地说，一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知的实数，且a ≠ 0。
根据求根公式，一元二次方程的根可以通过下面的公式来求解：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)同样地，对于一元三次方程ax^3 + bx^2 + cx + d = 0，其中a、b、c、d为已知的实数，且a ≠ 0。
求根公式告诉我们一元三次方程的根可以通过下面的公式来求解：x=r+s+t其中r、s、t为复数，满足下面的条件：r=-b/(3a)+(Δ)^(1/3)/(3a)s=-b/(3a)+(ζΔ)^(1/3)/(3a)t=-b/(3a)-(ζΔ)^(1/3)/(3a)Δ = c^2 - 3bd + 12ad^2 - 4ac^3 - 4b^3dζ=(-1+√3i)/2，即ζ是虚数单位求根公式的应用非常广泛，可以帮助我们求解各种类型的方程，特别是二次方程和三次方程。
通过求根公式，我们可以找到方程的解的表达式。
二、根的判别式根的判别式是用来判断方程的根的条件的一种方法。
对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知的实数，且a ≠ 0。
根据根的判别式，方程的根可以通过下面的判别式来判断：Δ = b^2 - 4ac如果Δ>0，则方程有两个不相等的实根。
如果Δ=0，则方程有两个相等的实根。
如果Δ<0，则方程没有实根，但可以有两个复数根。
根的判别式可以帮助我们快速判断方程的根的数量和性质，从而可以在求解过程中采取不同的计算方法。
三、韦达定理韦达定理是数学中多项式的一个重要定理，它描述了一个多项式的根与系数之间的关系。
二次方程与韦达定理
2.1.1根的判别式我们知道，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），用配方法可以将其变形为2224()24b b acx a a-+=． ① 因为a ≠0，所以，4a 2＞0．于是（1）当b 2－4ac ＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根x 1，2（2）当b 2－4ac ＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根x 1＝x 2＝－2ba；（3）当b 2－4ac ＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边2()2bx a+一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根．由此可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的情况可以由b 2－4ac 来判定，我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．综上所述，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有 （1） 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x 1，2＝2b a-（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－2ba；（3）当Δ＜0时，方程没有实数根． 例1 判定下列关于x 的方程的根的情况（其中a 为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．（1）x 2－3x ＋3＝0； （2）x 2－ax －1＝0； （3） x 2－ax ＋(a －1)＝0； （4）x 2－2x ＋a ＝0． 说明：在第3，4小题中，方程的根的判别式的符号随着a 的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a 的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论．分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题．2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个实数根12b x a -=，22b x a -=，则有1222b bx x a a-+===-；221222(4)444b b ac ac cx x a a a--====． 所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝ca．这一关系也被称为韦达定理． 特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0，若x 1，x 2是其两根，由韦达定理可知x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q ，即 p ＝－(x 1＋x 2)，q ＝x 1·x 2， 所以，方程x 2＋px ＋q ＝0可化为 x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0，由于x 1，x 2是一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两根，所以，x 1，x 2也是一元二次方程x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0．因此有 以两个数x 1，x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0． 例2 已知方程2560x kx +-=的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．例3 已知关于x 的方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m 的值．例4 已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数． 例5 若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根． （1）求| x 1－x 2|的值；（2）求221211x x +的值；（3）x 13＋x 23．例6 若关于x 的一元二次方程x 2－x ＋a －4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a 的取值范围．练 习1．选择题：（1）方程2230x k -+=的根的情况是 （ ） （A ）有一个实数根 （B ）有两个不相等的实数根（C ）有两个相等的实数根 （D ）没有实数根（2）若关于x 的方程mx 2＋ (2m ＋1)x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）（A ）m ＜14 （B ）m ＞－14（C ）m ＜14，且m ≠0 （D ）m ＞－14，且m ≠0 2．填空:（1）若方程x 2－3x －1＝0的两根分别是x 1和x 2，则1211x x +＝ ． （2）方程mx 2＋x －2m ＝0（m ≠0）的根的情况是 ．（3）以－3和1为根的一元二次方程是 ． 3|1|0b -=，当k 取何值时，方程kx 2＋ax ＋b ＝0有两个不相等的实数根？4．已知方程x 2－3x －1＝0的两根为x 1和x 2，求(x 1－3)( x 2－3)的值．习题2.11．选择题:（1）已知关于x 的方程x 2＋kx －2＝0的一个根是1，则它的另一个根是（ ）（A ）－3 （B ）3 （C ）－2 （D ）2 （2）下列四个说法：①方程x 2＋2x －7＝0的两根之和为－2，两根之积为－7；②方程x 2－2x ＋7＝0的两根之和为－2，两根之积为7；③方程3 x 2－7＝0的两根之和为0，两根之积为73-；④方程3 x 2＋2x ＝0的两根之和为－2，两根之积为0．其中正确说法的个数是 （ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个（3）关于x 的一元二次方程ax 2－5x ＋a 2＋a ＝0的一个根是0，则a 的值是（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）－1 （D ）0，或－12．填空: （1）方程kx 2＋4x －1＝0的两根之和为－2，则k ＝ ． （2）方程2x 2－x －4＝0的两根为α，β，则α2＋β2＝ ． （3）已知关于x 的方程x 2－ax －3a ＝0的一个根是－2，则它的另一个根是 ． （4）方程2x 2＋2x －1＝0的两根为x 1和x 2，则| x 1－x 2|＝ ．3．试判定当m 取何值时，关于x 的一元二次方程m 2x 2－(2m ＋1) x ＋1＝0有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？4．求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x 2－7x －1＝0各根的相反数．。
一元二次方程根的判别式.韦达定理
新方法一元二次方的应用及根的判别式、韦达定理讲义中考要求知识点睛一、根的判别式1.一元二次方程根的判别式的定义：运用配方法解一元二次方程过程中得到 2224()24b b ac x a a -+=，显然只有当240b ac -≥时，才能直接开平方得：2b x a += 也就是说，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠只有当系数a 、b 、c 满足条件240b ac ∆=-≥时才有实数根．这里24b ac -叫做一元二次方程根的判别式．2.判别式与根的关系：在实数范围内，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况(是否有实数根)由24b ac ∆=-确定．判别式：设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-则①0∆>⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根1,2x =．②0∆=⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122bx x a==-．③0∆<⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根．若a ，b ，c 为有理数，且∆为完全平方式，则方程的解为有理根；若∆为完全平方式，同时b -2a 的整数倍，则方程的根为整数根．说明: (1)用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值:上述判定方法也可以反过来使用，当方程有两个不相等的实数根时，0∆>;有两个相等的实数根时，0∆=;没有实数根时，0∆<．(2)在解一元二次方程时，一般情况下，首先要运用根的判别式24b ac ∆=-判定方程的根的情况(有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，无实数根)．当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根(二重根)，不能说方程只有一个根． ① 当0a >时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；② 当0a <时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点．3.一元二次方程的根的判别式的应用：2一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用： （1）运用判别式，判定方程实数根的个数；（2）利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围； （3）通过判别式，证明与方程相关的代数问题；（4）借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题，最值问题．二、韦达定理如果一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠）的两根为12x x ，，那么，就有()()212ax bx c a x x x x ++=--比较等式两边对应项的系数，得1212b x x a c x x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=⋅⎪⎩①，② ①式与②式也可以运用求根公式得到．人们把公式①与②称之为韦达定理，即根与系数的关系． 因此，给定一元二次方程20ax bx c ++=就一定有①与②式成立．反过来，如果有两数1x ，2x 满足①与②，那么这两数12x x ，必是一个一元二次方程20ax bx c ++=的根．利用这一基本知识常可以简捷地处理问题．利用根与系数的关系，我们可以不求方程20ax bx c ++=的根，而知其根的正、负性．在24b ac ∆=-≥0的条件下，我们有如下结论：当0c a <时，方程的两根必一正一负．若0b a -≥，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若0ba -<，则此方程的正根小于负根的绝对值． 当0c a >时，方程的两根同正或同负．若0b a ->，则此方程的两根均为正根；若0ba -<，则此方程的两根均为负根．⑴ 韦达定理：如果20(0)ax bx c a ++=≠的两根是1x ，2x ，则12b x x a +=-，12cx x a=．(隐含的条件：0∆≥)⑵ 若1x ，2x 是20(0)ax bx c a ++=≠的两根(其中12x x ≥)，且m 为实数，当0∆≥时，一般地： ① 121()()0x m x m x m --<⇔>，2x m <② 12()()0x m x m -->且12()()0x m x m -+->1x m ⇔>，2x m > ③ 12()()0x m x m -->且12()()0x m x m -+-<1x m ⇔<，2x m <特殊地：当0m =时，上述就转化为20(0)ax bx c a ++=≠有两异根、两正根、两负根的条件． ⑶ 以两个数12,x x 为根的一元二次方程(二次项系数为1)是：21212()0x x x x x x -++=． ⑷ 其他：① 若有理系数一元二次方程有一根a b +a b a ，b 为有理数)． ② 若0ac <，则方程20(0)ax bx c a ++=≠必有实数根． ③ 若0ac >，方程20(0)ax bx c a ++=≠不一定有实数根． ④ 若0a b c ++=，则20(0)ax bx c a ++=≠必有一根1x =． ⑤ 若0a b c -+=，则20(0)ax bx c a ++=≠必有一根1x =-． ⑸ 韦达定理主要应用于以下几个方面：① 已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； ② 已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； ③ 已知方程的两根，求作方程； ④ 结合根的判别式，讨论根的符号特征；⑤ 逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理；⑤ 利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的∆．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱．重、难点1. 转化思想的渗透2. 对根的判别式的理解例题精讲一、判断方程根的情况【例1】 不解方程，判别下列方程的根的情况：（1）22340x x +-=；（2）216924y y +=；（3）()25170x x +-=。
根的判别式和韦达定理(教案)
（2）韦达定理的掌握和运用：韦达定理描述了一元二次方程根与系数之间的关系，即x1+x2=-b/a，x1x2=c/a。教师应强调韦达定理的记忆和应用，通过实际例题让学生学会运用韦达定理求解一元二次方程的根。
举例：方程x^2-3x-4=0，根据韦达定理，x1+x2=-(-3)/1=3，x1x2=(-4)/1=-4。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了根的判别式和韦达定理的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对这两个数学工具的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决一元二次方程相关问题时能够灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）根的判别式的理解和应用：本节课的核心内容是根的判别式Δ=b^2-4ac，以及其与一元二次方程根的关系。教师应重点讲解判别式的三种情况，并通过实例让学生掌握如何利用判别式判断一元二次方程的根的性质。
举例：方程x^2-5x+6=0，判别式Δ=(-5)^2-4×1×6=25-24=1>0，因此方程有两个不相等的实数根。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调根的判别式的推导和韦达定理的应用这两个重点。对于难点部分，我会通过实际例题和图示来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与根的判别式和韦达定理相关的实际问题。
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一元二次方的应用及根的判别式、韦达定理一、根的判别式1.一元二次方程根的判别式的定义：运用配方法解一元二次方程过程中得到 2224()24b b acx a a -+=，显然只有当240b ac -≥时，才能直接开平方得：22424b b acx a a -+=± 也就是说，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠只有当系数a 、b 、c 满足条件240b ac ∆=-≥时才有实数根．这里24b ac -叫做一元二次方程根的判别式．2.判别式与根的关系：在实数范围内，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况(是否有实数根)由24b ac ∆=-确定．判别式：设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-则①0∆>⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根21,24b b acx -±-=．②0∆=⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122bx x a==-．③0∆<⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根．若a ，b ，c 为有理数，且∆为完全平方式，则方程的解为有理根；若∆为完全平方式，同时24b b ac --2a 的整数倍，则方程的根为整数根．说明: (1)用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值:上述判定方法也可以反过来使用，当方程有两个不相等的实数根时，0∆>;有两个相等的实数根时，0∆=;没有实数根时，0∆<．(2)在解一元二次方程时，一般情况下，首先要运用根的判别式24b ac ∆=-判定方程的根的情况(有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，无实数根)．当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根(二重根)，不能说方程只有一个根． ① 当0a >时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点； ② 当0a <时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点．3.一元二次方程的根的判别式的应用：一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用： （1）运用判别式，判定方程实数根的个数；（2）利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围； （3）通过判别式，证明与方程相关的代数问题；（4）借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题，最值问题．二、韦达定理如果一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠）的两根为12x x ，，那么，就有 ()()212ax bx c a x x x x ++=--比较等式两边对应项的系数，得1212b x x ac x x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=⋅⎪⎩①，② ①式与②式也可以运用求根公式得到．人们把公式①与②称之为韦达定理，即根与系数的关系．因此，给定一元二次方程20ax bx c ++=就一定有①与②式成立．反过来，如果有两数1x ，2x 满足①与②，那么这两数12x x ，必是一个一元二次方程20ax bx c ++=的根．利用这一基本知识常可以简捷地处理问题．利用根与系数的关系，我们可以不求方程20ax bx c ++=的根，而知其根的正、负性． 在24b ac ∆=-≥0的条件下，我们有如下结论： 当0c a <时，方程的两根必一正一负．若0b a -≥，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若0ba-<，则此方程的正根小于负根的绝对值． 当0c a >时，方程的两根同正或同负．若0b a ->，则此方程的两根均为正根；若0ba -<，则此方程的两根均为负根．⑴ 韦达定理：如果20(0)ax bx c a ++=≠的两根是1x ，2x ，则12b x x a +=-，12cx x a=．(隐含的条件：0∆≥)⑵ 若1x ，2x 是20(0)ax bx c a ++=≠的两根(其中12x x ≥)，且m 为实数，当0∆≥时，一般地： ① 121()()0x m x m x m --<⇔>，2x m <② 12()()0x m x m -->且12()()0x m x m -+->1x m ⇔>，2x m > ③ 12()()0x m x m -->且12()()0x m x m -+-<1x m ⇔<，2x m <特殊地：当0m =时，上述就转化为20(0)ax bx c a ++=≠有两异根、两正根、两负根的条件． ⑶ 以两个数12,x x 为根的一元二次方程(二次项系数为1)是：21212()0x x x x x x -++=． ⑷ 其他：① 若有理系数一元二次方程有一根a b +a b a ，b 为有理数)． ② 若0ac <，则方程20(0)ax bx c a ++=≠必有实数根． ③ 若0ac >，方程20(0)ax bx c a ++=≠不一定有实数根． ④ 若0a b c ++=，则20(0)ax bx c a ++=≠必有一根1x =．⑤ 若0a b c -+=，则20(0)ax bx c a ++=≠必有一根1x =-． ⑸ 韦达定理主要应用于以下几个方面：① 已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； ② 已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； ③ 已知方程的两根，求作方程；④ 结合根的判别式，讨论根的符号特征；⑤ 逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理；⑤ 利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的∆．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱．例题一、判断方程根的情况【例1】 不解方程，判别下列方程的根的情况：（1）22340x x +-=；（2）216924y y +=；（3）()25170x x +-=。
【例2】 不解方程，判别方程22220x kx k ++=的根的情况。
【例3】 解关于x 的方程()21230m x mx m -+++=【例4】 已知关于x 的方程2(1)10n x mx -++=①有两个相等的实数根．求证：关于y 的一元二次方程222440m y my m n --+=②必有两个相等的实数根．【巩固】已知0a >，b a c >+，判断关于x 的方程20ax bx c ++=的根的情况，并给出必要的说明.【巩固】(1998年山东省竞赛)设a 、b 、c 为互不相等的非零实数，求证：三个方程220ax bx c ++=， 220bx cx a ++=， 220cx ax b ++=，不可能都有2个相等的实数根．二、应用题【例5】 （2006·湛江市）近年来，我市开展以“四通五改六进村”为载体，以生态文明为主要特色的新农村建设活动取得了明显成效．下面是市委领导和市民的一段对话，请你根据对话内容，替市领导回答市民提出的问题（结果精确到%）．领导市民【巩固】 （2006·新疆）2004年，自治区党委、人民政府决定在乌鲁木齐、库尔勒等八个城市开办区内初中班，重点招收农牧民子女及其他家庭贫困的学生．某市2004年9月招收区内初中班学生全市一共有13233个自然村，2005年已建成生态文明村2315个，计划到2007年全市生态文明村数要达到自然村总数的%领导，按这个计划，从2005年到2007年，平均每年生态文明村增长率约是多少？50名，并计划在2006年9月招生结束后，使区内初中班三年招生总人数．．．．．．．达到450名．若该市区内初中班招生人数平均每年比上年的增长率相同，求这个增长率．【例6】（2006·重庆市）机械加工需要拥有进行润滑以减少摩擦，某企业加工一台大型机械设备润滑用油90千克，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台大型机械设备的实际耗油量为36千克.为了建设节约型社会，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际耗油量进行攻关.（1）甲车间通过技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量下降到70千克，用油的重复利用率仍然为60%.问甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗油量是多少千克？（2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新的基础上，润滑用油量每减少1千克，用油量的重复利用率将增加%. 这样乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到12千克. 问乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量是多少千克?用油的重复利用率是多少？【例7】（2006·南安）某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件．（1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？（2）设后来该商品每件降价x元，，商场一天可获利润y元．①若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？②求出y与x之间的函数关系式，并通过画该函数图像的草图，观察其图像的变化趋势，结合题意写出当x取何值时，商场获利润不少于2160元？【例8】（2006·诸暨市）有一根竹竿, 不知道它有多长. 把竹竿横放在一扇门前, 竹竿长比门宽多4尺; 把竹竿竖放在这扇门前, 竹竿长比门的高度多2尺; 把竹竿斜放, 竹竿长正好和门的对角线等长. 问竹竿长几尺?【例9】（2006·广东省）将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．(1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?(2)两个正方形的面积之和可能等于212cm吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．三、韦达定理【例10】 (2006·广安市)已知:ABC ∆的两边AB 、AC 的长是关于x 的一元二次方程()2223320x k x k k ++++=-的两个实数根, 第三边BC 的长为5. 试问:k 取何值时,ABC ∆是以BC 为斜边的直角三角形?【例11】 已知关于x 的一元二次方程()2120x m x m --++=.(1)若方程有两个相等的实数根，求m 的值；(2)若方程的两实数根之积等于292m m -+6m +【巩固】 已知关于x 的方程222(1)30x m x m -++-=（1）当m 取何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）设1x 、2x 是方程的两根，且21212()()120x x x x +-+-=，求m 的值。