二次函数与根的判别式韦达定理

二次函数与根的判别式、韦达定理讲点1：公共点问题

【例1】如图，抛物线y＝－x2＋4x－3的顶点为M，直线y＝－2x－9与y轴交于点C，与直线MO交于点D，现将抛物线的顶点在直线OD上平移，平移后的抛物线与射线CD（含顶点C）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围．

【练】如图，已知抛物线y＝－x2＋2x＋8与x轴交于点A,B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，直线CD交x轴于点E，过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，将抛物线沿其对称轴平移，使抛物线与线段EF总有公共点．试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？

讲点2：距离问题

【例2】如图，抛物线y＝a(x－1)2＋4与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C，点D

，在抛物线上共有三个点到直线BC的距离为m，求m

是抛物线的顶点，已知CD

的值．

【练】如图，抛物线y＝ax2－6ax＋5a与x轴交于A,B两点（A左，B右），若抛物

线与直线y＝2x的最近点之间的距离为，求a的值．

讲点3：隐藏判别式

【例3】如图，点P是直线l：y＝－2x－2上的点，过点P的另一条直线m交抛物线y＝x2与A,B两点，试证明：对于直线l上任意给定的一点P，在抛物线上都能找到点A，使得PA＝AB成立．

【练】如图，已知二次函数y＝a(x2－6x＋8)（a＞0）的图象与x轴分别交于点A,B，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．当点P在抛物线对称轴上时，设点P的纵坐标t是大于3的常数，试问：是否存在一个正数a，使得四条线段PA,PB,PC,PD

与一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段能构成平行四边形）？请说明理由．

讲点4：交点间的距离

【例4】已知二次函数y＝x2－2mx＋m2＋m的图象与函数y＝kx＋1的图象交于A（x

1

，

y

1），B（x

2

，y

2

）（x

1

＜x

2

）两点．

（1）如图1，当k＝1，m取不同值时，猜想AB的长是否不变？并证明你的猜想；（2）如图2，当m＝0，k取不同值时，猜想△AOB的形状，并证明你的猜想．

【例5】如图，抛物线y＝x2－4x＋5与y轴交于点C，过点N（1，2）作直线l，交抛物线于点P，交y轴于点E，连接PC，若PE＝PC，求直线l的解析式．

【练】如图，抛物线C

1

：y＝x2＋4x＋3交x轴于A,B两点，交y轴于点C，将抛物

线C

1沿y轴翻折得新抛物线C

2

，过点C作直线l交抛物线C

1

于点M，交抛物线C

2

于

点N，若MN＝，求直线l的解析式．三、对称问题

【例6】如图，已知抛物线y＝x2－2x－3，直线y＝kx－1与抛物线交于P,Q两点，

且y轴平分线段PQ，求k的值．

【练】如图，已知抛物线y＝x2－4x＋3，过点D（0，－5

2

）的直线与抛物线交于点M,N，与x轴交于点E，且点M,N关于点E对称，求直线MN的解析式．

四、与面积结合

【例7】如图，抛物线y＝x2－4x＋5顶点为M，平移直线y＝x交抛物线于点H,K，

若S

△MHK

＝3，求平移后直线的解析式．

【课后反馈】

1．如图，已知抛物线y＝x2－2x－3与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C，将抛物线沿对称轴向上平移k个单位长度后与线段BC交于D,E两个不同的点，求k的取值范围．

2．如图，抛物线y＝ax2－6ax＋5a与x轴交于A,B两点（A左，B右），若抛物线不通过直线y＝2x上方的点，求抛物线顶点纵坐标的取值范围．

3．如图，抛物线y＝1

4x2＋3

2

x＋2与x轴交于A,B两点（点A在点B的左边），与y

轴交于点C，将抛物线沿直线BC平移，与射线AC（含点A）仅有一个公共点，求抛物线顶点横坐标的值或取值范围．

4．如图，已知抛物线C：y＝x2－2x＋4和直线l：y＝－2x＋8，直线y＝kx（k＞0）与抛物线C交于A,B两点，与直线l交于点P，分别过A,B,P作x轴的垂线，垂足

依次为A

1、B

1

、P

1

，若

1

1

OA

＋

1

1

OB

＝

1

u

OP

，求u的值．

5．如图1，抛物线C

1：y＝x2＋4x＋3顶点为M，抛物线C

2

与抛物线C

1

开口方向相反，

形状相同，顶点为N，且M,N关于点P（0，2）对称．

（1）求抛物线C

2

的解析式；

（2）直线y＝m交抛物线C

1于点A,B，交抛物线C

2

于点C,D，若AB＝2CD，求m的值；