二次函数与根的判别式韦达定理

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一元二次方程判别式和韦达定理

一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1.根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆.（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.k x k x x 有实根，求方程已知关于0132=--a x a x a x 为一元二次方程，求方程已知关于03)2(2=++-数根？）方程有两个不等的实（数根？）方程有两个相等的实（？）方程只有一个实数根（为何值时，当的方程例：已知关于32101)1(2)2(2m m x m x m x =++---的值。

求没有实数根求的值。

有两个相等的实数根，，有两个不相等的实数根的一元二次方程关于为整数、已知n m n x m x n x m x n x m x x n m ,01)4(06)4(03)7(,,2222=++--=++++=++-+2.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0. 根与系数的关系（韦达定理）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅-=+acx x a bx x 2121常见变形：2212x x += 1211x x +=12(5)(5)x x -- =12||x x -==+3231x x例1、若1x 和2x 分别是一元二次方程03522=-+x x 的两根．（1）求12||x x -（2）求221211x x +（3）求3231x x +变式训练1、212,046x x m x x x 有两个实数根的一元二次方程已知关于=++-（1）的取值范围求m（2）的值求满足若m x x x x ,23,2121+=例2、设12,x x 是方程20x px q ++=的两实根，121,1x x ++是关于x 的方程20x qx p ++=的两实根，则p = ，q = ．变式训练1、。

第三讲一元二次方程根的判别式与韦达定理(精讲)(解析版)

2023年初高中衔接素养提升专题讲义第三讲一元二次方程根的判别式与韦达定理（精讲）（解析版）【知识点透析】1、一元二次根的判别式一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a -+=，把24b ac -叫做一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，表示为：24b ac∆=-(1) 当Δ=240b ac ->时，方程有两个不相等的实数根：x =(2) 当Δ=240b ac -=时，因此，方程有两个相等的实数根：1,22b x a=-(3) 当Δ=240b ac -<时，因此，方程没有实数根．【知识点精讲】【例1】已知关于x 的一元二次方程2320x x k -+=，根据下列条件，分别求出k 的范围：(1) 方程有两个不相等的实数根；(2) 方程有两个相等的实数根(3)方程有实数根；(4) 方程无实数根．【解析】：2(2)43412k k ∆=--⨯⨯=-(1) 141203k k ->⇒<；(2) 141203k k -=⇒=；(3) 141203k k -≥⇒≥；(4) 141203k k -<⇒<．【变式1】（（2022秋·重庆开州·八年级统考期中）使得关于x 的不等式组6x ―a ≥―10―1+12x <―18x +32有且只有4个整数解，且关于x 的一元二次方程(a ―5)x 2+4x +1=0有实数根的所有整数a 的值之和为（）A ．35B ．30C ．26D ．21【答案】B【分析】先求出不等式组的解集，根据有且只有4个整数解可确定a 的取值范围，再通过根的判别式确定a 的取值范围，最后结合两个取值范围找出满足条件的整数相加即可．【详解】解：整理不等式组得：6x ―a ≥―10①―8+4x <―x +12②由①得：x ≥a ―106，由②得：x<4∵不等式组有且只有4个整数解，∴不等式组的4个整数解是：3，2，1，0，∴―1<a―106≤0，解得：4<a≤10，∵(a―5)x2+4x+1=0有实数根，∴Δ=b2―4ac=16―4×(a―5)×1=36―4a≥0,解得：a≤9，∵方程(a―5)x2+4x+1=0是一元二次方程，∴a≠5∴4<a≤9，且a≠5，满足条件的整数有：6、7、8、9；∴6+7+8+9=30，故选：B．【变式2】．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（2k+1）x+4（k―12）＝0．（1）求证：这个方程总有两个实数根；（2）若等腰△ABC的一边长a＝4b、c恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC 的周长．【解答】（1）证明：Δ＝（2k+1）2﹣4×1×4（k―12）＝4k2﹣12k+9＝（2k﹣3）2，∵无论k取什么实数值，（2k﹣3）2≥0，∴△≥0，∴无论k取什么实数值，方程总有实数根；（2）解：∵x=2k+1±(2k―3)2，∴x1＝2k﹣1，x2＝2，∵b，c恰好是这个方程的两个实数根，设b＝2k﹣1，c＝2，当a 、b 为腰，则a ＝b ＝4，即2k ﹣1＝4，解得k =52，此时三角形的周长＝4+4+2＝10；当b 、c 为腰时，b ＝c ＝2，此时b +c ＝a ，故此种情况不存在．综上所述，△ABC 的周长为10．【例2】已知实数x 、y 满足22210x y xy x y +-+-+=，试求x 、y 的值．【解析】：可以把所给方程看作为关于x 的方程，整理得：22(2)10x y x y y --+-+=由于x 是实数，所以上述方程有实数根，因此：222[(2)]4(1)300y y y y y ∆=----+=-≥⇒=，代入原方程得：22101x x x ++=⇒=-．综上知：1,0x y =-=【变式1】（2022秋·湖北武汉·八年级武汉市第一初级中学校考期末）已知a ，b ，c 满足a 2+6b =7，b 2―2c =―1，c 2―2a =―17，则a ―b +c 的值为（）A ．―1B ．5C ．6D ．―7【答案】B【分析】首先把a 2+6b =7，b 2―2c =―1，c 2―2a =―17，两边相加整理成a 2+6b +b 2―2c +c 2―2a +11=0，分解因式，利用非负数的性质得出a 、b 、c 的数值，代入求得答案即可．【详解】解：∵a 2+6b =7，b 2―2c =―1，c 2―2a =―17，∴a 2+6b +b 2―2c +c 2―2a =―，∴a 2+6b +b 2―2c +c 2―2a +11=0∴(a ―1)2+(b +3)2+(c ―1)2=0，∴a =1，b =―3，c =1，∴a ―b +c =1+3+1=5．故选：B ．【变式2】（（2022秋·江苏扬州·八年级统考期中）新定义，若关于x 的一元二次方程：m (x ―a )2+b =0与n (x ―a )2+b =0，称为“同类方程”．如2(x ―1)2+3=0与6(x ―1)2+3=0是“同类方程”．现有关于x 的一元二次方程：2(x ―1)2+1=0与(a +6)x 2―(b +8)x +6=0是“同类方程”．那么代数式ax 2+bx +2022能取的最大值是_________．【答案】2023【分析】根据“同类方程”的定义，可得出a ，b 的值，从而解得代数式的最大值．【详解】∵2(x ―1)2+1=0与(a +6)x 2―(b +8)x +6=0是“同类方程”，∴(a +6)x 2―(b +8)x +6=(a +6)(x ―1)2+1，∴(a +6)x 2―(b +8)x +6=(a +6)x 2―2(a +6)x +a +7，∴b +8=2(a +6)6=a +7 ，解得：a =―1b =2，∴a x 2+bx +2022=―x 2+2x +2022=―(x ―1)2+2023∴当x =1时，a x 2+bx +2022取得最大值为2023．故答案为：2023．2、一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为：x x ==所以：12b x x a+==-，12244ac c x x a a⋅====韦达定理：如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ，那么：1212,b c x x x x a a+=-=【知识点精讲】【例3】若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +；(2) 1211x x +；(3) 12(5)(5)x x --；(4) 12||x x -．【解析】：由题意，根据根与系数的关系得：12122,2007x x x x +=-=-(1) 2222121212()2(2)2(2007)4018x x x x x x +=+-=---=(2) 121212112220072007x x x x x x +-+===-(3) 121212(5)(5)5()2520075(2)251972x x x x x x --=-++=---+=-(4) 12||x x -====常见的一些变形结论：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：222121212()2x x x x x x +=+-，12121211x x x x x x ++=，22121212()()4x x x x x x -=+-，12||x x -=2212121212()x x x x x x x x +=+，33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+等等．韦达定理体现了整体思想．【例4】．已知关于x 的方程220x mx m -+=.（1）若2m =-，方程两根分别为1x ，2x ，求12x x -和3312x x +的值；（2）若方程有一正数，有一负数根，求实数m 的取值范围.【答案】．（14- （2）m <0【解析】（1）由22121212=()4x x x x x x -+-，33212121212()[()3]x x x x x x x x +=++-，借助韦达定理求解.（2）借助韦达定理表示方程有一正数，有一负数根的等价条件，进而求解.【详解】（1）当2m =-时，2222x x +-=即：210x x +-=1212140,1,1x x x x ∆=+>+=-=-因此：2212121212=()45x x x x x x x x -+-=∴-=3322212121212121212()[]()[()3]4x x x x x x x x x x x x x x +=++-=++-=-（2）220x mx m -+=212128,,22m m m m x x x x ∆=-+==21280002m m m m x x ⎧∆=->⎪∴<⎨=<⎪⎩【变式1】已知两不等实数a ，b 满足222a a =-，222b b =-，求22b a a b +的值.【解析】：b a ,是一元二次方程0222=-+x x 的不等实根则有2,2-=-=+ab b a原式=5)(]3))[(()())(()(22222233-=-++=+-+=+ab ab b a b a ab b ab a b a ab b a 【变式2】（2022秋·浙江杭州·八年级杭州外国语学校校考期末）设m 是不小于﹣1的实数，使得关于x 的方程x 2＋2（m ﹣2）x ＋m 2﹣3m ＋3＝0有两个实数根x 1，x 2．(1)若x 21+x 22=2，求m 的值；(2)令T ＝mx 11―x 1＋mx 21―x 2，求T 的取值范围．【答案】(1)1 (2)0<T ≤4且T ≠2【分析】首先根据方程有两个实数根及m 是不小于-1的实数，确定m 的取值范围，根据根与系数的关系，用含m 的代数式表示出两根的和、两根的积．（1）变形x 12+x 22为（x 1+x 2）2-2x 1x 2，代入用含m 表示的两根的和、两根的积得方程，解方程根据m 的取值范围得到m 的值；（2）化简T ，用含m 的式子表示出T ，根据m 的取值范围，得到T 的取值范围．(1)∵关于x 的方程x 2+2（m -2）x +m 2-3m +3=0有两个实数根，∴Δ=4（m -2）2-4（m 2-3m +3）≥0，解得m ≤1，∵m 是不小于-1的实数，∴-1≤m ≤1，∵方程x 2+2（m -2）x +m 2-3m +3=0x 1，x 2，∴x 1+x 2=-2（m -2）=4-2m ，x 1•x 2=m 2-3m +3．∵x 12+x 22=2，∴（x 1+x 2）2-2x 1x 2=2，∴4（m -2）2-2（m 2-3m +3）=2，整理得m 2-5m +4=0，解得m 1=1，m 2=4（舍去），∴m 的值为1；(2)T ＝mx 11―x 1＋mx 21―x 2，=mx 1(1―x 2)+mx 2(1―x 1)(1―x 1)(1―x 2)=m [(x 1+x 2)―2x 1x 2]1―(x 1+x 2)+x 1x 2=m (4―2m ―2m 2+6m ―6)1―4+2m +m 2―3m +3=―2m(m ―1)2m 2―m=―2m(m ―1)2m (m ―1)=2-2m ．∵当x =1时，方程为1＋2（m ﹣2）＋m 2﹣3m ＋3＝0，解得m =1或m =0．∴当m =1或m =0时，T 没有意义．∴―1≤m <1且m ≠0∴0<2-2m ≤4且T ≠2．即0<T ≤4且T ≠2．【变式3】．已知12x x ，是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．（1）是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值，若不存在，请说明理由；（2）若k 是整数，求使12212x x x x +-的值为整数的所有k 的值．【答案】（1）不存在k ；理由见解析；（2）235k =---，，．【详解】（1）假设存在实数k ，使()()12123222x x x x --=-成立．∵一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根∴()()24004441160k k k k k k ≠⎧⎪⇒<⎨∆=--⋅+=-≥⎪⎩，又1x ，2x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根∴1212114x x k x x k +=⎧⎪+⎨=⎪⎩∴()()()()222121212121212222529x x x x x x x x x x x x --=+-=+-939425k k k +=-=-⇒=，但0k < ．∴不存在实数k ，使()()12123222x x x x --=-成立．（2）∵()22212121221121244224411x x x x x x k x x x x x x k k +++-=-=-=-=-++∴要使其值是整数，只需1k +能整除4，∴11k +=±，2±，4±，注意到0k <，要使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值为－2，－3，－5．所以k 的值为235k =---，，【变式4】（2022秋·四川凉山·八年级校考阶段练习）设一元二次方程x 2―2022x +1=0的两根分别为a ，b ，根据一元二次方程根与系数的关系可知：ab =1，记S 1=11+a +11+b ,S 2=11+a2+11+b2,S3=11+a3+11+b3,⋯,S100=11+a100+11+b100，那么S1+S2+S3+⋯+S100=______．【答案】100【分析】根据ab=1得到b=1a ,b2=1a2,b3=1a3,…b100=1a100，代入计算即可．【详解】∵一元二次方程x2―2022x+1=0的两根分别为a，b，∴ab=1，∴b=1a ,b2=1a2,b3=1a3,…b100=1a100，∴S1=11+a+11+1a=11+a+a1+a=1+a1+a=1，S2=11+a2+11+1a2=11+a2+a21+a2=1+a21+a2=1，S100=11+a100+11+1a100=11+a100+a1001+a100=1+a1001+a100=1，∴S1+S2+S3+⋯+S100=1+1+1+…+1100=100，故答案为：100．。

韦达与根的判别式

韦达与根的判别式根（root ）是一元整式方程的解的别称。

阿拉伯人阿尔．花拉子米（783-850）在公元820年左右出版了《代数学》一书。

书中给出了一元二次方程的求根公式，并把方程的未知数叫做“根”，其后译成拉丁文radix 。

花拉子米在数学史上地位很高，他的名字被误传为拉丁化的 “algorism ”，后来该词具有“计算艺术”的意思，即我们今天所称的“算术”（arithmetic ）。

我国清代数学家梅谷城（1681-1763）把西方传入的代数学译为“借根方”，把代数看成求解方程的科学。

法国十六世纪最有影响的数学家之一韦达（Viete ，Francois ，seigneurdeLa Bigotiere ），第一个引进系统的代数符号，并对方程论做了改进。

他生于法国的普瓦图。

年青时学习法律当过律师，后从事政治活动，当过议会的议员。

韦达是第一个使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。

韦达还讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系，所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”。

在一元二次方程的特例，两个根的和等于方程的一次项系数除以二次项系数的相反数；两个根的乘积等于方程的常数项除以二次项系数。

阿尔．花拉子米（783-850）韦达法国人（1540年- 1603年12月13日）设，是一元二次方程的两根，那么，韦达定理的逆定理同样成立。

仍然以一元二次方程为例：给定一个一元二次方程。

如果有两个数，它们的和等于该方程的一次项系数除以二次项系数的相反数，它们的积又等于该方程的常数项除以二次项系数，那么它们就是该方程的两根。

设关于的一元二次方程为，且，，、必定是一元二次方程的两个根。

韦达定理还有拓广，如当一元二次方程不存在实数根时，韦达定理在虚数范围内依然存在。

对于一元n次方程，也有类似的结论。

韦达从事数学研究只是出于律师工作外的爱好，但就是这个爱好让他名垂千史。

关于判别式法与韦达定理的论述

关于判别式法与韦达定理论述weiqingsong摘要：判别式法与韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，讨论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。

关键词：判别式法韦达定理在中学解题中判别式法与韦达定理的应用极其普遍，因此系统的研究一下利用判别式法与韦达定理解题是有必要的。

别式法与韦达定理说明了一元二次方程中根和系数之间的关系。

它们都有着广泛的应用在整个中学阶段。

一、韦达定理的由来法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。

历史是有趣的，韦达的16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。

判别式法与韦达定理在方程论中有着广泛的应用。

二、对判别式法的介绍及概括一般的关于一元二次方程ax^2+bx+c=0（a 、b 、c 属于R ，a≠0）根的判别，△=b^2-4ac ，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。

关于x 的一元二次方程x^2+mx+n=0有两个相等的实数根，求符合条件的一组的实数值。

这是应注意以下问题：如果说方程有实数根，即应当包括方程只有一个实根和有两个不等实根或有两个相等实根三种情况；如果方程不是一般形式，要化为一般形式，再确定a 、b 、c 的值；使用判别式的前提是方程为一元二次方程，即二次项系数a≠0；当二次项系数含字母时，解题时要加以考虑。

判别式的主要应用有：不解方程就可以直接判定方程的根的情况；已知方程根的情况，确定方程中未知系数（或参数）的取值范围；判别或证明一元二次方程的根的性质；判别二次三项式ax^2+bx+c(a≠0)能否在实数范围内分解因式(1) 当△≥0 时，二次三项式在实数范围内能分解因式；（2）当△≤0 时，二次三项式在实数范围内不能分解因式。

二次方程根公式大全,二次函数两个根的公式推导

二次方程根公式大全，二次函数两个根的公式推导二次方程根公式大全？一元二次方程_31、大多数情况下形式ax²+bx+c=0(a≠0)这当中ax²是二次项，a是二次项系数；bx是一次项；b是一次项系数；c是常数项。

使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。

2、变形式ax²+bx=0(a、b是实数，a≠0)；ax²+c=0(a、c是实数，a≠0)；ax²=0(a是实数，a≠0)。

一元二次方程的根与根的判别式当中有请看下方具体内容关系：（1）当△0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当△=0时，方程有两个相等的实数根；（3）当△0时，方程无实数根，但有2个共轭复根。

(这当中，△=b²-4ac，a、b、c分别是一元二次方程的二次项系数、一次项系数还有常数项。

)二次函数两个根的公式？二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0，a、b、c是常数）中含有两个变量x、y，我们只要先确定这当中一个变量，就可利用剖析解读式得出另一个变量，即得到一组解；而一组解就是一个点的坐标，其实二次函数的图象就是由大量个这样的点构成的图形。

设ax^2+bx+c=0的两根为x1，x2。

由韦达定理：(x1+x2)=-b/a,x1x2=c/a==b=-a(x1+x2)c=ax1x2ax^2+bx+c=ax^2-a(x1+x2)+ax1x2=a(x^2-(x1+x2)x+x1x2)。

由十相乘法字法得：ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)二次函数两根之积的公式：x1x2=c/a （应是一元二次方程两根之积或是说二次函数与x轴交点）其他公式韦达定理：两根之和公式x1+x2=-b/a 两根之积公式x1x2=c/a二次函数的根计算公式？因为二次函数 y=ax²+bx+c与x轴交点的横坐标，就是当y=0时，即求方程ax²+bx+c=0的根则两个根为:x=(-b±√(b²-4ac))/2a。

判别式和韦达定理

第三讲：判别式和韦达定理知识要点：设一元二次方程),,;0(02为实数c b a a c bx ax ≠=++的判别式为⊿ac b 42-=，二根为21,x x ，则（1）当⊿>0时，方程有二不等实数根，反之，亦成立；当⊿<0时，方程无实数根，反之亦成立；当⊿=0时，方程有二相等实数根，反之，亦成立。

（2）a b x x -=+21，a c x x =21。

反之，若二数21,x x 满足a b x x -=+21，a c x x =21，则次二数是方程02=++c bx ax 的二根，这就是韦达定理，即根与系数的关系。

应用举例：一、判别根的性质例1，已知方程02=++c bx x 的两根为1,4，是判断方程022=++bx cx 的根的情况。

例 2 已知方程022=--m x x 无实数根（m 为实数），试判断方程0)1(22=+++m m mx x 有么有实数根。

二、求某些值21x x + 21x x 21x x -2221x x + 2221x x -2111x x +例3设21,x x 是方程03622=+-x x 的两根，试求2112x x x x +，21x x -的值。

例4 已知方程0)12(22=+++k x k x 的两实数根的平方和等于7，求k 的值。

三、求方程的解提示：已知方程和它的一个根，最好用韦达定理求解例5已知2=x 是方程032=+-b x x 的一根，求此方程的另一根及b 的值。

例6 解方程组：21,311=-=+xy y x 。

1、已知关于x 的一元二次方程02=++c bx x 有两个实数根，则下列关于判别式c b 42-的判断正确的是（）A ．042≥-c b ；B ．042≥-c b ；C ．042≥-c b ；D ．042≥-c b ．2、已知一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)中,下列命题是真命题的有（）个.①若a +b +c =0，则b 2－4ac ≥0；②若方程ax 2+bx +c =0两根为－1和2，则2a +c =0；③若方程ax 2+c =0有两个不相等的实根，则方程ax 2+bx +c =0必有两个不相等的实根。

韦达定理与根的判别式

韦达定理与根的判别式这个专题是一二次方程是的判别式与韦达定理知识要点和练习韦达定理与根的判别式知识点：1、根的判别式b24ac（1）b24ac 0 ，方程有两个不相等的实数根；（2）b2 4ac 0，方程有两个相等的实数根；（3）b2 4ac 0，方程没有实数根；2、韦达定理已知x1,x2是一元二次方程的两根，则有xb1 x2ax1x2ca例1：已知一元二次方程x22x m 1 0 （1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）设x21,x2是方程的两个实数根，且满足x1 x1x2 1，求m的值练习：1、方程x23 0的根的情况是（）A有两个不等的有理实根B有两个相等的有理实根C有两个不等的无理实根D有两个相等的无理实根2、已知x2 1,x2是方程2x 3x 4 0的两个根，则（）A x331 x2 2 ，x1x2 2 B x1 x2 2 ，x1x2 2 C x1 x322，x1x2 2 D x31 x22，x1x2 23、已知方程x2 2 0，则此方程（）A 无实数根B两根之和为C两根之积为2D有一根为2 1这个专题是一二次方程是的判别式与韦达定理知识要点和练习4、已知x1,x2是方程2x 3x 1 0的两个根，则3221x11x2的值为（）A 3B -3C D5、若将二次三项式x2 px 6因式分解，分解后的一个因式是x-3，则p的值是（）A -5 B -1 C 1 D 56、已知x1,x2是方程x 4x 3 0的两个根，那么x1x2的值是（） A - 4 B 4 C -3 D 37、在一元二次方程ax2 bx c 0(a 0)中，若a与c异号，则方程（）A 有两个不相等的实数根 B 有两个相等的实数根 C 没有实数根 D 根的情况无法确定8、已知一元二次方程的两根分别为x1 3,x2 4，则这个方程为（） A (x 3)(x 4) 0 B (x 3)(x 4) 0 C (x 3)(x 4) 0 D (x 3)(x 4) 09、关于x的一元二次方程3x 2x k 1 0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（） A k432243且k 1 C k2243D k4310、若关于x的一元二次方程(m 2)x (2m 1)x 1 0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（） A m43B m43C m43且m 2 D m43且m 22211、已知一直角三角形的三边为a、b、c，∠B=90 ，那么关于x的方程a(x 1) 2cx b(x 1) 0的根的情况为（）A 有两个不相等的实数根B 有两个相等的实数根C 没有实数根D 无法确定12、设x1,x2是方程2x 4x 3 0的两个根，则2221x11x213、已知关于x的方程x 2(m 2)x m 0有两个实数根，且两根的平方和等于16，则m的值为14、已知方程x (12x20的两根为x1,x2，则x1 x2的值为2215、关于x的一元二次方程mx (3m 1)x m 0，其根的判别式的值为1，求m的值及该方程的根。

二次函数及其根的分布

二次函数及其根的分布【摘要】二次函数根的分布是二次函数中的重要内容，但解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用。

结合二次函数图象寻找有关一元二次方程的根的分布特点。

结合例题和图像师生共同探讨二次函数根的分布情况。

【关键词】二次函数根的分布判别式韦达定理图像法二次函数根的分布是二次函数中的重要内容。

这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用。

很多同学遇到这些问题总是感到很头痛。

问题的实质就是关于实系数一元二次方程的根的分布，一旦把实系数一元二次方程的根的分布的情况（规律）搞清楚了，上述问题也就不那么难了。

回顾我们在解答这类题目时，总是要运用到判别式，韦达定理，然后结合二次函数图象我们从中并不难发现有关一元二次方程的根的分布的特点。

设方程()200ax bx c a ++=≠的两根为12,x x ，相应的二次函数为()()为常数c b a a c bx ax x f ,,,02≠++=，不妨设0>a ，方程)0(02≠=++a c bx ax 的实根，如若从二次函数图形角度去观察理解，其实质就是对应的二次函数)0(02≠=++=a c bx ax y 的抛物线与x 轴交点的横坐标。

一元二次方程实根分布，简单地说就是方程的根与某些确定的常数大小关系比较。

下列将举例进行学习：教学目标：使学生掌握一元二次方程实根分布问题的处理，加强求解一元二次不等式及不等式组，初步训练学生的数形结合能力。

教学重点：利用二次函数的图象，把一元二次方程根的分布−−→−转化图形问题−−→−转化代数表达式（不等式组）−−→−计算参数取值范围。

教学难点：图形问题转化成代数表达式(不等式组)并求解。

教学方法：启发式、探究式、讲练结合基本知识点回顾：1、什么叫一元二次方程?2、一元二次方程实根个数怎样判定?(△成立的前提条件?)3、一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的韦达定理。

根的判别式与韦达定理

第3讲一元二次方程根的判别式和韦达定理一、根的判别式21.4022.02043.,22ac b b ac b x x a a ⎧⎪≠-∆⎪⎪∆>⎧⎪⎪⎪∆=⎨⎨⎪⎪∆<⎩⎪⎪-±--±∆⎪==⎪⎩22概念：对于一个一元二次方程ax +bx+c=0(a 0)来说，b 称为根的判别式，记为。

时，方程有个不相等的根根的判别式意义：时，方程有个相等的根时，方程没有实数根公式法：解为即为【典型例题】1.当m 取什么值时，关于x 的方程0)22()12(222=++++m x m x 。

（1）有两个相等实根；（2）有两个不相等的实根；（3）没有实根。

2.当m 为什么值时，关于x 的方程01)1(2)4(22=+++-x m x m 有实根。

3．已知关于x 的方程01)12(22=+-+x k x k 有两个不相等的实数根1x 、2x ，问是否存在实数k ，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由。

【课堂练习】一、填空题：1、下列方程①012=+x ；②02=+x x ；③012=-+x x ；④02=-x x 中，无实根的方程是。

2、已知关于x 的方程022=+-mx x 有两个相等的实数根，那么m 的值是。

二、选择题：1、下列方程中，无实数根的是（）A 、011=-+-x xB 、 762=+yy C 、021=++x D 、0232=+-x x2、若关于x 的一元二次方程01)12()2(22=+++-x m x m 有两个不相等的实根，则m 的取值范围是（） A 、43<m B 、m ≤43 C 、43>m 且m ≠2 D 、m ≥43且m ≠2 3、在方程02=++c bx ax （a ≠0）中，若a 与c 异号，则方程（）A 、有两个不等实根B 、有两个相等实根C 、没有实根D 、无法确定一、试证：关于x 的方程1)2(2-=+-x m mx 必有实根。

一元二次方程判别式及根与系数的关系(合同)

一元二次方程判别式及根与系数的关系一、【知识归纳】 1.判别式：一元二次方程 ax 2+bx+c=0 (a ≠0)根的判别式为：△=b 2-4ac 主要内容: 判别式的值根的情况 △ ＞有两个不相等的实根△＝0 有两个相等的实根 △＜0 没有实数根 2.根与系数的关系（韦达定理）（1）方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)的两根为x 1, x 2，则x 1+ x 2= -abx 1x 2=ac特殊情况：当a=1时，x 2+px+q=0 ,x 1+ x 2= -p,x 1 x 2=q （2）以x 1, x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 x 2 –(x 1+ x 2)x+ x 1 x 2=03. 2.常见的形式：（1）(x 1-x 2)2=(x 1+x 2)2-4x 1x 2(2) x 12+x 22=( x 1+x 2)2-2x 1x 2(3) x 1-x 2=212214)(x x x x -+± (4)x 12-x 22= ±(x 1+x 2)212214)(x x x x -+(5)2111x x +=2121x x x x +(6) =-2111x x 21212214)(x x x x x x -+±三、【典型问题一】：判别式的作用例1（98中考题）m 分别满足什么条件时，方程2x 2-(4m+1)x +2m 2-1=0, (1)有两个相等实根；（2）有两个不相实根；（3）无实根；(4)有两个实根.2、一元二次方程c bx ax ++2=0)(0≠a 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = .3、如果方程02=++q px x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = .4、方程01322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = .5、方程0)1(2=-++n mx x 的两个根是2和－4，那么m = ，n = .二、已知方程0232=--x x 的两根为1x 、2x ，且1x >2x ,求下列各式的值: １、1x 2+2x 2= ；2、2111x x += ； 3、=-221)(x x = ；4、)1)(1(21++x x =7、已知关于x 的方程041222=+-n mx x ，其中n m ,分别是一个等腰三角形的腰和底的长，求证这个方程有两个不相等的实数根.8、已知βα,是关于x 的一元二次方程0)32(22=+++m x m x 的两个不相等的实数根，且满足111-=+βα，求m 的值9、关于x 的一元二次方程0)5(52=-+-m mx x 的两个正实数根分别为21,x x ，且7221=+x x ，则求m 的值。

三个“二次”的关系(一、二)

【初高中衔接】4-5．三个“二次”的关系【知识要点归纳】一．一元二次方程1. 根的判别式：2. 根与系数的关系（韦达定理）：如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么．这一关系也被称为韦达定理．二. 一元二次不等式三．一元二次函数根的分布【经典例题】例1：已知方程2560x kx +-=的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．例2：已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程4kx 2－4kx ＋k ＋1＝0的两个实数根．（1）是否存在实数k ，使(2x 1－x 2)( x 1－2 x 2)＝－32成立？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由；（2）求使1221x x x x +－2的值为整数的实数k 的整数值；（3）若k ＝－2，12xx λ=，试求λ的值．例3：解不等式：（1）x 2＋2x －3≤0；（2）x －x 2＋6＜0；（3）4x 2＋4x ＋1≥0；（4）x 2－6x ＋9≤0；（5）－4＋x －x 2＜0．例4：已知不等式20(0)ax bx c a ++<≠的解是2,3x x <>或求不等式20bx ax c ++>的解．例5：解关于x 的一元二次不等式210(x ax a ++>为实数).例6：已知方程2x -2(m+2)x +2m -1=0，根据下列条件求实数m 的取值范围（只列式，无需求出结果）（1）有两个不相等的正根（2）有两个不等实根都大于2（3）有两个不等实根，一个根大于0小于1，一个根大于1小于2【课后练习】1．解下列不等式：（1）3x 2－x －4＞0；（2）x 2－x －12≤0；答案：（1）x ＜－1，或x ＞43；（2）－3≤x ≤4；2．使实系数一元二次方程2(1)0kx k x k --+=有两个实根的k 的取值范围是（） A ．113k -<<且 0k ≠ B ．113k -≤≤C ．1k ≤-或13k ≥D ．113k -≤≤且0k ≠【解析】A. 若方程有两个根，则其必为二次函数，那么0k≠，同时方程的判别式0∆>，即()()()22141310k k k k --=-->，解得113k <<，综合0k ≠，可得A 为正确选项。

一元二次方程之判别式法与韦达定理

一元二次方程之判别式法与韦达定理（一）知识点梳理一元二次方程ax2+bx+c=0（a 、b 、c 属于R ，a≠0）根的判别，△=b2-4ac ，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方式，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有超级普遍的应用。

韦达定理除已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还能够求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，和解一些有关二次曲线的问题等，都有超级普遍的应用。

一、一元二次方程根的判别式：ac b 42-=∆ （1）当Δ＞0时⇔方程有两个不相等的实数根；（2）当Δ=0时⇔方程有两个相等的实数根；（3）当Δ< 0时⇔方程没有实数根，无解；（4）当Δ≥0时⇔方程有两个实数根（5）根的判别式△＝b 2－4ac 的意义，在于不解方程能够判别根的情形，还能够依照根的情形确信未知系数的取值范围。

二、一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：（1）若21,x x 是一元二次方程02=++c bx ax 的两个根，那么：a b x x -=+21，a c x x =⋅21 （2）以两个数21,x x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：0)(21212=++-x x x x x x3、一元二次方程的两根和与两根积和系数的关系在以下几个方面有着普遍的应用：（1）已知方程的一根，求另一个根和待定系数的值。

（2）不解方程，求某些代数式的值。

（3）已知两个数，求作以这两个数为根的一元二次方程。

（4）已知两数和与积，求这两个数。

（5）二次三项式的因式分解。

注意：在应用根与系数的关系时，不要忽略隐含条件。

∆≥≠⎧⎨⎩00a例题讲解例一、当k 为何值时，关于x 的方程()222123x k x k k --=-++：⑴ 两个不相等的实数根； ⑵有两个相等的实数根； ⑶没有实数根。

例二、m x mx mx m 为何值时，关于的方程有两个相等的实数根？并2350-++=求出这时方程的根。

判别式与韦达定理

判别式与韦达定理1、一元二次方程的根的判别式一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根的判别式△＝b 2-4ac当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根．2.一元二次方程的根与系数的关系(1)如果一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两个根是x 1，x 2，那么a b x x -=+21，ac x x =21 (2)如果方程x 2+px+q=0的两个根是x 1，x 2，那么x 1+x 2=-P ，x 1x 2=q(3)以x 1，x 2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x 2-(x 1+x 2)x+x 1x 2=0．3.二次三项式的因式分解(公式法)在分解二次三项式ax 2+bx+c 的因式时，如果可用公式求出方程ax 2+bx+c=0的两个根是x 1,x 2，那么ax 2+bx+c=a(x-x 1)(x-x 2)．〖考查重点与常见题型〗1.利用根的判别式判别一元二次方程根的情况，有关试题出现在选择题或填空题中，如：关于x 的方程ax 2－2x ＋1＝0中，如果a<0，那么梗的情况是（）（A ）有两个相等的实数根（B ）有两个不相等的实数根（C ）没有实数根（D ）不能确定2.利用一元二次方程的根与系数的关系求有关两根的代数式的值，有关问题在中考试题中出现的频率非常高，多为选择题或填空题，如：设x 1，x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根，则x 12＋x 22的值是（）（A ）15 （B ）12 （C ）6 （D ）33．在中考试题中常出现有关根的判别式、根与系数关系的综合解答题。

在近三年试题中又出现了有关的开放探索型试题，考查了考生分析问题、解决问题的能力。

考查题型1．关于x 的方程ax 2－2x ＋1＝0中，如果a<0，那么根的情况是（）（A ）有两个相等的实数根（B ）有两个不相等的实数根（C ）没有实数根（D ）不能确定2．设x 1，x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根，则x 12＋x 22的值是（）（A ）15 （B ）12 （C ）6 （D ）33．下列方程中，有两个相等的实数根的是（）（A ） 2y 2+5=6y （B ）x 2+5=2 5 x （C ） 3 x 2－ 2 x+2=0（D ）3x 2－2 6 x+1=04．以方程x 2＋2x －3＝0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（）（A ） y 2+5y －6=0 （B ）y 2+5y ＋6=0 （C ）y 2－5y ＋6=0 （D ）y 2－5y －6=05．如果x 1，x 2是两个不相等实数，且满足x 12－2x 1＝1，x 22－2x 2＝1，那么x 1·x 2等于（）（A ）2 （B ）－2 （C ）1 （D ）－16．如果一元二次方程x 2＋4x ＋k 2＝0有两个相等的实数根，那么k ＝7．如果关于x 的方程2x 2－(4k+1)x ＋2 k 2－1＝0有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是8．已知x 1，x 2是方程2x 2－7x ＋4＝0的两根，则x 1＋x 2＝，x 1·x 2＝，（x 1－x 2）2＝9．若关于x 的方程(m 2－2)x 2－(m －2)x ＋1＝0的两个根互为倒数，则m ＝二、考点训练：1、不解方程，判别下列方程根的情况：（1）x 2－x=5 (2)9x 2－6 2 +2=0 (3)x 2－x+2=02、当m= 时，方程x 2+mx+4=0有两个相等的实数根；当m= 时，方程mx 2+4x+1=0有两个不相等的实数根；3、已知关于x 的方程10x 2－(m+3)x+m －7=0，若有一个根为0，则m= ，这时方程的另一个根是；若两根之和为－35，则m= ，这时方程的两个根为 . 4、已知3－ 2 是方程x 2+mx+7=0的一个根，求另一个根及m 的值。

第14讲根的判别式与韦达定理(word版)

第14讲根的判别式与韦达定理模块一一元二次方程根的判别式知识导航式子b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）根的判别式，通常用希腊字母“△”来表示，即△＝b2－4ac．当△＞0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不等的实数根；当△＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根；当△＜0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实数根．计算判别式的值，可以判断一元二次方程根的情况；反之，若一元二次方程有两个不等实数根，则△＞0；若一元二次方程有两个相等实数根，则△＝0；若一元二次方程无实数根，则△＜0.注意：①当△＝0时，方程有两个相等的实根，不能说方程只有一个根②当△≥0时，方程有两个实根（一元二次方程有实根）．例1(1)已知关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0有解，求m的范围．-1x－m＝0有两个不相等实数根，求m的取值范围．(2)己知关于x的一元二次方程x2－m(3)求证：关于x的一元二次方程ax2－(3a＋l)x＋2(a＋l)＝0（a≠0）总有实数根(4)已知关于x的方程ax2－(3a＋l)x＋2(a＋l)＝0有两个不相等的实数根，求a的取值范围(5) （2016武汉元月调考第9题）关于x的方程（m－2）x2＋2x＋1＝0有实数根，求m的取值范围．拓展己知关于x的方程(n－1)x2＋mx＋1＝0有两个相等的实数根，试说明关于y的方程m2y2—2my－m2—2n2＋3＝0的根的情况【总结】1、在处理【例1】和【练1】这类问题时，一定要注意先判断方程类型，若方程类型不确定，则需要分类讨论2、关于方程类型，题目在设问方面会有下列说法：(1)“关于x的一元二次方程有解”则方程一定为一元二次方程．(2)“关于x的方程有两实根”则方程一定为一元二次方程．(3)“关于x的方程有解”则方程类型不确定，需要分类讨论例2(1) 己知a、b、c是三角形三边，求证：关于x的方程(a＋b)x2＋2cx＋（a＋b）＝0无实根．(2) 己知：a、b、c分别是△ABC的三边长，求证：关于x的方程b2x2＋(b2＋c2一a2)x＋c2＝0没有实数根．练习己知△ABC三边a，b，c，关于x的方程(a＋c)x2 ＋2bx－a＋c＝0，x2＋2ax＋b2＝0均有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状．模块二一元二次方程根与系数关系知识导航：由因式分解法可知，方程（x －x 1）(x －x 2)＝0（x 1，x 2为已知数）的两根为x 1和x 2，将方程化为x 2＋px ＋q ＝0的形式，即x 2一(x 1＋x 2)x ＋ x 1x 2＝0，则二次项系数为1，一次项系数为p ＝－(x 1＋x 2)，q ＝ x 1x 2．于是，上述方程两个根的和、积与系数的关系分别有如下关系：x 1＋x 2＝－p ， x 1x 2＝q对于一般地一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0，二次项系数a 未必是1．根据求根公式，x 1＝a ac b b 24-2-+， x 2＝aac b b 24-2-- 由此可知，x 1＋x 2＝－a b ， x 1x 2＝ac 这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两根之和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比．例3(1)若x 1，x 2是一元二次方程x 2—5x ＋6＝0的两个根，则x 1＋x 2的值是____(2)一元二次方程x 2—4x －c ＝0的一个根是3，则另一个根是____，c ＝___________(3)若方程x 2－3x 一1＝0的两根为x 1、x 2，则11x ＋21x 的值为____ (4)关于x 的一元二次方程x 2一mx ＋2m －1＝0的两个实数根分别是x 1、x 2，且x 12＋x 22＝7，则(x 1－x 2)2的值是_____________练习(1)方程x 2—2x －1＝0的两个实数根分别为x 1、x 2，(x 1－l )( x 2－1)＝______________cz ，设x 1、x 2是方程2x 2—6x +l ＝o 的两个实数根，则(x 1－21x )( x 2－11x )的值为__________ 【总结】1、用韦达定理，常见的恒等变形有：11x ＋21x ＝2121x x x x +,x 12＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2,(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 21x x -＝212214)(x x x x -+x 13 ＋x 23＝(x 1 ＋x 2)(x 12＋x 22－x 1x 2)＝(x 1＋x 2)3－3x 1x 2(x 1＋x 2)2、韦达定理只有在两根存在的情况下才成立，故使用韦达定理的前提条件是b 2—4ac ≥0例4已知x 1，x 2是方程x 2—3x ＋l ＝0的两个实数根，则x 12＋x 22＝________________(x 1－2)(x 2－2)＝______________；x 12＋x 1·x 2＋x 22＝_____________,12x x ＋21x x ＝_________ x 1－x 2＝__________, x 12－x 22＝________;11x －21x ＝__________;12x x －21x x ＝___________练习已知x 1，x 2是方程2x 2—3x －5 ＝0的两个根，求下列代数式的值：x 12＋x 22＝__________,12x x ＋21x x ＝_________; 21x x -＝___________ x 12－x 22＝________;12x x －21x x ＝___________,x 12＋3x 22－3x 2＝_________________例5已知关于x 的方程x 2—2(k －l )x ＋k 2＝0有两个实数根x 1，x 2．(1)求k 的取值范围．(2) 若x l ＋x 2 ＝1－x 1x 2，求k 的值．练习关于x 的方程x 2＋2(a －l )x ＋a 2 －7a －4＝0的两根为x 1. x 2，且x 1x 2 －3x l －3x 2 ＋2＝0，求a 的值例6关于一元二次方程x 2 ＋2x ＋k ＋l ＝0的实数解是x l 和x 2．(1)求k 的取值范围；(2)如果x 1＋x 2－x 1x 2＜－1且k 为整数，求k 的值．练习己知关于x 的方程x 2 ＋2(m ＋2)x ＋m 2 －5＝0有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求m 的值．例7己知△ABC 的两边AB 、AC 的长是关于x 的一元二次方程x 2 －(2k ＋3)x ＋k 2 ＋3k ＋2＝0的两个实数根，第三边BC 的长是5．(1)k 为何值时，△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形；(2)k 为何值时，△ABC 是等腰三角形，并求△ABC 的周长．练习在等腰△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，已知a ＝3，b 和c 是关于x 的方程x 2＋mx ＋2－21m ＝0的两个实数根，求△ABC 的周长．课后作业A 基础巩固1．已知x ＝l 是方程x 2＋bx －2＝0的一个根，则方程的另一个根是( )A .1B ．2C ．－2D ．－12．已知一元二次方程x 2—4x ＋3＝0两根为x 1,x 2，则x 1·x 2＝( )A .4B ．3C ．－4D .－3 3．己知关于x 的一元二次方程(1－2k )x 2—21+k x －1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是____．4．关于x 的方程kx 2 ＋(l －k )x －l ＝0有两个不等实根，则k 的取值范围是____________．5．关于x 的方程kx 2＋(l －k )x －l ＝0有实根，则k 的取值范围是_______________6．求证：不论m 为何值时，关于x 的方程x 2一2mx －2m －4＝0总有两个不相等的实根．7．如果一直角三角形的三边长分别为a ，b ，c ，b 为斜边，求证：关于x 的方程a (x 2 －1)一2cx ＋b (x 2 ＋1)＝0有两个相等的实数根8．己知x 1，x 2是方程x 2－5x ＋2＝0的两个实数根，则x 12＋x 22＝________________(x 1－2)(x 2－2)＝______________；x 12＋x 1·x 2＋x 22＝_____________,12x x ＋21x x ＝_________ x 1－x 2＝__________, x 12－x 22＝________;11x －21x ＝__________;12x x －21x x ＝___________B 综合训练 9．（2015年汉阳区九上期中）己知关于x 的方程x 2—2(k －l )x ＋k 2＝0有两个实数根x 1，x 2．(1)求k 的取值范围；(2) 若x 1＋x 2＝1－ x 1x 2，求k 的值．10.已知关于x 的一元二次方程mx 2—2x ＋l ＝0．(1)若方程有两个实数根，求m 的范围；(2)若方程的两个实数根为x 1,x 2，且x 1x 2一x 1一x 2＝21，求m 的值 111.己知，关于x 的方程x 2一kx ＋k －1＝0(1)求证：无论k 取何值，方程总有两实数根(2)若等腰△ABC 的一边长为2，另两边为这个方程的两个根，求△ABC 的周长数学故事“石头剪刀布”或能揭示演化策略“石头剪刀布”是游戏中解决争端的常用方式，每人各出剪刀、石头、布中的一种，通过石头砸剪刀、剪刀剪布、布包住石头的规则，可以在两人甚至多人中决出胜负．不过，科学家发现，大自然也用自己的方式玩着类似“石头剪刀布”这样的游戏，数学家和生物学家利用这种方式研究了从人类社会到培养皿中的细菌的各种现象．如今，研究者又发现，当玩家不断改变策略时，三种武器的使用频率会轮流上升与下降，呈现出一种固定的模式．这一发现或许可以帮助我们理解生物在生存之争中是如何维持竞争策略的．一旦应用到生物中来，石头剪刀布就不仅仅是两个小孩子的游戏，而变成多玩家之间的复杂关系了．比方说，某些蜥蜴用来赢得伴侣的策略就有三种：侵略、合作与欺骗，这三种策略就和石头剪刀布一样，有着环状的胜负关系（侵略战胜合作，欺骗战胜侵略，合作战胜欺骗），而对于蜥蜴来说，成功繁衍后代就意味着赢得游戏，在生物的“石头剪刀布”游戏中，通常是大的种群中随机产生一对玩家开始比拼，每个玩家通常都保持一种固定的策略一一即对每一个对手都出同样的姿势（石头、剪刀或者布）．每次对决之后，赢家就增加一个（对应着繁衍后代），使用同样的策略，而输家则消失．对这种模型进行仔细的数学研究以后发现，出石头、剪刀和布的玩家会随着时间波动．随着初始情况中每种策略所占比例不同，整个群体的情况会分别演变成不同的长期行为，比如用石头、剪刀、布的个体各占三分之一，或者一种策略大幅减少另两种上升，过一段时间又反过来，呈现剧烈的周期波动．受到计算机模拟的启发，康奈尔大学的两位数学家Steven Strogatz 和Danielle Toupo 决定研究一下如果玩家中途改变策略会发生什么．“我觉得这个想法很吸引人，就想找到一种最简洁的数学模型来描述它，”Strogatz 说．他们试图回到最基础的原理，寻找纯粹的公式，而非复杂的计算机模拟．Strogatz 和Toupo 修正了“石头剪刀布”方程，允许一些“突变子女”存在，它们所采用的策略和亲代不同．此前的研究者也研究了突变，但一直假设突变是对称的，即每种策略变成其他策略的几率相同，但Strogatz 和To upo 考虑到了其他的模式，比如出石头的玩家可能会生下出布的子女，但反过来则不尽然．每种突变最终都会导致一种循环，即出石头、剪刀和布的玩家数都各自不停地上下波动，循环不息．而更令人惊讶的是，他们还证明哪怕突变率极低甚至接近于0，整个游戏还是会进入这种循环模式，论文发表于本月的《物理评论E 》（Physical ReviewE ）中，只是增加了一点点突变的因素，游戏结果就不再是三种各占三分之一的稳定态或是剧烈波动态了， “我认为该研究最吸引入的一点是，这种‘游戏’在自然界中真的存在，”加州大学圣克鲁兹分校的生态学家BarrySinervo 说，他没有参与这项工作，“哪怕你不是数学家，也会欣赏这一研究．”Sinervo-直在研究加州一种侧斑鬣蜥，该蜥蜴的种群行为也会进入像“石头剪刀布”一样的振荡状态．Sinervo和同事通过野外的长期观察发现，采取侵略、合作和欺骗三种策略的蜥蜴数目有一个6年的变化周期，每一代新的蜥蜴诞生时，主导策略都会变化．Strogatz和Toupo的新研究为Sinervo的工作提供了数学模型，来解释了这种变化周期，“对我来说，这篇论文的有趣之处就在这里．”Sinervo说，由于数学方面的限制，康奈尔大学的研究者还不能证明他们的发现适用于所有的突变模式，但Strogatz说他们预测会如此．研究更广泛的突变模式也可以更进一步地提供数学基础，帮助我们解释自然界这个大剧场里物种策略的兴衰变迁．。

一元二次方程3判别式、韦达定理及十字相乘法

一元二次方程(3)【基础知识】(一)一元二次方程的根的判别式)4(2ac b -=∆.000方程没有实数根根；方程有两个相等的实数数根；方程有两个不相等的实⇔<∆⇔=∆⇔>∆(二) 一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理) 若21,x x 是方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个根，则ac x x a b x x =⋅-=+2121,如果方程02=++q px x 的两个根是21,x x ，那么_______,2121=⋅=+x x x x 。

例题一 1、不解方程，判别下列方程根的情况：（1）x 2－x=5 (2)9x 2－6 2 x+2=0 (3)x 2－x+2=02、如果关于x 的方程20x x k -+=（k 为常数）有两个相等的实数根，那么k = ． 3、关于x 的一元二次方程02)12(22=-+++k x k x 有实数根，则k 的取值范围是。

4、若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围。

6、已知关于的一元二次方程有1、不解方程，判断下列一元二次方程的根的情况:1）x 2＋3x+3=0; （2）x 2-4x-3=0; （3）4x 2-4x+1=0 2、如果一元二次方程x 2＋4x ＋k 2＝0有两个相等的k ＝3、如果关于x 的方程2x 2－(4k+1)x ＋2 k 2－1＝0有k 的取值范围是4、关于019)13(22=-+--m x m mx x 的方程有m 的取值范围。

1、已知1-=x 是方程0232=++k x x 的一个根，______, k =______. 2、关于的一元二次方程的一个1，则方程的另一根为 . 3、若关于的方程的一个根是0，则另一个根是．补：十字相乘法解一元二次方程基础公式：()()()ab x b a x b x a x +++=++2,()()()b x a x ab x b a x ++=+++2例1 解方程:(1)x 2+3x+2=0; (2)x 2-7x+6 =0.练习1、解方程（1）652++x x =0 （2）652+-x x =0（3）652-+x x =0 （4）652--x x =0（5）122-+x x =0 （6）18112++x x =0(7)x 2-7x+12=0 (8)a 2+11a+28=0(9)x 2-16x+28=0. (10)x 2-4x-21=0(11)m 2+7m-30=0 (12)a 2-a-56=0(13)m 2-9m+20=0 (14)x 2-9x-36=0（15）8)3(2)3(222-+-+x x x x =0（16）()()2414222++-+x x xx =0例2解方程练习2.解方程（1）042772=-+x x（4）x x x 86223--=00232)1(2=-+y y 08103)2(2=-+x x 045314)2(2=--x x 024223)3(2=-+-x x。

例谈“根的判别式”的用法

例谈“根的判别式”的用法作者：李恩义来源：《甘肃教育》2014年第12期〔关键词〕数学教学；根的判别式；求根公式；韦达定理；二次三项式〔中图分类号〕 G633.6〔文献标识码〕 C〔文章编号〕 1004—0463（2014）12—00９２—０１在学习一元二次方程、二次函数以及二次不等式时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）根的判别式?驻＝b2－4ac，无时不在，无处不有.正确理解“?驻”的真实含义，熟练掌握其用法，不仅对解决相关问题有所帮助，而且对学生进一步弄清这几部分知识间的相互关系十分必要.一、应用求根公式时，不能忽视“?驻”例1解关于x的一元二次方程（m－1）x2＋2mx＋（m＋3）＝0这类问题最容易出错的是不讨论“?驻”的情况，就用公式法解.其正确的解法为：解：?驻＝（2m）2－4（m－1）（m＋3）＝－4（2m－3）（1）当m≤■且m≠1时，?驻≥0，原方程有两个实数根，x＝■.（2）当m＞■时，?驻＜0，原方程没有实数根.二、应用韦达定理时，要注意“?驻”1.一元二次方程有实根，必须有?驻≥0.例2k为何值时，方程2x2＋kx－2k＋1＝0的两个实数根的平方和等于■？解：设α、β是方程的两个实数根，由题意得?驻＝k２－４×２（１－２k）≥0①α+β=-■②αβ＝■ ③α２+β２＝■④由②③④得α2＋β2＝(α＋β)2－2αβ＝（－■）2－2×■＝■解得：k1＝－11，k2＝3.把k1＝－11和k2＝3分别代人①，可知k1＝－11不满足.因此，k的值是3.2.a、c异号或两根异号隐含着“?驻＞0”.对于方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）来说，若■＜0，则必有?驻＝b2－4ac＞0成立.因此，解题时，只考虑■＞0即可.两根异号可得到a，c异号，进一步可得?驻＞0.在这两种情况下，不必重复列出?驻＞0的条件.三、二次三项式 ax2＋bx＋c是完全平方式的充要条件为“?驻＝0”设ax2＋bx＋c＝0，由于a≠0，故配方有（x＋■）2＝■显然?驻＝0，则方程有两个相等的实数根，ax2＋bx＋c是一个完全平方式；反之，ax2＋bx＋c是完全平式，方程有两个相等的实数根，则?驻＝0.例3已知多项式2x2＋2（a－c）x＋（a－b）2＋（b－c）2是一个完全平方式，求证：a＋c＝2b.证明：∵关于x的一元二次方程2x2＋2（a－c）x＋（a－b）2＋（b－c）2＝0有两个相等的实数根，故?驻＝0，即［2（a－c）］2－4×2×［（a－b）2＋（b－c）2］＝0整理得a2＋4b2＋c2－4ab－4bc＋2ac＝0，即（a－2b＋c）2＝0∴a－2b＋c＝0，故有a＋c＝2b成立.四、二次函数的图象和x轴的交点数与“?驻”相关抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点数与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的个数一致.例４求证：抛物线y＝x2＋（k＋3）x＋2k－k2与x轴总有两个交点.证明：由方程y＝x2＋（k＋3）x＋（2k－k2）＝0，得?驻＝（k＋3）2－4（2k－k2）＝5k2－2k＋9＝5（k－■）2＋■，∵无论k取何实数值（k－■）2≥0，∴?驻＝5（k－■）2＋■＞0，∴抛物线y＝x2＋(k＋3)x＋2k－k2与x轴总有两个交点. 编辑：谢颖丽。

一元二次方程根的判别式.韦达定理

新方法一元二次方的应用及根的判别式、韦达定理讲义中考要求知识点睛一、根的判别式1.一元二次方程根的判别式的定义：运用配方法解一元二次方程过程中得到 2224()24b b ac x a a -+=，显然只有当240b ac -≥时，才能直接开平方得：2b x a += 也就是说，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠只有当系数a 、b 、c 满足条件240b ac ∆=-≥时才有实数根．这里24b ac -叫做一元二次方程根的判别式．2.判别式与根的关系：在实数范围内，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况(是否有实数根)由24b ac ∆=-确定．判别式：设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-则①0∆>⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根1,2x =．②0∆=⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122bx x a==-．③0∆<⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根．若a ，b ，c 为有理数，且∆为完全平方式，则方程的解为有理根；若∆为完全平方式，同时b -2a 的整数倍，则方程的根为整数根．说明: (1)用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值:上述判定方法也可以反过来使用，当方程有两个不相等的实数根时，0∆>;有两个相等的实数根时，0∆=;没有实数根时，0∆<．(2)在解一元二次方程时，一般情况下，首先要运用根的判别式24b ac ∆=-判定方程的根的情况(有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，无实数根)．当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根(二重根)，不能说方程只有一个根． ① 当0a >时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；② 当0a <时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点．3.一元二次方程的根的判别式的应用：2一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用：（1）运用判别式，判定方程实数根的个数；（2）利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围；（3）通过判别式，证明与方程相关的代数问题；（4）借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题，最值问题．二、韦达定理如果一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠）的两根为12x x ，，那么，就有()()212ax bx c a x x x x ++=--比较等式两边对应项的系数，得1212b x x a c x x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=⋅⎪⎩①，② ①式与②式也可以运用求根公式得到．人们把公式①与②称之为韦达定理，即根与系数的关系．因此，给定一元二次方程20ax bx c ++=就一定有①与②式成立．反过来，如果有两数1x ，2x 满足①与②，那么这两数12x x ，必是一个一元二次方程20ax bx c ++=的根．利用这一基本知识常可以简捷地处理问题．利用根与系数的关系，我们可以不求方程20ax bx c ++=的根，而知其根的正、负性．在24b ac ∆=-≥0的条件下，我们有如下结论：当0c a <时，方程的两根必一正一负．若0b a -≥，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若0ba -<，则此方程的正根小于负根的绝对值．当0c a >时，方程的两根同正或同负．若0b a ->，则此方程的两根均为正根；若0ba -<，则此方程的两根均为负根．⑴ 韦达定理：如果20(0)ax bx c a ++=≠的两根是1x ，2x ，则12b x x a +=-，12cx x a=．(隐含的条件：0∆≥)⑵ 若1x ，2x 是20(0)ax bx c a ++=≠的两根(其中12x x ≥)，且m 为实数，当0∆≥时，一般地： ① 121()()0x m x m x m --<⇔>，2x m <② 12()()0x m x m -->且12()()0x m x m -+->1x m ⇔>，2x m > ③ 12()()0x m x m -->且12()()0x m x m -+-<1x m ⇔<，2x m <特殊地：当0m =时，上述就转化为20(0)ax bx c a ++=≠有两异根、两正根、两负根的条件． ⑶ 以两个数12,x x 为根的一元二次方程(二次项系数为1)是：21212()0x x x x x x -++=． ⑷ 其他：① 若有理系数一元二次方程有一根a b +a b a ，b 为有理数)． ② 若0ac <，则方程20(0)ax bx c a ++=≠必有实数根． ③ 若0ac >，方程20(0)ax bx c a ++=≠不一定有实数根． ④ 若0a b c ++=，则20(0)ax bx c a ++=≠必有一根1x =． ⑤ 若0a b c -+=，则20(0)ax bx c a ++=≠必有一根1x =-． ⑸ 韦达定理主要应用于以下几个方面：① 已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； ② 已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； ③ 已知方程的两根，求作方程； ④ 结合根的判别式，讨论根的符号特征；⑤ 逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理；⑤ 利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的∆．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱．重、难点1. 转化思想的渗透2. 对根的判别式的理解例题精讲一、判断方程根的情况【例1】不解方程，判别下列方程的根的情况：（1）22340x x +-=；（2）216924y y +=；（3）()25170x x +-=。

一元二次方程求根公式韦达定理

一元二次方程求根公式韦达定理一元二次方程是数学中的基础知识之一，它的求解方法有很多种，其中最常用且广泛适用的方法就是韦达定理。

韦达定理是一种求解一元二次方程的公式，它可以快速且准确地求得方程的根。

我们来回顾一下一元二次方程的一般形式：ax^2 + bx + c = 0。

其中，a、b、c都是已知的实数，且a不等于0。

我们的目标是找到方程的根，即求出满足方程的x的值。

根据韦达定理，一元二次方程的根可以通过以下公式来求解：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)在这个公式中，±表示两个相反的数，即正负两个根。

√表示开方，即求平方根。

b^2 - 4ac被称为判别式，它可以用来判断方程的根的情况。

接下来，我们来详细解释一下韦达定理的求解步骤。

我们需要计算判别式b^2 - 4ac的值。

根据判别式的值，可以得出以下几种情况：1. 如果判别式大于0，即b^2 - 4ac大于0，那么方程有两个不相等的实根。

这时，我们可以将判别式开方得到的值代入公式，计算出两个实根。

2. 如果判别式等于0，即b^2 - 4ac等于0，那么方程有两个相等的实根。

这时，我们可以将判别式开方得到的值代入公式，计算出两个相等的实根。

3. 如果判别式小于0，即b^2 - 4ac小于0，那么方程没有实根。

这时，方程的解为复数，不能直接用韦达定理求解。

通过韦达定理，我们可以快速地求解一元二次方程的根。

这个公式的优点是简单易懂，适用范围广，不需要额外的计算步骤。

只需要代入方程的系数，就可以直接得到方程的根。

对于一元二次方程的求解，除了韦达定理，还有其他的方法，比如配方法、因式分解等。

这些方法在不同的情况下有各自的优势，但韦达定理作为一种通用的求解方法，可以应用于大多数的一元二次方程。

在实际应用中，一元二次方程经常出现在物理、经济、工程等领域的问题中。

通过韦达定理，我们可以准确地求解这些问题，并得到满足条件的解。