根的判别式和韦达定理(根与系数的关系)精品!!
一元二次方程根的判别式、根与系数关系
上述命题的逆命题也正确
例1：不解方程判断下列方程根的情况 ① x²-4x-1=0 ②x²+5=2x ③ x²-mx+m²+1=0
例2：k取何值时，方程4 x²-（k+2）x+（k-1）=0 ①有一个根是-1。 ②有两个相等的实根
解：∵方程x²+2ax+1=0有两个不相等的实根 ∴Δ 1=4a²-4＞0 既a²＞1 方程②中a＞1 ∴ 2a²-1＞1≠0 既方程②为一元二次方程 Δ 2=4a²-4（2a-1）2=-4（4a-1）（a-1） ∵a²＞1 ∴a²-1＞0 ∴（4a²-1）＞0 2=-4（4a²-1）（a²-1）<0 ∴方程②无实根
一元二次方程的根与系数关系
一元二次方程的根与系数关系(或称韦达定理)是初中数学内容中一个很重要的 知识点，在中考中占有重要的地位，纵观近年全国各地的中考试题，这个知 识点的考查可以解决以下几个问题：
一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是x 1，x 2，那么
点评：本题的解题关键是把a、b看作一元二次方程x 2－3x＋1＝0的 两根，利用根与系数关系得a＋b＝3，ab＝1，再通过运用整体代换 的思想代入运算，问题可求．利用根与系数的关系求与根有关的代数 式的值，
五、利用给出条件，确定一个一元二次方程中某个字母系数的值
例3 已知关于x的方程x 2＋px＋q＝0的两实数根和的平方比两实数根之积 大7，而两实数根差的平方比两实数根之积的3倍小5，求p、q值．
(x 1－x 2) 2＝3 x 1·x 2－5 ……③ ∵(x 1－x 2) 2＝(x 1＋x 2) 2-4 x 1·x 2
根的判别式与韦达定理
九年级数学讲义根的判别式与韦达定理知识要点：1． 根的判别式：设一元二次方程ax 2＋bx+c=0（a ≠0），其根的判别式为Δ＝b 2－4acΔ>0 ⇔方程有两个不相等的实数根 Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根 Δ<0 ⇔方程没有实数根2． 根与系数的关系：设一元二次方程ax 2＋bx+c=0（a ≠0）的两个根分别为x 1，x 2x 1＋x 2＝－a b x 1·x 2＝ac例1、关于x 的两个方程x 2＋4mx ＋4m 2＋2m ＋3＝0，x 2＋（2m ＋1）x ＋m 2＝0中至少有一个方程有实数根，求m 的取值范围。
例2、求证：m 为任何实数时，方程21402x m x m +-+-=()有两个不相等的实数根。
例3、已知x 1、x 2是方程x 2+3x －5=0的两根。
则x x -2122+4x 1－2x 2= 。
例4、已知方程x 2+px +q =0的两根之积比两根的和大5，且两根的平方和为25，求p 和q 的值。
例5、已知α、β是方程x 2+5x +2=0的两根求αββα+的值。
例6、已知a 、b 、c 均为实数，且a ＋b ＋c=0，abc=1。
求证：a 、b 、c 中必有一个大于23。
练习：1、不解方程，判断下列方程的根的情况。
（）127302x x +-= （ ）（）221202()()y y y -++=（ ）（）3912402x x ++= （ ）（）423402x x --= （ ）（）551702()x x +-= （ ）（）62102x mx --= （ ）2、一元二次方程ax x 2210-+=有实数根，那么a 的取值范围是 。
3、方程380312x x m m -+==的两根之比为，则:。
4、已知： 方程x x p p 226250-+-+=一根为2，则p ＝_______，它的另一个根为_________。
5、设0342,2=-+x x 是方程βα的两个根，那么ααββ223-+= 。
一元二次方程根与系数的关系和韦达定理应用探讨
∴k=1,
2若方程 的两个实根的倒数和是S，求：S的取值范围。
解：两根则m²≠0，x1+x2=(2m-3)/m²，x1x2=1/m²
S=1/x1+1/x2=(x1+x2)/x1x2=2m-3
（1）证明：
∵
∴对于任意实数k，方程①总有两个不相等的实数根。
（2）解：∵ 是方程①的两个实数根
∴方程②
∵a是方程②的根，∴
6、已知关于x的一元二次方程x2+（2m-1）x+m2=0有两个实数根x1和x2．证明：
（1）则实数m的取值范围是m≤ （2）当x12-x22=0时，则m=考点：根的判别式Fra bibliotek根与系数的关系．
即实数m的取值范围是；m≤
（2）由x12-x22=0得（x1+x2）（x1-x2）=0，
若x1+x2=0，即-（2m-1）=0，解得，m=
∵ ＞ ，
∴m= 不合题意，舍去；
若x1-x2=0，即x1=x2∴△=0，由（1）知；m=
故当x12-x22=0时，m= ．
点评：本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数关系，利用两根关系得出的结果必须满足△≥0的条件．
A、19% B、20% C、21% D、22%
6、已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程 的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（）A、 B、3 C、6 D、9
7、如果 是一元二次方程 的一个根， 是一元二次方程 的一个根，那么 的值是（）A、1或2 B、0或 C、 或 D、0或3
一元二次方程根的判别式及韦达定理常见题型及注意事项
一元二次方程根的判别式及韦达定理常见题型及注意事项一、一元二次方程跟的判别式的常见题型 题型1：不解方程，判断一元二次方程根的情况.6232)3(;0123)2(;0345)1(222x x x x x x =+=++=--题型2：证明一元二次方程根的情况求证：无论k 取何实数，关于x 的一元二次方程：2(1)40x k x k -++-=总有两个不等实根。
题型3：已知一元二次方程根的情况．．，求方程中未知系数的取值范围 1．（ 2011·重庆）已知关于x 的一元二次方程．．．．．．(a －1)x 2－2x +1=0有两个不相等的．．．．．．实数根,则a 的取值范围是( )<2 B,a >2 <2且a ≠1 <－2·变式1：（2010·安徽芜湖）关于x 的方程．．(a －5)x 2－4x －1＝0有实数根．．．．，则a 满足（） A ．a ≥1 B ．a ＞1且a ≠5 C ．a ≥1且a ≠5 D ．a ≠5变式2：（2010 ·成都）若关于x 的一元二次方程2420x x k ++=有两个实数根，求k 的取值范围及k 的非负整数．．．．值.变式3：已知关于x 的一元二次方程(12)10k x --=有两个实数根，求k 的取值范围二、一元二次方程根与系数的关系------韦达定理的常见题型 题型1：已知一元二次方程的一根，求另一根及未知系数k 的值已知2-是方程210x kx ++=的一根，则方程的另一根是 ，k = 。
题型2：求与一元二次方程根有关的代数式的值；1. 已知12,x x 是方程22430x x --=的两根，计算： （1）2212x x +； ⑵1211x x +；⑶212()x x -变式：已知,a b 是方程2201230x x -+=的两实根，求22(20103)(20103)a a b b -+-+的值题型3：已知一元二次方程两根的关系．．．．．，求方程中未知系数的取值 1． 关于x 的一元二次方程22(21)10x k x k +-+-=的两个实根的平方和等于9，求k 的值变式1： （2011·荆州）关于x 的方程0)1(2)13(2=+++-a x a ax 有两个不相等的实根1x 、2x ，且有a x x x x -=+-12211，则a 的值是（ ）A ．1B ．－1C ．1或－1D ． 2变式2：（2010·中山）已知一元二次方程022=+-m x x ．（1）若方程有两个实数根，求m 的范围；（2）若方程的两个实数根为1x ，2x ，且1x +32x =3，求m 的值。
第3讲：一元二次方程根的判别式、根与系数的关系(韦达定理)
金银学校2010年秋期初2011级一诊考试数学复习（二）“第23章：一元二次方程”第3讲：一元二次方程根的判别式、根与系数的关系（韦达定理）一．课堂反馈1．（03泸州）一元二次方程210x x ++=的根的情况是（ ）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.以上说法都不对 2．（04泸州17题）已知：一元二次方程2440(0)k x x k ++=≠，当k 为何值时，方程有两个相等的实数根（ ）A. 12k =B.12k =-C. 1k =D. 1k =-3．（07泸州）若关于x 的一元二次方程02.2=+-m x x 没有实数根，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1m < B ．1m >- C ．1m > D ．1m <- 4．（08泸州）已知关于x 的一元二次方程()21210k x x ++-=有两个不相同的实数根，则k 的取值范围是5．(10安徽芜湖7题)关于x 的方程2(5)410a x x ---=有实数根，则a 满足（ ） A ．1a ≥ B ．15a a >≠且 C ．15a a ≥≠且 D ．5a ≠6．（03泸州）设12,x x 是方程22410x x +-=的两个根，则2212x x += .7．（10泸州）已知一元二次方程21)10x x -+=的两根为12x x ，，则1211x x +=_________.8．（07泸州）若非零实数)(,b a b a ≠满足020072=-+a a ,020072=-+b b ，则=+ba 11____________.9．（09泸州B4）已知方程11=-xx 的两根为1x 、2x ，则=+21x x ．10．（10日照）如果关于x 的一元二次方程20x p x q ++=的两根分别为122,1x x ==，那么,p q 的值分别是（ ） A ．－3，2 B 3，-2 C 2，－3 D 2，3 二．典例精析 例1．（09泸州B6）有A 、B 两个黑布袋，A 布袋中装有四个除标号外完全相同的小球，小球上分别标有数字0，1，2，3， B 布袋中装有三个除标号外完全相同的小球，小球上分别标有数字0，1，2．小明先从A 布袋中随机取出—个小球，用m 表示取出的球上标有的数字，再从B 布袋中随机取出一个小球，用n 表示取出的球上标有的数字．（1）若用(m ，n)表示小明取球时m 与n 的对应值，请画出树状图并写出(m ，n)的所有取值；（2）求关于x 的一元二次方程0212=+-n mx x 有实数根的概率．例2．已知关于x 的方程22x －4x ＋3q ＝0的一个根是1－2，求它的另一个根和q 的值．例3．（08泸州压轴题）如图，已知二次函数2y a x b x c =++的图象经过三点A ()1,0-，B ()3,0，C ()0,3，它的顶点为M ，又正比例函数y k x =的图像与二次函数相交于两点D 、E ，且P 是线段DE 的中点.（1）求该二次函数的解析式，并求函数顶点M 的坐标；（2）已知点E ()2,3，且二次函数的函数值大于正比例函数时，试根据函数图象求出符合条件的自变量x 的取值范围；（3）当02k <<时，求四边形PCMB 的面积s 的最小值.【参考公式：已知两点()11D ,x y ，()22E ,x y ，则线段DE 的中点坐标为1212,x x y y ++⎛⎫】三．自我测评 1．（02泸州）下列方程有实数根的是（ ）A ．x 2－x －1＝0 B. x 2＋x ＋1＝0 C. x 2－6x ＋10＝0 D. x 2－2x ＋1＝0 2．（05泸州非课改15题）下列方程中，没有实数根的是（ ） A ．012=++x x B ．0122=++x x C ．0122=--x x D ．022=--x x3. (10兰州) 已知关于x 的一元二次方程2(1)10m x x -++=有实数根，则m 的取值范围是 ．4．(10安徽B 卷5)关于x 的方程2(6)860a x x --+=有实数根，则整数a 的最大值是（ ）A ．6B ．7C ．8D ．95．（04泸州B2）已知：12,x x 是方程2430x x +-=的两根，则1211x x +＝＿＿＿.6．（10四川眉山）已知方程2520x x -+=的两个解分别为1x 、2x ，则1212x x x x +-⋅的值为（ ） A ．7- B ．3- C ．7 D ．37．(10安徽芜湖14题)已知12,x x 为方程2310x x ++=的两实根，则312820x x ++＝_______．8．（10广东广州）已知关于x 的一元二次方程)0(012≠=++a bx ax 有两个相等的实数根，求4)2(222-+-ba ab的值.9．（02泸州压轴题）已知：抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A(x 1，0)，B(x 2，0)(x 1<x 2)，顶点M 的纵坐标是－4。
韦达定理与根的判别式
韦达定理与根的判别式这个专题是一二次方程是的判别式与韦达定理知识要点和练习韦达定理与根的判别式知识点：1、根的判别式b24ac（1）b24ac 0 ，方程有两个不相等的实数根；（2）b2 4ac 0，方程有两个相等的实数根；（3）b2 4ac 0，方程没有实数根；2、韦达定理已知x1,x2是一元二次方程的两根，则有xb1 x2ax1x2ca例1：已知一元二次方程x22x m 1 0 （1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）设x21,x2是方程的两个实数根，且满足x1 x1x2 1，求m的值练习：1、方程x23 0的根的情况是（）A有两个不等的有理实根B有两个相等的有理实根C有两个不等的无理实根D有两个相等的无理实根2、已知x2 1,x2是方程2x 3x 4 0的两个根，则（）A x331 x2 2 ，x1x2 2 B x1 x2 2 ，x1x2 2 C x1 x322，x1x2 2 D x31 x22，x1x2 23、已知方程x2 2 0，则此方程（）A 无实数根B两根之和为C两根之积为2D有一根为2 1这个专题是一二次方程是的判别式与韦达定理知识要点和练习4、已知x1,x2是方程2x 3x 1 0的两个根，则3221x11x2的值为（）A 3B -3C D5、若将二次三项式x2 px 6因式分解，分解后的一个因式是x-3，则p的值是（）A -5 B -1 C 1 D 56、已知x1,x2是方程x 4x 3 0的两个根，那么x1x2的值是（） A - 4 B 4 C -3 D 37、在一元二次方程ax2 bx c 0(a 0)中，若a与c异号，则方程（）A 有两个不相等的实数根 B 有两个相等的实数根 C 没有实数根 D 根的情况无法确定8、已知一元二次方程的两根分别为x1 3,x2 4，则这个方程为（） A (x 3)(x 4) 0 B (x 3)(x 4) 0 C (x 3)(x 4) 0 D (x 3)(x 4) 09、关于x的一元二次方程3x 2x k 1 0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（） A k432243且k 1 C k2243D k4310、若关于x的一元二次方程(m 2)x (2m 1)x 1 0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（） A m43B m43C m43且m 2 D m43且m 22211、已知一直角三角形的三边为a、b、c，∠B=90 ，那么关于x的方程a(x 1) 2cx b(x 1) 0的根的情况为（）A 有两个不相等的实数根B 有两个相等的实数根C 没有实数根D 无法确定12、设x1,x2是方程2x 4x 3 0的两个根，则2221x11x213、已知关于x的方程x 2(m 2)x m 0有两个实数根，且两根的平方和等于16，则m的值为14、已知方程x (12x20的两根为x1,x2，则x1 x2的值为2215、关于x的一元二次方程mx (3m 1)x m 0，其根的判别式的值为1，求m的值及该方程的根。
方程根与系数关系
一元二次方程根与系数关系【知识点】一元二次方程根的判别式、判别式与根的个数关系、判别式与根、韦达定理及其逆定理【内容分析】1.一元二次方程的根的判别式一元二次方程20ax bx c ++=(a ≠0)的根的判别式24b ac ∆=-⑴当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；⑵ 当△＝0时，方程有两个相等的实数根，⑶当△＜0时，方程没有实数根．2.一元二次方程的根与系数的关系(1)如果一元二次方程20ax bx c ++=(a ≠0)的两个根是12,x x ，那么ab x x -=+21，a c x x =21 (2)如果方程20x px q ++=的两个根是12,x x ，那么1212,x x p x x q +=-⋅=(3)以12,x x 为根的一元二次方程(二次项系数为1)是()212120x x x x x x -++=． ()212120x x x x x x -++=．3.二次三项式的因式分解(公式法)在分解二次三项式2ax bx c ++的因式时，如果可用公式求出方程20ax bx c ++=的两个根是12,x x ，那么()()212ax bx c a x x x x ++=--．【考查重点与常见题型】1.利用根的判别式判别一元二次方程根的情况，有关试题出现在选择题或填空题中，如：关于x 的方程ax 2－2x ＋1＝0中，如果a<0，那么梗的情况是（ ）（A ）有两个相等的实数根 （B ）有两个不相等的实数根（C ）没有实数根 （D ）不能确定2.利用一元二次方程的根与系数的关系求有关两根的代数式的值，有关问题在中考试题中出现的频率非常高，多为选择题或填空题，如：设x 1，x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根，则x 12＋x 22的值是（ ）（A ）15 （B ）12 （C ）6 （D ）33．在中考试题中常出现有关根的判别式、根与系数关系的综合解答题。
在近三年试题中又出现了有关的开放探索型试题，考查了考生分析问题、解决问题的能力。
精品 九年级数学上册 一元二次方程判别式和韦达定理
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13. 已知方程 x2 + 2( m – 3 )x + m2 – 7m – n + 12 = 0 有两个相等的实数根， 且 m、 n 满足 2m – n = 0. （1）求 m、n 的值， （2）证明方程 ( -m + n )x2 + nkx + 2k – ( m + n ) = 0 有两个不相等的实数根.
B.有两个相等的实数根 D.根的情况无法判断 ）.
练习 2.关于 x 的方程 (a 6) x 2 8 x 6 0 有实数根，则整数 a 的最大值（ A.6 B.7 C.8 D.9
练习3.已知关于x的方程x 2 (3k 1) x 2k 2 2k 0. (1)求证 : 无论k 取何实数值, 方程总有实数根; (2)若等腰三角形ABC的一边长a 6,, 另两边b, c恰好是这个方程的两个根, 求此三角形的周长.
y2 4y 4 0
4．若关于 x 的方程 2 x 2 m 2 x 3m 5 0 的两个根互为负倒数，则 m 的值是 （ ） A． 4
[巩固练习]
1．以 3 和－2 为根的一元二次方程是（ A． x 2 x 6 0 B． x 2 x 6 0 ） C． x 2 x 6 0 D．
x2 x 6 0
2．已知α，β满足α+β=5 且αβ=6，以α，β为两根的一元二次方程是（ A． x 2 5x 6 0 B． x 2 5x 6 0 C． x 2 5x 6 0 ） D．
1 x1 + x2 = ，则 x1 · x2 = 3
。
2
类题练习： （ 1 ） 若 x1 、 x 2 是 方 程 x 2 x m 0 的 两 个 根 ， 且
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第 1 页 共 2 页 根的判别式和韦达定理（根与系数的关系） 应用：不解方程，根据系数看根的情况。
一般式ax 2
+bx+c=0（以正a 为标准，即二次项系数为负时，两边乘-1转为正，
这样减少错误，减少思考过程） 口诀，以正a 为标准的前提下，
常数项c ：是看两根符号的异同（两根关系，即是互异，还是同号）
大致情况 [注：互异指符号相反，但不一定是相反数]
一次项系数b ：是决定符号的正负。
[注：同号时，b 决定同正还是同负]
具体情况 具体指明 互异时，b 决定正负值谁绝对值大]
例如：x 1,x 2同为正时，x 1+ x 2＞0
两根式：x 2
-(x 1+x 2)x+x 1x 2=0
系数比式：02=++a c
x a b
x （系数比式：就是将二次项系数化为1，以a 作比后项）
形式比较：－（x 1+x 2）=b a
(两根和与相邻系数比互为相反数) x 1x 2=c
a (两根积与相隔系数比同号)
以正a 为标准，（是负转为正，减少思维过程，减少错误）
X 1X 2=c a 是看两根符号的异同 c 为两根积象征 X 1+X 2=-b a
是看两根符号的正负。
b 为两根和象征 ①c ＞0 （符号同） ①b ＜0 和＞0 (同正)[注-b\a 为和] 积＞0 [注]中间(b)定符号，口诀a 大则b\两根和变化
[注]两边(a,c)看异同(两根异同) 方向相反，反之亦然
说明：a 大 b 小\两根(同为正） ②b ＞0(同负) b 大\两根(同为负）a 小… △＞0 ①b ＜0 和＞0 (正值的绝对值大) 不等实根 ②c ＜0 (符号异) ②b ＞0 和＜0 (负值的绝对值大) ③b=0(互为相反数)
△≥0 ③互为倒数：X 1X 2=c a
=1（即a=c ） 有两根 ④含有一个零根：c=0(积=0){一根为0，另一根为-b a
b 小\和大：（0,根）
以正a 为标准
b小0，和大0（同正）
①c＞0（符号同）
积＞0 b大0，和小0（同负）
△=0
相等实根
（注：无异号根，
同正，同负或0）②c=0，b=0 (两根同为0根)
积=0，和=0
小结：（两根符号的口诀）两边（a,c）看异同，中间（b）定符号即：异同与性质符号定号须讲究，a大b\和反（b与两根和大小变化方向相反）（a是看b与两根和变化方向）a小b\和同
例如：①（正a）ax2+bx+c=0 ②(负a) ax2+bx+c=0
正负正（两正根）负正负（两正根）
正正正（两负根）负负负（两负根）
正正负（异号根︱负︱＞0）负负正（︱负︱＞0）
正负负（异号根︱正︱＞0）负正正（︱正︱＞0）
正负0 （正和0）负正0 （正和0）
正正0 （负和0）负负0 （负和0）
a=======c(互为倒数) a=======c(互为倒数)
正0 0 （两根为0）负0 0 由上表可知：
1.有两正根：△≥0（b2-4ac≥0）c
a
＞0(积＞0),且
b
a
＜0 (和＞0)
总结
2. 有两负根：△≥0（b2-4ac≥0）c
a
＞0(积＞0),且
b
a
＞0 （和＜0）
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