南大复变函数与积分变换课件(PPT版)8.3 傅立叶变换的性质
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1
P198 例8.11 修改
[ f (2t ) ]
1 / 2 , F 2 2 0,
| | 4 , | | 4 .
16
§8.3 傅里叶变换的性质 求 [ f ( t )] . 第 例 设 八 2 g ( t ) cos t , 则 f ( t ) t g ( t ) , 章 解 令 傅 里 叶 变 换 又已知 G ( ) 根据微分性质
定义 设函数 f 1 ( t ) 与 f 2 ( t ) 在区间 ( , ) 上有定义， 如果
P200 定义 8.2
广义积分
f 1 ( ) f 2 ( t ) d
对任何实数 t 都收敛，则
它在 ( , ) 上定义了一个自变量为 t 的函数，称此 函数为 f 1 ( t ) 与 f 2 ( t ) 的卷积，记 为 f 1 ( t ) f 2 ( t ) , 即
上式可用来求
t f (t ) 的 Fourier 变换．
n
j t dt , 记忆 由 F ( ) f ( t ) e
F ( )
( jt ) f ( t ) e
n
j t
dt; dt .
F ( n ) ( )
( jt ) f ( t ) e
1
[F
(n)
( ) ] ( j t ) f ( t ) .
n
[
t
f (t ) d t ]
1 j 1
F ( ) .
2 Parseval 等式 f ( t ) d t | F ( ) | d . 2 π 2
( 直接进入 Parseval 等式举例? )
j t 记忆 由 f ( t ) F ( ) e d ,
f ( t )
j F ( ) e
n
j t
d ;
j t
f ( n) (t )
( j ) F ( ) e
d .
9
§8.3 傅里叶变换的性质 第 一、基本性质 八 章 4. 微分性质 傅 里 叶 变 换 同理，可得到像函数的导数公式
[ f ( t ) ] , G ( )
[ g(t ) ].
对于涉及到的一些运算(如求导、积分、极限及求和等) 的次序交换问题，均不另作说明。 1. 线性性质 性质 设 a , b 为常数，则
直接进入基本 性质汇总？
证明 (略) 2
§8.3 傅里叶变换的性质 第 一、基本性质 八 章 2. 位移性质 傅 性质 设 t 0 , 0 为实常数，则 里 j t 0 F ( ) ; (时移性质) (1) [ f ( t t 0 ) ] e 叶 变 (2) 1 [ F ( 0 )] e j 0 t f ( t ) . (频移性质) 换 证明 (1)
),
根据线性性质和频移性质有
[ f ( t )]
1 j ( 0 )
2 j
π ( 0 )
1 j ( 0 )
π ( 0 )
2 0
2
π [ ( 0 ) ( 0 )] .
15
§8.3 傅里叶变换的性质 第 八 章 傅 里 解 根据相似性质有 叶 [ g(t ) ] G ( ) 变 换
17
§8.3 傅里叶变换的性质 第 八 章 傅 里 叶 变 换
P200 例8.12
解 设矩形脉冲函数
1 , f (t ) 0 ,
|t | 1, |t | 1,
2 sin
已知
f ( t ) 的频谱为 F ( )
2
,
2
由 Parserval 等式有
§8.3 傅里叶变换的性质 第 一、基本性质 八 章 3. 相似性质 傅 性质 里 在电信通讯中， 叶 变 为了迅速地传递信号，希望信号的脉冲宽度要小； 换 为了有效地利用信道，希望信号的频带宽度要窄。 相似性质表明这两者是矛盾的，因为同时压缩脉冲宽度和 频带宽度是不可能的。
7
§8.3 傅里叶变换的性质 第 一、基本性质 八 章 4. 微分性质 傅 性质 若 | t lim f ( t ) 0 , 则 [ f ( t ) ] j F ( ) . | 里 叶 证明 由 lim f ( t ) 0 , 有 lim f ( t ) e j t 0 , | t | | t | 变 换 j t [ f ( t ) ] f ( t ) e dt
时移性质表明：当一个信号沿时间轴移动后，各频率成份
的大小不发生改变，但相位发生变化；
频移性质则被用来进行频谱搬移，这一技术在通信系统中
得到了广泛应用。 4
§8.3 傅里叶变换的性质 第 一、基本性质 八 章 3. 相似性质 傅 性质 里 叶 证明 (1) 当 a 0 时， 变 j t [ f (a t ) ] f (a t ) e dt 换
f (t ) e
j t
j
f (t ) e
j t
dt
j F ( ) .
8
§8.3 傅里叶变换的性质 第 一、基本性质 八 章 4. 微分性质 傅 性质 若 | t lim f ( t ) 0 , 则 [ f ( t ) ] j F ( ) . | 里 (k ) 叶 一般地，若 lim f ( t ) 0 , ( k 0, 1, 2, , n 1) , | t | 变 (n) n 换 则 [ f ( t ) ] ( j ) F ( ) .
(2) 结合律
f 1 ( t ) [ f 2 ( t ) f 3 ( t )] [ f 1 ( t ) f 2 ( t )] f 3 ( t ) .
(3) 分配律
f 1 ( t ) [ f 2 ( t ) f 3 ( t )] f 1 ( t ) f 2 ( t ) f 1 ( t ) f 3 ( t ) .
[
t
[ f ( t ) ] j
[ g(t ) ],
f (t ) d t ]
1 j
F ( ) .
11
§8.3 傅里叶变换的性质 第 一、基本性质 八 1 2 2 f (t ) d t | F ( ) | d . 章 6. 帕塞瓦尔(Parseval)等式 2 π 傅 j t j t 证明 由 F ( ) f ( t ) e d t , 有 F ( ) f ( t ) e d t , 里 叶 1 变 右边 F ( ) F ( ) d 换 2π
[ f ( t )]
[ cos t ] π ( 1 ) π ( 1 ) ,
1
f ( t ) t cos t ,
2
[ G ( ) ] ( j t ) g ( t ) ,
2
有
[ t g ( t ) ] G ( )
2
π ( 1 ) π ( 1 ) .
[ f (t t0 ) ]
f (t t0 ) e f ( x) e
j t
dt dx
令 x t t0
e
j t 0
j x
e
j t 0
F ( ) ;
(2) 同理，可得到频移性质。
3
ຫໍສະໝຸດ Baidu
§8.3 傅里叶变换的性质 第 一、基本性质 八 章 2. 位移性质 傅 性质 设 t 0 , 0 为实常数，则 里 j t 0 F ( ) ; (时移性质) (1) [ f ( t t 0 ) ] e 叶 变 (2) 1 [ F ( 0 )] e j 0 t f ( t ) . (频移性质) 换
1 2π
F ( ) [ 1 2π
f (t ) e
j t
d t ]d
f (t )
2
[
F ( ) e
j t
d ]d t
f (t ) d t
= 左边 . 12
§8.3 傅里叶变换的性质 第 一、基本性质(汇总) 八 [ a f ( t ) b g ( t ) ] a F ( ) b G ( ) . 章 线性性质 傅 里 位移性质 叶 变 换 相似性质
20
§8.3 傅里叶变换的性质 第 八 章
P201 例 8.13
f ( )
傅 解 f ( t ) g ( t ) f ( ) g ( t ) d , 里 叶 (1) 当 t 0 时， f ( t ) g ( t ) 0 . 变 换 (2) 当 t 0 时，
f1 (t ) f 2 (t )
f 1 ( ) f 2 ( t ) d .
19
§8.3 傅里叶变换的性质 第 二、卷积与卷积定理 八 章 1. 卷积的概念与运算性质 傅 里 叶 变 换
性质 (1) 交换律
P201
f1 ( t ) f 2 ( t ) f 2 (t ) f1 (t ) .
令 x at 1
a
j
a
x
f ( x) e
F dx ; a a 1
(2) 当 a 0 时，
同理可得
[ f (a t ) ] F . a a 1
5
§8.3 傅里叶变换的性质 第 一、基本性质 八 章 3. 相似性质 傅 性质 里 叶 相似性质表明， 若信号被压缩 (a 1) , 则其频谱被扩展； 变 若信号被扩展 (a 1) , 则其频谱被压缩。 换 事实上，在对矩形脉冲函数的频谱分析中(§8.1)已知， 脉冲越窄，则其频谱(主瓣)越宽; 脉冲越宽，则其频谱(主瓣)越窄。 相似性质正好体现了脉冲宽度与频带宽度之间的反比关系。 6
| F ( ) | d 2 π
1 1
f (t ) d t .
4 sin
2
2
d 2π
1 d t 4π .
2
由于被积函数为偶函数，故有
0
sin
2
2
d
π 2
.
18
§8.3 傅里叶变换的性质 第 二、卷积与卷积定理 八 章 1. 卷积的概念与运算性质 傅 里 叶 变 换
14
§8.3 傅里叶变换的性质 第 例 设 f ( t ) u( t ) 2 cos 0 t , 求 [ f ( t )] . 八 1 章 解 已知 [ u ( t )] π ( ) ,
j
傅 里 叶 变 换
又
f ( t ) u( t ) (e
j 0 t
e
j 0 t
j t
10
§8.3 傅里叶变换的性质 第 一、基本性质 八 章 5. 积分性质 傅 性质 里 叶 证明 令 g ( t ) t f ( t ) d t , 则 lim g( t ) 0 , | t | 变 换 由微分性质有 [ g ( t ) ] j G ( ) , 又 g ( t ) f ( t ) , 有 即得
§8.3 傅里叶变换的性质 第 八 章 傅 里 叶 变 换
§8.3 傅立叶变换的性质
一、基本性质 二、卷积与卷积定理 *三、利用 Matlab 实现 Fourier 变换
1
§8.3 傅里叶变换的性质 第 一、基本性质 八 在下面给出的基本性质中，所涉及到的函数的 Fourier 章 傅 里 叶 变 换 变换均存在，且 F ( )
[ f (t t0 )] e
1
j t 0
F ( ) ;
(时移性质) (频移性质)
[ F ( 0 )] e
j 0 t
f (t ) .
[ f (a t ) ] F . |a | a 1
13
§8.3 傅里叶变换的性质 第 一、基本性质(汇总) 八 (n) n [ f ( t ) ] ( j ) F ( ) ; 章 微分性质 傅 里 叶 变 积分性质 换
P198 例8.11 修改
[ f (2t ) ]
1 / 2 , F 2 2 0,
| | 4 , | | 4 .
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§8.3 傅里叶变换的性质 求 [ f ( t )] . 第 例 设 八 2 g ( t ) cos t , 则 f ( t ) t g ( t ) , 章 解 令 傅 里 叶 变 换 又已知 G ( ) 根据微分性质
定义 设函数 f 1 ( t ) 与 f 2 ( t ) 在区间 ( , ) 上有定义， 如果
P200 定义 8.2
广义积分
f 1 ( ) f 2 ( t ) d
对任何实数 t 都收敛，则
它在 ( , ) 上定义了一个自变量为 t 的函数，称此 函数为 f 1 ( t ) 与 f 2 ( t ) 的卷积，记 为 f 1 ( t ) f 2 ( t ) , 即
上式可用来求
t f (t ) 的 Fourier 变换．
n
j t dt , 记忆 由 F ( ) f ( t ) e
F ( )
( jt ) f ( t ) e
n
j t
dt; dt .
F ( n ) ( )
( jt ) f ( t ) e
1
[F
(n)
( ) ] ( j t ) f ( t ) .
n
[
t
f (t ) d t ]
1 j 1
F ( ) .
2 Parseval 等式 f ( t ) d t | F ( ) | d . 2 π 2
( 直接进入 Parseval 等式举例? )
j t 记忆 由 f ( t ) F ( ) e d ,
f ( t )
j F ( ) e
n
j t
d ;
j t
f ( n) (t )
( j ) F ( ) e
d .
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§8.3 傅里叶变换的性质 第 一、基本性质 八 章 4. 微分性质 傅 里 叶 变 换 同理，可得到像函数的导数公式
[ f ( t ) ] , G ( )
[ g(t ) ].
对于涉及到的一些运算(如求导、积分、极限及求和等) 的次序交换问题，均不另作说明。 1. 线性性质 性质 设 a , b 为常数，则
直接进入基本 性质汇总？
证明 (略) 2
§8.3 傅里叶变换的性质 第 一、基本性质 八 章 2. 位移性质 傅 性质 设 t 0 , 0 为实常数，则 里 j t 0 F ( ) ; (时移性质) (1) [ f ( t t 0 ) ] e 叶 变 (2) 1 [ F ( 0 )] e j 0 t f ( t ) . (频移性质) 换 证明 (1)
),
根据线性性质和频移性质有
[ f ( t )]
1 j ( 0 )
2 j
π ( 0 )
1 j ( 0 )
π ( 0 )
2 0
2
π [ ( 0 ) ( 0 )] .
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§8.3 傅里叶变换的性质 第 八 章 傅 里 解 根据相似性质有 叶 [ g(t ) ] G ( ) 变 换
17
§8.3 傅里叶变换的性质 第 八 章 傅 里 叶 变 换
P200 例8.12
解 设矩形脉冲函数
1 , f (t ) 0 ,
|t | 1, |t | 1,
2 sin
已知
f ( t ) 的频谱为 F ( )
2
,
2
由 Parserval 等式有
§8.3 傅里叶变换的性质 第 一、基本性质 八 章 3. 相似性质 傅 性质 里 在电信通讯中， 叶 变 为了迅速地传递信号，希望信号的脉冲宽度要小； 换 为了有效地利用信道，希望信号的频带宽度要窄。 相似性质表明这两者是矛盾的，因为同时压缩脉冲宽度和 频带宽度是不可能的。
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§8.3 傅里叶变换的性质 第 一、基本性质 八 章 4. 微分性质 傅 性质 若 | t lim f ( t ) 0 , 则 [ f ( t ) ] j F ( ) . | 里 叶 证明 由 lim f ( t ) 0 , 有 lim f ( t ) e j t 0 , | t | | t | 变 换 j t [ f ( t ) ] f ( t ) e dt
时移性质表明：当一个信号沿时间轴移动后，各频率成份
的大小不发生改变，但相位发生变化；
频移性质则被用来进行频谱搬移，这一技术在通信系统中
得到了广泛应用。 4
§8.3 傅里叶变换的性质 第 一、基本性质 八 章 3. 相似性质 傅 性质 里 叶 证明 (1) 当 a 0 时， 变 j t [ f (a t ) ] f (a t ) e dt 换
f (t ) e
j t
j
f (t ) e
j t
dt
j F ( ) .
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§8.3 傅里叶变换的性质 第 一、基本性质 八 章 4. 微分性质 傅 性质 若 | t lim f ( t ) 0 , 则 [ f ( t ) ] j F ( ) . | 里 (k ) 叶 一般地，若 lim f ( t ) 0 , ( k 0, 1, 2, , n 1) , | t | 变 (n) n 换 则 [ f ( t ) ] ( j ) F ( ) .
(2) 结合律
f 1 ( t ) [ f 2 ( t ) f 3 ( t )] [ f 1 ( t ) f 2 ( t )] f 3 ( t ) .
(3) 分配律
f 1 ( t ) [ f 2 ( t ) f 3 ( t )] f 1 ( t ) f 2 ( t ) f 1 ( t ) f 3 ( t ) .
[
t
[ f ( t ) ] j
[ g(t ) ],
f (t ) d t ]
1 j
F ( ) .
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§8.3 傅里叶变换的性质 第 一、基本性质 八 1 2 2 f (t ) d t | F ( ) | d . 章 6. 帕塞瓦尔(Parseval)等式 2 π 傅 j t j t 证明 由 F ( ) f ( t ) e d t , 有 F ( ) f ( t ) e d t , 里 叶 1 变 右边 F ( ) F ( ) d 换 2π
[ f ( t )]
[ cos t ] π ( 1 ) π ( 1 ) ,
1
f ( t ) t cos t ,
2
[ G ( ) ] ( j t ) g ( t ) ,
2
有
[ t g ( t ) ] G ( )
2
π ( 1 ) π ( 1 ) .
[ f (t t0 ) ]
f (t t0 ) e f ( x) e
j t
dt dx
令 x t t0
e
j t 0
j x
e
j t 0
F ( ) ;
(2) 同理，可得到频移性质。
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ຫໍສະໝຸດ Baidu
§8.3 傅里叶变换的性质 第 一、基本性质 八 章 2. 位移性质 傅 性质 设 t 0 , 0 为实常数，则 里 j t 0 F ( ) ; (时移性质) (1) [ f ( t t 0 ) ] e 叶 变 (2) 1 [ F ( 0 )] e j 0 t f ( t ) . (频移性质) 换
1 2π
F ( ) [ 1 2π
f (t ) e
j t
d t ]d
f (t )
2
[
F ( ) e
j t
d ]d t
f (t ) d t
= 左边 . 12
§8.3 傅里叶变换的性质 第 一、基本性质(汇总) 八 [ a f ( t ) b g ( t ) ] a F ( ) b G ( ) . 章 线性性质 傅 里 位移性质 叶 变 换 相似性质
20
§8.3 傅里叶变换的性质 第 八 章
P201 例 8.13
f ( )
傅 解 f ( t ) g ( t ) f ( ) g ( t ) d , 里 叶 (1) 当 t 0 时， f ( t ) g ( t ) 0 . 变 换 (2) 当 t 0 时，
f1 (t ) f 2 (t )
f 1 ( ) f 2 ( t ) d .
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§8.3 傅里叶变换的性质 第 二、卷积与卷积定理 八 章 1. 卷积的概念与运算性质 傅 里 叶 变 换
性质 (1) 交换律
P201
f1 ( t ) f 2 ( t ) f 2 (t ) f1 (t ) .
令 x at 1
a
j
a
x
f ( x) e
F dx ; a a 1
(2) 当 a 0 时，
同理可得
[ f (a t ) ] F . a a 1
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§8.3 傅里叶变换的性质 第 一、基本性质 八 章 3. 相似性质 傅 性质 里 叶 相似性质表明， 若信号被压缩 (a 1) , 则其频谱被扩展； 变 若信号被扩展 (a 1) , 则其频谱被压缩。 换 事实上，在对矩形脉冲函数的频谱分析中(§8.1)已知， 脉冲越窄，则其频谱(主瓣)越宽; 脉冲越宽，则其频谱(主瓣)越窄。 相似性质正好体现了脉冲宽度与频带宽度之间的反比关系。 6
| F ( ) | d 2 π
1 1
f (t ) d t .
4 sin
2
2
d 2π
1 d t 4π .
2
由于被积函数为偶函数，故有
0
sin
2
2
d
π 2
.
18
§8.3 傅里叶变换的性质 第 二、卷积与卷积定理 八 章 1. 卷积的概念与运算性质 傅 里 叶 变 换
14
§8.3 傅里叶变换的性质 第 例 设 f ( t ) u( t ) 2 cos 0 t , 求 [ f ( t )] . 八 1 章 解 已知 [ u ( t )] π ( ) ,
j
傅 里 叶 变 换
又
f ( t ) u( t ) (e
j 0 t
e
j 0 t
j t
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§8.3 傅里叶变换的性质 第 一、基本性质 八 章 5. 积分性质 傅 性质 里 叶 证明 令 g ( t ) t f ( t ) d t , 则 lim g( t ) 0 , | t | 变 换 由微分性质有 [ g ( t ) ] j G ( ) , 又 g ( t ) f ( t ) , 有 即得
§8.3 傅里叶变换的性质 第 八 章 傅 里 叶 变 换
§8.3 傅立叶变换的性质
一、基本性质 二、卷积与卷积定理 *三、利用 Matlab 实现 Fourier 变换
1
§8.3 傅里叶变换的性质 第 一、基本性质 八 在下面给出的基本性质中，所涉及到的函数的 Fourier 章 傅 里 叶 变 换 变换均存在，且 F ( )
[ f (t t0 )] e
1
j t 0
F ( ) ;
(时移性质) (频移性质)
[ F ( 0 )] e
j 0 t
f (t ) .
[ f (a t ) ] F . |a | a 1
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§8.3 傅里叶变换的性质 第 一、基本性质(汇总) 八 (n) n [ f ( t ) ] ( j ) F ( ) ; 章 微分性质 傅 里 叶 变 积分性质 换