10.3 格林公式
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格林公式及其应用
§10.3 格林公式及其应用一、格林公式一元微积分学中最基本的公式 — 牛顿、莱布尼兹公式'=-⎰F x dx F b F a ab ()()()表明：函数'F x ()在区间[,]a b 上的定积分可通过原函数F x ()在这个区间的两个端点处的值来表示。
无独有偶,在平面区域D 上的二重积分也可以通过沿区域D 的边界曲线L 上的曲线积分来表示,这便是我们要介绍的格林公式。
1、单连通区域的概念设D 为平面区域,如果D 内任一闭曲线所围的部分区域都属于D ,则称D 为平面单连通区域；否则称为复连通区域。
通俗地讲,单连通区域是不含“洞”(包括“点洞”)与“裂缝”的区域。
2、区域的边界曲线的正向规定设L 是平面区域D 的边界曲线,规定L 的正向为:当观察者沿L 的这个方向行走时,D 内位于他附近的那一部分总在他的左边。
简言之:区域的边界曲线之正向应适合条件,人沿曲线走,区域在左手。
3、格林公式【定理】设闭区域D 由分段光滑的曲线L 围成,函数P x y (,)及Q x y (,)在D 上具有一阶连续偏导数,则有()∂∂∂∂Q x Py dxdy Pdx Qdy DL -=+⎰⎰⎰ (1)其中L 是D 的取正向的边界曲线。
公式(1)叫做格林(green)公式。
【证明】先证 -=⎰⎰⎰∂∂Py dxdy Pdx D L假定区域D 的形状如下(用平行于y 轴的直线穿过区域,与区域边界曲线的交点至多两点)易见,图二所表示的区域是图一所表示的区域的一种特殊情况,我们仅对图一所表示的区域D 给予证明即可。
D a x b x y x :,()()≤≤≤≤ϕϕ12[]-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰∂∂∂∂ϕϕϕϕP y dxdy dx P y dy P x y dx D a b x x abx x 1212()()()()(,)=--⎰{[,()][,()]}P x x P x x dxabϕϕ21另一方面,据对坐标的曲线积分性质与计算法有Pdx Pdx Pdx Pdx PdxLABBCCEEA⎰⎰⎰⎰⎰=+++弧弧=+++⎰⎰P x x dx P x x dx ab ba[,()][,()]ϕϕ1200=--⎰{[,()][,()]}P x x P x x dxabϕϕ21因此 -=⎰⎰⎰∂∂Py dxdy Pdx D L再假定穿过区域D 内部且平行于x 轴的直线与的D 的边界曲线的交点至多是两点,用类似的方法可证∂∂Qx dxdy Qdx D L ⎰⎰⎰=综合有当区域D 的边界曲线与穿过D 内部且平行于坐标轴( x 轴或y 轴 )的任何直线的交点至多是两点时,我们有-=⎰⎰⎰∂∂P y dxdy Pdx D L , ∂∂Q x dxdy Qdx D L ⎰⎰⎰=同时成立。
28.格林公式及其应用
称(x, y)是方程的积分因子.
例: ydx xdy 0 不是全微分方程.
取(x, y)
1 y2
,
ydx xdy y2
0是全微分方程 .
即: d( x ) 0, x C是方程通解. 1 , 1 , 1
y
y
x2 xy x2 y 2
也是该方程积分因子30
例1: 求微分方程通解 (x2 2xy y2 )dx (x2 2xy y2 )dy 0
1. P Q 在D内恒成立. y x
du Pdx Qdy,
由定理的条件，有 P Q .
y x
23
例1：计算 (e y x)dx (xe y 2 y)dy, L
L : 过o(0,0), A(0,1)及B(1,2)所决定的圆周的一段弧 .
y
解： P e y x; Q xe y 2y
20
3a2 8
2 sin 2 2tdt
0
3a 2
8
16
三、平面曲线积分与路径无关条件
设P(x,y),Q(x,y)是定义在平面域D上的有界函数，
如果对于D内的任意两点A,B以及D内 从点A到点B的任意两条曲线 , L1 L2
y
Pdx Qdy L1
BD A
O
x
17
定理 :
1. P Q 在D内恒成立. y x
L
L1 L2
Pdx Qdy
L1 L2 ABBA
(Q P )dxdy x y D 8
Q P
( )dxdy P(x, y)dx Q(x, y)dy
x y
L
D
可记为： x y dxdy ÑL P(x, y)dx Q(x, y)dy
DP Q
格林公式
为顶点的三角形闭区域．
解 令 P=0，Q=x e
y2
Q P y2 ，则 ， =e ． x y
y
y2
因此，由格林公式有
∫∫ e
D
y2
dxdy =
=
OA+ AB + BO
∫ xe
y2
dy
1 x2
B(0, 1)
dx
A(1, 1)
∫ xe
OA
dy = ∫ xe
0
1 = (1 e 1 ) ． 2
u u =P(x, y)， =Q(x, y)． x y 2 u P 2 u Q = = ， ． xy y yx x
2u 2u 由于 P、Q 具有一阶连续偏导数，所以 、 连续， xy yx P Q 2u 2u = 因此 ，即 ． = xy yx y x
充分性：
P Q = 已知 在 G 内恒成立，则积分 ∫ P( x, y )dx + Q( x, y )dy L y x
y L1
恒成立，就说曲线积分 ∫ Pdx + Qdy
L
． B
在G内与路径无关，否则说与路径 有关． O A． L2 x
曲线积分与路径无关与闭曲线积分为零的等价性：
设曲线积分 ∫ Pdx + Qdy 在 G 内与路径无关，L 1 和 L 2 是 G
L
内任意两条从点A到点B的曲线，则有
∫
因为
L1
Pdx + Qdy = ∫ Pdx + Qdy ，
P Q y2 x2 2 2 = 则当 x +y ≠0 时，有 ． = 2 2 2 y x ( x + y )
记L 所围成的闭区域为D． 当(0, 0)D时，由格林公式得
格林公式、曲线积分与路径无关的条件
下页
定理3
设函数P(x y)及Q(x y)在单连通域G内具有一阶连续偏导
数 则P(x y)dxQ(x y)dy在G内为某一函数u(x y)的全微分的
充分必要条件是等式
在G内恒成立 >>>
P Q y x
原函数
如果函数u(x y)满足du(x y)P(x y)dxQ(x y)dy 则函数
首页
三、二元函数的全微分求积
二元函数u(x y)的全微分为 du(x y)ux(x y)dxuy(x y)dy
表达式P(x y)dxQ(x y)dy与函数的全微分有相同的结构 但它未必就是某个函数的全微分
那么在什么条件下表达式P(x y)dxQ(x y)dy是某个二元 函数u(x y)的全微分呢？当这样的二元函数存在时 怎样求出 这个二元函数呢？
解 记L所围成的闭区域为D
当(0 0)D时 由格林公式得
L
x
dy x2
ydx y2
0
提示:
这里
P
y x2 y2
Q
x2
x
y2
当x2y20时 有
Q x
y2 x2 (x2 y2)2
P y
下页
例 4
计算
L
xdy x2
ydx y2
线
L的方向为逆时针方向
问
L
xdy x2
ydx y2
0
是否一定成立？
提示: >>>
下页
L
Pdx
Qdy与路径无关
L
Pdx
Qdy
0
定理3
设函数P(x y)及Q(x y)在单连通域G内具有一阶连续偏导
数 则P(x y)dxQ(x y)dy在G内为某一函数u(x y)的全微分的
充分必要条件是等式
在G内恒成立 >>>
P Q y x
原函数
如果函数u(x y)满足du(x y)P(x y)dxQ(x y)dy 则函数
首页
三、二元函数的全微分求积
二元函数u(x y)的全微分为 du(x y)ux(x y)dxuy(x y)dy
表达式P(x y)dxQ(x y)dy与函数的全微分有相同的结构 但它未必就是某个函数的全微分
那么在什么条件下表达式P(x y)dxQ(x y)dy是某个二元 函数u(x y)的全微分呢？当这样的二元函数存在时 怎样求出 这个二元函数呢？
解 记L所围成的闭区域为D
当(0 0)D时 由格林公式得
L
x
dy x2
ydx y2
0
提示:
这里
P
y x2 y2
Q
x2
x
y2
当x2y20时 有
Q x
y2 x2 (x2 y2)2
P y
下页
例 4
计算
L
xdy x2
ydx y2
线
L的方向为逆时针方向
问
L
xdy x2
ydx y2
0
是否一定成立？
提示: >>>
下页
L
Pdx
Qdy与路径无关
L
Pdx
Qdy
0
高等数学-格林公式及其应用.ppt
l D1
O D2
x
1
2π
d
1 2π
π
20
2
l :4x2 y2 2
法二
l
ydx xdy 4x2 y2
l
ydx
2
xdy
1
2
ydx xd y
l
格林公式
D2是由l 所围区域
4x2 y2 2
所以 I 0 π
π.
1
2
1
2
(1
D2
(2)
π
2
1)dxdy
2
π
25
10.3 格林公式及其应用
Pdx Qdy
L
(L1, L2, L3对D来说为正方向)
8
10.3 格林公式及其应用
(3) 对复连通区域证明:
对若复区连域通不区止域由D一, 格条林闭公曲式线
的右所曲端围线应成积 包.添分 括加,沿且直区边线域界段D的的A方全B向,部CE对边.区界 G D
域则DD来的说边都界是曲正线向由. AB, L2 , BA,
2π 0
格林公式
sin d(
2
(Q P )dxdy D1 x y 0
cos ) cos d(
2
2
0 sin
)
24
10.3 格林公式及其应用
l
ydx xdy 4x2 y2
2π
sin
d(
2
cos
)
2
cos
d(
sin
)
0
2
2 0
π
2
2
sin
2
2
2
2
cos2
d
y L: x2 y2 4
10.3 格林(Green)公式
lim P ( , y )
x 0
lim P( , y ) P( x, y )
同理可得
u y
Q ( x , y ).
又由于P ( x , y ), Q ( x , y ) 连续，
所以 u ( x , y ) 可微，且
du P ( x , y ) dx Q ( x , y ) dy .
D.
由条件（1）有
Q x
,
( x, y ) E .
由格林公式有
Pdx Qdy
L
( x
E
Q
P y
) dxdy 0 .
（2）
（3）： 设
L 1 , L 2是 D
D
内任意两条由 A 到
B 的曲线， 则 L 2 L1
是
内一条正向闭曲线。由条
件（2）有
A
其中 AB 在 D 内； 与起点 A 和终点 B 有关，
即 du Pdx Qdy .
（4） Pdx Qdy 在 D 内是某一函数 u ( x , y ) 的全微分，
证 （1）
（2）： 设
L
为 D 中任一条闭曲线，
它所围成的区域记为 E , 由于D 是单连通
L
D
E
区域， 所以 E
P y
偏导数， L 是 D 的正向边界曲线， 则有
P ( x , y ) dx Q ( x , y ) dy
L
( x
D
Q
P y
) dxdy
（格林公式）
例1 求 L
xdy 2 ydx , 其中 L 是圆周 x 2 y 2 1,
微积分刘迎东习题答案
解：
（2）连接 的折线段。
解：
6.计算 其中 分别为下列两种情形：
（1）连接 的直线段。
解：
（2）连接 的折线段。
解：
7.计算 其中 为以 为顶点的正方形闭路。
解：
8.计算 其中 为星形线 在第一象限中自点 到 的一段。
解：
9.计算 其中 为依参数 增加方向进行的曲线：
解：
10.计算 其中， 分别为下列两种情形：（1）自 到 的直线段；（2）由 直到 的折线段。
（3）圆
（4）椭圆
（5）双纽线
3.计算曲线积分 其中 为圆周 的方向为逆时针方向。
解： ，所以取 则有
4.计算下列曲线积分：
（1） 其中 为摆线 上对应 从 到 的一段弧。
解：设直线段 ，则
（2） 其中 为上半圆周 沿逆时针方向。
解：设直线段 ，则
5.证明下列曲线积分在整个 面内与路径无关，并计算积分值：
解：
（12） 其中 为用平面 截球面 所得的截痕，从 轴的正向看去，沿逆时针方向；
解：
（13） 其中 为曲线 上由 到 的一段弧；
解：
4.计算 其中 为由点 到点 的下列四条不同路径：
（1）直线
解：
（2）抛物线
解：
（3）抛物线
解：
（4）立方抛物线
解：
5.计算 其中 分别为下列两种情形：
（1）连接 的直线段。
10.1第一型曲线积分
习题10.1
1.设在 面内有一分布着质量的曲线弧 ，在点 处它的线密度为 。用第一型曲线积分分别表达
（1）这曲线弧对 轴、对 轴的转动惯量
解：
（2）这曲线弧的质心坐标
解：
2.计算下列第一型曲线积分：
（2）连接 的折线段。
解：
6.计算 其中 分别为下列两种情形：
（1）连接 的直线段。
解：
（2）连接 的折线段。
解：
7.计算 其中 为以 为顶点的正方形闭路。
解：
8.计算 其中 为星形线 在第一象限中自点 到 的一段。
解：
9.计算 其中 为依参数 增加方向进行的曲线：
解：
10.计算 其中， 分别为下列两种情形：（1）自 到 的直线段；（2）由 直到 的折线段。
（3）圆
（4）椭圆
（5）双纽线
3.计算曲线积分 其中 为圆周 的方向为逆时针方向。
解： ，所以取 则有
4.计算下列曲线积分：
（1） 其中 为摆线 上对应 从 到 的一段弧。
解：设直线段 ，则
（2） 其中 为上半圆周 沿逆时针方向。
解：设直线段 ，则
5.证明下列曲线积分在整个 面内与路径无关，并计算积分值：
解：
（12） 其中 为用平面 截球面 所得的截痕，从 轴的正向看去，沿逆时针方向；
解：
（13） 其中 为曲线 上由 到 的一段弧；
解：
4.计算 其中 为由点 到点 的下列四条不同路径：
（1）直线
解：
（2）抛物线
解：
（3）抛物线
解：
（4）立方抛物线
解：
5.计算 其中 分别为下列两种情形：
（1）连接 的直线段。
10.1第一型曲线积分
习题10.1
1.设在 面内有一分布着质量的曲线弧 ，在点 处它的线密度为 。用第一型曲线积分分别表达
（1）这曲线弧对 轴、对 轴的转动惯量
解：
（2）这曲线弧的质心坐标
解：
2.计算下列第一型曲线积分：
高等数学10.3格林公式(几个等价条件)
内容小结
Q P 1. 格林公式 P d x Q d y D x y d x d y L
2. 等价条件
设 P, Q 在 D 内具有一阶连续偏导数, 则有
在 D 内有
Q x
P y
L
对 D 内任意闭曲线 L 有 P d x Q d y 0
2 2
可见, 在不含原点的单连通区域内积分与路径无关.
取圆弧 AB :
W
x
k
2
cos , y
2
sin ( :
2
0)
AB
r
2
( y dx x d y)
y
A L
2
o
k
B x
思考: 积分路径是否可以取 AO OB ? 为什么？ 注意, 本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径 无关 !
u ( x, y)
( x , y ) P ( x , y )d x Q( x , y )d y
0 0
( x, y)
y
4.
P ( x , y0 )d x Q( x , y )d y 存在 u ux( x , y ) 使 d u P yd x Q d y 在 y 内恒成立 D 0 0
x
P y
m
o
J
A x
x
( e sin y my ) dx ( e cos y m ) dy ,
AO OA
Q P dx dy y x
D
D
m a2 . m dx dy 8
高等数学B：10_3格林公式及其应用
§10.3格林公式及其应用10.3.1格林公式1．单连通区域与复连通区域若平面区域D 内任一封闭曲线围成的部分都D 属于，则称为 D 单连通区域，否则称为复连通区域。
例如：圆形区域⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+1),(22y x y x 、上半平面{}0),(>y y x 是单连通区域；圆环区域⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+<41),(22y x y x 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+<20),(22y x y x 是复连通区域。
通俗地说，单连通域就是不含有“洞”（包括点“洞” ）的区域。
2．区域D 的边界曲线C 的正向规定的 C 正向如下：当观察者沿的 C 此方向行走时，靠近 D 他的部分总在他的左侧。
例如是 D 由边界曲线1C 和2C 所围成的复连通区域，的 1C 正向是逆时针方向，的 2C 正向是顺时针方向。
3．定理1设是 D 以逐段光滑曲线为C 边界的平面闭区域，函数),(y x P 、),(y x Q 在上 D 具有一阶连续偏导数，则有dxdy yPx Q Qdy Pdx DC ⎰⎰⎰∂∂-∂∂=+)(—格林（Green ）公式 其中的取正向的边界曲线是D C 。
公式（1）称为格林（Green ）公式。
证明：先假设穿过区域内部 D 且平行坐标轴的直线与的 D 边界曲线的 C 交点恰好为两点。
即D 既是型的区域型的又是 Y X 。
设}),()(),{(21b x a x y y x y y x D ≤≤≤≤=，∵yP ∂∂连续， ∴=σ∂∂⎰⎰d y P D⎰⎰∂∂bax y x y dy yPdx )(2)(1dx x y x P x y x P b a)]}( ,[)]( ,[{ 12⎰-=另一方面，有⎰⎰⎰⋂⋂+=BNAAMB C dx y x P ),(dx x y x P dx x y x P abb a)]( ,[ )]( ,[ 2 1⎰⎰+=dx x y x P x y x P ba)]}( ,[)]( ,[{ 21⎰-=，∴σ∂∂-=⎰⎰⎰d yPdx y x P DC),(。
10.3 格林公式及其应用
解
I 2 a cos t b sin t ( a sin t ) 2 ( b cos t ) 2 dt
0 2 0
ab sin t cos t a 2 sin2 t b 2 cos 2 tdt
1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( a b )sin t b d (( a b )sin t b ) 2 2 0 2(a b )
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
解
y 2 I y 1 ( ) dy 2 2
2
0.
y2 4 x
例3 求 I xyzds ，其中
: x a cos , y a sin , z k
的一段 (0 2 ) 解
I a cos sin k a k d
2 2 2 0
2
1 ka 2 a 2 k 2 . 2
杨建新
第一节
对弧长的曲线积分
例4 求
2
I x ds,
2
其中 为圆周
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
x y z a , x y z 0.
2 2 2
解 由对称性, 知
2 2 2 x ds y ds z ds.
x y 2 y
2 2
解1 L的极坐标方程为
2sin ， 0
x sin 2 从而L的参数方程为 2 y 2sin
于是 ds
x ' y ' d 2d
2 2
2 0 2 2
故
L
x y ds 2 sin 2 4sin d 8
I 2 a cos t b sin t ( a sin t ) 2 ( b cos t ) 2 dt
0 2 0
ab sin t cos t a 2 sin2 t b 2 cos 2 tdt
1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( a b )sin t b d (( a b )sin t b ) 2 2 0 2(a b )
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
解
y 2 I y 1 ( ) dy 2 2
2
0.
y2 4 x
例3 求 I xyzds ，其中
: x a cos , y a sin , z k
的一段 (0 2 ) 解
I a cos sin k a k d
2 2 2 0
2
1 ka 2 a 2 k 2 . 2
杨建新
第一节
对弧长的曲线积分
例4 求
2
I x ds,
2
其中 为圆周
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
x y z a , x y z 0.
2 2 2
解 由对称性, 知
2 2 2 x ds y ds z ds.
x y 2 y
2 2
解1 L的极坐标方程为
2sin ， 0
x sin 2 从而L的参数方程为 2 y 2sin
于是 ds
x ' y ' d 2d
2 2
2 0 2 2
故
L
x y ds 2 sin 2 4sin d 8
微积分：10.3 格林公式及其应用
AB
l
BA
L
l
D
lB
AL
D
lB
AL
10
注意：(1)其中 D 可以是单连通区域，也可以
是复连通区域;
（2）L 为 D 的正向边界曲线。 （3） P( x, y)及Q( x, y)在 D上具有一阶连续偏导数
D
(
Q x
P y
)dxdy
Pdx Qdy
L
Pdx Qdy L
11
单连通区域 的边界的正向为 逆时针方向
[Q P ]dxdy 0 D x y
28
y
L : x2 y2 4 (逆时针方向);
D o
2
x
(2)I
xdy
ydx
法1
L x2 y2
xdy ydx
L
4
1
xdy ydx
4 L 由格林公式
1 4
D
[( x)x
( y)y ]dxdy
P y,Q x
在D上具有一阶 连续偏导数,
)dxdy
L Pdx Qdy
y
(1)先对简单区域证明:
d
若区域D既可以 先y后x
又可以 先x后y
c
分别证明
D
Q x
dxdy
L
Qdy
Oa
P
D
(
y
)dxdy
LPdx
D
bx
6
D
Q dxdy x
d
Q( c
d
dy
c
x, y)
x2
(
y
)Q dx
x1 ( y) x
dy x x2 ( y )
先x后y
高等数学 曲线积分和曲面积分 (10.3.2)--格林公式及其应用
0,
其中 C
为平面区域
x
内的
任一封闭曲线.
6. 设函数 Q(x, y) 在 xOy 平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分 2xydx Q(x, y)dy 与 C 路径无关，并且对任意 t 恒有
(2xydx Q(x, y)dy 2xydx Q(x, y)dy ,
(0, 0)
(0, 0)
求 Q(x, y) .
7. 确定常数 p , 使得在任何不含 y 的点的区域上, 曲线积分
C
x y2
(x2
y2)p
ydx
xdy
与路径无关，并求当 C 从点 (1, 1) 到点 (0, 2) 时的积分值.
8. 求下列微分方程的通解：
(1) [ y ln(1 x)]dx (x 1 ey )dy 0 ；
C
a b
(3)
C
(x2
y
2 y)dx
x3 3
x
dy
，其中 C
是直线
x
1,
y
x,
y
2x
所围三角形区
域的正向边界.
(4) (ex sin y my)dx (ex cos y m)dy ，其中 C 为由点 A(a,) 到点 O(,) 的上 C 半圆周 x y ax ；
t
2π
)与
x
轴.
2. 利用 Green 公式, 计算下列第二类曲线积分：
(1) (2x sin y 4y)dx (x2 cos y x)dy ，其中 C 为圆周 x2 y2 3 , 并取逆时针 C 方向；
10-3格林公式
( L1, L2 , L3对D来说 为正方向 )
10
L3
D3
D2
L2
D1
L1
L
格林公式的实质:
揭示了平面闭区域上二重积分与区域 边界上的曲线积分之间的联系.
11
3. 简单应用
(1) 简化曲线积分的计算
例1 设L是一条分段光滑的闭曲线， 证明
2 xydx x dy 0.
2 L
12
证:令 P 2 x y , Q x , 则
1 2 2 2 (ab cos ab sin )d 2 0
ab
21
例5 计算 e sin y x y dx e cos y 1 dy
x x L
其中L：x y x( y 0)从O 0,0 到A1,0
2 2
的上半圆周.
解 为了使用格林公式, 添加辅助线段 AO , 它与L所围区域为D , 则 原式
其中L为一条无重点,分段光滑且不经过 原点的连续闭曲线, L的方向为逆时针方
向.
16
xdy ydx L x 2 y 2
解 记L所围成的闭区域为D, y x , Q 2 令P 2 , 2 2 x y x y 则当 x y 0 时, 有 2 2 Q y x P 2 2 2 x ( x y ) y
(3)
即
在D内是某一函数
的全微分,
du( x , y ) P d x Q d y
P Q . y x
(4)在D 内每一点都有
30
Q P 时， 由定理2知：当满足 x y 积分与路径无关，可以取路径为平行于
坐标轴的折线，即 x0 , y0 x, y0 x, y
10
L3
D3
D2
L2
D1
L1
L
格林公式的实质:
揭示了平面闭区域上二重积分与区域 边界上的曲线积分之间的联系.
11
3. 简单应用
(1) 简化曲线积分的计算
例1 设L是一条分段光滑的闭曲线， 证明
2 xydx x dy 0.
2 L
12
证:令 P 2 x y , Q x , 则
1 2 2 2 (ab cos ab sin )d 2 0
ab
21
例5 计算 e sin y x y dx e cos y 1 dy
x x L
其中L：x y x( y 0)从O 0,0 到A1,0
2 2
的上半圆周.
解 为了使用格林公式, 添加辅助线段 AO , 它与L所围区域为D , 则 原式
其中L为一条无重点,分段光滑且不经过 原点的连续闭曲线, L的方向为逆时针方
向.
16
xdy ydx L x 2 y 2
解 记L所围成的闭区域为D, y x , Q 2 令P 2 , 2 2 x y x y 则当 x y 0 时, 有 2 2 Q y x P 2 2 2 x ( x y ) y
(3)
即
在D内是某一函数
的全微分,
du( x , y ) P d x Q d y
P Q . y x
(4)在D 内每一点都有
30
Q P 时， 由定理2知：当满足 x y 积分与路径无关，可以取路径为平行于
坐标轴的折线，即 x0 , y0 x, y0 x, y
格林公式
y
当(0, 0)D时，由格林公式得
L
xdy x2
ydx y2
0；
D O
L x
D
Q x
P y
dxdy
=
L
Pdx
Qdy
．
例
4
计算
L
xdy x2
ydx y2
，其中
L
为一条无重点、分段光滑且不
经过原点的连续闭曲线，L的方向为逆时针方向．
解 记L 所围成的闭区域为D．当(0, 0)D时，选取适当小的
格林公式：
定理1 设闭区域 D 由分段光滑的曲线围成，函数P(x, y)及 Q(x, y)在D上具有一阶连续偏导数，则有
D
Q x
P y
dxdy
=
L
Pdx
Qdy
，
其中L是D的取正向的边界曲线．
应注意的问题： 对复连通区域D，格林公式右
端应包括沿区域D的全部边界的曲 线积分，且边界的方向对区域D来 说都是正向．
因为
Pdx Qdy Pdx Qdy ，
L1
L2
Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy 0
L1
L2
L1
L2
Pdx Qdy Pdx Qdy 0
Pdx Qdy 0，
LL11
LL22
充分性：
已知 P y
Q x
在
G
内恒成立，则积分 L
P(x,
y)dx
Q(x,
y)dy
在G内与路径无关．设(x0, y0)为G内一定点，(x, y)为G内的动点，
10-3格林定理
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返回
退出
格林公式:
∂Q ∂P ∫∫( ∂x − ∂y )dxdy = ∫L Pdx + Qdy .
D
用格林公式计算区域的面积 设区域D的边界曲线为L, 则
A = 1 ∫ xdy − ydx . 2 L 例1 求椭圆x=acosθ, y=bsinθ 所围成图形的面积A.
解 设L是由椭圆曲线, 则
x =ψ1( y)
E D
x =ψ2 ( y)
= ∫CBE Q( x , y )dy − ∫CAE Q ( x , y )dy
= ∫CBE Q ( x , y )dy + ∫EAC Q ( x , y )dy
= ∫L Q ( x , y )dy
c o
C
x
同理可证
∂P − ∫∫ dxdy = ∫L P ( x , y )dx D ∂y
⇔ ∫ Pdx + Qdy + ∫
L1
Jlin Institute of Chemical Technology
L2
−
Pdx + Qdy = 0 ⇔ ∫
L1 + ( L2 )
−
Pdx + Qdy = 0 .
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二、平面上曲线积分与路径无关的条件
曲线积分与路径无关
曲线积分 ∫ Pdx + Qdy 在 G 内与路径无关相当于沿 G 内任
2
3
= ( ∫L + ∫L + ∫L )( Pdx + Qdy ) = ∫L Pdx + Qdy
2 3 1
( L1, L2 , L3对D来说为正方向 )
Jlin Institute of Chemical Technology
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在 D 内有 Q P x y
在 D 内有 d u P dx Q d y
思考与练习
1. 设
且都取正向, 问下列计算是否正确 ?
l
x
d y4yd x2 y2
x
y 2
l
DL o 1 2x
1 4
l
x
d
y
4
y
d
x
1 4
D
5
d
5
提示: x2 y2 0时
(1) Q P x y
l
xd y x2
yd y2
第三节
第十章
格林公式及其应用
一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的
等价条件
一、 格林公式
单连通区域 ( 无“洞”区域 )
L
区域 D 分类
复连通区域 ( 有“洞”区域 )
D
域 D 边界L 的正向: 域的内部靠左
定理1. 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成, 函数
P( x, y), Q( x, y) 在 D 上具有连续一阶偏导数, 则有
P y
1 ,则
L Pdx Qdy
__
_.
二、 计算 (2xy x 2 )dx ( x y 2 )dy 其中 L是由抛物线 y x 2 L 和 y2 x 所围成的区域的正向边界曲线,并验证格林公式 的正确性 .
三、 利用曲线积分,求星形线 x a cos3 t , y a sin3 t 所围成的 图形的面积 .
1 2
2 0
(abcos2
absin2
)d
ab
2、简化曲线积分
例1. 设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明
L2xydx x2 dy 0
证: 令 P 2x y, Q x2, 则
利用格林公式 , 得 L 2x y dx x2 d y 0dx d y 0 D
例2
计算 ( x
L
y)dx
九、 1, u( x, y) r .
y
5
y
4
)
d
y
C
y
(x, y)
1 x5 2x2 y3 y5 C 5
o (x,0) x
一、 填空题:
练习题
1、 设 闭 区 域 D 由 分 段 光 滑 的 曲 线 L 围 成 , 函 数
P(x, y) , Q(x, y)及在 D上具有一阶连续偏导数,则有
D
(Q x
P y
)dxdy
________________；
(如图) , 因此在D上 P Q y x
利用格林公式 , 得
D D L
L
P
d
x
Q
d
y
D
(
Q x
Q x
)dxd
y
0
证毕
说明: 根据定理2 , 若在某区域内 P Q , 则 y x
1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径;
2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算, 若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线;
2、设D 为平面上的一个单连通域,函数 P( x, y) , Q( x, y) 在 D
内有一阶连续偏导数,则 L Pdx Qdy 在 D 内与路径无关
的充要条件是_______________在 D 内处处成立；
3、设 D 为由分段光滑的曲线 L 所围成的闭区域,其面积为5,又
P( x , y) 及 Q( x, y) 在 D 上有一阶连续偏导数,且 Q 1 , x
y
y2
其中r x 2 y2 ,并求u( x , y).
九、设在半平面 x
0内有力 F
k r3
(xi
y
j)构成力场,其中k 为
常数, r x2 y2 .证明在此力场中场力所作的功与所取的
路径无关 .
练习题答案
一、1、L Pdx dyQ ；
2、p Q ； y x
3、10.
三、 1 . 30
四、3 a2 . 8
五、236.
六、1、 7 1 sin 2；
2、-2.
64
七、1、当 L 所包围 的区域 D 不包含原点时,0；
2、当 L 所包围 的区域 D 包含原点,且 L 仅绕 原点
一圈时,2 ；
3、当 L 所包围 的区域 D 包含原点, 且 L 绕原点 n
圈时,2n.
八、u( x, y) x3 y 4x2 y2 12( ye y e y ).
L1 L2 Pdx Qd y
(根据条件(1))
L2
B
L2 Pdx Qd y
A
L1
说明: 积分与路径无关时, 曲线积分可记为
证明 (2)
AB
Pd
x
Qd
y
B
Pd
A
x
Qd
y
(3)
在D内取定点
和任一点B( x, y ), 因曲线积分
与路径无关, 有函数
则 xu u( x x, y) u( x, y)
2、求曲线积分 I1
( x y)2 dx ( x y)2 dy和
AMB
I 2
( x y)2 dx ( x y)2 dy的差.其中 AMB
ANB
是过原点和 A(1 , 1),B(2 , 6)且其对称轴垂直于 x
轴的抛物线上的弧段, ANB是连接 A , B 的线段 .
六、计算
(x
y)dy
,其中曲线
L是椭圆
x2 a2
y2 b2
1
的正向边界
解 P x y, Q x y P 1, Q 1
y
x
L( x y)dx ( x y)dy 2dxdy 2ab D
y
例 3 计算AB xdy,其中曲线 AB是半
A
径为r 的圆在第一象限部分.
解 引入辅助曲线 L, L OA AB BO
( xx , y) Pd x Qd y (x, y)
B(x, y )
C( x x, y )
A( x0 , y0 )
( xx ,
(x, y)
y)
Pd
x
P(x
x,
y)x
u lim xu lim P( x x, y) P( x , y) x x0 x x0
同理可证
u Q( x , y), 因此有 y
3) 可用积分法求d u = P dx + Q dy在域 D 内的原函数:
取定点 ( x0, y0 ) D 及动点 ( x , y ) D , 则原函数为
( x, y)
u( x, y) ( x0 , y0 ) P( x, y)dx Q( x, y)d y
y
x
x0
P( x,
y0 )dx
y y0
xdy ydx L x 2 y 2 ,其中 L
为不经过原点的光滑闭曲线 .
(取逆时针方向)
七、验证(3x2 y 8xy2 )dx ( x3 8x2 y 12 ye y )dy 在整 个
xoy 平面内是某一函数u( x, y)的全微分,并求这样一个
u( x, y)
八、试确定 ,使得 x r dx x 2 r dy是某个函数u( x , y)的全微分,
与路径无关, 只与起止点有关.
(3)
在 D 内是某一函数
即
d u( x, y) P dx Q d y
(4) 在 D 内每一点都有
P Q . y x
的全微分,
证明 (1)
()
设 L1, L2 为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲 线,
则 L1 Pdx Qd y L2 Pdx Qd y
四、证明曲线积分 (3,4) (6xy2 y 3 )dx (6x 2 y 3xy2 )dy (1,2)
在整个 xoy 面 内与路径无关,并计算积分值 . 五、利用格林公式,计算下列曲线积分:
1、 ( x 2 y)dx ( x sin2 y)dy其中 L是在圆周 L y 2 x x 2 上由点(0,0)到点(1,1)的一段弧；
Q( x,
y)d y
y0
或
u(
x,
y)
y y0
Q(
x0 ,
y)d
y
x x0
P(
x,
y)d x
x0 x
例4. 计算
其中L 为上半圆周
从 O (0, 0) 到 A (4, 0).
解: 为了使用格林公式, 添加辅助线段 AO,
它与L 所围区域为D , 则
y L
D
o
Ax
原式 L AO ( x2 3 y) dx ( y2 x) d y
x
1 4
l
xd
y
yd
x
1 4
D
2d
2
提示: x2 y2 0时 (2) Q P x y
2. 设
提示: d u( x, y) ( x4 4xy3 )dx (6x2 y2 5 y4 )dy
( x4 4xy3 )dx (6x2 y2 5 y4 )dy C
x 0
x
4
dx
y
0
(6
x
2
y
2
D
应用格林公式, P 0, Q x 有
o
L
Bx
L xdy dxdy OA xdy BO xdy,
D
由于OA xdy 0,
BO xdy 0,
AB
xdy
dxdy
D
1r 2 .
4
例4. 计算
其中L为一无重点且不过原点
的分段光滑正向闭曲线. 解: 令
则当x2 y2 0时,
y L
ox
2
0
r2
cos2 r 2
在 D 内有 d u P dx Q d y
思考与练习
1. 设
且都取正向, 问下列计算是否正确 ?
l
x
d y4yd x2 y2
x
y 2
l
DL o 1 2x
1 4
l
x
d
y
4
y
d
x
1 4
D
5
d
5
提示: x2 y2 0时
(1) Q P x y
l
xd y x2
yd y2
第三节
第十章
格林公式及其应用
一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的
等价条件
一、 格林公式
单连通区域 ( 无“洞”区域 )
L
区域 D 分类
复连通区域 ( 有“洞”区域 )
D
域 D 边界L 的正向: 域的内部靠左
定理1. 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成, 函数
P( x, y), Q( x, y) 在 D 上具有连续一阶偏导数, 则有
P y
1 ,则
L Pdx Qdy
__
_.
二、 计算 (2xy x 2 )dx ( x y 2 )dy 其中 L是由抛物线 y x 2 L 和 y2 x 所围成的区域的正向边界曲线,并验证格林公式 的正确性 .
三、 利用曲线积分,求星形线 x a cos3 t , y a sin3 t 所围成的 图形的面积 .
1 2
2 0
(abcos2
absin2
)d
ab
2、简化曲线积分
例1. 设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明
L2xydx x2 dy 0
证: 令 P 2x y, Q x2, 则
利用格林公式 , 得 L 2x y dx x2 d y 0dx d y 0 D
例2
计算 ( x
L
y)dx
九、 1, u( x, y) r .
y
5
y
4
)
d
y
C
y
(x, y)
1 x5 2x2 y3 y5 C 5
o (x,0) x
一、 填空题:
练习题
1、 设 闭 区 域 D 由 分 段 光 滑 的 曲 线 L 围 成 , 函 数
P(x, y) , Q(x, y)及在 D上具有一阶连续偏导数,则有
D
(Q x
P y
)dxdy
________________；
(如图) , 因此在D上 P Q y x
利用格林公式 , 得
D D L
L
P
d
x
Q
d
y
D
(
Q x
Q x
)dxd
y
0
证毕
说明: 根据定理2 , 若在某区域内 P Q , 则 y x
1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径;
2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算, 若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线;
2、设D 为平面上的一个单连通域,函数 P( x, y) , Q( x, y) 在 D
内有一阶连续偏导数,则 L Pdx Qdy 在 D 内与路径无关
的充要条件是_______________在 D 内处处成立；
3、设 D 为由分段光滑的曲线 L 所围成的闭区域,其面积为5,又
P( x , y) 及 Q( x, y) 在 D 上有一阶连续偏导数,且 Q 1 , x
y
y2
其中r x 2 y2 ,并求u( x , y).
九、设在半平面 x
0内有力 F
k r3
(xi
y
j)构成力场,其中k 为
常数, r x2 y2 .证明在此力场中场力所作的功与所取的
路径无关 .
练习题答案
一、1、L Pdx dyQ ；
2、p Q ； y x
3、10.
三、 1 . 30
四、3 a2 . 8
五、236.
六、1、 7 1 sin 2；
2、-2.
64
七、1、当 L 所包围 的区域 D 不包含原点时,0；
2、当 L 所包围 的区域 D 包含原点,且 L 仅绕 原点
一圈时,2 ；
3、当 L 所包围 的区域 D 包含原点, 且 L 绕原点 n
圈时,2n.
八、u( x, y) x3 y 4x2 y2 12( ye y e y ).
L1 L2 Pdx Qd y
(根据条件(1))
L2
B
L2 Pdx Qd y
A
L1
说明: 积分与路径无关时, 曲线积分可记为
证明 (2)
AB
Pd
x
Qd
y
B
Pd
A
x
Qd
y
(3)
在D内取定点
和任一点B( x, y ), 因曲线积分
与路径无关, 有函数
则 xu u( x x, y) u( x, y)
2、求曲线积分 I1
( x y)2 dx ( x y)2 dy和
AMB
I 2
( x y)2 dx ( x y)2 dy的差.其中 AMB
ANB
是过原点和 A(1 , 1),B(2 , 6)且其对称轴垂直于 x
轴的抛物线上的弧段, ANB是连接 A , B 的线段 .
六、计算
(x
y)dy
,其中曲线
L是椭圆
x2 a2
y2 b2
1
的正向边界
解 P x y, Q x y P 1, Q 1
y
x
L( x y)dx ( x y)dy 2dxdy 2ab D
y
例 3 计算AB xdy,其中曲线 AB是半
A
径为r 的圆在第一象限部分.
解 引入辅助曲线 L, L OA AB BO
( xx , y) Pd x Qd y (x, y)
B(x, y )
C( x x, y )
A( x0 , y0 )
( xx ,
(x, y)
y)
Pd
x
P(x
x,
y)x
u lim xu lim P( x x, y) P( x , y) x x0 x x0
同理可证
u Q( x , y), 因此有 y
3) 可用积分法求d u = P dx + Q dy在域 D 内的原函数:
取定点 ( x0, y0 ) D 及动点 ( x , y ) D , 则原函数为
( x, y)
u( x, y) ( x0 , y0 ) P( x, y)dx Q( x, y)d y
y
x
x0
P( x,
y0 )dx
y y0
xdy ydx L x 2 y 2 ,其中 L
为不经过原点的光滑闭曲线 .
(取逆时针方向)
七、验证(3x2 y 8xy2 )dx ( x3 8x2 y 12 ye y )dy 在整 个
xoy 平面内是某一函数u( x, y)的全微分,并求这样一个
u( x, y)
八、试确定 ,使得 x r dx x 2 r dy是某个函数u( x , y)的全微分,
与路径无关, 只与起止点有关.
(3)
在 D 内是某一函数
即
d u( x, y) P dx Q d y
(4) 在 D 内每一点都有
P Q . y x
的全微分,
证明 (1)
()
设 L1, L2 为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲 线,
则 L1 Pdx Qd y L2 Pdx Qd y
四、证明曲线积分 (3,4) (6xy2 y 3 )dx (6x 2 y 3xy2 )dy (1,2)
在整个 xoy 面 内与路径无关,并计算积分值 . 五、利用格林公式,计算下列曲线积分:
1、 ( x 2 y)dx ( x sin2 y)dy其中 L是在圆周 L y 2 x x 2 上由点(0,0)到点(1,1)的一段弧；
Q( x,
y)d y
y0
或
u(
x,
y)
y y0
Q(
x0 ,
y)d
y
x x0
P(
x,
y)d x
x0 x
例4. 计算
其中L 为上半圆周
从 O (0, 0) 到 A (4, 0).
解: 为了使用格林公式, 添加辅助线段 AO,
它与L 所围区域为D , 则
y L
D
o
Ax
原式 L AO ( x2 3 y) dx ( y2 x) d y
x
1 4
l
xd
y
yd
x
1 4
D
2d
2
提示: x2 y2 0时 (2) Q P x y
2. 设
提示: d u( x, y) ( x4 4xy3 )dx (6x2 y2 5 y4 )dy
( x4 4xy3 )dx (6x2 y2 5 y4 )dy C
x 0
x
4
dx
y
0
(6
x
2
y
2
D
应用格林公式, P 0, Q x 有
o
L
Bx
L xdy dxdy OA xdy BO xdy,
D
由于OA xdy 0,
BO xdy 0,
AB
xdy
dxdy
D
1r 2 .
4
例4. 计算
其中L为一无重点且不过原点
的分段光滑正向闭曲线. 解: 令
则当x2 y2 0时,
y L
ox
2
0
r2
cos2 r 2