2005江苏高考数学及答案

2005年高考数学江苏卷试题及答案
一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分项是符合题意要求的
1.设集合{}2,1=A ，{}3,2,1=B ，{}4,3,2=C ，则()C B A =（ ） A ．{}3,2,1 B ．{}4,2,1 C ．{}4,3,2 D ．{}4,3,2,1
2.函数)(321R x y x ∈+=-的反函数的解析表达式为 （ ） A ．32log 2
-=x y B ．23log 2-=x y C ．23log 2x y -= D ．x
y -=32
log 2 3.在各项都为正数的等比数列{}n a 中，首项31=a ，前三项和为21，则543a a a ++=（ ）
A ．33
B ．72
C ．84
D ．189
4.在正三棱柱111C B A ABC -中，若AB=2，11AA =则点A 到平面BC A
1的距离为（ ） A ．
43 B ．23 C ．4
3
3 D ．3 5.ABC ∆中，3
π
=A ，BC=3，则ABC ∆的周长为 （ ）
A ．33sin 34+⎪⎭⎫
⎝
⎛
+
πB B ．36sin 34+⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+πB C ．33sin 6+⎪⎭⎫
⎝
⎛
+
πB D ．36sin 6+⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+πB 6.抛物线2
4x y =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是（ ） A ．
16
17 B ．1615 C ．87 D ．0
7.在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：7.9,4.9,6.9,9.9,4.9,4.8,4.9，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为 （ ）
A ．484.0,4.9
B ．016.0,4.9
C ．04.0,5.9
D ．016.0,5.9 8.设γβα,,为两两不重合的平面，n m l ,,为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若γα⊥，γβ⊥，则βα||；②若α⊂m ，α⊂n ，β||m ，β||n ，则βα||；
③若βα||，α⊂l ，则β||l ；④若l =βα ，m =γβ ，n =αγ ，γ||l ，则
m ||其中真命题的个数是 （ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 9.设5,4,3,2,1=k ，则5)2(+x 的展开式中k
x 的系数不可能是 （ ） A ．10 B ．40 C ．50 D ．80 10.若3
16sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ232cos = （ ）
A ．9
7-
B ．31-
C ．31
D ．97
11.点)1,3(-P 在椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左准线上，过点P 且方向为)
5,2(-=的光线经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ）
A ．
33 B ．31 C ．2
2
D ．21
12.四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱代表的化工产品放在
同一仓库是危险的，没有公共顶点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①.②.③.④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为（ ）
A ．96
B ．48
C ．24
D ．0 二.填写题：本大题共6小题，每小题4分，共24分把答案填在答题卡相应位置
13.命题“若b a >，则122->b
a ”的否命题为__________
14.曲线13
++=x x y 在点)3,1(处的切线方程是__________
15.函数)34(log 25.0x x y -=
的定义域为__________
16.若[)1,,618.03+∈=k k a a ，()k Z ∈,则k =__________
17.已知b a ,为常数，若34)(2
++=x x x f ，2410)(2++=+x x b ax f ，
则b a -5=__________
18.在ABC ∆中，O 为中线AM 上一个动点，若AM=2，则)(+∙的最小值是__________
三.解答题：本大题共5小题，共66分解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤
19.（本小题满分12分）如图，圆1O 与圆2O 的半径都是1，421=O O ，过动点P 分别作圆1O .圆2O 的切线PM 、PN （M.N 分别为切点），使得
PN PM 2=试建立适当的坐标系，并求动点P 的
轨迹方程
20.（本小题满分12分，每小问满分4分）甲.乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是
324
假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响
⑴求甲射击4次，至少1次未击中．．．
目标的概率； ⑵求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率； ⑶假设某人连续2次未击中．．．
目标，则停止射击问：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？
21.（本小题满分14分，第一小问满分6分，第二.第三小问满分各4分）
如图，在五棱锥S —ABCDE 中，SA ⊥底面ABCDE ，SA=AB=AE=2，3==DE BC ，
=∠=∠=∠120CDE BCD BAE
⑴求异面直线CD 与SB 所成的角（用反三角函数值表示）； ⑵证明：BC ⊥平面SAB ；
⑶用反三角函数值表示二面角B —SC —D 的大小不必写出解答过程）
22.（本小题满分14分，第一小问满分4分，第二小问满分
10分）已知R a ∈，函数|)(2a x x x f -=
⑴当2=a 时，求使x x f =)(成立的x 的集合； ⑵求函数)(x f y =在区间]2,1[上的最小值
23.（本小题满分14分，第一小问满分2分，第二.第三小问满分各6分） 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11,6,1321===a a a ，且
,3,2,1,)25()85(1=+=+--+n B An S n S n n n ，其中A.B 为常数
⑴求A 与B 的值；
⑵证明：数列{}n a 为等差数列；
⑶证明：不等式15>-n m mn a a a 对任何正整数n m ,都成立
005年高考数学江苏卷试题及答案
参考答案
(1)D (2)A (3)C (4)B (5)D (6)B (7)D (8)B (9)C (10)A (11)A (12)B
（13）若b a >，则122->b
a （14）014=--y x
（15）]1,4
3
()0,41[ -
（16）-1 （17）2 （18）-2 （19）以1O 2O 的中点O 为原点，1O 2O 所在的直线为x 轴，
建立平面直角坐标系，则1O （-2，0），2O （2，0），
由已知PN 2PM =
，得2
22PN PM =
因为两圆的半径均为1，所以
1(212
221-=-PO PO
设),(y x P ，则]1)2[(21)2(2222-+-=-++y x y x ， 即33)6(22=+-y x ，
所以所求轨迹方程为)6(22=+-y x （或031222=+-+x y x ）（20）（Ⅰ）记“甲连续射击4次，至少1次未击中目标”为事件A 1，由题意，射击4次，相当于4次独立重复试验，故P （A 1）=1- P （1A ）=1-4
)3
2
(81
答：甲射击4次，至少1次未击中目标的概率为
81
65； (Ⅱ) 记“甲射击4次，恰好击中目标2次”为事件A 2，“乙射击4次，恰好击中目标3次”为事件B 2，则
278)321()32()(242242=-=-C A P ，64
27)431()43()(143
342=-=-C B P ，
由于甲、乙设计相互独立，故
8
6427278)()()(2222=⋅=
=B P A P B A P 答：两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率为
8
1； （Ⅲ）记“乙恰好射击5次后，被中止射击”为事件A 3，“乙第i 次射击为击中” 为事件D i ，（i=1，2，3，4，5），则A 3=D 5D 4)(123D D D ，且P （D i ）=4
1
，由于各事件相互独立，
故P （A 3）= P （D 5）P （D 4）P （)(123D D D ）=
41×41×43×（1-41×41）=1024
45，
答：乙恰好射击51024
（21）（Ⅰ）连结BE ，延长BC 、ED 交于点F ，则∠DCF=∠CDF=600
，
∴△CDF 为正三角形，∴CF=DF
又BC=DE ，∴BF=EF 因此，△BFE 为正三角形，
∴∠FBE=∠FCD=600
，∴BE//CD
所以∠SBE （或其补角）就是异面直线CD 与SB 所成的角 ∵SA ⊥底面ABCDE ，SA=AB=AE=2，
∴SB=22，同理SE=22，
又∠BAE=1200
，所以BE=32，从而，cos ∠SBE=
4
6， ∴∠4
6 所以异面直线CD 与SB 所成的角是4
6 (Ⅱ) 由题意，△ABE 为等腰三角形，∠BAE=1200
，
∴∠ABE=300，又∠FBE =600
，
∴∠ABC=900
，∴BC ⊥BA
∵SA ⊥底面ABCDE ，BC ⊂底面ABCDE ， ∴SA ⊥BC ，又SA BA=A ，
∴BC ⊥平面SAB
（Ⅲ）二面角B-SC-D 的大小82
82
arccos
-π（22）（Ⅰ）由题意，|2|)(2
-=x x x f
当2<x 时，由x x x x f =-=)2()(2
，解得0=x 或1=x ；
当2≥x 时，由x x x x f =-=)2()(2
，解得1+=x 综上，所求解集为}21,1,0{+ (Ⅱ)设此最小值为
①当1≤a 时，在区间[1，2]上，2
3)(ax x x f -=，
因为0)3
2
(323)('2
>-
=-=a x x ax x x f ，)2,1(∈x ， 则)(x f 是区间[1，2]上的增函数，所以f m -==1)1(
②当21≤<a 时，在区间[1，2]上，0||)(2≥-=a x x x f ，由0)(=a f 知
)(==a f m
③当2>a 时，在区间[1，2]上，32)(x ax x f -=
)3
2
(332)('2x a x x ax x f -=-=
若3≥a ，在区间（1，2）上，0)('>x f ，则)(x f 是区间[1，2]上的增函数， 所以1)1(-==a f m 若32<<a ，则23
2
1<<a 当a x 321<
<时，0)('>x f ，则)(x f 是区间[1，a 32
]上的增函数， 当232<<x a 时，0)('<x f ，则)(x f 是区间[a 3
2
，2]上的减函数， 因此当32<<a 时，1)1(-==a f m 或)2(4)2(-==a f m
当3
7
2≤<a 时，1)2(4-≤-a a ，故)2(4)2(-==a f m ， 当
33
7
<<a 时，1)2(4-<-a a ，故1)1(-==a f m 总上所述，所求函数的最小值⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧>
-≤<-≤<≤-=3
717
2)
2(42
1011a a a a a a a m
（23）（Ⅰ）由已知，得111==a S ，7212=+=a a S ，183213=++=a a a S 由B An S n S n n n +=+--+)25()85(1，知
⎩⎨
⎧+=-+=--B
A S S
B A S S 2122732312，即⎩⎨⎧-+-=+48228
B A B A 解得8,20-=-=B A .
(Ⅱ) 由（Ⅰ）得820)25()85(1--=+--+n S n S n n n ① 所以 2820)75()35(12--=+--++n S n S n n n ②
②-①得 20)25()110()35(12-=++---++n n n S n S n S n ③ 所以 20)75()910()25(123-=+++-++++n n n S n S n S n ④ ④-③得 )25()615()615()25(123=+-+++-++++n n n n S n S n S n S n
因为 n n n S S a -=++11
所以 0)75()410()25(123=+++-++++n n n a n a n a n 因为 0)25(≠+n
所以 02123=+-+++n n n a a a
所以 1223++++-=-n n n n a a a a ，1≥n 又 51223=-=-a a a a 所以数列}{n a 为等差数列
（Ⅲ）由(Ⅱ) 可知，45)1(51-=-+=n n a n ， 要证
15>-n m mn a a a
只要证 n m n m mn a a a a a 215++>， 因为 45-=mn a mn ，
16)(2025)45)(45(++-=--=n m mn n m a a n m ，
故只要证 >-)45(5mn n m a a n m mn 216)(20251+++-+， 即只要证 n m a a n m 2372020>-+，
因为 372020)291515(8558552-+=-++-+<-+=+≤n m n m n m n m a a a a n m n m 所以命题得证。