最新北师大版九年级上册数学练习册答案 优秀名师资料
最新北师大版九年级数学上册课后练习1.1.3 菱形性质与判定的灵活运用
是对角线BD上的一点，过点C作CQ∥DB，且
CQ＝DP，连接AP，BQ，PQ.
∠DBC＝∠BCQ
△APD≌△BQC
∠ADP＝∠BCQ
(1)求证：△APD≌△BQC； 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC. ∴∠ADP＝∠DBC. ∵CQ∥DB，∴∠BCQ＝∠DBC. ∴∠ADP＝∠BCQ. ∵DP＝CQ，∴△APD≌△BQC(SAS)．
OD＝OB＝5 FG＝2 FO
②∵四边形 ABCD 是长方形， ∴∠A＝90° . ∴BD＝ AB2＋AD2＝ 62＋82＝10. ∵四边形 BFDG 是菱形， 1 ∴GF⊥BD，FG＝2FO，OB＝2BD＝5. 设 DF＝BF＝x，则 AF＝AD－DF＝8－x.
在 Rt△ABF 中，AB2＋AF2＝BF2， 25 2 2 2 即 6 ＋(8－x) ＝x ，解得 x＝ 4 . 25 ∴BF＝ 4 . 在 Rt△FOB 中，FO＝ BF －OB ＝ 15 ∴FG＝2FO＝ 2 .
(2)若∠ABP＋∠BQC＝180°，求证：四边形ABQP为 菱形． ∠APB＋∠APD＝180°
CQ∥DB，且CQ＝DP ∠ABP＝∠APB AB＝AP
四边形DPQC是平行四边形 DC∥PQ，且DC＝PQ AB∥PQ，且AB＝PQ
四边形ABQP是平行四边形
证明：CQ∥DB，且CQ＝DP，
∴四边形CQPD是平行四边形，
∴∠DBC＝∠FDB.∴∠DBE＝∠FDB.
∴DF＝BF.
∴△BDF是等腰三角形．
(2)如图②，过点D作DG∥BE，交BC于点G，连接
FG交BD于点O.
ABCD是长方形 AD∥BC，FD∥BG △BDF是等腰三角形 BF＝FD BFDG是菱形 BFDG是平行四边形
(完整版)北师大版初三上册数学课后习题答案
北师大版九年级上册数学第4页练习答案解：因为在菱形ABCD中，AC±BD于点O，所以∠AOB=90°.在Rt△ABO中，OB=√(AB^2-AO^2 )=√(5^2-4^2 )=3（cm）.因为在菱形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，所以BD=2OB=6cm.1.11.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴BC=AB,BC//AD,∴∠B+∠BAD=180°（两直线平行，同旁内角互补）.∵∠BAD=2∠B,∴∠B+2∠B=180°，∴∠B=60°.∵BC=AB，∴△ABC是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形的等边三角形）.2.解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=DC=CB=BA,∴AC±BD,AO=1/2 AC= 1/2×8=4，DO= 1/2 BD= 1/2×6=3.在Rt△AOD中，由勾股定理，得AD=√(AO²+DO²)=√(4²+3²)=5.∴菱形ABCD的周长为4AD=4×5=20.3.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB,AC±BD，DO=BO,∴△ABD是等腰三角形，∴AO是等腰△ABD低边BD上的高，中线，也是∠DAB的平分线，∴AC平分∠BAD.同理可证AC平分∠BCD,BD平分∠ABC和∠ADC.4.解：有4个等腰三角形和4个直角三角形.第7页练习答案解，所画菱形AB-CD如图1-1-32所示，使对角线AC=6cm，BD=4cm.1.21.证明：在□ABCD中，AD//BC,∴∠EAO=∠FCO（两直线平行，内错角相等）.∵EF是AC的垂直平分线，∴AO=CO.在△AOE和△COF中，∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE=CF.∵AE//CF,∴四边形AFCE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）.∵EF±AC,∴四边形AFCE是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）.2.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC±BD,OA=OC,OB=OD.又∵点E,F,G,H,分别是OA,OB,OC,OD 的中点，∴OE=1/2OA,OG=1/2 OG,OF= 1/2 OB,OH= 1/2 OD,∴OE=OG,OF=OH,∴四边形EFGH是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）.∵AC⊥BD,即EG⊥HF,∴平行四边形EFGH是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）.3.解：四边形CDC′E是菱形.证明如下：由题意得，△C′DE≌△CDE.所以∠C′DE=∠CDE,C^' D=CD,CE=C^' E.又因为AD//BC,所以∠C′DE=∠CED,所以∠CDE=∠CED,所以CD=CE（等角对等边），所以CD=CE=C′E=C′D,所以四边形CDC′E是菱形（四边相等的四边形是菱形）.第9页练习答案1.解：（1）如图1-1-33所示.∵四边形AB-CD是菱形，∴AB=BC=CD=DA=1/4×40=10（cm）.∵对角线AC=10cm，∴AB=BC=AC,∴△ABC是等边三角形，∴∠B=∠BAC=∠ACB=60°.∵AD//BC,∴∠BAD+∠B=180°，∴∠BAD=180°-∠B=180°-60°=120°，∴∠BCD=∠BAD=120°，∠D=∠B=60°.（2）如图1-1-34所示，连接BD，交AC于点O，∴AO=1/2 AC= 1/2×10=5（cm）.在Rt△AOB中，∠AOB=90°，由勾股定理，得BO=√(AB^2-AO^2 )=√(〖10〗^2-5^2 )=5√3 （cm），∴BD=2BO=2×5√3=10√3 （cm），∴这个菱形另一条对角线的长为10√3 cm.2.证明：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，∴∠B=90°-∠BAC=90°-60°=30°.∵FD是BC的垂直平分线，∴EB=EC,∴∠ECB=∠B=30°（等边对等角）.∴∠ECA=∠ACB-∠ECB=90°-30°=60°.在△AEC中，∠EAC+∠ECA+∠AEC=180°，∴∠AEC=180°-∠EAC-∠ECA=180°-60°-60°=60°.∴△AEC是等边三角形，∴AC=CE.在Rt△BDE中，∠BDE=90°，∴∠BED=90°-∠B=90°-30°=60°.∴∠AEF=∠BED=60°（对顶角相等）.∵AE=CF,AF=CE,∴AF=AE,∴△AEF是等边三角形（有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形）.∴AF=EF，∴AF=EF=CE=AC,∴四边形ACEF是菱形（四边相等的四边形是菱形）.1.31.证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AD=CD,AB=CB,∠A=∠C.∵BE=BF,∴AB-BE=CB-BF,即AE=CF.在△ADE和CDF中，.（2）∵△ADE≌△CDF,∴DE=DF,∴∠DEF=∠DFE（等边对等角）.2.已知：如图1-1-35所示，四边形ABCD是菱形，AC和BD是对角线.求证：S菱形ABCD=1/2 AC∙BD.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD,AO=CO,BO=DO.∴S△AOB=S△AOD=S△BOC=S△COD=1/2 AO.BO.∴S菱形ABCD=4×1/2 AO∙BO=1/2×2AO∙2BO=1/2 AC∙BD.3.解：在菱形ABCD中，AC⊥BD，∴∠AOB=90°，AO= 1/2 AC= 1/2×16=8，BO= 1/2 BD= 1/2×12=6. 在Rt△AOB中，由勾股定理，得AB=√(AO^2+BO^2 )=√(8^2+6^2 )=10.∵S菱形ABCD=1/2 AC∙BD= 1/2×16×12=96，又∵DH⊥AB,∴S菱形ABCD=AB∙DH,∴96=AB∙DH,即96=10DH,DH=9.6.∴菱形ABCD的高DH为9.6.4.证明：∵点E,F,G,H分别是AB,CD,AC,BD,的中点，∴GF是△ADC的中位线，EH是△ABD的中位线，∴GF//AD,GF=1/2 AD,EH//AD,EH=1/2AD,∴GF//EH,GF=EH,∴四边形EGFH是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），又∵FH是△BDC的中位线，∴FH=1/2 BC.又∵AD=BC,∴GF=FH,∴平行四边形EGFH是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）.5.略第13页练习答案解：在矩形ABCD中，AO=4，BD=AC=2AO=8.因为∠BA=90°，所以在Rt△BAD中，由勾股定理，得AD=√(BD^2-AB^2 )=√(8^2-6^2 )=2√7.所以BD与AD的长分别为8与2√7.1.41.解：如图1-2-33所示，设这个矩形为ABCD，两条对角线相交于点O，OA=OB=3.在△AOB中，∠OAB=∠OBA=45°，于是∠AOB=90°，AB=√(OB^2+OA^2 )=3√2,同理AD=3√2,所以BC=AD=3√2 AB=DC=3√2所以这个矩形的各边长都是3√2.2.解：如图1-2-34所示，设这个矩形AB-CD两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，AC=BD=15，∴AO=1/2AC=7.5，BO=1/2 BD=7.5，∴OA=OB,∴△AOB是等边三角形，∴AB=7.5.3.解：四边形ADCE是菱形.证明如下：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，∴CD=1/2 AB,AD= 1/2 AB,∴AD=CD.∵AE//CD,CE//AD,∴四边形ADCE是平行四边形.又∵AD=CD,∴平行四边形ADCE是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）4.已知：如图1-2-35所示，在△ABC中，BO为AC边上的中线，BO=1/2 AC.求证：△ABC是直角三角形.证明：如图1-2-35所示，延长BO到D，使BO=DO,连接AD,CD.∵AO=CO,BO=DO,∴四边形ABCD是矩形.∴∠ABC=90°.∴△ABC是直角三角形.第16页练习答案证明：∵四边形ABCDS是平行四边形，∴AB=DC.∵M是AD的中点，∴AM=DM.又∵MB=MC，∴△ABM≌△DCM（SSS）,∴∠A=∠D.又∵AB//DC,∴∠A+∠D=180°，∴∠A=∠D=90°.∴平行四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）.1.51.解：（1）四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）.（2）当△ABC是直角三角形，即∠BAC=90°时，四边形ABEC是矩形.2.解：四边形ACBD是矩形.证明如下：如图1-2-36所示.∵CD//MN,∴∠2=∠4.∵BD平分∠ABN,∴∠1=∠4，∴∠1=∠2，∴OB=OD（等角对等边）.同理可证OB=OC,∴OC=OD.∵O是AB的中点，∴OA=OB,∴四边形ACBD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）.又∵BC平分∠ABM,∴∠3=1/2∠ABM.∵BD平分∠ABN,∴∠1= 1/2∠ABN.∵∠ABM+∠ABN=180°，∴2∠3+2∠1=180°，∴∠3+∠1=90°，即∠CBD=90°.∴平行四边形ACBD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）3.解：做法如下：如图1-2-37所示，（1）连接AC,BD;（2）过A,C两点分别作EF//BD,GH//BD;（3）同法作FG//AC,EH//AH,与EF,GH交于四个点E，F,G,H,则矩形EFGH即为所求，且S矩形EFGH=2S菱形ABCD.第18页练习答案证明：∵四边形ABCD是由两个全等的等边三角形ABD和CBD组成，∴AB=AD=CD=BC,∴四边形ABD和CBD组成，∴AB=AD=CD=BC,∴四边形ABCD是菱形.∵M,N分别是BC和AD的中点，∴DN=1/2 AD,BM= 1/2 BC,∴DN=BM.∵BN=DM,∴四边形BMDN是平行四边形.∴∠DBN=1/2∠ABD= 1/2×60°=30°，∠DBM=60°，∴∠NBM=∠DBN+∠DBM=30°+60°=90.∴平行四边形BMDN是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）.1.61.解：在矩形ABCD中，AC=BD=4，∠ABC=90°，∠ACB=30°，∴AB= 1/2 AC= 1/2×4=2.在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC=√(AC^2-AB^2 )=√(4^2-2^2 )=2√3.∴S矩形ABCD=BC∙AB=2√3×2=4√3.2.解：在矩形ABCD中，∠BAD=90°，即∠BAE+∠EAD=90°.∵∠EAD=3∠BAE,∴∠BAE+3∠BAE=90°，∠BAE=22.5°.∴∠EAD=3∠BAE=3×22.5°=67.5°.∵AE⊥BO,∴∠AEB=90°,∴∠BAE+∠ABE=90°，即22.5°+∠ABE=90°，∴∠ABE=67.5°.∵AC=BC,OA=1/2 AC,OB= 1/2 BD,∴OA=OB,∴∠OAB=∠ABE=67.5°.∵∠EAO+∠BAE=∠OAB,∴∠EAO=∠OAB-∠BAE=67.5°-22.5°=45°.3.证明：∵D是BC的中点，∴BD=CD.∵四边形ABDE是平行四边形，∴AE//BC,AE=BD,ED=AB（平行四边形的性质）.∴AE=CD.∵AE//CD,∴四边形ADCE是平行四边形（一组对边平行且相等的平行四边形是矩形）.∵AB=AC，∴ED=AC,∴平行四边形ADCE是矩形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）. ※4.解：将矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合得到的图形如图1-2-38所示.折痕为EF，则AE=CE,EF垂直平分AC，连接AC交EF于点O，在矩形ABCD中，∠B=90°，BC=8cm，设CE=x cm，则AE=x cm，BE=BC-CE=（8-x）cm.在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE²=AB²+BE²,X²=6²+（8-x）²，解得x=25/2，即EC=25/4cm.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=√(AB^2+BC^2 )=√(6^2+8^2 )=10cm.∴OC=1/2=AC=1/2×10=5cm.∵EF⊥AC,∴∠EOC=90°.在Rt△EOC中，由勾股定理，得EO²=EC²-OC²,EO=√(EO^2-OC^2 )=√(（25/4）^2-5^2 )=15/4 cm，∴折痕EF=2EO=2× 15/4=15/2 cm. ※5.解：如图1-2-39所示，连接PO.S矩形ABCD=AB.BC=3×4=12.在Rt△ABC中，AC=B√(AB²+BC²)=√(3²+4²)=5.又因为AC=BD,AO= 1/2 AC,DC= 1/2 BD,所以AO=DO=5/2.所以S△AOD=S△APO+S△POD= 1/2 AO.PE+ 1/2 DO∙PE= 1/2 AO（PE+PE）=1/2×5/2 （PE+PE）=5/4 （PE+PE）.又因为S△AOD= 1/4 S矩形ABCD= 1/4×12=3，所以5/4 （PE+PE）=3，解得PE+PE= 12/5.第21页练习答案1.解：以正方形的四个顶点为直角顶点的等腰直角三角形共有四个，以正方形的两条对角线的交点为顶点的等腰直角三角形也有四个，所以共有八个等腰直角三角形.2.：△ADF≌△ABF,△DCF≌△BCF,△ADC≌△ABC.以△ADF≌ABF为例加以证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB,∠DAF=∠BAF.∵AF=AF,∴△ADF≌ABF（SAS）.1.71.解：设正方形的边长为为想x cm，则x²+x²=2²，解得x=√2，即正方形的边长为√2 cm.2.解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠DCB=90°，AB=BC=DC.∵△CBE是等边三角形，∴BE=EC=CB,∠EBC=∠ECB=60°.∴∠ABE=30°.∴AB=BE,∴∠AEB=BAE=(180°-∠ABE)/2=(180°-30°)/2=75°.3.证明：如图1-3-24所示，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=D,∠BAD=∠D=90°，AB=DA.∵PD=QC,∴AP=DQ∴△ABP≌△DAQ.∴BP=AQ,∠1=∠2.∵∠2+∠3=90°，∴∠1+∠3=90°，即BP⊥AQ.※4.解：过正方形两条对角线的交点任意做两条互相垂直的直线，即可将正方形分成大小，形状完全相同的四部分.答案不唯一，如图1-3-25所以方法仅供参考.第24页练习答案答案：满足对角线垂直的矩形是正方形或有一组邻边相等的矩形是正方形.满足对角线相等的菱形是正方形或有一个角是直角的菱形是正方形证明结论如下：（1）对角线垂直的矩形是正方形.（2）已知：如图1-3-7（1）多事，四边形ABCD是矩形，AC,BD是对角线，且AC⊥BD.求证：四边形ABCD是正方形.证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AC平分BD.又∵AC⊥BD，∴AC是BD的垂直平分线.∴AB=AD.∴四边形ABCD是正方形.（4）有一个角是直角的菱形是正方形.已知，如图1-3-7（4）所示，四边形ABCD是菱形，∠A=90°.求证：四边形ABCD是正方形.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴四边形ABCD是平行四边形.又∵∠A=90°，∴四边形ABCD是矩形.又AB=BC，∴矩形ABCD是正方形.1.81.答案：对角线相等的菱形是正方形.已知：如图1-3-7（3）所示，四边形ABCD是菱形，AC,BD是对角线，且AC=DC.求证：四边形ABCD是正方形.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=BC.又∵AB=BA,BD=AC,∴△ABD≌△BAC（SSS）.∴∠DAB=∠CBA.又∵AD//bc,∴∠dab+∠cba=180°.∴∠DAB=∠CBA=90°.∴四边形ABCD是正方形.2.证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CB,AD//CB,∴∠ADF=∠CBE.在△ADF和=∠CBE中，∴△ADF≌△CBE（SAS），∴AF=CF,∠AFD=∠CEB.∵∠AFD+∠AFE=180°，∠CEB+∠CEF=180°，∴∠AFE=∠CEF（等角的补角相等）.∴AF//CE（内错角相等，两直线平行）.∴四边形AECF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）.∵AD=AB,∴∠ADF=∠ABE.在△AFD和AEB中，∴△AFD≌△AEB（SAS）.∴AF=AE,∴四边形AECF是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）.3.解：四边形EFGH是正方形.在正方形ABCD中，AB=BC=CD=AD,∠A=∠B=∠C=∠D=90°.因为AE=BF=CG=DH,所以AB-AE=BC-BF=CD-CG=AD-DH,即BE=CF=DG=AH.所以△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS），所以∠AEH,HE=EF=FG=GH.所以四边形EFGH 是菱形.因为∠AEH+∠AHE=90°，所以∠DHG+∠AHE=90°，所以∠EHG=90°，所以菱形EFGH是正方形.4.解：重叠部分的面积等于正方形ABCD面积的1/4.证明如下：重叠部分为等腰直角三角形时，重叠部分为面积为正方形ABCD面积的1/4，即S△AOB=S△BOC=S△COD=S△AOD= 1/4S正方形ABCD.重叠部分为四边形是，如图1-3-26所示.设OA′与AB相交于点E,OC′与BC相交于点F.∵四边形ABCD是正方形，∴OA=OB,∠EAO=∠FBO=45°，AO⊥BD.又∵∠AOE=90°-∠EOB,∠BOF=90°-∠EOB,∴∠AOE=∠BOF,∴△AOE≌△BOF.∴S△AOE+S△BOE=S△BOE+S△BOE,∴S△AOB=S四边形EBFO.又∵S△AOB=1/4 S正方形EBFO.∴S四边形EBFO=1/4 S正方形ABCD.第一章复习题1.解：设该菱形为菱形ABCD，两对角线交于点O，则△AOB为直角三角形，直角边长分别为2cm 和4cm，则有勾股定理，得AB=√(OA^2+OB^2 )=√(2^2+4^2 )=2√5 （cm），即林习惯的边长为2√5 cm.2.解：由OA=OB=√2/2 AB,可知OA^2+OB^2=AB^2,则∠AOB=90°.因为OA=OB=OC=OD,所以AC,BD互相垂直平分且相等，故四边形ABCD必是正方形.3.解：不一定是菱形，因为也可能是矩形.4.已知：如图1-4-20所示，菱形BACD中，对角线AC,BD相交于点O,AC=60cm，周长为200cm.求（1）BD的长；（2）菱形的面积.解：（1）因为菱形四边相等，对角线互相垂直平分，所以AB=1/4×200=50（cm），AC⊥BD且OA=OC= 1/2 AC= 1/2×60=30（cm），OB=OD.在Rt△AOB中，OB=√(AB²-AO²)=√(50²-30²)=40（cm）.所以BD=2OB=80cm.（2）S菱形ABCD=1/2 AC∙BD= 1/2×60×80=2 400（cm^2 ）.5.已知：如图1-4-21所示，在四边形AB-CD，对角线AC⊥BD,E,F,P,Q分别为边AB,BC,CD,DA的中点.求证：四边形EFPQ为正方形.证明：∵E,Q分别为B,AD的中点，∴四边形EFPQ为平行四边形.∵AC=BD,∴EF=EQ.∴□EFPQ为菱形.∵AC⊥BD,∴EF⊥EQ.∴∠QEF=90°.∴菱形EFPQ是正方形.6.解∵AC=EC,∴∠CEA=∠CAE.由四边形ABCD是正方形.得AD//BE, ∴∠DAE=∠CEA=∠CAE.又∠DAC=∠DAE+∠CAE=45°，∴∠DAE=1/2∠DAC= 1/2×45°=22.5°.7.解：（1）是正方形，因为对角线相等的菱形必为正方形.（2）是正方形，因为这个四边形的对角线相等，四条边也相等.8.证明：如图1-4-22所示，∵AD平分∠BAC,∴∠1=∠2.∵DE//AC,∴∠2=∠3.∴∠1=∠3.∴AE=DE.∵DE//AC,DF//AB,∴四边形AEDF是平行四边形.又AE=DE,∴□AEDF是菱形.9.证明：如图1-4-23所示，∵BE⊥AC,ME为Rt△BEC的中线，∴ME=1/2BC.同理MF=1/2BC,∴ME=MF.10.已知：四边形ABCD是正方形，对角线AC=BD=l.求正方形的周长和面积.解：正方形ABCD中，AB=BC,∠B=90°.在Rt△ABC中，AB²+BC²=AC²,2AB²=l²,所以AB=√2/2l.所以正方形的周长=4AB=4×√2/2 l=2√2 l,S四边形ABCD=AB^2=（√2/2 l）^2=1/2 l^2.11.证明：∵CP//BD,DP//AC,∴四边形CODP是平行四边形.∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD.∵OC=1/2 AC,OD= 1/2 BD,∴OC=OD∴四边形CODP是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）.12.证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD.∵OA=OC,OB=OD,又∵AM=BP=CN=DQ,∴OA-AM=OC-CN,即OM=ON,OB-BP=OD-DQ,即OP=OQ,∴四边形MPNQ是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）.∵AM+MN+NC=AC,BP+PQ+DQ=BD,∴MN=PQ,∴四边形MPNQ是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）.13.证明：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD平分∠ACB,∴∠FCD=1/2∠ACB=45°.∵DF⊥AC,∴∠DFC=90°.在Rt△FCD中，∠FDC=90°-∠FCD=90°-45°=45°，∴∠FCD=∠FDC,∴FC=FD.∵DE⊥BC,∴∠DEC=90°.∴∠DFC=∠FCE=∠DEC=90°.∴四边形DFCE是矩形（有个三角是直角的四边形是矩形）.∵FC=FD,∴四边形CEDF是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）.14.解：由AP=4t cm，CQ=l cm，∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC-CQ=（20-t）cm.∴DQ=DC-CQ=（20-t）cm.当四边形APQD是矩形时，则有DQ=AP,∴20-t=4t，解得t=4∴当t为4时，三角形APQD是矩形.15解：△BFD是等腰三角形，理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴AD//BC,∴∠ADB=∠DBC.∵∠FBD=∠DBC,∵∠FBD=∠ADB,∴BF=DF.∴△BFD是等腰三角形.16.解由题意知，矩形ABCD≌矩形GCDF,∴AB=FG,BC=GC,AC=FC,∴△ABC≌△FGC,∴∠ACB=∠FCG.∵∠ACB+∠ACD=90°，∴∠FCG+∠ACD=90°，即∠ACF=90°.∵AC=CF,∴△ACF是等腰直角三角形.∴∠AFC=45°.17.解不一定，因为还可能是菱形，若要判断这块纱巾是否为正方形，还需要检验对角线是否相等.18.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC//DA.∴∠DAB+∠ABC=180°.∵AH平分∠DAB,BH,平分∠ABC,∴∠HAB=1/2∠DAB,∠HBA= 1/2∠ABC.∴∠HAB+∠HBA=90°.∴∠H=90°.同理可证∠F=90°，∠HEF=90°.∴四边形EFGH是矩形.19.解：略.提示：如图1-4-24所示图形仅供参考.第32页练习答案1.解：设直角三角形的三边长分别为m-1，n，n+1（n>1，且n为整数，）则（n-1）²+n²=（n+1）².2.解：∵（3x+2）²=4（x-3）²，∴9x²+12x+4-4x²+24x-36=0，∴5x²+36x-32=0.其中二次项系数为5，一次项系数为36，常数项为-32.（答案不唯一）3.解：设竹竿长为x尺，则门框宽为（x-4）尺，高为（x-2）尺.由勾股定理，得（x-4）²+（x-2）^2=x²，即x²-12x+20=0. 2.11.解：（1）设这个正方形的边长是xm，根据题意，得（x+5）（x+2）=54，即x²+7x-44=0.设这三个连续整数依次为x，x+1，x+2，根据题意，得x（x+1）+x（x+2）+（x+1）（x+2）=242，即x²+2x-80=0.2.（答案不唯一）根据题意，得x（8-x）=15.整理，得x²-8x+15=0. 列表：由表格知x=5.（当x=3时，也满足方程，但不符合实际，故舍去）答：可用16m长的绳子围城一个15m²的矩形，其次为5m，宽为3m.3.解：根据题意，得10+2.5t-5t2=5，即2t²-t-2=0. 列表：所以1<t<2. 进一步列表：所以1.2<t<1.3.答：他完成规定动作的事假最多不超过1.3s.第34页练习答案解：设这五个连续整数第一个数为x，则另外四个数分别为x+1，x+2，x+3，x+4.根据题意，得（x+1）²+（x+2）²+x²=（x+3）²+（x+4）².整理，得x²-8x-20=0. 列表：∴x=-2或x=10.因此这五个连续整数依次为-2，-1,0,1,2或10,11,12,13,14.2.2 1.解：设苗圃的宽为xm，则长为（x+2）m.根据题意，得x（x+2）=120，即x²+2x-120=0.列表：由表格知x=10.（当x=-12时，也满足方程，但不符合实际情况，故舍去）答：苗圃的宽为10m，长为12m.2.解：能.设矩形的长为xm，则宽为（8-x）m.第37页练习答案（1）x_1=5+√7，x_2=5-√7.（2）x_1=7+√57，x_2=7-√57.（3）x_1=(√13-3)/2，x_2=-(√3+3)/2.（4）x_1=3+√11，x_2=3-√11.2.3 1.解：（1）移项，得x²+12x=-25.配方，得x²+12x+6²=-25+36，（x+6）²=11，即x+6=√11或x+6=-√11.∴x_1=√11-6，x_2=-√11-6.（2）配方，得x²+4x+2²=10+2²，（x+2）²=14，即x+2=√14 或x2=-√14.∴x_1=√14-2，x_2=-√14-2.（3）配方，得x²-6x+（-3）²=11+（-3）²，（x-3）²=20，即x-3=2√5 或x-3=-2√5.∴x_1=2√5+3，x_2=-2√5+3.（4）化简，得x²-9x=-19，配方，得x²-9x+（-9/2）^2=-19+（-9/2）^2，（x-9/2）^2=5/4，即x-9/2=√5/2 或x- 9/2=-√5/2，∴x_1=(9+√5)/2，x_2=(9-√5)/2.2.解：设道路的宽为xm，根据题意，得（35-x）（26-x）=850.整理，得x²-61x+（-61/2）²=-60+（-61/2）².∴（x-61/2）^2=(3 481)/4.开平方，得x- 61/2=±59/2.解得x_1=1，x_2=60（不合题意，舍去）.答：道路的宽应为1m.3.解：设增加69人后，增加的行数，列数都是x，则（x+8）（x+12）=69+8×12. 整理，得x²+20x=69.配方.得x²+20x+10²=69+10².∴（x+10）²=169.开平方，得x+10=±13.解得x_1=3，x_2=-23（不合题意，舍去）答：增加的行数，列数都是3.第39页练习答案解（1）移项，得3x²-9x=-2. 两边同除以3，得x²-3x=-2/3.配方，得（x-3/2）²=19/12. 开平方，得x-3/2=±√57/6.∴x_1=(9+√57)/6，x_2=(9-√57)/6.（2）移项，得2x²-7x=-6. 两边同除以2，得x²-7/2 x=-3.配方，得（x-7/4）²=1/16. 开平方，得x-7/4=±1/4.∴x_1=2，x_2=3/2.（3）移项，得4x²-8x=3. 两边同除以4，得x²-2x=3/4.配方，得（x-1）²=7/4. 开平方，得x-1=±√7/2.∴x_1=(2+√7)/2，x_2=(2-√7)/2.2.4 1.（1）x_1=1，x_2=1/6.（2）x_1=3，x_2=-6/5.（3）x_1=4，x_2=-13/4.（4）x_1=(-1+√21)/5，x_2=(-1-√21)/5.2.解：设共有x只猴子，根据题意，得x=（1/8 x）²+12.解得x1=16，x_2=48. 答：共有16只或48只猴子.3.解：如图2-2-4所示，过点Q作QH⊥AB,垂足为H. 设经过ts时，点P和点Q的距离是10cm. 则CQ=2tcm，AP=3tcm.∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°.∵∠QHB=90°，∴四边形QHBC是矩形，∴BH=CQ=2t，HQ=BQ=BC=6cm，∴PH=AB-AP-BH=16-3t-2t=（16-5t）cm.在Rt△PHQ中，∠PHQ=90°，由勾股定理，得PQ²=PH²+HQ².当PQ=10cm时，10²=（16-5t）²+6². ∴（16-5t）²=64，解得t_1=8/5，t_2=24/5，经检验：t_1=8/5s， t_2=24/5 s时都符合题意，所以当t_1=8/5 s和t_2=24/5 s时，点P和点Q 的距离是10cm.第43页练习答案1.解：（1）原方程变形为2x²-7x+5=0，这里a=2，b=-7，c=5，∵b²-4ab=（-7）^2-4×2×5=9>0，∴原方程变形为4x²-4x+3=0，这里a=4，b=-4，c=3，∵b²=-32<0，∴原方程没有实数根.（3）原方程变形为4y²-2.4y+0.36=0，这里a=4，b=-2,.4，c=0.36，∵b²-4ac=（-2.4）²-4×4×0.36=5.76-5.76=0，∴原方程有两个相等的实数根.2.解：（1）∵a=2，b=-9，c=8，∴b²-4ac=（-9）²-4×2×8=17>0，∴x=(9+√17)/4，即x_1=(9+√17)/4，x_2=(9-√17)/4.（2）∵a=9，b=6，c=1，∴b²-4ab=36-4×9×1=0，∴x=(-6±0)/18=-1/3，即x_1=x_2=-1/2.（3）∵a=16，b=8，c=-3，∴b²-4ac=64-4×16×（-3）=256，∴x=(-8±√256)/32=(-8±16)/32，即x_1=1/4，x_2=-3/4.（4）原方程化为x²-3x+5=0.∵a=1，b=-3，c=5，∴b²-4ac=（-3）²-4×1×5=-11<0，∴原方程没有实数根.3.解：设中间的一条边长为n，则另两条边长分别为n-2和n+2.由勾股定理，得n²+（n-2）²=（n+2）²，解得n_1=8，n_2=0（不合题意，舍去）.∴这个三角形的三条边分别为6,8,10.2.5 1.解：（1）原方程变形为5x²+x-7=0，这里a=5，b=1，c=-7，因为b²-4ac=1²-4×5×（-7）=141>0，所以原方程有两个不相等的实数根.（2）这里a=25，b=20，c=4.因为b²-4ac=20²-4×25×4=0，所以原方程有两个相等的实数根.（3）原方程变形为4x²+3x+1=0，这里a=4，b=3，c=1，因为b²-4ac=3²-4×4×1=-7<0，2.解：（1）∵a=2，b=-4，c=-1，∴b²-4ab=16-4×2×（-1）=24>0，∴x=(-b±√(b^2-4ac))/2a=(4±2√6)/4，∴x_1=(2+√6)/2，x_2=(2-√6)/2.（2）5x+2=3x²变形为3x²-5x-2=0.∵a=3，b-5，c=-2，∴b²-4ac=25-4×3×（-2）=49>0，∴x=(-b±√(b²-4ac))/2a=(5±7)/6，∴x_1=2，x_2=-1/3.（3）（x-2）（3x-5）=1变形为3x²-11x+9=0.∵a=3，b=-11，c=9，∴b²-4ac=121-108=13>0，∴x=(-b±√(b^2-4ab))/2a=(11±√13)/6.∴x_1=(11+√13)/6，x_2=(11-√13)/6.（4）0.2x²+5=3/2 x变形为0.2x²-3/2 x+5=0，∵a=0.2，b=-3/2，c=5，∴b²-4ac=（-3/2）²-4×0.2×5=-7/4<0，∴原方程没有实数根.3.解：设门的高为x尺，则宽为（x-6.8）尺.根据题意，得10²=x²+（x-6.8）²整理，得2x²-13.6x-53.76=0.解得x_1=9.6，x_2=-2.8（不合题意，舍去）.∴x=9.6.∴x-6.8=2.8.答：门的高度为9尺6寸，宽为2尺8寸.4.解设木箱的长为x dm，则宽为（x-5）dm，于是有8x（x-5）=528，解得x_1=11，x_2=-6（不合题意，舍去）.所以x=11.所以x-5=11-5=6.答：木箱的长为11dm，宽为6dm.第44页练习答案解：根据题意，得（16-x）（12-x）=1/2×16×12.解得x_1=24（不合题意，舍去），x_2=4.∴x=4，∴图中的x为4.2.6 1.解设金色纸边的宽是x cm，根据题意，得（90+2x）（40+2x）×72%= 90×40，即x²+65x-350=0，解得x_1=5，x_2=-70（不合题意，舍去）.答：金色纸边的宽是50cm.2.解：设鸡场的一边（靠墙的一边）长为xm，则另外两边长均为(40-x)/2 m.（1）若x∙(40-x)/2=180，解得x_1=20+2√10（不合题意，舍去），x_2=20-2√10.∴鸡场的面积能达到180m².若x∙(40-x)/2=200，解得x_1=x_2=20.∴鸡场的面积能达到200m².（2）若x∙(40-x)/2=250，则x²-40x+500=0，方程无实数根.∴鸡场的面积不能达到250m².3.解：设圆柱底面半径为Rcm，则15∙2πR+2πR²=200π，解得R_1=5，R_2=-0（不合题意，舍去）.∴圆柱底面半径为5 cm.※4.解：如图2-3-2所示，过点P做x轴的垂线，垂足为M，根据题意，得S△pab=S梯形pmob-S△boa-S△pma，即1/2 （1+a）×14-1/2 a²-1/2×1×（14-a）=18，解得a_1=3，a_2=12.所以a的值为3或12.第47页练习答案1.解：（1）（x+2）（x-4）=0，x+2=0，或x-4=0，∴x_1=-2，x_2=4.（2）解：移项的4x（2x+1）-3（2x+1）=0，∴（2x+1）（4x-3）=0，∴2x+1=0，或4x-3=0，∴x_1=-1/2，x_2=3/4.2.解：设这个数为n，则2n²-7n=0，解得n_1=0，n_2=7/2.2.71.解：（1）（4x-1）（5x+7）=0，4x-1=0，或5x+7=0，∴x_1=1/4，x_2=-7/5.（2）原方程可变形为3x（x-1）+2（x-1）=0，即（x-1）（3x+2）=0，X-1=0，或3x+2=0，∴x_1=1，x_2=-2/3.（3）原方程可变形为（2x+3）（2x+3-4）=0，2x+3=0，或2x-1=0，∴x_1=-3/2，x_2=1/2.（4）原方程可变形为2（2x-3）²-（x+3）（x-3）=0，（x-3）（2x-6-x-3）=0，X-3=0，或x-9=0，∴x_1=3，x_2=9.2.解：（1）5（x²-x）=3（x²+x）.化简，得2x²-8x=0,2x（x-4）=0，∴2x=0或x-4=0，∴x_1=0，x_2=4.（2）（x-2）²=（2x+3）².移项，得（x-2）²-（2x+3）²=0，（x-2+2x+3）（x-2-2x-3）=0，（3x+1）（-x-5）=0，∴3x+1=0或-x-5=0.∴x_1=-1/3，x_2=-5.（3）（x-2）（x-3）=12.化简，得x²-5x-6=0，∵a=1，b=-5，c=-6，b²-4ac=（-5）²-4×1×（-6）=49，∴x=(-（-5）±√49)/(2×1)=(5±7)/2，∴x_1=6，x_2=-1.（4）2x+6=（x+3）²，移项，得（x+3）²-（2x+6）=0，（x+3）²-2（x+3）=0，（x+3）（x+3-2）=0，（x+3）（x+1）=0，x+3=0或x+1=0，∴x_1=-3，x_2=-1.（5）2y²+4y=y+2，化简，得2y²+3y-2=0.∵a=2，b=3，c=-2，∴b²-4ac=3²-4×2×（-2）=25.∴x=(-3±√25)/(2×2)=(-3±5)/4，∴x_1=1/2，x_2=-2.3.解：设原正方形空地上的边长为xm，则（x-1）（x-2）=12，解得x_1=5，x_2=-12，解得x_1=5，x_2=-2（不和题意，舍去）.故原正方形空地上的边长为5m. 第50页练习答案1.解：（1）∵b²-4ac=（-3）²-4×1×（-1）=13>0.∴方程有两个不相等的实数根.设方程的两个实数根是x_1，x_2，那么x_1+x_2=3，x_1 x_2=-1.（2）∵b²-4ac=2²-4×3×（-5）=64>0，∴方程有两个不相等的实数根.设方程的两个实数根是x_1，x_2，那么x_1+x_2=-2/3，x_1，x_2=-5/3.2.解：它们的答案不确定.判断方法：∵b²-4ac=6²-4×9×（-1）=72>0，∴方程有两个不相等的实数根.设方程的两个实数根是x_1，x_2，那么x_1+x_2=-2/3，，x_1 x_2=-1/9.小明的答案中x_1+x_2=（-1/3）+（-1/3）=-2/3，x_1 x_2=（-1/3）×（-1/3）=1/9≠-1/9，∴小明的答案错误.笑话的答案中x_1+x_2=（-3+3√2）+（-3-3√2）=-6≠-2/3，x_1 x_2=（-3+3√2）（-3-3√2）=-9≠-1/9，∴小华的答案错误.3.解：设它的另一个根为x_1，根据一元二次方程根与系数的关系，得3x_1=-7，x_1=-7/3，∴它的另一个根是-7/3.2.81.解：（1）原方程变形为3x²-x-1=0，∵b²-4ac=（-1）²-4×3×（-1）=13>0，∴方程有两个不相等的实数根.设方程的两个实数根分别为x_1，x_2，那么x_1+x_2=1/3，x_1 x_2=-1/3.（2）原方程化简，2x²+6x-2=0，即x²+3x-1=0.∵b²-4ac=3²-4×1×（-1）=13>0，∴方程有两个不相等的实数根.设方程的两个实数根为x_1，x_2，那么x_1+x_2=-3，x_1 x_2=-1.2.解:（1）∵a=12，b=7，c=1，∴b²-4ac=7²-4×12×1=1，∴x=(-7±√1)/(2×12)=(-7±1)/24，∴x_1=-1/4，x_2=-1/3.（2）原方程变形为0.8x²+x-0.3=0，∵a=0.8，b=1，c=-0.3，∴b²-4ac=1²-4×0.8×（-0.3）=1.96，∴x=(-1±√1.96)/(2×0.8)=(-1±1.4)/1.6，∴x_1=1/4，x_2=-3/2.（3）原方程变形为3x²-2√3 x+1=0.∵a=3，b=-2√3，c=1，∴b²-4ac=（-2√3）²-4×3×1=0，∴x=(-（-2√3）±√0)/(2×3)=(2√3)/6=√3/3.∴x_1=x_2=√3/3.（4）原方程化简，得x²-4x-8=0，配方，得x²-4x+（-2）²-（-2）²-8=0，（x-2）²=12，∴x-2=±2√3.∴x_1=2+2√3，x_2=2-2√3.3.解：设方程5x²+kx-6=0的另一根为x_1，由根与系数的关系，得2x_1=-6/5，解得x_1=-3/5.当x_1=-3/5时，2+（-3/5）=-k/5.解得k=-7.所以它的另一个根为-3/5，k的值为-7.4.解：∵a=1，b=-17，c=66，∴b²-4ac=（-17）²-4×1×66=289-264=25>0，∴方程有两个不相等的实数根.设一元一次方程x²-17x+66=0的两个实数根分别为，x_1，x_2，由根与系数的关系，得x_1+x_2=17.∵17>20，不满足三角形的两边之和大于第三边，不能构成三角形，∴这个三角形的第三边的长不可能是20.第52页练习答案解：设相遇时所走的时间为x，则10²+（3x）²=（7x-10）².解得x_1=3.5，x_2=0（不合题意，舍去）.∴x=3.5.∴甲走了3.5×7=24.5（步），乙走了3.5×3=10.5（步）.答：甲走了24.5步，乙走了10.5步.1.解：设赛义得到的钱数为x，则少的一笔钱为20-x，根据题意，得x²-20x+96=0.解得x_1=12，x_(2=8) （不合题意，舍去）.答：赛义德到的钱数为12.2.解：设经过x s△pcq的面积为Rt△ACB面积的一半，根据题意，得1/2 （8-x）（6-x）=1/2×1/2×8×6.整理，得x²-14x+24=0.解得x_1=12（不合题意，舍去），x_2=2.答：经过2 s△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半.3.解：设渠道深为x m，则渠低宽为（x+0.4）m，上口宽为（x+0.4+0.6）m.根据题意，得1/2 x【（x+0.4）+（x+0.4+0.6）】=0.78，整理，得x²+0.7x-0.78=0.解得x_1=0.6，x_2=-1.3（不合题意，舍去）.答：渠深为0.6m.4.解：设经过ts后P,Q两点相距25cm，∴PC=2tcm，BQ=t cm，CQ=BC-BQ=25-t（cm）.在Rt△PCQ中，∠C=90°，由古定理，得PQ²=PC²+CQ²,25²=（2t）²+（25-t）².解这个方程，得t_1=0（不合题意，舍去），t_2=10.∴经过10s后P,Q两点相距25cm.第55页练习答案解：设每张贺年卡应降价x元，根据题意，得（0.3-x）（500+x/0.05×200）=180，整理，得400x²-70x+3=0.解得x_1=0.1，x_2=0.075（不合题意，舍去）.答：每张贺年卡应降价0.1元.2.10 1.解：设每件应降价x元，根据题意，得（44-x）（20+5x）=1600，整理，得x²-40x+144=0.解得x_1=4，x_2=36（不合题意，舍去）.答：每件应降价4元.2.解设储藏x个星期出售这批农产品可获利122 000元.根据题意，得（80-2x）（1 200+200x）-1 600x-64 000=122 000，化简，得x²-30x+225=0.解得x_1=x_2=15，所以储藏15个星期出售这批农产品可获利122 000元.3.解：设该市这两年自然保护区面积的年均增长率为x，则4.85%∙（1+x）^2=8%.解这个方程，得x_1≈0.284=28.4%，x_2≈-2.284（舍去）.4.解：设该商场11,12两个月营业额的月均增长率为x，根据题意，得2 500+2 500（1+x）+2 500（1+x）²=9 100.解得x_1=0.2=20%，x_2≈-3.2（不合题意，舍去）所以该商场11,12两个月营业额的月均增长率为20%.第二章复习题1.解：设其中一个数为x，则另一个数为x-4，则x（x-4）=45，解得x_1=9，x_2=-5.当x=9是时，x-4=5；当x=-5时，x-4=-9.答：这两个数为9和5，或-5和-9.2.解：（1）x（x-14）=0，x=0，或x-14=0，所以x_1=0，x_2=14.（2）x^2+12x+27=0，（x+3）（x+9）=0，X+3=0，或x+9=0，所以x_1=-3，x_2=-9.（3）x²=x+56，x²-x-56=0，（x+7）（x-8）=0，X+7=0，或x-8=0，所以x_1=-7，x_2=8.（4）x（5x+4）=5x+4，（5x+4）（x-1）=0，5x+4=0，或x-1=0，所以x_1=-4/5，x_2=1.（5）4x²-45=31x，4x²-31x-45=0，（4x+5）（x-9）=0，4x+5=0，或x-9=0，所以x_1=-5/4，x_2=9.（6）-3x²+22x-24=0，3x²-22x+24=0，（3x-4）（x-6）=0，所以x_1=4/3，x_2=6.（7）（x+8）（x+1）=-12，X²+9x+20=0，（x+4）（x+5）=0，X+4=0，或x+5=0，所以x_1=-4，x_2=-5.（8）（3x+2）（x+3）=x+14，3x²+10x-8=0，（3x-2）（x+4）=0,3x-2=0，或x+4=0，所以x_1=2/3，x_2=-4.3.（1）解法1：原方程可化为x²+9x+18=0，（x+3）（x+6）=0，所以x_1=-3，x_2=-6.（2）解：x²-2√5 x+2=0，X²-2√5x=-2，X²-2√5 x+5=-2+5，（x-√5）²=3，x-√5=±√3，所以x_1=√5+√3，x_2=√5-√3.（3）解：（x+1）²-3（x+1）+2=0，（x+1-1）（x+1-2）=0，（x-1）=0，所以x_1=0，x_2=1.4.解：（1）∵a=2，b=1，c=-1，∴b²-4ac=1²-4×4×2（-1）=9>0，∴方程有两个不相等的实数根.（2）原方程变形为4x²-4x+1=0，∵a=4，b=-4，c=1，∴b²-4ac=（-4）²-4×4×1=16-16=0，∴方程有两个相等的实数根.（3∵a=7，b=2，c=3，b²-4ac=2²-4×7×3=-80<0，∴方程没有实数根.*5.解：（1）∵a=1，b=-5，c=-6，b²-4ac=（-5）²-4×1×（-6）=49>0，∴方程有两个不相等的实数根.设方程的两个实数根分别为x_1，x_2.由根与系数的关系，得x_1+x_2=-b/a=-5/3，x_1 x_2=c/a=1/3.6解：（1）根据题意，得x²-13x+12=0，所以x1=1，x_2=12，即当x=1或x=12时，代数式x²-13x+12的值等于0.（2）由题意，得x²-13x+12=42，所以x_1=15，x_2=-2，所以当x=15或x=-2时，代数式x²-13x+12的值等于42.（3）由题意，得x²-13x+12=-4x²+18，所以x_1=3，x_2=-2/5，所以当x=3或x=-2/5时，代数式x²-13x+12的值与代数式-4x²+18的值相等.7.解：设该公司这两年缴税的年均增长率为x，由题意，得40（1+x）²=48.4.解得x_1=0.1=10%，x_2=-2.1（舍去）.答:该公司这两年缴税的年均增长率为10%.8.解：设原铁皮的边长为x cm，则4（x-8）²=400.解得x_1=18，x_2=-2（不合题意，舍去）.答：原铁皮的边长应为18cm.9.解：如图2-7-3所示，设小路宽为xm，由题意，得2x（15+2x）+2×20x=246.整理，得2x²+35x-123=0.解得x_1=3，x_2=-20.5（舍去）.答：小路的宽为3m.10.解：设每行的座位数为x，则总行数为x+16，依题意，得x（x+16）=1 161.（x-27）（x+43）=0.解得x_1=27，x_2=-43（舍去）.答：每行的座位数为27.11.解：设其中一段长为x cm，则另一段长为（56-x）cm.（1）由（x/4）²+（(56+x)/4）²=100，解得x_1=24，x_2=32，所以一段长为24cm，另一段长为32cm.（2）由（x/4）²+（(56-x)/4）²=196，解得x_1=0，x_2=56，所以不能剪开.（3）由（x/4）²+（(56-x)/4）^2=200，解得x_1=28+4√51>56（舍去），X_2=28-4√51<0（舍去）.所以面积之和不可能等于200cm^2.12.解：令3x+5=y，原方程可化为y²-4y+3=0，（y-1）（y-3）=0，解得y_1=1，y_2=3.当y=1，即3x+5=1时，x=-4/3；当y=3，即3x+5=3时，x=-2/3.所以原方程的解为x_1=-4/3，x_2=-2/3.13.解：把2+√3 代入x^2-4x+c=0中，得（2+√3）^2-4（2+√3）+c0.解得c=1.原方程的另一个根为2-√3，c的值为1.14.解：当s=200时，200=10t+3t²，解得t_1=20/3，t_2=-10（不合题意，舍去），所以行驶200m需要的时间为20/3 s.15.解法1：设水渠宽为cm，根据题意，得（92-2x）（60-x）=885×6=92x+2×60x-2x²，即x²-106x+105=0.解得x_1=105（舍去），x_2=1.答：水渠应挖1m宽.解法2：设水渠宽为xm，根据题意，得（92-2x）（60-x）=885×6，即x²-106x+105=0.解得x_1=105（舍去），x_2=1.答：水渠应挖1m宽.16.解：设应多种x颗桃树，由题意，得（100+x）（1 000-2x）=1 000×100×（1+15.2%）.整理，得x²-400x+7 600=0.解得x_1=380，x_2=20.又由题意知x=380不符合题意，故舍去，因此x只能为20.答：应多种20颗桃树，产量会增加15.2%.17.解：设其中一条直角边长为x cm，则另一条直角边长为（x+1）cm，所以x²+（x+1）²=7².解得X_1=(√97-1)/2，x_2=(-√97-1)/2 （舍去）.所以x+1=(√97-1)/2+1=(√97+1)/2.答：这两条直角边长分别为(√97-1)/2cm和(√97+1)/2cm.18.解：设t时后侦察船可侦侦察到这艘军舰，根据题意，有（90-30t）²+（20t）²=50².整理得13t²-54t+56=0.因为b²-4ac=（-54）²-4×13×56=4>0，所以方程有实数根，即侦察船可侦察到军舰，解得t_1=2，t_2=28/13（不合题意，舍去）.答：侦察船可侦察到军舰，最早在2时后可侦察到.19.解：设到会人数为x，则有x（x-1）/2=66.整数得x^2-1x-132=0.解得x_1=12，x_2=-11（不合题意，舍去）.答：这次会议到会的人数为12.20.解：设点P（x，-2x+3），一次函数y=-2x+3的图象交x轴于点A（3/2，0），交y轴于点B（0,3）. ∵点P在第一象限，∴x>0，-2x+3>0，∴PD=x，PC=-2x+3.根据题意，得S_矩形OCPD=PD∙PC=1，x（-2x+3）=1.化简，得-2x²+3x-1=0，解这个方程，得x_1=1，x_2=1/2.当x=1时，-2x+3=-2×1+3=1，∴点P_1 （1,1）当x=1/2 时，-2x+3=-2× 1/2+3=2，∴点P_2 （1/2，2）.∴当点P_1 （1,1）或P_2（1/2，2）时，矩形OCPD的面积为1.21.分析：由于距台风中心200km的区域受影响，所以应考虑轮船与台风中心的距离是否超过200km，如果超过200km，则会进入台风影响区.解：（1）这艘轮船不改变航向，他会进入台风影响区.理由：如图2-7-4所示，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BC=500km，BA=300km，由勾股定理，得AC=√(BC^2-BA^2 )=√(〖500〗^2-〖300〗^2 )=400（km）.当这艘轮船不改变航向时，轮船由C地到A地的时间为400/30=13（h），台风中心由B地到A的时间为300/20=15（h）.故轮船到达A地时，台风中心距离A地为300-20×40/3=331/3 （km）.而331/3 km<200km，所以这艘轮船不改变航向会进入台风影响区.（2）设从接到报警开始，经过th这艘轮船就会进入台风影响区，则CD=30t km，BE=20t km，AD=AC-CD=（400-30t）km，AE=AB-BE=（300-20t）km，DE=200km.在Rt△DAE中，由勾股定理，得AD²+AE²=DE²,即（400-30t）²+（300-20t）²=200².整理，得13t²-360t+2 100=0，解得t_1≈8.35，t_2≈19.34.所以从接到报警开始，经过8.35h它就会进入台风影响区.※22.解：设该银行一年定期存款的年利率是x，根据题意，得【2 000（1+x）-1 00】+【2 000（1+x）-1 000】x=1 107.45.化简，得（1 000+2 000x）（1+x）=1 107.45400x²+600x-21.49=0.解这个方程，得x_1=0.035=3.5%，x_2=-1.535（不合题意，舍去）.所以该银行一年定期存款的年利率是3.5%.第61页练习答案解：列表如下：或画树状图如图3-1-13所示：由表或树状图可知总共有4中结果，每中结果出现的可能性相同，其中恰好是白色上衣和白色裤子的结果有一种，所以，P（白色上衣和白色裤子）=1/4.3.1 1.解：列表如下：（1）由表可知，一次实验中两张牌的牌面数字和有2,3,4.（2）两张牌的牌面数字和为3的概率最大.（3）P（和为3）=3/4=1/2.2.解：列表如下：由表可知：（1）两次都摸到红球的概率为1/4；（2）连词摸到不同颜色的去的概率为2/4=1/2.（3）解：可能性相同.因为掷一枚硬币正反面朝上的概率都是1/2.第64页练习答案解：设三张大小一样而画面不同的画片分别为A,B,C,将出现的可能结果列表如下：由表可知，出现的总结过有9种，能拼成原来的一幅画的结果有（A上，A下），（B上，B下，）（C上，C下）三种，所以P（两张恰好能拼成原来的一幅画）=3/9=1/3.3.2 1.解：将出现的可能结果列表如下：由表可知，（1）两张牌的牌面数字和等于1的概率为0；（2）两张牌的牌面数字和等于2的概率为1/9；（3）两张牌的牌面数字和为4的概率最大；（4）两张牌的牌面数字和大于3的概率是6/9=2/3.2.解：将出现的可能结果列表如下：由表可知，（1）两人都左拐左拐的概率为1/9；。
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北师大版数学九年级上册课本答案【篇一：北师版九年级数学上册第一章测试卷(含答案)】卷满分120 分考试时间120 分钟）一、选择题（共10 小题，每小题 3 分，计30 分）1、下列各组图形中，是全等三角形的一组是（）a.底边长都为15cm 的两个等腰三角形b.腰长都为15cm 的两个等腰三角形d.边长为12cm 的两个等边三角形2、等腰三角形的周长为13，其中一边长为3，则该等腰三角形的底边长为（）a.7b.3c.7 或3d.53、一个三角形如果有两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是（）a.等腰三角形b.等边三角形c. 直角三角形d.等腰直角三角形4、用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”，应先假设这个三角形中（）a.有两个角是直角b.有两个角是钝角c. 有两个角是锐角d.一个角是钝角，一个角是直角6、如图1-2，在一次强台风中一棵大树在离地面5m 处折断倒下，倒a.10mb.15mc.25md.30m c ba d 图1-1 图1-27、下列命题①对顶角相等②如果三角形中有一个角是钝角，那么另外两个角是锐角③若两直线平行，则内错角相等④三边都相等的三角形是等边三角形。
其中逆命题正确的有（）a.①③b. ②④c.①②d.③④8、如图1-3（1）在△abc 中，d、e 分别是ab,ac 的中点，将△ade 沿线段de 向下折叠，得到图形1-3（2），下列关于图（2）的四个结论中，一定不成立的是（）c. △dba 是等腰三角形d.de ∥bce c 图1-3 b c （2）（1）aa.1b.2c.3d.4be aa c图1-4 图1-5二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，计18 分）11、已知三条不同的直线a,b,c 在同一平面内，下列四个命题：①如果③如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c 其中属于真命题的是（填写所有真命题的序号）12、一个三角形三边之比为2:5:3 ，这个三角形的形状是13、把“同角的余交相等”改写成“如果?? ，那么??”的形式为cd=3 ，则ab 的长度为15、如图1-7，p 是正方形abcd 内一点，将△abp 绕点b 顺时针方向旋转能与△cbp? 重合，若pb=3 ，则pp? 的长度为a p d bd b cc n c a b ?图1-6 图1-7 图1-8三、解答题（共 6 小题，计72 分，解答应写过程）ad 图1-918、（10 分）已知：如图1-10 ，de 为△abc 的边ab 的垂直平分线，m d cd 为△abc 的外角平分线，与de 交于点d，dm ⊥bc 的延长线于点m，dn ⊥ac 于点n，求证：an=bm 。
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北师大版初中九年级数学上册单元测试题第一章证明（Ⅱ）班级姓名学号成绩一、判断题（每小题2分，共10分）下列各题正确的在括号内画“√”,错误的在括号内画“×”.1、两个全等三角形的对应边的比值为1 。
（）2、两个等腰三角形一定是全等的三角形. （ )3、等腰三角形的两条中线一定相等。
（）4、两个三角形若两角相等，则两角所对的边也相等. （）5、在一个直角三角形中，若一边等于另一边的一半，那么,一个锐角一定等于30°.（）二、选择题（每小题3分，共30分）每小题只有一个正确答案，请将正确答案的番号填在括号内.1、在△ABC和△DEF中,已知AC=DF，BC=EF，要使△ABC≌△DEF,还需要的条件是（ )A、∠A=∠DB、∠C=∠FC、∠B=∠ED、∠C=∠D2、下列命题中是假命题的是（）A、两条中线相等的三角形是等腰三角形B、两条高相等的三角形是等腰三角形C、两个内角不相等的三角形不是等腰三角形D、三角形的一个外角的平分线平行于这个三角形的一边，则这个三角形是等腰三角形3、如图（一），已知AB=AC，BE=CE，D是AE上的一点，则下列结论不一定成立的是（）A、∠1=∠2B、AD=DEC、BD=CDD、∠BDE=∠CDE4、如图（二）,已知AC和BD相交于O点,AD∥BC,AD=BC,过O （一）任作一条直线分别交AD、BC于点E、F，则下列结论：①OA=OC②OE=OF ③AE=CF ④OB=OD，其中成立的个数是（）A、1B、2C、3D、45、若等腰三角形的周长是18，一条边的长是5,则其他两边的长是（）（二）A、5，8B、6。
最新北师大版九年级数学上册全册课时练习(附详细解析过程)
北师大版九年级数学上册全册课时练习1.1菱形的性质与判定 (1)1.2矩形的性质与判定 (11)1.3正方形的性质与判定 (19)2.1 认识一元二次方程 (28)2.2 用配方法求解一元二次方程 (31)2.3 用公式法求解一元二次方程 (36)2.4 用因式分解法求解一元二次方程 (40)2.5 一元二次方程的根与系数的关系 (44)2.6 应用一元二次方程 (48)3.1 用树状图或表格求概率 (54)3.2用频率估计概率 (65)4.1 成比例线段 (72)4.3相似多边形 (75)4.4 探索三角形相似的条件 (81)*4.5相似三角形判定定理的证明 (93)4.6利用相似三角形测高 (100)4.7相似三角形的性质 (108)4.8图形的位似 (115)5.1投影 (125)5.2视图 (133)6.1反比例函数 (142)6.2反比例函数的图象与性质 (148)6.3 反比例函数的应用 (158)1.1菱形的性质与判定一、选择题（本题包括12个小题.每小题只有1个选项符合题意）1. 如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，则的△AEF的面积是（）A. 4B. 3C. 2D.2. 如图，在菱形ABCD中，AB=8，点E，F分别在AB，AD上，且AE=AF，过点E作EG∥AD 交CD于点G，过点F作FH∥AB交BC于点H，EG与FH交于点O．当四边形AEOF与四边形CGOH的周长之差为12时，AE的值为（）A. 6.5B. 6C. 5.5D. 53. 如图，BD是菱形ABCD的对角线，CE⊥AB交于点E，交BD于点F，且点E是AB中点，则tan∠BFE的值是（）A. B. 2 C. D.4. 如图，在菱形中，对角线AC、BD交于点O，E为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OE的长等于（）A. 3.5B. 4C. 7D. 145. 如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠ABD=30°，则菱形ABCD的面积是（）A. 18B. 18C. 36D. 366. 如图，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（-3，4），顶点C在x轴的负半轴上，函数y =（x＜0）的图象经过顶点B，则k的值为（）A. -12B. -27C. -32D. -367. 菱形具有而平行四边形不具有的性质是（）A. 两组对边分别平行B. 两组对角分别相等C. 对角线互相平分D. 对角线互相垂直8. 某校的校园内有一个由两个相同的正六边形（边长为2.5m）围成的花坛，如图中的阴影部分所示，校方先要将这个花坛在原有的基础上扩建成一个菱形区域如图所示，并在新扩充的部分种上草坪，则扩建后菱形区域的周长为（）A. 20mB. 25mC. 30mD. 35m9. 如图，在菱形ABCD中，∠ADC=72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB的度数是（）A. 108°B. 72°C. 90°D. 100°10. 菱形的两条对角线长分别为6和8，则菱形的面积是（）A. 10B. 20C. 24D. 4811. 在菱形ABCD中，下列结论错误的是（）A. BO=DOB. ∠DAC=∠BACC. AC⊥BDD. AO=DO12. 如图，在菱形ABCD中，P、Q分别是AD、AC的中点，如果PQ=3，那么菱形ABCD的周长是（）A. 30B. 24C. 18D. 6二、填空题（本题包括4个小题）13. 如图，AD是△ABC的高，DE∥AC，DF∥AB，则△ABC满足条件________时，四边形AEDF 是菱形．14. 如图，在△ABC中，已知E、F、D分别是AB、AC、BC上的点，且DE∥AC，DF∥AB，要使四边形AEDF是菱形，在不改变图形的前提下，你需添加的一个条件是________就可以证明这个多边形是菱形15. 如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD．请你添加一个适当的条件：_________，使四边形ABCD成为菱形．16. 如图，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是_________三、解答题（本题包括4个小题）17. 如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，CE是中线，△ACD与△ACE关于直线AC对称．（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）求证：BC=ED．18. 如图，△ABC与△CDE都是等边三角形，点E、F分别为AC、BC的中点．（1）求证：四边形EFCD是菱形；（2）如果AB=8，求D、F两点间的距离．19. 如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于E．（1）求证：四边形AECD是菱形；（2）若点E是AB的中点，试判断△ABC的形状，并说明理由．20. 如图，由两个等宽的矩形叠合而得到四边形ABCD．试判断四边形ABCD的形状并证明答案1.【答案】B【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴BC=CD，∠B=∠D=60°，∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴BC×AE=CD×AF，∠BAE=∠DAF=30°，∴AE=AF，∵∠B=60°，∴∠BAD=120°，∴∠EAF=120°-30°-30°=60°，∴△AEF是等边三角形，∴AE=EF，∠AEF=60°，∵AB=4，∴AE=AB×sin60°=∴EF=AE=∴AM=AE•sin60°=3，∴△AEF的面积是：EF•AM=××3=.故选:B.2.【答案】C【解析】根据题意可得四边形AEOF和四边形CGOH为菱形，且OH=EB，设AE=x，则BE=8－x，根据菱形的周长之差为12，可得两个菱形的边长之差为3，即x－（8－x）=3，解得：x=5．5 3. 【答案】D【解析】根据菱形的性质，在菱形ABCD中，AB=BC，E为AB的中点，因此可知BE=，又由CE⊥AB，可知△BCA为直角三角形，∠BCE=30°，∠EBC=60°，再由菱形的对角线平分每一组对角，可得∠EBF=∠EBC=30°，因此可求∠BFE=60°，进而可得tan∠BFE=．故选D 4. 【答案】A【解析】根据菱形的四条边都相等求出AB，再根据菱形的对角线互相平分可得OB=OD，然后判断出OE是△ABD的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求解即可．∵菱形ABCD的周长为28，∴AB=28÷4=7，OB=OD，∵E为AD边中点，∴OE是△ABD 的中位线，∴OE=AB=×7=3.5．故选A．5. 【答案】B【解析】过点A作AE⊥BC于E，如图，∵在菱形ABCD中，AB=6，∠ABD=30°，∴∠BAE=30°，∵AE⊥BC，∴AE=，∴菱形ABCD的面积是=，故选B．6. 【答案】C【解析】∵A（﹣3，4），∴OA==5，∵四边形OABC是菱形，∴AO=CB=OC=AB=5，则点B的横坐标为﹣3﹣5=﹣8，故B的坐标为：（﹣8，4），将点B的坐标代入得，4=，解得：k=﹣32．故选C．7. 【答案】D【解析】A、不正确，两组对边分别平行；B、不正确，两组对角分别相等，两者均有此性质正确；C、不正确，对角线互相平分，两者均具有此性质；D、菱形的对角线互相垂直但平行四边形却无此性质．故选D．8. 【答案】C【解析】如图，∵花坛是由两个相同的正六边形围成，∴∠FGM=∠GMN=120°，GM=GF=EF,∴∠BMG=∠BGM=60°，∴△BMG是等边三角形，∴BG=GM=2.5（m），同理可证：AF=EF=2.5（m）∴AB=BG+GF+AF=2.5×3=7.5（m），∴扩建后菱形区域的周长为7.5×4=30（m），故选C．9. 【答案】B【解析】如图，连接AP，∵在菱形ABCD中，∠ADC=72°，BD为菱形ABCD的对角线，∴∠ADP=∠CDP=∠ADC=36°.∵AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，∴PA=PD.∴∠DAP=∠ADP=36°.∴∠APB=∠DAP+∠ADP=72°.又∵菱形ABCD是关于对角线BD对称的，∴∠CPB=∠APB=72°.故选B.点睛：连接AP，利用线段垂直平分线的性质和菱形的性质求得∠APB的度数是解本题的基础，而利用通常容易忽略的“菱形是关于对称轴所在直线对称的”，由轴对称的性质得到∠CPB=∠APB才是解决本题的关键.10.【答案】C【解析】由菱形的两条对角线的长分别是6和8，根据菱形的面积等于对角线积的一半，即可求得答案．∵菱形的两条对角线的长分别是6和8，∴这个菱形的面积是：×6×8=24．故选C．11. 【答案】D【解析】根据菱形的性质：“菱形的对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角”可知：选项A、B、C的结论都是正确的，只有选项D的结论不一定成立.故选D.12. 【答案】B【解析】∵P，Q分别是AD，AC的中点，∴PQ是△ADC的中位线，∴DC=2PQ=6.又∵在菱形ABCD中，AB=BC=AD=CD，∴C菱形ABCD=6+6+6+6=24.故选B.13. 【答案】AB=AC或∠B=∠C【解析】∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形.所以当四边形AEDF中有一组邻边相等时，它就是菱形了.由此在△ABC中可添加条件：（1）AB=AC或（2）∠B=∠C.（1）当添加条件“AB=AC”时，∵AD是△ABC的高，AB=AC，∴点D是BC边的中点，又∵DE∥AC，DF∥AB，∴点E、F分别是AB、AC的中点，∴AE=AB，AF=AC，∴AE=AF，∴平行四边形AEDF 是菱形.（2）当添加条件“∠B=∠C”时，则由∠B=∠C可得AB=AC，同（1）的方法可证得：AE=AF，∴平行四边形AEDF是菱形.14. 【答案】AB=AC，答案不唯一【解析】根据DE∥AC，DF∥AB，可直接判断出四边形AEDF是平行四边形，要使其变为菱形，只要邻边相等即可，从而可以得出．条件AE=AF（或AD平分角BAC，等）∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，又AE=AF，∴四边形AEDF是菱形．15. 【答案】AB=AD，答案不唯一【解析】由已知条件可证四边形ABCD是平行四边形，而要使平行四边形是菱形，根据菱形的判定方法可添加：（1）四边形ABCD中，有一组邻边相等；（2）四边形ABCD的对角线互相垂直；因此，本题的答案不唯一，如可添加：AB=AD，证明如下：∵四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD．∴四边形ABCD是平行四边形.又∵AB=AD，∴平行四边形ABCD是菱形.点睛：本题方法不唯一，由已知条件可证得四边形ABCD是平行四边形，结合菱形判定方法中的：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；②对角线相等的平行四边形是菱形；就可得到本题添加条件的方法有3种：（1）直接添加四组邻边中的任意一组相等；（2）直接添加对角线AC⊥BD；（3）在题中添加能够证明（1）或（2）的其它条件.16. 【答案】菱形【解析】∵分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，∴AC=AD=BD=BC，∴四边形ADBC是菱形．故答案为：菱形．17. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）由△ABC中，∠ACB=90°，CE是中线，可证得：CE=AE，再由△ACD与△ACE（2）由（1）可得DC∥BE，关于直线AC对称，可得AD=AE=CE=CD，从而可得四边形ADCE是菱形；DC=AE=BE，从而可证得：四边形BCDE是平行四边形，就可得到：BC=DE.（1）证明：∵∠C=90°，点E为AB的中点，∴EA=EC.∵△ACD与△ACE关于直线AC对称．∴△ACD≌△ACE，∴EA=EC=DA=DC，∴四边形ADCE是菱形；（2）∵四边形ADCE是菱形，∴CD∥AE且CD=AE，∵AE=EB，∴CD∥EB且CD=EB∴四边形BCDE为平行四边形，∴DE=BC．18. 【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）由△ABC是等边三角形，点E、F分别为AC、BC的中点可证得：EF=EC=FC；由△DEC是等边三角形可得：DE=DC=EC，从而可得EF=FC=CD=DE，由此可得：四边形EFCD是菱形；（2）连接DF交AC于点G，由已知易证EF=EC=4，再由菱形的对角线互相垂直平分，可得EG=2，再由勾股定理可得：FG=，从而可得DF=.解：（1）∵△ABC与△CDE都是等边三角形∴AB=AC=BC，ED=DC=EC∵点E、F分别为AC、BC的中点∴EF=AB，EC=AC，FC=BC∴EF=EC=FC，∴EF=FC=ED=DC，∴四边形EFCD是菱形．（2）连接DF，与EC相交于点G，∵四边形EFCD是菱形，∴DF⊥EC，垂足为G ，EG=EC，∴∠EGF=90°，又∵AB=8， EF=AB，EC=AC，∴EF=4，EC=4，EG=2，∴GF=，∴DF=2GF=.19. 【答案】（1）证明见解析；（2）直角三角形．解：（1）四边形ABCD中，AB∥CD，过C作CE∥AD交AB于E，则四边形AECD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），因为AB∥CD，所以；AC平分∠BAD，所以，因此，所以AD=CD，所以四边形AECD是菱形.（2）由（1）知四边形AECD是菱形，所以AE=CE；点E是AB的中点，AE=BE，所以CE=AE=BE，所以△ABC是直角三角形（斜边上的中线等于斜边的一半是直角三角形）20. 【答案】四边形ABCD是菱形．证明见解析.【解析】过点A作AR⊥BC于点R，AS⊥CD于点S，由已知可得：AD∥BC，AB∥CD，从而得到四边形ABCD是平行四边形；由矩形纸条等宽可得AR=AS，由面积法可证得：BC=DC，从而可得：平行四边形ABCD是菱形.解：四边形ABCD是菱形．理由如下：作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，由题意知：AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵两个矩形等宽，∴AR=AS，∵S平行四边形ABCD=AR•BC=AS•CD，∴BC=CD，∴平行四边形ABCD是菱形.点睛：本题第一步容易证得四边形ABCD是平行四边形；第二步抓住题中条件“等宽的矩形”通过作辅助线AR⊥BC，AS⊥CD，就可得AR=AS，再用“面积法”证得：BC=CD是解决本题的关键.1.2矩形的性质与判定一、选择题（本题包括11个小题.每小题只有1个选项符合题意）1. 如图，小贤为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，B 与D两点之间用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭动框架，观察所得四边形的变化，下列判断错误的是（）A. 四边形ABCD由矩形变为平行四边形B. BD的长度增大C. 四边形ABCD的面积不变D. 四边形ABCD的周长不变2. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以下说法错误的是（）A. ∠ABC=90°B. AC=BDC. OA=OBD. OA=AD3. 如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为（）A. 17B. 18C. 19D. 204. 如图，矩形的两条对角线的一个交角为60°，两条对角线的长度的和为20cm，则这个矩形的一条较短边的长度为（）A. 10cmB. 8cmC. 6cmD. 5cm5. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠ACB=30°，AB=2，则BD的长为（）A. 4B. 3C. 2D. 16. 一个矩形被分成不同的4个三角形，其中绿色三角形的面积占矩形面积的15%，黄色的三角形的面积是212，则该矩形的面积为（）A. 602B. 702C. 1202D. 14027. 如图，矩形ABCD中，AC交BD于点O，∠AOD=60°，OE⊥AC．若AD=，则OE=（）A. 1B. 2C. 3D. 48. 矩形具有而菱形不具有的性质是（）A. 对角线相等B. 两组对边分别平行C. 对角线互相平分D. 两组对角分别相等9. 矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成3cm和5cm的两部分，则此矩形的周长为（）A. 16cmB. 22cmC. 26cmD. 22cm或26cm10. 矩形的对角线所成的角之一是65°，则对角线与各边所成的角度是（）A. 57.5°B. 32.5°C. 57.5°，23.5°D. 57.5°，32.5°11. 过四边形的各个顶点分别作对角线的平行线，若这四条平行线围成一个矩形，则原四边形一定是（）A. 对角线相等的四边形B. 对角线垂直的四边形C. 对角线互相平分且相等的四边形D. 对角线互相垂直平分的四边形二、填空题（本题包括3个小题）12. 如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件__________（只添一个即可），使平行四边形ABCD是矩形．13. 平行四边形ABCD的对角线相交于点O，分别添加下列条件：①∠ABC=90°；②AC⊥BD；③AB=BC；④AC平分∠BAD；⑤AO=DO．使得四边形ABCD是矩形的条件有________14. 木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为15cm，宽为8cm，对角线为17cm，这个桌面_________（填”合格”或”不合格”）三、解答题（本题包括5个小题）15. 如图，平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、AD边上且AE=CG，AH=CF．（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；（2）如果AB=AD，且AH=AE，求证：四边形EFGH是矩形16. 如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD为BC边上的高，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AC，AE与DE交于点E，AB与DE交于点F，连结BE．求四边形AEBD的面积17. 如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点F，连接BE，∠F=45°．求证：四边形ABCD是矩形18. 有一块形状如图所示的玻璃，不小心把DEF部分打碎，现在只测得AB=60cm，BC=80cm，∠A=120°，∠B=60°，∠C=150°，你能设计一个方案，根据测得的数据求出AD的长吗？19. 如图，△ABC中，AB=AC，AD、AE分别是∠BAC与∠BAC的外角的平分线，BE⊥AE．求证：AB=DE答案1. 【答案】C【解析】由题意可知，当向右扭动框架时，BD可伸长，故BD的长度变大，四边形ABCD由矩形变为平行四边形，因为四条边的长度不变，所以四边形ABCD的周长不变.原来矩形ABCD 的面积等于BC乘以AB，变化后平行四边形ABCD的面积等于底乘以高，即BC乘以BC边上的高，BC边上的高小于AB，所以四边形ABCD的面积变小了，故A,B,D说法正确，C说法错误.故正确的选项是C.2. 【答案】D【解析】本题考查了矩形的性质；熟练掌握矩形的性质是解决问题的关键．矩形的性质：四个角都是直角，对角线互相平分且相等；由矩形的性质容易得出结论．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠BAD=90°，AC=BD，OA=AC，OB=BD，∴OA=OB，∴A、B、C正确，D错误3. 【答案】D【解析】∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，∴∠ABC=∠D=90°，CD=AB=5，BC=AD=12，OA=OB，OM为△ACD的中位线，∴OM=CD=2.5，AC==13，∵O是矩形ABCD 的对角线AC的中点，∴BO=AC=6.5,∴四边形ABOM的周长为AB+AM+BO+OM=5+6+6.5+2.5=20，故选D．4. 【答案】D【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC=AC，OD=OB=BD，AC=BD，∴OA=OB，∵AC+BD=20，∴AC=BD=10cm，∴OA=OB=5cm，∵OA=OB，∠AOB=60°，∴△OAB是等边三角形，∴AB=OA=5cm，故选D．5. 【答案】A【解析】在矩形ABCD中，∠ABC=90°，∵∠ACB=30°，AB=2，∴AC=2AB=2×2=4，∵四边形ABCD是矩形，∴BD=AC=4．故选A．6. 【答案】A【解析】黄色三角形与绿色三角形面积之和是矩形面积的50%，而绿色三角形面积占矩形面积的15%，所以黄色三角形面积占矩形面积的（50%-15%）=35%，已知黄色三角形面积是21平方厘米，故矩形的面积=21÷（50%-15%）=21÷35%=60（cm2）．故选A．7.【答案】A【解析】∵四边形ABCD是矩形，∠AOD=60°，∴△ADO是等边三角形，∴OA=，∠OAD=60°，∴∠OAE=30°，∵OE⊥AC，∴△OAE是一个含30°的直角三角形，∴OE=1，故选A．8.【答案】A【解析】∵矩形具有的性质是：对角线相等且互相平分，两组对边分别平行，两组对角分别相等；菱形具有的性质是：两组对边分别平行，对角线互相平分，两组对角分别相等；∴矩形具有而菱形不具有的性质是：对角线相等．故选A．9. 【答案】D【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=CD，AD∥BC，∴∠AEB=∠CBE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∴∠AEB=∠ABE，∴AB=AE，当AE=3cm时，AB=AE=3=CD，AD=3cm+5cm=8cm=BC，∴此时矩形ABCD的周长是AB+BC+CD+AD=3cm+8cm+3cm+8cm=22cm；当AE=5cm时，AB=AE=5cm=CD，AD=3cm+5cm=8cm=BC，∴此时矩形ABCD的周长是AB+BC+CD+AD=5cm+8cm+5cm+8cm=26cm；故选D．10. 【答案】D【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，AD∥BC，AB∥CD，AC=BD，AO=OC，OB=OD，∴OB=OA=OC=OD，∠OAB=∠OCD，∠DAO=∠OCB，∴∠OAD=∠ODA，∠OCB=∠OBC，∠ODC=∠OCD，∠OAB=∠OBA=×（180°﹣∠AOB）=×（180°﹣65°）=57.5°，∵∠ABC=90°，∴∠ACB=90°﹣57.5°=32.5°，即∠OAD=∠ODA=∠OBC=∠OCB=32.5°，∠OAB=∠OBA=∠ODC=∠OCD=57.5°，对角线与各边所成的角度是57.5°和32.5°，故选D．点睛：本题考查了矩形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质的应用，能正确运用矩形的性质进行推理是解此题的关键，注意：矩形的对角线相等且互相平分．11. 【答案】B【解析】∵四边形EFGH是矩形，∴∠E=90°，∵EF∥AC，EH∥BD，∴∠E+∠EAG=180°，∠E+∠EBO=180°，∴∠EAO=∠EBO=90°，∴四边形AEBO是矩形，∴∠AOB=90°，∴AC⊥BD，故选B．12. 【答案】AC=BD．答案不唯一【解析】添加的条件是AC=BD，理由是：∵AC=BD，四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD是矩形，故答案为：AC=BD．答案不唯一．13.【答案】①⑤【解析】要使得平行四边形ABCD为矩形添加：①∠ABC=90°；⑤AO=DO2个即可；故答案为：①⑤．14. 【答案】合格【解析】勾股定理的逆定理：若一个三角形的两边长的平方和等于第三边的平方，则这个三角形的直角三角形.∵∴这个桌面合格.15. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）易证得△AEH≌△CGF，从而证得BE=DG，DH=BF．故有，△BEF≌△DGH，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形而得证．（2）由题意知，平行四边形ABCD是菱形，连接AC，BD，则有AC⊥BD，由AB=AD，且AH=AE可证得HE∥BD，同理可得到HG∥AC，故HG⊥HE，又由（1）知四边形HGFE是平行四边形，故四边形HGFE是矩形．证明：（1）在平行四边形ABCD中，∠A=∠C，又∵AE=CG，AH=CF，∴△AEH≌△CGF．∴EH=GF．在平行四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，∴AB-AE=CD-CG，AD-AH=BC-CF，即BE=DG，DH=BF．又∵在平行四边形ABCD中，∠B=∠D，∴△BEF≌△DGH．∴GH=EF．∴四边形EFGH是平行四边形．（2）在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD．设∠A=α，则∠D=180°-α．∵AE=AH，∴∠AHE=∠AEH=．∵AD=AB=CD，AH=AE=CG，∴AD-AH=CD-CG，即DH=DG．∴∠DHG=∠DGH=．∴∠EHG=180°-∠DHG-∠AHE=90°．又∵四边形EFGH是平行四边形，∴四边形EFGH是矩形．16. 【答案】12.【解析】利用平行四边形的性质和矩形的判定定理推知平行四边形AEBD是矩形．在Rt△ADC 中，由勾股定理可以求得AD的长度，由等腰三角形的性质求得CD（或BD）的长度，则矩形的面积=长×宽=AD•BD=AD•CD．解：∵AE∥BC，BE∥AC，∴四边形AEDC是平行四边形，∴AE=CD．在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的高，∴∠ADB=90°，BD=CD，∴BD=AE，∴平行四边形AEBD是矩形．在Rt△ADC中，∠ADB=90°，AC=5，CD=BC=3，∴AD==4，∴四边形AEBD的面积为：BD•AD=CD•AD=3×4=12．17. 【答案】证明见解析.【解析】欲证明四边形ABCD是矩形，只需推知∠DAB是直角．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAF=∠F.∵∠F=45°，∴∠DAE=45°．∵AF是∠BAD的平分线，∴∠EAB=∠DAE=45°，∴∠DAB=90°．又∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形．18. 【答案】AD＝140cm．【解析】过C作CM∥AB，交AD于M，推出平行四边形ABCM，推出AM=BC=80cm，AB=CM=60cm，∠B=∠AMC，求出∠D=∠MCD，求出CM=DM=60cm，代入AD=AM+DM求出即可．解：过C作CM∥AB，交AD于M，∵∠A=120°，∠B=60°，∴∠A+∠B=180°，∴AM∥BC，∵AB∥CM，∴四边形ABCM是平行四边形，∴AB=CM=60cm，BC=AM=80cm，∠B=∠AMC=60°，∵AD∥BC，∠C=150°，∴∠D=180°﹣150°=30°，∴∠MCD=60°﹣30°=30°=∠D，∴CM=DM=60cm，∴AD=60cm+80cm=140cm．19. 【答案】证明见解析.【解析】先由角平分线和等腰三角形的性质证明AE∥BD，再由AD、AE分别是∠BAC与∠BAC 的外角的平分线可证得DA⊥AE，可得AD∥BE，可证得四边形ADBE为矩形，可得结论．证明：∵AD、AE分别是∠BAC与∠BAC的外角的平分线，∴∠BAD+∠EAB=（∠BAC+∠FAB）=90°，∵BE⊥AE，∴DA∥BE，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵∠FAB=∠ABC+∠ACB=2∠ABC，且∠FAB=2∠EAB，∴∠ABC=∠EAB，∴AE∥BD，∴四边形AEBD为平行四边形，且∠BEA=90°，∴四边形AEBD为矩形，∴AB=DE．1.3正方形的性质与判定一、选择题（本题包括11个小题.每小题只有1个选项符合题意）（2）如果a≥0，1. 下列五个命题：（1）若直角三角形的两条边长为5和12，则第三边长是13；那么=a;（3）若点P（a，b）在第三象限，则点P（﹣a，﹣b+1）在第一象限；（4）对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；（5）两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等．其中不正确命题的个数是（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个2. 下列命题，真命题是（）A. 两条对角线相等的四边形是平行四边形B. 两条对角线相等的四边形是矩形C. 两条对角线互相垂直平分的四边边是菱形D. 两条对角线平分且相等的四边形是正方形3. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D，E分别在AC，BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE，DF，EF．在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CDFE不可能为正方形；③DE长度的最小值为4；④四边形CDFE的面积保持不变；⑤△CDE面积的最大值为8．其中正确的结论是（）A. ①②③B. ①④⑤C. ①③④D.③④⑤4. 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A. 当AB=BC时，它是菱形B. 当AC⊥BD时，它是菱形C. 当∠ABC=90°时，它是矩形D. 当AC=BD时，它是正方形5. 已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（）A. ∠D=90°B. AB=CDC. AD=BCD. BC=CD6. 如图，将一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，打开．如果要剪出一个正方形，那么剪口线与折痕成（）A. 22.5°角B. 30°角C. 45°角D. 60°角7. 在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是（）A. AC=BD，AB∥CD，AB=CDB. AD∥BC，∠A=∠CC. AO=BO=CO=DO，AC⊥BDD. AO=CO，BO=DO，AB=BC8. 用两个全等的直角三角形拼下列图形：（1）平行四边形（不包含菱形、矩形、正方形）；（2）矩形；（3）菱形；（4）正方形；（5）等腰三角形，一定可以拼成的图形是（）A. （1）（2）（5）B. （2）（3）（5）C. （1）（4）（5）D. （1）（2）（3）9. 四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，设有下列条件：①AB=AD；②∠DAB=90°；③AO=CO，BO=DO；④矩形ABCD；⑤菱形ABCD，⑥正方形ABCD，则下列推理不成立的是（）A. ①④⑥B. ①③⑤C. ①②⑥D. ②③④10. 下列说法中错误的是（）A. 四个角相等的四边形是矩形B. 对角线互相垂直的矩形是正方形C. 对角线相等的菱形是正方形D. 四条边相等的四边形是正方形11. 矩形的四个内角平分线围成的四边形（）A. 一定是正方形B. 是矩形C. 菱形D. 只能是平行四边形二、填空题（本题包括2个小题）12. 如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，对角线AC与BD相交于点O，若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是．13. 把“直角三角形，等腰三角形，等腰直角三角形”填入下列相应的空格上．（1）正方形可以由两个能够完全重合的拼合而成；（2）菱形可以由两个能够完全重合的拼合而成；（3）矩形可以由两个能够完全重合的拼合而成．三、解答题（本题包括6个小题）14. 如图，点D是线段AB的中点，点C是线段AB的垂直平分线上的任意一点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F．（1）求证：CE=CF；（2）点C运动到什么位置时，四边形CEDF成为正方形？请说明理由．15. 已知：如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E、F，且BF=CE．（1）求证：△ABC是等腰三角形；（2）当∠A=90°时，试判断四边形AFDE是怎样的四边形，证明你的结论．16. 如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE 是等边三角形．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠AED=2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形．17. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．18. 如图：已知在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．（1）求证：△BED≌△CFD；（2）若∠A=90°，求证：四边形DFAE是正方形．19. 如图，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠ABC=∠BAD=90°，AD=BC，AC，BD相交于点G，过点A作AE∥DB交CB的延长线于点E，过点B作BF∥CA交DA的延长线于点F，AE，BF相交于点H．（1）图中有若干对三角形是全等的，请你任选一对进行证明；（不添加任何辅助线）（2）证明：四边形AHBG是菱形；（3）若使四边形AHBG是正方形，还需在Rt△ABC的边长之间再添加一个什么条件？请你写出这个条件．（不必证明）答案1. 【答案】B【解析】（1）由于直角三角形的两条边长为5和12，这两条边没有确定是否是直角边，所以第三边长不唯一，故命题错误；（2）符合二次根式的意义，命题正确；（3）∵点P（a，b）在第三象限，∴a＜0、b＜0，∴﹣a＞0，﹣b+1＞0，∴点P（﹣a，﹣b+1）.在第一象限，故命题正确；（4）正方形是对角线互相垂直平分且相等的四边形，故命题错误；（5）两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等是正确的．故选A．2. 【答案】C【解析】A、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A错误；B、两条对角线平分且相等的四边形是矩形，故B错误；C、两条对角线互相垂直平分的四边边是菱形，故C正确；D、两条对角线平分、垂直且相等的四边形是正方形，故D错误；故选C．3. 【答案】B【解析】解此题的关键在于判断△DEF是否为等腰直角三角形，作常规辅助线连接CF，由SAS定理可证△CFE和△ADF全等，从而可证∠DFE=90°，DF=EF．所以△DEF是等腰直角三角形．可证①正确，②错误，再由割补法可知④是正确的；判断③，⑤比较麻烦，因为△D EF 是等腰直角三角形DE=DF，当DF与BC垂直，即DF最小时，DE取最小值4，故③错误，△CDE最大的面积等于四边形CDEF的面积减去△DEF的最小面积，由③可知⑤是正确的．故只有①④⑤正确．连接CF；∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠FCB=∠A=45°，CF=AF=FB；∵AD=CE，∴△ADF≌△CEF（SAS）；∴EF=DF，∠CFE=∠AFD；∵∠AFD+∠CFD=90°，∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°，∴△EDF是等腰直角三角形（故①正确）．当D、E分别为AC、BC中点时，四边形CDFE是正方形（故②错误）．∵△ADF≌△CEF，∴S△CEF=S△ADF∴S四边形CEFD=S△AFC，（故④正确）．由于△DEF是等腰直角三角形，因此当DE最小时，DF也最小；即当DF⊥AC时，DE最小，此时DF=BC=4．∴DE=DF=4（故③错误）．当△CDE面积最大时，由④知，此时△DEF的面积最小．此时S△CDE=S四边形CEFD﹣S△DEF=S△AFC﹣S△DEF=16﹣8=8（故⑤正确）．故选：B．4. 【答案】D【解析】A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形ABCD是平行四边形，当AB=BC 时，它是菱形，故A选项正确；B、∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO=OD，∵AC⊥BD，∴AB2=BO2+AO2，AD2=DO2+AO2，∴AB=AD，∴四边形ABCD是菱形，故B选项正确；C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故C选项正确；D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当AC=BD时，它是矩形，不是正方形，故D选项错误；综上所述，符合题意是D选项；故选D．5.【答案】D【解析】由∠A＝∠B＝∠C＝90°可判定为矩形，根据正方形的定义，再添加条件“一组邻边相等”即可判定为正方形，故选D．6. 【答案】C【解析】一张长方形纸片对折两次后，剪下一个角，是菱形，而出现的四边形的两条对角线分别是两组对角的平分线，所以当剪口线与折痕成45°角，菱形就变成了正方形．故选C．7. 【答案】C【解析】根据正方形的判定：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形进行分析从而得到最后的答案．A，不能，只能判定为矩形；B，不能，只能判定为平行四边形；C，能；D，不能，只能判定为菱形．故选C．8. 【答案】A【解析】拿两个“90°、60°、30°的三角板一试可得：（1）平行四边形（不包含菱形、矩形、正方形）；（2）矩形；（5）等腰三角形．而菱形、正方形需特殊的直角三角形：等腰直角三角形．故选A．9. 【答案】C【解析】A．符合邻边相等的矩形是正方形；B．可先由对角线互相平分，判断为平行四边形，再由邻边相等，得出是菱形；D．可先由对角线互相平分，判断为平行四边形，再由一个角为直角得出是矩形；故选C．10. 【答案】D【解析】A正确，符合矩形的定义；B正确，符合正方形的判定；C正确，符合正方形的判定；D不正确，也可能是菱形；故选D．11. 【答案】A【解析】矩形的四个角平分线将举行的四个角分成8个45°的角，因此形成的四边形每个。
最新北师大版九年级数学上册《特殊的平行四边形》全章热门考点整合及答案
全章热门考点整合应用名师点金：本章内容是中考的必考内容，主要考查与特殊平行四边形中菱形、矩形、正方形有关的计算和证明等问题．近几年又出现了许多与特殊平行四边形有关的开放探索题、操作题以及与全等、相似、函数知识相结合的综合题．其主要考点可概括为：一个定理、三个图形、三个判定与性质、四个技巧、两种思想．一个定理——直角三角形斜边上的中线定理1．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高．求证：(1)四边形ADEF是平行四边形；(2)∠DHF＝∠DEF.(第1题)三个图形图形1菱形2．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，过点E作EF∥AB，交BC于点F.(1)求证：四边形DBFE是平行四边形．(2)当△ABC满足什么条件时，四边形DBFE是菱形？并说明理由．(第2题)图形2矩形3．如图，在▱ABCD中，点O是AC与BD的交点，过点O的直线与BA的延长线，DC的延长线分别交于点E，F.(1)求证：△AOE≌△COF.(2)连接EC，AF，则EF与AC满足什么数量关系时，四边形AECF是矩形？请说明理由．(第3题)图形3正方形4．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°后得△DBE，再把△ABC沿射线AB平移至△FEG，DE，FG相交于点H.(1)判断线段DE，FG的位置关系，并说明理由；(2)连接CG，求证：四边形CBEG是正方形．(第4题)三个判定与性质判定与性质1菱形5．如图，在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D，E是AB上一点，且AE＝AC，EF∥BC 交AD于点F.求证：四边形CDEF是菱形．(第5题)判定与性质2矩形6．【2015·湘西州】如图，在▱ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F.求证：(1)△ADE≌△CBF；(2)四边形DEBF为矩形．(第6题)判定与性质3正方形7．如图，E为正方形ABCD的边AB的延长线上一点，DE交AC于点F，交BC于点G，H 为GE的中点．求证：FB⊥BH.(第7题)四个技巧技巧1解与四边形有关的折叠问题的技巧(轴对称变换法】8．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，点E，F分别在AB，CD上，将矩形ABCD 沿EF折叠，使点A，D分别落在矩形ABCD外部的点A1，D1处，求阴影部分图形的周长．(第8题)技巧2解与四边形有关的旋转问题的技巧(特殊位置法】9．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O也是正方形A′B′C′O的一个顶点，如果两个正方形的边长都等于1，那么正方形A′B′C′O绕顶点O转动，两个正方形重叠部分的面积大小有什么规律？请说明理由．(第9题)技巧3解与四边形有关的动点问题的技巧(固定位置法】10．如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD＝16，对角线AC，BD相交于点G，点O是直线BD上的动点，OE⊥AB于E，OF⊥AD于F.(1)求对角线AC的长及菱形ABCD的面积．(2)如图①，当点O在对角线BD上运动时，OE＋OF的值是否发生变化？请说明理由．(3)如图②，当点O在对角线BD的延长线上时，OE＋OF的值是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请探究OE，OF之间的数量关系．技巧4解中点四边形的技巧11．如图，在△ABC中，AB＝AC，点O在△ABC的内部，∠BOC＝90°，OB＝OC，D，E，F，G分别是AB，OB，OC，AC的中点．(1)求证：四边形DEFG是矩形；(2)若DE＝2，EF＝3，求△ABC的面积．(第11题)思想1转化思想12．如图，在四边形ABCD中，∠C＝90°，∠ABD＝∠CBD，AB＝CB，P是BD上一点，PE ⊥BC ，PF ⊥CD ，垂足分别为点E ，F.求证：PA ＝EF.(第12题)思想2 数形结合思想 13．[阅读]在平面直角坐标系中，以任意两点P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)为端点的线段的中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22. [运用](1)如图，矩形ONEF 的对角线相交于点M ，ON ，OF 分别在x 轴和y 轴上，O 为坐标原点，点E 的坐标为(4，3)，则点M 的坐标为________．(2)在平面直角坐标系中，有A(－1，2)，B(3，1)，C(1，4)三点，另有一点D 与点A ，B ，C 构成平行四边形的顶点，求点D 的坐标．(第13题)答案1．证明：(1)∵点D ，E 分别是AB ，BC 的中点， ∴DE ∥AC.同理可得EF ∥AB. ∴四边形ADEF 是平行四边形． (2)由(1)知四边形ADEF 是平行四边形， ∴∠DAF ＝∠DEF.在Rt △AHB 中，∵D 是AB 的中点， ∴DH ＝12AB ＝AD.∴∠DAH ＝∠DHA. 同理可得HF ＝12AC ＝AF ，∴∠FAH ＝∠FHA.∴∠DAH ＋∠FAH ＝∠DHA ＋∠FHA. ∴∠DAF ＝∠DHF. ∴∠DHF ＝∠DEF.2．(1)证明：∵D ，E 分别是AB ，AC 的中点， ∴DE 是△ABC 的中位线． ∴DE ∥BC. 又∵EF ∥AB ，∴四边形DBFE 是平行四边形． (2)解：答案不唯一，下列解法供参考． 当AB ＝BC 时，四边形DBFE 是菱形． 理由：∵D 是AB 的中点， ∴BD ＝12AB.∵DE 是△ABC 的中位线， ∴DE ＝12BC.又∵AB ＝BC ，∴BD ＝DE. 又∵四边形DBFE 是平行四边形， ∴四边形DBFE 是菱形．3．(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OA ＝OC ，AB ∥CD. ∴∠AEO ＝∠CFO. 又∵∠AOE ＝∠COF ， ∴△AOE ≌△COF(AAS)．(2)解：当AC ＝EF 时，四边形AECF 是矩形．理由如下：由(1)知△AOE≌△COF，∴OE＝OF.又∵AO＝CO，∴四边形AECF是平行四边形．又∵AC＝EF，∴四边形AECF是矩形．4．(1)解：DE⊥FG.理由如下：由题意，得∠A＝∠BDE＝∠GFE，∠ABC＝∠DBE＝90°，∴∠BDE＋∠BED＝90°.∴∠GFE＋∠BED＝90°.∴∠FHE＝90°，即DE⊥FG.(2)证明：∵△ABC沿射线AB平移至△FEG，∴CB∥GE，CB＝GE.∴四边形CBEG是平行四边形．∵∠GEF＝∠ABC＝90°，∴四边形CBEG是矩形．∵BC＝BE，∴四边形CBEG是正方形．(第5题)5．证明：如图，连接CE，交AD于点O.∵AC＝AE，∴△ACE为等腰三角形．∵AO平分∠CAE，∴AO⊥CE，且OC＝OE.∵EF∥CD，∴∠2＝∠1.又∵∠DOC＝∠FOE，∴△DOC≌△FOE(ASA)．∴OD＝OF.即CE与DF互相垂直且平分．∴四边形CDEF是菱形．6．证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，AD＝CB.又∵DE⊥AB，BF⊥CD，∴∠DEA＝∠BFC＝90°.∴△ADE≌△CBF.(2)∵△ADE≌△CBF，∴AE＝CF.∵CD＝AB，∴DF＝BE.又∵CD∥AB，∴四边形DEBF为平行四边形．又∵∠DEB＝90°，∴四边形DEBF为矩形．7．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝CB，∠DCF＝∠BCF＝45°，DC∥AE，∠CBE＝90°，∴∠CDF＝∠E.又∵CF＝CF，∴△DCF≌△BCF.∴∠CDF＝∠CBF.∴∠CBF＝∠E.∵H为GE的中点，∴HB＝HG＝12GE.∴∠HGB＝∠HBG.∵∠CDG＋∠CGD＝90°，∠CGD＝∠HGB＝∠HBG，∴∠FBG＋∠HBG＝90°.即∠FBH＝90°，∴FB⊥BH.8．解：∵在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，∴CD＝AB＝10，AD＝BC＝5.又∵将矩形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在矩形ABCD外部的点A1，D1处，∴根据轴对称的性质可得A1E＝AE，A1D1＝AD，D1F＝DF.设线段D1F与线段AB交于点M，则阴影部分的周长为(A1E＋EM＋MD1＋A1D1)＋(MB＋MF＋FC＋CB)＝AE＋EM＋MD1＋AD＋MB＋MF＋FC＋CB＝(AE＋EM＋MB)＋(MD1＋MF＋FC)＋AD＋CB＝AB＋(FD1＋FC)＋10＝AB＋(FD＋FC)＋10＝10＋10＋10＝30.9．解：两个正方形重叠部分的面积保持不变，始终是1 4 .理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴OB＝OC，∠OBE＝∠OCF＝45°，∠BOC＝90°. ∵四边形A′B′C′O是正方形，∴∠EOF＝90°.∴∠EOF＝∠BOC.∴∠EOF－∠BOF＝∠BOC－∠BOF.即∠BOE ＝∠COF.∴△BOE ≌△COF.∴S △BOE ＝S △COF .∴两个正方形重叠部分的面积等于S △BOC .∵S 正方形ABCD ＝1×1＝1，∴S △BOC ＝14S 正方形ABCD ＝14. ∴两个正方形重叠部分的面积保持不变，始终是14. 10．解：(1)在菱形ABCD 中，AG ＝CG ，AC ⊥BD ，BG ＝12BD ＝12×16＝8， 由勾股定理得AG ＝AB 2－BG 2＝102－82＝6，所以AC ＝2AG ＝2×6＝12.所以菱形ABCD 的面积＝12AC ·BD ＝12×12×16＝96. (2)不发生变化．理由如下：如图①，连接AO ，则S △ABD ＝S △ABO ＋S △AOD ，所以12BD ·AG ＝12AB ·OE ＋12AD ·OF. 即12×16×6＝12×10·OE ＋12×10·OF. 解得OE ＋OF ＝9.6，是定值，不变．(3)发生变化．如图②，连接AO ，则S △ABD ＝S △ABO －S △AOD ，所以12BD ·AG ＝12AB ·OE －12AD ·OF. 即12×16×6＝12×10·OE －12×10·OF. 解得OE －OF ＝9.6，是定值，不变．所以OE ＋OF 的值发生变化，OE ，OF 之间的数量关系为OE －OF ＝9.6.(第10题)11．(1)证明：如图，连接AO 并延长交BC 于H ，∵AB ＝AC ，OB ＝OC ，∴AH 是BC 的中垂线，即AH ⊥BC 于H.∵D ，E ，F ，G 分别是AB ，OB ，OC ，AC 的中点，(第11题)∴DG ∥EF ∥BC ，DE ∥AH ∥GF.∴四边形DEFG 是平行四边形．∵EF ∥BC ，AH ⊥BC ，∴AH ⊥EF.又∵DE ∥AH ，∴EF ⊥DE ，∴四边形DEFG 是矩形．(2)解：∵D ，E ，F 分别是AB ，OB ，OC 的中点．∴AO ＝2DE ＝4，BC ＝2EF ＝6.∵△BOC 是等腰直角三角形，∴OH ＝12BC ＝3. ∴AH ＝OA ＋OH ＝4＋3＝7.∴S △ABC ＝12×6×7＝21.(第12题)12．证明：如图，连接PC.∵PE ⊥BC ，PF ⊥CD ，∠ECF ＝90°.∴∠PEC ＝∠PFC ＝∠ECF ＝90°.∴四边形PECF 是矩形．∴PC ＝EF.在△ABP 和△CBP 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CB ，∠ABP ＝∠CBP ，BP ＝BP ，∴△ABP ≌△CBP(SAS)．∴PA ＝PC.∴PA ＝EF.点拨：本题运用了转化思想将四边形中的边转化到三角形中，通过用等式的传递性证明两条线段相等．13．解：(1)(2，1.5)(2)设点D 的坐标为(x ，y)．若以点A ，B ，C ，D 为顶点构成的四边形是平行四边形，①当AB 为对角线时，∵A(－1，2)，B(3，1)，C(1，4)，∴－1＋32＝1＋x 2，2＋12＝4＋y 2. ∴x ＝1，y ＝－1.∴点D 的坐标为(1，－1)．②当BC 为对角线时，∵A(－1，2)，B(3，1)，C(1，4)，∴3＋12＝－1＋x 2，1＋42＝2＋y 2. ∴x ＝5，y ＝3.∴点D 的坐标为(5，3)．③当AC 为对角线时，∵A(－1，2)，B(3，1)，C(1，4)，∴－1＋12＝3＋x 2，2＋42＝1＋y 2. ∴x ＝－3，y ＝5.∴点D 的坐标为(－3，5)．综上所述，点D 的坐标为(1，－1)或(5，3)或(－3，5)．。
第3章概率的进一步认识九年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列(北师大版)[含答案]
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第3章概率的进一步认识（核心素养提升+中考能力提升+过关检测）知识点1.利用树状图或表格求概率（重点）（难点）1.树状图：当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图．树状图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法．要点归纳：（1）树形图法同样适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；（2）在用列表法或树形图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同．2.表格法：当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用表格法．表格法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法．要点归纳：（1）表格法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；（2）表格法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率．知识点2用频率估计概率（重点）当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率.要点归纳：用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次数很大时，结果将较为精确．考点1：两个方法方法1：求随机事件概率的方法【例题1】（24-25九年级上·全国·期中）1．小刚、小强计划利用暑期从A，B，C三处养老服务中心中，随机选择一处参加志愿服务活动，则两人恰好选到同一处的概率是（）A．12B．13C．16D．29【变式1】（24-25九年级上·陕西渭南·期中）2．在一个不透明的盒子中装有30颗黑、白两种颜色的棋子，除颜色外其他都相同，搅匀后从中随机摸出一颗棋子，记下颜色后放回盒子中，记为一次试验，通过大量试验后发现摸到黑色棋子的频率稳定在0.6，则盒子中黑色棋子可能有（）A．5颗B．10颗C．18颗D．26颗【变式2】（24-25九年级上·河南平顶山·阶段练习）3．一个不透明的袋子中装有2个红球和3个蓝球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球记下颜色后不放回，再从袋子里取出1个球，则两次取出的都是红球的概率是．【变式3】（23-24九年级上·广东惠州·期末）4．为弘扬中华传统文化，“诵读经典，传承文明”，我校近期举办了“国学经典诵读大赛”，诵读的篇目分成四种类型：A．蒙学今诵；B．爱国传承；C．励志劝勉；D．愚公移山，每种类型的篇目数相同，参赛者需从这四种类型中随机抽取一种诵读类型．小新和小远也参加了这次大赛，小新先抽取了一种诵读类型后不放回，小远再从剩余的诵读类型中任意抽取一种，请用画树状图或列表法求他们中有一人抽到“C．励志劝勉”的概率．方法2：用频率估计概率的方法【例题2】（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）5．如图，青田林业局考查一种树苗移植的成活率，将调查数据绘制成统计图，则可估计这种树苗移植成活的概率约是（）A．0.95B．0.90C．0.85D．0.80【变式1】（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）6．一个黑色不透明的袋子中装有若干个白球和红球，共计20个，这些球除颜色外都相同、将球搅匀，每次从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再搅匀、再摸球，通过大量重复摸球试验后，发现摸到白球的频率稳定于0.4，由此可估计袋子中白球的个数约为个．【变式2】（24-25九年级上·陕西榆林·期中）7．在一个不透明的盒子里装有若干个白球和35个黄球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从盒子里摸出一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.3左右，请估计盒子里白球的个数．【变式3】（23-24九年级上·辽宁盘锦·期末）8．“强国必须强语，强语助力强国，”为全面落实国家语言文字方针政策，弘扬中华民族优秀传统文化，某学校组织学生参加了“推广普通话，奋进新征程”为主题的朗诵比赛，该校随机抽取部分学生比赛成绩进行统计，将成绩分为四个等级：A(优秀)，B（良好），C（一般），D（不合格），并根据结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，根据图中所给信息解答下列问题：(1)这次调查活动共抽取人：(2)“C”等所在扇形的圆心角的度数为度；(3)请将条形统计图补充完整（要求在条形图上方表明人数）；(4)学校要从答题成绩为A 等且表达能力较强的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出两名学生做“推广普通话宣传员”，请用列表或画树状图法，求抽出的两名学生恰好是甲和乙的概率．考点2：两种思想思想1：数形结合思想【例题3】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）9．如图，用圆中两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏，若其中一个转盘转出红色，另一个转盘转出蓝色就可以配成紫色，则可以配成紫色的概率是（ ）A ．12B ．13C ．14D ．23【变式1】（23-24九年级上·浙江杭州·期中）10．如图，四个转盘分别被分成不同的等份，若让转盘自由转动一次，停止后指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是（ ）A ．B ．C ．D ．【变式2】（24-25九年级上·全国·课后作业）11．如图，甲为四等分数字转盘，乙为三等分数字转盘．同时自由转动两个转盘，当转盘停止转动后（若指针指在边界处重转），两个转盘指针指向数字之积不超过4的概率是．【变式3】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）12．某校九（1）班的余老师和九（3）班的王老师两人在玩转盘游戏时，把转盘A、B分成3等份、4等份，并在每一份内标有数字（如图）．游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，指针所在区域的数字之积为奇数时，余老师胜；指针所在区域的数字之积为偶数时，王老师胜．如果指针恰好在分割线上，则需重新转动转盘．(1)用树状图或列表的方法，求余老师获胜的概率；(2)这个游戏规则对余老师、王老师双方公平吗？请判断并说明理由．思想2：方程思想【例题4】（23-24九年级上·浙江湖州·阶段练习）13．在一个不透明的箱子里装有m个球，其中红球4个，这些球除颜色外都相同，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率在0.2，那么可以估算出m的值为（）A．8B．12C．15D．20【变式1】（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）14．已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有4个，黑球有x个，若随机从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，经过大量重复试验发现摸出黑球的频率稳定在0.6附近，则x的值为（）A．5B．6C．7D．8【变式2】（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）15．在一个暗箱里有m个除颜色外完全相同的球，其中红球只有4个，每次将球充分摇匀后，随机从中摸出一球，记下颜色后放回，通过大量的重复试验后发现，摸到红球的频率为0.4，由此可以推算出m约为．【变式3】（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）16．数学老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干生进行摸球实验，每次摸出一个球（有放回），下表是活动进行中的一组统计数据．摸球的次数n1001502005008001000摸到黑球的次数m233160*********摸到黑球的频率mn0.230.210.300.260.2530.25(1)根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是_______；（精确到0.01）(2)估算袋中白球的个数．一、单选题（2020·江苏徐州·中考真题）17．在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在0.25左右，则袋子中红球的个数最有可能是（）A．5B．10C．12D．15（2024·内蒙古通辽·中考真题）18．不透明的袋子中装有1个红球，2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个球，那么两次都摸出白球的概率是（）A．19B．13C．49D．23（2024·山东济南·中考真题）19．3月14日是国际数学节、某学校在今年国际数学节策划了“竞速华容道”“玩转幻方”和“巧解鲁班锁”三个挑战活动，如果小红和小丽每人随机选择参加其中一个活动，则她们恰好选到同一个活动的概率是（）A．19B．16C．13D．23（2020·辽宁营口·中考真题）20．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：射击次数20801002004001000“射中九环以上”的次数186882168327823“射中九环以上”的频率（结果保留两位小数）0.900.850.820.840.820.82根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是（ ）A．0.90B．0.82C．0.85D．0.84二、填空题（2023·辽宁鞍山·中考真题）21．在一个不透明的口袋中装有红球和白球共12个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀后，从中随机摸出1个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸球200次，发现有50次摸到红球，则口袋中红球约有个．（2024·山东泰安·中考真题）22．某学校在4月23日世界读书日举行“书香校园，全员阅读”活动．小明和小颖去学校图书室借阅书籍，小明准备从《西游记》、《骆驼祥子》、《水浒传》中随机选择一本，小颍准备从《西游记》、《骆驼祥子》、《朝花夕拾》中随机选择一本，小明和小颖恰好选中书名相同的书的概率是．（2024·内蒙古·中考真题）23．如图，有4张分别印有卡通西游图案的卡片：唐僧、孙悟空、猪八戒、沙悟净．现将这4张卡片（除图案不同外，其余均相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中随机取出1张卡片，然后放回并搅匀，再从中随机取出1张卡片，则两次取到相同图案的卡片的概率为．三、解答题（2024·陕西·中考真题）24．一个不透明的袋子中共装有五个小球，其中3个红球，1个白球，1个黄球，这些小球除颜色外都相同．将袋中小球摇匀，从中随机摸出一个小球记下颜色后放回，记作随机摸球一次．(1)随机摸球10次，其中摸出黄球3次，则这10次摸球中，摸出黄球的频率是________．(2)随机摸球2次，用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的小球都是红球的概率．（2024·西藏·中考真题）25．为了纪念西藏民主改革65周年，弘扬爱国主义精神，学校举办了“感悟历史奇迹，担当时代使命”的历史知识竞赛活动．从七、八年级中各随机抽取了10名学生的竞赛成绩（单位：分）如下：七年级：80968292898473908997八年级：94829594858992799893请根据以上信息，解答下列问题：(1)七年级这10名学生成绩的中位数是________；八年级这10名学生成绩的众数是________；(2)若成绩90分以上（含90分）定为优秀等次，请估计八年级400名学生中有多少名学生能达到优秀等次；(3)根据本次竞赛成绩，七、八年级各推荐了两名学生，学校准备再从这四名学生中随机抽取两人参加市级竞赛，请用列表或画树状图的方法求抽到一名七年级学生和一名八年级学生的概率．（2020·江苏泰州·中考真题）26．一只不透明袋子中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下：摸球的次数200300400100016002000摸到白球的频数7293130334532667摸到白球的频率0.36000.31000.32500.33400.33250.3335(1)该学习小组发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是______（精确到0.01），由此估出红球有______个．(2)在这次摸球实验中，从袋子中随机摸出1个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出1个球，请用树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求恰好摸到1个白球，1个红球的概率．一、单选题（24-25九年级上·山西太原·阶段练习）27．在一个不透明的口袋中有红色、黄色和绿色球共80个，它们除颜色外，其余完全相同．在不倒出球的情况下，要估计袋中各种颜色球的个数．同学们通过大量的摸球试验后，发现摸到红球、黄球和绿球的频率分别稳定在20%，40%和40%．由此，推测口袋中黄色球的个数有（）A．16个B．18个C．21个D．32个（24-25九年级上·陕西榆林·期中）28．某校举行安全系列教育活动主题手抄报的评比活动，学校共设置了“交通安全”“消防安全”“饮食安全”“校园安全”四个主题内容，每位参加活动的同学应从这四个主题中随机选取一个，李明和张佳都参加了本次评比活动，他们两人选取的主题不同的概率是（）A．14B．18C．34D．38（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）29．在一个不透明的袋子里有红球、黄球共10个；这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程．小明通过多次试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.4左右，则袋子中红球的个数可能是（）A．4B．6C．9D．10（24-25九年级上·全国·期中）30．小花同学从初中三个年级上下册共六本数学书中随机抽两本，刚好抽到同一年级数学书的概率是（ ）A．15B．16C．13D．14（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）31．某轨道列车共有3节车厢，设乘客从任意一节车厢上车的机会均等．某天甲、乙两位乘客同时乘同一列轨道列车，则甲和乙不是从同一节车厢上车的概率是（）A．23B．13C．12D．34（24-25九年级上·浙江温州·期中）32．如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成四个扇形，转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域的概率为（）A ．14B ．12C ．34D ．1（24-25九年级上·全国·期中）33．小王、小李和小张3名都报名参加所在社区的志愿工作，但社区根据实际情况只需要他们中的2人．有人建议他们采用随机抽签的方式确定参加人，则小王和小李同时参加的概率为（ ）A ．19B ．16C ．29D ．13（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）34．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：射击次数1002004008001000“射中九环以上”的次数87172336679850“射中九环以上”的频率0.870.860.840.850.85根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是（ ）A ．0.84B ．0.85C ．0.86D ．0.87（24-25九年级上·陕西·阶段练习）35．在同样的条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数分布表：试验种子数/n 粒550100200500100020003000发芽频数m 4459218847695119002850发芽频率mn0.800.900.920.940.9520.9510.950.95根据试验结果，若需要保证的发芽数为2500粒，则以下四个数与需试验的种子数最接近的粒数为（）A．2500B．2700C．2800D．3000（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）36．某小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果0.25的实验最有可能的是（）A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”B．挪一枚一元硬币，落地后正面朝上C．暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球D．挪一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4二、填空题（24-25九年级上·上海嘉定·阶段练习）37．布袋中有2个红球和1个白球，它们除颜色外其他都一样，如果从布袋中一次摸出两个球，那么一次摸出的两个球都是红球的概率为．（23-24九年级上·内蒙古包头·阶段练习）38．在一个不透明的袋子中装有若干个白球和5个红球，这些球除颜色外都相同．每次从袋子中随机换出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.25近，则袋子中白球约有个（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）39．在不透明袋子里装有8个白球和黑球，这些球除颜色外完全相同，每次从袋子里摸出1个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.2513．估计袋中黑球有．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）40．某学习小组做“用频率估计概率”的试验时，计算了某一结果出现的频率，并绘制了表格，则该结果发生的概率约为（精确到0.01）．试验次数100500100020004000频率0.370.320.340.3390.333（24-25九年级上·北京·期中）41．在一次宣传杭州亚运会的有奖竞猜活动中，获奖者从放有只有颜色不同的3个小球（1个黑球，1个白球，1个黄球）的不透明布袋中摸球．若摸到一个黑球奖励一个亚运会吉祥物“宸宸”，摸到一个白球奖励一个“琮琮”，摸到一个黄球奖励一个“莲莲”．一个获奖者先从布袋中任意摸出一球，不放回，再摸出一球，则得到一个“莲莲”和一个“琮琮”的概率 ．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）42．某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如图所示的折线统计图，由此可估计这种树苗移植1200棵，成活的大约有棵．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）43．如图，在Rt ABC V 中，90ACB Ð=°，8AC =，6BC =，将ABC V 绕点B 按逆时针方向旋转30°后得到11A BC V ，现随机地向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影部分概率为．（24-25九年级上·重庆·开学考试）44．在一个不透明的盒子中装有三张卡片，分别标有数字1、2、3，这些卡片除数字不同外其余均相同，小明从盒子里随机抽取一张卡片记下数字后放回，洗匀后在随机抽一张卡片，则两次抽取的卡片之积是偶数的概率是．三、解答题（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）45．一个不透明的布袋里只有2个红球和2个白球（仅颜色不同）．(1)若从中任意摸出一个球，是红球的概率为多少？(2)若从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，再摸出一个球，两个都是红球的概率为多少？（请用列表或画树状图的方法来表示）（24-25九年级上·陕西渭南·期中）46．2024年巴黎奥运会新增了四个项目：霹雳舞，滑板，冲浪，运动攀岩，依次记为A，B，C，D，体育老师把这四个项目分别写在四张背面完全相同的卡片上，将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．(1)体育老师想从这四张卡片中随机抽取一张，去了解该项目在奥运会中的得分标准，恰好抽到是B（滑板）的概率是_____；(2)体育老师想从中选出两个项目，然后做成手抄报给同学们普及一下，他先从这四张卡片中随机抽取一张不放回，再从剩下的三张卡片（洗匀后）中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求体育老师抽到的两张卡片恰好是C（冲浪）和D（运动攀岩）的概率．（24-25九年级上·四川达州·阶段练习）47．在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共40个，小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是“摸到白色球”的频率折线统计图．(1)请估计：当n很大时，摸到白球的概率将会接近（精确到0.01），假如你摸一次，你摸到白球的概率为；(2)试估算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个？(3)在（2）条件下，如果要使摸到白球的概率为35，需要往盒子里再放入多少个白球？（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）48．有一个圆形转盘，分黑色、白色两个区域．(1)某人转动转盘，对指针落在黑色区域或白色区域进行了大量试验，得到数据如下表：实验次数n（次）10100200050001000050000100000白色区域次数m（次）334680160034051650033000落在白色区域频率mn0.30.340.340.320.340.330.33请你利用上述实验，估计转动该转盘指针落在白色区域的概率为___________．(2)若该圆形转盘白色扇形的圆心角为120°，黑色扇形的圆心角为240°，转动转盘两次，请用画树状图或列表的方法求指针一次落在白色区域，另一次落在黑色区域的概率．（24-25九年级上·山西运城·阶段练习）49．“2024年9月22日，太原举行马拉松比赛”，赛事共有四项：A“马拉松”、B“半程马拉松”、C“迷你马拉松”、D“家庭亲子跑”．小凡、小明和小颖参加了该项赛事的志愿者服务工作，组委会随机将志愿者分配到四个项目组．(1)为估算本次赛事参加“迷你马拉松”的人数，小凡对部分参赛选手作如下调查：调查总人数501002005001000参加“迷你马拉松”人数214579200401参加“迷你马拉松”频率0.3600.450______0.4000.401①请填出表中所缺的数据．②请估算本次赛事参加“迷你马拉松”人数的概率______．（精确到0.1）③若本次参赛选手大约有40000人，请你估计参加“迷你马拉松”的人数是多少？(2)利用画树状图或列表的方法，求小明和小颖至少有一人被分配到“迷你马拉松”项目组的概率．（24-25九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）50．用频率估计概率需要大量重复试验，当重复试验的次数大量增加时，频率就稳定在相应的概率附近，下图是某项试验示意图．(1)下列事件比较符合该试验的有________（填序号）；①掷一次骰子点数大于2；②从2个男生，2个女生中随机挑选2名学生去参加比赛，选中1男1女；③从一副扑克牌中抽一张牌，颜色是红桃；④6个形状相同的球中有2个红球，摸一次摸到红球．(2)这幅图中的频率是不是关于试验次数的函数？请说明理由．（24-25九年级上·浙江温州·期中）51．2024年夏季奥运会在法国巴黎举行，某4档电视台A、B、C、D在同一时间进行了现场直播，直播节目表如下表所示．小夏和小王都是体育迷，他们在各自家里同一时间观看了直播节目．电视台A B C D直播节目乒乓球篮球射击网球(1)小夏收看了乒乓球直播的概率为________；(2)请用列表或画树状图的方法求小夏和小王收看同一个直播节目的概率．（23-24九年级上·四川成都·期中）52．某学校准备开设篮球、足球、排球、游泳等4项体育特色课程，为了解学生的参与情况，该校随机抽取了部分学生的报名情况（每人选报一个项目），小颖根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图中信息，解答下列问题：(1)本次抽样调查的总人数为______人．(2)扇形统计图中“排球”对应的圆心角的度数为_______．若该学校共有学生1200名，请估计参加“游泳”的有________人．(3)通过初选有4名优秀同学（两男两女）顺利进入了游泳选拔赛，学校将推荐2名同学参加新一轮比赛．请用画树状图或列表法求出参加新一轮比赛的2名同学恰为一男一女的概率．1．B【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式计算事件A 或事件B 的概率．画出树状图展示所有9种等可能的结果数，找出两人恰好到一处的结果数，然后根据概率公式求解即可．【详解】解：画树状图如图：共有9种等可能的结果数，其中两人恰好到一处的结果数为3，\小刚、小强两人恰好选到一处的概率3193==，故选：B ．2．C【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设出未知数列出方程求解．【详解】解：设盒子中黑色棋子可能有x 颗，0.630x=18x =经检验，18x =符合题意．∴盒子中黑色棋子可能有18颗．故选：C ．3．110##0.1【分析】本题主要考查了画树状图求概率，正确画出树状图成为解题的关键．先根据题意画出树状图确定所有等可能出现的结果数，其中两次取出的都是红球的情况数，然后用概率公式求解即可．。
北师版数学九年级上册九年级上 一元二次方程 测试题含答案牛老师
九年级上一元二次方程测试题物以类聚，人以群分。
《易经》如海学校 陈泽学一、选择题（每小题3分，共30分）1.已知3是关于x 的方程012342=+-ax x 的一个解，则a 2的值是（ ） A.11 B.12 C.13 D.142.用配方法解一元二次方程0242=+-x x 时，可配方得（ ）A. ()622=-xB. ()622=+xC. ()222=-xD. ()222=+x 3.一元二次方程0122=--x x 的根的情况为（ ）A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根4.某校办工厂生产的某种产品，今年产量为200件，计划通过改革技术，使今后两年的产量都比前一年增长一个相同的百分数，使得三年的总产量达到1400件.若设这个百分数为x ，则可列方程为（ ）A.()140012002002=++xB. ()()1400120012002002=++++x x C. ()140012002=+x D. ()()1400120012002=+++x x 5.关于x 的方程()01452=---x x a 有实数根，则a 满足（ ）A. a ≥1B. a ＞1且a ≠5C. a ≥1且a ≠5D. a ≠56．若关于x 的一元二次方程为ax2+bx+5=0（a ≠0）的解是x=，则2015﹣a ﹣b 的值是（ ）A ．2020B ．2008C ．2014D ．20127．关于x 的方程（2﹣a ）x2+5x ﹣3=0有实数根，则整数a 的最大值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．用配方法解一元二次方程x2﹣4x=5时，此方程可变形为（ ）A ．（x+2）2=1B ．（x ﹣2）2=1C ．（x+2）2=9D ．（x ﹣2）2=99.若方程||(2)310m m x mx +++=是关于x 的一元二次方程，（ ） A ．2m =± B ．m =2 C ．m= -2 D ．2m ≠±10. 如果关于x 的方程ax 2+x –1= 0有实数根，则a 的取值范围是（ ）A ．a ＞–14 B ．a ≥–错误!未找到引用源。
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北师大版九年级上册数学练习册答案九年级数学学科阶段性质量调研
卷面分值:满分120分,考试时间:100分钟
一、填空题(本大题共有12小题，每小题2分，满分24分)
1(化简:4, ? .
2(一元二次方程的解是 ? . x(x,1),0
A23(已知关于x的方程的一个根为2,则m= ?__ . xmx，,,60
4(使有意义的的取值范围是 ? ( x41x,
BC5(计算:,_____? ____. 205,D(第7题) 6(数据70、71、72、73、69的标准差是_____? _____.
7(如右图，?ABC内接于圆，D为弧BC的中点，?BAC=50?,则?DBC是 ? 度.
8(某小区2011年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2012年屋顶绿化面积要达到2880平
方米(如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是__?___( 9(如图，任意四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是AD、BC、BD、AC的中点，当四边形ABCD满足条件 ? 时(填一个即可)，四边形EGFH是菱形( DE A
G H
B(第12题) CF (第10题) (第9题)
10(如图，AB是?O的直径，点C，D都在?O上，连结CA，CB，DC，DB(已
知?D=30?，
BC,3，则AB的长是 ? (
11(小红的衣服被一个铁钉划了一个呈直角三角形的一个洞，其中三角形两边
长分别为1c
和2cm，若要用同色圆形布将此洞全部覆盖，那么这个圆布的直径最小应等于 ? (
312(如图，直线与x轴、y分别相交于A、B两点，圆心P的坐标为(1，0)，yx,，33
圆P与y轴相切于点O。
若将圆P沿x轴向左移动，当圆P与该直线相交时，
横坐标为整数的点P′的个数是 ? (
二、选择题(本大题共有5小题，每小题3分，满分15分) 13(与是同类二次
根式的是 ( ? ) 2
A( B( C( D( 41286
14. 如图，半径为10的?O中，弦AB的长为16，则这条弦的弦心距为( ? )
A(6 B(8 C(10 D(12
15(如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好
与点O重合，
若=3，则折痕的长为( ? ) BCCE
33A. B. C. D.6 2332
O
ABA
(第15题) (第14题) (第16题)
16(如图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A是底面圆周上一点，从点A出发绕侧面一
周，再回到点A的最短的路线长是( ? )
33 A( B( C( D(3 33632
17OOOO4 cmO2 cmO (已知?与?相切，?的半径为，?的直径为，则的长是(?) 121212
A(5cm B(6cm C(6cm或2cm D(5cm或3cm 三、解答题(本大题共有9小题，满分81分)
18. (每题5分，满分10分) 解方程:
22? x + 4x ? 2 = 0; ? x,5x，1,0
19. (每题5分，满分10分) 计算:
20,151 020113(3,,),，(,1) ? ? (23)(32),，35
20.(本题满分6分)如图，AB是?O的直径，AC是?O的弦，过点C作?O切线与AB延长线
交于点D，若?CAB =30?，AB =30，求BD长.
(第20题)
21. (本题满分8分) 甲、乙两名同学进行射击训练，在相同条件下各射靶5次，成绩统计
如下:
命中环数 7 8 9 10
甲命中相应环数的22 0 1 次数
乙命中相应环数的1 3 1 0 次数
若从甲、乙两人射击成绩方差的角度评价两人的射击水平，则谁的射击成绩更
稳定些,
请用你所学知识说明.
22.(本题满分10分):如图，已知AB是?O的直径，弦CD?AB，垂足为
E，?AOC=60?，
OC=2(
? 求OE和CD的长;
? 求图中阴影部分的面积(
( 第22题 )
23.(本题满分10分):已知?O直径AB=4，?ABC = 30?，BC = .D是线段BC中
点， 43
? 试判断点D与?O的位置关系,并说明理由;
? 过点D作DE?AC，垂足为E，求证:直线DE是?O切线.
( 第23题 )
224. (本题满分8分):已知: 一元二次方程方程的两个根为、, axbxc，，,0,,
bc则方程的根与系数的关系为:;请阅读下列解题过程: ,,，,,,,,,aa
2,, 题目:已知方程的两个根为、,求的值. xx，，,310,,，,,
2 解: ??=3,,,-4×1×1=5,0, ? ?
由一元二次方程的根与系数的关系,得, . ? ,,，,,3,,,1
,,,,，,3,, ?= ? ，,,,,3，1,,,,,,
阅读后回答问题:
上面的解题过程是否正确?若不正确,指出错在哪一步,并写出正确的解题过程.
25. (本题满分9分):如图,要把破残的圆片复制完整, 已知弧上的三点A、B、C，
? 用尺规作图法，找出弧ABC所在圆的圆心O(保留作图痕迹，不写作法); ? 设?ABC是等腰三角形，底边BC = 10cm，腰AB = 6 cm， A求圆片的半径R(结果
保留根号);
CB? 若在?题中的R的值满足n〈R〈m，且m、n为正整数，
试估算m和n的值.
26((本题满分10分):如图，在平面直角坐标系中，以点A(-1，0)为圆心，AO
为半径的圆交x轴负半轴于另一点B，点F在?A上，过点F的切线交y轴正半轴于点E，交x轴正半轴于点C，且CF=. 22y ? 求点C的坐标; D
F? 求证:AE?BF; E
?延长BF交y轴于点D，求点D的坐标 x BACO及直线BD的解析式.。