蒲丰投针实验原理

蒲丰投针试验讲解课件

该试验不仅在理论上具有重要意义，对于理解随机性和几何规律的本质有重要贡献，而且在实际应用中也有广泛的应
用价值。
蒲丰投针试验可以应用于统计学、物理学、计算机科学等多个领域，为相关领
域的研究提供了重要的启示和工具。
蒲丰投针试验的局限性
01
02
03
04
蒲丰投针试验虽然是一个经典的试验，但是它也存在一些局
针方向与平行线垂直。
重复投掷蒲丰投针N次，记录每次投掷的结果。
测量与计算阶段
测量投掷后蒲丰投针与平行线之间的距离，记录下来。
根据公式π=2*n/N ，计算π的近似值，其中n为相交次数， N为投掷次数。
根据记录的数据，计算蒲丰投针与平行线相交的次数。
CHAPTER 03
试验结果分析
蒲丰投针试验的预期结果
蒲丰投针试验是一种估算π值的方法，其预期结果是通过投掷一根针到一张白纸上，然后统计针与白纸边缘相交的次数，来估算π的值。
蒲丰投针试验的预期结果是根据概率论和几何学原理推导出来的，即当投掷次数足够多时，针与白纸边缘相交的频率接近于π/4。
实际结果与预期结果的比较
在实际进行蒲丰投针试验时，需要记录针与白纸边缘相交的次数，并计算出相应的π值。
限性。
首先，该试验的结果受到投针方式、试验环境等因素的影响，可能导致结果存在误差。
其次，蒲丰投针试验的应用范围相对有限，主要适用于一些特定的几何形状和随机性问题
。
最后，蒲丰投针试验的结论仅适用于理想化的模型，与实际
情况可能存在差异。
未来研究方向与展望
随着科学技术的发展和研究的深入，蒲丰投针试验在未来仍有广阔的研究前景。
蒲丰投针试验讲解课件

蒲丰投针问题

蒲丰投针问题1.蒲丰简介蒲丰有的时候翻译成布丰，是18世纪法国著名的博物学家。

他喜欢研究数学和生物学。

主要的贡献有：（1）翻译了牛顿的《流数法》，流数法按现在的说法就叫微积分。

（2）写了一本巨著，这部巨著的名字叫《自然史》，因为他特别喜欢研究生物。

这个自然史一共有44卷，其中他生前写了36卷，后来他学生又完成了。

这本书对后来的世界有很大的影响，尤其影响到一个人叫达尔文，所以蒲丰这个人其实是很厉害的。

2.蒲丰投针1777年，在蒲丰晚年的时候，他有一次举行了一个家庭宴会。

邀请了一大堆他的朋友来帮他做实验。

做什么实验呢，就“投针”。

那朋友来了之后发现，就是桌子上有很多根间距相等的平行线。

然后蒲丰就说了，给你们同样大的针，你把这些针随机扔到这个桌子上。

然后宾客就随便扔吗，有可能这样，有可能这样……，随便扔是吧，这都有可能，什么情况都有可能。

有的针就没有跟平行线相交，比如这个，这个，这个，就没有相交，也有相交的，比如这个，这个，这个，这是相交的，对吧，然后他就数，他说这个针一共投了多少个呢？一共投了n =2212个。

其中与这个平行线相交的针有多少个，数了一下有m =704个。

然后他说，我现在可以计算圆周率了，别人都不信，他说你看我圆周率怎么算，我只要把这两个数相除就行了。

我用n 除以m ，这个数除完了大概是3.142，这个就是圆周率了。

别人说好神奇，这怎么回事儿，蒲丰说我给你解释解释这个原理是什么？其实这个原理并不复杂，我们来看一下它的原理是什么。

3. 蒲丰投针原理(1)首先，它这个平行线是严格平行的，那平行线之间的距离是固定的，是a 。

然后我随意地把一根针投上去，也许相交，也许不相交，这不一定。

比如说这个针投上去了，投上去了之后，针的总长是b ，针有一个中点叫M ，对吧，这个M 到它比较近的平行线之间的距离我们设为x ，大家注意，这个是针的中点到比较近的平行线的距离是x ，所以我们应该知道x 的范围。

x 的最小值就是这个终点正好落在平行线上，那最小值是0，对吧。

简述蒲丰投针的原理

简述蒲丰投针的原理蒲丰投针，又称为“蒲扇投针”，是一种古老的传统技艺，源于中国民间，被列为国家级非物质文化遗产。

它以独特的技巧和准确度令人惊叹，是一项需要长时间的训练和精确动作的艺术表演。

蒲丰投针是通过将一枚针射出，然后立即由另一只折扇迅速击落这枚针。

表演者通常会用嘴巧妙地抓住一枚针，然后用手迅速将其放入弹弓设备中。

然后他们会用嘴接住折起来的扇子，并将其放在弹弓的侧面。

最后，当他们用力按下弹弓时，针会被迅速射出，被折叠的扇子迅速击中，使针钉在靶上。

这个过程，虽然看似简单，但实际上非常考验投针者精湛的技巧和敏捷的反应能力。

他们必须在非常短的时间内完成将针射出和击中的动作，并且必须非常准确。

这需要长时间的练习和耐心，才能达到高超的水平。

蒲丰投针的原理基于物理学中的一些基本原理。

首先，投针者在将针放入弹弓时，需要精确掌握弹弓的力度和方向。

这样才能使针以合适的速度射出并朝向目标。

其次，投针者在接住折扇时，需要准确而迅速地将其放在弹弓的侧面。

这样才能确保喷出的空气流能够迅速击中针，并使其飞向目标。

最后，针需要在短短的瞬间内被击中，因此需要投针者具备快速反应和敏锐的观察能力。

除了物理原理外，蒲丰投针还依赖于投针者的技巧和经验。

投针者需要通过长时间的训练和反复练习，熟练掌握每一个动作的细节，从而能够准确地完成整个过程。

投针者还需要在训练过程中不断提高反应能力和准确度，以便在表演中达到更好的效果。

蒲丰投针不仅是一种技术，更是一门艺术。

在表演中，投针者需要将技术与表演技巧相结合，以吸引观众的眼球。

他们通常会进行一系列的吸引人的动作和花样，以展示自己的技艺和敏捷度。

这使得蒲丰投针成为一种具有观赏价值和娱乐性的表演艺术形式。

总之，蒲丰投针是一项以准确度和技巧为基础的艺术表演。

它通过将针射出并用折扇击中目标，展示了投针者的精湛技巧和敏捷度。

在演练中，投针者需要准确掌握弹弓的力度和方向，并在非常短的时间内完成各个动作。

这需要长期的训练和经验，以及反应能力和观察力的提高。

Buffon投针实验报告

Buffon投针实验一、实验目的：在计算机上用试验方法求圆周率的近似值。

二、实验原理：假设平面上有无数条距离为1的等距平行线，现向该平面随机投掷长度为L(L≤1)的针，则针与平行线相交的概率 P=。

设针的中心M与最近一条平行线的距离为x，则x~U(0,1);针与平行线的夹角为(不管相交与否)，则~U(0,)如图：()在矩阵上均匀分布，且针与平行线相交的充要条件为x≤=；P=P{ x=}。

记录≤成立的次数，记为由-大数定理：≈,则=2。

在计算机上产生则=~U(0,),i=1,2,…,n;再产生，则, i=1,2,…,n三、实验方法及代码：在计算机上进行模拟实验，求出的实验值。

给定L，在计算机上利用MFC独立随机产生x和，然后判断≤是否成立.代码如下：#include "stdafx.h"#include "buffon.h"#include "ChildView.h"#include "ChoiceDlg.h"#include <ctime>#include <cmath>#ifdef _DEBUG#define new DEBUG_NEW#undef THIS_FILEstatic char THIS_FILE[] = __FILE__;#endif// CChildViewCChildView::CChildView(){Trynum=1000;}CChildView::~CChildView(){}BEGIN_MESSAGE_MAP(CChildView,CWnd )//{{AFX_MSG_MAP(CChildView)ON_WM_PAINT()ON_COMMAND(ID_TOOL_NUM, OnToolNum)ON_COMMAND(ID_TOOL_RETRY, OnToolRetry)//}}AFX_MSG_MAPEND_MESSAGE_MAP()// CChildView message handlersBOOL CChildView::PreCreateWindow(CREATESTRUCT& cs){if (!CWnd::PreCreateWindow(cs))return FALSE;cs.dwExStyle |= WS_EX_CLIENTEDGE;cs.style &= ~WS_BORDER;cs.lpszClass = AfxRegisterWndClass(CS_HREDRAW|CS_VREDRAW|CS_DBLCLKS,::LoadCursor(NULL, IDC_ARROW), HBRUSH(COLOR_WINDOW+1), NULL);return TRUE;}void CChildView::OnPaint(){CPaintDC dc(this),*pDC;pDC=&dc;CFont font, *pOldFont;font.CreatePointFont(200,"宋体");pOldFont=pDC->SelectObject(&font);pDC->SetTextColor(RGB(255,0,0));pDC->TextOut(100,5,"蒲丰投针试验");pDC->SelectObject(pOldFont);CPen myPen1,myPen2, *pOldPen1,*pOldPen2;CRect rect1(30,30,920,620);pDC->Rectangle(rect1);myPen1.CreatePen(PS_SOLID, 1, RGB(0,0,255));pOldPen1=pDC->SelectObject(&myPen1);for(int i=100;i<600;i+=50){pDC->MoveTo(50,i);pDC->LineTo(900, i);}pDC->SelectObject(pOldPen1);myPen2.CreatePen(PS_SOLID, 1, RGB(0,255,0));pOldPen2=pDC->SelectObject(&myPen2);srand(time(0));int a,b,q,a1,b1,su,flag;np=0;for(int j=0;j<Trynum;j++){a=rand()%850+50;b=rand()%450+100;q=rand()%180;a1=25*cos(q);b1=25*sin(q);su=pow(-1,rand()%2);pDC->MoveTo((a-su*a1),(b-su*b1));pDC->LineTo((a+su*a1),(b+su*b1));if( (b%50) >= 25 )flag =50-b%50;elseflag = b%50;if( 25*sin(q) >= flag )np++;}pDC->SelectObject(pOldPen2);CString str;int c=Trynum/(np*1.0);int d=(int)((Trynum/(np*1.0)*100000))%100000;str.Format("投针次数:%d;\n相交次数:%d;\nπ的估算值:%d.%d",Trynum,np,c,d);MessageBox(str,"实验数据信息");}void CChildView::OnToolNum(){CChoiceDlg mydlg;if(mydlg.DoModal()==IDOK){this->Trynum = mydlg.m_Trynum ;this->RedrawWindow();}}void CChildView::OnToolRetry(){// TODO: Add your command handler code herethis->RedrawWindow();}四、实验数据处理与分析：根据实验数据，得到近似值为3.2313，可得相对误差为δ=（3.2313-π）/π≈0.02856；运行截图：五、实验小结：本次实验，通过MFC进行模拟投针，模拟效果较好，随着投针次数模拟的增多，实验结果逼近于π的真实值，但是实验程序有待优化，在较多投针次数的模拟中，实验程序运行速度较慢，可以改进相关算法来做适当调节。

蒲丰投针原理

/4.因为对于每一个z，这个概率都为（π-2）/4，因此对于任意的正数x，y，z，有P=（π-2）/4，命题得证。

为了估算π的值，我们需要通过实验来估计它的概率，这一过程可交由计算机编程来实现，事实上x+y>z，x²+y&sup2；﹤z&sup2；等价于（x+y-z）（x²+y²-z&sup2；）﹤0，因此只需检验这一个式子是否成立即可。

若进行了m 次随机试验，有n次满足该式，当m足够大时，n/m趋近于（π-2）/4，令n/m=（π-2）/4，解得π=4n/m+2，即可估计出π值。

值得注意的是这里采用的方法：设计一个适当的试验，它的概率与我们感兴趣的一个量（如π）有关，然后利用试验结果来估计这个量，随着计算机等现代技术的发展，这一方法已经发展为具有广泛应用性的蒙特卡罗方法。

计算π最稀奇方法之一计算π的最为稀奇的方法之一，要数18世纪法国的博物学家C·布丰和他的投针实验：在一个平面上，用尺画一组相距为d的平行线；一根长度小于d的针，扔到画了线的平面上；如果针与线相交，则该次扔出被认为是有利的，否则则是不利的．布丰惊奇地发现：有利的扔出与不利的扔出两者次数的比，是一个包含π的表示式．如果针的长度等于d，那么有利扔出的概率为2/π．扔的次数越多，由此能求出越为精确的π的值．公元1901年，意大利数学家拉兹瑞尼作了3408次投针，给出π的值为3．1415929——准确到小数后6位．不过，不管拉兹瑞尼是否实际上投过针，他的实验还是受到了美国犹他州奥格登的国立韦伯大学的L·巴杰的质疑．通过几何、微积分、概率等广泛的范围和渠道发现π，这是着实令人惊讶的！证明下面就是一个简单而巧妙的证明。

找一根铁丝弯成一个圆圈，使其直径恰恰等于平行线间的距离d。

可以想象得到，对于这样的圆圈来说，不管怎么扔下，都将和平行线有两个交点。

实验说明一：蒲丰投针

实验说明1：蒲丰投针一、实验目的1、运用基本采样技术计算积分；2、体会用随机模拟方法解决实际问题。

二、问题描述在历史上人们对π的计算非常感兴趣性，发明了许多求π的近似值的方法。

1777年法国科学家蒲丰（Buffon ）提出并解决了如下的投针问题来近似求解π。

蒲丰投针问题如图1所示。

桌面上画有间隔为a (a >0) 的一些平行线，向平面任意投一枚长为l (l <a )的针，可以通过求针与任一平行线相交的概率，进而求得π的近似值。

用X 表示针的中点与最近一条平行线的距离，Y 表示针与此直线间的夹角。

如果sin 2X l Y <，或sin 2l X Y <时，针与一条直线相交。

图1：蒲丰投针示意图由于向桌面投针是随机的，所以可以用二维随机向量(X ,Y )来确定针在桌面上位置。

并且X 在0,2a ⎛⎞⎜⎜⎜⎝上服从均匀分布， Y 在0,2π⎛⎞⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎝⎠上服从均匀分布, X 与Y 相互独立。

由此可以写出的联合概率密度函数为： ()40,0,220a x y f x y a ππ⎧⎪⎪<<<<⎪=⎨⎪⎪⎪⎩其他。

用随机事件A 针与平行线相交，则事件A 发生的概率为{}()sin 2200sin 242sin ,2l y l x y l l A X Y f x y dxdy dxdy a aπππ<⎧⎫⎪⎪=<===⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭∫∫∫∫P P 。

如果{}A P 已知，则有该概率得到{}2l a A π=P 。

当蒲丰的实验中，通过投针N 次，其中针与平行线相交n 次，用频率n N 作为{}A P 的估计值，于是得到2Nl anπ≈。

三、实验内容1、上述概率{}A P 为积分计算，可用Monte Carlo 积分近似。

通过从分布(),f x y 中产生随机数，近似积分{}A P ，从而计算π；2、当样本数N （N =50、100、1000、10000、50000）时，每个N 重复10次实验。

布丰投针数学分析与实验设计(原创)

l 由(1)和(2)我们可以得出一些结论： n 根长度为的小 n 针仍出去后压线的概率之和与一根长为 l 的针扔出去后压线 l 的概率相等；将 n 根长为的小针连接成任意形状后扔出去 n 压线的概率与长为 l 的针扔出去压线的概率相等；当 n ，线就是曲线，所以结论可以进一步推广：随机投
k
称作这个连分式的第 k 个渐进分数。同时，
k
它也是所有分母不超过
q 的分数中最接近实数 x 的分数，
k
k
是实数 x 的第 k 个最佳渐进分数。
k
求渐进连分式，当然可以用上面分式求出，下面给出第
p k 个渐进连分式的递推求法： q p a q 1 p a a 1 q a a p p ( k 2) p q a q q ( k 2 )
如上图所示，AB 针的长度为 2l ，CD 针长度为 l 。在 AB 针或 AB 针的延长线与直线的夹角为，AB 针的中点 M 的取
角相等，所以 M ' , M ' ' 是 m' , m' ' 的两倍，于是 CD 与直线相交的概率是 AB 与直线相交的概率的一半。对于其余任意夹角都有这个结论。所以：长度为 l 的针与直线相交的概率是长度为 2l 的针与直线相交概率的一半。
产生误差原因 1：m/n 的精度问题，这个是数学造成的误差。解决办法：选取合适的 m 值，使 m/n 的有效数字达到要求的精度。产生误差原因 2：如果针的端点与直线非常接近，例如相距万分之一毫米，用肉眼无法判断针是否与直线相交，造成误差。解决办法：该次事件无效，不予统计，继续进行下一次实验。产生误差原因 3：l/d 的精度问题，这是测量问题。产生误差的原因 1 和 2，我们都可以解决，使之达

投针试验详解

一、问题的提出在人类数学文化史中，对圆周率兀精确值的追求吸引了许多学者的研究兴趣。

在众多的圆周率计算方法中，最为奇妙的是法国物理学家布丰(Boffon)在1777年提出的“投针实验”。

与传统的“割圆术”等儿何计算方法不同的是，“投针实验”是利用概率统讣的方法讣算圆周率的值，进而为圆周率计算开辟了新的研究途径，也使其成为概率论中很有影响力的一个实验。

本节我们将借助于MATLAB仿真软件，对“投针实验”进行系统仿真，以此来研究类比的系统建模方法和离散事件系统仿真。

二、系统建模“投针实验”的具体做法是：在一个水平面上画上一些平行线，使它们相邻两条直线之间的距离都为然后把一枚长为；(0＜；＜a)的均匀钢针随意抛到这一平面上。

投针的结果将会有两种，一种是针与这组平行线中的一条直线相交，一种是不相交。

设力为投针总次数，&为相交次数，如果投针次数足够多，就会发现公式竺讣算出来的值就是圆周率兀。

当然汁算精度与投针次数有关，一般情ak况下投针次数要到成千上万次，才能有较好的计算精度。

有兴趣的读者可以耐心地做一下这个实验。

为了能够快速的得到实验结果，我们可以通过编写计算机程序来模拟这个实验，即进行系统仿真。

所谓的系统仿真是指以计算机为工具，对具有不确定性因素的、可模型化的系统的一种研究方法。

建立能够反映实验情况的数学模型是系统仿真的基础。

系统建模中需解决两个问题，一个是如何模拟钢针的投掷结果，另一个是如何判断钢针与平行线的位置关系。

这里，设0为钢针中点，y为0点与最近平行线之间的距离，&为钢针与平行线之间的夹角(0 S&V180 )。

首先，山于人的投掷动作是随机的，钢针落下后的具体位置也是随机的，因此可用按照均匀分布的两个随机变量y和&来模拟钢针投掷结果。

其次，人工实验时可以用眼睛直接判断出钢针是否与平行线相交，而计算机仿真实验则需要用数学的方法来判别。

如下图所示，如果八2和&满足关系式y<-/sin^,那么钢针就与平行线相交，否则反之，进而可以判断钢针与平行线2的位置关系。

蒲丰实验的数学原理

蒲丰实验的数学原理
蒲丰实验是由法国物理学家让-巴蒲丰于1826年提出的一种实验，通过利用两个相同的容器，分别装有相同高度的液体，在两个容器的底部开孔，并安装封闭的管道连接两个容器，来验证液体压强与液柱高度成正比的数学原理。

2. 液体的压强：液体的压强是由液体的质量和重力引起的。

在液体中，每一个液柱都受到上方液柱的压力及液柱本身的重力作用。

液体的压强可以用公式P = ρgh来表示，其中P是压强，ρ是液体的密度，g是重力加速度，h是液柱的高度。

这个公式说明了液体的压强与液柱高度成正比。

3.液体的压力传递性：根据流体静力学的原理，液体的压力在一个封闭的、不可压缩的管道中是相等的。

也就是说，液体的压力会随着液体的流动而平均传递。

基于以上原理，蒲丰实验可以通过以下步骤来进行：
1.准备两个相同的容器，容器内装满相同的液体，并使液体的高度相等。

液体可以是自来水、酒精等。

2.在容器的底部开孔，并安装封闭的管道将两个容器连接起来，形成一个闭合的系统。

3.打开两个容器底部的开关，观察液体在管道中的流动。

你会发现，无论管道形状如何复杂，液体的高度始终保持一致，这表明液体的压力在管道中平均传递。

这个实验验证了液体的压强与液柱的高度成正比的数学原理。

通过对两个容器中液体的比较，可以观察到液体在管道中的平均压强相等。

根据压强的定义，压强是单位面积上所受到的压力，所以液面高度越高，液体的压强就越大。

投针试验

投针试验投针问题1777年法国科学家布丰提出的一种计算圆周率的方法——随机投针法，即著名的布丰投针问题。

投针步骤这一方法的步骤是：1）取一张白纸，在上面画上许多条间距为a的平行线。

2）取一根长度为l（l<a）的针，随机地向画有平行直线的纸上掷n次，观察针与直线相交的次数，记为m3）计算针与直线相交的概率．18世纪，法国数学家布丰和勒可莱尔提出的“投针问题”，记载于布丰1777年出版的著作中：“在平面上画有一组间距为a的平行线，将一根长度为l（l<a）的针任意掷在这个平面上，求此针与平行线中任一条相交的概率。

”布丰本人证明了，这个概率是p=2l/（πd) π为圆周率利用这个公式可以用概率的方法得到圆周率的近似值。

下面是一些资料试验者时间投掷次数相交次数圆周率估计值Wolf1850年5000 2532 3.1596Smith 1855年3204 1218.5 3.1554C.De Morgan 1680年600 382.5 3.137Fox1884年1030 489 3.1595Lazzerini 1901年3408 1808 3.1415929Reina 1925年2520 859 3.1795设这三个正数为x，y，z，不妨设x≤y≤z，对于每一个确定的z，则必须满足x+y>z，x²+y&sup2；﹤z&sup2；，容易证明这两个式子即为以这3个正数为边长可以围成一个钝角三角形的充要条件，用线性规划可知满足题设的可行域为直线x+y=z与圆x²+y²=z&sup2；围成的弓形，总的可行域为一个边长为z的正方形，则可以围成一个钝角三角形的概率P=S弓形/S正方形=（πz²/4-z²/2）/z²=（π-2）/4.因为对于每一个z，这个概率都为（π-2）/4，因此对于任意的正数x，y，z，有P=（π-2）/4，命题得证。

数学史上的经典实验：布丰投针实验

布丰投针实验公元1777年的一天，法国科学家D•布丰(D.Buffon1707～1788)的家里宾客满堂，原来他们是应主人的邀请前来观看一次奇特试验的。

试验开始，但见年已古稀的布丰先生兴致勃勃地拿出一张纸来，纸上预先画好了一条条等距离的平行线。

接着他又抓出一大把原先准备好的小针，这些小针的长度都是平行线间距离的一半。

然后布丰先生宣布：“请诸位把这些小针一根一根往纸上扔吧!不过，请大家务必把扔下的针是否与纸上的平行线相交告诉我。

”客人们不知布丰先生要玩什么把戏，只好客随主意，一个个加入了试验的行列。

一把小针扔完了，把它捡起来又扔，而布丰先生本人则不停地在一旁数着、记着，如此这般地忙碌了将近一个钟头。

最后，布丰先生高声宣布：“先生们，我这里记录了诸位刚才的投针结果，共投针2212次，其中与平行线相交的704次。

总数2212与相交数704的比值为3.142。

”说到这里，布丰先生故意停了停，并对大家报以神秘的一笑，接着有意提高声调说：“先生们，这就是圆周率π的近似值!”众客哗然，一时疑议纷纷，大家全部感到莫名期妙：“圆周率π?这可是与圆半点也不沾边的呀!”布丰先生似乎猜透了大家的心思，得意洋洋地解释道：“诸位，这里用的是概率的原理，如果大家有耐心的话，再增加投针的次数，还能得到π的更精确的近似值。

不过，要想弄清其间的道理，只好请大家去看敝人的新作了。

”随着布丰先生扬了扬自己手上的一本《或然算术试验》的书。

π在这种纷纭杂乱的场合出现，实在是出乎人们的意料，然而它却是千真万确的事实。

由于投针试验的问题，是布丰先生最先提出的，所以数学史上就称它为布丰问题，布丰得出的一般结果是：如果纸上两平行线间相距为d，小针长为l，投针的次数为n，所以投的针当中与平行线相交的次数的m，那么当n相当大时有：π≈(2ln)/(dm)在上面故事中，针长l恰等于平行线间距离d的一半，所以代入上面公式简化得：π≈n/m值得一提的是，后来有不少人步布丰先生的后尘，用同样的方法来计算π值。

蒲丰投针试验---------概率论与数理统计

蒲丰投针试验
蒲丰资料
1777年,法国科学家蒲丰(Buffon)提ห้องสมุดไป่ตู้了投针试验问题.平面上画有等距离为a(a>0)的一些平行直线,现向此平面任意投掷一根长为b( b<a )的针,试求针与某一平行直线相交的概率. 解以 x表示针投到平面上时,
针的中点M到最近的一条平行
a
M x
直线的距离, 表示针与该平行直线的夹角.
1.0
0.75 0.83 0.5419
600
1030 3408 2520
382
489 1808 859
3.137
3.1595 3.1415929 3.1795
利用蒙特卡罗(Monte Carlo)法进行计算机模拟. 单击图形播放/暂停 ESC键退出取a 1, b 0.85.
利用上式可计算圆周率π 的近似值.
历史上一些学者的计算结果(直线距离a=1)
试验者 Wolf Smith 时间 1850 1855 针长 0.8 0.6 投掷次数相交次数 π的近似值 5000 3204 2532 1218 3.1596 3.1554
De Morgan 1860
Fox Lazzerini Reina 1884 1901 1925
那么针落在平面上的位置可由( x , )完全确定.
投针试验的所有可能结果与矩形区域
a S {( x , ) 0 x ,0 π} 2 中的所有点一一对应 . 由投掷的任意性可知这是一个几何概型问题.
a
M x
所关心的事件
o
A { 针与某一平行直线相交} 发生的充分必要条件为S 中的点满足 b 0 x sin , 0 π . 2

概率论与数理统计南京大学 1 第一章概率论的基本概念 (1.2.1) 蒲丰投针实验

m( A) m()

A对应区域D的度量对应区域S的度量
即等可能性
例（蒲丰投针问题）平面上有等距离的平行线，平行线间
的距离为a。向此平面任意投掷一枚长为l (l≤a) 的针，求针
与任一平行线相交的概率。
解：设M为针的中点，M点到最近平行线的距离为x，针与平行线的夹角为θ。针的位置可由(x, θ)决定，
De Morgan(1860 1.0 600 年） Fox(1884年） 0.75 1030
相交次数近似值 m
2532
3.1596
1219
3.1541
383
3.1332
489
3.1596
2

2l
m() a / 2 a
蒲丰投针实验的应用
利用随机模拟方法计算
P(A) 2l 2l
a
aP( A)
利用P(A)m/n。其中n为投掷次数，m为相交次数。就可以近似计算。
实验者
l/a 投掷次数n
Wolf(1850年） 0.8 5000
Smith(1855年） 0.6 3204
概率论与数理统计
蒲丰投针试验
几何概型
定义：若随机试验的样本空间对应一个度
量有限的几何区域S，每一基本事件与S内的点一一对应，则任一随机事件A对应S中的某一子区域D。若事件A的概率只与A对应的区域D的度量成正比，而与D的形状及D在S中的位置无关。则称为几何概型。
事件A发生的概率为：
样本空间：
{(x, ) | 0 x a / 2, 0 }
设A：针与任一条平行线相交。其充要条件为:
x l sin
2
l/2

蒲丰(Buffon)投针随机试验的讨论 (修改稿)

（2006－3－7, 2009-9-18再修改）例（蒲丰（Buffon ）投针随机试验的讨论）在平面上画有相互距离均为2a 的平行线束，向平面上随机投一枚长为2l 的针，为了避免针与两平行线同时相交的复杂情况，假定0>>l a , 设M 为针的中点，y 为M 与最近平行线的距离，φ为针与平行线的交角（如图1）a y ≤≤0， πϕ≤≤0. 于是，很明显，针与平行线相交的充要条件是ϕsin l y ≤（如图2），故相交的概率为ald l a dy d a p l πϕϕπϕπϕππ2 sin 1 1sin 000===⎰⎰⎰ (1) 我们用n 表示投针次数， n S 表示针与平行线相交次数，由大数定理知，当n 充分大时，频率接近于概率，即aln S n π2≈ 于是有naS nl2≈π （2）这就是上面所说的用随机试验求π值的基本公式。

根据公式（2），19—20世纪，曾有不少学者做了随机投针试验，并得到了π的估计值 . 其中最详细的有如下两个：其中π的估计值就是利用π的近似公式（8）得到的，即1596.363320002532455000362≈=⨯⨯⨯≈π （Wolf ）1415929.31133551808334085.22≈=⨯⨯⨯≈π （Lazzarini ）一般情况下，随机抽样试验的精度是不高的，Wolf 的试验结果是π≈3.1596，只准确两位有效数字 .精度是由方差n p p n S D n )1(-=⎪⎭⎫⎝⎛决定的，为了确定概率p ，不妨取l =a 这一极限情况，这时π2≈p =0.6366，n n S D n 2313.0≈⎪⎭⎫⎝⎛，由积分极限定理， dx n p p p n S P x n n ⎰-∞→=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤--λλπλ221-e21)1(lim即频率n S n /近似地服从正态分布律()n p p p N /)1(,- . 如果要求以大于95%的概率（96.1=λ），保证以频率n S n /作为p 的近似值精确到三位有效数字，001.0≤-=p nS nε 即≈⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤-001,0p n S P n 95.021/)1(001.0)1(001.0212≥⎰----np p np p x dx eπ则必须有96.1/)1(001.0=≥-λnp p根据上式，要求试验次数7.88001.0/231.096.122≈⨯≥n 万次 .至于Lazzarini 的试验，为什么实验次数少反而精确度却很高呢？这是由于这一试验结果恰好和祖冲之密率355/113相合，而祖冲之密率为无理数π的连分式，属于π的最佳有理逼近 . 很明显，作为一种具有随机性质的试验，其结果恰好与最佳有理逼近的结果一致是非常偶然的；顾及到上述讨论，故Lazzarini 的试验结果是不大可能的 .注：以上的讨论是第6章“假设检验”方法的一个有实际意义的例子。

蒲丰投针实验原理1.地球是一个球体：在蒲丰时代，人们普遍相信地球是一个球体，而蒲丰的实验就是为了验证这一点。

2.光线传播是直线传播：蒲丰认为光线传播是呈直线传播的，这是基于他对光学的观察和实验中得到的结论。

基于以上前提，蒲丰提出了以下实验步骤来验证地球的球形：1.准备一个平坦的地面：选择一个平坦的地面，比如一块大理石板或者是一个平整的木板。

2.准备一把针：选择一根细长的针，尽量确保它是笔直的。

3.垂直投放针：将针垂直地向地面投放，确保它垂直于地面，并且尽量避免针倾斜或弯曲。

4.观察针在地面上的分布：观察针在地面上的分布情况，看是否存在一定的规律。

理论上，如果地球是一个平坦的平面，那么无论针的位置如何投放，针都应该均匀地分布在地面上。

然而，如果地球是一个球体，那么针的位置投放将会影响其在地面上的分布。

由于地球表面的曲率，针的投放位置不同将导致一些规律的变化。

根据蒲丰的实验，当针被随机分布在地面上时，如果地球是一个球体，那么在一些特定范围内的细长物体的位置分布将会有所偏差。

这是因为在投针的过程中，总有一些针会与地面相交，而一些则不会。

蒲丰实验的原理是基于概率统计的方法。

通过计算和观察一系列接触和不接触地面的针，可以推导出地球的曲率和球形。

如果这些数据和理论上的期望一致，那么可以得出结论地球是球状的。

总结起来，蒲丰投针实验的原理是基于光线的直线传播以及地球的球形假设。

通过观察针在地面上的分布情况，可以验证地球是否是球状的。

这个实验的重要性在于它提供了一种简单直观的方法来验证古代关于地球形状的理论，并且可以通过实验数据来验证理论的正确性。

大学数学实验蒲丰投针

蒲丰掷针法一．实验目的通过蒲丰掷针法来计算pi 的近似值，其本质是蒙特卡罗法随机模拟，通过求概率来求得pi 的近似值。

二．实验内容与要求（根据问题重新叙述）在白纸上画许多等距为d 的平行线，将一根长为的d/2的直针随机投掷向白纸，在进行n 次实验之后其中有m 次与平行线相交，当n 很大时，pi 的近似值可认为是n/m 。

三．实验原理（问题假设，分析，模型建立）由于针投到纸上的时候，有各种不同的方向和位置，但是，每一次投针时，其位置和方向都可以由两个量唯一确定，即针的中点距平行线的距离（最近的平行线）d 和偏离水平的角度α。

因此只要随机生成n 对这样的 d 和 α，就可以模拟n 次的投针实验。

设平行线之间的距离为d ，以y 表示针的中点到最近的一条平行线的距离，α表示针与平行线间的夹角，其中0≤y ≤2d ,0≤α≤Pi 。

而直针与一平行线相交的充要条件：0≤y ≤4d sin α ，0≤α≤Pi 。

四．实验过程（模型求解，模型结果）当n 的值为1000时，重复5次后，计算结果分别为：PI= 3.1546 PI= 3.2895 PI= 3.3223 PI= 3.2573 PI= 3.0303当n 的值为10000时，重复5次后，计算结果分别为：PI= 3.1546 PI= 3.1676 PI= 3.1066 PI= 3.2092 PI= 3.2010 当n 的值为50000时，重复5次后，计算结果分别为：PI= 3.1584 PI= 3.1283 PI= 3.1131 PI= 3.1273 PI= 3.1644五．实验总结（结果分析）当n 的值越来越大时，可以发现通过随机模拟得到的PI 的值越来越接近真实的pi 的值（pi 的值的前8位为pi=3.1415926）虽然不是很接近pi 的值，但得到的PI 的值离真实的pi 的值越来越近。

且得到的PI 的值也越来越稳定。

六．附录（源程序）。

蒲丰投针问题与无理数π的模拟

4、点击数据/数据分析/随机数发生器，在选择变量个数1，随机数10000，均匀分布，介于0到3.1415，输出区域$B$4，确定；
5、在C4输入=3*SIN(C4)/2。下托到C1003；在D4输入=IF(D4<=1,"1","0")下托到D1003，在E4输入=COUNTIF(E4:E10003,"1")在下托到E1003，在F4输入=2*10000*3/(F4*4)。
教师评语与成绩：
实验结果总结：计算机上模拟蒲丰投针试验，可以求出π的近似的值.我的到的值为3.225133和3.123367.他与.31415926存在了差别.可能是由于计算机取的1000个随机数的差别.虽然它们存在差别,但是它们已经很接近啦,这比人工或其它方法计远的快和准确于人的计算.
本实验旨在让实验者在计算机上模拟蒲丰投针试验,掌握无理数的近似计算方法，理解随机模拟法的基本原理,从中体会到新思想、新方法产生的过程。
实验内容：
蒲丰投针问题：平面上画有间隔为的等距平行线，向平面任意投一枚长为的针，求针与任一平行线相交的概率,进而求的近似值。若做了次投针试验，有次针与线相交,那么由教材例1.2.9结论知所求概率为，而，故有。
2、单击数据/数据分析/随机数发生器，选择变量个数2，随机数1000，均匀分布，介于-1到1，输出区域$A$2，确定；
3、在C2输入=A2^2+B2^2；
4、在D2输入=IF(C6<=1,"1","0")，在E2输入=COUNTIF(D2:D10002,"1")；
5、在F2输入=4*E2/10000。
实验二、蒲丰投针问题与无理数π的模拟

蒲丰投针问题_概率论论文

Buffon投针问题摘要本文讨论了Buffon投针问题的解法及其不同解法之间的内在联系，同时从投针到投平面图形对Buffon投针问题给出了一些推广，并得到一般的结论，指出了其概率在探矿、近似计算中的应用。

关键词蒲丰投针概率随机试验近似计算一、引言蒲丰投针问题是由法国科学家蒲丰（Buffon）在1777年提出的，它是概率中非常有代表性的问题，它是第一个用几何形式表达概率问题的例子，其结论具有很强的理论与实际意义。

蒲丰针问题的解决不仅较典型的反应了集合概率的特征及处理方法，而且还可以由此领略到从“概率土壤”上开出的一朵瑰丽的鲜花——蒙特卡洛（Monte-Carlo）方法。

二、Buffon投针问题及其解法Buffon投针问题：平面上画有等距离的平行线，每两条平行线之间的距离为2a，向平面任意投掷一枚长为2l(l<a)的针，试求针与平行线相交的概率。

解：以x表示针的中点M到最近一条平行线的距离，以φ表示该针与平行线的夹角。

针与平行线的关系见图1.则有：0≤x≤a，0≤φ≤π，由它们所围成的矩形区域记为G1。

针与平行线相交的充要条件是：0≤x≤lsinφ，记满足这个关系的区域为g1(图2中的阴影部分)。

则所求概率为P1=g1的面积G1的面积=∫lsinφdφπaπ=2laπ三、Buffon投针问题不同解法及其内在联系上述解法是常见解法之一(记为解法一)，这里讨论一下蒲丰针问题的其他解法及其之间的联系。

1.其他解法解法二：以x表示针的重点M到最近一条平行线的距离，y表示该针在此平行线上投影和长度，如图3所示。

易知x和y的取值范围是0≤x≤a，0≤y≤2l，这两个不等式确定了xOy平面上的矩形区域G2，针与平行线相交的充要条件是(y2)2+x2≤l2，该不等式确定了矩形区域G2(如图4所示)中的区域g2，从而所求概率为P2=g2的面积G2的面积=14·l·2l·π2l·a=lπ4a解法三：作垂直于平行线的直线，在该直线上选定一方向为正向，用z1，z2分别表示针头与针尾关于某平行线的纵坐标(如图5所示)，该平行线的选取应使|z1+z2|≤2a。