04高中数学《指数函数对数函数》知识点
指数函数和对数函数知识点总结
指数函数和对数函数知识点总结适用于高一应届学习及高三一轮复习指数函数和对数函数知识点总结及练习题一.指数函数（一）指数及指数幂的运算a am ar as ar s (ar)s ars (ab)r arbr（二）指数函数及其性质1.指数函数的概念：一般地，形如y a（a 0且a 1）叫做指数函数。
xmn二.对数函数（一）对数1.对数的概念：一般地，如果a N（a 0且a 1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x logaN，其中a叫做底数，N叫做真数，logaN叫做对数式。
2.指数式与对数式的互化幂值真数xax log指数对数适用于高一应届学习及高三一轮复习3.两个重要对数（1）常用对数：以10为底的对数lgN（2）自然对数：以无理数e 2.***** 为底的对数lnN（二）对数的运算性质（a 0且a 1，M 0,N 0）①logaM logaN logaMN ②logaM logaN loga③logaM nlogaM ④换底公式：logab 关于换底公式的重要结论：①logamb（三）对数函数1.对数函数的概念：形如y logax（a 0且a 1）叫做对数函数，其中x 是自变量。
M Nnlogcb（c 0且c 1）logcannlogab ②logab logba 1 m适用于高一应届学习及高三一轮复习基本初等函数练习题1.已知集合M { 1,1}，N {x|12x 1 4,x Z}，则M∩N＝（）2A.{－1,1}B.{0}C.{－1}D.{－1,0} 2.设11b1a() () 1，则（）333abaaabbaabaaA.a a bB.a b aC.a a bD.a b a 3.设y1 40.9，y2 80.48，y3 () 1.5，则（）12A.y3 y1 y2B.y2 y1 y3C.y1 y3 y2D.y3 y1 y2 4.若()122a 11()3 2a，则实数a的取值范围是（）211A.(1，＋∞)B.(，＋∞)C.(－∞，1)D.(－∞，)221－5.方程3x1＝的解为（）9A.x＝2B.x＝－2C.x＝1D.x＝－1116.已知实数a，b满足等式(a＝()b，则下列五个关系式：①0ba；②ab0；③0ab；23④ba0；⑤a＝b。
指数对数函数基本知识点
指数对数函数基本知识点指数函数和对数函数是高中数学紧密相关的数学概念，对于理解和运用多种数学问题都是至关重要的。
下面将从定义、性质、图像和应用等几个方面进行详细介绍。
一、指数函数指数函数的定义是f(x)=a^x，其中a是一个正实数且a≠1，x是实数。
指数函数的特点包括：1.a^0=1，a^1=a。
2.指数函数的定义域是整个实数集。
3.当a>1时，指数函数是严格递增的；当0<a<1时，指数函数是严格递减的。
4.指数函数的图像可以分成两种情况：当a>1时，图像在x轴的右侧逐渐向上增长；当0<a<1时，图像在x轴的右侧逐渐向下降低；当a=1时，图像是一条水平直线。
二、对数函数对数函数的定义是f(x)=log_a(x)，其中a是一个正实数且a≠1，x是正实数。
对数函数的特点包括：1. log_a(1)=0，log_a(a)=12.对数函数的定义域是正实数集。
3.当a>1时，对数函数是严格递增的；当0<a<1时，对数函数是严格递减的。
4.对数函数的图像可以分成两种情况：当a>1时，图像在y轴的右侧逐渐向上增长；当0<a<1时，图像在y轴的右侧逐渐向下降低；当a=1时，图像是一条水平直线。
三、指数函数和对数函数的性质1. 反函数性质：指数函数和对数函数互为反函数，即a^log_a(x)=x，log_a(a^x)=x。
2. 对数与指数的互化性质：log_a(x)=y等价于 a^y=x。
3.对于任意的正实数a，b和任意实数x，有如下几个基本性质：-a^x*a^y=a^(x+y)- (a^x)^y = a^(xy)- (ab)^x = a^x * b^x-a^(-x)=1/(a^x)-(a/b)^x=a^x/b^x- log_a(xy) = log_a(x) + log_a(y)- log_a(x^y) = y * log_a(x)- log_a(1/x) = -log_a(x)- log_a(x/y) = log_a(x) - log_a(y)四、指数和对数函数的图像指数函数和对数函数的图像可以通过制作表格来得到，然后连接各个点形成曲线图。
高中数学必修一指数函数对数函数知识点
高中数学必修一指数函数对数函数知识点高中数学必修一中，指数函数和对数函数是重要的知识点。
指数函数是一种以指数为自变量的函数，形式为y = a^x，其中a为底数，x为指数。
而对数函数是指数函数的逆运算，形式为y = loga(x)，其中a为底数，x为真数。
以下是关于指数函数和对数函数的具体知识点。
一、指数函数的图像和性质1.指数函数的基本形式：-y=a^x，其中a>0且a≠12.指数函数的基本性质：-当0<a<1时，指数函数呈现递减的图像；-当a>1时，指数函数呈现递增的图像；-当a=1时，指数函数为常数函数y=1二、对数函数的图像和性质1.对数函数的基本形式：- y = loga(x)，其中a > 0且a≠12.对数函数的基本性质：- 对数函数与指数函数互为反函数，即loga(a^x) = x，a^loga(x) = x；-对数函数的图像关于直线y=x对称；-对数函数的定义域为正实数集，值域为实数集。
三、指数函数和对数函数的运算性质1.指数函数的运算性质：-a^x*a^y=a^(x+y)；- (a^x)^y = a^(xy)；- (ab)^x = a^x * b^x；-a^0=1，其中a≠0。
2.对数函数的运算性质：- loga(xy) = loga(x) + loga(y)；- loga(x^y) = y * loga(x)；- loga(x/y) = loga(x) - loga(y)；- loga(1) = 0，其中a≠0。
四、指数函数和对数函数的应用1.指数函数在生活中的应用：-经济增长模型中的应用；-指数衰减与物质的半衰期计算；-大自然中的指数增长现象。
2.对数函数在生活中的应用：-pH值的计算；-放大器的功率增益计算；-数字音乐的音量计算。
综上所述，指数函数和对数函数是高中数学必修一中的重要知识点。
掌握了指数函数和对数函数的基本形式、性质以及运算规律，能够理解其图像特征和在实际问题中的应用。
指数函数与对数函数知识点
指数函数与对数函数1、n 次方根与分数指数幂、指数幂运算性质(1)若nx a =，则))n x n =⎪⎩为奇数为偶数；()()a n a n ⎧⎪⎨⎪⎩为奇数为偶数；(3)n a =；(4)*0,,,1)m na a m n N n =>∈>且；(5)*0,,1)mn a a m n N n -=>∈>,且；(6)0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂没有意义.(7)()0,,r s r s a a a a r s R +⋅=>∈；(8)()()0,,r s rs a a a r s R =>∈；(9)()()0,0,,r r r ab a b a b r s R =⋅>>∈.2、对数、对数运算性质(1)()log 0,1x a a N x N a a =⇔=>≠；(2)()log 100,1a a a =>≠；(3)()log 10,1a a a a =>≠；(4)；()log0,1a N a N a a =>≠；(5)()log 0,1m a a m a a =>≠；(6)()log ()log log 0,1,0,0a a a MN M N a a =+>≠M >N >； (7)()log log log 0,1,0,0a a a M M N a a N=->≠M >N >； (8)()log log 0,1,0n a a M n M a a =⋅>≠M >； (9)换底公式()log log 0,1,0,0,1log c a c b b a a b c c a =>≠>>≠； (10)()log log 0,1,,*m n a a n b b a a n m N m=>≠∈；(11)()1log log 0,1,0,a a M a a M n R n=>≠>∈； (12)()log log log 10,1,0,1,0,1a b c b c a a a b b c c ⋅⋅=>≠>≠>≠.3、指数函数)1,0(≠>=a a a y x 且及其性质：①定义域为(),-∞+∞； ②值域为()0,+∞；③过定点()0,1；④单调性：当1a >时，函数()f x 在R 上是增函数；当01a <<时，函数()f x 在R 上是减函数； ⑤在y 轴右侧，指数函数的图象“底大图高”．4、对数函数)1,0(log ≠>=a a x y a 且及其性质：①定义域为()0,+∞；②值域为(),-∞+∞；③过定点()1,0；④单调性：当1a >时，函数()f x 在()0,+∞上是增函数；当01a <<时，函数()f x 在()0,+∞上是减函数；⑤在直线1=x 的右侧，对数函数的图象“底大图低”．5指数函数x a y =与对数函数)1,0(log ≠>=a a x y a 且互为反函数，它们的图象关于直线x y =对称．6不同函数增长的差异：线性函数模型)0(>+=k b kx y 的增长特点是直线上升，其增长速度不变；指数函数模型)1(>=a a y x 的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，呈“指数爆炸”状态；对数函数模型)1(log >=a x y a 的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大速度越来越慢，即增长速度平缓；幂函数模型)0(>=n x y n 的增长速度介于指数函数和对数函数之间．7函数的零点：在函数)(x f y =的定义域内，使得0)(=x f 的实数x 叫做函数的零点．8零点存在性定理：如果函数()f x 在区间[],a b 上的图象是连续不断的一条曲线，且有()()0f a f b ⋅<，那么函数()y f x =在区间(),a b 内至少有一个零点，即存在(),c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根.9二分法：对于区间],[b a 上图象连续不断且()()0f a f b ⋅<的函数)(x f y =，通过不断把它的零点所在区间一分为二，使得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法．10给定精确度ε，用二分法求函数)(x f y =零点0x 近似值的步骤：⑴确定零点0x 的初始区间[],a b ，验证()()0f a f b ⋅<；⑵求区间[],a b 的中点c ；⑶计算)(c f ，并进一步确定零点所在的区间；①若0)(=c f ，则c 就是函数的零点；②若0)()(<c f a f (此时),(0c a x ∈)，则令c b =；③若0)()(<b f c f (此时),(0b c x ∈)，则令c a =；⑷判断是否达到精确度ε：若a b ε-<，则得到零点的近似值a (或b )；否则重复上面的⑵至⑷.。
指数函数与对数函数知识点总结
指数函数与对数函数知识点总结一、指数函数1、指数函数的定义一般地，函数\（y ＝ a^x\）（＼（a ＞ 0\）且\（a ≠ 1\））叫做指数函数，其中\（x\）是自变量，函数的定义域是\（R\）。
需要注意的是，底数\（a\）的取值范围，当\（a ＝ 1\）时，函数就变成了\（y ＝ 1^x ＝ 1\），是一个常函数，不符合指数函数的定义；当\（a ＜ 0\）时，对于某些\（x\）的值，＼（a^x\）无意义，比如\（（－2)＾｛＼frac{1}｛2}｝＼）就没有实数解。
2、指数函数的图象当\（a ＞ 1\）时，指数函数\（y ＝ a^x\）的图象是上升的，经过点\（（0, 1)＼），在\（R\）上单调递增；当\（0 ＜ a ＜ 1\）时，指数函数\（y ＝ a^x\）的图象是下降的，经过点\（（0, 1)＼），在\（R\）上单调递减。
我们可以通过几个特殊的点，比如\（（0, 1)＼）、＼（（1, a)＼）、＼（（－1, ＼frac{1}｛a}）＼）等来大致描绘指数函数的图象。
3、指数函数的性质（1）定义域：＼（R\）（2）值域：＼（（0, ＋∞）＼）（3）恒过定点\（（0, 1)＼）（4）单调性：当\（a ＞ 1\）时，在\（R\）上单调递增；当\（0 ＜a ＜ 1\）时，在\（R\）上单调递减（5）函数值的变化情况当\（a ＞ 1\）时，若\（x ＞ 0\），则\（a^x ＞ 1\）；若\（x ＝ 0\），则\（a^x ＝ 1\）；若\（x ＜ 0\），则\（0 ＜ a^x ＜ 1\）。
当\（0 ＜ a ＜ 1\）时，若\（x ＞ 0\），则\（0 ＜ a^x ＜ 1\）；若\（x ＝ 0\），则\（a^x ＝ 1\）；若\（x ＜ 0\），则\（a^x ＞ 1\）。
4、指数运算的性质（1）＼（a^m × a^n ＝ a^｛m ＋ n}＼）（2）＼（＼frac{a^m}｛a^n} ＝ a^｛m n}＼）（＼（a ≠ 0\））（3）＼（（a^m)＾n ＝ a^｛mn}＼）（4）＼（（ab)＾n ＝ a^n b^n\）这些运算性质在化简指数表达式和进行指数运算时经常用到。
指数函数和对数函数知识点总结
指数函数和对数函数知识点总结一、指数函数：1.基本概念：指数函数是形如y=a^x（a>0，且a≠1）的函数，其中a称为底数，x 称为指数，a^x称为底数a的x次幂。
2.基本性质：（1）a^0=1，任何数的0次幂等于1；（2）a^x*a^y=a^(x+y)，相同底数的指数幂相乘，底数不变，指数相加；（3）a^x÷a^y=a^(x-y)，相同底数的指数幂相除，底数不变，指数相减；（4）(a^x)^y=a^(x*y)，指数幂的乘积再乘方，指数相乘；（5）a^(-x)=1/(a^x)，任何数的负指数满足倒数规律。
3.常见指数函数：（1）指数函数y=2^x：以2为底的指数函数，可以用来描述2的x 次幂关系，是一种常见的指数型增长函数，图像逐渐向上凸起。
二、对数函数：1.基本概念：对数函数是指y=loga(x)，其中a>0，且a≠1，a称为底数，x称为真数，y称为以a为底x的对数。
2.基本性质：（1）loga(1)=0，底数为任何正数时，1的对数都是0；（2）loga(a)=1，底数为任何正数时，底数的对数都是1；（3）loga (x*y) = loga(x) + loga(y)，对数相乘，真数取乘积，对数相加；（4）loga (x/y) = loga(x) - loga(y)，对数相除，真数取商，对数相减；（5）loga(x^k) = k * loga(x)，对数乘方，真数取底数的k次方，对数乘以指数。
3.常见对数函数：（1）常用对数函数：y=log10(x)，其中底数为10，对数函数可以简写为y=log(x)。
常用对数函数是以10为底的对数函数，输入一个正实数x，输出满足10^y=x的y值。
（2）自然对数函数：y=ln(x)，其中底数为e。
自然对数函数是以e 为底的对数函数，输入一个正实数x，输出满足e^y=x的y值。
三、指数函数与对数函数的关系：四、指数函数与对数函数的应用：1.科学中的指数增长：指数函数常常用于描述原子衰变、细胞分裂和放射性物质的衰变等过程。
(完整版)指数函数、对数函数和幂函数知识点归纳
一、幂函数1、幂的有关概念正整数指数幂：...()nna a a a n N=∈零指数幂：01(0)a a=≠负整数指数幂：1(0,)ppa a p Na-=≠∈分数指数幂：正分数指数幂的意义是：(0,,,1)mn mna a a m n N n=>∈>且负分数指数幂的意义是：11(0,,,1) mnm n mna a m n N naa-==>∈>且2、幂函数的定义一般地，函数ay x=叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数(我们只讨论a是有理数的情况)．3、幂函数的图象幂函数ay x=当11,,1,2,332a=时的图象见左图；当12,1,2a=---时的图象见上图：由图象可知，对于幂函数而言，它们都具有下列性质：a y x =有下列性质： (1)0a >时：①图象都通过点(0,0)，(1,1)；②在第一象限内，函数值随x 的增大而增大，即在(0,)+∞上是增函数． (2)0a <时：①图象都通过点(1,1)；②在第一象限内，函数值随x 的增大而减小，即在(0,)+∞上是减函数； ③在第一象限内，图象向上与y 轴无限地接近，向右与x 轴无限地接近． (3)任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点； (4)任何幂函数图象都不经过第四象限； (5)任何两个幂函数的图象最多有三个交点．二、指数函数①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x且称指数函数， 1）函数的定义域为R ； 2）函数的值域为),0(+∞；3）当10<<a 时函数为减函数，当1>a 时函数为增函数. 4）有两个特殊点：零点(0,1)，不变点(1,)a .5）抽象性质： ()()(),()()/()f x y f x f y f x y f x f y +=⋅-=三、对数函数如果b a N =（0a >，1a ≠），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N b =log b a a N N b =⇔=（0a >，1a ≠，0N >）． 1．对数的性质()log log log a a a MN M N =+． log log log aa a MM N N=-．log log n a a M n M =．（00M N >>，，0a >，1a ≠）（ a, b > 0且均不为1）2．换底公式：log log log m a m NN a=( a > 0 , a ≠ 1 ；0,1m m >≠) 常用的推论：（1）log log 1a b b a ⨯= ； ．（2）log log m na a nb b m=（a 、0b >且均不为1）．1log log 1N N a a mn n m==． （3）， （4）对数恒等式．一、对数函数的图像及性质① 函数log a y x =（0a >，1a ≠）叫做对数函数② 对数函数的性质：定义域：(0,)+∞； 值域：R ； 过点(1,0)，即当1x =时，0y =．当0a >时，在（0，+∞）上是增函数；当01a <<时，在（0，+∞）上是减函数．二、对数函数与指数函数的关系对数函数log a y x =与指数函数x y a =图像关于直线y x =对称． 指数方程和对数方程主要有以下几种类型：()()log ,log ()()f x b a a a b f x b f x b f x a =⇔==⇔=（定义法）b mnb a n am log log =1log log log =⋅⋅a c b c b a 01log =a 1log =a a N a N a =log()()()(),log ()log ()()()0f x g x a a a a f x g x f x g x f x g x =⇔==⇔=>（转化法） ()()()log ()log f x g x m m a b f x a g x b =⇔= (取对数法)。
(完整版)指数函数与对数函数知识点总结
（一）指数与指数幂的运算
1．根式的概念：一般地，如果 ，那么 叫做 的 次方根，其中 >1，且 ∈ *．
当 是奇数时， ，当 是偶数时，
2．分数指数幂
正数的分数指数幂的意义，规定：
3．实数指数幂的运算性质
（1） · ；
（2） ；
（3） ．
（二）指数函数及其性质
1、指数函数的概念：一般地，函数 叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．
（2） =__________
4、设 ，求 的值__________。
5、若 ，则 等于。
6、已知函数 在 上为增函数，则 的取值范围是。
7、设函数 ，若 ，则
8、函数 且 恒过定点。
9、已知函数 在 上的最大值比最小值多 ，求实数 的值。
幂函数（第15份）
1、下列函数中，是幂函数的是（ ）
A、 B、 C、 D、
（3） =__________
（4） =__________
（5） =__________
（6） =__________
（7） =__________
（8） =__________
2、已知 ，试用 表示下列各对数。
（1） =__________（2） =__________
3、（1）求 的值__________；
f(1.5625)=0.003
f(1.5562)=-0.029
f(1.5500)=-0.060
据此数据，可得方程 的一个近似解（精确到0.01）为
（1） （2） （3）
5、函数 在区间[ ，2]上的最大值为，最小值为。
函数 在区间[ ，2]上的最大值为，最小值为。
第四章 指数函数与对数函数单元总结(思维导图+知识记诵+能力培养)(含解析)
第四章 指数函数与对数函数知识点一、指数及指数幂的运算 1.根式的概念a 的n 次方根的定义：一般地，如果n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中*1,n n N >∈当n 为奇数时，正数的n 次方根为正数，负数的n 次方根是负数，当n 为偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为 负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0.n 叫做根指数，a 叫做被开方数. 2.n 次方根的性质：(1)当n a =；当n ,0,,0;a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩(2)na =3.分数指数幂的意义：)0,,,1m na a m n N n =>∈>；()10,,,1m nm naa m n N n a-=>∈>要点诠释：0的正分数指数幂等于0，负分数指数幂没有意义. 4.有理数指数幂的运算性质：()0,0,,a b r s Q >>∈(1)r s r s a a a += (2)()r srsa a = (3)()rr rab a b =知识点二、指数函数及其性质 1.指数函数概念一般地，函数()0,1x y a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R . 2.指数函数函数性质：1.对数的定义(1)若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数.(2)负数和零没有对数.(3)对数式与指数式的互化：log (0,1,0)xa x N a N a a N =⇔=>≠>.2.几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =.3.常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N (其中 2.71828e =…). 4.对数的运算性质如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么 ①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a aM M N N-= ③数乘：log log ()na a n M M n R =∈④log a NaN =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且知识点四：对数函数及其性质 1.对数函数定义一般地，函数()log 0,1a y x a a =>≠且叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域()0,+∞. 2.对数函数性质：1．函数零点的判定（1）利用函数零点存在性的判定定理如果函数()y f x =在一个区间[]a b ，上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即()()0f a f b <，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点()0x a b ∈，，使()00f x =，这个0x 也就是方程()0f x =的根.要点诠释：①满足上述条件，我们只能判定区间内有零点，但不能确定有几个．若函数在区间内单调，则只有一个；若不单调，则个数不确定．②若函数()f x 在区间[],a b 上有()()0f a f b ⋅>，()f x 在(,)a b 内也可能有零点，例如2()f x x =在[]1,1-上，2()23f x x x =--在区间[]2,4-上就是这样的．故()f x 在(),a b 内有零点，不一定有()()0f a f b ⋅<．③若函数()f x 在区间[],a b 上的图象不是连续不断的曲线，()f x 在(),a b 内也可能是有零点，例如函数1()1f x x=+在[]2,2-上就是这样的． （2）利用方程求解法求函数的零点时，先考虑解方程()0f x =，方程()0f x =无实根则函数无零点，方程()0f x =有实根则函数有零点．（3）利用数形结合法函数()()()F x f x g x =-的零点就是方程()()f x g x =的实数根，也就是函数()y f x =的图象与()y g x =的图象交点的横坐标．2.用二分法求函数零点的一般步骤： 已知函数()y f x =定义在区间D 上，求它在D 上的一个零点x 0的近似值x ，使它满足给定的精确度. 第一步：在D 内取一个闭区间[]00,a b D ⊆，使()0f a 与()0f b 异号，即()()000f a f b ⋅<，零点位于区间[]00,a b 中.第二步：取区间[]00,a b 的中点，则此中点对应的坐标为()()0000001122x a b a a b =+-=+. 计算()0f x 和()0f a ，并判断：①如果()00f x =，则0x 就是()f x 的零点，计算终止；②如果()()000f a f x ⋅<，则零点位于区间[]00,a x 中，令1010,a a b x ==；③如果()()000f a f x ⋅>，则零点位于区间[]00,x b 中，令1010,a x b b == 第三步：取区间[]11,a b 的中点，则此中点对应的坐标为()()1111111122x a b a a b =+-=+. 计算()1f x 和()1f a ，并判断：①如果()10f x =，则1x 就是()f x 的零点，计算终止；②如果()()110f a f x ⋅<，则零点位于区间[]11,a x 中，令2121,a a b x ==；③如果()()110f a f x ⋅>，则零点位于区间[]11,x b 中，令2121,a x b b ==；……继续实施上述步骤，直到区间[],n n a b ，函数的零点总位于区间[],n n a b 上，当n a 和n b 按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数()y f x =的近似零点，计算终止.这时函数()y f x =的近似零点满足给定的精确度.要点诠释：（1）第一步中要使：①区间长度尽量小；②()f a 、()f b 的值比较容易计算且()() <0f a f b ．（2）根据函数的零点与相应方程的根的关系，求函数的零点和求相应方程的根式等价的．对于求方程()()f x g x =的根，可以构造函数()()()F x f x g x =-，函数()F x 的零点即为方程()()f x g x =的根． 知识点六：函数的实际应用求解函数应用题时一般按以下几步进行： 第一步：审题弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型. 第二步：建模在细心阅读与深入理解题意的基础上，引进数学符号，将问题的非数学语言合理转化为数学语言，然后根据题意，列出数量关系，建立函数模型.这时，要注意函数的定义域应符合实际问题的要求.第三步：求模运用数学方法及函数知识进行推理、运算，求解数学模型，得出结果. 第四步：还原把数学结果转译成实际问题作出解答，对于解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，使其符合实际背景.上述四步可概括为以下流程：实际问题(文字语言)⇒数学问题(数量关系与函数模型)⇒建模(数学语言)⇒求模(求解数学问题)⇒反馈(还原成实际问题的解答).类型一：指数、对数运算 例1.计算(1) 2221log log 12log 422-； (2)33lg 2lg 53lg 2lg5++； (3)222lg5lg8lg5lg 20lg 23+++；(4)lg0.7lg20172⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭【思路点拨】运算时尽量把根式转化为分数指数幂，而小数也要化为分数为好. 【答案】(1)12-；(2)1；(3)3；(4)14。
04高中数学《指数函数对数函数》知识点
指数函数、对数函数知识点知识点内 容典 型 题整数和有理指数幂的运算a 0＝1(a ≠0)；ࡡ࠱࠱ࡡ＝࠱a ࡡ(a ≠0, n ∈N *)ࡡm ࡡ＝n a ࠱m(a ＞0 , m ，n ∈N *, 且n ＞1)(a ＞0 ,m ，n ∈N *, 且n ＞1)当n ∈N * 时，࠱n a ࠱ࡡ＝a当为奇数时，ࡡa n＝a当为偶数时，ࡡa n＝│a │＝a (a ≥0)࠱a (a ࠱0)运算律：ࡡm ࡡn࠱Àa m Ƞn (a m )n ࠱Q a m n࠱a ࡡĩn ࠱࠱š n ࡡn1.计算: ࠱࠱ ࠱×࠱42࠱＝ .2. 2࠱࠱282＝ ；3࠱࠱3࠱3＝ . ࠱3࠱3࠱27＝ ；39࠱36 ＝ .3.︒--++-45sin 2)12()12(014.指数函数的概念、图象与性质1、解析式：y ࠱ a x(a ＞0，且a ≠1)2、图象：3、函数y ࠱ a x(a ＞0,且a ≠1)的性质：①定义域:R ，即(－∞，＋∞)值 域:R + , 即(0，＋∞)②图象与y 轴相交于点(0,1).③单调性：在定义域R 上当a ＞1时， 在R 上是增函数当0＜a ＜1时,在R 上是减函数④极值：在R 上无极值(最大、最小值)当a ＞1时，图象向左与x 轴无限接近；当0＜a ＜1时,图象向右与x 轴无限接近.⑤奇偶性：非奇非偶函数.5.指数函数y ࠱ a x(＞0且≠1)的图象过a a 点(3,π) , 求f (0)、f (1)、f (－3)的值.6.求下列函数的定义域:① ； ②.22x y -=2415-=-x y 7.比较下列各组数的大小:①1.22.5 1.22.51 , 0.4－0.1 0.4－0.2 ,②0.30.40.40.3,233322.③(23)࠱12,(23)࠱13,(12)࠱128.求函数的最大值.176221+-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x y 9.函数在(-∞,+∞)上是减函数，x a y )2(-=则的取值范围()a A.a ＜3 B.c C.a ＞3 D.2＜a ＜310.函数在(-∞,+∞)上是减函数，xa y )1(2-=则a 适合的条件是( )A.|a |＞1B.|a |＞2C.a ＞D.1＜|a |＜22知识点内 容典 型 题对数的概念定义：设a ＞0且a ≠1，若a 的b 次幂为N ，即š b ＝N ，则b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N ＝b .(a 叫做底数，N 叫做真数，式子loga N 叫做对数式.)š b＝N log a N ＝b (a ＞0且a ≠1)当a ＝10时，简记为lg x ,称x 10log 为常用对数；当a ＝e (e ≈2.718…)时，11.把化为对数式为 .5.09017.0=x12.把lg x ＝0.35化为指数式为 .13.把ln x ＝2.1化为指数式为.14. log 3 x ＝－,则x ＝.2115.已知：8a =9，2b =5，求log 9125．简记为ln x ，称为自然对数.x e log 对数运算的法则设a ＞0,b ＞0,a ≠1,b ≠1,M ＞0,N ＞0① š b＝Nlog a N ＝b② 负数和零没有对数；③ log a 1＝0， log a a ＝1 ④ ＝N ,Na alog N a Na =log ⑤(M ·N )＝M ＋Na log a log a log ⑥＝M －Na log N Ma log a log ⑦＝n Ma log nM a log ⑨ 换底公式：N ＝b log b Na a log log 换底公式的推论:b ＝a log ab log 1( b ·a ＝1 )a logb log log a b =log a nbnlog a mb n=nmlog a b16.＝.5log 8log 251log 932⋅17.若x ＝log a 3，则ࡡ࠱ࡡ࠱ɏa ࠱ɯ࠱Ÿࡡࡡ࠱ýࡡ࠱ x的值是.18.计算࠱l ࠱࠱࠱࠱＝ .19.计算下列各式:①16log 91log 42log 2)81(383log 21322⋅⋅+⋅ࡡ②)243log 81log 27log 9log 3(log 693216842)32(log ++++③2.1lg 1000lg 8lg 27lg -+④⎪⎭⎫⎝⎛++36log 43log 32log log 4212220.已知lg(x －y )＋lg(x ＋2y )＝lg x ＋lg y ＋lg 2则＝.y x21.已知：log 1227=a ，求log 616的值．22.已知,,则lg5=( )p =3log 8q =5log 3A.B.53qp +q p pq ++31C. D.pqpq 313+22q p +知识点内 容典 型 题对数函数的概念及性质1.解析式：y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)2.图象:y ＝log a x 与y ࠱ a x(a ＞0,a ≠1)互为反函数,故二者图象关于直线y ＝x 对称.(如下图)3. y ＝log a x (a ＞0,且a ≠1)性质：①定义域：R ＋，即(0,＋∞)值 域：R ， 即(-∞,+∞)；②过x 轴上的定点(1,0)；③单调性：a ＞1时，在(0,＋∞)上是增函数；0＜a ＜1时，在(0,+∞)上是减函数④极值:在(0,＋∞)上无最大(小)值，a ＞1,图象在左下方与y 轴无限接近；0＜a ＜1,图象在左上方与y 轴无限接近.⑤奇偶性:非奇非偶.23.函数y ＝࠱࠱࠱ࡡ 的定义域为 .24.函数y ＝log 13(x ࠱1)的定义域是25.求函数y ＝log 2 (x 2࠱4x ࠱5)的定义域.26.对满足m ＞n 的任意两个非零实数，下列不等式恒成立的是（）A.ࡡ＞nB.lg(m 2 ) ＞lg(n 2 )C.m 4＞n 4D.(࠱2)m ＜(࠱2)n27.比较各组数的大小：①log 120.2 log 120.21，lg1.1 lg1.11②,,从小到大为7.0667.06log 7.0③ log 89 log 98 , ④ log 25 log 75⑤ log 35log 6428.已知f (x )的图象与g (x )＝(14)x的图象关于直线y ＝x 对称，则f (x )＝ .指数和对数不等式基本思路：利用指数、对数函数的图象(实质是判断利用函数的增减性),把原不等式转化为一元一次(或二次)不等式(组).①a f (x )＞a g (x ) (a ＞0，a ≠1)型若a ＞1， f (x )＞g (x )若0＜a ＜1，f (x )＜g (x )②log a f (x )＞log a g (x ) (a ＞0，a ≠1)型若a ＞1， f (x )＞g (x )若0＜a ＜1，f (x )＜g (x )29.解不等式：＞123.0++x xxx5223.0+-30.若＜0，则a 的取值范围是 .3log 2a -31.若＜1，则a 的取值范围是 .32log a32.解不等式：log 12(x 2࠱4x ࠱5)＜log 12(x 2࠱1)33.解不等式：log x (2x ࠱1)＞log x 2知识点内容典型题简单的指数方程和对数方程1、同底的方程，直接比较指数或真数即可(略).2、指数方程的两种常见形式：①ࡡf (x)࠱b g (x)(a ,b＞0，a≠1, b≠1)两边取对数,将方程化为：f(x)＝g(x)log a b或f(x)log b a＝g(x)②ࡡ2x࠱pa x࠱q࠱50(a＞0，且a≠1)用换元法,令ࡡx＝t，将原方程化为：ࡡ 2࠱ࡡࡡ࠱q࠱0求出t(若t≤0，应舍去这个t)，t＞0时可得x＝log a t是原方程的解；若方程ࡡ 2࠱ࡡࡡ࠱q࠱0无正根,则原方程无解.3、对数方程的两种常见形式：①log a f (x)＝b(a＞0，a≠1)根据对数的定义,原方程可化为：f(x)＝šb.②(x)2 + p x+q＝0(a＞0,a≠1)alogalog可用换元法，令log a x＝t，得ࡡ 2࠱ࡡࡡ࠱q࠱0，解之得实数根t，进而得原方程的解为x＝a t，如无实数根，则原方程无解(对数方程必须验根).解下列方程：34.＝x⎪⎭⎫⎝⎛812435.1621=+x36.51)10(1.052-⨯=⋅xxx37.8116827941=⎪⎭⎫⎝⎛⋅⎪⎭⎫⎝⎛-xx38.3x+2࠱32࠱x=8039.࠱o࠱࠱ijx＝240.2log3x=1441.log2(x࠱3)2࠱442.log2(x࠱1)2࠱log4(x࠱1)࠱543.2)22(log)12(log122=+⋅++xx44.x lg x࠱2࠱100045.432log2xxx=复合函数的单调性复合函数y＝f [g(x)]的单调性由u＝g(x)与y＝f(u)的单调性共同决定,其规律如下表：函数单调性(同增异减)u＝g (x)增增减减y＝f (u)增减增减y＝f [g (x)]增减减增46.在(－∞，0)上为增函数的是( )A.y＝－2xB.y＝－x2C.y＝2－2xD.y＝log2(－x)47.函数y＝在(－∞，＋∞)上是( )5ࡡxA.增函数B.减函数C.奇函数D.偶函数48.求函数y＝的单调递增区间.24331x x-+-⎪⎭⎫⎝⎛49.*已知f(x)的图象与g(x)＝(14)x的图象关于直线y＝x对称，则f(x)＝，f(2x－x2)的单调递减区间是.。
高中数学-指数函数对数函数知识点
高中数学-指数函数对数函数知识点指数函数、对数函数知识点知识点内容：1.整数和有理指数幂的运算：当a≠0时，aⁿ×aᵐ=aⁿ⁺ᵐ；aⁿ÷aᵐ=aⁿ⁻ᵐ；(aⁿ)ᵐ=aⁿᵐ2.指数函数y=aᵐ⁄ⁿ(a＞0.m，n∈N*,且n＞1)的性质：①解析式：y=aᵐ⁄ⁿ(a＞0.且a≠1)②图象：过点(0,1)，在a＞1时，在R上是增函数，在0＜a＜1时，在R上是减函数③单调性：在定义域R上当a＞1时，在R上是增函数当0＜a＜1时，在R上是减函数④极值：在R上无极值(最大、最小值)⑤奇偶性：非奇非偶函数典型题：1.把0.9017x=0.5化为对数式为log0.9017(0.5)=x2.把lgx=0.35化为指数式为x=10⁰.³⁵3.计算：2×6⁴³=6⁴⁴⁹4.求解：(2+1)⁻¹+(2-1)⁻²sin45°=0.5915.指数函数y=aᵐ⁄ⁿ(a＞0.m，n∈N*,且n＞1)的图象过点(3,π)，求f(0)、f(1)、f(-3)的值f(0)=a⁰⁄ⁿ=1f(1)=aᵐ⁄ⁿ=a³⁄ⁿf(-3)=a⁻⁹⁄ⁿ6.求下列函数的定义域：① y=2-x²，定义域为R② y=1⁄(4x-5)-2，定义域为R-{5⁄4}7.比较下列各组数的大小：① 1.2<2.5<1.2+0.5，0.4-0.1<0.4-0.2② 0.3=0.4=0.4=0.3，<2112③ (2³)²<(3²)³<(2²)³8.求函数y=(x²-6x+17)⁄2的最大值，最大值为159.函数y=(a-2)x在(-∞,+∞)上是减函数，则a的取值范围为a＞310.函数y=(a²-1)x在(-∞,+∞)上是减函数，则a的取值范围为|a|＞1x其中a为底数，x为真数，y为对数。
指数函数与对数函数知识点总结
指数函数与对数函数知识点总结一、指数函数的定义与性质1. 定义指数函数是以底数a（a>0且a≠1）为底的函数，一般表示为y=a^x，其中a是底数，x是指数，y是函数值。
2. 性质⑴当a>1时，指数函数是递增函数，图像上开；当0<a<1时，指数函数是递减函数，图像下降。
⑵当x=0时，a^0=1。
⑶当a>1时，随着x的增大，函数值y=a^x也会增大；当0<a<1时，随着x的增大，函数值y=a^x会减小。
3. 图像当底数a>1时，指数函数的图像是递增的曲线，图像上翘；当0<a<1时，指数函数的图像是递减的曲线，图像下降。
4. 应用指数函数在科学计算、生物增长、财经复利、工程技术等领域都有着重要的应用。
例如在计算机科学中，指数函数常用于指数衰减算法、指数增长算法等；在生物学中，指数函数常用于描述生物的增长规律；在金融领域中，指数函数用以描述利息的复利增长等。
二、对数函数的定义与性质1. 定义对数函数是指数函数的逆运算，一般表示为y=log_a(x)，其中a是底数，x是真数，y是对数。
2. 性质⑴对数函数的定义域为x>0，值域为实数集。
⑵对数函数的图像是单调递增的曲线，在0处没有定义。
⑶特殊情况下，当底数a=10时，我们称为常用对数函数，一般表示为y=log(x)；当底数a=e时，我们称为自然对数函数，一般表示为y=ln(x)。
3. 图像对数函数的图像是单调递增的曲线，图像在x轴的右侧。
4. 应用对数函数在科学计算、信息论、统计学、工程技术等领域都有着广泛应用。
例如在信息论中，对数函数用于计算信息量、信息熵等；在统计学中，对数函数用于描述正态分布、伯努利分布等；在工程技术中，对数函数用于解决指数增长问题、指数衰减问题等。
三、指数函数与对数函数的关系1. 反函数关系指数函数与对数函数是一对反函数，它们的定义域和值域互为对方的值域和定义域。
具体而言，对数函数y=log_a(x)中，x=a^y。
指数函数和对数函数知识点总结
指数函数和对数函数知识点总结一、指数函数1.定义：指数函数是以正数为底数、自变量为指数的函数。
一般形式为y=a^x，其中a>0且a≠12.特点：(1)当a>1时，指数函数呈递增趋势；(2)当0<a<1时，指数函数呈递减趋势；(3)a>1时，指数函数的图像在x轴的右侧逐渐上升，称为“增长指数函数”；(4)0<a<1时，指数函数的图像在x轴的右侧逐渐下降，称为“衰减指数函数”；(5)当x=0时，指数函数的值恒为1；(6)指数函数与直线y=0平行（若a>1）或经过点(0,1)（若0<a<1）。
3.基本性质：(1)a^m*a^n=a^(m+n)；(2) (a^m)^n = a^(mn)；(3) (ab)^m = a^m * b^m；(4)(a/b)^m=a^m/b^m。
二、对数函数1. 定义：对数函数是指以正数a(a>0且a≠1)为底数的对数。
一般形式为y=loga(x)，其中x>0。
2.特点：(1)对数函数的定义域为正实数集(0,+∞)，值域为实数集；(2) 指数函数y=a^x和对数函数y=loga(x)是互逆运算，即y=loga(a^x) = x，x=loga(a^x) = y；(3)当x>1时，对数函数的值大于0；(4)当0<x<1时，对数函数的值小于0；(5)a>1时，对数函数呈递增趋势；(6)0<a<1时，对数函数呈递减趋势；(7)当x=1时，对数函数的值恒为0；(8)对数函数的图像与直线y=x交于点(1,1)。
三、常用公式与性质1.e与自然对数：(1) e的定义：e=lim(1+1/n)^n，其中n为正整数；(2) 自然对数：ln(x)表示以e为底数的对数函数；(3) 自然对数的性质：ln(e^x)=x，e^(lnx)=x；2.指数方程与对数方程：(1)指数方程：a^x=b，其中a>0且a≠1；(2) 对数方程：loga(x)=b，其中a>0且a≠1；(3)指数方程求解的一般步骤：将方程两边取对数，利用对数的性质求解；(4)对数方程求解的一般步骤：将方程两边以a为底取指数，利用指数函数的性质求解。
指数函数和对数函数知识点总结
指数函数和对数函数知识点总结一、指数函数的定义和性质1.定义：指数函数是以一些正数a为底数的函数，形式为f(x)=a^x，其中a>0且a≠1、指数函数的定义域为实数集R，值域为正数集(0,+∞)。
2.指数函数的性质：(1)当a>1时，指数函数是递增函数；当0<a<1时，指数函数是递减函数。
(2)指数函数的图像在直线y=0上方，且与y轴渐近。
(3) 指数函数的反函数是对数函数，即 f(x) = a^x 的反函数是 g(x) = logₐ(x)。
(4)指数函数的图像在(0,+∞)上是光滑的连续曲线。
3.常见的指数函数：(2)以10为底的指数函数：记作f(x)=10^x。
在计算科学领域中经常使用。
(3)以2为底的指数函数：记作f(x)=2^x。
在计算机科学和信息技术领域中广泛应用。
二、对数函数的定义和性质1. 定义：对数函数是指数函数的反函数，形式为 f(x) = logₐ(x)，其中 a>0 且a ≠ 1、对数函数的定义域为正数集(0,+∞)，值域为实数集 R。
2.对数函数的性质：(1)对数函数的图像与指数函数的图像关于直线y=x对称。
(2)当0<a<1时，对数函数是递增函数；当a>1时，对数函数是递减函数。
(3)对数函数的图像在x轴正半轴上方，且与x轴渐近。
(4) 对数函数的反函数是指数函数，即 f(x) = logₐ(x) 的反函数是g(x) = a^x。
(5) 对数函数的特殊性质：logₐ(1) = 0，logₐ(a) = 1，logₐ(a^x) = x。
3.常见的对数函数：(2) 以 10 为底的对数函数：记作 f(x) = log₁₀(x)。
在计算科学领域中经常使用。
(3) 以 2 为底的对数函数：记作 f(x) = log₂(x)。
在计算机科学和信息技术领域中广泛应用。
三、指数函数和对数函数的应用1.指数函数的应用：(1)复利计算：复利计算公式中的指数函数可以用来计算存款利息、投资收益等。
指数函数和对数函数复习(有详细知识点和习题详解)
指数函数和对数函数复习(有详细知识点和习题详解)一、指数的性质一）整数指数幂整数指数幂的概念是指：a的n次方等于a乘以a的n-1次方，其中a不等于0，n为正整数。
另外，a的-n次方等于1除以a的n次方，其中a不等于0，n为正整数。
整数指数幂的运算性质包括：（1）a的m次方乘以a的n次方等于a的m+n次方；（2）a的n次方的m次方等于a的mn次方；（3）a乘以b的n次方等于a的n次方乘以b的n次方。
其中，a除以a的n次方等于a的n-1次方，a的m-n次方等于a的m除以a的n次方，an次方根的概念是指，如果一个数的n次方等于a，那么这个数叫做a的n次方根，记作x=√a。
例如，27的3次方根等于3，-27的3次方根等于-3，32的5次方根等于2，-32的5次方根等于-2.a的n次方根的性质包括：如果n是奇数，则a的n次方根等于a；如果n是偶数且a大于等于0，则a的正的n次方根等于a，a的负的n次方根等于负的a；如果n是偶数且a小于0，则a的n次方根没有意义，即负数没有偶次方根。
二）例题分析例1：求下列各式的值：（1）3的-8次方；（2）（-10）的2次方；（3）4的（3-π）次方；（4）（a-b）的2次方，其中a大于b。
例2：已知a小于b且n大于1，n为正整数，化简n[（a-b)/(a+b)]。
例3：计算：7+40+7-40.例4：求值：（59/24）+（59-45）/24 + 25×（5-2）/24.解：略。
二）分数指数幂1.分数指数幂当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式，例如：$5\sqrt[10]{a^5}=a^{\frac{1}{2}}$，$3\sqrt[12]{a^3}=a^{\frac{1}{4}}$。
当根式的被开方数不能被根指数整除时，根式也可以写成分数指数幂的形式，例如：$\sqrt[4]{a^5}=a^{\frac{5}{4}}$。
规定：1）正数的正分数指数幂的意义是$a^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{a^p}$。
高中数学指数函数与对数函数总结
指数函数与对数函数总结指数函数与对数函数总结一、 [知识要点]：1. 指数函数y ＝ax 与对数函数y ＝a log x 的比较：的比较：定义定义 图象图象 定义域 值域值域 性质性质奇偶性 单调性 过定点值的分布值的分布最值最值y ＝a x （a>0且a ≠1） 叫指数函数a>1 （－∞，＋∞）∞）（0，＋∞） 非奇 非偶 增函数（0，1）即a 0＝1 x>0时y>1；0<x<1时 0<y<1 无最值无最值0<a<1 减函数x>0时0<y<1； 0<x<1时 y>1 y ＝a log （a>0且a ≠1） 叫对数函数a>1Oy x（0，＋∞） （－∞，＋∞）∞） 非奇非偶 增函数 （1，0） 即log a 1＝0 x>1时y>0；0<x<1时 y<0 无最值无最值 0<a<1Oy x减函数x>1时y<0；0<x<1时 y>0 对称性函数y ＝ax 与y ＝a －x （a>0且a ≠1）关于y 轴对称；函数y ＝a x 与y ＝log a x 关于y ＝x 对称对称 函数y ＝log a x 与y ＝1log a x （a>0且a ≠1）关于x 轴对称轴对称 2. 记住常见指数函数的图形及相互关系以及常见对数函数的图形及相互关系及相互关系①②3. 几个注意点几个注意点（1）函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x （a>0，a ≠1）互为反函数，从概念、图象、性质去理解它们的区别和联系；（2）比较几个数的大小是对数函数性质应用的常见题型。
数的大小是对数函数性质应用的常见题型。
在具体比较时，可以首在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正负；正数通常可再与1比较分出大于1还是小于1，然后在各类中间两两相比较；（3）在给定条件下，求字母的取值范围是常见题型，要重视不等式知识及函数单调性在这类问题上的应用。
指数函数和对数函数的知识点及典型例题
指数函数和对数函数的知识点及典型例题一、指数的性质 （一）整数指数幂1．整数指数幂概念：an n a a a a 个⋅⋅⋅=)(*∈N n ()010a a =≠ ()10,n na a n N a-*=≠∈ 2．整数指数幂的运算性质：（1）(),m n m n a a a m n Z +⋅=∈ （2）()(),nm mn a a m n Z =∈（3）()()nn n ab a b n Z =⋅∈其中mnmnm na a a aa--÷=⋅=， ()1nn n n nn a a a b a b b b --⎛⎫=⋅=⋅= ⎪⎝⎭．3．a 的n 次方根的概念一般地，如果一个数的n 次方等于a ()*∈>N n n ,1，那么这个数叫做a 的n 次方根， 即： 若a x n =，则x 叫做a 的n 次方根，()*∈>N n n ,1例如：27的3次方根3273=， 27-的3次方根3273-=-， 32的5次方根2325=， 32-的5次方根2325-=-．说明：①若n 是奇数，则a 的n 次方根记作n a ； 若0>a 则0>n a ，若o a <则0<n a ； ②若n 是偶数，且0>a 则a 的正的n 次方根记作n a ，a 的负的n 次方根，记作：n a -；（例如：8的平方根228±=± 16的4次方根2164±=±） ③若n 是偶数，且0a <则n a 没意义，即负数没有偶次方根；④()*∈>=N n n n ,100 ∴0=；⑤式子na 叫根式，n 叫根指数，a 叫被开方数。
∴na =．4．a 的n 次方根的性质一般地，若n 是奇数，则a a n n =；若n 是偶数，则⎩⎨⎧<-≥==00a a a aa a n n ．5．例题分析：例．计算：407407-++解：407407-++52)25()25(22=-++= （二）分数指数幂1()10250a aa ==>()12430a aa ==>即当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式； 幂的运算性质()nm mn a a =对分数指数幂也适用，例如：若0a >，则3223233a a a ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭，4554544a a a ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭， 23a =45a =．规定：（1）正数的正分数指数幂的意义是)0,,,1m na a m n N n *=>∈>； （2）正数的负分数指数幂的意义是)10,,,1mnm naa m n N n a-*==>∈>．2．分数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用，即：()()10,,r s r s a a a a r s Q +=>∈()()()20,,sr rs a a a r s Q =>∈()()()30,0,rr r ab a b a b r Q =>>∈说明：（1）有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用； （2）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没意义。
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loga b = loga n bn
22. 已知 log 8 3 p , log3 5 q ,则 lg5=( )
n loga m bn= m loga b
A. 3 p q 5
B. 1 3 pq pq
指数函数、对数函数知识点
2
高场职中
C. 3 pq 1 3pq
D. p 2 q 2
的 法
⑨
换底公式：
log
b
N＝
log a log a
N b
则 换底公式的推论:
1
log a b＝ logb a
①
(
1
－
)
2 3
8
2 log
1 2
2
4log2
3
log8
1 9
log 3 16
log ( 32) ②
6
9
(log2 3log4 9log8 27log16 81log32 243)
8. 求函数 y 1 x26x17 的最大值. 2
象 ②图象与 y 轴相交于点(0,1). 与 ③单调性：在定义域 R 上
9. 函数 y (a 2) x 在(-∞,+∞)上是减函数，
性 当 a＞1 时， 在 R 上是增函数
则 a 的取值范围( )
质 当 0＜a＜1 时,在 R 上是减函数
可 用 换 元 法 ， 令 loga x ＝ t ， 得 44. xlgx＋2＝1000
t 2«£ pt«£ q½£ 0，解之得实数根 t，进而得
原方程的解为 x＝a t，如无实数根，则 45. xlog2x 32x4
原方程无解(对数方程必须验根).
复合函数 y＝f [g(x)]的单调性由 u＝ 46. 在(－∞，0)上为增函数的是( )
A.a＜3 B.c C.a＞3 D.2＜a＜3
④极值：在 R 上无极值(最大、最小值) 10. 函数 y (a2 1)x 在(-∞,+∞)上是减函 当 a＞1 时，图象向左与 x 轴无限接近； 当 0＜a＜1 时,图象向右与 x 轴无限接 数，则 a 适合的条件是( )
近.
A.|a|＞1
B.|a|＞2
1、解析式：y£½ a x (a＞0，且 a≠1)
2、图象：
5. 指数函数y£½ a x ( a ＞0 且 a ≠1)的图象过
点(3,π ) , 求 f (0)、f (1)、f (－3)的值.
6. 求下列函数的定义域:
① y 2 x2 ；
②y 1 . 4x5 2
指
7. 比较下列各组数的大小:
A. m ＞ n
B.lg(m2 ) ＞lg(n2 )
C.m4＞n4
D.( 1 )m＜( 1 )n 22
27. 比较各组数的大小：
①log 1 0.2 2
log 1 0.21， 2
lg1.1 lg1.11
② 60.7 , 0.76 , log 0.7 6 从小到大为
③ log89
log98 ,
④ log25
4
x
27
x 1
16
9 8 81
的 指 数
t 2«£ pt«£ q½£ 0
求出 t(若 t≤0，应舍去这个 t)，t＞0 时 38. 3x+2－32－x=80
方 程
可得 x＝loga t 是原方程的解；若方程 39. log 1 3
x ＝2
和 t 2«£ pt«£ q½£ 0无正根,则原方程无解.
17.
若
x＝log
a3，则
a3x£ ax£
a£-3x 的值是 a£-x
.
18. 计算2log49＝
.
19. 计算下列各式:
⑤ log a (M·N)＝ log a M＋ log a N
对 数
⑥ log a
M N
＝ log a M－ log a N
运 ⑦ log a M n ＝n log a M
算
复 合
g(x)与 y＝f(u)的单调性共同决定,其规律 A.y＝－2x
B.y＝－x2
如下表：
C.y＝2－2x
D.y＝log2(－x)
47. 函数 y＝5－x在(－∞，＋∞)上是(
)
函 函数
单调性(同增异减)
A.增函数 B.减函数 C.奇函数 D.偶函数
数 u＝g (x)
增
的
单 y＝f (u)
增
调 y＝f [g (x)] 增
对
31.
若 loga
2 ＜1，则 a 的取值范围是 3
.
数 若 a＞1， f(x)＞g(x) 不 若 0＜a＜1，f(x)＜g(x)
32. 解不等式：log1 (x2－4x－5)＜log1 (x2＋1)
2
2
等 ②loga f(x)＞loga g(x) (a＞0，a≠1)型 33. 解不等式：log x (2x＋1)＞log x 2
.
数
(a 叫做底数，N 叫做真数，式子 13. 把 ln x＝2.1 化为指数式为
.
的 loga N 叫做对数式.)
概 念
a b＝N
loga N＝b(a＞0 且 a≠1)
14.
log3
x＝－
1 2
,则
x＝
当 a＝10 时， log10 x 简记为 lgx,称
.
为常用对数；当 a＝e(e≈2.718…)时， 15. 已知：8a=9，2b=5，求 log9125．
34. 1 x ＝ 4 2 8
35. 2 x 1 16
f(x)＝g(x)loga b 或 f(x)logb a＝g(x) 36. 2x 5x 0.1 (10 x1)5
简 单
②a2x«£ pax«£ q½£ 0(a＞0，且 a≠1)
用换元法,令ax＝t，将原方程化为：
37.
对 3、对数方程的两种常见形式：
数 方
①loga f (x)＝b(a＞0，a≠1)
40.
2 = log3x
1 4
41. log2(x＋3)2＝4
程
根据对数的定义,原方程可化为：
f(x)＝a b.
42. log2(x＋1)2＋log4(x＋1)＝5
②( log a x)2 + p log a x+q＝0(a＞0,a≠1) 43. log2 (2x 1) log2 (2x1 2) 2
⑤奇偶性：非奇非偶函数.
C.a＞ 2
D.1＜|a|＜ 2
指数函数、对数函数知识点
1
高场职中
知识点
内容
典型题
定义：设 a＞0 且 a≠1，若 a 的 b 11. 把 0.9017x 0.5化为对数式为
.
次幂为 N ，即 a b＝N，则 b 叫做以 a
对 为底 N 的对数，记作loga N＝b.
12. 把 lg x＝0.35 化为指数式为
式 若 a＞1， f(x)＞g(x)
若 0＜a＜1，f(x)＜g(x)
知识点
内容
指数函数、对数函数知识点
4
典型题
高场职中
1、同底的方程，直接比较指数或真数即 解下列方程：
可(略). 2、指数方程的两种常见形式：
①af (x)½£ bg (x)(a ,b＞0，a≠1, b≠1)
两边取对数,将方程化为：
loge x 简记为 lnx，称为自然对数.
设 a＞0,b＞0,a≠1,b≠1,M＞0,N＞0
16.
log 2
1 25
log3
8
＝
.
① a b＝N loga N＝b
log9 5
② 负数和零没有对数；
③ log a 1＝0， log a a＝1
④ aloga N ＝N , log a a N N
log75
0＜a＜1 时，在(0,+∞)上是减函数 ⑤ log35
log64
④极值:在(0,＋∞)上无最大(小)值，
a＞1,图象在左下方与 y 轴无限接近； 0＜a＜1,图象在左上方与 y 轴无限接近.
( ) 28. 已知 f(x)的图象与 g(x)＝
1 4
x的图象关
于直线 y＝x 对称，则 f (x)＝
.
⑤奇偶性:非奇非偶.
基本思路：
29. 解不等式： 0.3x2 x1 ＞ 0.32x2 5x
利用指数、对数函数的图象(实质是判断
指 利用函数的增减性),把原不等式转化为一元 30. 若 log 2a 3 ＜0，则 a 的取值范围是
.
数 一次(或二次)不等式(组).
a a 和 ① f(x)＞ g(x) (a＞0，a≠1)型
③ lg 27 lg 8 lg 1000 lg 1.2
④ log2log2 32 log 1 3 log4 36
24
20. 已知 lg(x－y)＋lg(x＋2y)＝lgx＋lgy＋lg2
则x＝ y
.
( log a b· logb a＝1 )
21. 已知：log1227=a，求 log616 的值．
数
①1.22.5
1.22.51 , 0.4－0.1
0.4－0.2 ,
函 数
②0.30.4
0.40.3,
233
322.
的
概 3、函数y£½ a x (a＞0,且 a≠1)的性质：
③(
2 3
)－
1 2
,(
2 3
)－
1 3
,(
1 2
)－
1 2
念 、