无阻尼固有频率
02-1 单自由度系统的无阻尼自由振动、固有频率
(1)无阻尼线性系统的自由振动为等幅简谐振动。
(2)无阻尼线性系统自由振动的固有角频率、固有频率、 振动周期仅由系统本身参数所确定，与激励、初始条件 无关。 (3)自由振动的振幅和初相角由初始条件所确定。
弹簧和阻尼器垂直放置 如图。 弹簧静变形量：δst=mg/k
F (t )
弹簧末变形时质块的位置与 静平衡时质块的位置不同
取静平衡位置为坐标原点，向下为坐标 δst=mg/k 正方向， 运动微分方程为：
(t ) F (t ) mg cx (t ) k[ x(t ) s t (t )] m x
单自由度线性系统运动微分方程：
(t ) cx (t ) kx(t ) F (t ) m x
运动微分方程的特点及所解决的问题
燕山大学
Yanshan University
(t ) cx (t ) kx(t ) F (t ) m x
运动微分方程的特点： (1)是二阶常系数、非齐次线性常微分方程； (2)方程左边完全由系统参数m、c与k所决定，反映了振动系统本 身的固有特性； (3)方程右边是振动系统的驱动力F(t)，即系统的激励。
A1 x0 v0 A 2 n
结论：
燕山大学
Yanshan University
x(t ) Asin nt
k n m
m T 2 k
1 fn 2 k m
2 v 2 A x0 0 n 1 n x0 tg v0 v0 1 tg n x0
燕山大学
Yanshan University
初始条件：
x (0) x0 x (0) v0
阻尼比与固有频率的关系
阻尼比与固有频率的关系
在物理学中，阻尼比和固有频率是两个非常重要的概念。
阻尼比是指振动系统中阻尼力和弹性力之比，而固有频率则是指振动系统在没有外力作用下的自然频率。
这两个概念之间存在着密切的关系，下面我们来详细探讨一下它们之间的关系。
我们需要了解一下振动系统的基本特性。
振动系统是由弹簧、质量和阻尼器组成的，当系统受到外力作用时，会发生振动。
振动的频率取决于系统的固有频率，而振动的幅度则取决于阻尼比。
因此，阻尼比和固有频率是影响振动系统行为的两个重要因素。
我们来看一下阻尼比和固有频率之间的关系。
当阻尼比为零时，振动系统处于无阻尼状态，此时系统的固有频率是最大的。
随着阻尼比的增加，系统的固有频率会逐渐减小，直到阻尼比等于临界阻尼比时，系统的固有频率达到最小值。
当阻尼比大于临界阻尼比时，系统的固有频率会继续增加，但增加的速度会变得越来越慢。
我们需要了解一下阻尼比和固有频率对振动系统的影响。
当阻尼比为零时，振动系统会发生共振现象，此时振动幅度会变得非常大，甚至可能导致系统损坏。
因此，在实际应用中，我们需要通过增加阻尼比来避免共振现象的发生。
另外，当阻尼比过大时，振动系统的响应会变得非常迟缓，甚至可能无法完成振动。
因此，在实际应用中，我们需要通过调整阻尼比来使系统的响应达到最佳状态。
阻尼比和固有频率是振动系统中非常重要的两个概念，它们之间存在着密切的关系。
在实际应用中，我们需要通过调整阻尼比和固有频率来使振动系统的响应达到最佳状态，从而保证系统的正常运行。
阻尼和固有频率的测量
可编辑ppt
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8.2.３ 稳态激振法
图3所示为一个单自由度 质量---弹簧----阻尼系统强迫振 动模型。
位移响应为 位移幅值
图3 单自由度系统模型
系统确定后p,n,m是确定的。只要保证激 振力幅值 是常量， 的大小唯一取 决于激振力频率 。稳态激振法是每 给定一个激振频率 ，测量一次位移 响应幅值 ，从而得到一组 随 变化的数据。以 为横坐标， 为 纵坐标，可描在曲线上，振幅最大的点对 应的激振频率称为共振频率，测试系统发 生了位移共振。
速度信号与激振力信号之间的相位差 加速度响应
幅值 取得极值的条件为
，即在该点发生共振。共振幅值
加速度信号与激振力信号之间的相位差
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图7 速度响应判别速度共振 图8位移响应判别速度共振
图9加速度响应判别速度共振
速度共振的相位判别法的依据即为系统发生 速度共振时，激振力和速度响应之间的相位 差为0。实验时，将激振力信号接入示波器的 ｘ轴，速度响应信号接入示波器的ｙ轴，改 变激振信号的频率 ，根据李沙育原理， 屏幕上将出现如图７的图像。即当图像变成 斜直线时，系统发生速度共振，此时，
取得极值的条件为
，即当
时，系统发生速度共振，
。此时相位差
，即速度响应与激振力
之间的相位差为0；阻尼力
，即激振力所作的功全部被阻尼所消耗。故有系统发生速度共振时，
可编辑ppt
11
Байду номын сангаас
因此，只要测量系统发生速度共振时的速度幅值
幅值 ，即可计算出阻尼系数 ，并根据
什么是固有频率？
什么是固有频率？从事振动噪声等NVH领域工作，即使不是NVH领域，如桥梁动态检测等等其他领域，也需要与结构的固有频率打交道。
那什么是固有频率；为什么结构有如此多“阶”固有频率；它与共振频率又有什么区别和联系；避免共振时，激励频率应离固有频率多远等等这些问题，您都清楚吗？本文主要内容包括：1. 固有频率的定义；2.影响因素；3. 为什么存在多阶固有频率；4. 主频和基频；5. 与共振频率的区别与联系；6. 避免共振，激励频率须离固有频率多远？1. 固有频率的定义结构系统在受到外界激励产生运动时，将按特定频率发生自然振动，这个特定的频率被称为结构的固有频率，通常一个结构有很多个固有频率。
固有频率与外界激励没有关系，是结构的一种固有属性。
不管外界有没有对结构进行激励，结构的固有频率都是存在的，只是当外界有激励时，结构是按固有频率产生振动响应的。
对于无阻尼单自由系统而言，如下图所示，固有频率计算公式定义如下：单位为Hz，表示一秒钟振动循环次数。
也可以用圆频率（也称角频率）来表示固有频率，公式如下：单位为rad/s。
在这考虑的是无阻尼的情况，因此，获得的固有频率为无阻尼固有频率。
对于一般性结构系统而言，如下图所示，都是有阻尼的，因此它的固有频率为有阻尼固有频率。
无阻尼固有频率与有阻尼固有频率的关系如下：假设阻尼比ξ=10%，则ωd=0.99499ωn，因此，阻尼对结构的固有频率影响不大，更何况现实世界中，除了含有主动阻尼机制的结构外，如减振器，一般结构的阻尼比都远小于10%。
通常现实世界中测试所得到的固有频率都是有阻尼固有频率。
以下没有特殊说明时，都是指有阻尼固有频率。
2. 影响因素从上面的公式我们可以看出，结构的固有频率只受刚度分布和质量分布的影响，而阻尼对固有频率的影响非常有限。
而在百度百科中说固有频率受形状、材质的影响，我也只能呵呵了。
材质不同，其材料属性（密度、杨氏模量和泊松比等）不同，影响的最终参数还是质量和刚度,而形状不同,影响也是这两个参数。
阻尼和固有频率的测量
时，
，而且与阻尼大小无关，系统处
于相位共振状态，可以方便的识别出系统的固有频率 ；在幅频图上，
当
时，
达到极大值，且
，故可以识别出阻尼系
数。
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8.3.2 实频图与虚频图
频响函数的实部和虚部分别为
其图形如图13所示。在实部图上，利用半功率点
法可以识别出系统的相对阻尼系数
，
时虚部达到极大值，实部为0，系统处于共振状
应为
图1 单自由度系统模型
（1）
衰减系数
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2
响应曲线如图2所示。 结论：
频率，
为衰减振动的周期， 为衰减振动的圆频率。
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为衰减振动的
3
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图2 弱阻尼衰减振动的响应曲线
4
从图2衰减振动的响应曲线上可直接测量出
，然后根
据
可计算出 n ；
计算出 p； 可计算出
阻尼系数和固有频率
的测量
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1
8.1 阻尼系数的测量
8.1.1 自由振动衰减法
图1所示的一个单自由度质量---弹簧----
阻尼系统，其质量为m (kg)，弹簧刚度系
数为k (N/m)，粘性阻尼系数为r (N. m
/s)。当质量上承受初始条件t=0时，位
移
，速度
激励时，将做
自由衰减振动。在弱阻尼条件下其位移响
态，可识别出系统的固有频率。
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图13频响函数的实部与虚部图
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8.3.2 Nyquist图
以频响函数的实部为横坐标， 虚部为纵坐标，绘出频响函数矢量 随频率的变化图，这些变化矢量的 端点轨迹图称为Nyquist图，图形 方程为：
阻尼与无阻尼共振频率
固有频率又分为无阻尼固有频率和有阻尼固有频率。
通常在振动教材中都会定义无阻尼固有频率和有阻尼固有频率，无阻尼固有频率对应的是刚度/质量的平方根，有阻尼固有频率为无阻尼的固有频率乘以（1-阻尼比平方）的平方根。
书本上这么定义完全是出于方便书写公式的目的，当然了也对应的一定的物理意义。
一般说来，无阻尼结构的频率便是无阻尼的固有频率，但现实中所说的固有频率，在没有特殊说明的情况下都是指有阻尼固有频率，因为现实中的结构都是有阻尼的。
人们通常说的固有频率都是指有阻尼固有频率。
另外，在有限元计算中，如果是实模态分析（不考虑阻尼），那么此时的求解出来的频率就是无阻尼的固有频率，如果是复模态分析（考虑非比例阻尼）得出来的固有频率是有阻尼固有频率。
现实中的结构，除了含有阻尼机制的结构外，一般阻尼比都小于10%，因此，阻尼对结构的固有频率的影响是非常小的。
单自由度系统的特殊频率
1 1− 2ζ 2
这样得到加速度共振频率
除了位移共振频率 ωD,r ,速度共 振 频 率 ωV,r 和 加 速 度 共 振 频 率 ωA,r 外，还有无阻尼固有频率 p = k / m ，
ωA,r =
1p 1− 2ζ 2
1.4
1.2
(10)
A,r
阻尼固有频率 pd = p 1 − 2ζ 2 。若阻 尼等于零，这五个特征频率完全相 同，都等于 p 。若阻尼比不为零，五 者之间有差异，这表现在图 5 中。很 多工程问题的阻尼比 ζ 都小于 0.1, 此时五个频率可互相替代；但对高阻 尼系统，必须注意他们之间的区别。
H ( jω) =
1
(2)
m( jω)2 +c( jω) + k
4
0
0.125
3
k
c
m
f(t) 图 1 单自由度系统
2
0.25
0.5
1
0.707
1.0
2.0 0
0
1
2
3
图 2 幅频特性曲线
横坐标ν 为激励频率与固有频率之比，纵坐标β为放大系数。
上述幅频特性、相频特性和复频特性都是指位移的信息。工程上也经常直接测量速
1 ν 4 − 2(1− 2ζ 2 )ν 2 +1
2
| HD ( jω)| 的最大值对应右端方根号内项最小值。后者当
ν m = ± 1− 2ζ 2 取得极小。同样我们舍去负号，得到位移共振条件
ωD,r = 1− 2ζ 2 p
(8)
加速度| HA ( jω)| 的频率无量纲化为
|
HA
( jω)|=
=
1.0
V,r
pd 0.8
2021年中南大学机械振动考试简答题题库全解
1、机械振动系统固有频率与哪些因素关于？关系如何？答：机械振动系统固有频率与系统质量矩阵、刚度矩阵（和阻尼关于质量越大，固有频率越低；刚度越大，固有频率越高；阻尼越大，固有频率越低。
2、简述机械振动系统实际阻尼、临界阻尼、阻尼比联系与区别。
答：实际阻尼是指振动系统真实阻尼值，用于度量系统自身消耗振动能量能力；临界阻尼是c2e nmω=，不不大于或等于该阻尼值，系统运动不是振动，而是一种指数衰运动；阻尼比是/ec c ξ=3、简述无阻尼单自由度系统共振能量集聚过程。
答：无阻尼单自由度系统受简谐勉励时，如果勉励频率等于系统固有频率，系统将发生共振；外力对系统做功所有转成系统机械能即振动能量；外力持续给系统输入能量，使系统振动能量直线上升，振幅逐渐增大；无阻尼系统共振时，需要一定期间积累振动能量。
4、什么是共振，并从能量角度简述共振形成过程。
答：当系统外加勉励与系统固有频率接近时候，系统发生共振；共振过程中，外加勉励能量被系统吸取，系统振幅逐渐加大。
5、简述线性系统在振动过程中动能和势能之间关系。
答：线性系统在振动过程中动能和势能互相转换，如果没有阻尼，系统动能和势能之和为常数。
6、什么是机械振动？振动发生内在因素是什么？外在因素是什么？答：机械振动是指机械或构造在它静平衡位置附近往复弹性运动。
振动发生内在因素是机械或构造具备在振动时储存动能和势能，并且释放动能和势能并能使动能和势能互相转换能力。
外在因素是由于外界对系统勉励或者作用。
7、从能量、运动、共振等角度简述阻尼对单自由度系统振动影响。
答：从能量角度看，阻尼消耗系统能力，使得单自由度系统总机械能越来越小；从运动角度看，当阻尼比不不大于等于1时，系统不会产生振动，其中阻尼比为1时候振幅衰减最快；当阻尼比不大于1时，阻尼使得单自由度系统振幅越来越小，固有频率减少；阻尼固有频率d ωω=共振角度看，随着系统能量增长、增幅和速度增长，阻尼消耗能量也增长，当阻尼消耗能力与系统输入能量平衡时，系统振幅不会再增长，因而在有阻尼系统振幅并不会无限增长。
固有频率ADAMSLinear和ADAMSVibration理解
固有频率ADAMSLinear和ADAMSVibration理解固有频率在ADAMS/Linear和ADAMS/Vibration中的理解在ADAMS中，固有频率是通过本征向量计算的，为了更好的理解计算结果中各个参数的意义，解决仿真中常见的问题，在这里理论联合实际对一些基本知识在ADAMS中的应用做一基本论述。
在此，不涉及ADAMS/Linear的扩展命令，所有的线性化命令实际都是在图形界面操作所得的。
对于单自由度系统，如经典的弹簧——质量——阻尼系统，质量m的运动方程有： +x xck +cx +kx=0 （1） x+x=0或 m mm这里x为质量m的位移，k为弹簧刚度系数，c为阻尼系数。
根据无阻尼固有圆频率和阻尼比的定义重写等式（1）：2 +2ζωnx +ωnxx=0 （2）这里：无阻尼固有圆频率（Undamped Natural Frequency）ωn=k （3） m阻尼比（Damping Ratio）ζ=cc （4）=2km2mωn可以看出，无阻尼固有圆频率ωn只是弹簧刚度k和质量m的函数，与阻尼值无关。
ADAMS/Linear实际上计算无阻尼固有圆频率的方法有所不同，它使用拉普拉斯（Laplace）在仿真运行点对模型变换为线性矩阵，再通过本征值向量（Eigenvalues）计算系统的固有圆频率和阻尼比，但计算结果与上述计算是等效的。
一般，本征值λ由实部（Real part）λr和虚部（Imaginary part）λi两部分组成：λ=λr±λi，因此，方程式（2）可以写为：2λ2+2ζωnλ+ωn=0 （5）本征值λ由下式决定：2当阻尼比ζ＞1，λ=-ζωn±ωn-1 （6）当阻尼比ζ＜1，λ=-ζωn±jωn-ζ2令：λr=-ζωn；λi=ωn-ζ。
2 （7）当系统阻尼比当ζ＜1时，ADAMS/Linear使用下式计算无阻尼固有圆频率与阻尼比：2ωn=λ2r+λi （8）即：22λr+λi=(-ζωn)2+ωn-ξ22=2222ωn+ωn-ζ2ωn=2n=ωnζ=cosθ，或ζ=λrλ+λ2r2i （9）图1 复数平面本征值示意图显然，当实部λr＝0时，系统阻尼比ζ＝0；当虚部λi＝0时，ζ＝1。
固有频率和阻尼的测量
1x
0.5
a v
-0.5
2
4
6
t
8
10
12
14
-1
常数A和 的确定
x Acos( t ) v dx Asin( t )
dt
x0 Acos v0 A sin
A＝
x02
v0
2
tg v0 x0
说明： (1) 一般来说 的取值在－π和 π(或0和2π)之间； (2) 在应用上面的式子求 时， 一般来说有两个值，还要由初 始条件来判断应该取哪个值； (3)常用方法：由
分类：接触式和非接触式 按壳体的固定方式可分为相对式和绝对
式。 机械振动是一种物理现象，而不是一个
物理参数，和振动相关的物理量有振动 位移、振动速度、振动加速度等，所以 振动测试是对这些振动量的检测，它们 反映了振动的强弱程度。
1、惯性式测振传感器的力学模型和特性分析
（一）力学模型和运动方程式
m d 2 y c d ( y x) kx 0
dt 2
dt
假设基础运动x(t)=Xsint, 则稳态振动的解：
y(t)=Ysin(t- )
1+4 2( )2
振幅：Y=X
n
[1 ( )2 ]2 4 2( )2
n
n
相位：
2 ( )3
＝arctan
式中a为比例系数，与电磁铁的尺寸、结构、材料与 气隙的大小有关．在A《I0的情况下，上式右边第三项 可略去，得
如果条件A《I0不成立，则将在激振力中引入二次谐波:
（三） 脉冲锤
脉冲锤是一种产生瞬态激励力的激振器，它由 锤体、手柄和可以调换的锤头和配重组成，通常 在锤体和锤头之间装有一个力传感器，以测量被 测系统所受锤击力的大小。
机械控制工程基础第三章 复习题及答案
分析与提示：时间响应由瞬态响应和稳态响应两部分组成。
答案：瞬态响应、稳态响应题目：系统的输出量从初始状态到稳定状态的响应过程，称为 。
分析与提示：瞬态响应，指系统在某一输入信号作用下，系统的输出量从初始状态到稳定状态的响应过程。
答案：瞬态响应题目：系统的时间响应可从两方面分类，按振动性质可分为 与 。
分析与提示：系统的时间响应可从两方面分类，按振动性质可分为自由响应与强迫响应。
答案：自由响应、强迫响应题目：系统的时间响应可从两方面分类，按振动来源可分为 与 。
分析与提示：系统的时间响应可从两方面分类，按振动性质可分为自由响应与强迫响应；按振动来源可分为零输入响应(即由“无输入时系统的初态”引起的自由响应)与零状态响应(即仅由输入引起的响应)。
答案：零输入响应、零状态响应题目：系统微分方程的特解就是系统由输入引起的输出(响应)，工程上称为 。
分析与提示：初始条件及输入信号产生的时间响应就是微分方程的全解。
包含通解和特解两个部分。
通解完全由初始条件引起的，它是一个瞬态过程，工程上称为自然响应 (如机械振动中的自由振动)。
特解只由输入决定，特解就是系统由输入引起的输出(响应)，工程上称为强迫响应 (如机械振动中的强迫振动)。
答案：强迫响应题目：系统的瞬态响应不仅取决于系统本身的特性，还与外加 的形式有关。
分析与提示：系统的瞬态响应不仅取决于系统本身的特性，还与外加输入信号的形式有关。
答案：输入信号题目：单位阶跃信号⎩⎨⎧<>=000t t t u1)(的拉氏变换为【 】 A 、s 1 B 、21sC 、1D 、s 分析与提示：熟练掌握典型信号的拉氏变换。
B 为单位斜坡信号的拉氏变换，C 为单位冲击信号的拉是变换。
答案：A题目：选取输入信号应当考虑以下几个方面，输入信号应当具有 ，能够反映系统工作的大部分实际情况。
分析与提示：选取输入信号应当考虑以下几个方面，输入信号应当具有典型性，能够反映系统工作的大部分实际情况。
什么是固有频率？
什么是固有频率？从事振动噪声等NVH领域⼯作，即使不是NVH领域，如桥梁动态检测等等其他领域，也需要与结构的固有频率打交道。
那什么是固有频率；为什么结构有如此多“阶”固有频率；它与共振频率⼜有什么区别和联系；避免共振时，激励频率应离固有频率多远等等这些问题，您都清楚吗？本⽂主要内容包括：1. 固有频率的定义；2. 影响因素；3. 为什么存在多阶固有频率；4. 主频和基频；5. 与共振频率的区别与联系；6. 避免共振，激励频率须离固有频率多远？1. 固有频率的定义结构系统在受到外界激励产⽣运动时，将按特定频率发⽣⾃然振动，这个特定的频率被称为结固有频率。
固有频率与外界激励没有关系，是结构的⼀构的固有频率，通常⼀个结构有很多个固有频率种固有属性。
不管外界有没有对结构进⾏激励，结构的固有频率都是存在的，只是当外界有激励时，结构是按固有频率产⽣振动响应的。
对于⽆阻尼单⾃由系统⽽⾔，如下图所⽰，固有频率计算公式定义如下：⾓频率）来表⽰固有频率，公式圆频率（也称⾓频率单位为Hz，表⽰⼀秒钟振动循环次数。
也可以⽤圆频率如下：⽆阻尼固有频率。
单位为rad/s。
在这考虑的是⽆阻尼的情况，因此，获得的固有频率为⽆阻尼固有频率阻尼固有频对于⼀般性结构系统⽽⾔，如下图所⽰，都是有阻尼的，因此它的固有频率为有阻尼固有频率。
⽆阻尼固有频率与有阻尼固有频率的关系如下：假设阻尼⽐ξ=10%，则ωd=0.99499ωn，因此，阻尼对结构的固有频率影响不⼤，更何况现实世界中，除了含有主动阻尼机制的结构外，如减振器，⼀般结构的阻尼⽐都远⼩于10%。
通常现实世界中测试所得到的固有频率都是有阻尼固有频率。
以下没有特殊说明时，都是指有阻尼固有频率。
2. 影响因素从上⾯的公式我们可以看出，结构的固有频率只受刚度分布和质量分布的影响，⽽阻尼对固有频率的影响⾮常有限。
⽽在百度百科中说固有频率受形状、材质的影响，我也只能呵呵了。
材质不同，其材料属性（密度、杨⽒模量和泊松⽐等）不同，影响的最终参数还是质量和刚度,⽽形状不同,影响也是这两个参数。
谐振频率和无阻尼固有频率关系
谐振频率和无阻尼固有频率关系谐振频率和无阻尼固有频率之间的关系，听上去有点复杂，但其实咱们可以把它聊得轻松些。
想象一下，你在阳光明媚的下午，拿着一把吉他，轻轻拨动弦，哇，那声音可真是美妙！这就是频率的魔力。
谐振频率就像是你吉他弦的某个特定频率，当你用手指拨动时，它会发出特别的音调，简直让人陶醉。
而无阻尼固有频率呢，就像是这把吉他的本色，永远存在，不管外面有什么干扰，它依然在那里，坚韧不拔，像一个守护者。
很多人可能会问，为什么这两者之间的关系如此重要呢？谐振频率和无阻尼固有频率的搭配，就像搭档一样，互相呼应，形成一种美妙的和谐。
想象一下，如果你的吉他弦和吉他体的谐振频率相符，那你弹出来的声音简直可以让人泪目！而如果它们不匹配，哎呀，那就像是唱歌跑调，怎么听都不对劲，简直让人想捂耳朵。
再来说说生活中的例子，咱们都有过这种体验，比如在大街上走，听到某个音乐节奏，忍不住就跟着晃动起来。
这个瞬间，其实就是谐振的表现。
你身体的某个部分找到了和那段音乐的“共鸣”，这种共鸣就和谐振频率有关。
你看，生活中处处都有这种频率的互动，甚至连你打篮球的时候，篮球入框的那一刻，都是在寻找最佳的谐振频率。
学术上讨论这两者的关系，也有点技术味道，咱们不妨用点幽默感来解释。
想象一下，一个摇摇晃晃的秋千，秋千的运动就像是谐振，而秋千的固有频率就像是它“想要”的运动状态。
你推一下秋千，它会越来越高，最终达到一个平衡。
这个平衡，就是谐振频率和固有频率相互作用的结果。
你推的力度和频率，决定了秋千的舞动。
如果你推得太快，或者节奏不对，那秋千就可能一不小心就翻车，真是让人哭笑不得。
谈到这里，咱们还得注意，无阻尼固有频率是一个理想化的概念。
在真实世界里，总有摩擦、空气阻力这些“小坏蛋”来捣乱，打破这种美好的谐振状态。
就好比你在沙滩上溜滑板，刚开始顺风顺水，结果突然来了个风向变了，沙子卡住了轮子，哎，游戏就结束了！这就是现实生活中的阻尼效应，让谐振的状态变得有点不那么完美，但却更真实。
二阶传递函数无阻尼固有频率
二阶传递函数无阻尼固有频率介绍二阶传递函数无阻尼固有频率是控制系统理论中的一个重要概念。
在本文中，我们将深入探讨这一概念的意义、计算方法以及它在实际应用中的作用。
二阶传递函数的定义二阶传递函数是指具有二阶微分方程形式的传递函数。
它通常用以下形式表示：G(s)=K(s2+2ζωn s+ωn2)其中，K是传递函数的增益，ζ是阻尼比，ωn是无阻尼固有频率，s是复变量。
无阻尼固有频率的定义无阻尼固有频率是指在阻尼比为零时的固有频率。
当阻尼比为零时，传递函数的分母可以简化为s2+ωn2。
无阻尼固有频率可以通过求解这个方程得到。
无阻尼固有频率的计算方法计算无阻尼固有频率的方法有多种。
下面介绍两种常用的方法：方法一：通过传递函数的极点计算传递函数的极点是指使分母为零的s值。
对于二阶传递函数，极点可以通过求解以下方程得到：s2+2ζωn s+ωn2=0解这个方程可以得到两个极点，分别为s1和s2。
无阻尼固有频率可以通过极点的虚部计算得到：$$\omega_n = \sqrt{{\rm Im}(s_1)^2 + {\rm Im}(s_2)^2}$$方法二：通过传递函数的阻尼比计算阻尼比是指传递函数极点的实部与无阻尼固有频率的比值，即$\zeta =\frac{{\rm Re}(s_1)}{\omega_n}$。
通过阻尼比可以计算出无阻尼固有频率：$$\omega_n = \frac{{\rm Re}(s_1)}{\zeta}$$无阻尼固有频率的意义无阻尼固有频率是描述系统振动特性的重要参数。
它反映了系统在没有任何阻尼的情况下的振动频率。
无阻尼固有频率越大，系统的振动频率越高，反之亦然。
在控制系统中，无阻尼固有频率决定了系统的动态响应速度。
当输入信号的频率接近无阻尼固有频率时，系统会出现共振现象，导致系统失去稳定性。
因此，在设计控制系统时，需要合理选择无阻尼固有频率，以避免共振。
无阻尼固有频率的应用无阻尼固有频率在工程领域有广泛的应用。
无阻尼固有频率-重庆大学网络教育学院
为振动频率的简n
n：系统固有的数值特征，与系统是否正在振动着以及如何进行振动的方式都毫
无关系
不是系统的固有属性的数字特征，与系统过去所受到过的激励和考察开 A,：
始时刻系统所处的状态有关
物理学基础的扩展
单自由度线性系统无阻尼自由振动微分方程
kx＝0 m x
这一方程，可以扩展为广义坐标的形式
※ 2 单自由度系统的自由振动
1.自由振动微分方程
l0——弹簧原长；
k——弹簧刚性系数； l0 k l0 k F m st x O
st——弹簧的静变形；
W k st st W / k
取静平衡位置为坐标原点，x 向下为正，则有：
d 2x m 2 W F W k ( x st ) dt kx
按系统特性或运动微分方程类型划分：
线性振动－系统的运动微分方程为线性方程的振动。
ky 0 m y k ＝F sin( t ) m
eq eq 0
非线性振动－系统的刚度呈非线性特性时，将得到非线性运动微分方程， 这种系统的振动称为非线性振动。
按系统的自由度划分：
无阻尼系统为保守系统其机械能守恒即动能t和势能v之和保持不变计算固有频率的能量法计算固有频率的能量法mmkk静平衡位置静平衡位置ooxxststkakx物块的动能为物块的动能为取静平衡位置为零势能点有取静平衡位置为零势能点有在静平衡位置处有在静平衡位置处有mgmaxmaxkakx物块在平衡位置处其动能最大物块在平衡位置处其动能最大物块在偏离平衡位置的极端处其势能最大物块在偏离平衡位置的极端处其势能最大无阻尼自由振动系统是保守系统系统的机械能守恒无阻尼自由振动系统是保守系统系统的机械能守恒mmkkaallmaxmaxmaxmaxmaxmax设oaoa杆作自由振动时杆作自由振动时的变化规律为的变化规律为系统的最大动能为系统的最大动能为系统的最大势能为系统的最大势能为由机械能守恒定律有由机械能守恒定律有由能量法解由能量法解例
二阶传递函数无阻尼固有频率
二阶传递函数无阻尼固有频率传递函数是描述线性系统输入输出关系的数学模型，而二阶传递函数则是一种特殊的传递函数形式。
无阻尼固有频率则是二阶传递函数中的一个重要参数，它描述了系统在无阻尼情况下的固有振动频率。
我们来了解一下二阶传递函数。
二阶传递函数是指系统的传递函数表达式中包含二次项的情况。
一般而言，二阶传递函数可以表示为：H(s) = (b0s^2 + b1s + b2) / (a0s^2 + a1s + a2)其中，s是复变量，b0、b1、b2、a0、a1、a2是系数。
这个传递函数描述了输入信号经过系统后的输出信号的变化关系。
接下来，我们来看一下无阻尼固有频率。
无阻尼固有频率是指系统在没有阻尼的情况下的固有振动频率。
在二阶传递函数中，无阻尼固有频率可以通过系数a0和b0来计算。
具体来说，无阻尼固有频率ω0的计算公式如下：ω0 = sqrt(b0 / a0)在实际应用中，无阻尼固有频率是描述系统振动特性的重要参数。
它决定了系统的自然频率，即系统在没有外部干扰的情况下自发振动的频率。
无阻尼固有频率越高，系统的振动频率越大，反之则越小。
在控制系统设计中，我们通常希望系统的无阻尼固有频率能够满足设计要求。
例如，在机械振动控制中，如果系统的无阻尼固有频率与机械振动频率相近，就会发生共振现象，导致系统不稳定。
因此，我们需要通过调整系统参数或采取其他控制方法来避免共振。
无阻尼固有频率还可以用于分析系统的稳定性。
根据系统的特征方程，我们可以通过计算无阻尼固有频率的实部和虚部来判断系统的稳定性。
如果实部小于零且虚部为零，即无阻尼固有频率的共轭复根位于左半平面，那么系统是稳定的。
总结一下，二阶传递函数无阻尼固有频率是描述系统振动特性的重要参数。
它可以通过传递函数的系数来计算，决定了系统的自然频率和稳定性。
在控制系统设计和振动控制等领域，无阻尼固有频率的合理选择和调整非常重要，可以确保系统的稳定性和性能。
二阶传递函数无阻尼固有频率
二阶传递函数无阻尼固有频率二阶传递函数是一种常用的数学模型，用于描述动态系统的输入与输出之间的关系。
无阻尼固有频率是二阶传递函数的一个重要参数，它反映了系统的固有振动频率，也是系统在无阻尼情况下的自然频率。
在二阶传递函数中，无阻尼固有频率通常用符号ωn表示。
它是一个与系统的质量和刚度有关的物理量，可以通过系统的质量和刚度参数来计算得到。
无阻尼固有频率的大小决定了系统的动态特性，对于某些应用来说非常重要。
无阻尼固有频率在动力学系统中具有重要的意义。
它决定了系统的振动频率，也就是系统在没有外界干扰的情况下自然地进行振荡的频率。
当系统受到外界激励时，如果激励频率接近系统的无阻尼固有频率，系统会发生共振现象，振幅会急剧增大，这对于某些应用来说是不可接受的。
无阻尼固有频率还与系统的稳定性密切相关。
在某些情况下，系统的稳定性要求无阻尼固有频率足够大，以确保系统能够快速响应外界激励。
而在另一些情况下，系统的稳定性要求无阻尼固有频率足够小，以防止系统发生不可控的振荡。
无阻尼固有频率还可以用来评估系统的动态性能。
在控制系统中，我们通常希望系统具有快速的响应速度和良好的稳定性。
无阻尼固有频率越大，系统的动态性能越好，响应速度越快。
在实际应用中，我们可以通过测量系统的频率响应曲线来估计无阻尼固有频率。
频率响应曲线是指在不同频率下，系统输出与输入的幅值和相位之间的关系。
通过分析频率响应曲线，我们可以确定系统的无阻尼固有频率，并进一步评估系统的动态性能和稳定性。
二阶传递函数的无阻尼固有频率是一个重要的参数，它决定了系统的动态特性和稳定性。
了解和掌握无阻尼固有频率的概念和计算方法，对于理解和设计动态系统具有重要意义。
在实际应用中，我们可以通过测量系统的频率响应曲线来估计无阻尼固有频率，并进一步优化系统的性能。
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mx kx 0
2 n
k m
x
2 n
x
0
x C1 cosnt C2 sin nt C1,C2 积分常数
令 : A C12 C22 , tan C1 / C2
x Asin( nt )
A——振幅； n——固有频率； （n + ）——相位； ——初相位。
1.自由振动微分方程
l0——弹簧原长； k——弹簧刚性系数； st——弹簧的静变形；
l0
k
l0 k F
W kst st W / k
m
取静平衡位置为坐标原点，x 向下为正，则有：
st
O
x
m
d2x dt 2
W
F
W
k(x
st
)
kx
W x
mx kx 0 单自由度无阻尼自由振动方程
安装设备振动分析
主讲教师：徐向阳
重庆大学网络教育学院 2014年11月8日
目录
一、机械振动基础 二、振动测量及频谱分析 三、安装设备典型振动案例分析
一、机械振动基础
一 机械振动基础
※1 引 言 ※ 2 单自由度系统的自由振动 ※ 3 计算固有频率的能量法 ※ 4 单自由度系统的有阻尼自由振动 ※ 5 单自由度系统的无阻尼受迫振动 ※ 6 单自由度系统的有阻尼受迫振动
k EA 2.312 106 N/m l
v m
l
设钢丝绳被卡住的瞬时t＝0，这时重物的位置为 初始平衡位置；以重物在铅垂方向的位移x作为广 义坐标，则系统的振动方程为
mx kx 0
方程的解为
x Asin( nt )
n
k 19.63s1
m
静平衡位置
利用初始条件
※1 引 言
振动是一种运动形态，是指物体在平衡位置附 近作往复运动。
物理学知识的深化和扩展－物理学中研究质 点的振动；工程力学研究研究系统的振动，以 及工程构件和工程结构的振动。
振动属于动力学第二类问题－已知主动力求 运动。
振动问题的研究方法 －与分析其他动力学问题相类似：
选择合适的广义坐标； 分析运动； 分析受力； 选择合适的动力学定理； 建立运动微分方程； 求解运动微分方程，利用初始条件确定 积分常数。
自由度与广义坐标 自由度数: 完全确定系统运动所需的独立坐标数目
称为自由度数。 刚体在空间有6个自由度：三个方向的移动和绕三
个方向的转动，如飞机、轮船； 质点在空间有3个自由度：三个方向的移动，如高
尔夫球； 质点在平面有2个自由度：两个方向的移动，加上
约束则成为单自由度。
※ 2 单自由度系统的自由振动
受迫振动－系统在作为时间函数的外部激励下发生 的振动，这种外部激励不受系统运动的影响。
自激振动－系统由系统本身运动所诱发和控制的激 励下发生的振动。
参激振动－激励源为系统本身含随时间变化的参数 ，这种激励所引起的振动。
按系统特性或运动微分方程类型划分：
线性振动－系统的运动微分方程为线性方程的振动。
周期T 2 n
n
2
1 T
2f
单自由度无阻尼自由振动
x
T 2 / n
A
0
t
n
无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是以 谐振动，并且永无休止。
为振动频率的简n
n：系统固有的数值特征，与系统是否正在振动着以及如何进行振动的方式都毫
无关系
A,：不是系统的固有属性的数字特征，与系统过去所受到过的激励和考察开 始时刻系统所处的状态有关
sin
nt
绳中的最大张力等于静张力与因振动引起的动张力之和 静：平衡位置 Nhomakorabeam
FT
O
x
m
FT max W mAn2 m(g An2 )
xW
58.8k N 29.4k N 动张力几乎是静张力的一半
分析2
x(t)
88.2kN
例题1
提升重物系统中，钢丝绳的横截 面积A＝2.89×10－4m2，材料的弹性 模量E＝200GPa。重物的质量m＝6 000kg，以匀速 v ＝ 0.25m/s 下降。
当重物下降到 l ＝25m 时，钢丝绳 上端突然被卡住。
求：（1）重物的振动规律； （2）钢丝绳承受的最大张力。
解：钢丝绳－重物系统可以简化为弹簧－物块 系统,弹簧的刚度为
my ky 0 meq keq＝F0sin( t)
非线性振动－系统的刚度呈非线性特性时，将得到非线性运动微分方程， 这种系统的振动称为非线性振动。
按系统的自由度划分：
单自由度振动－一个自由度系统的振动。
多自由度振动－两个或两个以上自由度系统的振动。
连续系统振动－连续弹性体的振动。这种系统具有无穷多个自由度。
meq q keq q＝0
q＝C1cosnt C2cosnt
q
2 n
q＝0
q＝Asin nt
＝
n
keq －系统的固有频率；A meq
q02
q0
n
2
振动的振幅；
arctan
n q0
q0
－振动的初位相；q0－初始广义坐标；q0－初始速度。
物理学基础的扩展
单自由度线性系统无阻尼自由振动微分方程 mx kx＝0
这一方程，可以扩展为广义坐标的形式 meq q keq q＝0
keq－等效刚度：使系统在广义坐标方向产生单位位移， 需要在这一坐标方向施加的力或力矩。
meq－等效质量：使系统在广义坐标方向产生单位加速 度，需要在这一坐标方向施加的力或力矩。
振动问题的研究方法－与分析其他动力学问题不同的 是：一般情形下， 都选择平衡位置作为广义坐标的原点。
研究振动问题所用的动力学定理：
矢量动力学基础中的－ 动量定理； 动量矩定理； 动能定理； 达朗贝尔原理。
分析动力学基础中的－ 拉格朗日方程。
振动问题的分类
按激励特性划分：
自由振动－没有外部激励，或者外部激励除去后， 系统自身的振动。
k
m
O
x(0) 0, x(0) v(0) v
x
求得 0
A v 0.0127m
n
x 0.0127sin19.63t
（2）钢丝绳承受的最大张力。
取重物为研究对象
x 0.0127sin19.63t
k
W
FT
mx
mA
2 n
sin
nt
FT
W
mA
2 n