苏教版高中数学必修五课时作业【1】及答案

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（苏教版）高中数学必修五（全册）课时同步练习汇总[学业水平训练]一、填空题1．在△ABC中，a＝7，c＝5，则sin A∶sin C的值是________．解析：由正弦定理得sin A＝a2R，sin C＝c2R，∴sin A∶sin C＝a2R∶c2R＝a∶c＝7∶5.答案：7∶52．在△ABC中，已知a＝2，b＝22，A＝30°，则B＝________．解析：由正弦定理，可得sin B＝2 2.∵b＞a，∴B＞A＝30°，∴B＝45°或135°.答案：45°或135°3．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶6∶7，且三角形的周长为36，则其三边长分别为________．解析：由正弦定理，可得a ∶b ∶c ＝5∶6∶7.从而a ＝10，b ＝12，c ＝14. 答案：10，12，144．在△ABC 中，已知A ＝135°，B ＝15°，c ＝2，则△ABC 中最长边的长为________．解析：设最长边为a ，利用正弦定理及三角形内角和定理，可得a ＝c sin C ·sin A ＝2sin 30°×sin 135°＝2 2.即△ABC 中最长边的长为2 2. 答案：2 2 5．(2014·南京调研)△ABC 中，A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足c sin A ＝a cos C ，则角C ＝________.解析：由c sin A ＝a cos C 结合正弦定理可得sin C sin A ＝sin A cos C ，且sin A ≠0，所以tan C ＝1，C ∈(0，π)，故C ＝π4.答案：π46．在△ABC 中，如果A ∶B ∶C ＝2∶3∶7，那么a ∶b ＝________．解析：由已知A ＝30°，B ＝45°，则a ∶b ＝sin 30°∶sin 45°＝1∶ 2. 答案：1∶ 27．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．解析：∵sin B ＋cos B ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝2，∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝1.又0＜B ＜π，∴B ＝π4.由正弦定理，得sin A ＝a sin Bb ＝2×222＝12.又a ＜b ，∴A ＜B ，∴A ＝π6.答案：π6二、解答题8．在△ABC 中，求证a －c cos B b －c cos A ＝sin Bsin A .证明：由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R ，得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C .左边＝2R sin A －2R sin C ·cos B 2R sin B －2R sin C ·cos A＝sin A －sin C ·cos B sin B －sin C ·cos A＝sin （B ＋C ）－sin C ·cos B sin （A ＋C ）－sin C ·cos A＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C －sin C ·cos B sin A ·cos C ＋cos A ·sin C －sin C ·cos A＝sin B ·cos C sin A ·cos C ＝sin Bsin A ＝右边，所以a －c cos B b －c cos A ＝sin B sin A.9．在△ABC 中，已知c ＝10，A ＝45°，C ＝30°，求a ，b 和B .解：由正弦定理知，a ＝c sin C ·sin A ＝10sin 30°×sin 45°＝102，B ＝180°－A －C ＝105°，∴b ＝a sin A ·sin B ＝102sin 45°×sin 105°＝56＋5 2. [高考水平训练] 一、填空题1．下列判断三角形解的情况，正确的是________． ①a ＝8，b ＝16，A ＝30°，有两解； ②b ＝18，c ＝20，B ＝60°，有一解； ③a ＝15，b ＝2，A ＝90°，无解； ④a ＝40，b ＝30，A ＝120°，有一解．解析：①中a ＝b sin A ，有一解； ②中c sin B b ，有一解； ④中a >b 且A ＝120°有一解．综上，④正确．答案：④2．在锐角三角形ABC 中，A ＝2B ，边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，则ab的取值范围为________．解析：在锐角三角形ABC 中，A ，B ，C <90°，即⎩⎪⎨⎪⎧B <90°，2B <90°，180°－3B <90°，∴30°<B <45°. 由正弦定理知，a b ＝sin A sin B ＝sin 2B sin B ＝2cos B ∈(2，3)，故a b的取值范围是(2，3)．答案：(2，3) 二、解答题3．在△ABC 中，设cos B 3b ＝cos C 2c ＝cos Aa ，求cos A 的值．解：由正弦定理，得cos B 3sin B ＝cos C 2sin C ＝cos Asin A⇒⎩⎨⎧tan B ＝13tan A ，tan C ＝12tan A .又tan A ＝－tan(B ＋C )＝－tan B ＋tan C 1－tan B tan C ＝－5tan A 6－tan 2A⇒tan2A ＝11⇒cos A ＝±36. 由题设，负值应舍去，故cos A ＝36.4．设函数f (x )＝cos(2x ＋π3)＋sin 2x .(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)设△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若c ＝6，cos B ＝13，f (C 2)＝－14，求b .解：(1)f (x )＝cos(2x ＋π3)＋sin 2x＝cos 2x cos π3－sin 2x sin π3＋1－cos 2x2＝12cos 2x －32sin 2x ＋12－12cos 2x ＝－32sin 2x ＋12.∵ω＝2，∴T ＝2πω＝π.∴函数f (x )的最小正周期为π.(2)由(1)得，f (x )＝－32sin 2x ＋12，∴f (C 2)＝－32sin(2×C 2)＋12＝－32sin C ＋12.又f (C 2)＝－14，∴－32sin C ＋12＝－14，∴sin C ＝32.∵在△ABC 中，cos B ＝13，∴sin B ＝ 1－（13）2＝223，∴由正弦定理b sin B ＝csin C，得b ＝c ·sin B sin C ＝6·22332＝83.∴b ＝83.[学业水平训练]一、填空题1．边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角的和是________．解析：设中间角为θ，则cos θ＝52＋82－722×5×8＝12，θ＝60°，180°－60°＝120°即为所求．答案：120°2．在△ABC 中，若a ＝6，b ＝63，A ＝30°，则c ＝________．解析：由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得c 2－18c ＋72＝0，从而c ＝6或12. 答案：6或12 3．(2012·高考湖北卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，则角C ＝________．解析：由(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，得a 2＋b 2－c 2＝－ab ，则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12.又因为角C 为△ABC 的内角，所以C ＝2π3.答案：2π34．已知三角形三边的比为2∶3∶4，则三角形的形状为________三角形．解析：由题设，记a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝4k (k >0)，则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－312＝－14<0.答案：钝角5．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶3，则cos C 的值为________．解析：由正弦定理得a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶3，设a ＝3x ，b ＝2x ，c ＝3x ，则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝9x 2＋4x 2－9x 22×3x ×2x ＝13.答案：136．(2014·铜陵高一检测)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos 2A 2＝b ＋c2c，则△ABC 是________三角形．解析：在△ABC 中，∵cos 2A 2＝b ＋c 2c，∴1＋cos A 2＝b 2c ＋12，∴cos A ＝b c，∴由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc，∴b 2＋c 2－a 22bc ＝b c，∴b 2＋c 2－a 2＝2b 2.即a 2＋b 2＝c 2.则△ABC 是直角三角形．答案：直角7．已知向量a 和b 的模分别为2和3，且|a －b |＝19，则a ，b 的夹角为________．解析：a ，b ，a －b 可构成三角形，由余弦定理，得cos 〈a ，b 〉＝4＋9－192×2×3＝－12.∴〈a ，b 〉＝23π.答案：23π二、解答题8．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且tan C ＝37. (1)求cos C ；(2)若CB →·CA →＝52，且a ＋b ＝9，求c .解：(1)∵tan C ＝37，∴sin Ccos C＝37.又∵sin 2C ＋cos 2C ＝1，解得cos C ＝±18.∵tan C >0，∴C 是锐角．∴cos C ＝18.(2)∵CB →·CA →＝52，∴ab ·cos C ＝52.∴ab ＝20.又∵a ＋b ＝9，∴a 2＋2ab ＋b 2＝81.∴a 2＋b 2＝41.∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝36.∴c ＝6.9．如图，某货轮在A 处看灯塔B 在货轮的北偏东75°，距离为126n mile ，在A 处看灯塔C 在货轮的北偏西30°，距离为83n mile ，货轮由A 处向正北航行到D 处，再看灯塔B 在货轮的南偏东60°.求：(1)A 处与D 处的距离； (2)灯塔C 与D 处的距离．解：(1)在△ABD 中，AB ＝126，∠ADB ＝60°，∠B ＝45°，由正弦定理得AD ＝AB sin Bsin ∠ADB ＝126×2232＝24(海里)，所以A 处与D 处的距离为24海里．(2)在△ACD 中，AC ＝83，AD ＝24，∠CAD ＝30°，由余弦定理得CD 2＝AD 2＋AC 2－2·AD ·AC cos 30°＝242＋(83)2－2×24×83×32＝192，所以CD ＝83(海里)．所以灯塔C 与D 处的距离为83海里．[高考水平训练]一、填空题1．△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，当a 2＋c 2≥b 2＋ac 时，角B 的取值范围为________．解析：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ≥12，又B ∈(0，π)，故B ∈(0，π3]．答案：(0，π3]2．在△ABC 中，若a cos 2C 2＋c cos 2A 2＝32b ，那么a ，b ，c 的关系是________．解析：cos 2C 2＝1＋cos C 2，cos 2A 2＝1＋cos A2，代入已知等式得：a ＋c ＋a cos C ＋c cos A ＝3b ，∴a ＋c ＋a ·b 2＋a 2－c 22ab ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc＝3b ，整理得a ＋c ＝2b . 答案：a ＋c ＝2b 二、解答题3．在△ABC 中，已知A >B >C ，且A ＝2C ，b ＝4，a ＋c ＝8，求a ，c 的长．解：由正弦定理a sin A ＝c sin C 及A ＝2C ，得cos C ＝a 2c ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2－c 2＋168a.从而有a 2－c 2＋168a ＝a 2c，∴4a 2＝a 2c －c 3＋16c ，整理得a 2(c －4)＝c (c 2－16)．∵B >C ，∴b >c .∴c ≠4，∴a 2＝c (c ＋4)．又a ＋c ＝8，∴a ＝245，c ＝165.4．在△ABC 中，若已知三边的长为连续正整数，最大的角为钝角． (1)求最大的角的余弦值；(2)求以此最大的角为内角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积．解：(1)设这三个数为n ，n ＋1，n ＋2，最大的角为θ，则cos θ＝n 2＋（n ＋1）2－（n ＋2）22·n ·（n ＋1）<0，化简得n 2－2n －3<0⇒－1<n <3. ∵n ∈N *且n ＋(n ＋1)>n ＋2， ∴n ＝2.∴cos θ＝4＋9－162×2×3＝－14.(2)设此平行四边形的一边长为a ，则夹θ角的另一边长为4－a ，平行四边形的面积为S＝a (4－a )·sin θ＝154(4a －a 2)＝154[－(a －2)2＋4]≤15.当且仅当a ＝2时，S max ＝15.[学业水平训练]一、填空题1．已知△ABC 的面积为14(a 2＋b 2－c 2)，其中边a ，b ，c 为角A ，B ，C 所对的边，则C＝________．解析：S ＝14(a 2＋b 2－c 2)＝12ab cos C ，又S ＝12ab sin C ，所以sin C ＝cos C ，而C ∈(0，π)，故C ＝π4.答案：π42．在△ABC 中，若a 2＝bc ，则角A 是________．(填“锐角”、“直角”或“钝角”)解析：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－bc 2bc ＝（b －c ）2＋bc2bc>0.答案：锐角3．在△ABC 中，已知A ＝30°，且3a ＝3b ＝12，则c ＝________．解析：a ＝4，b ＝43，cos A ＝48＋c 2－162×43c＝32，解得c ＝4或c ＝8. 答案：4或84．在△ABC 中，已知c ＝2a cos B ，则△ABC 是________三角形．解析：由余弦定理及已知条件知a 2＋c 2－b 22ac ＝cos B ＝c2a，∴a 2＋c 2－b 2＝c 2，即a 2＝b 2，亦即a ＝b . 答案：等腰5．在△ABC 中，若A ＝2B ，且2a ＝3b ，则sin B ＝________．解析：由正弦定理得2sin A ＝3sin B ，又∵A ＝2B ，∴2sin 2B ＝3sin B ，∴cos B ＝34，∴sin B ＝74.答案：746．在△ABC 中，若a ＝5，b ＝3，C ＝120°，则sin A 的值为________．解析：由余弦定理，求得c ＝7，再由正弦定理sin A ＝a sin C c ，可得sin A ＝5314.答案：53147．已知锐角三角形的三边长分别为2，3，x ，则x 的取值范围为________．解析：若x 为最大的边，则4＋9－x 2>0，解得x 2<13；若3为最大的边，则4＋x 2－9>0，解得x 2>5，故5<x <13，即x 的取值范围是(5，13)．答案：(5，13) 二、解答题8．在△ABC 中，若(a －c ·cos B )·sin B ＝(b －c ·cos A )·sin A ，判断△ABC 的形状．解：法一：由正弦定理及余弦定理，知原等式可化为：⎝⎛⎭⎫a －c ·a 2＋c 2－b 22ac ·b ＝⎝⎛⎭⎫b －c ·b 2＋c 2－a 22bc ·a ，整理，得(a 2－b 2)(a 2＋b 2＋c 2)＝0. ∴a 2＋b 2－c 2＝0或a 2＝b 2，故△ABC 为等腰三角形或直角三角形．法二：由正弦定理，原等式可化为 (sin A －sin C cos B )·sin B ＝(sin B －sin C ·cos A )·sin A ， ∴sin B cos B ＝sin A cos A ，∴sin 2B ＝sin 2A ， ∴2B ＝2A 或2B ＋2A ＝π.即A ＝B 或A ＋B ＝π2.故△ABC 为等腰三角形或直角三角形．9．在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c .设a ，b ，c 满足b 2＋c 2－bc ＝a 2和c b ＝12＋3，求A 和tan B 的值．解：由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴A ＝60°.在△ABC 中，C ＝180°－A －B ＝120°－B ，由正弦定理得12＋3＝c b ＝sin C sin B ＝sin （120°－B ）sin B＝sin 120°cos B －cos 120°sin B sin B＝32tan B ＋12，∴tan B ＝12. [高考水平训练]一、填空题1．在△ABC 中，若a ＝6，b ＝4，A ＝30°，则满足条件的三角形有________个．解析：如图，b sin A ＝4×12＝2<a ，且a <b .再由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，解得c 有两个值．答案：22．在△ABC 中，若A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则asin A的值为________．解析：S ＝12bc sin A ＝12×1×c ×32＝3，解出c ＝4.a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝13， a sin A ＝1332＝2393. 答案：2393二、解答题3．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 的对边，已知2sin A ＝3cos A . (1)若a 2－c 2＝b 2－mbc ，求实数m 的值． (2)若a ＝3，求△ABC 面积的最大值．解：(1)由2sin A ＝3cos A 两边平方得： 2sin 2 A ＝3cos A ，即2cos 2 A ＋3cos A －2＝0，解得cos A ＝12或－2(舍)，∵a 2－c 2＝b 2－mbc ， ∴m 2＝b 2＋c 2－a 22bc，由余弦定理的推论得 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc，∴m 2＝12，∴m ＝1， (2)∵cos A ＝12，∴sin A ＝32，S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc .又∵a 2＝b 2＋c 2－bc ，∴3＝b 2＋c 2－bc ＝(b －c )2＋bc ≥bc ，∴S △ABC ＝34bc ≤334，故△ABC 面积的最大值为334.4．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且tan B tan C －3(tan B ＋tan C )＝1.(1)求角A 的大小； (2)现给出三个条件： ①a ＝1；②b ＝2sin B ；③2c －(3＋1)b ＝0.试从中选择两个条件求△ABC 的面积．解：(1)由tan B tan C －3(tan B ＋tan C )＝1，得tan B ＋tan C 1－tan B tan C＝－33.所以tan(B＋C)＝－3 3.则tan A＝－tan(B＋C)＝33，所以A＝π6.(2)方案一：选择①③.∵A＝30°，a＝1，2c－(3＋1)b＝0，所以c＝3＋12b，则根据余弦定理，得12＝b2＋(3＋12b)2－2b·3＋12b·32，解得b＝2，则c＝6＋2 2.∴S△ABC＝12bc sin A＝12×2×6＋22×12＝3＋14.方案二：选择②③.可转化为选择①③解决，类似也可．(注：选择①②不能确定三角形)[学业水平训练]一、填空题1．有一山坡，倾斜角为30°，若某人在斜坡的平面上沿着一条与斜坡底线成30°角的小路前进一段路后，升高了100米，则此人行走的路程为________米．解析：如图，h＝BC sin 30°＝(AB sin 30°)·sin 30°＝100，∴AB＝400.答案：4002．有一两岸平行的河流，水速为1 m/s，小船速度为2m/s，为使所走路程最短，小船应朝与水速成________方向行驶．解析：如图小船从A处过河，则设小船行驶的方向与岸成α，则因为水速为1 m/s，小船的速度为 2 m/s，则α＝45°，小船的方向与水速成180°－45°＝135°.答案：135°3．在某塔塔底所在水平面上一点测得塔顶的仰角为θ，由此点向塔基沿直线行走30 3 m后，测得塔顶的仰角为2θ，再沿直线向塔基行进30 m后，又测得塔顶仰角为4θ，则塔高________m.解析：如图，BC ＝CP ＝30，BP ＝AB ＝303，由余弦定理可得∠BCP ＝120°. ∴∠PCD ＝60°. ∴PD ＝15 3. 答案：15 34．一船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60°，行驶4 h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔的距离为________km.解析：如图，由已知AC ＝60 km ， B ＝45°，∠BAC ＝30°， ∴由正弦定理得： BC sin 30°＝60sin 45°，∴BC ＝30 2 km. 答案：30 25．测定河的宽度，在一岸边选定两点A 、B ，使AB ＝120 m ，从A ，B 望对岸标记物C ，测得∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°，则河宽为________m.解析：∵∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°，∴∠ACB ＝180°－∠CAB －∠CBA ＝180°－30°－75°＝75°.∴AC ＝AB ＝120 m.∴河宽CD ＝12AC ＝60 m.答案：60 6．(2014·徐州调研)某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为106米(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上．若国歌长度约为50秒，升旗手应以________(米/秒)的速度匀速升旗．解析：在△BCD 中，∠BDC ＝45°，∠CBD ＝30°，CD ＝106(米)．由正弦定理，得BC ＝CD sin 45°sin 30°＝203(米)．在Rt △ABC 中，AB ＝BC sin 60°＝203×32＝30(米)．所以升旗速度v ＝AB t ＝3050＝0.6(米/秒)．答案：0.67. CD 是京九铁路线上的一条穿山隧道，开凿前，在CD 所在水平面上的山体外取点A ，B ，并测得四边形ABCD 中，∠ABC ＝π3，∠BAD ＝23π，AB ＝BC ＝400米，AD ＝250米，则应开凿的隧道CD 的长为________米．解析：在△ABC 中，AB ＝BC ＝400米，∠ABC ＝π3，∴AC ＝AB ＝400米，∠BAC ＝π3.∴∠CAD ＝∠BAD －∠BAC ＝2π3－π3＝π3.∴在△CAD 中，由余弦定理，得 CD 2＝AC 2＋AD 2－2AC ·AD ·cos ∠CAD＝4002＋2502－2·400·250·cos π3＝122 500.∴CD ＝350米．答案：350 二、解答题8. 如图，海中有一小岛B ，周围3.8海里内有暗礁．一军舰从A 地出发由西向东航行，望见小岛B 在北偏东75°，航行8海里到达C 处，望见小岛B 在北偏东60°.若此舰不改变航行的方向继续前进，问此舰有没有触礁的危险？解：过点B 作BD ⊥AE 交AE 于D ，由已知，AC ＝8，∠ABD ＝75°，∠CBD ＝60°，在Rt △ABD 中， AD ＝BD ·tan ∠ABD ＝BD ·tan 75°，在Rt △CBD 中， CD ＝BD ·tan ∠CBD ＝BD ·tan 60°，AD －CD ＝BD (tan 75°－tan 60°)＝AC ＝8，BD ＝8tan 75°－tan 60°＝4＞3.8.因此该军舰没有触礁的危险．9. 一艘海轮从A 处出发，沿北偏东75°的方向航行67.5 n mile 后到达海岛B ，然后从B 出发，沿北偏东32°的方向航行54.0 n mile 后到达海岛C .如果下次航行从A 出发直接到达C ，那么此船应该沿怎样的方向航行，需航行多少距离？(角度精确到0.1°，距离精确到0.01 n mile ，cos 137°≈0.731 4，sin 19°≈0.325 5)解：在△ABC 中，∠ABC ＝180°－75°＋32°＝137°. AC ＝AB 2＋BC 2－2×AB ×BC ×cos ∠ABC＝67.52＋542－2×67.5×54×cos 137°≈113.15.sin ∠CAB ＝BC ·sin ∠ABC AC ＝54sin 137°113.15≈0.325 5.∴∠CAB ＝19.0°，75°－∠CAB ＝56.0°.∴此船应沿北偏东56.0°方向航行，需航行113.15 n mile.[高考水平训练]一、填空题1．在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若b a ＋a b ＝6cos C ，则tan C tan A ＋tan Ctan B的值是________．解析：由b a ＋ab＝6cos C ，得b 2＋a 2＝6ab cos C .化简整理得2(a 2＋b 2)＝3c 2，将tan C tan A ＋tan Ctan B切化弦，得sin C cos C ·(cos A sin A ＋cos B sin B )＝sin C cos C ·sin （A ＋B ）sin A sin B ＝sin C cos C ·sin C sin A sin B ＝sin 2C cos C sin A sin B. 根据正、余弦定理得sin 2C cos C sin A sin B ＝c 2ab ·a 2＋b 2－c 22ab＝2c 2a 2＋b 2－c 2＝2c 232c 2－c 2＝4. 答案：42．一梯形的两腰长分别为4和6，它的一个底角为60°，则它的另一个底角的余弦值为________．解析：如图，在梯形ABCD 中，(其中AD ∥BC )，设AB ＝4，DC ＝6.若∠ABC ＝60°，作AE ∥DC ，则∠DCB ＝∠AEB <60°.在△ABE 中，由正弦定理可得sin ∠AEB 4＝sin 60°6，则sin ∠AEB ＝33，因为∠AEB ＝∠DCB <60°，所以cos ∠AEB ＝63. 若∠AEB ＝60°，则∠ABC >60°，作AE ∥DC ，在△ABE 中，由余弦定理得BE 2＋AE 2－AB 22·BE ·AE＝12，即BE 2＋20＝6·BE ，方程无解．综上，另一底角的余弦值为63. 答案：63二、解答题3．如图，地面上有一旗杆OP ，为了测得它的高度，在地面上选一基线AB ，测得AB ＝20 m ，在A 处测得点P 的仰角为30°，在B 处测得点P 的仰角为45°，同时可测得∠AOB ＝60°，求旗杆的高度．解：设旗杆的高度为h ，由题意，知∠OAP ＝30°，∠OBP ＝45°.在Rt △AOP 中，OA ＝OPtan 30°＝3h .在Rt △BOP 中，OB ＝OPtan 45°＝h .在△AOB 中，由余弦定理，得AB 2＝OA 2＋OB 2－2OA ·OB cos 60°，即202＝(3h )2＋h 2－23h ×h ×12.∴h 2＝4004－3≈176.4，∴h ≈13.3(m)．∴旗杆的高度约为13.3 m .4. 如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC .小区的两个出入口设置在点A 及点C 处，小区里有两条笔直的小路AD ，DC ，且拐弯处的转角为120°.已知某人从C 沿CD 走到D 用了10 min ，从D 沿DA 走到A 用了6 min.若此人步行的速度为每分钟50 m ，求该扇形的半径OA 的长．(精确到1 m)解：法一：设扇形的半径为r m.由题意，得CD ＝500(m)，DA ＝300(m)，∠CDO ＝60°. 在△CDO 中，应用余弦定理有 CD 2＋OD 2－2CD ·OD cos 60°＝OC 2，即5002＋(r －300)2－2×500(r －300)×12＝r 2，解得r ＝4 90011≈445(m)．法二：连结AC ，作OH ⊥AC ，交AC 于点H .由题意，得CD ＝500(m)， AD ＝300(m)，∠CDA ＝120°. 在△ACD 中，应用余弦定理有 AC 2＝CD 2＋AD 2－2CD ·AD cos 120°＝5002＋3002＋2×500×300×12＝7002，∴AC ＝700(m)．∴cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD ＝1114.在Rt △AOH 中，AH ＝350(m)，cos ∠HAO ＝1114.∴OA ＝AH cos ∠HAO ＝4 90011≈445(m)．[学业水平训练]一、填空题1．已知等差数列a 1，a 2，a 3，…，a n 的公差为d ，则ca 1，ca 2，ca 3，…，ca n (c 为常数，且c ≠0)是公差为__________的等差数列．解析：ca n －ca n －1＝c (a n －a n －1)＝cd . 答案：cd 2．(2014·镇江质检)下列数列： ①0，0，0，0； ②0，1，2，3，4； ③1，3，5，7，9； ④0，1，2，3，….其中一定是等差数列的有________个．解析：①②③是等差数列，④只能说明前4项成等差数列．答案：33．在△ABC 中，三内角A 、B 、C 成等差数列，则B 等于______．解析：∵三内角A 、B 、C 成等差数列， ∴2B ＝A ＋C ，又∵A ＋B ＋C ＝180°， ∴3B ＝180°，∴B ＝60°. 答案：60°4．已知等差数列{a n }中，a 2＝2，a 4＝－2，则它的公差为________．解析：a 4－a 2＝2d ＝(－2)－2＝－4， ∴d ＝－2. 答案：－25．在等差数列{a n }中，已知a 1＝3，a 5＝11，则a 3＝________．解析：由等差中项可知a 3＝a 1＋a 52＝142＝7.答案：76．若x ≠y ，两个数列：x ，a 1，a 2，a 3，y 和x ，b 1，b 2，b 3，b 4，y 都是等差数列，则a 2－a 1b 3－b 2＝________．解析：设两个等差数列的公差分别为d 1，d 2，∴a 2－a 1＝d 1，y －x ＝4d 1，∴a 2－a 1＝14(y －x )，同理b 3－b 2＝15(y －x )，∴a 2－a 1b 3－b 2＝14（y －x ）15（y －x ）＝54.答案：547．设x 是a 与b 的等差中项，且x 2是a 2与－b 2的等差中项，则a 、b 之间的关系是__________________．解析：由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2xa 2－b 2＝2x 2，消去x 即可得：a ＝－b 或a ＝3b . 答案：a ＝－b 或a ＝3b 二、解答题8．已知数列{a n }满足：a n ＝2a n －12＋a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{1a n }是不是等差数列？说明理由．解：由题意可得，1a n ＝2＋a n －12a n －1＝1a n －1＋12(n ≥2)，即1a n －1a n －1＝12(n ≥2)．根据等差数列的定义可知数列{1a n}是等差数列．9．若log 32，log 3(2x －1)，log 3(2x ＋11)成等差数列，则x 的值为多少？解：由log 32，log 3(2x －1)，log 3(2x ＋11)成等差数列，得2log 3(2x －1)＝log 32＋log 3(2x ＋11)． ∴(2x －1)2＝2·(2x ＋11)，化简，得(2x )2－4·2x －21＝0.解得2x ＝7或2x ＝－3(舍去)，故x ＝log 27.[高考水平训练]一、填空题1．若△ABC 的三边a ，b ，c 成等差数列，并且a 2，b 2，c 2也成等差数列，则a ，b ，c 的大小关系是________．解析：由已知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝2ba 2＋c 2＝2b 2，消去b ，知(a －c )2＝0， ∴a ＝c ，从而2a ＝2b ， ∴a ＝b ，即a ＝b ＝c . 答案：a ＝b ＝c 2．(2014·盐城高二检测)已知a ，b ，c 成等差数列，那么二次函数y ＝ax 2＋2bx ＋c 的图象与x 轴的交点有________个．解析：由已知2b ＝a ＋c ，而ax 2＋2bx ＋c ＝0的判别式为 Δ＝(2b )2－4ac ＝4(b 2－ac )＝4[（a ＋c ）24－ac ]＝(a －c )2≥0，∴y ＝ax 2＋2bx ＋c 的图象与x 轴的交点有1个或2个．答案：1或2二、解答题3．若三个数a －4，a ＋2，26－2a 适当排列后构成递增等差数列，求a 的值和相应的数列．解：显然a －4＜a ＋2，①若a －4，a ＋2，26－2a 成等差数列，则(a －4)＋(26－2a )＝2(a ＋2)∴a ＝6，相应的等差数列为：2，8，14. ②若a －4，26－2a ，a ＋2成等差数列，则(a －4)＋(a ＋2)＝2(26－2a )∴a ＝9，相应的等差数列为：5，8，11. ③若26－2a ，a －4，a ＋2成等差数列，则(26－2a )＋(a ＋2)＝2(a －4)，∴a ＝12，相应的等差数列为：2，8，14.4．已知数列{a n }成等差数列(a k 与公差d 均不为零)． (1)求证：方程a k x 2＋2a k ＋1x ＋a k ＋2＝0有一公共根；(2)若上述方程的另一根为x k ，求证：{11＋x k}为等差数列．证明：(1)∵{a n }是等差数列，故2a k ＋1＝a k ＋a k ＋2. 即a k (－1)2＋2a k ＋1(－1)＋a k ＋2＝0.∴x ＝－1是方程a k x 2＋2a k ＋1x ＋a k ＋2＝0的一个公共根．(2)由根与系数的关系，得(－1)x k ＝a k ＋2a k ＝a k ＋2da k.∴x k ＝－1－2d a k .∴1＋x k ＝－2da k .又d ≠0，∴11＋x k＝－a k2d .∴11＋x k ＋1－11＋x k＝－a k ＋12d －(－a k2d )＝－a k ＋1－a k 2d＝－d 2d ＝－12.∴{11＋x k}是等差数列．[学业水平训练]一、填空题1．已知数列{a n }为等差数列，a 3，a 9是方程x 2－4x ＋2＝0的两个根，则a 6＝________．解析：∵2a 6＝a 3＋a 9＝4，∴a 6＝2. 答案：22．已知等差数列的前三项为a －1，a ＋1，2a ＋3，则这个数列的通项公式是________．解析：由题意得a ＋1－(a －1)＝2a ＋3－(a ＋1)，得a ＝0， ∴数列是首项为－1，公差为2的等差数列， ∴a n ＝－1＋(n －1)·2＝2n －3. 答案：a n ＝2n －33．数列{a n }中，a 1＝2，2a n ＋1－2a n ＝1，n ∈N *，则a 101＝________. 解析：根据题意，得2a n ＋1－2a n ＝1，2a 1＝4. ∴{2a n }是首项为4，公差为1的等差数列，∴2a 101＝4＋(101－1)＝104，∴a 101＝52.答案：52 4．(2014·南京高二检测)在等差数列{a n }中，若a 1＋a 4＋a 7＝39，a 2＋a 5＋a 8＝33，则a 3＋a 6＋a 9的值为________．解析：法一：因为a 1，a 4，a 7成等差数列，所以a 1＋a 7＝2a 4，得a 4＝13.同理a 2＋a 8＝2a 5，得a 5＝11，从而a 6＝a 5＋(a 5－a 4)＝9，故a 3＋a 6＋a 9＝3a 6＝27. 法二：由{a n }为等差数列可知，三个数a 1＋a 4＋a 7，a 2＋a 5＋a 8，a 3＋a 6＋a 9也成等差数列，且公差d ＝33－39＝－6，因而a 3＋a 6＋a 9＝33＋(－6)＝27.答案：275．数列{a n }中，首项a 1＝3，且有2(a n ＋1－a n )＝a n ＋1·a n ，则数列{a n }的通项公式是________．解析：递推关系式2(a n ＋1－a n )＝a n ＋1·a n ，两边同时除以a n ＋1·a n ，可得2（a n ＋1－a n ）a n ＋1·a n＝1，即1a n ＋1－1a n ＝－12.若令b n ＝1a n ，显然数列{b n }是以－12为公差的等差数列且首项b 1＝1a 1＝13.所以b n ＝13＋(n －1)·⎝⎛⎭⎫－12＝－12n ＋56＝5－3n 6. 所以a n ＝1b n ＝65－3n.答案：a n ＝65－3n6．设首项为－20的数列{a n }为等差数列，且恰从第8项开始为正数，则公差d 的取值范围是________．解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 7＝a 1＋（7－1）d ＝－20＋6d ≤0，a 8＝a 1＋（8－1）d ＝－20＋7d >0，解得⎩⎨⎧d ≤103，d >207.从而d 的取值范围是(207，103]．答案：(207，103]7．如果f (n ＋1)＝2f （n ）＋12(n ＝1，2，3，…)且f (1)＝2，则f (2 014)等于________．解析：∵f (n ＋1)＝2f （n ）＋12＝f (n )＋12，∴f (n ＋1)－f (n )＝12，即数列{f (n )}是首项为2，公差为12的等差数列．所以通项公式为：f (n )＝2＋(n －1)×12＝12n ＋32，∴f (2 014)＝12×2 014＋32＝1 008.5.答案：1 008.5 二、解答题8．设等差数列{a n }中，a n >0，a n －1－a 2n ＋a n ＋1＝0(n ≥2)，求通项a n . 解：法一：∵{a n }为等差数列，∴a n ＝a n －1＋a n ＋12(n ≥2)，则a n －1－（a n －1＋a n ＋1）24＋a n ＋1＝0⇒4(a n －1＋a n ＋1)＝(a n －1＋a n ＋1)2，又a n －1＋a n ＋1>0，所以a n －1＋a n ＋1＝4. 又a n －1＋a n ＋1＝2a n ，∴a n ＝2. 法二：∵{a n }为等差数列， ∴2a n ＝a n －1＋a n ＋1. 根据题意，得2a n －a 2n ＝0. ∵a n >0，∴a n ＝2.法三：设a n ＝pn ＋q (p ，q 均为常数)．代入a n －1－a 2n ＋a n ＋1＝0化简，得p 2n 2＋(2pq －2p )n ＋q 2－2q ＝0，因为此式对一切n 均成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧p 2＝0，2pq －2p ＝0，q 2－2q ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧p ＝0，q ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝0，q ＝2. 所以a n ＝0或a n ＝2，因为a n >0，所以a n ＝2.9．某公司经销一种数码产品，第一年可获利200万元．从第二年起，由于市场竞争等方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元．按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？解：设从第一年起，第n 年的利润为a n 万元，则a 1＝200，a n －a n －1＝－20，n ≥2，n ∈N *.所以每年的利润a n 可构成一个等差数列{a n }，且公差d ＝－20.从而a n ＝a 1＋(n －1)d ＝220－20n .若a n <0，则该公司经销这一产品将亏损，所以由a n ＝220－20n <0，得n >11，即从第12年起，该公司经销此产品将亏损．[高考水平训练]一、填空题1．已知{a n }是一个公差大于0的等差数列，且满足a 3a 6＝55，a 2＋a 7＝16，则a 2 014＝________．解析：设等差数列{a n }的公差为d ，则d ＞0，由a 2＋a 7＝16，得2a 1＋7d ＝16，①由a 3a 6＝55，得(a 1＋2d )(a 1＋5d )＝55，②由①②得(16－3d )(16＋3d )＝220，即256－9d 2＝220. ∴d 2＝4，又d ＞0，∴d ＝2，代入①得a 1＝1. ∴a n ＝1＋(n －1)·2＝2n －1.所以a 2 014＝4 027. 答案：4 0272．如果有穷数列a 1，a 2，…，a m (m 为正整数)满足条件：a 1＝a m ，a 2＝a m －1，…，a m ＝a 1，则称其为“对称”数列．例如数列1，2，5，2，1与数列8，4，2，4，8都是“对称”数列．已知在21项的“对称”数列{c n }中c 11，c 12，…，c 21是以1为首项，2为公差的等差数列，则c 2＝________．解析：因为c 11，c 12，…，c 21是以1为首项，2为公差的等差数列，所以c 20＝c 11＋9d ＝1＋9×2＝19，又{c n }为21项的对称数列，所以c 2＝c 20＝19. 答案：19 二、解答题3．已知数列{a n }满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，且a 1＝2，a 3＝10.若b n ＝12a n －30，求：(1)数列{b n }的通项公式； (2)|b n |的最小值．解：(1)由题意，知a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＝a n －a n －1＝…＝a 2－a 1，故数列{a n }为等差数列．又a 1＝2，a 3＝10，所以公差d ＝a 3－a 13－1＝4，所以a n ＝4n －2，从而b n ＝12a n －30＝2n －31.(2)由2n －31≥0，解得n ≥312.又n ∈N *，所以当1≤n ≤15时，b n <0；当n ≥16时，b n >0.又数列{b n }为递增数列，从而b 15是前15项中绝对值最小的，b 16是15项之后绝对值最小的．而|b 15|＝1，|b 16|＝1，所以|b n |的最小值为1.4．已知{a n }是等差数列且a 1＝2，a 2＝3，若在每相邻两项之间插入三个数，使它和原数列构成一个新的等差数列．求：(1)原数列中的第12项是新数列中的第几项？(2)新数列中的第29项是不是原数列中的项？为什么？解：(1)记新的等差数列为{b n }，设其公差为d .则d ＝3－24＝14，∴数列{b n }的通项公式为b n ＝2＋14(n －1)，又原数列第12项为13.令2＋(n －1)·14＝13，解得n ＝45.∴原数列的第12项为新数列的第45项．(2)是．理由：∵b 29＝2＋28×14＝9，令2＋(n －1)＝9，∴n ＝8.∴新数列的第29项是原数列的第8项．[学业水平训练]一、填空题1．下列说法中正确的有________(填序号)．①一个数列每一项与它的前一项的比都等于常数，这个数列就叫等比数列；②一个数列每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，这个数列就叫等比数列； ③一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于常数，这个数列就叫等比数列； ④一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，这个数列就叫等比数列．解析：由等比数列的定义知④正确．答案：④2．4＋3与4－3的等比中项是________．解析：设它们的等比中项为A ，则A 2＝(4＋3)·(4－3)＝13，∴A ＝±13. 答案：±133．若一个数列既是等差数列，又是等比数列，则该数列是________．答案：非零的常数数列 4．(2014·南京调研)下列数列中，一定是等比数列的个数是________．①－1，－2，－4，－8；②1，－3，3，－33；③3，3，3，3；④b ，b ，b ，b .解析：①②③为等比数列，④只有b ≠0时，方为等比数列，故一定是等比数列的个数有3个．答案：3 5．已知2a ＝3，2b ＝6，2c ＝12，则a ，b ，c __________等差数列，________等比数列．(填“成”或“不成”)解析：a ＝log 23，b ＝log 26，c ＝log 212， ∵2log 26＝log 236＝log 23＋log 212， ∴2b ＝a ＋c ，∴a ，b ，c 成等差数列．但(log 26)2≠log 23·log 212， ∴a ，b ，c 不成等比数列．答案：成不成6．如果a ，b ，c 成等比数列，那么函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交点的个数是________．解析：∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac ， ∴b 2－4ac ＝－3ac <0，∴f (x )的图象与x 轴没有交点．答案：07．若－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，则b ＝________，ac ＝________．解析：由等比中项得b 2＝9，且b 与奇数项的符号相同，故b ＝－3.又－1，a ，b 成等比数列， ∴a 2＝－1×b ＝3，同理c 2＝27， ∴a 2c 2＝3×27＝81，又a ，c 符号相同，∴ac ＝9. 答案：－3 9 二、解答题8．判断下列数列是否为等比数列．(1)1，3，32，33，…，3n －1，…； (2)－1，1，2，4，8，…； (3)a ，a 2，a 3，…，a n ，….解：(1)记数列为{a n }，∵a 1＝1，a 2＝3，…，a n ＝3n －1，∴a n a n －1＝3n －13n －2＝3(n ≥2，n ∈N *)， ∴数列为公比q ＝3的等比数列．(2)记数列为{a n }，且a 1＝－1，a 2＝1，a 3＝2，…. ∵a 2a 1＝－1≠a 3a 2＝2，∴数列不是等比数列． (3)当a ＝0时，数列为0，0，0，…，是常数列，不是等比数列；当a ≠0时，数列为a ，a 2，a 3，a 4，…，a n ，…，显然此数列为等比数列且公比为a .9．已知三个数成等比数列，其和为26，其平方和为1 092，求这三个数．解：设这三个数为aq，a ，aq ，由已知可得⎩⎨⎧aq＋a ＋aq ＝26，（a q）2＋a 2＋（aq ）2＝1 092，所以⎩⎨⎧a （1q＋1＋q ）＝26，a 2（1q2＋1＋q 2）＝1 092.由(q ＋1q )2＝q 2＋1q 2＋2，得(26a －1)2＝1 092a2＋1，解得a ＝－8，q ＝－4或－14.所以这三个数为2，－8，32或32，－8，2.[高考水平训练]一、填空题 1．(2014·宿州调研)数列{a n }是等差数列，公差d ≠0，且a 2 046＋a 1 978－a 22 012＝0，{b n }是等比数列，且b 2 012＝a 2 012，则b 2 010·b 2 014＝________．解析：∵a 2 046＋a 1 978＝a 22 012， ∴2a 2 012－a 22 012＝0， ∴a 2 012＝0或2，∵{b n }是等比数列，b 2 012＝a 2 012，∴b 2 012＝2， ∴b 2 010·b 2 014＝b 22 012＝4. 答案：42．等差数列{a n }的公差不为零，首项a 1＝1，a 2是a 1和a 5的等比中项，则数列{a n }的前10项之和是________．解析：∵a 22＝a 1·a 5，∴(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋4d )． ∴d 2＝2a 1d ，而d ≠0，∴d ＝2a 1＝2.∴S 10＝10×1＋10×92×2＝100.答案：100 二、解答题3．三个互不相等的实数成等差数列，如果适当排列这三个数，又可成等比数列，且这三个数的和为6，求这三个数．解：由已知，设这三个数为a －d ，a ，a ＋d ，由a －d ＋a ＋a ＋d ＝6得a ＝2，故这三个数为2－d ，2，2＋d .若2－d 为等比中项，则有(2－d )2＝2(2＋d )，解得d ＝6或d ＝0(舍去)，此时三个数为－4，2，8；若2＋d 为等比中项，则有(2＋d )2＝2(2－d )，解得d ＝－6或d ＝0(舍去)，此时三个数为8，2，－4；若2为等比中项，则22＝(2＋d )(2－d )，∴d ＝0(舍去)．综上可知，这三个数为－4，2，8.4．某厂生产微机，原计划第一季度每月增加台数相同，在生产过程中，实际上二月份比原计划多生产10台，三月份比原计划多生产25台，这样三个月产量成等比数列，而第3个月的产量比原计划第一季度总产量的一半少10台，问该厂第一季度实际生产微机多少台？解：根据已知，可设该厂第一季度原计划3个月生产微机台数分别为x －d ，x ，x ＋d (d >0)，则实际上3个月生产微机台数分别为x －d ，x ＋10，x ＋d ＋25.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋10）2＝（x －d ）（x ＋d ＋25）x ＋d ＋25＝3x2－10，解得x ＝90，d ＝10.故有(x －d )＋(x ＋10)＋(x ＋d ＋25) ＝3x ＋35＝3×90＋35＝305(台)，即该厂第一季度实际生产微机305台．[学业水平训练]一、填空题1．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，则{a n }的通项公式为________．解析：由等比数列的定义可知{a n }是等比数列，且q ＝2， ∴a n ＝2n . 答案：a n ＝2n2．在等比数列{a n }中，a 3＝2，a 6＝6，则a 9＝________．解析：易知a 3，a 6，a 9也成等比数列，所以a 26＝a 3a 9，解得a 9＝18. 答案：183．已知等比数列{a n }中，a 3＝3，a 10＝384，则该数列的通项a n ＝________．解析：∵a 3＝3，a 10＝384，设公比为q (q ≠0)， ∴a 10＝a 3·q 7，即384＝3·q 7，∴q ＝2，a 1＝34，即等比数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1·q n －1＝3·2n －3.答案：3·2n －34．在由正数组成的等比数列{a n }中，若a 4a 5a 6＝3，log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 8＋log 3a 9的值为________．解析：∵a 4a 6＝a 25，∴a 4a 5a 6＝a 35＝3，解得a 5＝313.∵a 1a 9＝a 2a 8＝a 25，∴log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 8＋log 3a 9＝log 3a 1a 2a 8a 9＝log 3a 45＝log 3343＝43. 答案：435．已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝________．解析：法一：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝a 1q 3＋a 1q 6＝2，a 5a 6＝a 1q 4×a 1q 5＝a 21q 9＝－8，∴⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－2，a 1＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－12，a 1＝－8，∴a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7.法二：由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝a 4a 7＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－2，a 7＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝4，a 7＝－2.∴⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－2，a 1＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－12，a 1＝－8，∴a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7. 答案：－76．等比数列{a n }是递增数列，若a 5－a 1＝60，a 4－a 2＝24，则公比q 为________．解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 4－a 1＝60 ①a 1q 3－a 1q ＝24 ②，①②得a 1（q 4－1）a 1q （q 2－1）＝52，即q 2＋1q ＝52，解得q ＝12或2，当q ＝2时代入①得a 1＝4，{a n }是递增数列；当q ＝12时，得a 1＝－64，{a n }也是递增数列．答案：2或127．已知等比数列{a n }中，有a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，则b 5＋b 9＝________．解析：由等比数列的性质得a 3a 11＝a 27，∴a 27＝4a 7.∵a 7≠0，∴a 7＝4，∴b 7＝a 7＝4.再由等差数列的性质知b 5＋b 9＝2b 7＝8.综上可知，q 为2或12.答案：8 二、解答题8．数列{a n }中a 2n ＋1＝4a n ，a 1＝1，a n >0，求其通项公式．解：∵a n >0，对a 2n ＋1＝4a n ，两边取对数，得2log 2a n ＋1＝log 2a n ＋2. 令b n ＝log 2a n ，则2b n ＋1＝b n ＋2，即2(b n ＋1－2)＝b n －2.令C n ＝b n －2，则C n ＋1＝12C n ，且a 1＝1，∴b 1＝0，C 1＝－2，∴{C n }为等比数列，∴C n ＝－2⎝⎛⎭⎫12n －1＝－⎝⎛⎭⎫12n －2.∴b n ＝2－⎝⎛⎭⎫12n －2，a n ＝22－(12)n －2.9．三个数成等比数列，若第二个数加4就成等差数列，再把这个等差数列的第3项加32又成等比数列，求这三个数．解：法一：按等比数列设三个数为：a ，aq ，aq 2，则a ，aq ＋4，aq 2成等差数列，即2(aq ＋4)＝a ＋aq 2.①又a ，aq ＋4，aq 2＋32成等比数列，即(aq ＋4)2＝a (aq 2＋32)⇒aq ＋2＝4a .②①②两式联立解得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2q ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝29q ＝－5，∴这三个数为：2，6，18或29，－109，509.法二：按等差数列设三个数为b －d ，b ，b ＋d ，则原数列为b －d ，b －4，b ＋d . 由已知：三个数成等比数列，即(b －4)2＝(b －d )(b ＋d )⇒8b －d 2＝16，① 又b －d ，b ，b ＋d ＋32成等比数列，即b 2＝(b －d )(b ＋d ＋32)⇒32b －d 2－32d ＝0.②①②两式联立，解得⎩⎨⎧b ＝269d ＝83或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝10d ＝8，∴这三个数为29，－109，509或2，6，18.[高考水平训练]一、填空题1．某轿车的售价为36万元，年折旧率约为10%(就是说这辆车每年减少它的价格的10%)，那么从购买当年算起，大约在购车后的第________年，价格是原来的一半．(其中97＝4.7×106，98＝4.3×107)。

学案导学高中数学(苏教版,必修五)课时作业与单元检测

第2章数列 §2.1 数列(一)课时目标 1.理解数列及其有关概念；2.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；3.对于比较简单的数列，会根据其前n 项写出它的通项公式．1．按照一定次序排列的一列数称为______，数列中的每个数叫做这个数列的____．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做____项)，排在第二位的数称为这个数列的第2项，…，排在第n 位的数称为这个数列的第____项． 2．数列的一般形式可以写成a 1，a 2，…，a n ，…，简记为______．3．如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的______公式．一、填空题1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1n (n ＋2)(n ∈N *)，那么1120是这个数列的第______项．2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋1(n 为正奇数)4n －1(n 为正偶数)，则它的前4项依次为_____．3．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－n －50，则－8是该数列的第________项．4.35，12，511，37，717，…一个通项公式是________． 5．数列0.3,0.33,0.333,0.333 3，…的一个通项公式是a n ＝__________.6．设a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n (n ∈N *)，那么a n ＋1－a n ＝________.7．用火柴棒按下图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数a n 与所搭三角形的个数n 之间的关系式可以是______________． 8．传说古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras ，约公元前570年—公元前500年)学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数．比如，他们将石子摆成如图所示的三角形状，就将其所对应石子个数称为三角形数，则第10个三角形数是______．9．由1,3,5，…，2n －1，…构成数列{a n }，数列{b n }满足b 1＝2，当n ≥2时，b n ＝ab n －1，则b 6＝________. 10．已知数列{a n }满足：a 4n －3＝1，a 4n －1＝0，a 2n ＝a n ，n ∈N *，则a 2 009＝________，a 2 014＝________.二、解答题11．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： (1)－1,7，－13,19，… (2)0.8,0.88,0.888，… (3)12，14，－58，1316，－2932，6164，… (4)32，1，710，917，… (5)0,1,0,1，…12．已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫9n 2－9n ＋29n 2－1； (1)求这个数列的第10项； (2)98101是不是该数列中的项，为什么？ (3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内；(4)在区间⎝⎛⎭⎫13，23内有、无数列中的项？若有，有几项？若没有，说明理由．能力提升13．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图中有多少个点．14．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2n －a n ＋1－1＝0，则此数列的前2 010项之和为______________．1．与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质：(1)确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的． (2)可重复性：数列中的数可以重复．(3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列次序也有关． 2．并非所有的数列都能写出它的通项公式．例如，π的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3,3.1,3.14,3.141，…，它没有通项公式．3．如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式．例如：数列－1,1，－1,1，－1,1，…的通项公式可写成a n ＝(－1)n ，也可以写成a n ＝(－1)n ＋2，还可以写成a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1 (n ＝2k －1)，1 (n ＝2k )，其中k ∈N *.第2章数列 §2.1 数列(一)答案知识梳理1．数列项首 n 2.{a n } 3.通项作业设计 1．10解析 ∵1n (n ＋2)＝1120，∴n(n ＋2)＝10×12，∴n ＝10.2．4,7,10,15 3．7解析 n 2－n －50＝－8，得n ＝7或n ＝－6(舍去)．4．a n ＝n ＋23n ＋25．13(1－110n ) 6．12n ＋1－12n ＋2解析 ∵a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ，∴a n ＋1＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋12n ＋1＋12n ＋2，∴a n ＋1－a n ＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2. 7．a n ＝2n ＋1解析 a 1＝3，a 2＝3＋2＝5，a 3＝3＋2＋2＝7，a 4＝3＋2＋2＋2＝9，…，∴a n ＝2n ＋1. 8．55解析三角形数依次为：1,3,6,10,15，…，第10个三角形数为：1＋2＋3＋4＋…＋10＝55. 9．33解析 ∵b n ＝ab n －1，∴b 2＝ab 1＝a 2＝3， b 3＝ab 2＝a 3＝5，b 4＝ab 3＝a 5＝9， b 5＝ab 4＝a 9＝17，b 6＝ab 5＝a 17＝33. 10．1 0解析 a 2 009＝a 4×503－3＝1，a 2 014＝a 1 007＝a 252×4－1＝0.11．解 (1)符号问题可通过(－1)n 或(－1)n ＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为a n ＝(－1)n (6n －5)(n ∈N *)．(2)数列变形为89(1－0.1)，89(1－0.01)，89(1－0.001)，…，∴a n ＝89⎝⎛⎭⎫1－110n (n ∈N *)． (3)各项的分母分别为21,22,23,24，…易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为－2－32，因此原数列可化为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…，∴a n ＝(－1)n·2n －32n (n ∈N *)．(4)将数列统一为32，55，710，917，…对于分子3,5,7,9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为b n ＝2n ＋1，对于分母2,5,10,17，…联想到数列1,4,9,16…即数列{n 2}，可得分母的通项公式为c n ＝n 2＋1，∴可得它的一个通项公式为a n ＝2n ＋1n 2＋1(n ∈N *)．(5)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0 (n 为奇数)1 (n 为偶数)或a n ＝1＋(－1)n 2(n ∈N *)或a n ＝1＋cos n π2(n ∈N *)．12．(1)解设f (n )＝9n 2－9n ＋29n 2－1＝(3n －1)(3n －2)(3n －1)(3n ＋1)＝3n －23n ＋1.令n ＝10，得第10项a 10＝f (10)＝2831.(2)解令3n －23n ＋1＝98101，得9n ＝300.此方程无正整数解，所以98101不是该数列中的项．(3)证明 ∵a n ＝3n －23n ＋1＝3n ＋1－33n ＋1＝1－33n ＋1，又n ∈N *，∴0<33n ＋1<1，∴0<a n <1.∴数列中的各项都在区间(0,1)内．(4)解令13<a n ＝3n －23n ＋1<23，则⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋1<9n －69n －6<6n ＋2，即⎩⎨⎧n >76n <83.∴76<n <83. 又∵n ∈N *，∴当且仅当n ＝2时，上式成立，故区间⎝⎛⎭⎫13，23上有数列中的项，且只有一项为a 2＝47. 13．解图(1)只有1个点，无分支；图(2)除中间1个点外，有两个分支，每个分支有1个点；图(3)除中间1个点外，有三个分支，每个分支有2个点；图(4)除中间1个点外，有四个分支，每个分支有3个点；…；猜测第n 个图中除中间一个点外，有n 个分支，每个分支有(n －1)个点，故第n 个图中点的个数为1＋n (n －1)＝n 2－n ＋1. 14．－1 003解析 ∵a n ＋1＝a 2n －1，a 1＝1，∴a 2＝0，a 3＝－1，a 4＝0，a 5＝－1，…， ∴n 为偶数时，a n ＝0；n 为奇数时，除a 1＝1外，a n ＝－1.∴S 2 010＝a 1＋[(a 2＋a 3)＋…＋(a 2 008＋a 2 009)]＋a 2 010＝1＋(－1)×1 004＋0＝－1 003.。

新高中数学(苏教版,必修五)同步练习：1.2__余弦定理(二)_课时作业(含答案解析)

§ 1.2 余弦定理 (二)课时目标 1.娴熟掌握正弦定理、余弦定理； 2.会用正、余弦定理解三角形的相关问题．1．正弦定理及其变形abc(1)sin A ＝ sin B ＝sin C ＝ ______.(2)a ＝ __________， b ＝__________ ， c ＝ __________.(3)sin A ＝ __________ ， sin B ＝ __________ ， sin C ＝ __________.(4)sin A ∶ sin B ∶ sin C ＝ ________.2．余弦定理及其推论2(1)a ＝ ________________.(2)cos A ＝ ________________.(3)在△ ABC 中， c 2＝ a 2＋ b 2? C 为 ______； c 2>a 2＋ b 2? C 为 ______； c 2<a 2＋ b 2? C 为 ______．3．在△ ABC 中，边 a 、b 、 c 所对的角分别为 A 、B 、 C ，则有：(1)A ＋B ＋ C ＝ ______， A ＋B＝____________.2(2)sin(A ＋ B) ＝ ________，cos(A ＋ B) ＝________， tan(A ＋ B) ＝________.(3)sin A ＋ B ＝ __________， cos A ＋B ＝ __________.2 2一、填空题1．已知 a 、b 、 c 为△ ABC 的三边长，若知足 (a ＋ b － c)(a ＋ b ＋ c)＝ ab ，则∠ C 的大小为________．2．在△ ABC 中，若 2cos Bsin A ＝ sin C ，则△ ABC 的形状必定是________．3.在△ ABC 中，已知 sin A ∶ sin B ∶ sin C ＝ 3∶ 5∶ 7，则这个三角形的最小外角为 ________．4．在△ ABC 中，边 a ，b 的长是方程 x 2－ 5x ＋2＝ 0 的两个根， C ＝ 60°，则边 c ＝________.5．△ABC 的三边分别为 a ，b ，c 且知足 b 2＝ ac,2b ＝ a ＋c ，则此三角形的形状是 ________．6．在△ ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若 C ＝ 120 °， c ＝ 2a ，则 a与 b 的大小关系是 ______．7．假如将直角三角形的三边增添相同的长度，则新三角形的形状是________．8．设2a ＋ 1， a,2a － 1 为钝角三角形的三边，那么a 的取值范围是________．9．已知△ ABC 的面积为23， BC ＝ 5，A ＝60°，则△ ABC 的周长是 ________．10．在△ ABC 中， A ＝ 60°， b＝ 1， S△ABC＝3，则△ ABC 外接圆的面积是________．二、解答题11．在△ ABC 中，求证：a2－ b2－.2＝sin Cc3→ →12.在△ ABC 中， a，b，c 分别是角 A ，B ，C 的对边的长， cos B=，且·AB ·BC ＝－ 21.5(1)求△ ABC 的面积；(2)若 a＝ 7，求角 C.能力提高13．已知△ ABC 中， AB ＝ 1， BC＝ 2，则角 C 的取值范围是 ________．14．△ ABC 中，内角 A 、 B、 C 的对边分别为23a、 b、 c，已知 b ＝ ac 且 cos B＝ .41 ＋1 的值；(1)求tan A tan C→ →3(2)设 BA ·BC＝，求 a＋ c 的值．21．解斜三角形的常有种类及解法在三角形的 6 个元素中要已知三个(起码有一边 )才能求解，常有种类及其解法见下表：应用已知条件一般解法定理一边和两角( 如 a， B ，C)两边和夹角( 如 a， b， C)三边(a，b， c)正弦由 A ＋B ＋ C＝ 180°，求角 A ；由正弦定理求出 b 与 c.在有解定理时只有一解 .余弦由余弦定理求第三边c；由正弦定理求出小边所对的角；再定理由 A ＋B ＋ C＝ 180°求出另一角．在有解时只有一解.正弦定理余弦由余弦定理求出角 A 、B ；再利用 A ＋ B＋ C＝180°，求出角定理 C.在有解时只有一解 .正弦定理由正弦定理求出角 B ；由 A ＋ B ＋C＝ 180°，求出角 C；两边和此中一边的对c.可有两解、一解或无解 .余弦再利用正弦定理或余弦定理求角如 (a， b， A)定理2.依据所给条件确立三角形的形状，主要有两种门路(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦 )定理实行边、角变换．§ 1.2 余弦定理 (二)答案知识梳理a b c1． (1)2R (2)2Rsin A 2Rsin B 2Rsin C (3) 2R2R2R(4)a ∶ b ∶ c2.(1)b 2＋ c 2－2bccos A b 2＋ c 2－ a 2(3) 直角钝角锐角π (2)2bc 3.(1) π －2C (2)sin C－ cos C － tan C(3)cosC sin C22 2作业设计1． 120 °分析∵ (a ＋ b － c)(a ＋ b ＋ c)＝ ab ，∴ a 2＋ b 2－ c 2＝－ ab ，即 a 2＋ b 2－ c 2＝－ 1，2ab 2∴ cos C ＝－ 1，∴∠ C ＝120°. 22．等腰三角形分析∵ 2cos Bsin A ＝ sin C ＝ sin(A ＋B) ，∴ sin Acos B － cos Asin B ＝ 0，即 sin(A － B) ＝0，∴ A ＝ B.3.60 °分析∵ a ∶ b ∶ c ＝ sin A ∶ sin B ∶sin C ＝ 3∶ 5∶ 7，不如设 a ＝ 3， b ＝ 5， c ＝ 7， C 为最大内角，2 2 － 72 1则 cos C ＝ 3 ＋ 5 ＝－ .2×3×5 2∴ C ＝ 120°.∴最小外角为 60°.4. 19分析由题意： a ＋ b ＝ 5， ab ＝ 2.由余弦定理得： c 2＝ a 2 ＋b 2－ 2abcos C ＝ a 2＋ b 2－ ab ＝ (a ＋ b)2－ 3ab ＝ 52－ 3×2＝19，∴ c ＝ 19.5．等边三角形分析∵ 2b ＝ a ＋ c ，∴ 4b 2＝ (a ＋ c)2 ，又 b 2 ＝ac ，即 (a －c)2＝ 0.∴ a ＝ c.∴ 2b ＝ a ＋ c ＝ 2a.∴ b＝ a ，即 a ＝ b ＝ c. 6． a>b分析在 △ ABC 中，由余弦定理得，222 2 2＋ ab.c ＝ a ＋ b － 2abcos 120 °＝ a ＋ b∵ c ＝ 2a ，∴ 2a 2＝ a 2＋ b 2＋ ab. ∴ a 2－ b 2＝ ab>0，∴ a 2>b 2，∴ a>b.7．锐角三角形分析设直角三角形三边长为a ，b ，c ，且 a 2＋ b 2＝c 2，则 (a ＋ x)2＋ (b ＋ x)2－ (c ＋ x)2＝ a 2＋ b 2＋ 2x 2＋ 2(a ＋ b)x － c 2－2cx － x 2＝ 2(a ＋ b － c)x ＋x 2>0，∴ c ＋x 所对的最大角变成锐角．8． 2<a<8分析∵ 2a － 1>0，∴ a>12，最大边为2a ＋ 1.222∵三角形为钝角三角形，∴a ＋ (2a － 1) <(2a ＋ 1)∴ a>2，∴ 2<a<8.9． 12分析 S △ABC ＝ 1AB·AC ·sin A ＝ 1 A B ·AC ·sin 60 ＝°2 3，∴ AB ·AC ＝ 8，BC 2＝ AB 2＋ AC 2 2 2－ 2AB ·AC ·cos A ＝ AB 2＋ AC 2－ AB ·AC ＝ (AB ＋AC) 2－ 3AB ·AC ，∴ (AB ＋ AC) 2＝ BC 2＋3AB ·AC ＝ 49，∴ AB ＋AC ＝ 7，∴△ ABC 的周长为 12.13π10. 3分析S △ABC ＝ 1 b csin A ＝ 3 c ＝ 3，∴ c ＝ 4， 2 4由余弦定理： a 2＝b 2＋ c 2 －2bccos A ＝12＋ 42－ 2×1×4cos 60 °＝ 13，∴ a ＝ 13.∴ 2R ＝ a ＝13＝2 39，sin A 3 32∴R ＝39.∴ S 外接圆2＝ 13π3＝ πR3 .11．证明右侧＝ sin Acos B － cos Asin Bsin C＝ sin A sin Bsin C ·cos B －sin C ·cos A ＝ a a 2＋ c 2－ b 2 b b 2＋ c 2－ a 2·－ ·2bcc2acc222222a ＋ c －b b ＋c － aa 2－b 2＝2＝左侧．c因此a 2 －b 2 － .2 ＝sin C c→ → → →12．∵ AB ·BC ＝－ 21， ·BA ·BC ＝ 21. → → → →·BA ·BC ＝ |BA | ·|BC| cos · B ＝ accos B ＝ 21.∴ ac ＝35，∵ cos B ＝35，∴ sin B ＝ 45.1 14＝ 14.∴ S △ABC ＝ acsin B ＝ ×35× 2 2 5(2)ac ＝ 35， a ＝7，∴ c ＝ 5.由余弦定理得， b 2＝ a 2＋ c 2－ 2accos B ＝ 32，∴ b ＝4 2.由正弦定理：c ＝bsin C sin B.c sin B ＝ 54 ＝ 2∴ sin C ＝ 4 × 2 .b 2 5 ∵ c<b 且 B 为锐角，∴ C 必定是锐角．∴ C ＝ 45°.π 13． 0<C ≤6分析方法一(应用正弦定理 )∵AB ＝BC ，∴ 1 ＝ 2sin C sin Asin C sin A∴ sin C ＝ 1 sin A ，∵ 0<sin A ≤1，21∴ 0<sin C ≤2.∵ AB<BC ，∴ C<A ，∴ C 为锐角，π∴ 0<C ≤6.方法二 (应用数形联合 )如下图，以B 为圆心，以 1 为半径画圆，则圆上除了直线 BC 上的点外，都可作为A 点．从点 C 向圆B 作切线，设切点为 A 1和 A 2，当 A 与 A 1、A 2 重合时，角 C 最大，易知此时： BC ＝ 2，AB ＝ 1，AC ⊥ AB ，∴ Cππ＝，∴ 0<C ≤ .6631－3 2 ＝ 7 14．解，得 sin B ＝4 4.(1)由 cos B ＝4由 b 2＝ ac 及正弦定理得 sin 2 B ＝ sin Asin C. 于是1 ＋ 1 ＝cos A ＋ cos Ctan A tan C sin A sin Csin Ccos A ＋ cos Csin A ＋＝sin Asin C ＝sin 2 Bsin B 1 4 7 ＝ sin 2B ＝ sin B ＝ 7 .→ → 3 3(2)由 BA ·BC ＝得 ca ·cos B ＝，22由 cos B ＝ 3，可得 ca ＝ 2，即 b 2＝ 2. 4 由余弦定理： b 2＝ a 2＋ c 2 －2ac ·cos B ，得 a 2＋ c 2＝ b 2＋ 2ac ·cos B ＝ 5，∴ (a ＋ c)2＝ a 2＋ c 2＋ 2ac ＝ 5＋ 4＝ 9，∴ a ＋ c ＝ 3.。

2020-2021学年高二数学新教材苏教版必修5课时分层作业：2.1 数列 Word版含解析

课时分层作业(一)(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．数列－3，3，－33，9，…的一个通项公式是( )A ．a n ＝(－1)n 3n (n ∈N *)B ．a n ＝(－1)n 3n (n ∈N *)C ．a n ＝(－1)n ＋13n (n ∈N *)D ．a n ＝(－1)n ＋13n (n ∈N *)B [把前四项统一形式为－3，9，－27，81，可知它的一个通项公式为a n ＝(－1)n 3n .]2．已知数列－1，14，－19，…，(－1)n 1n2，…，则它的第5项为( ) A.15B ．－15 C.125 D ．－125D [易知，数列的通项公式为a n ＝(－1)n ·1n 2，当n ＝5时，该项为(－1)5·152＝－125.] 3．已知数列的通项公式为a n ＝⎩⎨⎧3n ＋1(n 为奇数)，2n －2(n 为偶数)，则a 2a 3等于( ) A ．20B ．28C ．0D ．12 A [a 2＝2×2－2＝2，a 3＝3×3＋1＝10，∴a 2a 3＝2×10＝20.]二、填空题4．数列的通项公式为a n ＝⎩⎨⎧3n ＋1，n 为奇数，2n －2，n 为偶数，则a 2·a 3等于________．[解析] 由a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋1，n 为奇数，2n －2，n 为偶数，得a 2＝2，a 3＝10，所以a 2·a 3＝20.[答案] 205．已知数列2，5，22，11，…，则25是这个数列的第________项． [解析] 数列的通项为a n ＝3n －1. ∵25＝20＝3×7－1， ∴25是数列的第7项．[答案] 76．根据下列4个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图形中有________个点．(1) (2) (3) (4)[解析] 由图形可得，图形中的点数为1,4,9,16，…，则其通项公式为a n ＝n 2，故第n 个图形中的点数为n 2.[答案] n 27．若数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则a 2n ＝______，a 2a 3＝________. [解析] ∵a n ＝3－2n ，∴a 2n ＝3－22n ，a 2a 3＝3－223－23＝15. [答案] 3－22n 158．已知数列{a n }的通项公式a n ＝n －98n －99(n ∈N *)，则数列{a n }的前30项中，最大项和最小项分别是________．①a 10，a 9；②a 1，a 9；③a 1，a 30；④a 9，a 30.[解析] 通项公式变形为：a n ＝n －99＋99－98n －99＝1＋99－98n －99，显然当n ＝10和n ＝9时，a n 分别取最大值和最小值．[答案] ①三、解答题9．已知数列{a n }中，a 1＝3，a 10＝21，通项a n 相应的函数是一次函数．(1)求数列{a n }的通项公式，并求出a 2 017；(2)若{b n }是由a 2，a 4，a 6，a 8，…组成，试归纳{b n }的一个通项公式．[解] (1)由题意可设a n ＝kn ＋b ，又a 1＝3，a 10＝21， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ＋b ＝3，10k ＋b ＝21，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝1，∴a n ＝2n ＋1(n ∈N *)，a 2 017＝2×2 017＋1＝4 035.(2)∵{b n }是由{a n }的偶数项组成，∴b n ＝a 2n ＝2×2n ＋1＝4n ＋1(n ∈N *)．10．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝9n 2－9n ＋29n 2－1(n ∈N *)． (1)求这个数列的第10项；(2)98101是不是该数列中的项，为什么？ (3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内．[解] (1)a n ＝9n 2－9n ＋29n 2－1＝(3n －1)(3n －2)(3n －1)(3n ＋1)＝3n －23n ＋1. 令n ＝10，得第10项a 10＝2831.(2)令3n －23n ＋1＝98101，得9n ＝300. 此方程无正整数解，故98101不是该数列中的项． (3)证明：因为a n ＝3n －23n ＋1＝3n ＋1－33n ＋1＝1－33n ＋1，又n ∈N *，所以0<33n ＋1<1.所以0<a n <1，所以数列中的各项都在区间(0,1)内．[能力提升练]1．已知数列{a n }的通项公式a n ＝log (n ＋1)(n ＋2)，则它的前30项之积为( ) A.15B ．5C ．6 D.log 23＋log 31325B [a 1·a 2·a 3·…·a 30＝log 23×log 34×log 45×…×log 3132＝lg 3lg 2×lg 4lg 3×…×lg 32lg 31＝lg 32lg 2＝log 232＝log 225＝5.] 2．如图，五角星魅力无穷，一动点由A 处按图中数字由小到大的顺序依次运动，当第一次运动结束回到A 处时，数字为6，按此规律无限运动，则数字2 016应在________处．[解析] 设a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，a 4＝4，a 5＝5，a 6＝1分别对应点A ，B ，C ，D ，E ，A ，故动点运动的周期为5，∵a 2 016＝a 2 015＋1＝a 5×403＋1＝a 1＝1，故应在A 处．[答案] A3．已知数列{a n }满足a m ·n ＝a m ·a n (m ，n ∈N *)，且a 2＝3，则a 8＝________. [解析] 由a m ·n ＝a m ·a n ，得a 4＝a 2·2＝a 2·a 2＝9， a 8＝a 2·4＝a 2·a 4＝3×9＝27.[答案] 274．设函数f (x )＝log 2x －log x 2(0<x <1)，数列{a n }满足f (2a n )＝2n (n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)判断数列{a n }的单调性．[解] (1)由f (x )＝log 2x －log x 2，可得f (2a n )＝a n －1a n＝2n ，所以a 2n －2na n －1＝0，解得a n ＝n ±n 2＋1.因为0<x <1，所以0<2a n <1，所以a n <0. 故a n ＝n －n 2＋1.(2)法一：(作商比较)a n ＋1a n ＝(n ＋1)－(n ＋1)2＋1n －n 2＋1 ＝n ＋n 2＋1(n ＋1)＋(n ＋1)2＋1<1. 因为a n <0，所以a n ＋1>a n .故数列{a n }是递增数列．法二：(作差比较)a n ＋1－a n ＝n ＋1－(n ＋1)2＋1－n ＋n 2＋1 ＝n 2＋1＋1－n 2＋2n ＋2 ＝2(n 2＋1－n )n 2＋1＋1＋n 2＋2n ＋2>0. 所以数列{a n }是递增数列．。

高中数学必修五课时作业 [整书][全套]

§1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理(一)基础过关1.在△ABC中，BC＝a＝5，AC＝b＝3，则sin A∶sin B的值是()A.53 B.35C.37 D.57解析sin Asin B＝ab＝53.答案 A2.在△ABC中，A＞B，则下列不等式中不一定正确的是()A.sin A＞sin BB.cos A＜cos BC.sin 2A＞sin 2BD.cos 2A＜cos 2B解析A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B，A正确.由于(0，π)上，y＝cos x单调递减，∴cos A＜cos B，B正确.∵sin A＞sin B＞0，∴sin2A＞sin2B，1－2sin2A<1－2sin2B，∴cos 2A＜cos 2B，D正确.答案 C3.在△ABC 中，若a ＝2，b ＝23，A ＝30°，则B 为( ) A.60° B.60°或120° C.30°D.30°或150°解析由正弦定理可知a sin A ＝bsin B ，∴sin B ＝b sin A a ＝23×122＝32， ∵B ∈(0°，180°)， ∴B ＝60°或120°，故选B. 答案 B4.在△ABC 中，A ＝2π3，a ＝3c ，则bc ＝________. 解析在△ABC 中，A ＝2π3，a ＝3c ，由正弦定理可得：a sin A ＝csin C ，3c sin 2π3＝c sin C ，sin C ＝12，由于c <a ，且C ∈(0，π).故C ＝π6，则B ＝π－2π3－π6＝π6.三角形是等腰三角形，B ＝C ，则b ＝c ，则b c ＝1. 答案 15．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，则B ＝________．解析由正弦定理可得2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B ⇒cos B ＝12⇒B ＝π3. 答案 π36.在△ABC 中，AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b ，已知A ＝45°，B ＝30°，c ＝10，解三角形.解因为A ＋B ＋C ＝180°，所以C ＝105°.所以sin C ＝sin 105°＝sin(60°＋45°)＝sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°＝6＋24. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ，得a ＝sin A sin C ·c ＝10(3－1)， b ＝c sin B sin C ＝10sin 30°sin 105°＝5(6－2).所以C ＝105°，a ＝10(3－1)，b ＝5(6－2). 7.在△ABC 中，a ＝1，b ＝3，A ＝30°，求边c 的长. 解由a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin A a ＝32. ∵a ＜b ，∴B ＞A ＝30°， ∴B 为60°或120°.当B ＝60°时，C ＝180°－60°－30°＝90°. 此时，c ＝a 2＋b 2＝1＋3＝2.当B ＝120°时，C ＝180°－120°－30°＝30°. 此时，c ＝a ＝1. 综上知c ＝1或2.能力提升8.在△ABC 中，已知B ＝60°，最大边与最小边的比为3＋12，则三角形的最大角为( ) A.60° B.75° C.90°D.115°解析不妨设a 为最大边，c 为最小边，由题意有a c ＝sin A sin C ＝3＋12，即sin Asin （120°－A ）＝3＋12.整理得(3－3)sin A ＝(3＋3)cos A . ∴tan A ＝2＋3，又∵A ∈(0°，120°)，∴A ＝75°，故选B. 答案 B9.在△ABC 中，a ＝4，b ＝52，5cos(B ＋C )＋3＝0，则角B 的大小为( ) A.π6 B.π4 C.π3D.56π解析由5cos(B ＋C )＋3＝0得cos A ＝35， ∴A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin A ＝45，由正弦定理得445＝52sin B ，∴sin B ＝12.又∵a ＞b ，∴A ＞B ，且A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴B 必为锐角，∴B ＝π6. 答案 A10.在单位圆上有三点A ，B ，C ，设△ABC 三边长分别为a ，b ，c ，则a sin A ＋b2sin B ＋2csin C＝________. 解析 ∵△ABC 的外接圆直径为2R ＝2， ∴a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ＝2，∴a sin A ＋b 2sin B ＋2csin C ＝2＋1＋4＝7. 答案 711.锐角三角形的内角分别是A ，B ，C ，并且A ＞B .则sin A ＋sin B 和cos A ＋cos B 的大小关系为________.解析在锐角三角形中，∵A ＋B ＞π2，∴A ＞π2－B ，函数y ＝sin x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数，则有sin A ＞sin (π2－B )，即sin A ＞cos B ，同理sin B ＞cos A ，故sin A ＋sin B ＞cos A ＋cos B.答案 sin A ＋sin B ＞cos A ＋cos B12.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，B ＝π3，cos A ＝45，b ＝ 3. (1)求sin C 的值； (2)求a 的值.解 (1)∵B ＝π3，cos A ＝45， ∴C ＝2π3－A ，sin A ＝35，∴sin C ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝32cos A ＋12sin A ＝3＋4310.(2)由(1)，知sin A ＝35，又B ＝π3，b ＝3，∴由正弦定理，得a ＝b sin Asin B ＝3×35sin π3＝65. 创新突破13.在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，B ＝2A . (1)求cos A 的值； (2)求c 的值.解 (1)因为a ＝3，b ＝26，B ＝2A .所以在△ABC 中，由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，即3sin A ＝26sin 2A . 所以2sin A cos A sin A ＝263.故cos A＝63.(2)由(1)知cos A＝6 3，所以sin A＝1－cos2A＝33.又因为B＝2A，所以cos B＝2cos2A－1＝13.所以sin B＝1－cos2B＝223.在△ABC中，sin C＝sin(A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B＝539.所以c＝a sin Csin A＝5.1.1.2.2 正、余弦定理解三角形一课一练一. 选择题1．在∆ABC 中，acosA =bcosB =ccosC ，则∆ABC 一定是（）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形2. 在∆ABC 中，若sin 2A +sin 2B <sin 2C ，则∆ABC 的形状是（） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．不能确定3. 在∆ABC 中，a =80，b =100，A =30°，则角B 的解的个数是（） A ．0 个 B ．1 个 C ．2 个 D ．不能确定4. 在∆ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若acosA =bsinB ，则 sinAcosA + cos 2B =（）A ．−12B ．12C ．−1D ．15. 在∆ABC 中，AB =3，AC =2，BC =√10 ，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（） A ．−32B ．−23C ．23D ．326. 已知∆ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a =c =√6+√2，且 A =75°，则b =（）A ．2B ．4+2√3C ．4−2√3D ．√6−√2 二. 填空题7. 在∆ABC 中，b =50√3，c =150，B =30°，则边长a =_____________.8. 若x 、x +1、x +2是钝角三角形的三边长，则实数x 的取值范围是_____________.9. 设∆ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cosA =35，cosB =513，b =3，则c = _____________.三. 解答题10. 在△ABC 中，已知 b =3，c =3√3，B =30°，解此三角形.11．在∆ABC 中，已知︒=120A ，7=a ，8=+c b ，求b ，c .12．在∆ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . （1）若sin (A +π6)=2cosA ，求 A 的值；（2）若cosA =13，b =3c ，求sinC 的值；一课一练参考答案一. 选择题 1．【答案】D【解析】由a cosA =b cosB =c cosC 和正弦定理a sinA =b sinB =csinC 得 tanA =tanB =tanC 故选D. 2.【答案】C 3.【答案】C【解析】∵ bsinA =100×sin30°=50 ∴ bsinA < a <b ∴ 该三角形有两组解，故选C.4.【答案】D【解析】由acosA =bsinB 及正弦定理得sinAcosA =sin 2B ，所以sinAcosA +cos 2B = sin 2B +cos 2B =1，故选D. 5.【答案】D【解析】由余弦定理得cosA =AC 2+AB 2−BC 22AC∙AC=22+32−√1022×2×3=14，所以AB⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosA =3×2×14=32，故选D. 6.【答案】A【解析】由题意，A =C =75°，所以B =30°，由正弦定理得b =asinA ∙sinB =√6+√2√6+√24×12=2，故选A.二. 填空题7.【答案】a =100√3 或 a =50√3【解析】由余弦定理b 2=a 2+c 2−2accosB 得(50√3)2=a 2+1502−2a ×150×cos30°，即a 2−150√3a +15000=0，解得a =100√3 或 a =50√3.8.【答案】1<x <3【解析】由题意知 x +2 所对的角为钝角，所以 x 2+(x +1)2−(x +2)2<0，解得−1<x <3，又由x +(x +1)>x +2 解得x >1，所以x 的取值范围是1<x <3 9.【答案】145【解析】由题设知sinA =45，sinB =1213，所以sinC =sin (A +B )=sinAcosB +cosAsinB =5665，再由正弦定理得c =b sinB ∙sinC =145.三. 解答题10.【解析】方法1）由余弦定理b 2=a 2+c 2−2accosB 得32=a 2+(3√3)2−2a ×3√3×cos30°，整理得 a 2−9a +18=0，解得a =3 或 a =6.当a=3时，A=B=30°∴C=120°；当a=6 时，由正弦定理得sinA=asinBb =6×123=1∴A=90°，C=60°方法2）由正弦定理得sinC=csinBb =3√3×123=√32∵0°<C<180°且由c>b得C>B∴C=60° 或 C=120°当C=60°时，A=90°∴a=√b2+c2=6当C=120° 时，A=B=30°，a=b=311．【解析】由(b+c)2=b2+c2+2bc=64得 b2+c2=64−2bc 由a2=b2+c2−2bccosA得49=64−2bc+bc，即 bc=15又b+c=8∴b=3，c=5或b=5，c=312．【解析】（1）由题设知sinAcosπ6+cosAsinπ6=2cosA，即sinA=√3cosA∴cosA≠0，tanA=√3又0<A<π A=π3（2）由cosA=13，b=3c 和余弦定理a2=b2+c2−2bccosA得a2=b2−c2∴∆ABC是直角三角形，且B=π2∴sinC=cosA=131.2.1 解三角形应用举例（一）测量距离的问题一课一练一．选择题1. 如图，为了测量障碍物两侧A ，B 间的的距离，给定下列四组数据，测量时能用到的数据是（）A ．α，a ，bB ．α，β，aC ．a ，b ，γD ．α，β，b2．两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( ) A ．a km B.3a km C.2a km D ．2a km3. 我军在海上有A 、B 两个小岛相距10海里，敌军在C 岛，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，为提高炮弹命中率，须知道B 岛和C 岛间的距离，你作为我方士兵，计算B 、C 间的距离是（） A ．10√3 海里 B ．10√63海里 C ． 5√2 海里 D ． 5√6 海里4．一船向正北航行，看见正西方向有相距10n mlie 的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是每小时( )A ．5n mlieB ．53n mlieC ．10n mlieD ．103n mlie 5．如图所示为起重机装置示意图．支杆BC ＝10 m ，吊杆AC ＝15 m ，吊索AB ＝519 m ，起吊的货物与岸的距离AD 为( )A ．30 m B.1523 m C ．153m D ．45m6．飞机沿水平方向飞行，在A 处测得正前下方地面目标C 的俯角为30°，向前飞行10 000m到达B 处，此时测得正前下方目标C 的俯角为75°，这时飞机与地面目标的水平距离为 ( )A ．2 500(3－1)mB ．5 0002mC ．4 000mD ．4 0002m 二．填空题7．为了测量河的宽度，在一侧岸边选定两点A 、B ，对岸有一标记物C ，测得∠CAB =30°， ∠CBA =75°，AB =120m ，则河的宽度是_____________.8. 两灯塔A 、B 与海洋观察站C 的距离都等于10km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东30°，灯塔B 在观察站C 南偏东60°，则A 、B 之间的距离为_____________.9．某海岛周围38n mile 有暗礁，一轮船由西向东航行，初测此岛在北偏东60°方向，航行30n mile后测得此岛在东北方向，若不改变航向，则此船________触礁危险（填“有”或“无”）．三．解答题10．如图，一艘船以40 n mile/h的速度向正北航行.在A处看灯塔S在船的北偏东15°的方向，30 min后航行到B处，在B处看灯塔在船的北偏东60°的方向，已知距离此灯塔6 n mile以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续一直沿正北方向航行吗？11．如图，我炮兵阵地位于地面A处，两观察所分别位于地面点C和D处，已知CD＝6 000 m．∠ACD＝45°，∠ADC＝75°，目标出现于地面B处时测得∠BCD＝30°，∠BDC＝15°.求炮兵阵地到目标的距离．(结果保留根号)12．海上某货轮在A处看灯塔B，在货轮北偏东75°，距离为126n mile；在A处看灯塔C，在货轮的北偏西30°，距离为83n mile；货轮向正北由A处航行到D处时看灯塔B的方位角为120°.求：(1) A处与D处的距离；(2) 灯塔C与D处之间的距离．一课一练参考答案一．选择题1.【答案】C2．【答案】B【解析】∠ACB＝120°，AC＝BC＝a，由余弦定理可得AB＝3a(km)．3.【答案】D4．【答案】C【解析】如图，依题意有∠BAC ＝60°，∠BAD ＝75°，∴∠CAD ＝∠CDA ＝15°，从而CD ＝CA ＝10，在Rt △ABC 中，求得AB ＝5 ∴这艘船的速度是50.5＝10(n mlie/h)． 5．【答案】D【解析】在△ABC 中，AC ＝15 m ，AB ＝519 m ，BC ＝10 m ，由余弦定理得cos ∠ACB ＝AC 2＋BC 2－AB 22×AC×BC ＝152＋102－51922×15×10＝－12∴sin ∠ACB ＝32.又∠ACB ＋∠ACD ＝180°， ∴sin ∠ACD ＝sin ∠ACB ＝32.在Rt △ACD 中，AD ＝AC sin ∠ACD ＝15×32＝1532(m)．故选D 6．【答案】A【解析】示意图如图，∠BAC ＝30°，∠DBC ＝75°，∴∠ACB ＝45°，AB ＝10 000.由正弦定理，得10 000sin45°＝BC sin30°，又cos75°＝BDBC，∴BD ＝10 000·sin30°sin45°·cos75°＝2 500(3－1)(m)．二．填空题 7．【答案】60m8.【答案】10√2 km9．【答案】无触礁的危险【解析】如图所示，由题意在△ABC 中，AB ＝30，∠BAC ＝30°，∠ABC ＝135°，∴∠ACB ＝15°，由正弦定理，得BC ＝ABsin ∠BAC sin ∠ACB ＝30sin30°sin15°＝156－24＝15(6＋2)．在Rt △BDC 中，CD ＝22BC ＝15(3＋1)>38.∴ 此船无触礁的危险．三．解答题10．【解析】在∆ASB 中，∠BAS =15°，∠ASB =60°−15°=45°，AB =20 (n mile)由正弦定理得 SB =ABsin ∠BAS sin ∠ASB=20sin15°sin45°=10(√3−1)(n mile)设点 S 到直线AB 的距离为d ,则d =SB ∙sin60°=15−5√3≈6.34(n mile)∵ d >6 n mile ∴ 这艘船可以继续一直沿正北方向航行.11．【解析】在△ACD 中，∠CAD ＝60°，AD ＝CD·sin45°sin60°＝63CD .在△BCD 中，∠CBD ＝135°，BD ＝CD·sin30°sin135°＝22CD ，∠ADB ＝90°.在Rt △ABD 中，AB ＝AD 2＋BD 2＝426CD ＝1 00042(m)．∴ 炮兵阵地到目标的距离为1 00042 m.12．【解析】由题意，画出示意图，如图所示．(1)在△ABD 中，由已知∠ADB ＝60°，则B ＝45°.由正弦定理，得AD ＝ABsin45°sin60°＝24(n mile)(2) 在△ADC 中，由余弦定理，得CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD ×AC cos30°＝242＋(83)2－2×24×83×32＝(83)2，∴CD ＝83(n mile)∴ A 处与D 处之间距离为24n mile ，灯塔C 与D 处之间的距离为83n mile.1.2.2 解三角形应用举例之（Ⅱ）测量高度、角度的问题一课一练一.选择题1．某次测量中，A 在B 的北偏东55°，则B 在A 的( )A ．北偏西35°B ．北偏东55°C ．南偏西35°D ．南偏西55° 2．某工程中要将一长为100 m 倾斜角为75°的斜坡，改造成倾斜角为30°的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长( )3. 若某人在点A 测得金字塔顶端仰角为30°，此人往金字塔方向走了80米到达点B ，测得金字塔顶端的仰角为45°，则金字塔的高度最接近于(忽略人的身高) ( ) A ．110米 B ．112米 C ．220米 D ．224米4．在地面上点D 处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端A 与底部B 的仰角分别为 60°和30°，已知建筑物底部高出地面D 点20m ，则建筑物高度为( ) A ．20m B ．30m C ．40m D ．60m5．从某电视塔的正东方向的A 处，测得塔顶仰角是60°；从电视塔的西偏南30°的B 处，测得塔顶仰角为45°，A 、B 间距离是35 m ，则此电视塔的高度是( )A ．521mB ．10m C.4 90013m D ．35m6．一轮船从A 点沿北偏东70°的方向行驶10海里至海岛B ，又从B 沿北偏东10°的方向行驶10海里至海岛C ，若此轮船从A 点直接沿直线行驶至海岛C ，则此船沿( )方向行驶( )海里至海岛C ( ) A ．北偏东60°；10 2 B ．北偏东40°，10 3 C ．北偏东30°，10 3 D ．北偏东20°，10 2 二.填空题7．在塔底的水平面上某点测得塔顶的仰角为θ，由此点向塔沿直线行走30米，测得塔顶的仰角为2θ，再向塔前进10√3米，又测得塔顶的仰角为4θ，则塔高是__________米．8．学校里有一棵树，甲同学在A 地测得树尖的仰角为45°，乙同学在B 地测得树尖的仰角为30°，量得AB ＝AC ＝10m 树根部为C (A 、B 、C 在同一水平面上)，则∠ACB ＝________.9．甲船在A 处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距a 海里，乙船向正北行驶．若甲船速度是乙船的3倍，则甲船应取方向______才能追上乙船，追上时甲船行驶了_________海里．三.解答题10．如下图所示，两点C 、D 与烟囱底部在同一水平直线上，在点C 1、D 1，利用高为1.5 m的测角仪器，测得烟囱的仰角分别是α＝45°和β＝60°，C、D间的距离是12 m，计算烟囱的高AB.(精确到0.01 m)11. 如下图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB＝BC＝60 m，求建筑物的高度.12. 如下图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12n mile，渔船乙以10n mile/h的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2h追上．(1)求渔船甲的速度；(2)求sinα的值．一课一练一.选择题1．【答案】D【解析】根据题意和方向角的概念画出草图，如下图所示．α＝55°，则β＝α＝55°.所以B 在A的南偏西55°.故应选D.2．【答案】A【解析】如下图，由条件知，AD＝100sin75°＝100sin(45°＋30°)＝100(sin45°cos30°＋cos45°sin30°)＝25(6＋2)，CD＝100cos75°＝25(6－2)，BD＝ADtan30°＝256＋233＝25(32＋6)．∴BC＝BD－CD＝25(32＋6)－25(6－2)＝1002(m)．3.【答案】A【解析】设金字塔高CD＝h米．如下图，在Rt△BCD中，∠DBC＝45°，所以BC＝2CD＝2h米．在△ABC中，由正弦定理得ABsin∠ACB＝BCsin∠BAC，∴80sin15°＝2hsin30°∴2h ＝80×126－24＝1606＋24＝40(6＋2)，∴h ＝40(3＋1)米≈40×(1.73＋1)米＝109.2(米)．故选A. 4．【答案】C【解析】设O 为塔顶在地面的射影，在Rt △BOD 中，∠ODB ＝30°，OB ＝20，BD ＝40，OD ＝203，在Rt △AOD 中，OA ＝OD ·tan60°＝60，∴AB ＝OA －OB ＝40. 5．【答案】A【解析】作出如下示意图，设塔高OC 为h m ，在Rt △AOC 中，OA ＝h cot60°＝33h ，OB ＝h . AB ＝35，∠AOB ＝150°，由余弦定理得352＝(33h )2＋h 2－2×33h ·h cos150°，解得h ＝521.6．【答案】B【解析】由已知得在△ABC 中∠ABC ＝180°－70°＋10°＝120°，AB ＝BC ＝10，故∠BAC ＝30°，所以从A 到C 的航向为北偏东70°－30°＝40°，由余弦定理得，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC＝102＋102－2×10×10×⎝⎛⎭⎫－12＝300，所以AC ＝10 3. 二.填空题 7．【答案】15【解析】作出示意图如下图所示，由题意知∠ABC ＝θ，∠ACD ＝2θ，∠ADE ＝4θ， AC ＝BC ＝30米，AD ＝CD ＝103米．在△ACD 中，cos2θ＝12AC CD ＝15103＝32，所以sin2θ＝12.在Rt △ACE 中，AE ＝AC sin2θ＝30×12＝15(米)．8．【答案】30°【解析】如下图，AC ＝10，∠DAC ＝45°，∴DC ＝10，∵∠DBC ＝30°，∴BC ＝103， cos ∠ACB ＝102＋1032－1022×10×103＝32，∴∠ACB ＝30°. 9．【答案】北偏东30° 3a【解析】如下图所示，设在C 点甲船追上乙船，乙到C 地用的时间为t ，乙船的速度为v ，则BC ＝tv ，AC ＝3tv ，∠B ＝120°，由正弦定理知BC sin ∠CAB ＝ACsin B，所以1sin ∠CAB ＝3sin120°，即sin ∠CAB ＝12，所以∠CAB ＝30°，∠ACB ＝30°，所以BC ＝AB ＝a ，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos120°＝a 2＋a 2－2a 2·⎝⎛⎭⎫－12＝3a 2，所以AC ＝3a .三.解答题 10．【解析】在△BC 1D 1中，∠BD 1C 1＝120°，∠C 1BD 1＝15°.由正弦定理C 1D 1sin ∠C 1BD 1＝BC 1sin ∠BD 1C 1，∴BC 1＝12sin120°sin15°＝182＋66，∴A 1B ＝22BC 1＝18＋63，则AB ＝A 1B ＋AA 1≈29.89(m)．11.【解析】设建筑物的高度为h ，由题图知，P A ＝2h ，PB ＝2h ，PC ＝233h ，∴在△PBA 中，由余弦定理，得cos ∠PBA ＝602＋2h 2－4h 22×60×2h，①在△PBC 中，由余弦定理，得cos ∠PBC ＝602＋2h 2－43h 22×60×2h.②∵∠PBA ＋∠PBC ＝180°， ∴cos ∠PBA ＋cos ∠PBC ＝0.③由①②③，解得h ＝306或h ＝－306(舍去)，即建筑物的高度为306m.12.【解析】(1) 在△ABC 中，∠BAC ＝180°－60°＝120°，AB ＝12，AC ＝10×2＝20，∠BAC ＝α. 由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ×AC ×cos ∠BAC ＝122＋202－2×12×20×cos120°＝784.解得BC ＝28.所以渔船甲的速度为BC2＝14n mile/h.(2) 在△ABC 中，因为AB ＝12，∠BAC ＝120°，BC ＝28，∠BCA ＝α，由正弦定理，得AB sin α＝BC sin120°，即sin α＝AB sin120°BC ＝12×3228＝3314.1.2.3 解三角形应用举例之（四）三角形中的计算问题一课一练一．选择题1．在∆ABC 中，若sin A a ＝cos Bb，则角B 等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°2．在∆ABC 中，a =2bcosC ，则该三角形一定是（）A ．等腰∆B ．直角∆C ．等腰直角∆D ．等腰或Rt ∆ 3．在∆ABC 中，AB =3，BC =√13，AC =4，则边AC 上的高为（）A ．3√22B ．3√32C ．32D ．3√34．已知锐角∆ABC 的面积为33，BC ＝4，CA ＝3，则角C 的大小为( )A ．75°B ．60°C ．45°D ．30°5．在∆ABC 中，BC ＝2，B ＝π3，当∆ABC 的面积等于32时，sin C 等于( )A.32B.12C.33D.346．在钝角三角形ABC 中，若sin A <sin B <sin C ，则( )A ．cos A ·cos C > 0B ．cos B ·cosC > 0 C ．cos A ·cos B > 0D ．cos A ·cos B ·cos C > 0 二．填空题7．在∆ABC 中，三边分别为a ，b ，c ，且S ∆ABC =a 2+b 2−c 24，那么C = _________.8．半径为1的圆内接∆ABC 的面积为14，则abc = ______________.9．已知在∆ABC 中，B =30°，b =6，c =6√3，则∆ABC 的面积为_______________. 三．解答题10．在∆ABC 中，已知 AB⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙BC ⃗⃗⃗⃗⃗ . (1) 求证：tanB =3tanA ；(2) 若cosC =√55，求A 值的.11. 已知非等边∆ABC 的外接圆半径长为2，最大边长BC =2√3. （1）求角 A 的大小；（2）求sinB +sinC 的取值范围.12．在∆ABC 中，sin(C －A )＝1，sin B ＝13.(1)求sin A 的值；(2)设AC ＝6，求∆ABC 的面积．一课一练一．选择题 1．【答案】B【解析】由正弦定理知sin A a ＝sin B b ，∵ sin A b ＝cos B b， ∴sin B ＝cos B ，又0°<B <180°，∴B ＝45°.2．【答案】A【解析】由 a =2bcosC 及正弦定理得 sinA =2sinBcosC又 A =π−(B +C) ∴ sinA =sin (B +C )=sinBcosC +cosBsinC∴ 再由sinA =2sinBcosC 得 sin (B −C )=0又 −π<B −C <π ∴ B −C =0，即B =C∴ 该三角形是等腰三角形，故选A. 3．【答案】B【解析】由余弦定理cosA =AB 2+AC 2−BC 22AB∙AC =12，∴ sinA =√32 ∴h =AB ∙sinA =3√32 4．【答案】B【解析】∵ 33＝12×4×3sin C ∴ sin C ＝32，∵ ∆ABC 为锐角三角形 ∴ C ＝60°，故选B.5．【答案】B【解析】由正弦定理得S △ABC ＝12·AB ·BC ·sin B ＝32AB ＝32，∴AB ＝1，∴AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝1＋4－4×12＝3，∴AC ＝3，再由正弦定理，得1sin C ＝3sin π3，∴sin C ＝12.6．【答案】C【解析】由正弦定理得，a 0，cos B >0.二．填空题 7．【答案】45°【解析】由三角形面积公式得12absinC =a 2+b 2−c 24∴ sinC =a 2+b 2−c 22ab=cosC又 0<C <π ∴ C =π48．【答案】1【解析】由三角形面积公式得12absinC =14，即absinC =12，两边同乘以c 得abcsinC =c 2∴ abc =c 2sinC=R =19．【解析】9√3或18√3【解析】由余弦定理得b 2=a 2+c 2−2ac ∙cosB 得a 2−18a +72=0 解得a =6或a =12当a =6时，S ∆ABC =12acsinB =9√3；当a =12时，S ∆ABC =12acsinB =18√3.三．解答题 10．【解析】(1) 设内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c则由 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙BC⃗⃗⃗⃗⃗ 得 cb ∙cosA =3ca ∙cosB ，即b ∙cosA =3a ∙cosB ，由正弦定理得sinBcosA =3sinAcosB ，两边同除以cosAcosB 得 tanB =3tanA .(2) ∵ ∆ABC 中，A +C =π−B∴ tan (A +C)=−tanB ，即 tanA+tanC1−tanA∙tanB =−3tanA 又 cosC =√55，0<C <π ∴ tanC =2∴ tanA+21−2tanA =−3tanA ，整理得 3tan 2A −2tanA −1=0，解得tanA =1或tanA =−13又由(1)知tanA >0 ∴ tanA =1 ∴ A =π4 .11. 【解析】（1）由正弦定理BCsinA =4，即sinA =BC4=√32∵ BC 为最大边长，∆ABC 为非等边三角形 ∴ 60°<A <180° ∴ A =120°（2）sinB +sinC =sinB +sin (60°−C )=12sinB +√32cos =sin (B +60°) ∵ 0°<B <60° ∴ 60°<B +60°<120° ∴√32<sinB +sinC ≤1∴ sinB +sinC 的取值范围是(√32,1].12．【解析】(1) 由sin(C －A )＝1，－π<C －A <π，知C ＝A ＋π2.又 A ＋B ＋C ＝π ∴ 2A ＋B ＝π2，即2A ＝π2－B,0<A <π4.∴ cos2A ＝sin B ，即1－2sin 2A ＝13，sin A ＝33.(2) 由(1)得cos A ＝63.又由正弦定理，得BC ＝AC sin Asin B＝3 2.∴ S △ABC ＝12·AC ·BC ·sin C ＝12AC ·BC ·cos A ＝3 2.2.1.1 数列的概念一课一练一. 选择题1. 已知数列 31=-+n n a a ，则数列}{n a 是（）A.递增数列B.递减数列C.摆动数列D.常数列2．已知a n ＝n (n ＋1)，以下四个数中，哪个是数列{a n }中的一项( )A ．18B ．21C ．25D ．303．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n －1n ＋1，那么这个数列是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．摆动数列 4．数列1，－3，5，－7，…，a n ，… 中的第n 项可以为( )A ．2n －1B ．(－1)n (1－2n )C ．(－1)n (2n －1)D ．(－1)n (2n ＋1)5．若数列的前4项分别为2,0,2,0，则这个数列的第n 项不可能是( )A ．1＋(－1)n ＋1 B ．1－cos n πC ．2sin 2n π2D ．1＋(－1)n －1＋(n －1)(n －2)6. 已知数列2，5，22，11，…，则25可能是这个数列的( )A ．第6项B ．第7项C ．第10项D ．第11项二. 填空题7. 在横线上填上适当的数：8. 根据下列5个图形及相应点的个数n 的变化规律，试猜测个第6个图中有_______个点.9. 观察下面数列的特点，用适当的数填空：（1）－12×1，12×2，( )，12×4，－12×5；（2）12，－12，38，( )，532，( )；（3）3，8，15，（），35，48. 三. 解答题10．已知数列{a n }中，a n ＝nn ＋1，判断数列{a n }的增减性．一课一练一. 选择题 1.【答案】A 2．【答案】D【解析】依次令n (n ＋1)＝18,21,25和30检验．有正整数解的便是，知选D. 3．【答案】A 4．【答案】B【解析】当n ＝1时，a 1＝1排除C 、D ；当n ＝2时，a 2＝－3排除A ，故选B. 5．【答案】D 6.【答案】B【解析】该数列可改写为：2，5，8，11，可见每一项都含有根号．且被开方数后一项比前一项多3，又25＝20 ∴ 应是11后的第3项，即第7项，选B. 二. 填空题 7.【答案】24【解析】该数列可改写为：1×3，2×4，3×5，__________，5×7，6×8. 因而，该数列的一个通项公式为n(n +2)，因而第4项为4×6=24. 8.【答案】n 2−n +1【解析】第n 个图形有n 个分支，去掉最中间的一个点，每支有n -1个点，因而，第n 个图中点的个数为:n (n −1)+1=n 2−n +1.9.【答案】（1）−12×3 ；（2）−14 （3）24三. 解答题10．【解析】∵ a n ＝nn ＋1，a n ＋1＝n ＋1n ＋2∴ a n ＋1－a n ＝n ＋1n ＋2－n n ＋1＝(n+1)2−n(n+2)(n+2)(n+1)=1(n+2)(n+1).又n ∈N * ∴ n ＋2>0，n ＋1>0 ∴ 1(n+2)(n+1)>0 ∴ a n ＋1>a n . ∴ 数列{a n }是递增数列．2.1.2 数列的简单表示法一课一练一.选择题1．下面四个结论：① 数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集{1,2,3…，n })上的函数． ② 数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点． ③ 数列的项数是无限的．④ 数列通项的表示式是唯一的．其中正确的是( )A ．①②B ．①②③C ．②③D ．①②③④2．若数列的前4项分别为2,0,2,0，则这个数列的通项公式不能是( )A ．a n ＝1＋(－1)n ＋1 B ．a n ＝1－cos n πC ．a n ＝2sin 2n π2D ．a n ＝1＋(－1)n －1＋(n －1)(n －2)3．函数f (x )满足f (1)＝1，f (n ＋1)＝f (n )＋3 (n ∈N *)，则f (n )是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．不能确定4．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n －1(n ∈N *)，则a 1000＝( )A ．1B ．1999C ．1000D ．－15．已知数列{a n }对任意的p 、q ∈N *满足a p ＋q ＝a p ＋a q ，且a 2＝－6，那么a 10等于( )A ．－165B ．－33C ．－30D ．－216．对任意的a 1∈(0,1)，由关系式a n ＋1＝f (a n )得到的数列满足a n ＋1>a n (n ∈N *)，则函数y ＝f (x ) 的图象是( )A ．图象AB ．图象BC ．图象CD ．图象D 二. 填空题7．数列8，88，888，8888，…，88 ⋯8⏞ 第n 项,共n 个8，…的通项公式为__________．8．已知数列{a n }满足a 1＝－2，a n ＋1＝2＋2a n1－a n，则a 6＝__________.9. 已知数列{a n }中，a 1＝1， a n ＋1＝－a n ，则a 2014=_________. 三.解答题10．写出下列数列的一个通项公式．(1) −12，15，−110，117，⋯ ；(2) 13，115，135，163，⋯ ；(3) 1，√22，12，√24，14⋯ .（4）1，1+3，1+3+5，1+3+5+7，⋯11. 已知数列 2，74，2，⋯ 的通项公式为a n =an 2+b cn.(1) 求这个数列的通项公式；(2) 判断6是不是这个数列中的项？12．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－5n ＋4.(1)求数列{a n }中有多少项是负数？(2)当n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值．一课一练参考答案一. 选择题 1．【答案】A【解析】数列的项数可以是有限的也可以是无限的．数列通项的表示式可以不惟一．例如数列1,0，－1,0,1,0，－1,0…的通项可以是a n ＝sin n π2，也可以是a n ＝cos n ＋3π2等等．2．【答案】D【解析】当n ＝1时，D 不满足，故选D. 3．【答案】A【解析】∵ f (n ＋1)－f (n )＝3(n ∈N *) ∴ f (2)>f (1)，f (3)>f (2)，f (4)>f (3)，…，f (n ＋1)>f (n )，…， ∴ f (n )是递增数列．4．【答案】A【解析】a 1＝1，a 2＝2×1－1＝1，a 3＝2×1－1＝1，a 4＝2×1－1＝1，…，可知a n ＝1(n ∈N *)．5．【答案】C【解析】∵对任意p 、q ∈N *都有a p ＋q ＝a p ＋a q . ∴a 10＝a 8＋a 2＝a 4＋a 4＋a 2＝5a 2＝－30. 6．【答案】A【解析】据题意，由关系式a n ＋1＝f (a n )得到的数列{a n }，满足a n ＋1>a n ，即该函数y ＝f (x )的图象上任一点(x ，y )都满足y >x ，结合图象，只有A 满足，故选A.二. 填空题7．【答案】a n ＝89(10n －1)8．【答案】－143【解析】a n ＋1＝2＋2a n 1－a n ＝21－a n ，a 1＝－2，∴ a 2＝21－a 1＝23，a 3＝21－a 2＝6，a 4＝－25，a 5＝107，a 6＝－143.9.【答案】−1【解析】由题意a 1＝1，a 2＝－a 1＝－1，a 3＝－a 2＝1，a 4＝－a 3＝－1，……，a 2014=−1. 三. 解答题10．【解析】(1) 该数列可改写为−11+1，12+1，−13+1，14+1，⋯∴ 该数列的通项公式为 a n =(−1)n42+1(2) 该数列可改写为11×3，13×5，15×7，17×9，⋯∴ 该数列的通项公式为 a n =1(2n−1)(2n+1)=14n 2−1；(3) 该数列可改写为20，2−12，2−1，2−32，2−2，⋯∴ 该数列的通项公式为 a n =2−n−12.11.【解析】(1) ∵ 数列的前三项分别为2，74，2，且a n =an 2+b cn∴ { a+bc =24a+b2c =29a+b 3c=2，解得{a =1b =3c =2，∴ 这个数列的通项公式为 a n =n 2+32n(2) 令n 2+32n=6，整理得n 2−12n +3=0，解得n =6±√33，不是正整数∴ 6不是这个数列中的项.12．【解析】(1) 令a n ＝n 2－5n ＋4<0，解得1<n <4，∵ n ∈N ＋ ∴ n ＝2，3∴ 数列{a n }中有两项是负数．(2) a n ＝n 2－5n ＋4＝(n －52)2－94，∴ 当n ＝2或3时，a n 取得最小值，最小值为－2.2.2.1.1 等差数列（一）等差数列的概念与通项公式一课一练一．选择题1. 已知数列3,9,15，……，3(2n －1)，……那么81是它的第几项( )A ．12B ．13C ．14D ．152．若数列{a n }的通项公式为a n ＝－n ＋5，则此数列是( )A ．公差为－1的等差数列B ．公差为5的等差数列C ．首项为5的等差数列D ．公差为n 的等差数列 3．等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，它的项数是( )A ．92B ．47C ．46D ．454．若a ≠b ，两个等差数列a ，x 1，x 2，b 与a ，y 1，y 2，y 3，b 的公差分别为d 1，d 2，则d 1d 2等于( ) A.32 B.23 C.43 D.345．等差数列的首项为125，且从第10项开始为比1大的项，则公差d 的取值范围是( )A ．d > 875B ．d < 325 C.875 < d < 325 D.875 < d ≤ 3256．设等差数列{a n }中，已知a 1＝13，a 2＋a 5＝4，a n ＝33，则n 是( )A ．48B ．49C ．50D ．51 二．填空题7．一个直角三角形三边长a 、b 、c 成等差数列，面积为12，则它的周长为__________． 8．等差数列的第3项是7，第11项是－1，则它的第7项是________． 9. 《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．三．解答题10．已知等差数列{a n }中，a 15＝33，a 61＝217.（1）求该数列的通项公式；（2）判断153是不是这个数列的项，如果是，是第几项？11．若已知1，x ，y,10成等差数列，求x 、y 的值．12．某地区1997年底沙漠面积为9×105 hm 2. 地质工作者为了解这个地区沙漠面积的变化根据上表所给信息进行预测.(1) 如果不采取任何措施，到2010年年底，这个地区的沙漠面积将大约变成多少hm 2？ (2) 如果从2003年初开始，采取植树造林等措施，每年改造8000 hm 2沙漠，但沙漠面积仍按原有速度增加，那么到哪一年年底，这个地区的沙漠面积将小于8×105hm 2.一课一练参考答案一．选择题 1.【答案】C【解析】a n ＝3(2n －1)＝6n －3，由6n －3＝81，得n ＝14. 2．【答案】A【解析】∵ a n ＝－n ＋5，∴ a n ＋1－a n ＝[－(n ＋1)＋5]－(－n ＋5)＝－1，∴ {a n }是公差d ＝－1的等差数列．3．【答案】C【解析】由条件a 1＝1，d ＝－1－1＝－2，∴ a n ＝1＋(n －1)·(－2)＝－2n ＋3，由－89＝－2n ＋3得n ＝46.4．【答案】C【解析】由题意，得b ＝a ＋3d 1＝a ＋4d 2 ∴ d 1＝b －a 3，d 2＝b －a4，∴ d 1d 2＝b －a 3·4b －a ＝435．【答案】D【解析】由题意⎩⎨⎧a 10>1a 9≤1∴⎩⎨⎧125＋9d >1125＋8d ≤1 ∴875 < d ≤ 325.6．【答案】C【解析】a 1＝13，a 2＋a 5＝2a 1＋5d ＝23＋5d ＝4，∴ d ＝23，又a n ＝a 1＋(n －1)d ＝13＋23(n －1)＝33，∴ n ＝50.二．填空题 7．【答案】12 2【解析】由条件知b 一定不是斜边，设c 为斜边，则⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝a ＋c12ab ＝12a 2＋b 2＝c2，解得b ＝42，a ＝32，c ＝5 2 ∴ a ＋b ＋c ＝122．8．【答案】3【解析】设首项为a 1，公差为d ，由a 3＝7，a 11＝－1得，a 1＋2d ＝7，a 1＋10d ＝－1，所以a 1＝9，d ＝－1，则a 7＝3.9. 【答案】6766【解析】设此等差数列为{a n }，公差为d ，则 ⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3a 7＋a 8＋a 9＝4，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝33a 1＋21d ＝4，得⎩⎨⎧a 1＝1322d ＝766∴ a 5＝a 1＋4d ＝1322＋4×766＝6766.三．解答题10．【解析】（1）设首项为a 1，公差为d ，则由已知得{a 1+(15−1)d =33a 1+(61−1)d =217，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－23d ＝4∴ a n ＝－23＋(n －1)×4＝4n －27（2）令 a n ＝153，即4n －27＝153，得n ＝45∈N *∴ 153是所给数列的第45项．11．【解析】由已知，x 是1和y 的等差中项，y 是x 和10的等差中项∴ 2x ＝1＋y ………… ① 2y ＝2x ＋10 ………… ② 由①、②解得x ＝4，y ＝7 ∴ x 、y 的值分别为4， 7.12．【解析】（1）从表中数据看，它们基本上是一个等差数列，公差 d 约为2000， ∴ 到2010年底，沙漠面积比原有面积的增加数为a 2010=a 2002+8d =0.26×105 又原有沙漠面积9×105 hm 2 ∴ 如果不采取任何措施，到2010年底，这个地区的沙漠面积将大约变成9.26×105 hm 2 （2）设经过n 年，这个地区的沙漠面积将小于8×105hm 2.由(1)知，到2002年年底，该地区的沙漠面积为9.1×105又由题意，采取植树造林措施后，沙漠面积积仍成等差数列变化，且公差约为−6000 ，所以，经过n 年后，沙漠面积变为9.1×105+n ×(−6000)=9.1×105−0.06×105n令9.1×105−0.06×105n <8×105，得n >553又 n ∈N ∗，所以n 的最小值为19，所以到2021年年底，这个地区的沙漠面积将小于8×105hm 2.2.2.2 等差数列（二）等差数列的基本性质一课一练一．选择题1．等差数列{a n }中，已知a 3＝10，a 8＝－20，则公差d 等于 ( )A ．3B ．－6 C ． 4D ．－3 2．在等差数列{a n }中，已知a 4＝2，a 8＝14，则a 15等于 ( )A ．32B ．－32C ．35D ．－353．等差数列{a n }中，a 6＋a 9＝16，a 4＝1，则a 11＝( )A ．64B ．30C ．31D ．154．数列{a n }中，a 2＝2，a 6＝0且数列{1a n ＋1}是等差数列，则a 4等于()A.12B.13C.14D.165．在a 和b 之间插入n 个数构成一个等差数列，则其公差为( )A.b －a nB.a －b n ＋1C.b －a n ＋1D.b －a n －16. 若关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0和x 2－x ＋b ＝0(a ≠b )的4个根可组成首项为14的等差数列，则a ＋b 的值为( ) A.38 B.1124 C.1324 D.3172 二．填空题7．在等差数列{a n }中，已知a m ＋n ＝A ，a m －n ＝B ，，则a m ＝__________. 8．在等差数列{a n }中，a 18＝95，a 32＝123，a n ＝199，则n ＝________. 9．在等差数列{a n }中，若a 3＝7，a 5＝a 2 + 6，则a 6 ＝________. 三．解答题10．已知{a n }是递增数列，若a 2＋a 4＝16，a 1·a 5＝28，求通项a n ．11．已知三个数成等差数列，它们的和为9，它们的平方和为35，试求这三个数．12．四个数成等差数列，其平方和为94，第一个数与第四个数的积比第二个数与第三个数的积少18，求此四个数．一课一练参考答案一．选择题 1．【答案】B【解析】由等差数列的性质，得a 8－a 3＝(8－3)d ＝5d ，所以d ＝－20－105＝－6.2．【答案】C【解析】由a 8－a 4＝(8－4)d ＝4d ，得d ＝3，所以a 15＝a 8＋(15－8)d ＝14＋7×3＝35. 3．【答案】D【解析】解法一：∵⎩⎪⎨⎪⎧ a 6＋a 9＝16a 4＝1∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋13d ＝16a 1＋3d ＝1∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5d ＝2∴a 11＝a 1＋10d ＝15.解法二：∵6＋9＝4＋11，∴a 4＋a 11＝a 6＋a 9＝16，∴a 11＝15. 4．【答案】A【解析】令b n ＝1a n ＋1，则b 2＝1a 2＋1＝13，b 6＝1a 6＋1＝1，由条件知{b n }是等差数列，∴b 6－b 2＝(6－2)d ＝4d ＝23，∴d ＝16，∴b 4＝b 2＋2d ＝13＋2×16＝23，∵b 4＝1a 4＋1，∴a 4＝12.5．【答案】C【解析】∵a 1＝a ，a n ＋2＝b ∴公差d ＝a n ＋2－a 1n ＋2－1＝b －an ＋1.6.【答案】D【解析】 ∵ 两个方程中，每个方程的两个根的和都为1∴ 必有一个方程的根为14和34，不妨设方程x 2－x ＋a ＝0的根为 14 和 34，则 14为等差数列的首项，34为等差数列4项中的某一项，又 x 2－x ＋b ＝0的两根和为1，且两根为等差数列中的后3项中的两项，∴ 只有 34为第4项，才能满足中间两项之和为1的条件，∴ 四根的排列顺序为 14，512，712，34 ∴ a ＋b ＝14×34＋512×712＝3172.二．填空题7．【答案】12(A ＋B )【解析】∵m －n ，m ，m ＋n 成等差数列，又{a n }是等差数列．∴a m －n ，a m ，a m ＋n 成等差数列，∴2a m ＝a m －n ＋a m ＋n ＝A ＋B ，∴a m ＝12(A ＋B )．8．【答案】70【解析】∵ a 32－a 18＝(32－18)d ＝123－95 ∴ d ＝2又a 18＝a 1＋17d ＝95 ∴ a 1＝61∴ a n ＝a 1＋(n －1)d ＝61＋2(n －1)＝199 ∴ n ＝70.9．【答案】13【解析】由a 5＝a 2 + 6 得3d ＝6 ，从而a 6 ＝a 3 +3d ＝13 三．解答题10．【解析】∵a 2＋a 4＝a 1＋a 5＝16，∴由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 5＝16a 1·a 5＝28，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2a 5＝14或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝14a 5＝2.又等差数列{a n }是递增数列 ∴ a 1＝2，a 5＝14. ∴ d ＝a 5－a 15－1＝124＝3∴ a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋3(n －1)＝3n －1. 11．【解析】设这三个数分别为a －d ，a ，a ＋d ，根据题意，得{(a −d )+a +(a +d )=9(a +d)2+a 2+(a −d)2=35，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3d ＝±2.∴这三个数为1,3,5或5,3,1. 【注】等差数列的常见设法(1) 若三个数成等差数列，可设为a －d ，a ，a ＋d ；(2) 若五个数成等差数列，可设为a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ； (3) 若四个数成等差数列，可设为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d .12．四个数成等差数列，其平方和为94，第一个数与第四个数的积比第二个数与第三个数的积少18，求此四个数．【解析】设四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，则由题意得，(a －3d )2＋(a －d )2＋(a ＋d )2＋(a ＋3d )2＝94，即2a 2＋10d 2＝47…………①又(a －3d )(a ＋3d )＝(a －d )(a ＋d )－18，即8d 2＝18，解得d ＝±32，代入①得a ＝±72，∴ 所求四数为8，5，2，－1或1，－2，－5，－8或－1，2，5，8或－8，－5，－2，1.。

2018-2019学年苏教版必修五数列课时作业

一、选择题1．数列{a n }满足a n ＝4a n －1＋3且a 1＝0，则此数列第5项是( ) A. 15 B. 255 C. 16D. 63[解析] a 2＝3，a 3＝15，a 4＝63，a 5＝255. [答案] B2．数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)，a 2＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21为( )A. 92B. 112C. 6D. 10[解析] 由已知可得a 1＝－12，a 3＝－12，a 4＝1，…. ∴数列{a n }是周期为2的数列． S 21＝S 20＋a 21＝102－12＝92. [答案] A3．已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2(n 为奇数)，－n 2(n 为偶数)，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100等于( )A. 0B. 100C. －100D. 10200[解析] 当n 为奇数时，a n ＝n 2－(n ＋1)2＝－(2n ＋1)，当n 为偶数时，a n ＝－n 2＋(n ＋1)2＝2n ＋1，则a n ＝(－1)n (2n ＋1)．a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝－3＋5－7＋9－…－199＋201＝2×50＝100，故选B.[答案] B4．下图是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线”表示化学键，按图中结构第n 个图有化学键( )A. 6n 个B. 4n ＋2个C. 5n －1个D. 5n ＋1个[解析] 每个结构简图去掉最左边的一个化学键后，每个环上有5个化学键，故第n 个结构简图有5n ＋1个化学键．[答案] D 二、填空题5．数列1，12，37，25，513，…的通项公式是________，它的增减性是________．[解析] 各项可变形为11，24，37，410，513，…，可观察到分子与项数一致，分母是从第二项起比前一项多3，∴通项公式a n ＝n 1＋3(n －1)＝n 3n －2＝13＋29n －6，为递减数列．[答案] a n ＝n3n －2递减数列6．若数列{n (n ＋4)(23)n}中的最大项是第k 项，则k ＝________.[解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧k (k ＋4)(23)k >(k －1)(k －1＋4)(23)k－1，k (k ＋4)(23)k >(k ＋1)(k ＋1＋4)(23)k ＋1，化简得⎩⎪⎨⎪⎧(k －1)2<10，k 2>10，又因为k ∈N *，所以k ＝4. [答案] 47．设函数f (x )定义如下表，数列{x n }满足x 0＝5，且对任意的自然数均有x n ＋1＝f (x n )，则x 2011＝________.[解析] x 1＝f (021x 3＝f (x 2)＝f (1)＝4，x 4＝f (x 3)＝f (4)＝5＝x 0，从而数列{x n }是周期为4的数列，于是x 2011＝x 502×4＋3＝x 3＝4.[答案] 4 三、解答题8．数列{a n }中，已知a n ＝(－1)n ·n ＋a (a 为常数)，且a 1＋a 4＝3a 2，求a 100.[解] ∵a 1＝(－1)1·1＋a ＝a －1， a 4＝(－1)4·4＋a ＝a ＋4，又∵a 2＝a ＋2，∴a 1＋a 4＝a －1＋a ＋4＝3(a ＋2)， ∴a ＝－3，∴a n ＝(－1)n ·n －3，∴a 100＝100－3＝97. 9．已知函数f (x )＝1－2x x ＋1(x ≥1)，构造数列a n ＝f (n )(n ∈N ＋)．(1)求证：a n >－2；(2)数列{a n }是递增数列还是递减数列？为什么？[解] (1)证明：由题意可知a n ＝1－2n n ＋1＝3－2(n ＋1)n ＋1＝3n ＋1－2.∵n ∈N ＋，∴3n ＋1>0. ∴a n ＝3n ＋1－2>－2.(2)a n ＋1－a n ＝3n ＋2－3n ＋1＝3n ＋3－3n －6(n ＋1)(n ＋2)＝－3(n ＋1)(n ＋2)<0，即a n ＋1<a n .所以数列{a n }是递减数列．10．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足log 2(S n ＋1)＝n ＋1，求数列{a n }的通项公式．[解] ∵log 2(S n ＋1)＝n ＋1， ∴S n ＋1＝2n ＋1，S n ＝2n ＋1－1. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ，∴{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3 (n ＝1)，2n (n ≥2).。

高中数学(苏教版,必修五) 第3章不等式 3.3.3(一) 课时作业(含答案)

3.3.3 简单的线性规划问题(一)课时目标 1.了解线性规划的意义.2.会求一些简单的线性规划问题．问题一、填空题1．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧x ＋3y －3≥0，2x －y －3≤0，x －y ＋1≥0，则x ＋y 的最大值为________．2．已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎨⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，则x 2＋y 2的最大值为________．3．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3.则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值为________．4．已知－1<x ＋y <4且2<x －y <3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________．(答案用区间表示)5．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≤0，x ≥1，y ≥0，x ＋2y －3≥0，则yx的最大值为____________． 6．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋2≥0，x －5y ＋10≤0，x ＋y －8≤0，则目标函数z ＝3x －4y 的最大值和最小值分别为________和________．7．在坐标平面上有两个区域M 和N ，其中区域M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0y ≤x y ≤2－x ，区域N ＝{(x ，y )|t ≤x ≤t ＋1,0≤t ≤1}，区域M 和N 公共部分的面积用函数f (t )表示，则f (t )的表达式为________．8．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －2y ＋3≥0y ≥x，所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直线3x －4y －9＝0对称．对于Ω1中的任意点A 与Ω2中的任意点B ，则AB 的最小值为________．二、解答题9．线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≥12x ＋y ≤103x ＋y ≥12下，求z ＝2x －y 的最大值和最小值．10．已知⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5≥03x －y －5≤0x －2y ＋5≥0，求x 2＋y 2的最小值和最大值．能力提升11．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧(x －y ＋6)(x ＋y －6)≥01≤x ≤4，求x 2＋y 2－2的取值范围．12．已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0x －2y ＋4≥03x －y －3≤0，试求z ＝y ＋1x ＋1的最大值和最小值．1．作不等式组表示的可行域时，注意标出相应的直线方程，还要给可行域的各顶点标上字母，平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，确定最优解．2．在解决与线性规划相关的问题时，首先考虑目标函数的几何意义，利用数形结合方法可迅速解决相关问题．3．3.3 简单的线性规划问题(一)答案知识梳理线性约束作业设计 1．9解析画出可行域如图：当直线y ＝－x ＋z 过点A 时，z 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －3＝0，x －y ＋1＝0得A (4,5)，∴z max ＝4＋5＝9. 2. 10解析画出不等式组对应的可行域如下图所示：易得A (1,1)，|OA |＝2，B (2,2)， |OB |＝22，C (1,3)，|OC |＝10.∴(x 2＋y 2)max ＝|OC |2＝(10)2＝10. 3．7解析作出可行域如图所示．由图可知，z ＝2x ＋3y 经过点A (2,1)时，z 有最小值，z 的最小值为7. 4．(3,8)解析由⎩⎪⎨⎪⎧－1<x ＋y <4，2<x －y <3得平面区域如图阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝－1，x －y ＝3得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝－2.由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝4，x －y ＝2得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1. ∴2×3－3×1<z ＝2x －3y <2×1－3×(－2)，即3<z <8，故z ＝2x －3y 的取值范围是(3,8)． 5．2解析画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≤0，x ≥1，y ≥0，x ＋2y －3≥0对应的平面区域Ω，y x ＝y －0x －0表示平面区域Ω上的点P (x ，y )与原点的连线的斜率． A (1,2)，B (3,0)，∴0≤yx≤2.6．3 －11解析作出可行域如图阴影部分所示，由图可知z ＝3x －4y 经过点A 时z 有最小值，经过点B 时z 有最大值．易求A (3,5)，B (5,3)．∴z 最大＝3×5－4×3＝3，z 最小＝3×3－4×5＝－11.7．f (t )＝－t 2＋t ＋12解析作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0y ≤xy ≤2－x所表示的平面区域．由t ≤x ≤t ＋1,0≤t ≤1，得f (t )＝S △OEF －S △AOD －S △BFC ＝1－12t 2－12(1－t )2＝－t 2＋t ＋12.8．4解析如图所示．由约束条件作出可行域，得D (1,1)，E (1,2)，C (3,3)．要求(AB )min ，可通过求D 、E 、C 三点到直线3x －4y －9＝0距离最小值的2倍来求．经分析，D (1,1)到直线3x －4y －9＝0的距离d ＝|3×1－4×1－9|5＝2最小，∴(AB )min ＝4.9．解如图作出线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≥12x ＋y ≤103x ＋y ≥12下的可行域，包含边界：其中三条直线中x ＋3y ＝12与3x ＋y ＝12交于点A (3,3)，x ＋y ＝10与x ＋3y ＝12交于点B (9,1)， x ＋y ＝10与3x ＋y ＝12交于点C (1,9)，作一组与直线2x －y ＝0平行的直线l ：2x －y ＝z ，即y ＝2x －z ，然后平行移动直线l ，直线l 在y 轴上的截距为－z ，当l 经过点B 时，－z 取最小值，此时z 最大，即z max ＝2×9－1＝17；当l 经过点C 时，－z 取最大值，此时z 最小，即z min ＝2×1－9＝－7. ∴z max ＝17，z min ＝－7. 10．解作出不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5≥03x －y －5≤0x －2y ＋5≥0的可行域如图所示，由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋5＝02x ＋y －5＝0，得A (1,3)，由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋5＝03x －y －5＝0，得B (3,4)，由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －5＝02x ＋y －5＝0，得C (2,1)，设z ＝x 2＋y 2，则它表示可行域内的点到原点的距离的平方，结合图形知，原点到点B 的距离最大，注意到OC ⊥AC ，∴原点到点C 的距离最小．故z max ＝|OB |2＝25， z min ＝|OC |2＝5.11．解作出可行域如图，由x 2＋y 2＝(x －0)2＋(y －0)2，可以看作区域内的点与原点的距离的平方，最小值为原点到直线x ＋y －6＝0的距离的平方，即OP 2，最大值为OA 2，其中A (4,10)，OP ＝|0＋0－6|12＋12＝62＝32，OA ＝42＋102＝116，∴(x 2＋y 2－2)min ＝(32)2－2＝18－2＝16， (x 2＋y 2－2)max ＝(116)2－2＝116－2＝114， ∴16≤x 2＋y 2－2≤114.即x 2＋y 2－2的取值范围为16≤x 2＋y 2－2≤114. 12．解由于z ＝y ＋1x ＋1＝y －(－1)x －(－1)，所以z 的几何意义是点(x ，y )与点M (－1，－1)连线的斜率，因此y ＋1x ＋1的最值就是点(x ，y )与点M (－1，－1)连线的斜率的最值，结合图可知，直线MB 的斜率最大，直线MC 的斜率最小，即 z max ＝k MB ＝3，此时x ＝0，y ＝2； z min ＝k MC ＝12，此时x ＝1，y ＝0.∴z 的最大值为3，最小值为12.。

苏教版高中数学必修五学案第一章解三角形课外作业参考答案

课外作业参考答案第1课时正弦定理（1）1．A 2．C 3．450或1350 4．300或1500 5．等边 6．4π 7．解：由正弦定理知：21045sin 30sin 10sin sin 0=⋅=⋅=A C c a ， 2565105sin 45sin 210sin sin 105180000+=⋅=⋅=⇒=--=B A a b C A B 8．解：由正弦定理知：2160sin 31sin sin 0=⋅=⋅=B b cC 解得 030=C 或1500，因为 A+B+C=1800，所以 C=1500不合题意，舍去。

从而有 A=900， 222=+=c b a 。

9．解：如图，00028843633sin sin =∠=∠=∠⇒=⇒≈⇒=⋅=FCB ECF ACE C B A a b B 7.860sin 96sin 10sin sin 00≈⋅=⋅∠=A AEC b CE 2.1036sin 120sin 15sin sin 0≈⋅=⋅∠=B BFC a CF第2课时正弦定理（2）1 C2 D3 562-4 1 （提示：由c a b +=2知 C A B sin sin sin 2+=2cos2cos2CA C A -=+⇒，再将原式化简即可。

）5．解：易知，∠BMA=450，∠CMB=300。

在△ABM 中045sin 1=θ∠sin AM在△BCM 中，30sin 1=)sin(θπ-CM 。

∴CM =2AM ，又∠CMA=450+300=750，∴22=CM 2+AM 2－2·CM ·AM cos750。

2h =CM ·AM sin750， ∴h =13357+ 答：塔M 到路的最短距离为13357+km 6．解：由已知，22cos 1A -+cosA=45，即 cos 2A －cosA+41=0， ∴cosA=21 A=3π ∵b+c=3a ∴由正弦定理得：sinB+sinC=3sinA=232sin 2C B +cos 2C B -=23 ∴cos 2C B -=237．解：由已知a a b +=A B B sin sin sin -=ab b -， ∴ab a b =-22 ①又C B A C 2cos 1)cos(cos -=-+，即C B A B A 2sin 2)cos()cos(=+--。

苏教版必修5课时作业2.3.1-2.3.2(二)

2.3.1 等比数列的概念(二) 2.3.2 等比数列的通项公式(二)课时目标 1.进一步巩固等比数列的定义和通项公式.2.掌握等比数列的性质，能用性质灵活解决问题．1．一般地，如果m ，n ，k ，l 为正整数，且m ＋n ＝k ＋l ，则有______________，特别地，当m ＋n ＝2k 时，a m ·a n ＝________.2．在等比数列{a n }中，每隔k 项(k ∈N *)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为________数列．3．如果{a n }，{b n }均为等比数列，且公比分别为q 1，q 2，那么数列{1a n }，{a n ·b n }，{b na n}，{|a n |}仍是等比数列，且公比分别为1q 1，q 1q 2，q 2q 1，|q 1|.一、填空题1．在等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝16，则a 3＝________.2．在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比|q |≠1.若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m ＝________.3．已知a ，b ，c ，d 成等比数列，且曲线y ＝x 2－2x ＋3的顶点是(b ，c )，则ad ＝________. 4．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2＝________. 5．在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等比数列，则插入的6个数的积为________．6．若a ，b ，c 成等比数列，m 是a ，b 的等差中项，n 是b ，c 的等差中项，则a m ＋cn＝________. 7．已知各项为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6等于______________．8．在由正数组成的等比数列{a n }中，若a 4a 5a 6＝3，log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 8＋log 3a 9的值为________．9．已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，则a 2－a 1b 2的值是________．10．在正项等比数列{a n }中，a n ＋1<a n ，a 2·a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则a 5a 7＝________.二、解答题11．有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项和为21，中间两项和为18，求这四个数．12．设{a n }、{b n }是公比不相等的两个等比数列，c n ＝a n ＋b n ，证明数列{c n }不是等比数能力提升13．若互不相等的实数a 、b 、c 成等差数列，c 、a 、b 成等比数列，且a ＋3b ＋c ＝10，则a ＝________.14．互不相等的三个数之积为－8，这三个数适当排列后可成为等比数列，也可排成等差数列，求这三个数排成的等差数列．1．等比数列的基本量是a 1和q ，依据题目条件建立关于a 1和q 的方程(组)，然后解方程(组)，求得a 1和q 的值，再解决其它问题．2．如果证明数列不是等比数列，可以通过具有三个连续项不成等比数列来证明，即存在an 0，an 0＋1，an 0＋2，使a 2n 0＋1≠an 0·an 0＋2. 3．巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要．2．3.1 等比数列的概念(二) 2．3.2 等比数列的通项公式(二)答案知识梳理1．a m ·a n ＝a k ·a l a 2k 2.等比作业设计 1．4解析由题意知，q 4＝a 5a 1＝16，∴q 2＝4，a 3＝a 1q 2＝4. 2．11解析在等比数列{a n }中，∵a 1＝1，∴a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5＝a 51q 10＝q 10.∵a m ＝a 1q m －1＝q m －1， ∴m －1＝10，∴m ＝11.解析 ∵y ＝(x －1)2＋2，∴b ＝1，c ＝2. 又∵a ，b ，c ，d 成等比数列，∴ad ＝bc ＝2. 4．－6解析由题意知，a 3＝a 1＋4，a 4＝a 1＋6. ∵a 1，a 3，a 4成等比数列， ∴a 23＝a 1a 4，∴(a 1＋4)2＝(a 1＋6)a 1，解得a 1＝－8，∴a 2＝－6. 5．8解析设这8个数组成的等比数列为{a n }，则a 1＝1，a 8＝2.插入的6个数的积为a 2a 3a 4a 5a 6a 7＝(a 2a 7)·(a 3a 6)·(a 4a 5)＝(a 1a 8)3＝23＝8. 6．2解析设等比数列公比为q .由题意知：m ＝a ＋b 2，n ＝b ＋c2，则a m ＋c n ＝2a a ＋b ＋2c b ＋c ＝21＋q ＋2q 1＋q ＝2. 7．5 2解析 ∵a 1a 2a 3＝a 32＝5，∴a 2＝35. ∵a 7a 8a 9＝a 38＝10，∴a 8＝310. ∴a 25＝a 2a 8＝350＝5013，又∵数列{a n }各项为正数，∴a 5＝5016.∴a 4a 5a 6＝a 35＝5012＝5 2.8.43解析 ∵a 4a 6＝a 25，∴a 4a 5a 6＝a 35＝3，得a 5＝313.∵a 1a 9＝a 2a 8＝a 25，∴log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 8＋log 3a 9＝log 3(a 1a 2a 8a 9)＝log 3a 45＝log 3343＝43.9.12解析 ∵－1，a 1，a 2，－4成等差数列，设公差为d ，则a 2－a 1＝d ＝13[(－4)－(－1)]＝－1，∵－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列， ∴b 22＝(－1)×(－4)＝4，∴b 2＝±2.若设公比为q ，则b 2＝(－1)q 2，∴b 2<0.∴b 2＝－2，∴a 2－a 1b 2＝－1－2＝12.10.32解析设公比为q ，则由等比数列{a n }各项为正数且a n ＋1<a n 知0<q <1，由a 2·a 8＝6，得a 25＝6.∴a 5＝6，a 4＋a 6＝6q＋6q ＝5.解得q ＝26，∴a 5a 7＝1q 2＝(62)2＝32.11．解设这四个数分别为x ，y,18－y,21－x ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x 18－y 218－y ＝y ＋21－x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝754，y ＝454.故所求的四个数为3,6,12,18或754，454，274，94.12．证明设{a n }、{b n }的公比分别为p 、q ，p ≠0，q ≠0，p ≠q ，c n ＝a n ＋b n .要证{c n }不是等比数列，只需证c 22≠c 1·c 3成立即可．事实上，c 22＝(a 1p ＋b 1q )2＝a 21p 2＋b 21q 2＋2a 1b 1pq ，c 1c 3＝(a 1＋b 1)(a 1p 2＋b 1q 2)＝a 21p 2＋b 21q 2＋a 1b 1(p 2＋q 2)．由于c 1c 3－c 22＝a 1b 1(p －q )2≠0，因此c 22≠c 1·c 3，故{c n }不是等比数列． 13．－4解析依题意有⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝a ＋c ， ①a 2＝bc ， ②a ＋3b ＋c ＝10， ③①代入③求得b ＝2.从而⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝4，a 2＝2c⇒a 2＋2a －8＝0，解得a ＝2或a ＝－4.当a ＝2时，c ＝2，即a ＝b ＝c 与已知不符， ∴a ＝－4.14．解设三个数为a q，a ，aq ，∴a 3＝－8，即a ＝－2， ∴三个数为－2q，－2，－2q .(1)若－2为－2q 和－2q 的等差中项，则2q＋2q ＝4，∴q 2－2q ＋1＝0，q ＝1，与已知矛盾；(2)若－2q 为－2q 与－2的等差中项，则1q＋1＝2q ，2q 2－q －1＝0，q ＝－12或q ＝1(舍去)，∴三个数为4,1，－2；(3)若－2q 为－2q 与－2的等差中项，则q ＋1＝2q，∴q 2＋q －2＝0，∴q ＝－2或q ＝1(舍去)， ∴三个数为4,1，－2.综合(1)(2)(3)可知，这三个数排成的等差数列为4,1，－2或－2,1,4.。

高中数学(苏教版,必修五) 第2章数列 2.3.3(一) 课时作业(含答案)

2.3.3 等比数列的前n 项和(一)课时目标 1.掌握等比数列前n 项和公式的推导方法.2.会用等比数列前n 项和公式解决一些简单问题．1．等比数列前n 项和公式：(1)公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧＝ (q ≠1) (q ＝1).(2)注意：应用该公式时，一定不要忽略q ＝1的情况．2．若{a n }是等比数列，且公比q ≠1，则前n 项和S n ＝a 11－q(1－q n )＝A (q n －1)．其中A ＝__________.3．推导等比数列前n 项和的方法叫________法．一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n 项和．一、填空题1．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2＝________.2．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 6＝4S 3，则a 4＝________.3．记等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝2，S 6＝18，则S 10S 5＝________.4．设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 2＝________.5．设{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和，若{S n }是等差数列，则q ＝________. 6．若等比数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝－512，前n 项和为S n ＝－341，则n 的值是________． 7．在等比数列{a n }中，公比q 是整数，a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12，则此数列的前8项和为________．8．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和，已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝____________.9．如果数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，则此数列的通项公式a n ＝________.10．在数列{a n }中，a n ＋1＝ca n (c 为非零常数)，且前n 项和为S n ＝3n －1＋k ，则实数k 的值为________．二、解答题11．在等比数列{a n }中，a 1＋a n ＝66，a 3a n －2＝128，S n ＝126，求n 和q .12．求和：S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n (x ≠0)．能力提升13．已知等比数列前n 项，前2n 项，前3n 项的和分别为S n ，S 2n ，S 3n ，求证：S 2n ＋S 22n ＝S n (S 2n ＋S 3n )．14．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋2－4. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝a n ·log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .1．在等比数列的通项公式和前n 项和公式中，共涉及五个量：a 1，a n ，n ，q ，S n ，其中首项a 1和公比q 为基本量，且“知三求二”．2．前n 项和公式的应用中，注意前n 项和公式要分类讨论，即q ≠1和q ＝1时是不同的公式形式，不可忽略q ＝1的情况．3．一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列且公比为q ，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减的方法求和．2．3.3 等比数列的前n 项和(一)答案知识梳理1．(1)a 1(1－q n )1－q a 1－a n q 1－q na 1 2.a 1q －13.错位相减作业设计 1．－11解析由8a 2＋a 5＝0得8a 1q ＋a 1q 4＝0，∴q ＝－2，则S 5S 2＝a 1(1＋25)a 1(1－22)＝－11.2．3解析 S 6＝4S 3⇒a 1(1－q 6)1－q ＝4·a 1(1－q 3)1－q⇒q 3＝3(q 3＝1不合题意，舍去)．∴a 4＝a 1·q 3＝1×3＝3. 3．33解析由题意知公比q ≠1，S 6S 3＝a 1(1－q 6)1－q a 1(1－q 3)1－q＝1＋q 3＝9， ∴q ＝2，S 10S 5＝a 1(1－q 10)1－q a 1(1－q 5)1－q＝1＋q 5＝1＋25＝33. 4.152解析方法一由等比数列的定义，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 2q＋a 2＋a 2q ＋a 2q 2，得S 4a 2＝1q ＋1＋q ＋q 2＝152. 方法二 S 4＝a 1(1－q 4)1－q，a 2＝a 1q ，∴S 4a 2＝1－q 4(1－q )q ＝152.5．1解析方法一 ∵S n －S n －1＝a n ，a n 为定值，∴q ＝a n ＋1a n＝1.方法二 ∵a n 是等比数列，∴a n ＝a 1q n －1， ∵{S n }是等差数列．∴2S 2＝S 1＋S 3. 即2a 1q ＋2a 1＝a 1＋a 1＋a 1q ＋a 1q 2，化简得q 2－q ＝0，q ≠0，∴q ＝1. 6．10解析 S n ＝a 1－a n q 1－q ，∴－341＝1＋512q1－q，∴q ＝－2，又∵a n ＝a 1q n －1，∴－512＝(－2)n －1，∴n ＝10. 7．510解析由a 1＋a 4＝18和a 2＋a 3＝12，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 1q 3＝18a 1q ＋a 1q 2＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝16q ＝12. ∵q 为整数，∴q ＝2，a 1＝2，S 8＝2(28－1)2－1＝29－2＝510.8.314解析 ∵{a n }是由正数组成的等比数列，且a 2a 4＝1， ∴设{a n }的公比为q ，则q >0，且a 23＝1，即a 3＝1.∵S 3＝7，∴a 1＋a 2＋a 3＝1q 2＋1q＋1＝7，即6q 2－q －1＝0.故q ＝12或q ＝－13(舍去)，∴a 1＝1q2＝4.∴S 5＝4(1－125)1－12＝8(1－125)＝314.9．2n －1解析当n ＝1时，S 1＝2a 1－1，∴a 1＝2a 1－1，∴a 1＝1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2a n －1)－(2a n －1－1)∴a n ＝2a n －1，∴{a n }是等比数列，∴a n ＝2n －1，n ∈N *.10．－13解析当n ＝1时，a 1＝S 1＝1＋k ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n －1＋k )－(3n －2＋k )＝3n －1－3n －2＝2·3n －2.由题意知{a n }为等比数列，所以a 1＝1＋k ＝23，∴k ＝－13.11．解 ∵a 3a n －2＝a 1a n ，∴a 1a n ＝128，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1a n ＝128，a 1＋a n ＝66，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝64，a n ＝2，① 或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a n ＝64.② 将①代入S n ＝a 1－a n q 1－q，可得q ＝12，由a n ＝a 1q n －1可解得n ＝6.将②代入S n ＝a 1－a n q1－q，可得q ＝2，由a n ＝a 1q n－1可解得n ＝6.故n ＝6，q ＝12或2.12．解分x ＝1和x ≠1两种情况．(1)当x ＝1时，S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.(2)当x ≠1时，S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n ，xS n ＝x 2＋2x 3＋3x 4＋…＋(n －1)x n ＋nx n ＋1，∴(1－x )S n ＝x ＋x 2＋x 3＋…＋x n －nx n ＋1＝x (1－x n)1－x－nx n ＋1.∴S n ＝x (1－x n )(1－x )2－nx n ＋11－x .综上可得S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n ＋1)2 (x ＝1)x (1－x n)(1－x )2－nxn ＋11－x (x ≠1且x ≠0).13．证明设此等比数列的公比为q ，首项为a 1，当q ＝1时，则S n ＝na 1，S 2n ＝2na 1，S 3n ＝3na 1，S 2n ＋S 22n ＝n 2a 21＋4n 2a 21＝5n 2a 21，S n (S 2n ＋S 3n )＝na 1(2na 1＋3na 1)＝5n 2a 21，∴S 2n ＋S 22n ＝S n (S 2n ＋S 3n )．当q ≠1时，则S n ＝a 11－q (1－q n )，S 2n ＝a 11－q (1－q 2n )，S 3n ＝a 11－q(1－q 3n )，∴S 2n ＋S 22n＝⎝⎛⎭⎫a 11－q 2·[(1－q n )2＋(1－q 2n )2]＝⎝⎛⎭⎫a 11－q2·(1－q n )2·(2＋2q n ＋q 2n)．又S n (S 2n ＋S 3n )＝⎝⎛⎭⎫a 11－q 2·(1－q n )2·(2＋2q n ＋q 2n )，∴S 2n ＋S 22n ＝S n (S 2n ＋S 3n )．14．解 (1)由题意，S n ＝2n ＋2－4，n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋2－2n ＋1＝2n ＋1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝23－4＝4，也适合上式，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1，n ∈N *.(2)∵b n ＝a n log 2a n ＝(n ＋1)·2n ＋1，∴T n ＝2·22＋3·23＋4·24＋…＋n ·2n ＋(n ＋1)·2n ＋1，①2T n ＝2·23＋3·24＋4·25＋…＋n ·2n ＋1＋(n ＋1)·2n ＋2.② ②－①得，T n ＝－23－23－24－25－…－2n ＋1＋(n ＋1)·2n ＋2＝－23－23(1－2n －1)1－2＋(n ＋1)·2n ＋2＝－23－23(2n －1－1)＋(n ＋1)·2n ＋2＝(n ＋1)·2n ＋2－23·2n －1＝(n ＋1)·2n ＋2－2n ＋2＝n ·2n ＋2.。

苏教版高中数学必修五不等式5课时作业.docx

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作第5课一元二次不等式应用题分层训练1.某厂扩建后计划后年的产量不低于今年的2倍, 那么明、后两年每年的平均增长率至少是．（精确到0.1％）. 2．要在长为800米,宽为600米的一块长方形地面上进行绿化,要求四周种花卉(花卉带的宽度相同),中间种草坪,要求草坪的面积不小于总面积的一半,则花卉带宽度x的范围为.3.已知半圆的半径为1,其内接等腰梯形的一条底边与半圆的直径重合,则当x= 时,梯形的周长最长.考试热点4.国家为了加强对烟酒生产的宏观管理, 实行征收附加税政策, 已知某种酒每瓶70元, 不加收附加税时, 每年大约销售100万瓶; 若政府征收附加税, 每销售100元要征税R元(叫做税率R%), 则每年的销售量将减少10R万瓶, 要使每年在此项经营中所收取的附加税不少于112万, R应怎样确定?5.某地区上年度电价为0.8元/千瓦时,年用电量为a千瓦时,本年度计划将电价降低到0.55元/千瓦时至0.75元/千瓦时之间,而用户期望电价为0.4元/千瓦时.经测算,下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k),该地区电力成本价为0.3元/千瓦时,(1)写出本年度电价下调后,电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式.(2)设k=0.2a,当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%?(注:收益=实际用电量×(实际电价－成本价)).拓展延伸6.已知汽车刹车到停车所滑行的距离s (m)与速度v (km/h)的平方及汽车的总重量a(t)的乘积成正比, 设某辆卡车不装货物以50km/h行驶时, 从刹车到停车滑行了20m , 如果这辆车装载着与车身相等重量的货物行驶, 并与前面的车辆距离为15m , 为了保证在前面车辆紧急停车时不与前面车辆相撞, 那么最大车速是多少? (假定卡车司机从发现前面车辆停车到自己刹车需耽搁1s , 答案精确到1km/h . )马鸣风萧萧本节学习疑点：学生质疑教师释疑马鸣风萧萧。

学案导学高中数学(苏教版,必修五)课时作业与单元检测第2章数列(15份)第2章习题课(1)

习题课(1)课时目标 1.熟练掌握等差数列的概念、通项公式、前n 项和公式，并能综合运用这些知识解决一些问题.2.熟练掌握等差数列的性质、等差数列前n 项和的性质，并能综合运用这些性质解决相关问题．1．若S n 是数列{a n }的前n 项和，则S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ＝1， n ≥2.2．若数列{a n }为等差数列，则有：(1)通项公式：a n ＝__________；(2)前n 项和：S n ＝__________＝__________. 3．等差数列的常用性质(1)若{a n }为等差数列，且m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则________________． (2)若S n 表示等差数列{a n }的前n 项和，则 S k ，S 2k －S k ，____________成等差数列．一、填空题1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n ＋1，则a 6＋a 7＋…＋a 10的值为________． 2．在等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，则2a 9－a 10的值为________． 3．设数列{a n }、{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，则a 37＋b 37等于________． 4．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 7＋a 11＝6，则S 13＝________. 5．设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12＋a 13＝________. 6．若{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，若a 1>0，d <0，S 4＝S 8，则S n >0成立的最大自然数n 为________．7．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S p ＝S q (p ，q ∈N *且p ≠q )，则S p ＋q ＝________.8．在等差数列{a n }中，a 1＝－2 008，其前n 项和为S n ，若S 2 0082 008－S 2 0062 006＝2，则S 2 012等于________．9．等差数列{a n }中，|a 3|＝|a 9|，公差d <0，则使前n 项和S n 取得最大值的自然数n 是______． 10．已知数列{a n }中，a 1＝20，a n ＋1＝a n ＋2n －1，n ∈N *，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.二、解答题11．甲、乙两物体分别从相距70 m 的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m ，以后每分钟比前1分钟多走1 m ，乙每分钟走5 m. (1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m ，乙继续每分钟走5 m ，那么开始运动几分钟后第二次相遇？12．已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a 3·a 4＝117，a 2＋a 5＝22. (1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若数列{b n }是等差数列，且b n ＝S nn ＋c，求非零常数c .能力提升13．在等差数列{a n }中，a 10<0，a 11>0，且|a 10|<a 11，S n 为{a n }的前n 项的和，则下列结论正确的是______．(只填序号即可)①S 1，S 2，…，S 10都小于零，S 11，S 12，…都大于零； ②S 1，S 2，…，S 5都小于零，S 6，S 7，…都大于零； ③S 1，S 2，…，S 20都小于零，S 21，S 22，…都大于零； ④S 1，S 2，…，S 19都小于零，S 20，S 21，…都大于零． 14．把自然数1,2,3,4，…按下列方式排成一个数阵． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15……………………………根据以上排列规律，数阵中第n (n ≥3)行从左至右的第3个数是______________．1．等差数列是最基本、最常见的数列，等差数列的定义是研究解决等差数列的判定和性质，推导通项公式、前n 项和公式的出发点．2．通项公式与前n 项和公式联系着五个基本量：a 1、d 、n 、a n 、S n .掌握好本部分知识的内在联系、结构，以便灵活运用．3．另外用函数观点和方法揭示等差数列的特征，在分析解决数列的综合题中有重要的意义．习题课(1) 答案知识梳理1．S 1 S n －S n －1 2.(1)a 1＋(n －1)d (2)na 1＋n (n －1)d 2 n (a 1＋a n )23.(1)a m ＋a n ＝a p ＋a q (2)S 3k－S 2k 作业设计 1．80解析 a 6＋a 7＋…＋a 10＝S 10－S 5＝111－31＝80. 2．24 3．100解析设数列{a n }，{b n }的公差分别为d ，d ′，则a 2＋b 2＝(a 1＋d )＋(b 1＋d ′)＝(a 1＋b 1)＋(d ＋d ′)＝100. 又∵a 1＋b 1＝100，∴d ＋d ′＝0.∴a 37＋b 37＝(a 1＋36d )＋(b 1＋36d ′)＝(a 1＋b 1)＋36(d ＋d ′)＝100. 4．26解析 ∵a 3＋a 7＋a 11＝6，∴a 7＝2，∴S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7＝26.5．105解析 ∵a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝15，∴a 2＝5. ∵a 1＝5－d ，a 3＝5＋d ，d >0， ∴a 1a 2a 3＝(5－d )·5·(5＋d )＝80， ∴d ＝3，a 1＝2.∴a 11＋a 12＋a 13＝3a 12＝3(a 1＋11d )＝3a 1＋33d ＝3×2＋33×3＝105. 6．11解析 S 4＝S 8⇒a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝0⇒a 6＋a 7＝0，又a 1>0，d <0，S 12＝(a 1＋a 12)·122＝0，故n <12时，S n >0.即S n >0成立的最大自然数n 为11. 7．0解析设S n ＝an 2＋bn ，由S p ＝S q .知ap 2＋bp ＝aq 2＋bq ，∴p ＋q ＝－ba .∴S p ＋q ＝a (p ＋q )2＋b (p ＋q )＝a (－b a )2＋b (－b a )＝b 2a －b2a ＝0. 8．6 036解析 ∵S nn ＝a 1＋(n －1)d 2，∴S 2 0082 008－S 2 0062 006＝a 1＋2 008－12d －a 1－2 006－12d ＝d ＝2. ∴S 2 012＝2 012×(－2 008)＋2 012×2 0112×2＝2 012×3＝6 036.9．5或6解析 d <0，|a 3|＝|a 9|， ∴a 3>0，a 9<0且a 3＋a 9＝0，∴a 6＝0，∴a 1>a 2>…>a 5>0，a 6＝0,0>a 7>a 8>…. ∴当n ＝5或6时，S n 取到最大值． 10．n 2－2n ＋21解析 ∵a n ＋1－a n ＝2n －1， ∴a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝3，…， a n －a n －1＝2n －3，n ≥2.∴a n －a 1＝1＋3＋5＋…＋(2n －3)． ∴a n ＝20＋(n －1)(2n －2)2＝n 2－2n ＋21.11．解 (1)设n 分钟后第1次相遇，依题意，有2n ＋n (n －1)2＋5n ＝70，整理得n 2＋13n －140＝0.解之得n ＝7，n ＝－20(舍去)．第1次相遇是在开始运动后7分钟． (2)设n 分钟后第2次相遇，依题意，有 2n ＋n (n －1)2＋5n ＝3×70，整理得n 2＋13n －420＝0. 解之得n ＝15，n ＝－28(舍去)．第2次相遇是在开始运动后15分钟．12．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，且d >0. ∵a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22，又a 3·a 4＝117，又公差d >0，∴a 3<a 4，∴a 3＝9，a 4＝13.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝9a 1＋3d ＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1d ＝4，∴a n ＝4n －3. (2)由(1)知，S n ＝n ·1＋n (n －1)2·4＝2n 2－n ，∴b n ＝S nn ＋c ＝2n 2－n n ＋c .∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c .∵{b n }是等差数列，∴2b 2＝b 1＋b 3，∴2c 2＋c ＝0，∴c ＝－12(c ＝0舍去)．13．④解析 ∵S 19＝19(a 1＋a 19)2＝19a 10<0，S 20＝20(a 1＋a 20)2.而a 1＋a 20＝a 10＋a 11，∵a 10<0，a 11>0且|a 10|<a 11，∴a 10＋a 11>0，∴S 20＝20(a 1＋a 20)2＝10(a 10＋a 11)>0.又∵d ＝a 11－a 10>0. ∴S n >0 (n ≥20)．④正确． 14.n 22－n 2＋3 解析该数阵的第1行有1个数，第2行有2个数，…，第n 行有n 个数，则第n －1 (n ≥3)行的最后一个数为(n －1)(1＋n －1)2＝n 22－n2，则第n 行从左至右的第3个数为n 22－n2＋3.。

高中数学(苏教版,必修五) 第3章不等式 3.1 课时作业(含答案)

第3章不等式§3.1 不等关系课时目标 1.初步学会作差法比较两实数的大小.2.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题．1．比较实数a ，b 的大小(1)文字叙述如果a －b 是正数，那么a____b ；如果a －b 等于____，那么a ＝b ；如果a －b 是负数，那么a____b ，反之也成立．(2)符号表示a －b>0⇔a____b ；a －b ＝0⇔a____b ；a －b<0⇔a____b.2．常用的不等式的基本性质(1)a>b ⇔b____a(对称性)；(2)a>b ，b>c ⇒a____c(传递性)；(3)a>b ⇒a ＋c____b ＋c(可加性)；(4)a>b ，c>0⇒ac____bc ；a>b ，c<0⇒ac____bc ；(5)a>b ，c>d ⇒a ＋c____b ＋d ；(6)a>b>0，c>d>0⇒ac____bd ；(7)a>b>0，n ∈N ，n ≥2⇒a n ____b n ；(8)a >b >0，n ∈N ，n ≥2⇒n a ____n b .一、填空题1．若f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，则f (x )与g (x )的大小关系是________．2．若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式成立的是________．①1a <1b ；②a 2>b 2；③a c 2＋1>b c 2＋1；④a |c |>b |c |. 3．若x ∈R ，则x 1＋x 2与12的大小关系为________． 4．设n >1，n ∈N ，A ＝n －n －1，B ＝n ＋1－n ，则A 与B 的大小关系为________．5．已知a 、b 为非零实数，且a 0且a ≠1，M ＝log a (a 3＋1)，N ＝log a (a 2＋1)，则M ，N 的大小关系为________．8．若a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式中正确的是________．①ab >ac ；②ac >bc ；③a |b |>c |b |；④a 2>b 2>c 2.9．设a ，b ∈R ，若a －|b |>0，则下列不等式中不正确的是____________． ①b －a >0；②a 3＋b 3<0；③a 2－b 2<0；④b ＋a >0.10．已知三个不等式：ab >0，bc －ad >0，c a －d b>0(其中a 、b 、c 、d 均为实数)．用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是________．二、解答题11．设a >b >0，试比较a 2－b 2a 2＋b 2与a －b a ＋b的大小．12．设f (x )＝1＋log x 3，g (x )＝2log x 2，其中x ＞0且x ≠1，试比较f (x )与g (x )的大小．能力提升13．若0<a 1<a 2,00⇔a >b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b <0⇔a 0 < (2)> ＝ < 2.(1)< (2)> (3)> (4)> < (5)> (6)> (7)> (8)> 作业设计1．f(x)>g(x)解析 ∵f(x)－g(x)＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1>0，∴f(x)>g(x)．2．③解析对①，若a>b ，b<0，则1a >0，1b <0，此时1a >1b， ∴①不成立；对②，若a ＝1，b ＝－2，则a 2b ，∴a c 2＋1>b c 2＋1恒成立， ∴③正确；对④，当c ＝0时，a|c|＝b|c|，∴④不成立．3.x 1＋x 2≤12解析 x 1＋x 2－12＝2x －1－x 22(1＋x 2)＝－(x －1)22(1＋x 2)≤0. ∴x 1＋x 2≤12. 4．A>B解析 A ＝1n ＋n －1，B ＝1n ＋1＋n∵n ＋n －1<n ＋1＋n ，并且都为正数．∴A>B.5．①②④解析对于①，在a0时，a 2b>0，ab 2<0，a 2b<ab 2不成立；对于③，∵a0，∴1ab 2<1a 2b；对于④，当a ＝－1，b ＝1时，b a ＝a b＝－1，故不成立． 6．b<a<c解析 ∵1e<x<1，∴－1<ln x<0.令t ＝ln x ，则－1<t<0.∴a －b ＝t －2t ＝－t>0.∴a>b.c －a ＝t 3－t ＝t(t 2－1)＝t(t ＋1)(t －1)，又∵－1<t<0，∴0<t ＋1<1，－2<t －1<－1，∴c －a>0，∴c>a.∴c>a>b.7．M>N解析当a>1时，a 3＋1>a 2＋1，此时，y ＝log a x 为R ＋上的增函数，∴log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)，当0<a <1时，a 3＋1<a 2＋1，此时，y ＝log a x 为R ＋上的减函数，∴log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)，∴a >0且a ≠1时，总有M >N .8．①解析由a >b >c 及a ＋b ＋c ＝0知a >0，c <0，⎩⎨⎧ a >0b >c ⇒ab >ac .9．①②③解析由a >|b |得－a 0，且a －b >0.∴b －a <0，①错，④对．a 3＋b 3＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)＝(a ＋b )[(a －b 2)2＋34b 2] ∴a 3＋b 3>0，②错．而a 2－b 2＝(a －b )(a ＋b )>0.③错．10．3解析 c a －d b >0⇔bc －ad ab>0，所以下列三个命题都成立： ①⎩⎪⎨⎪⎧ab >0bc －ad >0⇒c a －d b >0； ②⎩⎪⎨⎪⎧ ab >0c a －d b>0⇒bc －ad >0； ③⎩⎪⎨⎪⎧ bc －ad >0c a －d b>0⇒ab >0. 11．解方法一作差法a 2－b 2a 2＋b 2－a －b a ＋b ＝(a ＋b )(a 2－b 2)－(a －b )(a 2＋b 2)(a 2＋b 2)(a ＋b )＝(a －b )[(a ＋b )2－(a 2＋b 2)](a 2＋b 2)(a ＋b )＝2ab (a －b )(a ＋b )(a 2＋b 2)∵a >b >0，∴a ＋b >0，a －b >0,2ab >0.∴2ab (a －b )(a ＋b )(a 2＋b 2)>0，∴a 2－b 2a 2＋b 2>a －b a ＋b. 方法二作商法∵a >b >0，∴a 2－b 2a 2＋b 2>0，a －b a ＋b>0. ∴a 2－b 2a 2＋b 2a －b a ＋b＝(a ＋b )2a 2＋b 2＝a 2＋b 2＋2ab a 2＋b 2＝1＋2ab a 2＋b 2>1. ∴a 2－b 2a 2＋b 2>a －b a ＋b. 12．解 f (x )－g (x )＝1＋log x 3－2log x 2＝log x 3x 4， ①当⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜x ＜1，3x 4＞1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，0＜3x 4＜1，即1＜x ＜43时，log x 3x 4＜0，∴f (x )＜g (x )； ②当3x 4＝1，即x ＝43时，log x 3x 4＝0，即f (x )＝g (x )；③当⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜x ＜1，0＜3x 4＜1，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞1，3x 4＞1，即0＜x ＜1，或x ＞43时，log x 3x 4＞0，即f (x )＞g (x )．综上所述，当1＜x ＜43时，f (x )＜g (x )；当x ＝43时，f (x )＝g (x )；当0＜x ＜1，或x ＞43时，f (x )＞g (x )． 13．①解析方法一特殊值法．令a 1＝14，a 2＝34，b 1＝14，b 2＝34，则a 1b 1＋a 2b 2＝1016＝58，a 1a 2＋b 1b 2＝616＝38， a 1b 2＋a 2b 1＝616＝38， ∵58>12>38，∴最大的数应是a 1b 1＋a 2b 2. 方法二作差法．∵a 1＋a 2＝1＝b 1＋b 2且0<a 1<a 2,0a 1，b 2＝1－b 1>b 1，∴0<a 1<12，0<b 1<12. 又a 1b 1＋a 2b 2＝a 1b 1＋(1－a 1)(1－b 1)＝2a 1b 1＋1－a 1－b 1， a 1a 2＋b 1b 2＝a 1(1－a 1)＋b 1(1－b 1)＝a 1＋b 1－a 21－b 21， a 1b 2＋a 2b 1＝a 1(1－b 1)＋b 1(1－a 1)＝a 1＋b 1－2a 1b 1， ∴(a 1b 2＋a 2b 1)－(a 1a 2＋b 1b 2)＝a 21＋b 21－2a 1b 1＝(a 1－b 1)2≥0， ∴a 1b 2＋a 2b 1≥a 1a 2＋b 1b 2.∵(a 1b 1＋a 2b 2)－(a 1b 2＋a 2b 1)＝4a 1b 1＋1－2a 1－2b 1 ＝1－2a 1＋2b 1(2a 1－1)＝(2a 1－1)(2b 1－1)＝4⎝⎛⎭⎫a 1－12⎝⎛⎭⎫b 1－12>0， ∴a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 1.∵(a 1b 1＋a 2b 2)－12＝2a 1b 1＋12－a 1－b 1 ＝b 1(2a 1－1)－12(2a 1－1)＝(2a 1－1)⎝⎛⎭⎫b 1－12 ＝2⎝⎛⎭⎫a 1－12⎝⎛⎭⎫b 1－12>0， ∴a 1b 1＋a 2b 2>12. 综上可知，最大的数应为a 1b 1＋a 2b 2.14．解 ∵5x 2＋y 2＋z 2－(2xy ＋4x ＋2z －2) ＝4x 2－4x ＋1＋x 2－2xy ＋y 2＋z 2－2z ＋1 ＝(2x －1)2＋(x －y )2＋(z －1)2≥0，∴5x 2＋y 2＋z 2≥2xy ＋4x ＋2z －2，当且仅当x ＝y ＝12且z ＝1时取到等号．。

高中数学苏教版必修5 1.1第1课时正弦定理作业 Word版含解析

[学业水平训练]一、填空题1．在△ABC 中 ,a ＝7 ,c ＝5 ,那么sin A ∶sin C 的值是________．解析：由正弦定理得sin A ＝a 2R ,sin C ＝c 2R, ∴sin A ∶sin C ＝a 2R ∶c 2R＝a ∶c ＝7∶5. 答案：7∶52．在△ABC 中 ,a ＝2 ,b ＝2 2 ,A ＝30° ,那么B ＝________．解析：由正弦定理 ,可得sin B ＝22. ∵b ＞a ,∴B ＞A ＝30° ,∴B ＝45°或135°.答案：45°或135°3．在△ABC 中 ,sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶6∶7 ,且三角形的周长为36 ,那么其三边长分别为________．解析：由正弦定理 ,可得a ∶b ∶c ＝5∶6∶a ＝10 ,b ＝12 ,c ＝14.答案：10 ,12 ,144．在△ABC 中 ,A ＝135° ,B ＝15° ,c ＝2 ,那么△ABC 中最|长边的长为________．解析：设最|长边为a ,利用正弦定理及三角形内角和定理 ,可得a ＝c sin C ·sin A ＝2sin 30°×sin 135°＝2 2.即△ABC 中最|长边的长为2 2.答案：2 25．(2021·南京调研)△ABC 中 ,A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,且满足c sin A ＝a cos C ,那么角C ＝________.解析：由c sin A ＝a cos C 结合正弦定理可得sin C sin A ＝sin A cos C ,且sin A ≠0 ,所以tan C ＝1 ,C ∈(0 ,π) ,故C ＝π4. 答案：π46．在△ABC 中 ,如果A ∶B ∶C ＝2∶3∶7 ,那么a ∶b ＝________．解析：由A ＝30° ,B ＝45° ,那么a ∶b ＝sin 30°∶sin 45°＝1∶ 2.答案：1∶ 27．在△ABC 中 ,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .假设a ＝ 2 ,b ＝2 ,sin B ＋cos B ＝ 2 ,那么角A 的大小为________．解析：∵sin B ＋cos B ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝2 , ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝1. 又0＜B ＜π ,∴B ＝π4. 由正弦定理 ,得sin A ＝a sin B b ＝2×222＝12.又a ＜b ,∴A ＜B ,∴A ＝π6. 答案：π6二、解答题8．在△ABC 中 ,求证a －c cos B b －c cos A ＝sin B sin A. 证明：由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R , 得a ＝2R sin A ,b ＝2R sin B ,c ＝2R sin C .左边＝2R sin A －2R sin C ·cos B 2R sin B －2R sin C ·cos A＝sin A －sin C ·cos B sin B －sin C ·cos A ＝sin (B ＋C )－sin C ·cos B sin (A ＋C )－sin C ·cos A ＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C －sin C ·cos B sin A ·cos C ＋cos A ·sin C －sin C ·cos A ＝sin B ·cos C sin A ·cos C ＝sin B sin A＝右边 , 所以a －c cos B b －c cos A ＝sin B sin A. 9．在△ABC 中 ,c ＝10 ,A ＝45° ,C ＝30° ,求a ,b 和B .解：由正弦定理知 ,a ＝c sin C ·sin A ＝10sin 30°×sin 45°＝102 ,B ＝180°－A －C ＝105° , ∴b ＝a sin A ·sin B ＝102sin 45°×sin 105° ＝56＋5 2.[（高|考）水平训练]一、填空题1．以下判断三角形解的情况 ,正确的选项是________．①a ＝8 ,b ＝16 ,A ＝30° ,有两解；②b ＝18 ,c ＝20 ,B ＝60° ,有一解；③a ＝15 ,b ＝2 ,A ＝90° ,无解；④a ＝40 ,b ＝30 ,A ＝120° ,有一解．解析：①中a ＝b sin A ,有一解；②中c sin B b ,有一解；④中a >b 且A ＝120°有一解．综上 ,④正确．答案：④2．在锐角三角形ABC 中 ,A ＝2B ,边a ,b ,c 所对的角分别为A ,B ,C ,那么a b的取值范围为________．解析：在锐角三角形ABC 中 ,A ,B ,C <90° ,即⎩⎨⎧B <90° 2B <90° 180°－3B <90°∴30°<B <45°.由正弦定理知 ,a b ＝sin A sin B ＝sin 2B sin B ＝2cos B ∈(2 ,3) ,故a b的取值范围是(2 ,3)．答案：( 2 ,3)二、解答题3．在△ABC 中 ,设cos B 3b ＝cos C 2c ＝cos A a,求cos A 的值．解：由正弦定理 ,得cos B 3sin B ＝cos C 2sin C ＝cos A sin A⇒ ⎩⎪⎨⎪⎧tan B ＝13tan A tan C ＝12tan A . 又tan A ＝－tan(B ＋C )＝－tan B ＋tan C1－tan B tan C ＝－5tan A 6－tan 2A⇒tan 2A ＝11⇒cos A ＝±36. 由题设 ,负值应舍去 ,故cos A ＝36. 4．设函数f (x )＝cos(2x ＋π3)＋sin 2x . (1)求函数f (x )的最|小正周期；(2)设△ABC 的三个内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,假设c ＝ 6 ,cos B ＝13 ,f (C 2)＝－14,求b . 解：(1)f (x )＝cos(2x ＋π3)＋sin 2x ＝cos 2x cos π3－sin 2x sin π3＋1－cos 2x 2＝12cos 2x －32sin 2x ＋12－12cos 2x ＝－32sin 2x ＋12. ∵ω＝2 ,∴T ＝2πω＝π. ∴函数f (x )的最|小正周期为π.(2)由(1)得 ,f (x )＝－32sin 2x ＋12, ∴f (C 2)＝－32sin(2×C 2)＋12＝－32sin C ＋12. 又f (C 2)＝－14, ∴－32sin C ＋12＝－14 ,∴sin C ＝32.∵在△ABC 中 ,cos B ＝13, ∴sin B ＝ 1－ (13 )2＝223, ∴由正弦定理b sin B ＝c sin C, 得b ＝c ·sin B sin C ＝6·22332＝83. ∴b ＝83.。

苏教版高中数学必修五不等式1课时作业.docx

桑水
第1课不等关系
分层训练
1．1.建筑学规定,民用住宅的窗户面积必须小于地板的面积,但按采光标准, 窗户面积与地板面积的比应不小于10%,并且这个比越大, 住宅的采光条件越好,如果我们将窗户与地板同时增加相等的一个面积数,那么住宅的采光条件是变还了还是变坏了?答: .
2.已知0≠x ,则2
2
)1(+x 与12
4++x x 的大小
关系为 . 3.某种植物适宜生长在温度为18℃~20℃的山区, 已知山区海拔每升高100m , 气温下降0.55℃, 现测得山脚下的平均气温为22℃, 该植物种在山区多高处为宜? 考试热点
4.某商品进货单位为40元, 若按50元一个销售, 能卖出50个, 若销售单位每涨1元销售量就减少一个, 为了获得最大利润, 该商品的最佳售价为多少元?
5.制作一个高为20cm 的长方体容器, 底面矩形的长比宽多10cm , 并且容积不少于4000cm 3, 问: 底面矩形的宽至少应为多少?
拓展延伸
6.某化工厂制定明年某产品的生产计划, 受下面条件的制约: 生产此产品的工人数不超过200人; 每个工人年工作约计2100h , 预计此产品明年销售量至少80000袋; 每袋需用4h ; 每袋需用原料20kg ; 年底库存原料600t , 明年可补充1200t , 试根据这些数据预测明年的产量.
本节学习疑点：
学生质疑
教师释疑
桑水。

2020年苏教版必修5课后练习(1)(有答案解析)

2020年苏教版必修5课后练习（1）一、选择题（本大题共2小题，共10.0分）1.一个三角形的两个内角分别为和，若角所对的边长为8，那么角所对边的长是A. 4B.C.D.2.在中，，，则等于A. 2B.C.D.二、填空题（本大题共1小题，共5.0分）3.已知轮船A和轮船B同时离开C岛，A船沿北偏东方向航行，B船沿正北方向航行，若A船的航行速度为，1h后，B船测得A船位于B船的北偏东处，则此时A，B两船相距______nmile．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）4.在中，已知，，，求a，b．已知，，，求a，c．5.根据下列条件解三角形：，，；，，；，，．6.为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，如图要测算出A，B两点间的距离，测量人员在岸边定出基线测得，，，试计算AB的长精确到．7.在一座10m高的观测台顶测得对面一水塔塔顶仰角为塔底俯角为求水塔的高度．8.根据下列条件，判断的形状：；．9.在中，已知，，，求这个三角形的最大边的长；已知，，，求a，c，B；已知，，，求c；已知，求B．10.根据下列条件解三角形：，，；，，；，，；，，．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：设角所对边的长为x，角所对的边长为8，根据正弦定理得：，则．故选：B．设出角所对边的长为x，再由角所对的边长为8，利用正弦定理及特殊角的三角函数值即可求出x的值，即为角所对边的长．此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，正弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．2.答案：A解析：【分析】本题主要考查正弦定理的应用，比例式的性质，求得是解题的关键，属于基础题．【解答】解：由正弦定理可得，再由，．故选：A．3.答案：解析：解：由题意，中，，，，由正弦定理可得，．故答案为：．由题意，中，，，，由正弦定理可得AB．本题考查利用数学知识解决实际问题，考查正弦定理的运用，比较基础．4.答案：解：，，，由正弦定理可得：，．，，，由正弦定理可得：，．解析：由已知可求角C，由正弦定理可得：，，代入即可求值．由已知可求角C，由正弦定理可得：，，代入即可求值．本题主要考查了正弦定理在解三角形中的简单应用，属于基础题．5.答案：解：，，，由正弦定理可得，；或；当时，；．当时，；．因为，，；且，；；；．因为，，．且，所以：；；解析：利用正弦定理以及三角形的内角和，即可解三角形．本题考查正弦定理的运用，考查三角形内角和，属于中档题．6.答案：解：由题意及图知，，，，；由正弦定理得．故AB的长为：．解析：由题意及图知，可先求出，再由正弦定理代入数据即可计算出A，B两点的距离．本题考查利用正弦定理求长度，是正弦定理应用的基本题型，计算题．7.答案：解：如图，由已知可得：，，塔高为．即水塔的高度为：．解析：在直角三角形ABD中根据求得BD，进而可得答案．本题主要考查解三角形在实际中的应用．属基础题．8.答案：解：；利用正弦定理：，整理得：，故：为直角三角形．由于：．利用正弦定理：所以：，所以：或，故：或．所以：为直角三角形或等腰三角形．解析：直接利用正弦定理的应用求出结果．直接利用正弦定理和三角函数关系式的恒等变变换求出结果．本题考查的知识要点：正弦定理和三角函数关系式的恒等变变换，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．9.答案：解：为最大角，三角形ABC的最大边为a，根据三角形内角和定理：，在中有正弦定理有：，可得；，，，，由正弦定理，可得，；，，，由余弦定理，可得，可得，解得负值舍去；，由正弦定理可得：，，可得，，或．解析：首先根据最大角分析出最大边，然后根据内角和定理求出另外一个角，最后用正弦定理求出最大边．由已知利用三角形的内角和定理可求B的值，进而根据正弦定理可得a，c的值；由已知利用余弦定理，解方程可求得c的值；由正弦定理化简已知等式，结合，可得，结合范围，可求B的值．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形内角和定理在解三角形中的应用，在已知两角一边求另外边时采用正弦定理，考查了转化思想，属于基础题．10.答案：解：，由正弦定理得，即，，，由正弦定理得，即，解得，，或舍．，再由正弦定理得，即，解得．，，即，，与三角形的内角和为矛盾，三角形无解．由正弦定理得，即，解得，或，当时，，再由正弦定理得，即，解得，当时，，再由正弦定理得，即，解得．解析：利用正弦定理和内角和定理计算．本题考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．。

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一、填空题
1．△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c 且a ＝3，A ＝60°，C ＝45°，则c ＝______.
【解析】 ∵a sin A ＝c sin C ，∴332＝c 22
，∴c ＝ 2. 【答案】 2
2．(2018·扬州高二检测)在△ABC 中，已知A ＝75°，B ＝45°，c ＝32，则b ＝________.
【解析】 ∵A ＝75°，B ＝45°，∴C ＝60°，∴b sin 45°＝32sin 60°
，∴b ＝2 3. 【答案】 2 3
3．在△ABC 中，A ∶B ∶C ＝4∶1∶1，则a ∶b ∶c ＝________.
【解析】由已知得A ＝120°，B ＝C ＝30°，∴a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶1∶1.
【答案】 3∶1∶1
4．(2018·韶关高二检测)已知△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，a ＝2，b ＝3，B ＝60°，那么A 等于________．【解析】 ∵2sin A ＝3sin 60°，∴sin A ＝22
，∵a ＜b ， ∴A ＜B ，∴A ＝45°.
【答案】 45°
5．在△ABC 中，B ＝45°，C ＝60°，c ＝1，则最短边的长为________．
【解析】 A ＝75°，∴B 为最小角，∴b 为最短边， ∴由c sin C ＝b sin B 得b ＝63. 【答案】 63
6．(2018·石家庄高二检测)在△ABC 中，若b ＝5，B ＝π4
，tan A ＝2，则sin A ＝________；a ＝________. 【解析】由tan A ＝2得sin A ＝2cos A ．又sin 2A ＋cos 2A ＝1得sin A ＝
255. 又∵b ＝5，B ＝π4，根据正弦定理a sin A ＝b sin B
， a ＝bsin A sin B ＝252
2
＝210. 【答案】
255；210
7．(2018·广州高二检测)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝2，b ＝3，则sin A ＋
＝________.
【解析】 sin A ＋＝sin A sin B ＝a b ＝23. 【答案】 23
8．若满足条件C ＝60°，AB ＝3，BC ＝a 的△ABC 有两个，那么a 的取值范围是________．【解析】因为△ABC 有两个，应满足条件BCsin C ＜AB ＜BC ，即asin 60°＜3＜a ，解得3＜a ＜2，所以a 的取值范围是(3，2)．
【答案】 (3，2)
二、解答题
9．根据下列条件，解△ABC ；
(1)已知b ＝4，c ＝8，B ＝30°，求C 、A 、a ；
(2)已知B ＝45°，C ＝75°，b ＝2，求a 、c 、A.
【解】 (1)由正弦定理得sin C ＝
csin B b ＝8sin 30°4
＝1. ∵30°＜C ＜150°，∴C ＝90°，
从而A ＝180°－(B ＋C)＝60°，
a ＝c 2－
b 2＝4 3.
(2)∵A ＋B ＋C ＝180°，
∴A ＝180°－(B ＋C)＝180°－(75°＋45°)＝60°.
又∵a sin A ＝b sin B ， ∴a ＝bsin A sin B ＝2×sin 60°sin 45°＝6，同理，c ＝bsin C sin B ＝sin 75°sin 45°×2＝3＋1. 10．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，求sin C.
【解】由A ＋C ＝2B 及A ＋B ＋C ＝180°，知B ＝60°，
由正弦定理，1sin A ＝3sin 60°
， ∴sin A ＝12
.由a ＜b ，知A ＜B ＝60°，则A ＝30°，C ＝180°－(30°＋60°)＝90°，sin C ＝sin 90°＝1.
11．(2018·徐州检测)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对应的边，且b ＝6，a ＝23，A ＝30°，求ac 的值．
【解】由正弦定理a sin A ＝b sin B
得
sin B ＝bsin A a ＝6sin 30°23
＝32. 由条件b ＝6，a ＝23，b ＞a 知B ＞A.
∴B ＝60°或120°.
(1)当B ＝60°时，C ＝180°－A －B
＝180°－30°－60°＝90°.
在Rt △ABC 中，C ＝90°，a ＝23，b ＝6，c ＝43，
∴ac ＝23×43＝24.
(2)当B ＝120°时，C ＝180°－A －B ＝180°－30°－120°＝30°，∴A ＝C ，则有a ＝c ＝2 3. ∴ac ＝23×23＝12.。