小学奥数五年级同余问题知识分享

小学奥数五年级同余

问题

同余问题

【模块一：带余除法的定义和性质】

1、一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。

2、(2003年全国小学数学奥林匹克试题)有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少？

3、(2000年“祖冲之杯”小学数学邀请赛试题)三个不同的自然数的和为2001，它们分别除以19,23,31所得的商相同，所得的余数也相同，这三个数是_______，_______，_______。

4、(1997年我爱数学少年数学夏令营试题)有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人．如果把书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够．如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；每人4本，书不够．问：第二组有多少人?

【模块二：三大余数定理的应用】

5、(2003年南京市少年数学智力冬令营) 20032与2

2003的和除以7的余数____． 6、(2004年南京市少年数学智力冬令营)在1995，1998，2000，2001，2003中，若其中几个数的和被9除余7，则将这几个数归为一组．这样的数组共有___组．

7、(2002年全国小学数学奥林匹克试题)用自然数n 去除63，91，129得到的三个余数之和为25，那么n=________

8、(华罗庚金杯赛模拟试题)求478296351⨯⨯除以17的余数．

9、(2008年奥数网杯)已知

20082008200820082008a =L 144424443个，问：a 除以13所得的余数是多

少？ 【模块三：余数综合应用】

10、著名的裴波那契数列是这样的：1、1、2、3、5、8、13、21……这串数列当中第2008个数除以3所得的余数为多少？

答案

1、本题为余数问题的基础题型，需要学生明白一个重要知识点，就是把余数问题---即“不整除问题”转化为整除问题。方法为用被除数减去余数，即得到一个除数的倍数；或者是用被除数加上一个“除数与余数的差”，也可以得到一个除数的倍数。本题中310-37=273，说明273是所求余数的倍数，而273=3×7×13，所求的两位数约数还要满足比37大，符合条件的有39，91.

2、被除数除数商余数被除数除数+17+13=2113，所以被除数除数=2083，由于被除数是除数的17倍还多13，则由“和倍问题”可得：除数=（2083-13）÷（17+1）=115，所以被除数=2083-115=1968．

3、设所得的商为a ，除数为b ．(19)(23)(31)2001a b a b a b +++++=，

7332001a b +=，由19b <，可求得27a =，10b =．所以，这三个数分别是19523a b +=，23631a b +=，31847a b +=。

4、由48412÷=，4859.6÷=知，一组是10或11人．同理可知48316÷=，48412÷=知，二组是13、14或15人，因为二组比一组多5人，所以二组只能是15人，一组10人．

5、找规律．用7除2，22，32，42，52，62，…的余数分别是2，4，1，2，4，1，2，4，1，…,2的个数是3的倍数时，用7除的余数为1；2的个数是3的倍数多1时，用7除的余数为2；2的个数是3的倍数多2时，用7除的余数为4．因为20033667222⨯+=，所以20032除以7余4．又两个数的积除以7的余数，与两个数分别除以7所得余数的积相同．而2003除以7余1，所以22003除以7余

1．故20032与22003的和除以7的余数是415+=．

6、1995，1998，2000，2001，2003除以9的余数依次是6，0，2，3，5．因为252507+=++=，25360253679+++=++++=+，所以这样的数组共有下面4个：()2003,2000，()2003,2000,1998 ，()1995,2001,2003,2000 ，

()1995,2001,2003,2000,1998．

+++=++

7、n 能整除258251299163=-++．因为258=2×3×43，所以这个数可能是2，3,43,6,86,129．显然，n 不能大于63且要大于25．符合条件的只有43．

8、先求出乘积再求余数，计算量较大．可先分别计算出各因数除以17的余数，再求余数之积除以17的余数．478,296,351除以17的余数分别为2，7和11，(2711)179......1⨯⨯÷=．

9、2008除以13余6，10000除以13余3，注意到

200820082008100002008=⨯+；

20082008200820082008100002008=⨯+；

2008200820082008200820082008100002008=⨯+；

L L

根据这样的递推规律求出余数的变化规律：

20082008除以13余6361311⨯+-=，200820082008除以13余1136390⨯+-=，

即200820082008是13的倍数．而2008除以3余1，所以20082008

200820082008a =L 144424443个除

以13的余数与2008除以13的余数相同，为6.

10、斐波那契数列的构成规则是从第三个数起每一个数都等于它前面两个数的和，由此可以根据余数定理将裴波那契数列转换为被3除所得余数的数列： 1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0……

第九项和第十项连续两个是1，与第一项和第二项的值相同且位置连续，所以裴波那契数列被3除的余数每8个一个周期循环出现，由于2008除以8的余数为0，所以第2008项被3除所得的余数为第8项被3除所得的余数，为0.