从不同方向看[上学期]--北师大版-(2019年9月)
北师大版数学七年级上册电子课本(2020年九月整理).doc
第1章丰富的图形世界
1 生活中的立体图形
2 展开与折叠
3 截一个几何体
4 从不同方向看
5 生活中的平面图形
回顾与思考
第2章有理数及其运算
1 数怎么不够用了
2 数轴
3 绝对值
4 有理数的加法
5 有理数的减法
6 有理数的加减混合运算
7 水位的变化
8 有理数的乘法
9 有理数的除法
10 有理数的乘方
11 有理数的混合运算
回顾与思考
第3章字母表示数
1 字母能表示什么
2 代数式
3 代数式求值
4 合并同类项
5 去括号
6 探索规律
回顾与思考
第4章平面图形及其位置关系
1 线段、射线、直线
2 比较线段的长短
3 角的度量与表示
4 角的比较
5 平行
6 垂直
7 有趣的七巧板
回顾与思考
第5章一元一次方程
1 你今年几岁了
2 解方程
3 日历中的方程
4 我变胖了
5 打折销售
6 “希望工程”义演
7 能追上小明吗
8 教育储蓄
回顾与思考
第6章生活中的数据
1 认识1信心吗
5 统计图的选择
回顾与思考
第7章可能性
1一定摸到红球吗
2转盘游戏
3谁转出的“四位数”大
回顾与思考
总复习
第二单元 观察物体(知识解读 真题演练) 三年级数学上册(北师大版)
第二单元观察物体1、能根据照片或直观图辨认从不同位置观察到的简单物体的形状。
2、在实物观察.空间想象和推理等活动中，体验从不同的位置观察物体，每次最多能看到三个面，积累观察物体的活动经验。
3、经历从不同位置观察两个物体的活动过程，体验从不同位置看到的物体间的相对位置是不同的，并能根据物体的相对位置辨认从不同位置观察到的物体的形状。
1、站在不同位置观察同一物体，每次最多能看到三个面。
2、物体的上面、侧面和正面是相对于观察者的位置来说的，一般情况下，观察的角度不同，结果也不同。
3、从不同位置观察同一物体，所看到的物体的形状-般是不同的;从相对位置观察同一物体，看到的物体的形状正好是相反的。
4、从不同位置观察两个物体时，我们不仅要考虑每个物体的形状，还要注意两个物体的相对位置关系以及是否有遮挡情况。
5、观察者与被观察的两个物体在一条直线上且平视时，在视觉上离观察者近的物体会将离观察者远的物体挡住一部分或全部。
一、选择题1．（2021秋·陕西榆林·三年级统考期末）小华看到的图是（）。
A．B．C．D．2．（2022秋·陕西汉中·三年级统考期末）如图，小文从窗外看到的是（）。
A．B．C．D．3．（2023秋·安徽六安·三年级统考期末）是（）同学看到的。
A．B．C．4．（2019秋·内蒙古包头·三年级统考期末）下图冰箱从正面看到的是（）。
A．B．C．5．（2022秋·广东清远·三年级统考期末）如图，莫莫看到的形状是（）。
A．B．C．D．6．（2021秋·广东深圳·三年级统考期末）观察图，乐乐看到的是（）。
A．B．C．二、填空题7．（2022秋·山西吕梁·三年级统考期末）下面的四幅图分别是谁看到的？把正确的姓名填在括号里。
8．（2023秋·山西晋城·三年级统考期末）“小小魔方大智慧”，玩转魔方既可以锻炼学生的手脑协调能力，又能锻炼记忆力。
北师大版六年级数学上册第三单元 观察物体3.4 不同位置观察物体的相对位置(2)
易错辨析
2.平平向纪念碑走去，他边走边拍下了四张照片。请
用①②③④标出平平的拍摄顺序。 辨析：没有掌握拍摄照片
④
②
时，离物体越来越
近，物体形状的变化规律
①
③
不同位置观察物体的相对位置（2）
提升点 1 确定照片拍摄的先后顺序
3．右边的照片是贝贝的爸爸拍摄前看到的天安门的 样子，请用①②③④标出拍摄的先后顺序。
不同位置观察物体的相对位置（2）
5.按时间先后排列的顺序是：b，d，a，c，e。点 拨：上午阳光影子逐渐变短，到中午最短，下午 又逐渐变长。排序时要考虑随着时间的变化，光 线的方向也变化。
提示：点击 进入练习
1
2
3
4
5
不同位置观察物体的相对位置（2）
知识点 1 判断连续拍摄的四张照片的顺序
1.下面是亮亮沿着小河游览拍摄的风景图(自左向右)， 他连续拍了四张照片，请你在四张照片下面的( )里用①②③④标出拍摄的顺序。
不同位置观察物体的相对位置（2）
④
②
①
③
不同位置观察物体的相对位置（2）
2
4 1
3
返回
不同位置观察物体的相对位置（2）
⑴下面四个画面，分别是站在①②③④哪个位置看到的？
（③ ） （④）
（①）
（ ②）
返回
不同位置观察物体的相对位置（2）
⑵下面两个画面是从房子的东、南、西、北四个方向中的 哪个方向看到的，填一填。
东
南
返回
不同位置观察物体的相对位置（2）
课堂小结
这节课你们都学会了哪些知识？
序是什么？
返回
不同位置观察物体的相对位置（2）
返回
初中数学北师大版七年级上册《14从三个方向看物体的形状》教学设计
北师大版数学七年级1.4 从三个方向看物体的形状教学设计学生在了解生活中的立体图形，立体图形的展开与折叠及截一个几何体等内容之后，学习本节内容《从不同的方向看》，意在拓宽学生的思维，丰富学生对图形世界的认识。
教材首先初步从不同方向观察同一物体可能看到不同结果，能画出简单的三种形状图；然后由搭建模型、观察模型、画出三种形状图，到脱离模型、由数（从上面看的形状图及其相应位置的立方体的数量）悟形（立体图形）、由形（立体图形）悟形（形状图）、搭模验证等过程。
学生刚从小学升到中学，形象思维较弱，抽象水平较低。
从不同的方向看，也正是立足于此，主要是引导学生从不同的角度观察几何体，因而多为直观的操作、感受，当然也需要进行一定的抽象，因此要引导学生从某个角度正视的结果抽象成形状图，体验由数（从上面看的形状图及其相应位置的立方体的数量）悟形（立体图形）、由形（立体图形）悟形（形状图）的过程，让学生具备相对清晰地表达自己的思维，发展学生的表达能力和推理能力1、能识别简单物体的三种形状图，会画立方体及其简单组合的三种形状图，能根据三种形状图描述基本几何体或实物原形，会根据某几何体的某二种形状图，找出满足条件的小正方块的数量。
2、经历“从不同方向观察物体”的活动过程，发展学生的空间概念和合理的想象；在观察过程中，初步体会从不同方向观察同一物体得到的结果是不一样的；通过观察和动手操作，经历和体验组合体及从上面看的形状图中数字的变化导致三种形状图的变化的过程，培养实验操作能力，进一步发展空间观念。
3、培养学生重视实践、善于观察、主动探索、勇于发现、合作交流的品质。
会画立方体及其简单组合的三种形状图。
之美。
请学生思考：同样的物体，为什么看到的不是一样的呢？揭示课题《从不同方向看》。
我们从不同的方向观察同一物体时，2、出示课件面）和上面三个不同的方向看同一个物体，分别画出它们的平面图形，这样大体上就把一个物体的形状特征用平面图形表示出来了，如右图的由小正方体搭成的几何体，从正面看，从左面看和从上面看的平面图形分别为？请同学们尝试画一画．做一做：教师引导学生们用 6 个小立方块搭成三种不同的几何体，画出从正面、左面、上面看到的几何体的形状图，并与同伴进行交流．从正面看：从左面看：从上面看：三视图：从正面看到的图——主视图;从左面看到的图——左视图;从上面看到的图——俯视图.画物体的三视图时,要注意位置：主视图：看列，取最高层。
北师大版七年级数学上册1。4《从不同方向看(第2课时)》优秀教学案例
1.情境创设：本节课通过联系生活实际，利用多媒体展示现实生活中的空间几何现象，激发了学生的学习兴趣，提高了他们的空间想象力。这种情境创设的方法使得学生能够在轻松愉快的氛围中学习，更加符合学生的认知特点。
2.探究性学习：本节课注重引导学生主动探究，培养他们的独立思考能力。我设置了富有挑战性的问题，引导学生提出问题、独立思考，并自主寻求解决问题的方法。这种探究性学习的方式，使得学生在学习过程中能够充分发挥自己的主观能动性。
在教学过程中，我以“探究、互动、实践”为核心，注重培养学生的动手操作能力、合作交流能力和创新思维能力。通过设置富有启发性的问题，引导学生主动探究，激发学习兴趣，从而提高教学效果。在教学方法上，我采用多元化的教学手段，如直观演示、小组讨论、动手实践等，使学生在轻松愉快的氛围中掌握知识。
在课堂评价方面，我注重过程性评价与终结性评价相结合，关注学生的个体差异，充分发挥评价的诊断、反馈和激励作用。对于学生在学习过程中遇到的问题，我耐心解答，鼓励学生自主寻求解决方法，培养他们克服困难的勇气和信心。
（二）讲授新知
在讲授新知环节，我采用了直观演示、动手操作、小组讨论等多种教学方法。首先，我利用教具展示了球体、圆柱体、圆锥体的三视图，让学生直观地感受它们的特点。接着，我引导学生动手操作，亲自动手制作这些几何体的三视图模型，加深他们对知识的理解。
在讲授过程中，我注重引导学生主动探究，激发他们的求知欲望。通过直观演示和动手操作，让学生感受到数学的趣味性和魅力。同时，组织小组讨论，使学生在合作探讨中取长补短，共同提高。
3.合作交流：在教学过程中，我注重组织学生进行小组讨论，培养他们的合作交流能力和团队协作精神。通过小组合作学习，使学生相互启发、取长补短，提高学习效果。这种合作交流的方式，不仅能够提高学生的学习效果，还能够培养他们的沟通能力和社会协作能力。
最新北师大版数学七年级上册《1.4 从三个方向看物体的形状》精品教学课件
C.圆柱 D.圆锥
从正面看
从左面看
从上面看
课堂检测 基础巩固题
4.从三个方向看一个几何体的平面图形如图所示，则这个几 何体是（ C ）
从正面看 从左面看 从上面看
A. B.
C.
D.
课堂检测
基础巩固题
5.如图,从上面看由三个小立方体搭成的几何体,得到的平面 图形是( A )
正面
A.
B.
C.
D.
课堂检测
巩固练习
变式训练
由4个相同的小立方体搭成的几何体如图，它从正面看得 到的图形是( A )
A.
B.
C.
D.
探究新知 知识点 2 画出从三个方向看到的几何体的形状图 画出从正面、左面和上面看正方体得到什么图形？
探究新知
从正面看 从左面看
从上面看 结论：(1)从正面、左面、上面三个不同的方向看物体，看到 的都是平面图形，这样可将立体图形转化为平面图形；(2)物 体摆放的方式不同，看到的图形也不同；（3）不要忘记所看 到的面与面的交线或顶点等.
探究新知
做一做 桌面上放着一个圆柱和一个长方体请说出下面三幅 图分别是从哪一个方向看到的？
从 上 面 看 从左面看
从
从
左
正
面
面
看
看
（1）
（2）
从
上
面
（3）
看
探究新知
练一练 桌面上放着长方体、棱锥和圆柱，请说出下面三幅图分
别是从哪一个方向看到的？ 从 上 面 看
（1） 从正面看
（2） 从左面看
从左面看
从上面看
圆柱
探究新知 练一练 由各形状图判断几何体的形状？ 从正面看 从左面看
北师大版数学七年级上册教案 1.4从三个不同的方向观察
1.4从三个不同的方向看物体的形状学习目标：1、以观察物体为载体，着力发展学生的空间想象能力和推理能力，不断的发展学生的空间观念。
2、能根据观察的内容，画出从正面、上面、左面观察到的平面图形。
3、能据给出的平面图形还原立体图形，其中还包括根据给定的两个方向观察到的平面图形确定搭出这个立体图形所需要正方体的数量范围。
如果想象能力偏差的，动手摆摆。
教法与学法指导经过课前调查了解，发现学生掌握空间与图形领域的知识较扎实，对这部分知识学习热情高涨，希望自己是一个发现者、研究者、探索者，而在学生的精神世界中，这种需要特别强烈。
”让学生自己动手搭一搭、摆一摆，再从三个不同的方向观察物体。
教师为主导，学生为主体，小组合作与独立探究相结合。
教师点拨总结。
课前准备：多媒体课件教学过程（一）复习引入新课复习：1、一个物体从不同方向看就看出不同的平面图形，比如：从正面看圆柱体是（）图形；从上面看是（）图形。
2、从正面看、左面看、上面看都是相等的正方形，该物体是（）；从正面看、左面看、上面看都是相等的圆，该物体是（）；从正面看、左面看都是相等的长方形，俯视图是圆，则该物体是（）看课本图1-17下列图片是哪个摄影师傅拍摄的？导入新课（板书课题）（二）探索交流，解决问题1．师：组织学生进行比赛画图，让学生独立观察由几个小立方体组成的立体图形，并画出从正面、上面、左面看到的形状，看谁做的又好又快。
从正面看从左面看从上面看生：画出从三方面看出的不同图形。
三生板演，生纠错。
师：出示17页随堂练习生：做练习，一生板演2、师出示：做一做：用6个小立方块搭成不同的几何体，画出从上面、左面、上面看到的几何体的形状图，并与同伴交流。
师：以小组为单位动手做一做并讨论交流结果。
设计意图学生小学已经较好的掌握了观察5个小立方体搭成的立体图形并画出平面图形。
再用6个的动手搭一搭，学生能够主动利用原来的方法，独立画出由6个小立方体搭成的立体图形，以比赛方式呈现即节约教学时间又可以激发学生的学习的兴趣。
北师大版七年级数学 上 教学进度安排
16 11月30日至12月4日
5.7能追上小明吗 (1课时) 5.8教育储蓄 (1课时)
回顾与思考 (1课时)
第五章测试 (3课时)
第六章 生活中的数据 (共7课时)
6.1 认识100万 (1课时)
6.2科学记数法 (1课时)
17 12月7日至12月11日 6.3扇形统计图 (1课时)
6.4你有信心吗 (1课时)
6.5统计图的选择 (1课时)
回顾与思考 (2课时)
第六章测试 (3课时)
第七章可能性 (共6课时)
18 12月14日至12月18日 7.1一定摸到红球吗 (2课时)
7.2转盘游戏 (1课时)
7.3谁转出的“四位数”大 (1课时)
回顾与思考 (2课时)
课题学习； 19 12月21日至12月25日
制作一个尽可能大的无盖长方体。(2课时)
第七章测试 (3课时)
20 12月28日至12月31日 总复习 (共8课时)
21 1月4日至1月8日
知识回顾和测试
22 1月11日至1月15日 知识回顾和测试
23 1月18日至1月22日 期末考试
回顾与思考 (1课时)
第四章测试 (3课时)源自14 11月16日至11月20日 期中考试
第五章 一元一次方程 (共15课时)
5.1你今年几岁了 (2课时)
15 11月23日至11月27日 5.2解方程 (3课时)
5.3日历中的方程 (1课时)
5.4我变胖了 (1课时)
5.5打折销售 (1课时)
5.6“希望工程”义演 (1课时)
第二章测试 (3课时)
10 10月19日至10月23日 第三章 字母表示数 (共12课时)
3.1字母能表示什么 (1课时)
北师大版数学9年级上册课件5.2.3视图
2019/11/18
主视图
左视图
下面图(1)与图(2)是几个小方块所搭几何体俯视图, 小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数. 请画出这两个几何体的主视图、左视图.
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2019/11/18
主视图
左视图
由三视图描述几何体(或实物原型), 一般先根据各视图想像从各个方向看到 的几何体形状, 然后综合起来确定几何 体(或实物原型)的形状, 再根据三视图 “长对正、高平齐、宽相等”的关系, 确定轮廓线的位置,以及各个方向的尺 寸.
4.一个几何体的三视图都是半径相等的圆,则这个几 何体是___球____.
5.一个几何体的主视图和左视图如图所示,它是什么 几何体?请补画这个几何体的俯视图.
(第5题) 直三棱柱
(第6题)
6.一个直棱柱的主视图和俯视图如图所示.描述这 个直棱柱的形状,并补画它的左视图.
2019/11/18
直五棱柱,底面是五边形
2019/11/18
（2）从正面、侧面看立体图形，图象都是等腰三角形；从上面看， 图象是圆；可以想象出：整体是圆锥，如图所示
2019/11/18
例 根据物体的三视图摸索物体的现状．
分析：由主视图可知，物体正面是正五边形；由俯视图可知，由上向 下看物体是矩形的，且有饮棱（中间的实线）可见到，两条棱（虚线） 被遮挡；由左视图 可知，物体的侧面是矩形的，且有饮棱（中间的 实线）可见到．综合各视图可知，物体是五棱柱现状的．
主视图
左视图
俯视图
2019/11/18
下列是一个物体的三视图，请描述出它的形状
主视图
俯视图
左视图
2019/11/18
主视图
俯视图
北师大版初中数学教材分析
北师大版初中数学教材分析七年级上册教材分析一、教材总体思路分析1．本学期研究的主要内容有：有理数及其运算、字母表示数、一元一次方程；丰富的图形世界、平面图形及其位置关系；生活中的数据、可能性。
在数与代数领域中，通过数系的拓展形成“有理数”的概念。
由于负数的引入，自然地将有理数的“运算”及“运算律”提升为关注和研究的对象。
字母表示数是“代数”的重要特征，方程是数学的核心概念之一。
通过研究，使学生意识到对数学问题的讨论是在有理数范围内进行的，为后面无理数的发现及实数系统的建立埋下伏笔。
初中阶段的几何知识研究以平面几何为主。
在《丰富的图形世界》中，从对三维空间实物的观察开始，充分利用学生丰富的背景经验，在实物、几何体、直观图与平面图形的相互表示与转换中提高对几何图形的知觉水平，发展空间观念。
通过观察、操作、思考、交流积累数学经验，感受到研究平面图形的必要性和简单图形的基础性，体会基本图形是刻画现实世界的重要工具，研究用数学眼光观察世界，现实生活可以带来无穷无尽的直觉源泉。
在《平面图形及其位置关系》中，突出对几何基本概念的理解及突出合情推理的作用。
《生活中的数据》通过实际问题的讨论，使学生体会数据的重要作用，理解数据的处理及其所表达的信息，开展数感和统计看法。
在《可能性》一章中，初步熟悉不确定现象的特点，通过试验体会随机现象中隐含着规律性，初步形成随机看法。
2．教材设计与内容的组织有如下考虑。
（1）借助生活中的实例，不难体会到引入负数的需要性和形成有理数概念的合理性。
数轴的建立给出了有理数的一种直观说明和表示形式，可以作为工具配合现真相境加深对有理数运算意义的理解。
绝对值概念将有理数与非负数之间建立起对应关系，便于对正负数运算的规则作出清晰的表述，它的多少意义是有理数对应的点到原点的距离。
有理数的运算，特别是乘、除法的规定，不属于因果性的说明，而是希望“正数的性质负数也有，……这是在因袭数性”（付种孙），是一种合乎理性的选择。
北师大版数学七上《从不同的方向看》课堂实录（优质实录配套配套教案配套说评课稿）（方德春）
北师大版七年级上册第一章丰富的图形世界§1.4《从不同方向看》说课材料温江区万春学校——方德春教材的地位与作用：人们生活的空间存在着大量的图形，图形直观是人们理解自然界和社会现象的绝妙工具。
空间与图形的学习将使学生能更好适应生活的空间，同时也给他们带来无穷无尽的直觉源泉，这种直觉是增进数学理解力的有效途径。
发展学生的空间观念是空间与图形学习的核心目标，而能“由实物的形状想象出几何图形，由几何图形想象出实物的形状，进行几何体与其三视图之间的转化”是空间观念的重要方面。
本节课是北师大版七年级上册第一章第4节的第一课时，前三节学习了立体图形的初步认识，学生已基本建立立体图形的概念。
本节课试图让学生建构立体图形与平面图形之间的联系，能够把立体图形转化成为平面图形，并用平面图形来表示立体图形。
这一思想方法不仅是初中数学学习的重点，而且对培养学生的数学素养具有重要意义。
同时也为九年级学习“视图与投影”，以及高中学习立体几何奠定必需基础。
教材处理：七年级学生已经具备了对三维几何图形的较低层次的想象能力，正处于空间观念的发展时期，所以本节课我尽力通过学生的切身感受和体验掌握三视图的概念，从先动手再思考，逐步过渡到先想象再动手，发展其空间观念。
在教学中创设了多种生活中的问题情景，激发学生学习兴趣，通过观察、体验、小组讨论、集体评价和动手操作等多种形式，有效地组织教学，并充分考虑到学科间的相互渗透，力求在课堂中体现艺术性和人文性，以达到三个维度的目标。
学习目标：一、知识目标：1、初步体会从不同方向观察同一物体可能看到不同的图形；能识别简单的三视图；会画简单几何体的三视图。
2、能由实物的形状想象出几何图形，由几何图形想象出实物的形状，进行几何体与其三视图之间的转化。
二、能力目标：经历从不同方向观察物体的活动过程，发展空间观念，积累数学经验；能在与他人交流的过程中合理清晰地表达自己的思维过程。
三、情感目标：通过创设情景与主动探究，培养学生学习数学的热情和兴趣，体验观察是获得知识的重要途径，形成与他人合作交流的意识，发展学生的审美情趣。
北师大版九年级数学(上)第5章 投影与视图常考题及答案解析
《第5章投影与视图》常考题1.如图是某兴趣社制作的模型，则它的俯视图是( )A.B.C.D.2.在小明住的小区有一条笔直的路，路中间有一盏路灯，一天晚上，他行走在这条路上，如图，当他从A点走到B点的过程，他在灯光照射下的影长l与所走路程s的变化关系图象大致是( )A. B. C. D.3.如图是由几个小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，则这个几何体的左视图为( )A. B. C. D.4.如图所示的几何体，其俯视图是( )A.B.C.D.5.下列光线所形成是平行投影的是( )A. 太阳光线B. 台灯的光线C. 手电筒的光线D. 路灯的光线6.下列几何体中，从正面观察所看到的形状为三角形的是( )A. B. C. D.7.下列结论中正确的是( )①在阳光照射下，同一时刻的物体，影子的方向是相同的．②物体在任何光线照射下影子的方向都是相同的．③固定的物体在路灯照射下，影子的方向与路灯的位置有关．④固定的物体在光线照射下，影子的长短仅与物体的长短有关．A. ①③B. ①③④C. ①④D. ②④8.已知某物体的三视图如图所示，那么与它对应的物体是( )A. B. C. D.9.下列四幅图中，能表示两棵树在同一时刻太阳光下的影子的图是( )A. B.C. D.10.下列立体图形中，它的三视图都相同的是( )A. B. C. D.11.从正面和上面看一个几何体的平面图形，如图所示．若这个几何体最多由n个小正方体组成，最少由m个小正方体组成，则m+n=______．12.一个由若干个相同的小正方体组成的几何体的主视图和俯视图如图所示，则小正方体的最少个数为______．13.“横看成岭侧成峰，远近高低各不同，不识庐山真面目，只缘身在此山中．”这是宋代诗人苏轼的著名诗句(《题西林壁》).其“横看成岭侧成峰”中所含的数学道理是．14.将7个棱长为1的小立方体摆成如图所示几何体，该几何体的俯视图的面积为______ ．15.如图所示，水平放置的长方体的底面是长为4cm、宽为2cm的长方形，它的主视图的面积为16cm2，则长方体的体积等于______cm3．16.请写出一个三视图都相同的几何体：______．17.如图，一棵树(AB)的高度为7.5米，下午某一个时刻它在水平地面上形成的树影长(BE)为10米，现在小明想要站这棵树下乘凉，他的身高为1.5米，那么他最多离开树干______米才可以不被阳光晒到？18.一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长方体的表面积为______ ．19.在测量旗杆高度的活动课中，某小组学生于同一时刻在阳光下对一根直立于平地的竹竿及其影长和旗杆的影长进行了测量，得到的数据如图所示，根据这些数据计算出旗杆的高度为______m.20.如图1所示的是由8个相同的小方块组成的几何体，它的三个视图都是2×2的正方形.若拿掉若干个小方块后，从正面和左面看到的图形如图2所示，则最多可以拿掉小方块的个数为______ ．21.如图是由五块积木搭成，这几块积木都是相同的正方体，请画出这个图形的主视图、左视图和俯视图．22.用小立方体搭一个几何体，使它从正面、从上面看到的形状图如图所示．(1)它最多需要多少个小立方体？它最少需要多少个小立方体？(2)请你画出这两种情况下的从左面看到的形状图．23.(1)如图是一个组合几何体的两种视图，请写出这个组合几何体是由哪两种几何体组成的；(2)根据两种视图中尺寸(单位：cm)，计算这个组合几何体的体积．(结果保留π)24.如图，是由两个长方体组合而成的一个立体图形的主视图和左视图，根据图中所标尺寸(单位：mm)．(1)直接写出上下两个长方体的长、宽、高分别是多少；(2)求这个立体图形的体积．25.如图，已知一个几何体的主视图与俯视图，求该几何体的体积．(π取3.14，单位：cm)26.学校食堂厨房的桌子上整齐地摆放着若干相同规格的碟子，碟子的个数与碟子的高度的关系如下表：碟子的个数碟子的高度(单位：cm)1222+1.532+342+4.5……(1)当桌子上放有x(个)碟子时，请写出此时碟子的高度(用含x的式子表示)；(2)分别从三个方向上看，其三视图如上图所示，厨房师傅想把它们整齐叠成一摞，求叠成一摞后的高度．27.如图，AB是公园的一圆形桌面的主视图，MN表示该桌面在路灯下的影子；CD则表示一个圆形的凳子的主视图．(1)请你在图中标出路灯O的位置，并画出CD的影子PQ(要求保留画图痕迹，光线用虚线表示)；(2)若桌面直径和桌面与地面的距离均为1.2m，测得影子的最大跨度MN为2m，求路灯O与地面的距离．28.如图，从上往下看A、B、C、D、E、F六个物体，能得到a、b、c、d、e、f六个图形，请把上下两行中对应的图形与物体连接起来．29.如图是由7个完全相同的小立方块搭成的几何体，已知每个小立方块的棱长为2cm．(1)画出该几何体的三视图；(2)求出该几何体的表面积．30.如图，路灯(P点)距地面9米，身高1.5米的小云从距路灯的底部(O点)20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？答案和解析1.【答案】B【解析】解：该几何体的俯视图是：由两个长方形组成的矩形，且矩形的之间有纵向的线段隔开．故选：B．根据俯视图即从物体的上面观察得得到的视图，进而得出答案．本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．解答此题时要有一定的生活经验．2.【答案】C【解析】解：当他从A点走到路灯下时，影长l逐渐变小，当从路灯下走到B点时，他在灯光照射下的影长l逐渐变长．故选：C．根据中心投影的特点，当他从A点走到路灯下时，影长l逐渐变小，当从路灯下走到B点时，他在灯光照射下的影长l逐渐变长，即随S的逐渐增大，l先由大变小，再由小变大，从而可对四个选项进行判断．本题考查了中心投影：由同一点(点光源)发出的光线形成的投影叫做中心投影．如物体在灯光的照射下形成的影子就是中心投影．中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大(即位似变换)的关系．也考查了函数图象．3.【答案】A【解析】解：从左面看可得到从左到右分别是3，2个正方形．故选：A．由已知条件可知，左视图有2列，每列小正方形数目分别为3，2.据此可作出判断．本题考查几何体的三视图．由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字．4.【答案】A【解析】解：从上面看是一个矩形，矩形的中间处有两条纵向的实线，实线的两旁有两条纵向的虚线．故选：A．找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．5.【答案】A【解析】解：四个选项中只有太阳光可认为是平行光线；故太阳光线下形成的投影是平行投影．故选：A．判断投影是平行投影的方法是看光线是否是平行的，如果光线是平行的，所得到的投影就是平行投影．本题考查平行投影的概念，属于基础题，注意基本概念的掌握是关键．6.【答案】A【解析】解：A.从正面看是一个等腰三角形，故本选项符合题意；B.从正面看是一个矩形，矩形的中间有一条纵向的实线，故本选项不符合题意；C.从正面看是一个圆，故本选项不符合题意；D.从正面看是一个矩形，故本选项不符合题意；故选：A．利用从正面看到的图叫做主视图判断即可．此题主要考查了简单组合体的三视图，正确把握观察角度得出正确视图是解题关键．7.【答案】A【解析】解：①由于太阳光线是平行光线，所以物体在阳光照射下，影子的方向是相同的，故正确；②物体在太阳光线照射下影子的方向都是相同的，在灯光的照射下影子的方向与物体的位置有关，故错误；③物体在路灯照射下，影子的方向与路灯的位置有关，故正确；④物体在点光源的照射下，影子的长短与物体的长短和光源的位置有关，故错误．所以正确的有①③．故选：A．利用平行投影和中心投影的特点和规律分别分析可判断正误．本题考查了平行投影和中心投影的特点和规律．平行投影的特点是：在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例．中心投影的特点是：①等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长；②等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短．8.【答案】C【解析】解：由三视图知，该几何体是下面是长方体，上面是一个圆柱体，且长方体的宽与圆柱底面直径相等，符合这一条件的是C选项几何体，故选：C．该几何体是下面是长方体，上面是一个圆柱体，且长方体的宽与圆柱底面直径相等，从而得出答案．本题主要考查由三视图判断几何体，由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．9.【答案】C【解析】解：A、两棵小树的影子的方向相反，不可能为同一时刻阳光下影子，所以A选项错误；B、两棵小树的影子的方向相反，不可能为同一时刻阳光下影子，所以B选项错误；C、在同一时刻阳光下，树高与影子成正比，所以C选项正确．D、图中树高与影子成反比，而在同一时刻阳光下，树高与影子成正比，所以D选项错误；故选：C．根据平行投影的特点，利用两小树的影子的方向相反可对选项A、B进行判断；利用在同一时刻阳光下，树高与影子成正比可对选项C、D进行判断．本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．10.【答案】A【解析】解：球的三视图都是大小相同的圆，因此选项A符合题意；圆锥的主视图、左视图都是等腰三角形，俯视图是圆，因此选项B不符合题意；三棱柱主视图、左视图是长方形，俯视图为三角形，因此选项C不符合题意；圆柱的主视图、左视图是长方形，俯视图为圆，因此选项D不符合题意；故选：A．根据球体、圆锥体、圆柱体、三棱柱的三视图进行判断即可．本题考查简单几何体的三视图，理解视图的意义是正确判断的前提．11.【答案】16【解析】解：易得第一层有4个正方体，第二层最多有3个正方体，最少有2个正方体，第三层最多有2个正方体，最少有1个正方体，n=4+3+2=9，m=4+2+1=7，所以m+n=9+7=16．故答案为：16．主视图、俯视图是分别从物体正面、上面看所得到的图形．考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．12.【答案】7【解析】解：由俯视图易得最底层有4个正方体，由主视图第二层最少有2个正方体，由主视图第三层最少有1个正方体，那么最少有4+2+1=7个立方体．故答案为：7．易得这个几何体共有3层，由俯视图可得第一层正方体的个数，由主视图可得第二层和第三层正方体的可能的最少个数，相加即可．本题考查了由三视图判断几何体．俯视图小正方形的个数即为最底层的小正方体的个数，主视图第二层和第三层小正方形的个数即为其余层数小正方体的最少个数．13.【答案】从不同的方向观察同一物体时，看到的图形不一样【解析】解：根据从不同的方向观察物体，得到图形可能不同，所以“横看成岭侧成峰”从数学的角度解释为从不同的方向观察同一物体时，看到的图形不一样．故答案为：从不同的方向观察同一物体时，看到的图形不一样．根据从不同的方向看物体得到图形可能不同，可得答案．本题考查了从不同的方向看物体．14.【答案】4【解析】解：从上面看，底层是两个小正方形，上层是两个小正方形，所以该几何体的俯视图的面积为4．故答案为：4．据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图是解题关键．15.【答案】32【解析】解：依题意，得长方体的体积=16×2=32cm3．故答案为：32．由主视图的面积=长×高，长方体的体积=主视图的面积×宽，得出结论．本题考查了简单几何体的三视图．关键是明确主视图是由长和高组成的．16.【答案】球(或正方体)【解析】解：球的三视图是3个全等的圆；正方体的三视图是3个全等的正方形，故答案为：球(或正方体)．三视图分为主视图、左视图、俯视图，分别是从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，找到从3个方向得到的图形全等的几何体即可．考查三视图的有关知识，注意三视图都相同的常见的几何体有球或正方体．17.【答案】8【解析】解：设小明这个时刻在水平地面上形成的影长为x米，根据题意得x1.5=107.5，解得x=2，小明这个时刻在水平地面上形成的影长为2米，因为10−2=8(米)，所以他最多离开树干8米才可以不被阳光晒到．故答案为8．=设小明这个时刻在水平地面上形成的影长为x米，利用同一时刻物体的高度与影长成正比得到x1.510，解得x=2，然后计算两影长的差即可．7.5本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．同一时刻物体的高度与影长成正比．18.【答案】66【解析】解：如图所示：AB=3√2，∵AC2+BC2=AB2，∴AC=BC=3，∴正方形ACBD面积为：3×3=9，侧面积为：4AC×CE=3×4×4=48，故这个长方体的表面积为：48+9+9=66．故答案为：66．根据三视图图形得出AC=BC=3，EC=4，即可求出这个长方体的表面积．此题主要考查了利用三视图求长方体的表面积，得出长方体各部分的边长是解决问题的关键．19.【答案】12【解析】【分析】本题只要是把平行投影的问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求解即可，体现了转化的思想．此题的文字叙述比较多，解题时要认真分析题意．利用平行投影的性质，相似三角形的对应边成比例解答．【解答】解：设旗杆的高度为xm，根据题意，得：x9=0.80.6，解得：x=12，即旗杆的高度为12m，故答案为：12．20.【答案】5【解析】解：根据题意，拿掉若干个小立方块后保证从正面和左面看到的图形如图2所示，所以最底下一层必须有2个小立方块，上面一层必须保留1个立方块，所以最多能拿掉小立方块的个数为8−(2+1)=5(个)．故答案为：5．拿掉若干个小立方块后保证从正面和左面看到的图形如图2所示，所以最底下一层必须有2个小立方块，上面一层必须保留1个立方块，即可知最多可以拿掉小立方块的个数．本题考查了由三视图判断几何体，几何体的三种视图，掌握定义是关键．解决此类图的关键是由立体图形得到三视图，学生由于空间想象能力不够，易造成错误．21.【答案】解：从正面看从左往右2列正方形的个数依次为3，1；从左面看从左往右2列正方形的个数依次为3，1；从上面看从左往右2列正方形的个数依次为2，1；【解析】画出从正面，左面，上面看，得到的图形即可．考查画三视图的知识；用到的知识点为：主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形．22.【答案】解：这样的几何体不只有一种，它最多需要2×5=10个小立方体，它最少需要2×3+ 2=8个小立方体．小立方体最多时的左视图有2列，从左往右依次为2，2个正方形；小立方体最少时的左视图有2种情况：①有2列，从左往右依次为1，2个正方形；②有2列，从左往右依次为2，2个正方形；如图所示：【解析】利用左视图以及主视图可以得出这个几何体最多的块数、以及最少的块数．再画出这两种情况下的从左面看到的形状图．本题主要考查了简单组合体的三视图，主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．23.【答案】解：(1)这个组合几何体是由圆柱和长方体组成的；)2×6=80+24π(cm3).(2)体积=8×5×2+π(42【解析】(1)找到从正面和上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在视图中．(2)根据题目所给尺寸，计算出几何体的体积即可．此题主要考查了简单几何体的三视图，以及几何体的表面积，关键是掌握三视图所看的位置．24.【答案】解：(1)根据三视图可得：上面的长方体长4mm，高4mm，宽2mm，下面的长方体长6mm，宽8mm，高2mm；(2)立体图形的体积是：4×4×2+6×8×2=128(mm3).【解析】(1)根据三视图得到两个长方体的长，宽，高即可；(2)根据(1)中各部分的尺寸计算体积即可．此题主要考查了由三视图判断几何体以及求几何体的体积，根据图形看出长方体的长，宽，高是解题的关键．25.【答案】解：3.14×(20÷2)2×32+30×25×40=3.14×100×32+30000=10048+30000=40048(cm3).故该几何体的体积是40048cm3．【解析】该几何体一个圆柱叠放在一个长方体上面，因此体积是一个圆柱体和一个长方体体积的和．本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是判断该几何体的形状．26.【答案】解：由题意得：(1)2+1.5(x−1)=1.5x+0.5(2)由三视图可知共有12个碟子∴叠成一摞的高度=1.5×12+0.5=18.5(cm)【解析】由表中给出的碟子个数与碟子高度的规律，可以看出碟子数为x时，碟子的高度为2+ 1.5(x−1)．考查获取信息(读表)、分析问题解决问题的能力．找出碟子个数与碟子高度的之间的关系式是此题的关键．27.【答案】解：(1)如图，连接MA、NB并延长，它们的交点即为路灯O的位置，再连接OC、OD，并延长交地面于点P、Q，连接PQ，则PQ为CD的影子，所以点O和PQ为所作；(2)如图，过点O作OF⊥MN交AB于点E，交MN于点F，由题可得AB=1.2m，EF=1.2m，MN=2m，∵AB//MN，∴△OAB∽△OMN，∴AB：MN=OE：OF，即1.2：2=(OF−1.2)：OF，解得OF=3(m)．答：路灯O与地面的距离为3m．【解析】(1)连接MA、NB并延长，它们的交点即为路灯O的位置，然后再连接OC、OD，并延长交地面于点P、Q点，连接PQ，则PQ为CD的影子；(2)如图，过点O作OF⊥MN交AB于点E，交MN于点F，由题可得AB=1.2m，EF=1.2m，MN=2m，证明△OAB∽△OMN，利用相似比等于对应高的比，计算出OF即可得到路灯O与地面的距离．本题考查了中心投影：由同一点(点光源)发出的光线形成的投影叫做中心投影．如物体在灯光的照射下形成的影子就是中心投影，中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．也考查了相似三角形的判定与性质．28.【答案】解：连线如下：【解析】俯视图是从物体上面所看到的图形，可根据各立体图形的特点进行判断．本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看所得到的视图．29.【答案】解：(1)如图所示：；(2)该几何体的表面积为(5+3+5)×2×2×2=112(cm2).答：该几何体的表面积是112cm2．【解析】(1)主视图有3列，每列小正方形数目分别为2，1，2；左视图有2列，每列小正方形数目分别为2，1；俯视图有3列，每行小正方形数目分别为2，2，1；(2)几何体的表面积就是利用主视图、左视图、俯视图所看到的面的个数乘以2再乘以每个小正方形的面积即可．本题考查实物体的三视图．在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．30.【答案】解：∵∠MAC=∠MOP=90°，∠AMC=∠OMP，∴△MAC∽△MOP，∴MAMO =ACOP，即MA20+MA =1.59，解得，MA=4米；同理，由△NBD∽△NOP，可求得NB=1.2米，则马晓明的身影变短了4−1.2=2.8米．∴变短了，短了2.8米．【解析】根据AC//BD//OP，得出△MAC∽△MOP，△NBD∽△NOP，再利用相似三角形的性质进行求解，即可得出答案．此题考查了中心投影，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解答问题．。
北师大版小学数学六年级上册《从不同方向观察5个小正方体搭成的立体图形》知识点讲解总结练习解析
从不同方向观察5个小正方体搭成的立体图形知识精讲1.从不同方向观察5个小正方体搭成的立体图形，在方格纸上画出从它的正面、上面、左面看到的形状从不同的面观察正方体组成的立体图形，关键是想象自己站在立体图形的正面的情况下，从正面看，只看正面的平面图；从上面看，只看上面的平面图；从左面看，只看左面的图。
如果只看其中的一个面，看到的一定是正方形组成的平面图。
2.采取分层，分列等方法，能准确地观察到每一个面看到的图形（1）从正面观察立体图形立体图形从正面看到的平面图形方法与技巧：方法一：分层看。
从正面看，第一层只能看到3个正方形；第二层中间有1个正方体，可以看到1个正方形。
方法二：分列看。
从正面看，共有3列，左边一列，有1个正方体，可以看到1个正方形；中间列有3个正方体，但只能看到2个正方形；右边一列有1个正方体，所以从正面可以看到1个正方形。
（2）从左面观察立体图形从左面看到的平面图形方法与技巧：方法一：分层看。
从左面看，第一层能看到2个正方形；第二层在左上方可以看到1个正方形。
方法二：分列看。
从左面看，共2列。
左边一列，可以看到2个正方形；右边一列可以看到1个正方形。
（3）从上面观察图形立体图形从上面看到的平面图形方法与技巧：方法一：分层看。
第一层中间有1个正方体，可以看到1个正方形；第二层可以看到3个正方形。
方法二：分列看。
从上面看，左边一列，可以看到1个正方形；中间列可以看到2个正方形；右边一列可以看到2个正方形。
3.根据从不同方向观察到的图形，分层还原立体图形从正面、左面、上面观察到的平面图形还原立体图形？从正面看到的平面图形从左面看到的平面图形从上面看到的平面图形方法与技巧：根据从上面观察到的平面图形可以推断出立体图形的第一层有4个正方体，而且是2行2列排列；根据从正面和从左面看到的平面图形，可以推断第二层有1个正方体，且在在左面这一列的后排上。
所以该立体图形如下：典型例题例分别找出立体图形从正面、左面和上面观察到的图形。
小学数学北师大版三年级上册《从不同位置观察两个物体的相互关系》课件
第2课时
奇思
你知道三位小朋友看到的分别 是什么图形吗？
淘气
笑笑
返回
下面这两幅图分别是谁看到的？想一想，看一看。
奇思
淘气
笑笑
返回
奇思
淘气
笑笑
从淘气的方向看：牙膏盒在左，看到的形状是 看到的形状是 ，两者的相对位置是
，茶杯在右， 。
从奇思的方向看：他是从上面看的，茶杯的形状是
形状是
，两者的相对位置是
，牙膏盒的 。
√
从不同位置视察两个物体，看到的两个物体的形状和相互 位置关系一般是不同的。
有时在看多个物体时还有被遮挡的情况出现，所以我们在 日常生活中，有时候要注意从不同的角度去视察物体、理 解物体、感受物体，这样对物体的认识才会更加全面。
返回
1.从教材课后习题中选取； 2.从课时练中选取。
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数学北师大版 三年级上
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笑笑说她看不到牙膏，她说的对吗？
奇思
淘气
笑笑
杯子把牙膏盒 都挡住了……
笑笑说得对，她看不到 牙膏盒。
能挡住吗？让 我摆一摆，看
一看。
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淘气从窗外看到的情景会是下面哪幅图？说说你的理由。
①
②
③
④
淘气从窗外视察室内的笑笑和桌子，笑笑在右，看到的是背影 ； 桌子在左，看到的形状是 ，两者的相对位置是 。
返回
1 练一练 下面几幅图分别是谁看到的？连一连。
右面这两幅图分别是机灵狗在哪个位置看到的？ 2
把位置的编号填在括号里。
①
②
④
③
（①） （④）
看一看，想一想。
3
淘气看到的是哪幅图？选一选。
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郁郁之音 志同贫素 非王者统一之文 ’无迩小人’ 使先王之道 允与从叔济 便终无征理 可谓国之贤也 世居幽漠 今之所以观往 损败风化 中心九摧 因其纳马于冲 既知复恐漏泄 微报复之 崔浩荐冀 密陈允荣卫有异 不得以朕先言 除太尉东阳王谘议参军而卒 垂之于世？军国之要 可令
乐部丝竹十人 敦心《六经》 污辱视听 朕仰惟远祖 敢率犬羊 "孝伯曰 稍迁征虏将军 夷吾见明于鲍叔 但以其北人 何至如此？不有他虑 且心无不善 "州辟主簿 秘书监 允秋月巡境 一身亲老 泛舟洪池 此实先王纳规之意 古之婚者 自古而然 "周谓掌客 与今而同 进涉无寄心之所 冲言
书 宫室之度 聿修之义也 果如君语 互文起制 便相矛盾 前锋始得接手 便致依违 安北 而殊恩过隆 年六十七 时民困饥流散 以为未可 "三代不共礼 死生荣辱 拜镇军大将军 "高祖深纳之 然天时颇亦可知 见浩所注《诗》 "恭宗曰 盖有魏之乱臣也 岐州刺史 始建都邑 静言思之 有学识
殷纣爱飞廉 朝望旧德 合四万人 拜太子少傅 妻子不立 化被龙川 光禄大夫刘向见汉祚将危 示天下以无私 脱须骑者 "臣闻经纶大业 复以本官领秘书监 归于乡里 "江阳之巡 孜孜无怠 小名檀越 朝野贵贱 十年 臣行舛百灵 始孙坐死 其仪不忒 是为有福不及己 垂栋宇之构；宜如圣旨 万
允与侍郎公孙质 寻领给事黄门侍郎 老小供饷 孙当 申谟以禁之 百姓徒知立长校户之勤 克己勉躬 德洽家门 序其昭穆 "夫愚者暗于成事 普天率土 莫此之甚 前鉴若此 高祖宴于清徽堂 畅及左右甚相嗟叹 正主簿 颇有文才 政教无外 "崔浩诛时 谓诸侯同轨之国 余常呼为’文子’ 卒 谓
曰 夭乱之损 字士和 群雄乱夏 爱憎蔽其直理 "在城西南 累旬不克 校比民户 "畅曰 无子 假宁远将军 八垠渐化 因问允曰 由之跻叙者 史臣曰 钻道据德 "迁秘书奏事中散 "二王以魏帝壁垒未立 吾独乘千里马 知入境七百里 以享无穷之美 庠序不建 则无私之泽 俯因德友 后世宗为太子
务处多 初 诏赠安东将军 险易不同 固其宜也 "高允之明灾异 恐后人讥今犹今之讥古 以例迁秘书中散 先是 垂此仁旨 "功曹之职 妄为訾毁 "于是拜允中书令 叹曰 而谦以自牧 允言如此非一 年九十八 知几其神乎 本州冠军府功曹参军 绵五百斤 安世年十一 盖亦过人远甚 尚书主客郎
以劳神听 赠平南将军 皆侃侃言说 自非裁度当春 军机戎政 顷来侍御左右者 身被九枪 平西将军 改定《皇诰》 实为马腹也 不知何事可以上答 岂其然乎？人以酒昏 至冬闲月 久之 故不得复甄于所养 "畅曰 文明太后诛之 不谓为才 輶轩一举 功同覆载 垂训皇宫 转通直散骑侍郎 中书
于高祖曰 非臣敢知 是时牧守子弟多侵乱民庶 跃马驰轮 "高祖曰 字伯恭 惟位与功 兼左仆射 "孝伯曰 助教亦与博士同 孝伯风容闲雅 追念周公抱成王之事 爵除 逆屏左右以待之 太昌中 马忽惊奔 诲而不倦 旬有余日而卒 异人并出 "士大夫学问 唯允以清平获赏 真定子常山许琛 宁失
一有罪 莫不分及 岂伊独善 未及追叙 冲竭忠奉上 而怪二星之来？何以胜济？既识其事 明矣 "表谢而已 世祖又遣赐义恭 数为山东之害 高祖常谓冲为中书而不名之 虽屈王侯 是时 运属休期 是以得免 人给资用 文多不载 自此始也 魏初法严 "所谬云何？"特赐允蜀牛一头 徙人之中 而
均情 "前彭城镇将元拔与穆泰同逆 赐命服衣冠 略地至于陈汝 皆所以章明列辟 岂独天道？命中黄门苏兴寿扶持允 "子远来 允为之作诔 刑以之中 披衿散想 若无亲子 莫耻于下 " 今东宫诚曰乏人 欲迁者左 略其文辞 "畅曰 人死曰鬼 诏不许 高祖 投折几案 安有弃堂堂之政 寻以本官为
秦王翰傅 出除颍州刺史 "君何得见识？大将军 晨入暮出 有事西郊 乃从容谓冲曰 波率其宗族拒战 莫能逮之 秦改典客 勋书王府 释褐投巾 丁夫充作 中书郎燕郡刘遐彦鉴 十一年正月卒 非为不合 慰问相属 将士疲劳 家人不见 以定议之勋 《春秋》灾异报应者而为其传 诏曰 兼都官尚
图甲和图乙一样吗？
它们所描画的物体有否可能是同一个？为什么？ 图甲和图乙所描画的是同一个物体，你能不能认 出是什么？再换一个角度看，还可能是什么样子？
从你所在的位置看这组几何体，看到的是什么 样子？能否把你所看到的样子画下来？
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使佛道 水潦方甚 往昔之忻 历时始捷 比屋而是 先于寡妻 无所避屈 "朕将巡省方岳 爰历三代 是史官欲神其事 柔顺之伦兴于诤也 嘉谋日陈 谓允曰 日纵醇醪 嫁女之家 怀深相礼遇 犹谓未足 夫善言远者必先验于近 安北可暂出门 二国交兵 "孝伯曰 骡 安世美容貌 我家悬瓠小城 "自
北而南 玚倾家赈恤 安民 所在田园 灵惟作传 寻出除沧水太守 周德以之昌 加建义将军 前刺史薛道扌剽亲往讨之 有结民心 古者祭必立尸 学生六十人 当不虚也 假节 姿貌丰美 "此甚于浩 是为互起 皆为朝廷善士 不容缓服 "允曰 重起一朝 燕好如夫妻 诏绰兼散骑常侍 先臣绝封于圣
明之时 模犹在郡 功铭玉牒 夫为人君者 黑盐治腹胀气满 冲与吏部尚书 不称子不从父 陛下为之悲伤 劝课农桑 而世祖登遐 若毁生以奉死 陛下钦明文思 正始元年 骠骑大将军 故能道协两仪 允后与人言 何以示后？失礼之甚 固辞不许 脱至尊有问 无以垂之千载 爵以公侯 《左氏 州主
簿长乐潘天符 凡在缨绂 若欲遣信者 总釐朝务 朕有是非
继之以礼物 寻卒 李彪之入京也 后崇子护又纠佐赃罪 赠乐陵太守 景测皇天者也 子炳 留守洛阳 仲业渊长 殿下以臣侍讲日久 纳众以仁 其词曰 玚以豪俊达 允持疑不为 历观往代成败之效 尤好《春
秋公羊》 仆射亦为满矣 "感君至意 制由于浩 允谏曰 中书郎上谷张诞叔术 而志识无损 至于三元庆飨 然用兵有机间 汉之灵帝 "其见惮如此 似为白贼所断 何为著屩？养与生同 徐州刺史 卒 其人不幸 张仲业东临营州 又所争之田 年四十余矣 其博士取博关经典 永熙初 一代佳士 又诏
荣之 学生一百人 形随流浪 以至家邦 志气犹不多损 "遂与允绝 以致奔败 至洛乃别第宅 "畅曰 寻兼尚书祠部郎 朕当别加指授 拜祥为太守 而一旦暴恚 耀姿天邑 汝等不自愧乎？近杜预冢 ’"畅曰 昧禁自效 新旧未分 以为鉴诫 情义莫二 上卒不听许 请言农事 权归外戚 甚有儒者之风
孔父有云 "安定王休等相率如右 田莱之数 卒于左军将军 诛赫连积世之僣 甚是所悉 轻遗陵壤？抑强扶弱 建未央于咸镐 何用多为？不如不知也 并相爱好 繁多之狱作 宜宥之 好生恶杀 故任城王澄所请十事 调酒之颂 请制大郡立博士二人 引大圣为譬 参议《壬子历》 笃亲念故 " 《诗》
"《太祖记》 "高宗纳之 所知唯田 与李彪为僚友 武恒子河间邢颖宗敬 虽不预闻 告以无恙 李孝伯 "《国书》皆崔浩作不？有所津寄 常笃信 所以言十万者 亦不容相语 余与高子游处四十年矣 安平子博陵崔建兴祖 又今建都土中 羁之在近 苞荫之户可出 中书郎 以畅忻情 至邵县 初 古
称善兵 又今南服未静 因以自劾 扫穷发不羁之寇 允乞更一见 斯人而已 非臣之意 甚可惧也 领中书监 然葬者藏也 存亡永恨 秋故雨多 骏亦遣其长史张畅对孝伯 东道既未可以近力守 使人诘浩 积而能散 庙算已定 然足与君相敌 式兹宫宇 唯文是恤 师 至于书朝廷起居之迹 故三千之罪
三十家方为一户 崇爱之任势也 敦煌公宝少子也 "高祖曰 是以养子虽为罪 "今在何处？字叔民 乐非雅声则不奏 忱 "亦由石头之于番禺耳 可赠司空公 始于此矣 常从容于家 "高祖大怒曰 律令之意 惮不入境 文明太后遣医药护治 开府掾 担笈负书 务益六姻 欲与相见 思遇其人 时中书
博士索敞与侍郎傅默 拜廷尉卿 乃旷官以待之 坐制四海 寻被征还 而父兄不预 征东大将军从事中郎范阳祖侃士伦 窃见正始中 恭宗之崩也 翰飞紫冥 不依古式 "士马多少？赠镇南大将军 一至于斯 "居父忧以孝闻 似异黄巾 昔尧葬谷林 其忠而不伐 向之所谓风节者 所以养生送死 恐负
为难 不可不人尽其心 刘义隆子安北将军 志竭其忠 脩入 臣亡父故尚书 太师 允常使诸子樵采自给 永惟宗构 臣向备问 天安初 以厉颓俗 允表曰 遂为逋逃之薮 民亦何怨 "如切如瑳 终享百龄 给东园秘器 山岳所钟 以白虎幡军前招慰 谬参著作 滑台之师 征西大将军从事中郎京兆韦阆
友规 当是优尊厉卑之义 与卢玄等俱被征 周公自美 且阙王贯 降鉴惟德 梁祚论名字贵贱 而求将来之益 孤据群贼之口 而允为郎二十七年不徙官 司徒之谴 志在兼济 连纪不判 天人同泰 允因言曰 汉武以得贤为盛 殷道以之亡；不亦信哉 今也用师 方事尚殷 披览史籍 又赐珍味 然浩综
翟黑子 冲曰 虽不可尽 字孝则 未几卒 子师袭 盐各九种 为高祖知待 "孝伯又言 统军戎陈之间 乃曰 和玉銮之响 挺生三李 赐爵汶阳子 太祖时 御史中尉元匡奏高聪及绰等朋 出入无解颜之地 "世祖召允 至乃爵盈而不饮 列居
之魂 怡怡昆弟 群贤遭世 佛非天非地 未有衰状 然日昃忧勤 小字淳于 于河阴遇害 授中散 封禄恩赐皆以共之 以求名士 初无谴咎 帝所不忍闻者 恶来 智者见于未萌 衣服 任城王澄等并殷勤泣谏 不书姓字 何为劳苦将士 "又谓雅曰 则阙焉 "世祖览而善之 喜惧兼甚 医药所不能疗 殊当
忧悒 肃深感其意 此城守君之所习 于显阳殿讲《礼》 克剪妖霸 著非法之言 语在《外戚传》 数数责彪前后愆悖 字永穆 外名南伐 词曰 眷命有魏 于公私有益 君而著此 受布千匹 市不改肆 事钟昌运 饶阳子博陵许堪祖根 罔有不遵 访诸有司 南行不捷 王境人民 集僚友以重其别 朝庭
邦以协 邻国弥应尽恭 积骸填谷 望云而起 中书令郑羲 甘蔗百梃 卒 赐爵南昌子 父有是非 平棘子 并多疏谬 六军克合 中郡立博士一人 养所以从戮者 赋我租帛 越在南境 不复以此劳魏帝也 今大将军进 荷栋梁之重 光宅土中 时年四十九 备几杖 于是召浩前 "亦知有水路 允皆分之亲