带电粒子在电场和重力场复合场中的运动
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设此题中等效重力加速度为 g′ 由题意可知等效重力mg′=mg/cosα
将g′代入周期公式得: T周=2π l cosa/g
.
[拓展2] 若将原题中电场E突然反向，求细线 偏离竖直方向的最大偏角？（α小于45o）
解：电场E反向，由受力可知摆动的等效最 低点在竖直偏左α角处，等效摆的摆角为2 α，再由对称性可知，小球偏离竖直方向的 最大夹角为3 α。
带电粒子在电场和重力场 复合场中的运动
景宁中学：米久璐
.
例1：用长为R的绝缘细线栓一小球，质量为m，
刚好能在竖直平面内做圆周运动，求小球运
动过程中的最小速度和绳的最大拉力。
解：（1）在最高点A重力刚好提供向心力，速度
最小，由牛顿第二定律：
A
mg=mv2/R
得 v1=（gR）1/2
（2）在最低点B拉力和速度最大。
.
作业：
1.此小球摆动过程中的振动周期为多少?（摆角 小于50）
2. 若将原题中电场E突然反向，求细线偏离 竖直方向的最大偏角？（α小于45o）
3. 原题中至少给小球多大的初速 度，才能使小球做圆周运动？
.
[拓展1]此小球摆动过程中的振动周期为多少? （摆角小于50）
解：由单摆周期公式T周=2π l / g '
由牛顿第二定律：
mg + qE= mv12/R
解得最小速度v1= R(gqE/m)
.
(2)小球运动到最低点B时有最大拉 力T，设此时速度最大为v2
由牛顿第二定律：
T –（mg+ qE）=mv22/R
小球由A到B的过程，由动能定理：
(mg+qE) . 2R =mv22/2 - mv12/2 解得：T=6(mg+qE)
得 T=6F=6(qE-mg)
.
思考2：如果将电场方向改为水平向右， 则结果如何？
解（1）A点速度最小，F为等效重力，提供向心力
由牛顿第二定律： F=mv12/R
得 v=（FR/m）1/2
A
（2）B点速度最大，合力提供向
心力
由牛顿第二定律： T-F=m1v2/R
由动能定理： 2FR=mv22/2-mv12/2 E
置时速度刚好为零？
解：(3)将小球的运动等效成单摆，
其平衡位置等效为单摆最低点，
由题意可知摆角为α，由摆动对称 E
性可知θ=2 α。
.
αL
m●
小结
1. 等效重力法解带电粒子在电场和重力场复合场 中做圆周运动
2. 等效重力法解带电粒子在电场和重力场复合场 中的平衡
3.等效重力法解带电粒子在电场和重力场复 合场中的匀加速直线运动
得 T=6F=6(G2+q2E2. )1wk.baidu.com2
R
B F电
G F
如图，一条长为L的细线，上端固定，下端栓一质量为m 的带电小球，此时小球处于平衡状态。画出受力分析。若 将细线剪短，则小球做什么运动？
T
EG
.
如图，一条长为L的细线，上端固定，下端栓一质量为m 的带电小球，此时小球处于平衡状态。画出受力分析。
(1)小球受三个力平衡： T
可得：小球带正电
qE
qE/mg=tgα
α
q=mg tgα/E
mg
（2）小球做初速度为0的匀加速直线运动
mg/F合=cosα
F合=mg/cosα=ma
X=at2/2=gt2/2cosα .
例3：如图，一条长为L的细线，上端固定，下端栓一质量 为m的带电小球，将它置于方向水平的匀强电场E中。当细 线离开竖直位置的偏角为α时，小球处于平衡。求： （3）如果使细线与竖直方向的偏角由α增大到θ，然后 将小球由静止释放，则θ为多大时，可使小球到达竖直位
OR
由牛顿第二定律： T-mg=mv22/R
由动能定理： 2mgR=mv22/2-mv2/2
B
得 T=6mg
.
例2：用长为R的绝缘细线栓一带正电 q的小球，质量为m，在竖直向下的场 强为E匀强电场中，刚好能在竖直平
面内做圆周运动，求小球运动过程中 的最小速度和绳的最大拉力。
A
E
R
.
B
解：(1)在最高点A，当绳的拉力为 零时，重力和电场力的合力提供向 心力，有最小速度v1
.
[拓展3] 原题中至少给小球多大的 初速度，才能使小球做圆周运动？
解：由题意等效重力F合=mg/cosα
g，=g/cosα 等效最高点v0= Lg/cosa
由动能定理:
F合×2 L =mv2/2- mv02/2
解得: v= 5Lg/cosa
.
R
得 T=6F=6(mg-qE).
B
解：若qE﹥mg，则重力与电场力的合力等效重力 竖直向上，最低点B速度最小，重力提供向心力。
由牛顿第二定律： F=qE-mg F=mv2/R
得 v1=（（qE-mg）R/m）1/2 （2）A点速度最大，合力提供向心力
由牛顿第二定律： T-F=mv22/R 由动能定理： 2FR=mv22/2-mv12/2
.
等效：
题中电场力为恒力，且与重力同向 可将两者合力 F=qE+mg
等效成重力 G‵ =mg ‵ 即 g‵ =g+qE/m
.
用g‵替换结论中的g就可快速得到 [例2]的结果：
最高点有最小速度v= R(gqE/m)
小球运动到最低点时有最大拉力 T=6mg‵ =6(mg+qE)
.
思考1：如果粒子带负电，大小为q， 则结果如何？
解：若qE﹤mg，则重力与电场力的合力等效重力 竖直向下，最高点A速度最小，重力提供向心力。
由牛顿第二定律： F=mg-qE F=mv12/R
得 v1=（（mg-qE）R/m）1/2 （2）B点速度最大，合力提供向心力
A
E
由牛顿第二定律： T-F=mv22/R
由动能定理： 2FR=mv22/2-mv12/2
α
L
T
E
m
● F电
.
GF
例3：如图，一条长为L的细线，上端固定，下端栓一质量 为m的带电小球，将它置于方向水平的匀强电场E中。当细 线离开竖直位置的偏角为α时，小球处于平衡。求： （1）小球带何种电荷？ 小球的电量？ （2）若将细线剪短，则小球做什么运动？T时间后小球的
位移是多少？
αL
E
m●
.
解：
将g′代入周期公式得: T周=2π l cosa/g
.
[拓展2] 若将原题中电场E突然反向，求细线 偏离竖直方向的最大偏角？（α小于45o）
解：电场E反向，由受力可知摆动的等效最 低点在竖直偏左α角处，等效摆的摆角为2 α，再由对称性可知，小球偏离竖直方向的 最大夹角为3 α。
带电粒子在电场和重力场 复合场中的运动
景宁中学：米久璐
.
例1：用长为R的绝缘细线栓一小球，质量为m，
刚好能在竖直平面内做圆周运动，求小球运
动过程中的最小速度和绳的最大拉力。
解：（1）在最高点A重力刚好提供向心力，速度
最小，由牛顿第二定律：
A
mg=mv2/R
得 v1=（gR）1/2
（2）在最低点B拉力和速度最大。
.
作业：
1.此小球摆动过程中的振动周期为多少?（摆角 小于50）
2. 若将原题中电场E突然反向，求细线偏离 竖直方向的最大偏角？（α小于45o）
3. 原题中至少给小球多大的初速 度，才能使小球做圆周运动？
.
[拓展1]此小球摆动过程中的振动周期为多少? （摆角小于50）
解：由单摆周期公式T周=2π l / g '
由牛顿第二定律：
mg + qE= mv12/R
解得最小速度v1= R(gqE/m)
.
(2)小球运动到最低点B时有最大拉 力T，设此时速度最大为v2
由牛顿第二定律：
T –（mg+ qE）=mv22/R
小球由A到B的过程，由动能定理：
(mg+qE) . 2R =mv22/2 - mv12/2 解得：T=6(mg+qE)
得 T=6F=6(qE-mg)
.
思考2：如果将电场方向改为水平向右， 则结果如何？
解（1）A点速度最小，F为等效重力，提供向心力
由牛顿第二定律： F=mv12/R
得 v=（FR/m）1/2
A
（2）B点速度最大，合力提供向
心力
由牛顿第二定律： T-F=m1v2/R
由动能定理： 2FR=mv22/2-mv12/2 E
置时速度刚好为零？
解：(3)将小球的运动等效成单摆，
其平衡位置等效为单摆最低点，
由题意可知摆角为α，由摆动对称 E
性可知θ=2 α。
.
αL
m●
小结
1. 等效重力法解带电粒子在电场和重力场复合场 中做圆周运动
2. 等效重力法解带电粒子在电场和重力场复合场 中的平衡
3.等效重力法解带电粒子在电场和重力场复 合场中的匀加速直线运动
得 T=6F=6(G2+q2E2. )1wk.baidu.com2
R
B F电
G F
如图，一条长为L的细线，上端固定，下端栓一质量为m 的带电小球，此时小球处于平衡状态。画出受力分析。若 将细线剪短，则小球做什么运动？
T
EG
.
如图，一条长为L的细线，上端固定，下端栓一质量为m 的带电小球，此时小球处于平衡状态。画出受力分析。
(1)小球受三个力平衡： T
可得：小球带正电
qE
qE/mg=tgα
α
q=mg tgα/E
mg
（2）小球做初速度为0的匀加速直线运动
mg/F合=cosα
F合=mg/cosα=ma
X=at2/2=gt2/2cosα .
例3：如图，一条长为L的细线，上端固定，下端栓一质量 为m的带电小球，将它置于方向水平的匀强电场E中。当细 线离开竖直位置的偏角为α时，小球处于平衡。求： （3）如果使细线与竖直方向的偏角由α增大到θ，然后 将小球由静止释放，则θ为多大时，可使小球到达竖直位
OR
由牛顿第二定律： T-mg=mv22/R
由动能定理： 2mgR=mv22/2-mv2/2
B
得 T=6mg
.
例2：用长为R的绝缘细线栓一带正电 q的小球，质量为m，在竖直向下的场 强为E匀强电场中，刚好能在竖直平
面内做圆周运动，求小球运动过程中 的最小速度和绳的最大拉力。
A
E
R
.
B
解：(1)在最高点A，当绳的拉力为 零时，重力和电场力的合力提供向 心力，有最小速度v1
.
[拓展3] 原题中至少给小球多大的 初速度，才能使小球做圆周运动？
解：由题意等效重力F合=mg/cosα
g，=g/cosα 等效最高点v0= Lg/cosa
由动能定理:
F合×2 L =mv2/2- mv02/2
解得: v= 5Lg/cosa
.
R
得 T=6F=6(mg-qE).
B
解：若qE﹥mg，则重力与电场力的合力等效重力 竖直向上，最低点B速度最小，重力提供向心力。
由牛顿第二定律： F=qE-mg F=mv2/R
得 v1=（（qE-mg）R/m）1/2 （2）A点速度最大，合力提供向心力
由牛顿第二定律： T-F=mv22/R 由动能定理： 2FR=mv22/2-mv12/2
.
等效：
题中电场力为恒力，且与重力同向 可将两者合力 F=qE+mg
等效成重力 G‵ =mg ‵ 即 g‵ =g+qE/m
.
用g‵替换结论中的g就可快速得到 [例2]的结果：
最高点有最小速度v= R(gqE/m)
小球运动到最低点时有最大拉力 T=6mg‵ =6(mg+qE)
.
思考1：如果粒子带负电，大小为q， 则结果如何？
解：若qE﹤mg，则重力与电场力的合力等效重力 竖直向下，最高点A速度最小，重力提供向心力。
由牛顿第二定律： F=mg-qE F=mv12/R
得 v1=（（mg-qE）R/m）1/2 （2）B点速度最大，合力提供向心力
A
E
由牛顿第二定律： T-F=mv22/R
由动能定理： 2FR=mv22/2-mv12/2
α
L
T
E
m
● F电
.
GF
例3：如图，一条长为L的细线，上端固定，下端栓一质量 为m的带电小球，将它置于方向水平的匀强电场E中。当细 线离开竖直位置的偏角为α时，小球处于平衡。求： （1）小球带何种电荷？ 小球的电量？ （2）若将细线剪短，则小球做什么运动？T时间后小球的
位移是多少？
αL
E
m●
.
解：