带电粒子在电场和重力场复合场中的运动
带电粒子在电场中运动的综合问题
(1)求子弹打入靶盒后的瞬间，子弹和靶盒共 同的速度大小v1； 解析 子弹打入靶盒过程中，由动量守恒定 律得mv0＝10mv1 解得v1＝0.1v0。 答案 0.1v0
(2)求子弹打入靶盒后，靶盒向右离开O点的最
大距离s；
解析 靶盒向右运动的过程中，由牛顿第二
定律得qE＝10ma
又 v21＝2as 解得 s＝2m0qvE20 。
4.(多选)如图 4 所示，ACB 为固定的光滑半圆形竖直绝
缘轨道，半径为 R，AB 为半圆水平直径的两个端点， OC 为半圆的竖直半径，AC 为41圆弧，OC 的左侧、OA 的下方区域有竖直向下的匀强电场。一个带负电的小
球，从 A 点正上方高为 H 处由静止释放，并从 A 点
沿切线进入半圆轨道。不计空气阻力，小球电荷量不
电场，x 轴沿水平方向，一带负电小球以初速度 v0 从坐标原点 O 水平射出，一
段时间后小球通过第四象限 PL，－L点(图 2 中没有标出)。已知小球质量为 m，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
重力加速度为 g，则小球( AB )
A.从 O 到 P 的运动过程，运动时间为vL0
B.到达 P 点时动能为25mv20
C.到达 P 点时速度偏向角正切值为 tan θ＝1
C.－mgLqsin θ
D.mgLqsin θ
图3
解析 带正电小滑块从 A 点由静止开始沿斜面下滑，受到重力和电荷 Q 的库仑
力作用，从 A 点运动到 B 点的过程，由动能定理可知 mgLsin θ＋qUAB＝0，解 得 A、B 两点间的电势差 UAB＝－mgLqsin θ，C 正确。
对点练 2 电场中的力、电综合问题
答案
mv20 20qE
(3)若靶盒回到O点时，第2颗完全相同的子弹 也以v0水平向右打入靶盒，求第2颗子弹对靶 盒的冲量大小I。
带电粒子在复合场中的运动问题
【正确解答】 粒子在磁场中的运动为匀速圆周运动,在电场中的运动为匀变速 直线运动.画出粒子运动的过程草图10-19.根据这张图可知粒子在 磁场中运动半个周期后第一次通过x轴进入电场,做匀减速运动至速 度为零,再反方向做匀加速直线运动,以原来的速度大小反方向进入 磁场.这就是第二次进入磁场,接着粒子在磁场中做圆周运动,半个 周期后第三次通过x轴.
2,带电粒子在复合场中的运动情况: ,带电粒子在复合场中的运动情况: 1)直线运动: )直线运动: 常见的情况有: 常见的情况有: 洛伦兹力为零( 平行), ①洛伦兹力为零(即V与B平行),重力与电场力平 与 平行),重力与电场力平 衡时,做匀速直线运动; 衡时,做匀速直线运动;合外力恒定时做匀变速直 线运动. 线运动. ②洛伦兹力与V垂直,且与重力和电场力的合力 洛伦兹力与 垂直, 垂直 或其中的一个力)平衡,做匀速直线运动. (或其中的一个力)平衡,做匀速直线运动. 2)圆周运动: )圆周运动: 当带电粒子所受到合外力充当向心力时, 当带电粒子所受到合外力充当向心力时,带电粒子 做匀速圆周运动. 做匀速圆周运动.此时一般情况下是重力恰好与电 场力平衡,洛伦兹力充当向心力. 场力平衡,洛伦兹力充当向心力. 3)一般的曲线运动: )一般的曲线运动: 当带电粒子所受的合力在大小,方向均不断变化时, 当带电粒子所受的合力在大小,方向均不断变化时, 则粒子将做非匀变速曲线运动. 则粒子将做非匀变速曲线运动.
解:不妨假设设小球带正电(带负电时电场力和洛伦兹力 都将反向,结论相同).刚释放时小球受重力,电场力, 弹力,摩擦力作用,向下加速;开始运动后又受到洛伦兹 力作用,弹力,摩擦力开始减小;当洛伦兹力等于电场力 时加速度最大为g.随着v的增大,洛伦兹力大于电场力, 弹力方向变为向右,且不断增大,摩擦力随着增大,加速 度减小,当摩擦力和重力大小相等时,小球速度达到最大.
带电粒子在电场重力场中运动
带电粒子在电场和重力场的复合场中的运动教学目标：（一）知识与技能1.带电粒子在复合场中的运动处理方法。
2. 将力学中的研究方法，灵活地迁移到复合场中，分析解决力、电综合问题。
（二）过程与方法培养学生综合运用力学和电学知识，分析解决带电粒子在复合场中的运动能力。
（三）情感态度与价值观培养学生综合分析问题的能力，体会物理知识的实际应用。
教学重点：用力和运动的观点来分析带电体的运动模型。
教学难点：带电粒子在复合场中的运动规律教学过程：引入：我们本节课所讲的复合场指的是重力场和电场并存。
带电粒子在复合场中运动，物理情景比较复杂，是每年高考命题的热点；这部分内容从本质上讲是一个力学问题，应根据力学问题的研究思路和运用力学的基本规律求解。
带电粒子在复合场中运动的基本类型和解法归纳如下。
一：求解带电粒子在复合场中运动的基本思路1：带电粒子在电场中的运动问题，实质是力学问题，其解题的一般步骤仍然为：2：确定研究对象；3：进行受力分析（注意重力是否能忽略）；4：根据粒子的运动情况，运用牛顿运动定律结合运动学公式、动能定理或能量关系列方程式求解．二：带电粒子在复合场中运动的受力特点（1）重力的大小为，方向竖直向下．重力做功与路径无关，其数值除与带电粒子的质量有关外，还与始末位置的高度差有关。
（2）电场力的大小为，方向与电场强度E及带电粒子所带电荷的性质有关，电场力做功与路径无关，其数值除与带电粒子的电荷量有关外，还与始末位置的电势差有关。
重力、电场力可能做功而引起带电粒子能量的转化。
三：带电粒子在复合场中运动的物理模型类型一：带电粒子在复合场中的直线运动1、当带电粒子在复合场中所受的合外力为0时，粒子将做匀速直线运动或静止．例1：带电粒子静止在电场中。
（1）带电粒子带什么电？（2）若给初速度以下情况下带电粒子将做什么运动？2：当带电粒子所受的合外力与运动方向在同一条直线上时，粒子将做变速直线运动例题2如图所示，平行板电容器的两个极板与水平地面成一角度，两极板与一直流电源相连。
高三物理带电粒子在复合场中的运动知识点总结-带电粒子在电场中的运动知识点
高三物理带电粒子在复合场中的运动知识点总结|带电粒子在电场中的运动知识点一、带点粒子在复合场中的运动本质是力学问题1、带电粒子在电场、磁场和重力场等共存的复合场中的运动，其受力情况和运动图景都比较复杂，但其本质是力学问题，应按力学的基本思路，运用力学的基本规律研究和解决此类问题。
2、分析带电粒子在复合场中的受力时，要注意各力的特点。
如带电粒子无论运动与否，在重力场中所受重力及在匀强电场中所受的电场力均为恒力，它们的做功只与始末位置在重力场中的高度差或在电场中的电势差有关，而与运动路径无关。
而带电粒子在磁场中只有运动(且速度不与磁场平行)时才会受到洛仑兹力，力的大小随速度大小而变，方向始终与速度垂直，故洛仑兹力对运动电荷不做功.二、带电微粒在重力、电场力、磁场力共同作用下的运动(电场、磁场均为匀强场)1、带电微粒在三个场共同作用下做匀速圆周运动:必然是电场力和重力平衡，而洛伦兹力充当向心力.2、带电微粒在三个场共同作用下做直线运动:重力和电场力是恒力，它们的合力也是恒力。
当带电微粒的速度平行于磁场时，不受洛伦兹力，因此可能做匀速运动也可能做匀变速运动; 当带电微粒的速度垂直于磁场时，一定做匀速运动。
3、与力学紧密结合的综合题，要认真分析受力情况和运动情况(包括速度和加速度)。
必要时加以讨论。
三、带电粒子在重力场、匀强电场、匀强磁场的复合场中的运动的基本模型有：1、匀速直线运动。
自由的带点粒子在复合场中作的直线运动通常都是匀速直线运动，除非粒子沿磁场方向飞入不受洛仑兹力作用。
因为重力、电场力均为恒力，若两者的合力不能与洛仑兹力平衡，则带点粒子速度的大小和方向将会改变，不能维持直线运动了。
2、匀速圆周运动。
自由的带电粒子在复合场中作匀速圆周运动时，必定满足电场力和重力平衡，则当粒子速度方向与磁场方向垂直时，洛仑兹力提供向心力，使带电粒子作匀速圆周运动。
3、较复杂的曲线运动。
在复合场中，若带电粒子所受合外力不断变化且与粒子速度不在一直线上时，带电粒子作非匀变速曲线运动。
高中物理基础知识及例题(学案) 带电粒子在重力场与电场中的运动
带电粒子在重力场与电场中的运动[学习目标] 1.会应用运动和力、功和能的关系分析带电粒子在复合场中的直线运动问题.2.会应用运动和力、功和能的关系分析带电粒子在复合场中的类平抛运动问题和圆周运动问题．一、带电粒子在复合场中的直线运动讨论带电粒子在复合场中做直线运动(加速或减速)的方法(1)动力学方法——牛顿运动定律、运动学公式．当带电粒子所受合力为恒力，且与速度方向共线时，粒子做匀变速直线运动，若题目涉及运动时间，优先考虑牛顿运动定律、运动学公式．在重力场和电场叠加场中的匀变速直线运动，亦可以分解为重力方向上、静电力方向上的直线运动来处理．(2)功、能量方法——动能定理、能量守恒定律．若题中已知量和所求量涉及功和能量，那么应优先考虑动能定理、能量守恒定律．例1如图所示，水平放置的平行板电容器的两极板M、N接直流电源，两极板间的距离为L＝15 cm.上极板M的中央有一小孔A，在A的正上方h处的B点有一小油滴自由落下．已知带正电小油滴的电荷量q＝3.5×10－14C、质量m＝3.0×10－9kg.当小油滴即将落到下极板时速度恰好为零．两极板间的电势差U＝6×105 V．(不计空气阻力，取g＝10 m/s2)(1)两极板间的电场强度E的大小为多少？(2)设平行板电容器的电容C＝4.0×10－12 F，则该电容器所带电荷量Q是多少？(3)B点在A点正上方的高度h是多少？针对训练1(多选)如图所示，平行板电容器的两个极板与水平地面成一角度，两极板与一恒压直流电源相连．若一带电粒子恰能沿图中所示水平直线通过电容器，则在此过程中，该粒子()A．所受重力与静电力平衡B．电势能逐渐增加C．动能逐渐增加D．做匀变速直线运动二、带电粒子的类平抛运动带电粒子在电场中的类平抛运动的处理方法：1．运动分解的方法：将运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直初速度方向的匀加速直线运动，在这两个方向上分别列运动学方程或牛顿第二定律．2．利用功能关系和动能定理分析：(1)功能关系：静电力做功等于电势能的减少量，W电＝E p1－E p2.(2)动能定理：合力做功等于动能的变化，W＝E k2－E k1.例2如图所示，空间存在一方向竖直向下的匀强电场，O、P是电场中的两点．从O点沿水平方向以不同速度先后发射两个质量均为m的小球A、B.A不带电，B的电荷量为q(q＞0)，A从O点发射时的速度大小为v0，到达P点所用时间为t，B从O点到达P点所用时间为t2.重力加速度为g，求：(1)电场强度E的大小；(2)B运动到P点时的动能；(3)OP间的电势差U OP的大小．针对训练2(多选)如图所示，有三个质量相等，分别带正电、负电和不带电的小球，从平行金属板左侧中点以相同的初速度v0垂直于电场方向进入板间匀强电场，最后落在A、B、C 三点，可以判断()A．落到A点的小球带正电，落到B点的小球不带电，落到C点的小球带负电B．三个小球在电场中运动的时间相等C．三个小球到达极板时的动能关系为E k C＞E k B＞E k AD．三个小球在电场中运动时的加速度关系为a A＜a B＜a C三、带电粒子在电场(复合场)中的圆周运动解决电场(复合场)中的圆周运动问题，关键是分析向心力的来源，向心力的来源有可能是重力和静电力的合力，也有可能是单独的静电力．例3(多选)(2022·广州市高二期末)如图所示，在竖直放置的半径为R的光滑半圆弧绝缘细管的圆心O处固定一点电荷，将质量为m，带电荷量为＋q的小球从圆弧管的水平直径端点A由静止释放，小球沿细管滑到最低点B时，对管壁恰好无压力．已知重力加速度为g，下列说法正确的是()A．O处固定的点电荷带负电B．小球滑到最低点B时的速率为2gRC．B点处的电场强度大小为2mg qD．小球不能到达光滑半圆弧绝缘细管水平直径的另一端点C例4(2021·六安市高二期中)如图所示，一个竖直放置的半径为R的光滑绝缘环，置于水平方向的匀强电场中，电场强度为E，有一质量为m、电荷量为q的带正电荷的空心小球套在环上，并且Eq＝mg.(1)当小球由静止开始从环的顶端A 下滑14圆弧长到位置B 时，小球的速度为多少？环对小球的压力为多大？(2)小球从环的顶端A 滑至底端C 的过程中，小球在何处速度最大？最大速度为多少？专题强化5 带电粒子在重力场与电场中的运动探究重点 提升素养例1 (1)4×106 V/m (2)2.4×10－6 C (3)0.55 m解析 (1)由匀强电场的场强与电势差的关系式可得两极板间的电场强度大小为E ＝UL ＝4×106 V/m.(2)该电容器所带电荷量为Q ＝CU ＝2.4×10－6 C. (3)小油滴自由落下，即将落到下极板时，速度恰好为零 由动能定理可得：mg (h ＋L )－qU ＝0 则B 点在A 点正上方的高度是h ＝qU mg －L ＝3.5×10－14×6×1053.0×10－9×10m －15×10－2 m ＝0.55 m. 针对训练1 BD [对带电粒子受力分析如图所示，F 合≠0，A 错误．由图可知静电力与重力的合力方向与v 0方向相反，F 合对粒子做负功，其中重力mg 不做功，静电力Eq 做负功，故粒子动能减少，电势能增加，B 正确，C 错误．F 合恒定且F 合与v 0方向相反，粒子做匀减速直线运动，D 正确．] 例2 (1)3mg q (2)2m (v 02＋g 2t 2) (3)3mg 2t 22q解析 (1)设电场强度的大小为E ，小球B 运动的加速度为a ，OP 的竖直高度为h ， 根据牛顿第二定律：mg ＋qE ＝ma 由运动学公式和题给条件有：h ＝12gt 2＝12a (t 2)2 联立解得：E ＝3mg q(2)设小球B 从O 点发射时的速度为v 1，到达P 点时的动能为E k ，根据动能定理有： mgh ＋qEh ＝E k －12m v 12h ＝12gt 2 且小球B 水平方向位移：x ＝v 1t2＝v 0t联立得：E k ＝2m (v 02＋g 2t 2) (3)OP 间电势差为U OP ＝Eh 由(1)知E ＝3mgq联立解得：U OP ＝3mg 2t 22q.针对训练2 ACD [不带电小球、带正电小球和带负电小球在平行金属板间的受力如图所示：由此可知不带电小球做平抛运动，a 1＝Gm ，带正电小球做类平抛运动a 2＝G －F m ，带负电小球做类平抛运动，a 3＝G ＋F ′m.根据题意，三小球在竖直方向都做初速度为0的匀加速直线运动，到达下极板时，竖直方向的位移h 相等， 根据t ＝2ha得，带正电小球运动时间最长，不带电小球次之，带负电小球运动时间最短． 三小球在水平方向都不受力，做匀速直线运动，则落在板上时水平方向的距离与下落时间成正比，故水平位移最大的A 是带正电的小球，B 是不带电的小球，C 是带负电的小球，故A 正确，B 错误；根据动能定理，三小球到达下板时的动能等于这一过程中合外力对小球做的功．由受力图可知，带负电小球所受合力最大，为G ＋F ′，做功最多，动能最大，带正电小球所受合力最小，为G －F ，做功最少，动能最小，则小球到达极板时的动能关系为E k C ＞E k B ＞E k A ，故C 正确．因为落在A 点的小球带正电，落在B 点的小球不带电，落在C 点的小球带负电，所以a A ＝a 2，a B ＝a 1，a C ＝a 3，所以a A ＜a B ＜a C ，故D 正确．]例3 AB [小球从A 点由静止释放，运动到B 点的过程中，电场力不做功，则由机械能守恒定律可得mgR ＝12m v 2，即到达B 点的速度为v ＝2gR ，故B 正确；由题意可知，小球沿细管滑到最低点B 时，对管壁恰好无压力，则在B 点小球受重力和电场力，小球带正电受向上的电场力，则O 处固定的点电荷带负电，故A 正确；在B 点由牛顿第二定律k QqR 2－mg ＝m v 2R ，E ＝k Q R 2＝3mgq ，故C 错误；根据点电荷的电场分布特点，可知电场线沿着半圆轨道的半径方向，所以小球从A 点运动到C 点的过程中，电场力不做功，即小球从A 点运动到C 点的过程中，机械能守恒，即小球可以到达光滑半圆弧绝缘细管水平直径的另一端点C ，故D 错误．] 例4 (1)4gR 5mg (2)BC 弧的中点2(2＋1)gR解析 (1)从A 到B 根据动能定理得：mgR ＋qER ＝12m v B 2－0，解得：v B ＝4gR .根据牛顿第二定律得：F N －qE ＝m v B 2R ，解得：F N ＝5mg .根据牛顿第三定律得，环对小球的压力为5mg .(2)由于小球所受的静电力与重力都是恒力，它们的合力也是恒力，小球从A 处下滑时，静电力与重力的合力先与速度成锐角，做正功，动能增大，速度增大，后与速度成钝角，做负功，动能减小，速度减小，所以当合力与速度垂直时速度最大，由于qE ＝mg ，所以速度最大的位置位于BC 圆弧的中点，设为D 点． 则从A 到D 过程，根据动能定理得： mg (R ＋22R )＋qE ·22R ＝12m v m 2 解得：v m ＝2(2＋1)gR .。
带电粒子在复合场中的运动
设粒子在电场中运动的路程为 s2， 根据动能定理得 Eq·s22＝12mv2，得 s2＝mEvq2， 则总路程 s＝πR＋mEvq2， 代入数据得 s＝(0．5π＋1)m。
[答案] (1)0．2 T (2)(0．5π＋1)m
(3)较复杂的曲线运动： 当带电粒子所受合外力的大小和方向均变化，且与初 速度方向不在同一条直线上，粒子做 非匀变速曲线运动， 这时粒子运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线。 (4)分阶段运动： 带电粒子可能依次通过几个情况不同的复合场区域， 其运动情况随区域发生变化，其运动过程由几种不同的运 动阶段组成。
(1)小球运动到 O 点时的速度大小； (2)悬线断裂前瞬间拉力的大小； (3)ON 间的距离。 [解析] (1)小球从 A 运动到 O 点的过程中，根据动能 定理： 12mv2＝mgl－qEl 则小球在 O 点时的速度为 v＝ 2lg－qmE＝2 m/s。
(2)小球运动到 O 点绳子断裂前瞬间，对小球应用牛 顿第二定律：
场 荷受力的方向与该点电场 电势能，且W电＝－ΔEp
强度的方向相反)
磁 (1)大小：F＝qvB 场 (2)方向：垂直于v和B决
定的平面
洛伦兹力不做功
2．电偏转和磁偏转的比较
受力特征 运动性质
电偏转 F电＝qE(恒力) 匀变速曲线运动
运动轨迹
磁偏转 F洛＝qvB(变力) 匀速圆周运动
电偏转
类平抛运动
图2
(1)小球运动的速率v； (2)电场E2的大小与方向； (3)磁场B2的大小与方向。
解析：(1)小球在 x 轴下方受力如图所示： 其中重力竖直向下，G＝mg＝3×10－2 N 电场力水平向右，F＝qE1＝4×10－2 N G 与 F 的合力 F 合＝ G2＋F2＝5×10－2N 设合力与水平方向的夹角为 α， 则 tan α＝GF，即 tan α＝34，α＝37° 由 f＝qvB1，f＝F 合 得 v＝qBf 1＝2×5×101－03－×2 5 m/s＝5 m/s。
带电粒子在复合场中的运动
(1)粒子在电场中偏转时做类平抛运动 粒子在电场中偏转时做类平抛运动, 解析 (1)粒子在电场中偏转时做类平抛运动, 则垂直电场方向d 则垂直电场方向d=v0t,
d vy 平行电场方向 = t 2 2
得 v y = v 0, 到A点速度为v= 2 v0 点速度为v
(2)在电场中类平抛， (2)在电场中类平抛， 在电场中类平抛
要点： 要点：画轨迹 （对称性） 对称性）
(1)中间磁场区域的宽度d. (1)中间磁场区域的宽度d. 中间磁场区域的宽度 (2)带电粒子从 点开始运动到第一次回到O 带电粒子从O (2)带电粒子从O点开始运动到第一次回到O 点所用时间t. 点所用时间t.
1 2 (1)带电粒子在电场中加速 qEL= 带电粒子在电场中加速, 解：(1)带电粒子在电场中加速, qEL= mv 2 2 v 带电粒子在磁场中偏转,qvB= m 带电粒子在磁场中偏转, R
E. qE= qE=qvB,即v= B
2.磁流体发电机 2.磁流体发电机 根据左手定则,如图4中的B 根据左手定则,如图4中的B板是发电机的 正极.磁流体发电机两极板间的距离为d 正极.磁流体发电机两极板间的距离为d, 等离子体速度为v 磁场磁感应强度为B 等离子体速度为v,磁场磁感应强度为B, 则两极板间能达到的最大电势差U= 则两极板间能达到的最大电势差UdvB .
图4
3.电磁流量计 3.电磁流量计 工作原理:如图所示,圆形导管直径为d 工作原理:如图所示,圆形导管直径为d,导电液 体在管中向左流动,导电液体中的自由电荷( 体在管中向左流动,导电液体中的自由电荷(正、 负离子),在洛伦兹力的作用下横向偏转, 负离子),在洛伦兹力的作用下横向偏转,a、b ),在洛伦兹力的作用下横向偏转 间出现电势差,形成电场, 间出现电势差,形成电场,当自由电荷所受的电 场力和洛伦兹力平衡时,a、b间的电势差就保 场力和洛伦兹力平衡时, U 持稳定, 持稳定,即 Bqv = qE = q d U 所以v= ,因此液体
带电粒子在电场和重力场复合场中的运动
R
得 T=6F=6(mg-qE)
B
解：若qE﹥mg，则重力与电场力的合力等效重力 竖直向上，最低点B速度最小，重力提供向心力。 由牛顿第二定律： F=qE-mg F）A点速度最大，合力提供向心力
由牛顿第二定律： T-F=mv22/R 由动能定理： 2FR=mv22/2-mv12/2
解：若qE﹤mg，则重力与电场力的合力等效重力 竖直向下，最高点A速度最小，重力提供向心力。
由牛顿第二定律： F=mg-qE F=mv12/R
得 v1=（（mg-qE）R/m）1/2 （2）B点速度最大，合力提供向心力
A
E
由牛顿第二定律： T-F=mv22/R
由动能定理： 2FR=mv22/2-mv12/2
设此题中等效重力加速度为 g′ 由题意可知等效重力mg′=mg/cosα
将g′代入周期公式得: T周=2π l cosa/g
[拓展2] 若将原题中电场E突然反向，求细线 偏离竖直方向的最大偏角？（α小于45o）
解：电场E反向，由受力可知摆动的等效最 低点在竖直偏左α角处，等效摆的摆角为2 α，再由对称性可知，小球偏离竖直方向的 最大夹角为3 α。
等效：
题中电场力为恒力，且与重力同向 可将两者合力 F=qE+mg
等效成重力 G‵ =mg ‵ 即 g‵ =g+qE/m
用g‵替换结论中的g就可快速得到 [例2]的结果：
最高点有最小速度v= R(gqE/m)
小球运动到最低点时有最大拉力 T=6mg‵ =6(mg+qE)
思考1：如果粒子带负电，大小为q， 则结果如何？
由动能定理： 2mgR=mv22/2-mv2/2
B
得 T=6mg
例2：用长为R的绝缘细线栓一带正电 q的小球，质量为m，在竖直向下的场 强为E匀强电场中，刚好能在竖直平
带电粒子在复合场中,常见的三种运动轨迹
v0=4.0×103 m/s的速度沿与两板平行的中线OO′
射入，取g=10 m/s2、π=3.14。求：
(1)粒子在0～1.0×10-4 s内位移的大小x；
(2)粒子离开中线OO′的最大距离h；
(3)粒子在板间运动的时间t；
(4)画出粒子在板间运动的轨迹图。
U 5 【解析】(1)由题意知： Eq q 2.0 10 s d 5 而mg 2.0 10 s
由牛顿第二定律得：
mv0 2 qv0 B = R
所以粒子离开中线OO′的最大距离 h=0.128 m。
(3)板长L=1.2 m=3x t=2T+3Δt=5.0×10-4 s (4)轨迹如圆形区域内存在
垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大
小为B，在此区域外围足够大空间有垂直 纸面向内的磁感应强度大小也为B的匀强 磁场，一个带正电粒子从边界上的P点沿半径向外，以速 度v0进入外围磁场，已知带电粒子质量m=2×10-10 kg，带
显然Eq=mg 故粒子在0～1.0×10-4 s时间内做匀速直线运动， 因为Δt=1.0×10-4 s, 所以x=v0Δt=0.4 m
(2)在1.0×10-4～2.0×10-4 s时间内，
电场力与重力平衡，粒子做匀速圆周运动， 2m 因为 T qB 故粒子在1.0×10-4～2.0×10-4 s时间内恰好完成一个周期圆 周运动
4 为 v = BqR = BqL m 4m
设粒子进入电场后沿y轴负方向做减速运动的最大位移
1 为y， mv 2 = qEy， 得y = 2 2 2 qB L 由动能定理知 s = + 16mE qB2 L2 32mE 1 p L。 2
所以粒子运动的总路程为
答案： qB2 L2
8.3带电粒子在复合场中的运动
2.如图所示，在长方形abcd区域内有正交的电磁场，ab＝bc/2＝L， 一带电粒子从ad的中点垂直于电场和磁场方向射入，恰沿直线从bc边 的中点P射出，若撤去磁场，则粒子从c点射出；若撤去电场，则粒子 将(重力不计)( )
A．从b点射出 B．从b、P间某点射出 C．从a点射出 D．从a、b间某点射出
(1)M、N两点间的电势差UMN； (2)粒子在磁场中运动的轨道半径r； (3)粒子从M点运动到P点的总时间t. [思路点拨] 根据粒子在不同区域内的运动特点和受力特点画出轨 迹，分别利用类平抛和圆周运动的分析方法列方程求解．
[自主解答] (1)设粒子过 N 点时的速度大小为 v，有vv0＝cos θ v＝2v0 粒子从 M 点运动到 N 点的过程，有 quMN＝12mv2－12mv20， UMN＝3m2qv20. (2)粒子在磁场中以 O′为圆心做匀速运动， 半径为 O′N，有 qvB＝mrv2，r＝2qmBv0.
律求解． ③当带电粒子做复杂曲线运动时，一般用动能定理或能量守恒定律 求解． ④对于临界问题，注意挖掘隐含条件．
2．复合场中粒子重力是否考虑的三种情况 (1)对于微观粒子，如电子、质子、离子等，因为其重力一般情况 下与电场力或磁场力相比太小，可以忽略；而对于一些实际物体， 如带电小球、液滴、金属块等一般应当考虑其重力．
(3)由几何关系得 ON＝rsin θ
设粒子在电场中运动的时间为 t1，有 ON＝v0t1
t1＝
3m qB
粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期 T＝2qπBm
设粒子在磁场中运动的时间为 t2，有 t2＝π2－πθT，故 t2＝23πqmB
t＝t1＋t2，t＝3
3＋2πm 3qB .
[答案]
带电粒子在复合场中的运动例题
带电粒子在复合场中的运动例题引言本文将围绕带电粒子在复合场中的运动进行详细的探讨和解析。
我们将通过一个具体的运动例题，展示带电粒子在电磁场和重力场共同作用下的运动规律，帮助读者更好地理解这一过程。
问题描述考虑一个带电质量为m的粒子，在匀强电场和重力作用下，其运动方程如下：$$F=qE+m g$$其中，F表示粒子所受的合外力，q表示粒子的电荷量，E表示电场强度，g表示重力加速度。
在给定初速度v0的情况下，我们的目标是确定带电粒子在复合场中的运动轨迹。
解析为了解决这个问题，我们将采取以下步骤：步骤一：分析受力情况带电粒子所受的合外力由电场力和重力构成，因此可以将合外力表示为：$$F=qE+m g$$步骤二：列出运动方程根据牛顿第二定律，粒子的加速度与合外力成正比，因此可以得到运动方程为：$$a=\f ra c{F}{m}=\f ra c{qE}{m}+g$$将加速度与速度的关系带入上式，得到：$$\f ra c{dv}{dt}=\f ra c{qE}{m}+g$$步骤三：解微分方程对上式进行积分，可以得到粒子的速度与时间的关系：$$v=\f ra c{qE}{m}t+gt+v_0$$其中，v0为初始速度。
步骤四：求解轨迹方程将速度与时间的关系带入运动方程中，即可得到带电粒子在复合场中的运动轨迹：$$x=\f ra c{1}{2}\l e ft(\fr ac{q E}{m}t^2+g t^2+v_0t\ri g ht)+x _0$$其中，x0为初始位置。
结论通过以上的推导和计算，我们得到了带电粒子在复合场中的运动轨迹方程。
这个运动方程将帮助我们更好地理解带电粒子在电场和重力场中的相互作用情况，并能够准确地描述其运动过程。
希望读者通过本文的学习，能够加深对带电粒子在复合场中运动的理解，并能够应用相关原理解决类似的问题。
*注意：本文所使用的公式和推导过程纯属示例，实际问题中需要根据具体情况进行适当的调整。
带电粒子在重力场和电场中的运动
B．小球到B点的速度最大
C．小球可能能够到达A点，且到A点时的速度不为零
D．小球运动到A点时所受绳的拉力最大
3、“竖直上抛运动”
在竖直向下的匀强电场中，以V0初速度竖直向上发射一个质量为 m带电量为q的带正电小球，求上升的最大高度。
4、竖直平面内的圆周运动 【知识回顾】
如图3-1所示，绝缘光滑轨道AB部分为倾角为30°的斜 面，AC部分为竖直平面上半径为R的圆轨道，斜面与圆 轨道相切。整个装置处于场强为E、方向水平向右的匀 强电场中。现有一质量为m的带正电，电量为q 3mg
3E
小球，要使小球能安全通过圆轨道，在O点的初速度应 为多大？
E O R
5、类平抛运动 水平放置带电的两平行金属板，相距d,质量为m的微粒 由板中间以某一初速平行于板的方向进入，若微粒不带 电，因重力作用在离开电场时，向下偏转d/4，若微粒 带正电，电量为q，仍以相同的初速度进入电场，微粒 恰好不再射出电场，则两板的电势差应为多少？并说明 上下板间带电性？
用长为R的细线栓一个质量为m的小球，刚好能在 竖直平面内做圆周运动。求： （1）小球在什么位置速度最小，为多少，此时绳 的拉力为多大？ （2）小球在什么位置速度最大，为多少，此时A绳 的拉力为多大？
特点： 最低点： （B点） 物体自由时可以平衡的位置 最高点： （A点） 最低点关于圆心对称的位置
TR B
重力环境对比： 小球在A—B—C之间往复运动，则α 、β的关系为： A．α = β B．α > β C．α < β D．无法比较
如图所示，在水平方向的匀强电场中的O点，用长为l的轻、软绝 缘细线悬挂一质量为m的带电小球，当小球位于B点时处于静止状 态，此时细线与竖直方向（即OA方向）成θ角．现将小球拉至细 线与竖直方向成2θ角的C点，由静止将小球释放．若重力加速度为 g ，则对于此后小球的受力和运动情况，下列判断中正确的是
带电粒子在复合场中的运动
带电粒子在复合场中的运动发表时间：2011-08-19T16:29:23.780Z 来源：《学习方法报》教研周刊 作者： 马敬卫[导读] 带电粒子在复合场中的运动一般有两种情况：直线运动和圆周运动。
山东省郓城第一中学 马敬卫复合场是指电场、磁场、重力场中三者或任意两者共存的场。
虽然带电粒子在复合场中的运动情况一般较为复杂，但它作为一个力学问题，同样遵循联系力和运动的基本规律。
带电粒子在复合场中的运动一般有两种情况：直线运动和圆周运动。
（1）若带电粒子在电场力、重力和洛伦兹力共同作用下做直线运动，由于电场力和重力为恒力，洛伦兹力方向和速度方向垂直且大小随速度大小而改变，所以只要带电粒子速度大小发生变化，垂直于速度方向的合力就要发生变化，该方向带电粒子的运动状态就会发生变化，带电粒子就会脱离原来的直线轨道而沿曲线运动。
可见，只有带电粒子速度大小不变，才可能做直线运动，也就是说，带电粒子在电场力、重力和洛伦兹力共同作用下做直线运动时，一定是做匀速直线运动。
（2）若带电粒子在电场力、重力和洛伦兹力共同作用下做匀速圆周运动时，由于物体做匀速圆周运动的条件是所受合外力大小恒定、方向时刻和速度方向垂直，这是任何几个恒力或恒力和某一变力无法合成实现的，只有洛伦兹力可满足该条件。
也就是说，带电粒子在上述复合场中如果做匀速圆周运动，只能是除洛伦兹力以外的所有恒力的合力为零才能实现。
总之，处理此类问题，一定要牢牢把握隐含条件。
在解决实际问题时，要做到以下三点：①正确分析受力情况；②充分理解和掌握不同场对带电粒子作用的特点和差异；③认真分析带电粒子运动的详细过程，充分发掘题目中的隐含条件，建立清晰的物理情景，最终把物理模型转化为数学表达式。
下面以两个例子来说明处理此类问题的方法。
1. 带电微粒在电场力、重力和洛伦兹力共同作用下做匀速圆周运动。
必然是电场力和重力平衡，而洛伦兹力充当向心力。
例1 一个带电微粒在图示的正交匀强电场和匀强磁场中在竖直平面内做匀速圆周运动。
带电粒子在复合场中的运动
带电粒子在复合场中的运动一、带电粒子．．．．（通常不计重力）在混合场中的运动 1．速度选择器正交的匀强磁场和匀强电场组成速度选择器。
带电粒子必须以唯一确定的速度（包括大小、方向）才能匀速（或者说沿直线）通过速度选择器。
否则将发生偏转。
这个速度的大小可以由洛伦兹力和电场力的平衡得出：qvB=Eq ，BE v =。
在本图中，速度方向必须向右。
（1）这个结论与离子带何种电荷、电荷多少都无关。
（2）若速度小于这一速度，电场力将大于洛伦兹力，带电粒子向电场力方向偏转，电场力做正功，动能将增大，洛伦兹力也将增大，粒子的轨迹既不是抛物线，也不是圆，而是一条复杂曲线；若大于这一速度，将向洛伦兹力方向偏转，电场力将做负功，动能将减小，洛伦兹力也将减小，轨迹是一条复杂曲线。
【例1】 某带电粒子从图中速度选择器左端由中点O 以速度v 0向右射去，从右端中心a 下方的b 点以速度v 1射出；若增大磁感应强度B ，该粒子将打到a 点上方的c 点，且有ac =ab ，则该粒子带___电；第二次射出时的速度为_____。
【例2】 如图所示，一个带电粒子两次以同样的垂直于场线的初速度v 0分别穿越匀强电场区和匀强磁场区， 场区的宽度均为L 偏转角度均为α，求E ∶B2．回旋加速器（1）有关物理学史知识和回旋加速器的基本结构和原理1932年美国物理学家应用了带电粒子在磁场中运动的特点发明了回旋加速器，其原理如图所示。
A 0处带正电的粒子源发出带正电的粒子以速度v 0垂直进入匀强磁场，在磁场中匀速转动半个周期，到达A 1时，在A 1 A 1/处造成向上的电场，粒子被加速，速率由v 0增加到v 1，然后粒子以v 1在磁场中匀速转动半个周期，到达A 2/时，在A 2/ A 2处造成向下的电场，粒子又一次被加速，速率由v 1增加到v 2，如此继续下去，每当粒子经过A A /的交界面时都是它被加速，从而速度不断地增加。
带电粒子在磁场中作匀速圆周运动的周期为qBT ｍπ2=，为达到不断加速的目的，只要在A A /上加上周期也为T 的交变电压就可以了。
带电粒子在电场和重力场复合场中的运动
$E_{p} = qvarphi$，其中$q$为带电粒子的电荷量，$varphi$为 电势。
影响因素
与带电粒子的电荷量和电场强度有关。
动能
01
02
03
定义
带电粒子在运动过程中所 具有的能量。
计算公式
$E_{k}
=
frac{1}{2}mv^{2}$，其中
$m$为带电粒子的质量，
$v$为速度。
带电粒子在电场和重力场复合场中 的运动
目录
• 带电粒子在电场和重力场复合场中的 受力分析
• 带电粒子在复合场中的运动形式 • 带电粒子在复合场中的能量分析
目录
• 带电粒子在复合场中的运动轨迹分析 • 带电粒子在复合场中的动力学方程 • 带电粒子在复合场中的实验验证
01 带电粒子在电场和重力场 复合场中的受力分析
详细描述
当带电粒子受到的电场力和重力相互抵消时，粒子受到的合外力为零，因此粒子将做匀速圆周运动。 此时，粒子受到的电场力充当向心力，使粒子沿着圆形轨迹运动。粒子的速度大小不变，方向时刻改 变，其运动轨迹为一个闭合的圆。
03 带电粒子在复合场中的能 量分析
电势能
定义
带电粒子在电场中由于电场力作用而具有的势能。
详细描述
当带电粒子受到的电场力和重力方向不一致时，粒子将受到一个与初速度方向垂直的合外力，这个力使粒子做曲 线运动。根据牛顿第二定律，合外力与加速度方向一致，因此粒子加速度方向时刻改变，导致速度方向也时刻改 变，从而形成曲线轨迹。
匀速圆周运动
总结词
当带电粒子受到的电场力和重力相互抵消时，粒子将在匀强电场中做匀速圆周运动。
牛顿第二定律的应用
牛顿第二定律是动力学的基础，在复合场中，带电粒子受到 电场力和重力的作用，因此，牛顿第二定律的应用是推导动 力学方程的关键。
带电粒子在电场和重力场复合场中的运动课件
α
L
T
Emຫໍສະໝຸດ ● F电GF例3：如图，一条长为L的细线，上端固定，下端栓一质量 为m的带电小球，将它置于方向水平的匀强电场E中。当细 线离开竖直位置的偏角为α时，小球处于平衡。求： （1）小球带何种电荷？ 小球的电量？ （2）若将细线剪短，则小球做什么运动？T时间后小球的
位移是多少？
αL
E
m●
解：
(1)小球受三个力平衡： T
可得：小球带正电
qE
qE/mg=tgα
α
q=mg tgα/E
mg
（2）小球做初速度为0的匀加速直线运动
mg/F合=cosα
F合=mg/cosα=ma
X=at2/2=gt2/2cosα
例3：如图，一条长为L的细线，上端固定，下端栓一质量 为m的带电小球，将它置于方向水平的匀强电场E中。当细 线离开竖直位置的偏角为α时，小球处于平衡。求： （3）如果使细线与竖直方向的偏角由α增大到θ，然后 将小球由静止释放，则θ为多大时，可使小球到达竖直位
作业：
1.此小球摆动过程中的振动周期为多少?（摆角 小于50）
2. 若将原题中电场E突然反向，求细线偏离 竖直方向的最大偏角？（α小于45o）
3. 原题中至少给小球多大的初速 度，才能使小球做圆周运动？
[拓展1]此小球摆动过程中的振动周期为多少? （摆角小于50）
解：由单摆周期公式T周=2π l / g '
设此题中等效重力加速度为 g′ 由题意可知等效重力mg′=mg/cosα
将g′代入周期公式得: T周=2π l cos a/g
[拓展2] 若将原题中电场E突然反向，求细线 偏离竖直方向的最大偏角？（α小于45o）
解：电场E反向，由受力可知摆动的等效最 低点在竖直偏左α角处，等效摆的摆角为2 α，再由对称性可知，小球偏离竖直方向的 最大夹角为3 α。
一轮复习带电体在电场、重力场的复合场中的运动
如图所示，在水平向左的匀强电场中有一与水平面成 60°角的 光滑绝缘直杆 AC，其下端(C 端)距地面高度 h＝0.8 m。有一 质量为 0.5 kg 的带电小环套在杆上，正以某一速度 v0 沿杆匀 速下滑，小环离开杆后正好落在 C 端的正下方地面上 P 点处， ACP 所在平面与电场 E 平行，g 取 10 m/s2，求： (1)小环带何种电荷及它受到的电场力的大小； (2)小环在直杆上匀速运动速度 v0 的大小。
答案
1＋3
2
2R
[例 2] 如图所示，半径 R＝0.8 m 的光滑绝缘导轨固定于竖 直平面内，加上某一水平方向的匀强电场时，带正电的小球 沿轨道内侧做圆周运动，它的电量 q＝1.00×10－5 C。圆心 O 与 A 点的连线与竖直成一角度θ，在 A 点时小球对轨道的 压力 N＝1.2 N，此时小球的动能最大。若小球的最大动能 比最小动能多 0.32 J ，且小球能够到达轨道上的任意一点(不 计空气阻力，g 取 10 m/s2)。则：
方向水平向左
以初速度 v0 从地面斜向上抛出一个质量为 m 的小球，当小 球到达最高点时，小球具有的动能与势能之比是 9∶16，选 地面为重力势能参考面，不计空气阻力，现在此空间加上 一个平行于小球运动平面的水平电场，以相同的初速度抛 出带正电荷量为 q 的小球，小球到达最高点时的动能与抛 出时动能相等。已知重力加速度大小为 g，试求：
答案 (1)负电 5 3 N(2)2 3 m/s
如图所示，ABCDF 为一绝缘光滑轨道，竖直放置在水 平方向的匀强电场中，BCDF 是半径为 R 的圆形轨道，已 知电场强度为 E，今有质量为 m 的带电小球在电场力作用 下由静止从 A 点开始沿轨道运动，小球受到的电场力和重 力大小相等，要使小球沿轨道做圆周运动，则 A、B 间的距 离至少为多大？
2019届高三物理二轮复习带电粒子在重力、电场力作用下的运动题型归纳
2019届高三物理二轮复习带电粒子在重力、电场力作用下的运动题型归纳类型一、带电物体在静电场和重力场的复合场中运动时的能量守恒（1）带电物体只受重力和静电场力作用时，电势能、重力势能以及动能相互转化，总能 量守恒，即 +PG K P E E E +=电恒定值（2）带电物体除受重力和静电场力作用外，如果还受到其它力的作用时，电势能、重力 势能以及动能之和发生变化，此变化量等于其它力的功，这类问题通常用动能定理来解决。
例1、如图所示，实线为电场线，虚线为等势面，且相邻两等势面的电势差相等，一个正电荷在等势面U 3上时具有动能4210J -⨯，它运动到等势面U 1时，速度为零，令U 2=0，那么该点电荷的电势能为5410J -⨯时，其动能大小是多少？（设整个运动过程中只有电场力做功）【思路点拨】（1）确定每两个等势面之间的电势能的差值，（2）根据零势面，确定电势能零点，这是同一个等势面；（3）根据有一个已知量的等势面（零势面）确定总能量，（4）所求任意点的某能量就等于总能量减去这点的一个已知能量。
【答案】5610J -⨯【解析】在静电场中运动的电荷，它的机械能和电势能之和保持不变，即能量守恒，由此出发分析问题时比较方便。
由于每两个等势面之间的电势差相等，则电势能的差值也相等，又因为“一个正电荷在等势面U 3上时具有动能4210J -⨯，它运动到等势面U 1时，速度为零”，说明每两个等势面之间的电势能的差值为4110J -⨯，（也可以根据电场力做功来理解），令U 2=0，即设等势面U 2的电势能为零，则等势面U 1的电势能为4110J -⨯，等势面U 3的电势能为4110J --⨯，总的能量为444333210(110)110K P E E E E J J J ---==+=⨯+-⨯=⨯，则任意点M 的动能大小为 4553110410610KM PM E E E J ---=-=⨯-⨯=⨯。
【总结升华】本题各等势面的能量关系：等势面U 1的动能为0，电势能为4110J -⨯，总能量为4110J -⨯。
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α
L
T
E
m
● F电
.
GF
例3：如图，一条长为L的细线，上端固定，下端栓一质量 为m的带电小球，将它置于方向水平的匀强电场E中。当细 线离开竖直位置的偏角为α时，小球处于平衡。求： （1）小球带何种电荷？ 小球的电量？ （2）若将细线剪短，则小球做什么运动？T时间后小球的
位移是多少？
αL
E
m●
.
解：
由牛顿第二定律：
mg + qE= mv12/R
解得最小速度v1= R(gqE/m)
.
(2)小球运动到最低点B时有最大拉 力T，设此时速度最大为v2
由牛顿第二定律：
T –（mg+ qE）=mv22/R
小球由A到B的过程，由动能定理：
(mg+qE) . 2R =mv22/2 - mv12/2 解得：T=6(mg+qE)
置时速度刚好为零？
解：(3)将小球的运动等效成单摆，
其平衡位置等效为单摆最低点，
由题意可知摆角为α，由摆动对称 E
性可知θ=2 α。
.
αL
m●
小结
1. 等效重力法解带电粒子在电场和重力场复合场 中做圆周运动
2. 等效重力法解带电粒子在电场和重力场复合场 中的平衡
3.等效重力法解带电粒子在电场和重力场复 合场中的匀加速直线运动
.
[拓展3] 原题中至少给小球多大的 初速度，才能使小球做圆周运动？
解：由题意等效重力F合=mg/cosα
g，=g/cosα 等效最高点v0= Lg/cosa
由动能定理:
F合×2 L =mv2/2- mv02/2
解得: v= 5Lg/cosa
.
(1)小球受三个力平衡： T
可得：小球带正电
qE
qE/mg=tgα
α
q=mg tgα/E
mg
（2）小球做初速度为0的匀加速直线运动
mg/F合=cosα
F合=mg/cosα=ma
X=at2/2=gt2/2cosα .
例3：如图，一条长为L的细线，上端固定，下端栓一质量 为m的带电小球，将它置于方向水平的匀强电场E中。当细 线离开竖直位置的偏角为α时，小球处于平衡。求： （3）如果使细线与竖直方向的偏角由α增大到θ，然后 将小球由静止释放，则θ为多大时，可使小球到达竖直位
R
得 T=6F=6(mg-qE).
B
解：若qE﹥mg，则重力与电场力的合力等效重力 竖直向上，最低点B速度最小，重力提供向心力。
由牛顿第二定律： F=qE-mg F=mv2/R
得 v1=（（qE-mg）R/m）1/2 （2）A点速度最大，合力提供向心力
由牛顿第二定律： T-F=mv22/R 由动能定理： 2FR=mv22/2-mv12/2
.
等效：
题中电场力为恒力，且与重力同向 可将两者合力 F=qE+mg
等效成重力 G‵ =mg ‵ 即 g‵ =g+qE/m
.
用g‵替换结论中的g就可快速得到 [例2]的结果：
最高点有最小速度v= R(gqE/m)
小球运动到最低点时有最大拉力 T=6mg‵ =6(mg+qE)
.
思考1：如果粒子带负电，大小为q， 则结果如何？
解：若qE﹤mg，则重力与电场力的合力等效重力 竖直向下，最高点A速度最小，重力提供向心力。
由牛顿第二定律： F=mg-qE F=mv12/R
得 v1=（（mg-qE）R/m）1/2 （2）B点速度最大，合力提供向心力
A
E
由牛顿第二定律： T-F=mv22/R
由动能定理： 2FR=mv22/2-mv12/2
带电粒子在电场和重力场 复合场中的运动
景宁中学：米久璐
.
例1：用长为R的绝缘细线栓一小球，质量为m，
刚好能在竖直平面内做圆周运动求小球运
动过程中的最小速度和绳的最大拉力。
解：（1）在最高点A重力刚好提供向心力，速度
最小，由牛顿第二定律：
A
mg=mv2/R
得 v1=（gR）1/2
（2）在最低点B拉力和速度最大。
.
作业：
1.此小球摆动过程中的振动周期为多少?（摆角 小于50）
2. 若将原题中电场E突然反向，求细线偏离 竖直方向的最大偏角？（α小于45o）
3. 原题中至少给小球多大的初速 度，才能使小球做圆周运动？
.
[拓展1]此小球摆动过程中的振动周期为多少? （摆角小于50）
解：由单摆周期公式T周=2π l / g '
得 T=6F=6(qE-mg)
.
思考2：如果将电场方向改为水平向右， 则结果如何？
解（1）A点速度最小，F为等效重力，提供向心力
由牛顿第二定律： F=mv12/R
得 v=（FR/m）1/2
A
（2）B点速度最大，合力提供向
心力
由牛顿第二定律： T-F=m1v2/R
由动能定理： 2FR=mv22/2-mv12/2 E
设此题中等效重力加速度为 g′ 由题意可知等效重力mg′=mg/cosα
将g′代入周期公式得: T周=2π l cosa/g
.
[拓展2] 若将原题中电场E突然反向，求细线 偏离竖直方向的最大偏角？（α小于45o）
解：电场E反向，由受力可知摆动的等效最 低点在竖直偏左α角处，等效摆的摆角为2 α，再由对称性可知，小球偏离竖直方向的 最大夹角为3 α。
得 T=6F=6(G2+q2E2. )1/2
R
B F电
G F
如图，一条长为L的细线，上端固定，下端栓一质量为m 的带电小球，此时小球处于平衡状态。画出受力分析。若 将细线剪短，则小球做什么运动？
T
EG
.
如图，一条长为L的细线，上端固定，下端栓一质量为m 的带电小球，此时小球处于平衡状态。画出受力分析。
OR
由牛顿第二定律： T-mg=mv22/R
由动能定理： 2mgR=mv22/2-mv2/2
B
得 T=6mg
.
例2：用长为R的绝缘细线栓一带正电 q的小球，质量为m，在竖直向下的场 强为E匀强电场中，刚好能在竖直平
面内做圆周运动，求小球运动过程中 的最小速度和绳的最大拉力。
A
E
R
.
B
解：(1)在最高点A，当绳的拉力为 零时，重力和电场力的合力提供向 心力，有最小速度v1