土力学 第五章、挡土墙上土压力(2)

Charles Augustin de Coulomb (1736 - 1806)
库伦主动土压力计算
一般挡土墙的计算均属于平面问题，讨论时均沿墙的长度方向取1m进行分 析。当墙向前移动或转动而使墙后土体沿某一破坏面BC（假设）破坏时，土楔ABC 向下滑动而处于主动极限平衡状态。 一、取滑动楔体ABC为隔离体进行受力分析，作用于土楔ABC上的力有：
土压力理论
土压力是指挡土墙后的填土因自重或外荷载作用对墙背产生的侧 向压力。 挡土墙是防止土体坍塌的构筑物，在房屋建筑、水利工程、铁路工程 以及桥梁中得到广泛应用，由于土压力是挡土墙的主要外荷载。因此， 设计挡土墙时首先要确定土压力的性质、大小、方向和作用点。
土压力的计算是个比较复杂的问题。它随挡土墙可能位移的方向 分为主动土压力、被动土压力和静止土压力。土压力的大小还与墙后 境土的性质、墙背倾斜方向等因素有关。
a
z
tan2 (45o
) 2c tan(45o
2
)
2
a zKa 2c Ka
Ka
tan2 (45o
)
2
a
z
tan2 (45o
)
2
a zK a
Ea
1 2
H
2Ka
2cH
2c2 Ka
Ea作用点位于墙底 以上（H - z0)/3处
a
z
tan2 (45o
)
2
2c tan(45o
)
2
zK a
(1)土楔体的自重W＝△ABCγ，γ为填土的重度，只要破坏面BC的位置—确定，W 的大小就是已知值，其方向向下；
(2)破坏面BC上的反力R，其大小是未知的，但其方向则是已知的。反力R 与破 坏面BC的法线之间的夹角等于土的内摩擦角 ；
(3)墙背对土楔体的反力E，与 它大小相等、方向相反的作用力就 是墙背上的土压力，反力E的方向 必与墙背法线成δ角，δ角为墙背与 填土之间的摩擦角。当土楔下滑时， 墙对土楔的阻力是向上的。
Ea < Eo < Ep
土体极限平衡概念和不同的应力状态
静止土压力计算
挡土墙完全没有侧向位移、偏转和自身弯曲变形时，作用在其上的土压
力即为静止土压力，此时墙后土体处于侧限应力状态（弹性平衡状态），与
土的自重应力状态相同。
半无限土体中z深度处一点的应力状态，巳知其水于面和竖直面都是主
应力面。作用于该土单元上的竖直向主应力就是自重应力σv＝γz，则水平向 自重应力（静止土压力强度）：
三、求极值dE/d=0 ，找出真正的滑裂面 上式中，γ、H、α、β和、δ、都是已知的，而滑动面与水平面的倾角θ则是任
意假定的。因此，假定不同的滑动面可以得出一系列相应的土压力E值，也就是说，
E是θ 的函数。E的最大值Emax即为墙背的主动土压力。其所对应的滑动面即是土楔 最危险的滑动面。
作用于墙背上的库伦总主动土压力Ea 的表达式为：
(3)被动土压力：当挡土墙向土体方向偏移至土体达到极限平衡状态 时，作用在挡土墙上的土压力称为被动土压力，用Ep表示。
墙体位移与土压力的关系
土压力的计算理论主要有古典的朗 肯 （ Rankine ， 1857 ） 理 论 和 库 伦 （CoMlomb，1773）理论。挡土墙模型 实验、原型观测和理论研究表明：在相 同条件下，主动土压力小于静止土压力， 而静止土压力又小于被动土压力，亦即 Ea < Eo < Ep
p
z
tan2 (45o
)
2
p zK p
p
z
tan2 (45o
) 2c tan(45o
2
)
2
p zK p 2c K p
Kp
tan2 (45o
)
2
粘性土被动土压力
Ep方向垂直墙背，作
用点位于梯形面积的重心
上
Ep
1 2
H
2K
p
2cH
Kp
无粘性土被动土压力
Ep方向垂直墙背，作
用点位于作用点位于墙底
挡土墙的类型
(a)支撑土坡的挡土墙 (b)堤岸挡土墙 (c)地下室侧墙 (d)拱桥桥台
挡土墙上的土压力
(1)静止土压力：当挡土墙静止不动，土体处于弹性平衡状态时，土 对墙的压力称为静止土压力E0 。
(2)主动土压力：当挡土墙向离开土体方向偏移至土体达到极限平衡 状态时，作用在墙上的土压力称为主动土压力，一般用Ea表示。
二、土楔体静力平衡 土楔体在W、E、R三力作用下处于静力平衡状态，构成一闭合的力矢三角形。
按正弦定律可得：
E
W
sin( ) sin[1800 (
)
W
H 2 2
cos( ) cos( ) cos2 sin( )
则E可表示为
E
H 2 2
cos( ) cos( ) sin( ) cos2 sin( ) sin( )
以上H /3处
Ep
1 H
2
2Kp
库伦土压力理论
库伦土压力理论是根据墙后土体处于极限平衡状态并形成一滑动楔体时 ，从楔体的静力平衡条件得出的土压力计算理论。
基本假设 ① 墙后的填土是理想的散粒体(粘聚力c＝0)； ② 墙背倾斜、粗糙、墙后填土面倾斜； ③ 滑动破坏面为一平面（墙背AB和土体内滑动面BC）； ④ 刚体滑动。不考虑滑动楔体内部的应力和变形条件； ⑤ 楔体ABC整体处于极限平衡状态。在AB和BC滑动面上，抗 剪强度均巳充分发挥。即剪应力τ均已达抗剪强度τf。
σ0 ＝ σh ＝ K0 γz 式中 K0 —— 土的侧压力系数或静止土压力系数，对于正常固结粘性土，可 近似按
K0≈1-sin ’（Jaky，1944)，（’为土的有效内摩擦角）。
E0
1 2
K0H
2
弹性平衡 应力状态
朗肯土压力理论
假设: 墙背直立、 光滑，墙 后填土面 水平。
主动土压力计算
1
3
tan2 (45o
2
)
2c
tan(45o
2
)
3
1
tan2 (45o
2
)
2c
tan(45o
2
)
主动土压力计算
粘性土
或
a
z tan2 (45o
) 2c tan(45o 2
) 2
a zKa 2c Ka
大主应力σ1 ＝ σz＝γz 小主应力σ3 ＝ σx 主动土压力强度σa ＝ σx
主动土压力计算
2c
Ka
临界深度z0 粘性土主动土压力
z0 Ka 2c Ka 0
z0
2c Ka
其中负侧压力对增背是拉应力， 实际上墙与土在很小的拉力作用下 就会分离（一般情况下认为土不能 承受拉应力），故在计算土压力时， 这部分应忽去不计。
无粘性土主动土压力 ?
被动土压力计算
σz
σx
大主应力σ1 ＝ σx 小主应力σ3 ＝ σz＝γz 被动土压力强度σp ＝ σx