运筹学课件 第二章-对偶问题

2.4 运输问题
2.1 线性规划的模型与图解法
2.1.1 问题的引入 （１）生产安排问题 如何合理使用有限的人力、物力和资金， 使得收到最好的经济效益。
例1：某工厂可生产甲、乙两种产品，需消耗煤、 电、油三种资源。现将有关数据列表如下：
资源单耗 资源 产品
甲 9 4 3 7
乙 4 5 10 12
•约束条件的类型与非负条件对偶 •非标准的约束条件类型对应非正常的非负规划：
min z 5 x x 3 x
1 2
3
2x 2x x 1
1 2 3
x 3 x 4 x 10
1 2 3
2x 2x x 5
2.3.2 灵敏度分析
一、定义：
灵敏度分析讨论建模时的系数及有关变量变化时对 解的影响。 反映在两个方面
最优性： j C j C B B 1 Pj 1 可行性：X B B b
二、目的：
（1）参数在何范围内变化最优解（基）不变。 （2）参数变化，最优解有何变化。 1.资源向量b的变化分析
4.最优性
设X，分别是( P )与( D )问题的可行解， Y 且C X Y b，则 X， Y皆为最优解。
图示为：
CX Yb
z w CX Yb
* *
5.强对偶性 设 如果(P)问题有最优解，则(D)问题也有最 优解，且最优值相等。 证：对(P)增加松弛变量XS，化为标准型：
min w 2 y1 y2 y1 2 y2 1 y1 y 2 1 y1 y2 0 y , y 0 1 2
s.t.
s.t.
若原问题xj≤0，则对偶问题第j个约束
反号（与规定形式比）。同理，若原问题 第i个约束反号（与规定形式比），则对偶 问题yi≤0。
( D ) min w 2 y1 y2 y1 2 y2 1 y1 y2 1 y1 y2 0 y , y 0 1 2
令x2’=-x2，则上式化为：
max z x1 x2 ' x1 x2 ' x3 2 s.t. 2 x1 x2 ' x3 1 x , x ' , x 0 1 2 3
（3）下料问题
如何截取原材料，在达到截取要求的 情况下，使废料最少。
例3：料长7.4米，截成2.9、2.1、1.5米各 200根,方案如下表。如何截取余料最少？
方案 料型 2.9米 2.1米 1.5米 合计 残料 1 1 0 3 7.4 0 2 2 0 1 7.3 0.1 3 0 2 2 7.2 0.2 4 1 2 0 7.1 0.3 5 0 1 3 6.6 0.8
例1：写出下列LP问题的对偶问题
(1) max z x1 x2 x1 x2 x 3 2 s.t. 2 x1 x2 x3 1 x1 , x2 , x3 0
( D ) min w 2 y1 y2 y1 2 y2 y1 y2 s.t. y1 y2 y1 , y2 1 1 0 0
s.t. -YA ≤ -C Y ≥0
2、弱对偶性 设X、Y分别是(P)问题和(D)问题的任一可行解，则
CX ≤ Yb
注：此性质只适用于(P)max型与(D)min型。
3、无界性 若原问题（对偶问题）为无界解，则其对偶 问题（原问题）无可行解。 证：用反证法 若（D）有可行解，则由弱对偶性，有Z(x)≤w(y) 即(P)的目标函数值有上界 这与(P)有无界解相矛盾，所以命题成立。 注：性质3的逆命题不成立。 事实上，原问题（对偶问题）无可行解，则对偶问 题（原问题）有无界解或无可行解。
养的前提下使购买食品的费用最小？
解：设xj(j=1,2,3,4)为第j种食品每天的 购入量，z为每天购买食品的总费用，则 配餐问题的线性规划模型为： min z=14x1+6x2 +3x3+2x4 1000x1+800x2 +900x3+200x4 3000 50x1+ 60x2 + 20x3+ 10x4 55 400x1+200x2 +300x3+500x4 800 x1,x2 ,x3 ,x4 0
（P）
三、对偶变量的经济含义—影子价格
1、影子价格的定义：
max z CX AX b X 0
式中：bi—第i种资源的拥有量，yi—对第i种资源的估价。
定义： (D)问题的最优解y*=CBB-1为(P)问题资源的 影子价格。 于是CBB-1:
(1)作为(D)问题的最优解y*—买主最低的价格
写出上述对偶问题的对偶问题
min w 2 y1 y2 y1 2 y2 y1 y2 y1 y2 y1 , y2 1 1 0 0
令w' w
max w' 2 y1 y2 y1 2 y2 y1 y2 s.t. y1 y2 y1 , y2 1 1 0 0
s.t. 9x1 + 4x2 ≤360 4x1 + 5x2 ≤200 3x1 +10x2 ≤300 x1，x2≥0 ——约束条件
（２）配料问题 如何合理地搭配（混合）材料，以最 经济的方式，达到配比要求。
例2：（营养配餐问题）假定一个成年人每天
需要从食物中获得3000千卡的热量、55克蛋白 质和800毫克的钙。如果市场上只有四种食品 可供选择，它们每千克所含的热量和营养成分 和市场价格见下表。问如何选择才能在满足营
(2)作为(P)问题的影子价格—卖主内部掌握 的价格
例5.煤、电、油例的最终表：
X*=(20,24,84,0,0)T，z*=428=w*，
Y*=(0,1.36,0.52)=CBB-1
资源煤的影子价格为0
资源电的影子价格为1.36 资源油的影子价格为0.52
影子价格越高，说明这种资源对生产越重要。
解：（1）电的影子价格为1.36
即电的增量在[-50, 26.92]内变动时，可使原最优基B 不变。
（2）因为25 ＜26.92，所以原有影子价格仍适用，而 1.36 ＞1，故值得接受。 （3）
（4）
第２章
线性规划
（Linear Programming）
第２章
线性规划
2.1 线性规划的模型与图解法 2.2 单纯形法 2.3 对偶问题与灵敏度分析
解：设xj(j=1,2,3,4,5)为采用第j种方案截 取的原料根数，z为截取后的余料总米数， 则下料问题的线性规划模型为： min z=0x1+0.1x2 +0.2x3+0.3x4+0.8x5 x1+2x2 + x4 200 2x3+ 2x4 + x5 200 3x1+ x2 +2x3 +3x5 200 xj 0(j=1,2,3,4,5)
资源限量 360 200 300
煤 电 油 单位产品价格
试拟订使总收入最大的生产方案。
甲 煤(t)
电（kw· h) 油（t） 单价（万元）
乙 4
5 10 12
资源限量 360
200 300
9
4 3 7
解：设甲乙产品产量分别为x1和x2 kg，——决策变量 总收入为z万元。 则 max z = 7x1 +12x2 ——目标函数
≤0则不投产
若σn+1>0，则用单纯形法迭代至最优。
例：回顾煤电油例的终表。
（1）请指出电的影子价格是多少？并给出使最优基仍适用的 电的变化范围？ （2）若有人愿以每度1元的价格向该厂供应25度电，是否值得 接受？ （3）甲产品的价格在何范围内变化时，原最优解不变？ （4）若现又考虑一新产品丙，资源单耗为10、2、5，售价为 6.5，是否应投产？
≥
C
n
m
对偶问题模型的特点：
原问题（P） 目标max型 有n个变量（非负） 对偶问题（D） 目标min型 有n个约束（大于等于）
有m个约束（小于等于） 价格系数 资源向量
技术系数矩阵 第i个约束为等式 第j个变量为自由变量
有m个变量（非负） 资源向量 价格系数
技术系数矩阵的转置 第i个变量为自由变量 第j个约束为等式
s.t.
若原问题第i个约束为“=”，则对偶问题yi为自 由变量。同理，若原问题xj为自由变量，则对偶问 题第j个约束为“=”式。
(3) max z x1 x2 x1 x2 x3 2 s.t. 2 x1 x2 x3 1 x 0, x 0, x 0 2 3 1
结果：
（1）若Cj的变化使检验数仍全部≤0，则原问题 最优解不变。 （2）若Cj的变化使检验数中含有>0的量，则应 用单纯形法迭代至最优。
3.追加新变量的分析。
问题：新加入的变量是否应进基（如新产品是 否应投产） 方法：只需计算新变量Xn+1的检验数
σ
=Cn+1-CBB-1Pn+1 >0则投产 n+1
问如何决定生产方案，使总收入最大？
生产模型(P)
现有另一厂商，提出购买全部资源煤、电、油。 设煤、电、油的购买单价分别为y1,y2,y3，总花费为w。
购买模型(D)
称(D)为(P)的对偶问题， (P)为(D)的原问题。
2. 对偶模型的一般式
原问题（P) max z=CX s.t. AX≤b X ≥0 max m C A ≤ b n AT 对偶问题(D) min w=Yb s.t. YA≥C Y ≥0 min b
b1 ... 记b br br ... 问题：Δ br在何范围时可使原问题最优基不变。 bm
方法：只需求解由不等式B b 0解出br的范围。
1
2.价格系数C变化的分析
问题：Δ cj在什么范围内变化，最优解不变。 方法：
1 2 3
x 0, x 0
1 2
二、对偶问题的基本性质
1、对称性 对偶的对偶就是原始问题，互为对偶
max z=CX s.t. AX ≤ b X ≥0
对偶的定义
min w=Yb s.t. YA ≥ C Y ≥0
min z’=-CX s.t. -AX ≥ -b X ≥0
Max- w=-Yb
对偶的定义
2.3 对偶问题与灵敏度分析
2.3.1 线性规划的对偶问题 2.3.2 灵敏度分析
2.3.1 线性规划的对偶问题 一、LP的对偶问题及其模型
1.对偶问题 回顾煤电油例：某厂生产两种产品: 产品甲，产 品乙。需要三种资源：煤，电，油。 煤(t) 电（kw/h) 油（t） 单位价格（万元） 甲 9 4 3 7 乙 4 5 10 12 资源限量 360 200 300
小结：写一个线性规划问题的对偶问题
max z=CX s.t. AX≤b X ≥0
max z=CX s.t. AX=b X ≥0
min w=Yb s.t. YA ≥ C Y ≥0 min w=yb s.t. YA ≥ C Y:自由变量 min w=Yb s.t. YA ≥ C Y ≤0
max z=CX s.t. AX≥b X ≥0
s.t.
( D) min z ' x1 x2 x1 x2 x 3 2 s.t. 2 x1 x2 x3 1 x1 , x2 , x3 0
max z x1 x2 x1 x2 x 3 2 令z z ' s.t. 2 x x x 1 1 2 3 x1 , x2 , x3 0
设其最优基解为B，则单纯形终表为：
CB
Cj XB B-1b
C X B-1A
0 XS B-1 I 0- CBB-1I
Z*=CBB-1b
C- CBB-1A
若(P)有最优解，则检验数：
σx= C- CBB-1A ≤0
σs=0- CBB-1I = - CBB-1≤0
小结：
无可行解 无界解 最优解 无界解 无可行解 最优解 （D）
结论：对偶问题的对偶问题为原问题。
(2) max z x1 x2 x1 x2 x3 2 s.t. 2 x1 x2 x3 1 x1 , x2 , x3 0
min w 2 y1 y 2 y1 2 y 2 1 y1 y 2 1 y1 y 2 0 y1 自由变量 y2 0