10章-动载荷解析
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第10章动载荷与交变载荷
3、交变应力：应力随时间作周期性变化，属疲劳问题。疲 劳破坏是指在反复载荷作用下，结构中裂纹形成、扩展乃至 断裂的过程。
4、振动问题： 求解方法很多。
4
工 程 力 学§10-2 构件作等加速直线运动
时的动应力计算
钢索起吊重物，W、a， 求：钢索 d
钢索具有a，不为平衡状态，不能用平
衡方程求内力。
kd
动荷因数
kd
FNd Fst
d st
d st
结论：只要将静载下的应力，变形，乘以动荷系数Kd即得 动载下的应力与变形。
6
工 程 力 学§10-3 构件受冲击载荷作用时
的动应力计算
冲击荷载问题的动响应
方法原理：能量法 ( 机械能守恒 ）
在冲击物与受冲构件的接触区域内，应力状态异常复杂， 且冲击持续时间非常短促，接触力随时间的变化难以准确分析， 放弃动静法。工程中通常采用能量法来解决冲击问题，即在若 干假设的基础上，根据能量守恒定律对受冲击构件的应力与变 形进行偏于安全的简化计算。
7
工 程 力 学§10-3 构件受冲击载荷作用件受冲击载荷作用时
的动应力计算
9
工 程 力 学§10-3 构件受冲击载荷作用时
的动应力计算
10
工 程 力 学§10-3 构件受冲击载荷作用时
的动应力计算
在冲击过程中，运动中的物体称为冲击物。 阻止冲击物运动的构件,称为被冲击物。
（3）、构件在交变应力作用下发生破坏需要经历一定数量的应 力循环，其循环次数与应力的大小有关。应力愈大，循环次数 愈少。
实验表明在静载荷下服从胡克定律的材料,只要应力不超 过比例极限 ,在动载荷下虎克定律仍成立且E静=E动.
动荷因数：
动响应 Kd 静响应
4、振动问题： 求解方法很多。
4
工 程 力 学§10-2 构件作等加速直线运动
时的动应力计算
钢索起吊重物，W、a， 求：钢索 d
钢索具有a，不为平衡状态，不能用平
衡方程求内力。
kd
动荷因数
kd
FNd Fst
d st
d st
结论：只要将静载下的应力，变形，乘以动荷系数Kd即得 动载下的应力与变形。
6
工 程 力 学§10-3 构件受冲击载荷作用时
的动应力计算
冲击荷载问题的动响应
方法原理：能量法 ( 机械能守恒 ）
在冲击物与受冲构件的接触区域内，应力状态异常复杂， 且冲击持续时间非常短促，接触力随时间的变化难以准确分析， 放弃动静法。工程中通常采用能量法来解决冲击问题，即在若 干假设的基础上，根据能量守恒定律对受冲击构件的应力与变 形进行偏于安全的简化计算。
7
工 程 力 学§10-3 构件受冲击载荷作用件受冲击载荷作用时
的动应力计算
9
工 程 力 学§10-3 构件受冲击载荷作用时
的动应力计算
10
工 程 力 学§10-3 构件受冲击载荷作用时
的动应力计算
在冲击过程中，运动中的物体称为冲击物。 阻止冲击物运动的构件,称为被冲击物。
（3）、构件在交变应力作用下发生破坏需要经历一定数量的应 力循环，其循环次数与应力的大小有关。应力愈大，循环次数 愈少。
实验表明在静载荷下服从胡克定律的材料,只要应力不超 过比例极限 ,在动载荷下虎克定律仍成立且E静=E动.
动荷因数：
动响应 Kd 静响应
动载荷
在工程实际中，有多高速运行的构件，如涡轮机的长叶片旋转时由离心惯性力引起的应力可达相当大的数值； 高速转动的砂轮由于离心惯性力而有可能炸裂；汽锤在锻造坯件时，瞬间的冲出载荷能使锤杆的应力高出静应力 几倍到几十倍。这种由加速度引起的载荷一般称为动载荷。
动荷问题
一般加速度问题 一般加速度问题（包括线加速与角加速），此时尚未引起材料性质的改变，仍可用静荷强度的许用应力，处 理此类问题的基本方法是达朗伯原理。 冲击问题 构件受极大速度的冲击载荷作用，将引起材料力学性能的很大改变。由于问题的瞬时性与复杂性，工程上常 采用基于能量守恒原理的能量法进行简化分析计算。 振动与疲劳问题 构件内材料质点的应力作周期性变化。它将引起材料强度的明显变化，并导致构件疲劳破坏。
计算
物体一般加速度时的动荷问题
惯性力与动静法：做加速度运动物体的惯性力大小等于物体的质量m和加速度a的乘积，方向与a相反。假想 在每一具有加速度的运动质点上加上惯性力，则物体（质点系）作用的原力系与惯性力系将组成平衡力系。这样 就可以把动力问题形式上作为静力学问题来处理，这就是达朗伯原理。
冲击问题
区别
静载荷和动载荷对于构件的作用是不同的。例如起重机中以加速度提升的绳索。当物体静止不动或以等速上 升时，绳索所受拉力等于物体的重量，物体的重量对绳索为静载荷作用。但是如果绳索吊着物体以加速度上升， 绳索就要受到较大的拉力。这时物体的重力便引起了动载荷作用。
应用
在工程中，构件受动载荷作用的例子很多。例如，内燃机的连杆、机器的飞轮等，在工作时它们的每一微小 部分都有相当大的加速度，因此是动载荷问题。当发生碰撞时，载荷在极短的时间内作用在构件上，在构件中所 引起的应力可能很大，而材料的强度性质也与静载荷作用时不同，这种应力称为冲击应力。此外，当载荷作用在 构件上时，如果载荷的大小经常作周期性的改变，材料的强度性质也将不同，这种载荷作用下的应力成为交变应 力。
动载荷
材料力学课件
§10.1.2
应用动静法求解匀速转动构件
圆环以匀角速度ω 旋转，厚度δ远小于平均直径D，横截 面积A，密度ρ，求动应力。 D an 2 解：圆环内各点只有向心加速度， 2 A D 2 按动静法，惯性力集度 qd A an 方向背离圆心 2 qd ω ω
d
Fuzhou University
材料力学课件
计算动载荷的前提：试验表明，在静载荷下服从
Hooke定律的材料，只要动应力不超过比例极限，
应力和变形的计算在动载荷情况下仍然服从Hooke
定律，且弹性模量与静载荷情况下相同。
计算动载荷的方法：动静法、能量法。
Fuzhou University
材料力学课件 §10.1
2 2d j
d
2T j P
0
Fuzhou University
材料力学课件
2T d j 1 1 P j
求⊿d最大值，取“＋”号。
记
Kd 1 1
2T （冲击动荷系数） P j
d K d j
Fd K d P
Fuzhou University
M el M e k3 GI p
材料力学课件
弹簧系统：
T
P
d
假设冲击物体(重量为P)与构件接触时动能为T， 构件与物体一起运动，当速度为零时变形量为 ⊿d
系统在运动过程中，动能和势能减小，变形能 增加，根据能量守恒定律，速度为零时满足：
V d T Pd
T Md
0.5 KNm 3
Fuzhou University
材料力学课件
最大切应力为：
动载荷
2. 求解冲击问题的能量法
冲击问题极其复杂,难以精确求解.工程中常采用一种 冲击问题极其复杂,难以精确求解. 较为简略但偏于安全的估算方法--能量法, --能量法 较为简略但偏于安全的估算方法--能量法,来近似估算构件 内的冲击载荷和冲击应力. 内的冲击载荷和冲击应力. 在冲击应力估算中作如下基本假定: 在冲击应力估算中作如下基本假定: ①不计冲击物的变形: 不计冲击物的变形: ②冲击物与构件接触后无回弹,二者合为一个运动系统; 冲击物与构件接触后无回弹,二者合为一个运动系统; ③构件的质量与冲击物相比很小,可略去不计,冲击应 构件的质量与冲击物相比很小,可略去不计, 力瞬时传遍整个构件 ④材料服从虎克定律; 材料服从虎克定律; ⑤冲击过程中,声,热等能量损耗很小,可略去不计. 冲击过程中, 热等能量损耗很小,可略去不计.
1. 工程中的冲击问题
锻锤与锻件的撞击,重锤打桩,用铆钉枪进行铆接, 锻锤与锻件的撞击,重锤打桩,用铆钉枪进行铆接, 高速转动的飞轮突然刹车等均为冲击问题,其特点是冲击 高速转动的飞轮突然刹车等均为冲击问题, 物在极短瞬间速度剧变为零, 物在极短瞬间速度剧变为零,被冲击物在此瞬间经受很大 的应力变化. 的应力变化.
Fd sd Dd = = P s st D st
可得: 可得:
Dd
2
2T D st - 2D stD d = 0 P
解得: 解得:
骣 1 + 1 + 2T ÷ ÷ D d = D st ÷ PD st ÷ 桫
引入冲击动荷系数K 引入冲击动荷系数Kd
Dd 2T Kd = = 1+ 1+ D st PD st
要保证圆环的强度,只能限制圆环的转速,增大横截面 要保证圆环的强度,只能限制圆环的转速, 积并不能提高圆环的强度. 积并不能提高圆环的强度.
动荷载
13/63
动载荷
10-4 构件受冲击时的应力和变形
动载荷
动载荷
动能改变：T=T 势能改变：V=Q d 弹簧应变能： Vεd 机械能守恒定律
动能 T
Q
Q
d
动能 0
T V Vεd
1 Vεd Fd d 2
Fd
d
动载荷
若Q以静载的方式作用在构件上，构件有静变形和静应力为st 、△ st 在动载Fd作用在构件上，构件有动变形和动应力为d、△ d 在线弹性范围内：
Fd d d Q st st P d d Q d Fd P st , st st
1 Vεd Fd d 2
1 Q Vεd P 2 st
2 d
动载荷
T=T V=Q d
1 Vεd P Q 2 st
2 d
T V Vεd
2T st d 2 st d 0 d st (1 Q P
2
1
2T ) P st Q
冲击动荷因素
动载荷
Q
自由落体冲击问题
h
=Qh
v
or
19/63
动载荷
动载荷
动载荷
若无弹簧，许可高度 为多少？
9.56mm
动载荷 例题10 图示分别为不同支承的钢梁，承受相同的重物冲
动载荷
Fd 2 D 2 d A 4g
y
qd ( D d ) 2
D v 2
圆环轴线上点的 线速度
FNd Rd
qd d
d
2
g
o
FNd
强度条件 d
v
g
2
[ ]
动载荷
10-4 构件受冲击时的应力和变形
动载荷
动载荷
动能改变：T=T 势能改变：V=Q d 弹簧应变能： Vεd 机械能守恒定律
动能 T
Q
Q
d
动能 0
T V Vεd
1 Vεd Fd d 2
Fd
d
动载荷
若Q以静载的方式作用在构件上，构件有静变形和静应力为st 、△ st 在动载Fd作用在构件上，构件有动变形和动应力为d、△ d 在线弹性范围内：
Fd d d Q st st P d d Q d Fd P st , st st
1 Vεd Fd d 2
1 Q Vεd P 2 st
2 d
动载荷
T=T V=Q d
1 Vεd P Q 2 st
2 d
T V Vεd
2T st d 2 st d 0 d st (1 Q P
2
1
2T ) P st Q
冲击动荷因素
动载荷
Q
自由落体冲击问题
h
=Qh
v
or
19/63
动载荷
动载荷
动载荷
若无弹簧，许可高度 为多少？
9.56mm
动载荷 例题10 图示分别为不同支承的钢梁，承受相同的重物冲
动载荷
Fd 2 D 2 d A 4g
y
qd ( D d ) 2
D v 2
圆环轴线上点的 线速度
FNd Rd
qd d
d
2
g
o
FNd
强度条件 d
v
g
2
[ ]
材料力学动载荷
FN st qst l 1 165 .62 N m 1 12 m 993 .7 N 2 2
故钢缆内的动应力为
d K d st 2.02
993 .7 N 27.9MPa 6 2 72 10 m
2. 计算梁内最大静应力
最大弯矩和弯曲正应力发生在跨中截面上
1 M st max FN st 4 qst 62 6qst 6 165 .62 993 .7 N m 2
M 993.7 N m st max st max 61.7MPa 6 3 Wz 16.110 m
2qst
6qst
st max 61.7MPa
3. 钢梁的强度校核 梁内最大动应力为
d max Kd st max 2.02 61.7 124.6MPa [ ] 160MPa
受冲击 的构件
v
F
a
冲击物
向加速度，结构受到冲击力的作用。
采用能量法近似计算冲击时构件内的最大应力和变形。
根据能量守恒定律，即
T V V
T :冲击物接触被冲击物后，速度0，释放出的动能；
V :冲击物接触被冲击物后，所减少的势能；
Ve :被冲击构件在冲击物的速度0时所增加的应变能。
计算冲击问题时所作的假设： (1)冲击物无回弹，并且不计冲击物的变形，冲击物 和被冲击物在冲击后共同运动，形成一个运动系统。
T V
可以得到：
即
2
1 P 2 P( h d ) d 2 st
求轴内最大动应力。
解： 1. 计算轴AB的载荷
轴与飞轮的转动角速度为：
nπ 100 π 10π 0 (rad/s) 30 30 3
故钢缆内的动应力为
d K d st 2.02
993 .7 N 27.9MPa 6 2 72 10 m
2. 计算梁内最大静应力
最大弯矩和弯曲正应力发生在跨中截面上
1 M st max FN st 4 qst 62 6qst 6 165 .62 993 .7 N m 2
M 993.7 N m st max st max 61.7MPa 6 3 Wz 16.110 m
2qst
6qst
st max 61.7MPa
3. 钢梁的强度校核 梁内最大动应力为
d max Kd st max 2.02 61.7 124.6MPa [ ] 160MPa
受冲击 的构件
v
F
a
冲击物
向加速度，结构受到冲击力的作用。
采用能量法近似计算冲击时构件内的最大应力和变形。
根据能量守恒定律，即
T V V
T :冲击物接触被冲击物后，速度0，释放出的动能；
V :冲击物接触被冲击物后，所减少的势能；
Ve :被冲击构件在冲击物的速度0时所增加的应变能。
计算冲击问题时所作的假设： (1)冲击物无回弹，并且不计冲击物的变形，冲击物 和被冲击物在冲击后共同运动，形成一个运动系统。
T V
可以得到：
即
2
1 P 2 P( h d ) d 2 st
求轴内最大动应力。
解： 1. 计算轴AB的载荷
轴与飞轮的转动角速度为：
nπ 100 π 10π 0 (rad/s) 30 30 3
10动载荷
B
D/2
qB
最大动应力(与杆横截面面积无关）
d max
FN max 1 2l (l D) A 2
[例10-2] 一平均直径为D的薄壁圆环，绕通过其圆心且垂直 于环平面的轴作等速转动（图a)。已知环的角速度 、环的 横截面面积A和材料的密度，试求圆环横截面上的正应力。
解：沿环轴线均匀分布的惯 性力集度qd为
设动荷系数
2h Kd 1 1 st
动位移、动荷载、动应力
d K d st , Fd K d P 设 st＝C1 P， 则
d C1 Pd C1 K d P K dC1 P K d st
自由落体冲击动荷系数公式
2h v Kd 1 1 1 1 st g st
• • • • 讨论: (1) st↑或h ↑→Kd↓ (2) h=0 → Kd=2 →突加荷载 (3) 接触速度v
2
1P 2 v Ph 2g
动荷问题的求解思路
静 位 移 静 应 力
动荷系数Kd
动 位 移 动 应 力
• 匀加速垂直运动的构件
a Kd 1 g
• 受垂直冲击作用的物体
2h v Kd 1 1 1 1 st g st
一、等加速杆件的动应力计算
FNd P FI 0 P FI a g a FN d P(1 ) g
令
FNd a P FI a P
a Kd 1 , g
Kd 称为动荷系数。
FN d Kd P
FN d P d K d K d st A A
[例10-1]以加速度a =3m/s2吊装一混凝土梁，梁的截面尺寸如
【例10-5】 弯曲刚度为EI的简支梁如图a所示。重量为P的冲 击物从距梁顶面h处自由落下，冲击到简支梁跨中点C处的顶 面上。试求C处的最大挠度d 。若梁的两端支承在刚度系数 为k的弹簧上，则梁受冲击时中点处的最大挠度又是多少？(不 计梁和弹簧的自重) A l 2 C h l 2 P B
动载荷
河南理工大学土木工程学院
材料力学
第十章 动载荷
例 6－4 已知梁为16号工字钢，吊索横截面面积 A＝108
mm2,等加速度a =10 m/s2 ，不计钢索质量。求：1,吊索的动应 力d ; 2,梁的最大动应力d, max 。 解： 1. 求吊索的d 16号工字钢单位长度的 重量为
qst20.5×9.81=201.1 N/m
2πn nπ 轴的角速度为 60 30 w nπ 1 000 π 10 472 .0 rad/s 2 角加速度为 t 30t 30 0.01 其转向与n的转向相反。
w
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材料力学
第十章 动载荷
飞轮的转动惯量为
PD 2 0.6 103 0.42 J0 1.223 N· m· s2 8g 8 9.81
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材料力学 由能量守恒定律
第十章 动载荷
1 1 P P ( d st ) P d d P st 2g 2 2 d P Pd st
2
2 st d
2 d
2
g
st 0
2 ) K d st d st ( 1 g st
①
② ③
不考虑冲击时能量的损失；
冲击物视为刚体，受冲构件不计质量; 冲击后冲击物与被冲击物附着在一起运动;
④
最大冲击应力小于材料的比例极限。
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材料力学
第十章 动载荷
二、自由落体冲击
设弹性梁AB，有重量为P的物体自高度为h处自由下落冲击 在梁的中点，求梁的变形和应力。
根据能量守恒，有
变，构件内各质点加速度很小，可不考虑。
第10章动载荷解析
绳索中的动应力为
G
GGa g
d
FNd A
Kd
FNst A
K d st
Static 静态的 Dynamic 动态的
st 为静荷载下绳索中的静应力
强度条件为 d Kd st [ ]
10
N st
△d 表示动变形
mm
△s t 表示静变形 当材料中的应力不超过
A
x
比例极限时, 荷载与变形成正比
Nd A Aa
(qst
qG
)x
Ax(1
a g
)
a L
mn
x
2. 动应力
d
FNd A
x(1
a) g
a
FNd 动荷系数
Kd
1
a g
qst
x
qG 强度条件 dmax Kd stmax [ ]
12
例题3 起重机钢丝绳长 60m , 名义直径 28cm , 有效
横截面面积 A=2. 9cm2 , 单位长重量 q=25. 5N/m ,
A 2D2
4g
0
sin d A 2D2
2g
FNd
Rd 2
A
A2D22D2
4g4g 0
sidn
FddA22DD2
A 2g4g
2
园环轴A线 上2D点2 的线速度
2g
d
2
g
D v
2
强度条件
v2
d g [ ] FNd
y
Rd
d
o
q
d
(
D 2
d
)
qd
FNd
环内应力与横截面面积无关。
要保证强度, 应限制圆环的转速。
材料力学课件第10章 动载荷zym
FNd
qd D Aρ D 2 2 = = ω 2 4
（3）截面应力： ）截面应力： FNd ρ D 2ω 2 σd = = = ρv2 A 4 （4）强度条件： ）强度条件：
σ d = ρ v 2 ≤ [σ ]
2、问题特点： 、问题特点： •截面应力与截面面积 无关。 截面应力与截面面积A无关 截面应力与截面面积 无关。 （三）扭转问题
2）强度计算： ）强度计算： （1）确定危险截面： ）确定危险截面： 为跨中截面。 为跨中截面。
l 1 l M = F −b − q 2 2 2 a l 1 = Aρ g 1 + − b l 2 g 4
2
（2）建立强度条件： ）建立强度条件： M d Aρ g a l σd = = 1 + − b l ≤ [σ ] W 2W g 4 2、问题特点： 、问题特点： 设加速度为零时的应力为σst 则： 设加速度为零时的应力为σ 1 l Aρ g − b l M 2 4 = Aρ g l − b l σ st = st = W W 2W 4 a σ d = σ st 1 + = σ st K d g
P
v
∆d P 即：Fd = ∆ st
代入得： 代入得： 1P 2 1 1 ∆2 d v = ∆ d Fd = P 2g 2 2 ∆ st
∆d =
Kd =
P
∆ st
v2 ∆ st g ∆ st
v2 g ∆ st (10.9)
∆ d = K d ∆ st ,
Fd = K d P,
σ d = K dσ st
= 1057 ×106 Pa
§10 – 5
10动载荷
根据力和变形之间的关系： Pd k d
P
Pd
P
Pd d P st
2
x 顶 dF 部 m m
1 x A( x ) A0 (1 ) 2 l
d
m l x R0 R1
l 3 2 FNmax A0 [ R0 l ] 3 4
2
FNx 叶 根
2 2 3 R x l x l x 2 0 FNx A0 [ R0 l (1 ) (1 )(1 2 ) (1 3 )] l 2 2l l 6 l
a
a 引入动荷因数 K d 1 g 2m 4m 4m 2m A C B z
则
q Kdqst
由对称关系可知两吊索的轴力FN相等. qst Ag 1 FN qst l Fy 0 2FN qst l 0
2
b)
吊索的静应力为 FN qst l A 2A B a qst l A K (1 ) d d 故得吊索的动应力为 g 2A 由型钢表查得 qst=20.5kg/m=(20.5N/m)g及已
l R1
R0
解:设距叶根为 x 的横截面 m-m 的面积为A(x) 1 x [ksai] A( x ) A0 (1 ) 2 l 在距叶根为 处取长 顶 d 部 为d 的微元,其质量为 l m m dm A( )d x 距叶根 处的向心加速度为 叶 2 an ( R0 ) 根 R1 R0
Up
Down
对于作匀加速直线运动的构件： Kd = 1+ a/g
Pd K d Pst
d K d st
其动载荷下的强度条件仍然为： σd =Kd· σst ≤[σ]
动载荷
一、冲击问题
物体以一定的速度作用在构件上时，构件在很短的时间内 使物体的速度发生改变，这种现象称为冲击或撞击 冲击或撞击。例如， 冲击或撞击 重锤打桩、高速转动的飞轮突然刹车等，速度的改变几乎 在一瞬间完成，并且变化量大，这就引起冲击物与被冲击 物间的巨大冲击力，是冲击问题。 冲击问题的普遍性——任何载荷都有一个加载过程,当该 过程相对较快时,均可视为冲击。 冲击问题的复杂性——碰撞是一类最具代表性的冲击问题, 随着冲击过程的进行,往往发生塑 性变形、噪声辐射、热能辐射等物 理现象。碰撞过程中的应力在物体 中的传导过程也相当复杂。
R1
x
an=ω2(R0+ξ) dm的惯性力
dξ m m
ζ处取长度为dζ的质量为
dm= —A(ξ)dξ g
γ
x
γ ω2
ξ
l
3.求动应力。 求动应力。 求动应力
4.求总伸长。 求总伸长。 求总伸长 叶片微段的伸长为 Nxdx d(∆l)= ——— EA(x) ( ) 积分即得叶片伸长∆l
§10.4 杆件受冲击时的应力和变形
F
σ st =
Aρg l − b l 2W 4
则
σ d = σ st 1 +
a g
动荷系数
Kd=1+a/g
σd=Kdσst
强度条件
σ d = K d σ st ≤ [σ ]
σst —静载荷下的应力 σd —动载荷下的应力 在重力场中并考虑自重 不在重力场中或不考虑自重 Kd=1+a/g Kd=a/g
σd = — σst ∆st
∆d
1 ∆2d Vεd = Q 2 ∆ st
1 ∆2d Q∆ d + T + 0 = 0 + 0 + Q 2 ∆ st
物体以一定的速度作用在构件上时，构件在很短的时间内 使物体的速度发生改变，这种现象称为冲击或撞击 冲击或撞击。例如， 冲击或撞击 重锤打桩、高速转动的飞轮突然刹车等，速度的改变几乎 在一瞬间完成，并且变化量大，这就引起冲击物与被冲击 物间的巨大冲击力，是冲击问题。 冲击问题的普遍性——任何载荷都有一个加载过程,当该 过程相对较快时,均可视为冲击。 冲击问题的复杂性——碰撞是一类最具代表性的冲击问题, 随着冲击过程的进行,往往发生塑 性变形、噪声辐射、热能辐射等物 理现象。碰撞过程中的应力在物体 中的传导过程也相当复杂。
R1
x
an=ω2(R0+ξ) dm的惯性力
dξ m m
ζ处取长度为dζ的质量为
dm= —A(ξ)dξ g
γ
x
γ ω2
ξ
l
3.求动应力。 求动应力。 求动应力
4.求总伸长。 求总伸长。 求总伸长 叶片微段的伸长为 Nxdx d(∆l)= ——— EA(x) ( ) 积分即得叶片伸长∆l
§10.4 杆件受冲击时的应力和变形
F
σ st =
Aρg l − b l 2W 4
则
σ d = σ st 1 +
a g
动荷系数
Kd=1+a/g
σd=Kdσst
强度条件
σ d = K d σ st ≤ [σ ]
σst —静载荷下的应力 σd —动载荷下的应力 在重力场中并考虑自重 不在重力场中或不考虑自重 Kd=1+a/g Kd=a/g
σd = — σst ∆st
∆d
1 ∆2d Vεd = Q 2 ∆ st
1 ∆2d Q∆ d + T + 0 = 0 + 0 + Q 2 ∆ st
材料力学第10章 动载荷
Kd = 1 + 1 + 2H
∆st
P
Pl 3 + P ∆st = 48EI 4C
σ st max = Pl / 4 = Pl
W
4W
MF
Pl/4
σd max = Kdσ st max ≤ [σ ] [H] =
∆st
2 σ st max
[(
[σ ]
−1) −1]
2
等截面刚架，重物P自高度 处自由下落。 、 、 自高度h处自由下落 例：等截面刚架，重物 自高度 处自由下落。 E、I、 W已知 。 试求截面的最大竖直位移和刚架内的最大 已知。 已知 冲击正应力（ 刚架的质量可略去不计， 冲击正应力 （ 刚架的质量可略去不计 ， 且不计轴力 对刚架变形的影响） 对刚架变形的影响）。
第十章 动载荷
§10.1 概述 §10.2 动静法的应用 §10.3 强迫振动的应力计算 §10.4 杆件受冲击时的应力和变形 §10.5 冲击韧性
§10.1 概述
1）动载荷问题的特点： ）动载荷问题的特点： 静载荷问题：载荷平稳地增加， 静载荷问题：载荷平稳地增加，不引起构件 的加速度——准静态。 准静态。 的加速度 准静态 动载荷问题：载荷急剧变化， 动载荷问题：载荷急剧变化，构件速度发生 急剧变化。 急剧变化。
2FNd = qd (2R)
qd FNd FNd
qd
σd =
FNd = ρR2ω2 = ρv2 A
注意： 无关！ 注意：与A无关！ 无关
4）匀减速转动（飞轮刹车） ）匀减速转动（飞轮刹车） 例 4 ： 飞 轮 转 速 n=100r/min ， 转 动 惯 量 为 Ix=0.5kNms2 ， 轴 直 径 d=100mm ， 10 秒停转，求最大动应力。 秒停转，求最大动应力。 解：角速度： ω0 = nπ 角速度： 30 角加速度： 角加速度：α = −ω0 / t
第10章_动载荷汇总
Fst
1
a g
x
Ax x
Kd
1
a g
—动荷系数
FNd
A x
Ax g
a
FNd Kd Fst d Kd st
Q
Q
Q g
a
二、构件作等速转动时的应力计算
例题4 一平均直径为D的薄圆环,绕通过其圆心且垂于环平面的
轴作等速转动.已知环的角速度为 ,环的横截面面积为A,材料的 单位体积质量为r.求圆环横截面上的正应力.
F=ma F-ma=0 F+(-ma)=0
目录
§10-2 动静法的应用
一、构件做等加速直线运动
图示梁上有一个吊车，现在问3个问题
1.物体离开地面，静止地由绳索吊挂
l
2.物体匀速地向上提升
3.物体以加速度a向上提升
求这3种情况下的绳索应力？
目录
1. 物体离开地面，静止地由绳索吊挂
P
Q
绳子：
st
Q A
A
B
0
§10-4 杆件受冲击时的应力和变形（Stress
and deformation by impact loading)
目录
冲击时，冲击物在极短的时间间隔内速度发生很大的变化，其加 速度a很难测出，无法计算惯性力，故无法使用动静法。在实用 计算中，一般采用能量法。
在计算时作如下假设:
d
1.冲击物视为刚体，不考虑其变形;
Kd 1
1 2h st
st
Q A
15 103
p d2
12MPa
4
d Kd st 1
1
2h st
12
[ ]
120
h 0.385m=385 mm
材料力学第10章(动载荷)
l
l
d 2 A 4
P 2 103 0.028(MPa) st 4 A 7.1 10 d Kd st
7.07 104 mm2 （ ）
d Kd2h 6.86(MPa) st K d 1 1 st
[题10.16]（P340）已知：重量P=2kN，h=0.5m，d=30cm， l=6m，E=10GPa，求木桩内最大正应力。 P
达朗贝尔原理认为：处于不平衡状态的物体，存在惯性力 ( Force of Inertia) ，惯性力的方向与加速度方向相反，惯性力 的数值等于加速度与质量的乘积。只要在物体上加上惯性力，
就可以把动力学问题在形式上作为静力学问题来处理，这就是
动静法。
一、直线运动构件的动应力 [例1] 杆件的横截面面积为A，单位体积的质量为 , 以加速 度a上升，试求杆子中央横截面上的动应力。 解：①受力P g st
[刘题10.20](P341) 已知：重量P=25kN， v=100cm/s， l=20m，A=4.14cm2，E=170GPa，滑轮和吊索的质量不计， 求：滑轮被突然卡住时吊索受到的冲击载荷Fd。
K d (1
v2 ) g st
l
Pl 7.1mm st EA
④静应力
( a 0)
Ag l st ( b)l 2W 4
动荷系数： K d
d 1 a g st
§10–4 杆件受冲击时的应力和变形
方法原理：能量法(机械能守恒）
在冲击物与受冲构件的接触区域内，应力状态异常复杂， 且冲击持续时间非常短促，接触力随时间的变化难以准确分
A
Δst
P
B
Kd P
Fd 动荷系数 K d P
刘鸿文《材料力学》(第5版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-动载荷(圣才出品)
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图 10-6
解：物体突然停止时，产生的向心加速度为：
由此产生的与加速度方向相反的惯性力为：
吊索内最大应力增量为：
1
=
Fa A
=
1275.5 5104
= 2.55MPa
梁内最大弯矩的增加量为：
查型钢表得 14 号工字钢W = 102cm3 ，则梁内最大应力增加量为：
Kd =1+
1+ 2h Δst
其中，对于突然加载的情况，相当于物体自由下落高度 h＝0 的情况，此时动荷因数
Kd = 2 ，即杆件的应力和变形均为静载时的 2 倍。 （2）水平冲击
图 10-2 如图 10-2 所示，设冲击物与杆件接触时的速度为 v，此时求解动载荷问题时的动荷因
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σ （2）按静载荷求解应力 st 、变形 Δst 等；
（3）将所得结果乘以动荷系数 Kd 可得动载荷作用下的动应力和变形分别为：
σd = Kdσst ， Δd = KdΔst 。
二、杆件受冲击时的应力和变形
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故由圆孔引起的最大正应力：
。
10.6 在直径为 100 mm 的轴上装有转动惯量 I＝0.5 kN•m•s2 的飞轮，轴的转速为 300 r/min。制动器开始作用后，在 20 转内将飞轮刹停。试求轴内最大切应力。设在制动 器作用前，轴已与驱动装置脱开，且轴承内的摩擦力可以不计。
图 10-9
解：刹车前，飞轮的角速度为： 0
。
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1
2h 1 1 st
v2 1 g st
(3)突加荷载h 0 : K
d
2
练习
P=5kN
1 m
木柱：E＝ 10GPa, 橡皮：E＝8MPa
计算：1. 木柱最大正应力？ 2. 在木柱上端垫20mm的橡皮， 木柱最大正应力为多少？
解： （1）不垫橡皮
Pl 5 103 6 st 0.0425 103 (m) E木 A 10 109 1 3.14 0.32 300mm 4
3
K d 1 1 2h st 122
H/2
讨论
1．杆件上对于同一根杆件，重物下落高度不同，冲击点 不同，相应的静挠度不同，动荷因数 Kd也不同。 ２．对于同一根杆件，当动荷系数Kd确定后，杆件 上任一点的动挠度、动应力都可以用动荷因数 Kd乘该点的静挠度、静应力得到。 3． 对于梁和平面曲杆，静挠度一般用能量法求出。 静 2a a z stA f C C a 3EI 2 EI 14Q a 3 0.119mm 3EI dA Kd stA 14.43mm 2 aQ H stB 2.04MPa dB Kd stB 247.5MPa I 2
§10-1 概述
动载荷问题分类：
1、惯性力问题 2、振动问题 3、冲击问题
动变形和动应力： 在动载荷作用下产生的变形和应力。
线弹性模型:
动载荷作用下应力应变 保持线性关系。
st E st
d E d
st E st d E d
于是建立起如下关系：
6 m
（2）垫橡皮后，橡皮的变形
5 103 20 103 st 0.18 103 (m) E橡皮 A 8 106 1 3.14 0.32 4 Pl
（3）不垫橡皮
2h 2 1103 kd 1 1 1 1 218 2 st 4.25 10 P 5 103 d kd st k d 218 15.4MPa 1 A 3.14 300 2 4
思考：判断图示四个悬臂梁在物体下落冲击时的动荷因 数Kd大？ Q Q
A
C
h
EI
B
A
h
EI
a
C
B
a
a
Q
a
a
Q
a
（b）
（a）
A
C
h
2 EI
B
A
h
2 EI
C
B
a
a
（c）
a
a
a
（d ）
a
答：考虑 K d 1
2h （c）的动荷因数Kd大 1
例10-2 折杆ABC，在自由端受重为Q的物体的自由落体冲击。 已知：EI，GIP，试求结构的最大动应力
st d st d
Pst Pd st d
Pd d Q st
§10-4 杆件受冲击时的应力和变形
在工程实用计算中，一般采用能量法 进行计算。在计算中采取以下几个假设： ① 不考虑冲击物的变形，即不考虑 冲击物的变形能； ② 不考虑被冲击物（杆件）的质量；
Q
h
Q
l
解: K 1 1 2 h d Ast
h
AB : M ( y ) Qy
C
st
一、自由落体冲击问题
初态能量：冲击即将开始时的状态, 有动能，也可能有重力势能； 末态能量：冲击完成，∆d 达到最大时的状态，初态能量完全转 化成弹性变形能。 mg
初态：
动能T 1 mv 2 mgh 2 势能V mg d
h
初态 d mg 末态
末态：
变形能U d 1 P d d 2
末态
1 d h d d 2 st d 注意：K d st
d 2 st d 2 st h 0
2
d st st 2 2 st h
取正根
d 1
2h 1 st
K d st st
d
③ 认为在冲击后冲击物和被冲击物 附着在一起运动； ④ 不考虑冲击时能量的损失，即认 为只有动能与位能的转化。
P d d Kd T V Ud Q st Pd K d Q d K d st
P
Pd
Q
d ( d ) K d st ( st )
st d
（4）垫橡皮
st st st 0.18 0.0425 0.22(mm)
2h' 2 (1103 20) kd 1 1 1 1 95 st 0.22 P 5 103 d kd st kd 95 6.7MPa 1 A 3.14 3002 4
例 10-1 梁的跨长 l=1.5m ，材料的弹性模量 E=200GPa 。 惯 性 矩 IZ=245mm4 ， 物 体 重 Q=0.1kN. 工 字 梁 高 H=100mm ， 下 落 距 离 A h=500mm 。求图示 № 10 工字钢悬臂梁的最大 动挠度和最大动应力。
Q
C
h
B
a
Q
C
a
a
B
解： 查表悬臂梁静挠度为： Q (2a)3 st 0.068mm 3EI
初态：
1 动能T mv 2 mgh 2 势能V mg d
末态：
1 变形能U d P d d 2
冲击前后能量守恒: T
V Ud
1 mgh mg d P d d 2
mg
h d mg
P d Kd P st
初态
(P st mg )
1 1 mgh mg d Kd P Kd mg d st d 2 2
称为动荷因数
Kd 1
2h 1 st
其中：△st:冲击物落点的静位移。
动荷因数 K d 1
讨论：
2h 1 st
(1) 适用条件： 无初速度、无初变形
即：如果知道碰撞速度v，可以利用动能
T=（Q/g）v2/2 与势能 U=Qh 互换计算动荷因数。 2T (2) K 1 1 d Q st