统计概率大题

(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分
为三个等级：
满意度评分 低于 70 分 70 分到 89 分 不低于 90 分
满意度等级 不满意
满意
非常满意
记事件 C：“A 地区用户的满意度等级高于 B 地区用户
的满意度等级”．假设两地区用户的评价结果相互独立．根
据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，
3．离散型随机变量 X 的方差 D(X) ＝ (x1 － E(X))2·p1 ＋ (x2 － E(X))2·p2 ＋ … ＋ (xn － E(X))2·pn，方差表示随机变量取值与其期望相比较的稳定 性．
求 C 的概率．
解 (1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下：
通过茎叶图可以看出，A 地区用户满意度评分的平均值 高于 B 地区用户满意度评分的平均值；A 地区满意度比较集 中，B 地区用户满意度评分比较分散．
(2)设 CA1 表示事件：“A 地区用户满意度等级为满意或 非常满意”；CA2 表示事件：“A 地区用户满意度等级为非 常满意”；CB1 表示事件：“B 地区用户满意度等级为不满 意”；CB2 表示事件：“B 地区用户满意度等级为满意”．则 CA1 与 CB1 独立，CA2 与 CB2 独立，CB1 与 CB2 互斥，C ＝(CB1CA1)∪(CB2CA2)．
热点2 概率与离散型随机变量的分布列 【方法结论】
1．求离散型随机变量 X 的概率分布的步骤 (1)确定随机变量 X 的所ห้องสมุดไป่ตู้可能的值 xi； (2)求出各取值的概率 P(X＝xi)＝pi(注意性质：pi≥0 且 p1＋p2＋…＝1，其中 i＝1,2，…)； (3)列出分布列表格．
2．离散型随机变量 X 的数学期望(均值)：E(X)＝x1p1＋ x2p2＋…＋xnpn，期望表示随机变量取值的平均水平．
解得 a＝0.30.
(2)由(1)，100 位居民每人月均用水量不低于 3 吨的频率 为 0.06＋0.04＋0.02＝0.12.由以上样本的频率分布，可以估 计 全 市 30 万 居 民 中 月 均 用 水 量 不 低 于 3 吨 的 人 数 为 300000×0.12＝36000.
(3)因为前 6 组的频率之和为 0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋ 0.26＋0.15＝0.88>0.85，而前 5 组的频率之和为 0.04＋0.08 ＋0.15＋0.20＋0.26＝0.73<0.85，所以 2.5≤x<3.由 0.3×(x －2.5)＝0.85－0.73，解得 x＝2.9.所以，估计月用水量标准 为 2.9 吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准．
解答题 规范踩点 多得分
概率统计
[考情分析] 概率统计通过统计图、离散型随机变量的 分布列、古典概型、几何概型、线性相关与线性回归方程等 知识考查数据处理能力．题目设置比较注重数学与生活的结 合，属于中档题，难度适中．
热点题型分析
热点1 统计图 【方法结论】 1．一表二图 (1)频率分布表——数据详实； (2)频率分布直方图——分布直观； (3)频率分布折线图——便于观察总体分布趋势．
所以 P(C)＝P((CB1CA1)∪(CB2CA2)) ＝P(CB1CA1)＋P(CB2CA2) ＝P(CB1)P(CA1)＋P(CB2)P(CA2)． 由所给数据得 CA1，CA2，CB1，CB2 发生的概率分别 为2106，240，1200，280.故 P(C)＝1200×2106＋280×240＝0.48.
2．茎叶图 (1)茎叶图适用于数据较少的情况，从中便于看出数据的 分布，以及中位数、众数等； (2)个位数为叶，十位数(或百位＋十位)为茎，相同的数据 重复写． 3．条形图 条形图是用条形的长度表示各类别频数(或频率)的多少， 其宽度(表示类别)则是固定的．
【题型分析】 (2016·四川高考)我国是世界上严重缺水的国家，某市政 府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方 案，拟确定一个合理的月用水量标准 x(吨)，一位居民的月 用水量不超过 x 的部分按平价收费，超出 x 的部分按议价收 费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年 100 位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0,0.5)， [0.5,1)，…，[4,4.5]分成 9 组，制成了如图所示的频率分布 直方图．
【针对训练】 某公司为了解用户对其产品的满意度，从 A，B 两地区 分别随机调查了 20 个用户，得到用户对产品的满意度评分 如下：
(1) 根 据 两 组 数 据 完 成 两 地 区 用 户 满 意 度 评 分 的 茎 叶 图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程 度(不要求计算出具体值，得出结论即可)；
(1)求直方图中 a 的值； (2)设该市有 30 万居民，估计全市居民中月均用水量不 低于 3 吨的人数，并说明理由； (3)若该市政府希望使 85%的居民每月的用水量不超过 标准 x(吨)，估计 x 的值，并说明理由．
解 (1)由频率分布直方图知，月均用水量在[0,0.5)中的 频率为 0.08×0.5＝0.04，同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)， [3,3.5) ， [3.5,4) ， [4,4.5) 中 的 频 率 分 别 为 0.08,0.20,0.26,0.06,0.04,0.02.由 0.04＋0.08＋0.5×a＋0.20＋ 0.26＋0.5×a＋0.06＋0.04＋0.02＝1.
【通法指导】 1．频率分布直方图中需要注意的几点
频率 (1)直方图与条形图不同，直方图中的纵坐标是组距，每 个小矩形的面积为频率；条形图的纵坐标为频数或频率； (2)各组频率之和为 1，即所有小矩形的面积和为 1； (3)直方图中各小长方形的高度比＝各组频率比＝各组频 数比．
2．与频率分布直方图相关问题的解题模板 第一步：根据频率分布直方图计算出相应的频率； 第二步：运用样本频率估计总体的频率； 第三步：得出结论． 3．解决与茎叶图相关问题时，一要弄清茎叶图中茎与叶 的含义，不要混淆；二要注意看清所有的样本数据，弄清图 中的数字特点，不要漏掉数据．