微分方程论文
一阶线性微分方程的研究与应用毕业论文
阶线性微分方程的研究与应用摘要：本文分析了一阶线性微分方程的几种初等解法类型以及应用，总结出了这些不同类型方程可借助变量变换或积分因子化成变量分离方程和恰当方程两种类型，从而归纳了一阶微分方程的求解问题以及应用领域。
矢键i司：变量变换积分因子变量分离方程恰当方程引言对于一阶微分方程的初等解法，通常我们把他们归结为方程的积分问题，虽然一般的一阶方程没有初等解法，但是对于一些有限的有初等解法的类型，它们却反映了实际问题中出现的微分方程的相当部分，因此，掌握这些类型方程的解法还是有重要实际意义的，下面我们就对这些类型方程的解法一作以总结。
微分方程微分方程就是联系着自变量、未知函数及其导数的尖系式，形如般)”的方程，称为一阶线性微分方程。
1、变量变换方法形如的方程，称为变量分离方程，这里的(1・1) f(x))g(y)分别x, y的连续函数. 如果g(y) 土0,我们将(1・1)改写成二f(x)dx,两边积分得，gCy)(1-2)其中c任意常数。
例1求方程£=pa)y的通解，其中P(X)是X的连续函数。
解将变量分离，得到—=p(x)dx y两边积分，即得In |y|= / p(x) dx+ C 这里c是任意常数，由对数定义，即有lyl y=g/ p(x)dx+c 土gCgJ p(x)dx求解方程生一¥ dx y将变量分离，得到y d y=・x d x,两边积分，即得因而，通解为这里c是任意正常数。
或者解出y,写出显函数形式的解y=dy y | . y例3求解方程〒=-+tan- dx X Xy dy du解这是齐次微分方程，以・二u及子二X —+U代入，则原方程变为K dx dxdu IA+u=u+anudu tan udx X将上式分离变量，即有cot udu =—x两边积分，得到n I sm U1 = n I xl +c,这里F是任意常数，整理后得到原方程的通解为例4 求方程X+2jxy=y (x<0)y 以一P及二曙X半+ (LI代入，则原方程变为dx临甥P(1-3)分离变量，du dx两边积分，得到(1-3)的通解Jp- = In(-x) + c 于是p = In(-x) + c .2(In (・x)+c>0)其中c是任意常数。
常微分方程课程设计论文
常微分方程课程设计论文一、教学目标本课程的教学目标是使学生掌握常微分方程的基本概念、方法和应用。
通过本课程的学习，学生应能理解并熟练运用常微分方程解决实际问题，具备一定的数学建模能力。
具体来说，知识目标包括：1.掌握常微分方程的定义、解的概念和性质；2.熟悉一阶、二阶线性微分方程的求解方法；3.了解常微分方程在自然科学和工程技术中的应用。
技能目标包括：1.能够熟练地求解一阶、二阶线性微分方程；2.能够运用常微分方程进行简单的数学建模；3.能够运用计算机软件辅助求解常微分方程。
情感态度价值观目标包括：1.培养学生的逻辑思维能力和科学精神；2.增强学生对数学应用价值的认识，提高学习兴趣；3.培养学生团队协作和自主学习能力。
二、教学内容根据教学目标，本课程的教学内容主要包括：1.常微分方程的基本概念，如解、通解、特解等；2.一阶微分方程的求解方法，如可分离变量法、齐次方程法、伯努利方程法等；3.二阶线性微分方程的求解方法，如常系数方程、变系数方程、线性非齐次方程等；4.常微分方程的应用，如物理、生物学、经济学等领域的问题。
三、教学方法为了达到教学目标，本课程将采用以下教学方法：1.讲授法：系统地传授常微分方程的基本概念、方法和应用；2.讨论法：学生分组讨论，培养学生的思考能力和团队协作精神；3.案例分析法：通过分析实际问题，引导学生运用常微分方程进行数学建模；4.实验法：利用计算机软件，让学生亲自动手求解实际问题，提高实际操作能力。
四、教学资源为了支持教学内容和教学方法的实施，本课程将准备以下教学资源：1.教材：《常微分方程》；2.参考书：相关领域的学术论文、专著等；3.多媒体资料：教学PPT、视频讲座等；4.实验设备：计算机、数学软件等。
五、教学评估本课程的评估方式包括平时表现、作业、考试等，以全面客观地评价学生的学习成果。
平时表现主要考察学生的课堂参与、提问、讨论等，占总评的20%；作业包括练习题和数学建模项目，占总评的30%；考试包括期中考试和期末考试，占总评的50%。
常微分论文关于一阶微分方程的解的存在的探讨
常微分方程论文学院：数学科学学院班级：12级统计班指导教师：宋旭霞小组成员：张维萍付佳奇张韦丽张萍日期：2014.06.06关于一阶微分方程的解的存在的探讨摘要：分析了解的存在唯一性定理，它明确地肯定了方程的解在一定条件下的存在性和唯一性，并且对此加以证明。
另外，由于能得到精确解的微分方程为数不多，微分方程的近似解法具有重要的意义，而解的存在唯一性是进行近似计算的前提，如果解本身不存在，而近似求解就失去意义。
如果存在不唯一，不能确定所求的是哪个解。
而解的存在唯一性定理保证了所求解的存在性和唯一性。
关键词：微分方程 连续 可微 近似计算 误差估计 一、存在性与唯一性定理：（1）显式一阶微分方程),(y x f dxdy= （3.1） 这里),(y x f 是在矩形域：00:||,||R x x a y y b -≤-≤ （3.2） 上连续。
（一）、定理1：如果函数),(y x f 满足以下条件：1）在R 上连续：2）在R 上关于变量y 满足李普希兹（Lipschitz ）条件，即存在常数0L >，使对于R 上任何一对点1(,)x y ，2(,)x y 均有不等式1212(,)(,)f x y f x y L y y -≤-成立，则方程（3.1）存在唯一的解()y x ϕ=，在区间0||x x h -≤上连续，而且满足初始条件00()x y ϕ= （3.3） 其中,min(,),max (,)x y R bh a M f x y M∈==,L 称为Lipschitz 常数.解题思路：1） 求解初值问题(3.1)的解等价于积分方程00(,)xx y y f x y dx =+⎰的连续解。
2） 构造近似解函数列{()}n x ϕ任取一个连续函数0()x ϕ，使得00|()|x y b ϕ-≤，替代上述积分方程右端的y ，得到 0100()(,())xx x y f x x dx ϕϕ=+⎰如果10()()x x ϕϕ≡，那么0()x ϕ是积分方程的解，否则，又用1()x ϕ替代积分方程右端的y ，得到 0201()(,())xx x y f x x dx ϕϕ=+⎰如果21()()x x ϕϕ≡，那么1()x ϕ是积分方程的解，否则，继续进行，得到 001()(,())xn n x x y f x x dx ϕϕ-=+⎰（3.4）于是得到函数序列{()}n x ϕ.3） 函数序列{()}n x ϕ在区间00[,]x h x h -+上一致收敛于()x ϕ，即 lim ()()n n x x ϕϕ→∞=存在，对(3.4)取极限,得到00010lim ()lim (,()) =(,())xn n x n n xx x y f x x dxy f x x dx ϕϕϕ-→∞→∞=++⎰⎰，即00()(,())xx x y f x x dx ϕϕ=+⎰.4) ()x φ是积分方程00(,)xx y y f x y dx =+⎰在00[,]x h x h -+上的连续解.（二）、五个命题这种一步一步求出方程解的方法——逐步逼近法.在定理的假设条件下,分五个命题来证明定理. 为了讨论方便,只考虑区间00x x x h ≤≤+,对于区间00x h x x -≤≤的讨论完全类似.命题 1 设()y x ϕ=是方程(3.1)定义于区间00x x x h ≤≤+上,满足初始条件00()x y ϕ=（3.3）的解,则()y x ϕ=是积分方程00(,)xx y y f x y dx =+⎰00x x x h ≤≤+(3.5)的定义于00x x x h ≤≤+上的连续解.反之亦然.证明 因为()y x ϕ=是方程(3.1)满足00()x y ϕ=的解,于是有()(,())d x f x x dxϕϕ= 两边取0x 到x 的积分得到0()()(,())xx x x f x x dx ϕϕϕ-=⎰00x x x h ≤≤+即有00()(,())xx x y f x x dx ϕϕ=+⎰00x x x h ≤≤+所以()y x ϕ=是积分方程00(,)xx y y f x y dx =+⎰定义在区间00x x x h ≤≤+上的连续解.反之,如果()y x ϕ=是积分方程(3.5)上的连续解,则00()(,())xx x y f x x dx ϕϕ=+⎰ 00x x x h ≤≤+ （3.6）由于),(y x f 在R 上连续,从而(,())f x x ϕ连续,两边对x 求导,可得()(,())d x f x x dxϕϕ= 而且 00()x y ϕ=,故()y x ϕ=是方程(3.1)定义在区间00x x x h ≤≤+上,且满足初始条件00()x y ϕ=的解. 构造Picard 的逐次逼近函数序列{()}n x ϕ.0000100()()(,()) x nn x x y x y f d x x x h ϕϕξϕξξ-=⎧⎪⎨=+≤≤+⎪⎩⎰(1,2,)n = （3.7）命题2 对于所有的n ，（3.6）中的函数()n x ϕ在00x x x h ≤≤+上有定义，连续且满足不等式 0|()|n x y b ϕ-≤ （3.8） 证明 用数学归纳法证明当1n =时，0100()(,)xx x y f y d ϕξξ=+⎰，显然1()x ϕ在00x x x h ≤≤+上有定义、连续且有10000|()||(,)||(,)|()x xx x x y f y d f y d M x x Mh b ϕξξξξ-=≤≤-≤≤⎰⎰即命题成立.假设n k =命题2成立，也就是在00x x x h ≤≤+上有定义、连续且满足不等式 0|()|k x y b ϕ-≤当1n k =+时，10()(,())xk k x x y f dx ϕξϕξ+=+⎰由于),(y x f 在R 上连续,从而(,())k f x x ϕ在00x x x h ≤≤+上连续，于是得知1()k x ϕ+在00x x x h ≤≤+上有定义、连续,而且有100|()||(,())|()xk k x x y f d M x x Mh b ϕξϕξξ+-≤≤-≤≤⎰即命题2对1n k =+时也成立.由数学归纳法知对所有的n 均成立.命题3 函数序列{()}n x ϕ在00x x x h ≤≤+上是一致收敛的.记lim ()()n n x x ϕϕ→∞=,00x x x h ≤≤+证明 构造函数项级数 011()[()()]kk k x x x ϕϕϕ∞-=+-∑ 00x x x h ≤≤+ (3.9)它的部分和为011()()[()()]()nn kk n k S x x x x x ϕϕϕϕ-==+-=∑于是{()}n x ϕ的一致收敛性与级数(3.9)的一致收敛性等价. 为此，对级数(3.9)的通项进行估计.1000|()()||(,())|()xx x x f d M x x ϕϕξϕξξ-≤≤-⎰ (3.10)2110|()()||(,())(,())|xx x x f f d ϕϕξϕξξϕξξ-≤-⎰由Lipschitz 条件得知2110020|()()||()()|ξ() ()2!xx xx x x L d L M x d MLx x ϕϕϕξϕξξξ-≤-≤-≤-⎰⎰设对于正整数n ,有不等式110|()()|() !n n n n ML x x x x n ϕϕ---≤- 成立,则由Lipschitz 条件得知,当00x x x h ≤≤+时,有0111010|()()||(,())(,())| |()()|ξ() ! ()(+1)!xn n n n x xn n x n x nx nn x x f f d L d ML x d n ML x x n ϕϕξϕξξϕξξϕξϕξξξ+--+-≤-≤-≤-≤-⎰⎰⎰于是由数学归纳法可知, 对所有正整数k ,有1110|()()|() !!k k kk k k ML ML x x x x h k k ϕϕ----≤-≤ 00x x x h ≤≤+ (3.11)由正项级数11!kK k h MLk ∞-=∑ 的收敛性,利用Weierstrass 判别法,级数(3.9)在00x x x h ≤≤+ 上一致收敛.因而序列{()}n x ϕ在00x x x h ≤≤+上一致收敛. 设lim ()()n n x x ϕϕ→∞=,则()x ϕ也在00x x x h ≤≤+上连续,且0|()|x y b ϕ-≤命题4 ()x ϕ是积分方程(3.5)的定义在00x x x h ≤≤+上的连续解.证明 由Lipschitz 条件 |(,())(,())||()()|n n f x x f x x L x x ϕϕϕϕ-≤-以及{()}n x ϕ在00x x x h ≤≤+上一致收敛于()x ϕ,可知(,())n f x x ϕ在00x x x h ≤≤+上一致收敛于(,())f x x ϕ.因此000101lim ()lim (,())=lim (,())xn n x n n xn x n x y f d y f d ϕξϕξξξϕξξ-→∞→∞-→∞=++⎰⎰即 00()(,()) xn x x y f d ϕξϕξξ=+⎰故()x ϕ是积分方程(3.5)的定义在00x x x h ≤≤+上的连续解.命题5设()x ψ是积分方程(3.5)的定义在00x x x h ≤≤+上的一个连续解,则()()x x ϕψ≡,00x x x h ≤≤+.证明 设()|()()|g x x x ϕψ=-,则()g x 是定义在00x x x h ≤≤+的非负连续函数,由于 00()(,()) xx x y f d ϕξϕξξ=+⎰0()(,()) xx x y f d ψξψξξ=+⎰而且(,)f x y 满足Lipschitz 条件,可得()|()()||[(,())(,())]||(,())(,())| |()()|()xx xx xxx x g x x x f f d f f d L d L g d ϕψξϕξξψξξξϕξξψξξϕξψξξξξ=-=-≤-≤-=⎰⎰⎰⎰令0()()xx u x Lg d ξξ=⎰,则()u x 是00x x x h ≤≤+的连续可微函数,且0()0u x =,0()()g x u x ≤≤,()()u x Lg x '=,()()u x Lu x '≤,(()())0Lx u x Lu x e -'-≤,即(())0Lx u x e -'≤,于是在00x x x h ≤≤+上, 00()()0Lx Lx u x e u x e --≤=故()()0g x u x ≤≤,即()0g x ≡,00x x x h ≤≤+,命题得证.（三）、对定理说明附注:1、存在唯一性定理中min(,)bh a M=的几何意义.在矩形域R 中(,)f x y M ≤,故方程过00(,)x y 的积分曲线()y x ϕ=的斜率必介于M -与M 之间,过点00(,)x y 分别作斜率为M -与M 的直线.当b M a ≤时，即b a M ≤,（如图(a)所示），解()y x ϕ=在00x a x x a -≤≤+上有定义；当b M a ≥时,即b a M≤,（如图(b)所示），不能保证解在00x a x x a -≤≤+上有定义，它有可能在区间内就跑到矩形R 外去，只有当00b b x x x M M-≤≤+才能保证解()y x ϕ=在R 内，故要求解的存在范围是0||x x h -≤.2、 由于李普希兹条件的检验是比较费事的，而我们能够用一个较强的，但却易于验证的条件来代替他，即如果函数),(y x f 在矩形域R 上关于y 的偏导数),('y x f y 存在并有界，即'(,)y f x y L ≤，则李普希兹条件条件成立. 事实上212121212(,())|(,)(,)|||||||f x y y y f x y f x y y y y L y y θ∂+--=-∂≤-这里12(,),(,),01x y x y R θ∈<<. 如果),('y x f y 在R 上连续，它在R 上当然满足李普希兹条件.但是,满足李普希兹条件的函数),(y x f 不一定有偏导数存在.例如函数(,)||f x y y =在任 何区域都满足李普希兹条件,但它在0y =处没有导数. 3、设方程(3.1)是线性的,即方程为()()dyP x y Q x dx=+ 易知,当(),()P x Q x 在区间[,]αβ上连续时,定理1的条件就能满足,且对任一初值000(,),[,]x y x αβ∈所确定的解在整个区间[,]αβ上有定义、连续.实际上,对于一般方程(3.1),由初值所确定的解只能定义在0||x x h -≤上,是因为在构造逐步逼近函数序列{()}n x ϕ时,要求它不越出矩形域R ,此时,右端函数对y 没有任何限制,只要取0[,]max |()()|x M P x y Q x αβ∈=+.4、Lipschitz 条件 是保证初值问题解惟一的充分条件，而非必要条件. 例如 试证方程0 =0ln || 0 y dy y y dx y ≠⎧=⎨⎩经过xoy 平面上任一点的解都是唯一的.证明 0y ≠时, (,)ln ||f x y y y =,在0y ≠上连续, (,)1ln ||y f x y y '=+也在0y ≠上连续,因此对x 轴外的任一点00(,)x y ,方程满足00()y x y =的解都是唯一存在的.又由ln ||dyy y dx= 可得方程的通解为xce y e=±,其中xce y e=为上半平面的通解,xce y e=-为下半平面的通解,它们不可能与0y =相交.注意到0y =是方程的解,因此对x 轴上的任一点0(,0)x ,只有0y =通过,从而保证xoy 平面上任一点的解都是唯一的. 但是|(,)(,0)||ln ||||ln |||||f x y f x y y y y -==因为0lim |ln |||y y →=+∞,故不可能存在0L >,使得|(,)(,0)|||f x y f x L y -≤所以方程右端函数在0y =的任何邻域并不满足Lipschitz 条件.此题说明Lipschitz 条件 是保证初值问题解惟一的充分条件，而非必要条件. 2)考虑一阶隐方程(,,)0F x y y '= (3.12)由隐函数存在定理,若在000(,,)x y y '的某一邻域内F 连续且000(,,)0F x y y '=,而0Fy ∂≠'∂,则必可把y 唯一地表为,x y 的函数(,)y f x y '= (3.13)并且(,)f x y 于00(,)x y 的某一邻域连续,且满足000(,)y f x y '=如果F 关于所有变元存在连续的偏导数,则(,)f x y 对,x y 也存在连续的偏导数,并且/f F F y y y ∂∂∂=-'∂∂∂ (3.14) 显然它是有界的,由定理1可知,方程(3.13)满足初始条件的0()0y x =解存在且唯一.从而得到下面的定理.定理2 如果在点000(,,)x y y '的某一邻域中: ⅰ) (,,)F x y y '关于所有变元(,,)x y y '连续,且存在连续的偏导数；ⅱ）000(,,)0F x y y '= ⅲ）000(,,)0F x y y y '∂≠'∂ 则方程（3.12）存在唯一的解0() || y y x x x h =-≤（h 为足够小的正数）满足初始条件0000(), ()y x y y x y ''== （3.15） （四）、近似计算和误差估计求方程近似解的方法——Picard 的逐次逼近法0000100()()(,()) x nn x x y x y f d x x x h ϕϕξϕξξ-=⎧⎪⎨=+≤≤+⎪⎩⎰对方程的第n 次近似解()n x ϕ和真正解()x ϕ在0||x x h -≤内的误差估计式1|()()|(1)!n n n ML x x h n ϕϕ+-≤+ （3.16）此式可用数学归纳法证明.000|()()||(,())|()xx x x f d M x x Mh ϕϕξϕξξ-≤≤-≤⎰设有不等式1110|()()|() !!n n nn n ML ML x x x x h n n ϕϕ----≤-≤成立,则0110110|()()||(,())(,())| |()()|ξ()! ()(+1)!(+1)!xn n x xn x n x nx n n n n x x f f d L d ML x d n ML ML x x hn n ϕϕξϕξξϕξξϕξϕξξξ--++-≤-≤-≤-≤-≤⎰⎰⎰ 例1 讨论初值问题22dyx y dx=+, (0)0y = 解的存在唯一性区间,并求在此区间上与真正解的误差不超过0.05的近似解,其中,:11,11R x y -≤≤-≤≤.解 (,)1max |(,|2,1,1,min{,}2x y Rb M f x y a b h a M ∈======,由于|||2|2f y L y∂=≤=∂,根据误差估计式(3.16)11|()()|0.05(1)!(1)!n n n ML x x h n n ϕϕ+-≤=<++可知3n =.于是0()0x ϕ=322100()[()]3xx x x x dx ϕϕ=+=⎰3722210()[()]363xx x x x x dx ϕϕ=+=+⎰37111522320()[()]363207959535xx x x x x x x dx ϕϕ=+=+++⎰3()x ϕ就是所求的近似解,在区间1122x -≤≤上,这个解与真正解得误差不超过0.05. 1、求初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=+=0)0(2y yx dx dy 的第三次近似解；解 由解的存在唯一性定理知，1），2）中的初值问题的解分别在)0,0(，)0,1(的邻域内存在且唯一。
微分方程在日常实际中的应用
微分方程在实际中的应用——以学习物理化学为例函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映，利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究，因此如何寻找出所需要的函数关系，在实践中具有重要意义。
在许多问题中，往往不能直接找出所需要的函数关系，但是根据问题所提供的情况，有时可以列出含有未知函数及其导数的关系式，如dy/dx=2x、ds/dt=0.4 ，这样的关系就是所谓微分方程，。
一般的、凡是表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程。
如果一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，这个方程叫做常微分方程，也简称微分方程。
如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程。
20世纪以来，随着大量的边缘科学诸如电磁流体力学、化学流体力学、动力气象学、海洋动力学、地下水动力学等等的产生和发展，也出现不少新型的微分方程（特别是方程组）。
70年代随着数学向化学和生物学的渗透，出现了大量的反应扩散方程。
从“求通解”到“求解定解问题”数学家们首先发现微分方程有无穷个解。
常微分方程的解会含有一个或多个任意常数，其个数就是方程的阶数。
偏微分方程的解会含有一个或多个任意函数，其个数随方程的阶数而定。
总之，力学、天文学、几何学等领域的许多问题都导致微分方程。
在当代，甚至许多社会科学的问题亦导致微分方程，如人口发展模型、交通流模型……。
因而微分方程的研究是与人类社会密切相关的。
牛顿研究天体力学和机械力学的时候，利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动规律。
后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置。
这些都使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大力量。
微分方程的理论逐步完善的时候，利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律，只要列出相应的微分方程，有了解方程的方法。
常微分方程的发展史毕业论文
常微分方程的发展史毕业论文常微分方程（Ordinary Differential Equations，ODE）是描述自变量只有一个的函数与其导数之间关系的数学方程。
它是应用数学中的重要分支，广泛应用于物理、工程、生物等领域。
本文将介绍常微分方程的发展史，并探讨其在数学和应用方面的重要性。
常微分方程的历史可以追溯到17世纪。
当时，牛顿的《自然哲学的数学原理》（Principia Mathematica）的出版，为微分方程的研究奠定了基础。
著名的数学家欧拉和拉普拉斯也做出了许多对微分方程的重要贡献。
19世纪，微分方程的研究取得了突破性进展。
拉格朗日、拉普拉斯和普朗克等学者提出了一些重要的微分方程理论。
其中，拉普拉斯将微分方程的理论发展为一个完整的科学，提供了定义、分类和解法。
此外，阿贝尔、亥姆霍兹和斯托克斯等学者对微分方程的特殊类型进行了深入研究。
20世纪初，随着数值计算和计算机的发展，微分方程的研究进入了一个新的阶段。
数值方法的出现使得人们能够求解更加复杂的微分方程。
例如，飞机设计需要解决空气动力学方程，而人们使用数值方法来模拟空气流动。
另一个重要的进展是变分法和泛函分析在微分方程研究中的应用，使得人们能够处理更加一般的微分方程。
随着数学和应用领域的发展，常微分方程的研究也取得了新的进展。
例如，关于常微分方程的稳定性和周期性解的研究，为深入理解动力系统的稳定性提供了理论基础。
人们还将常微分方程的方法推广到偏微分方程的研究中，为更多实际问题的建模和求解提供了工具。
在应用方面，常微分方程广泛应用于物理学、工程学和生物学等领域。
物理学中的力学、电磁学和量子力学等问题都可以用微分方程来描述。
工程学中，微分方程被用于建模和控制系统的研究与设计。
而生物学中，微分方程被用于描述生物体内的生物化学反应、人口增长和疾病传播等问题。
总之，常微分方程作为数学的重要分支，在数学理论和应用研究上都有着重要的地位。
它的发展史见证了人类对于自然界的认识和技术能力的提升，为解决复杂实际问题提供了有力的工具。
满足初始条件求微分方程（论文资料）
3
. 求解 (1 − x 2 ) y′′ − xy′ = 0, y(0) = 0, y′(0) = 1;
解 方程中不出现 y， 属于 y′′ = f ( x, y′)型， 设 y′ = p, 则 y′′ = p′,
代入方程有 (1 − x 2 ) p′ = xp
分离变量得 两边积分得
dp p
=
1
x − x2
该绳索在平衡状态下所呈曲线 的方程.
解 取坐标系如图. 考察最低点 A 到
任意点M ( x, y ) 弧段的受力情况:
A 点受水平张力 H
r
M 点受切向张力T
H
弧段重力大小 ρ gs ( ρ : 密度, s :弧长)
y
r T
Mθ
A ρgs
o
x
按静力平衡条件, 有
8
T cosθ = H , T sinθ = ρ gs
15
于是 y 2k − 2 d y = C d x,
y2k −1 = C1x + C2
(其中C1 = (2k − 1)C ).
由条件 y(0) = 0, 得C2 = 0,故所求曲线的方程为
y2k −1 = C1x
（k > 1）. 2
16
.
设函数 y ( x) ( x ≥ 0) 二阶可导, 且 y′( x) > 0,
⋅
x2 x2 + y2
+
du⋅ dr
(x2
y2
+
y
2
3
)
2
由x, y的轮换对称性得
∂2u ∂y2
=
d2 u ∂r 2
⋅
x2
y2 +
《常微分方程的数值解法》论文
《常微分方程的数值解法》论文《常微分方程的数值解法》常微分方程（ODE）是研究物理过程的重要工具，其伴随着极大的应用价值。
当一个物理系统被简化为一个常微分方程，它就可以用于描述物理学中的各种现象。
但是，大多数现实系统的常微分方程未能得到解析解，因此，数值解法就变得非常重要。
本文将研究并比较几种常见的常微分方程数值解法，诸如Euler法、奇异点法、Runge-Kutta法、前向差分法等，以便更好地提供协助解决常微分方程。
首先，Euler法是常用的数值解法之一，它主要用于解决常微分方程模型。
其核心思想是将微分方程通过采用不断变化的步长对状态量求近似值，并通过预测下一步的值来求解微分方程，从而达到求解常微分方程的目的，且操作简单、容易理解。
但是，由于其步长的不动性，往往使得其精度较低，因此，当遇到复杂环境时，Euler法的表现就有些不尽如人意。
此外，另一种常见的数值解法是奇异点法。
此法将一个微分方程情况分解成多个分段函数，每一段函数都可以精确求解，从而可以求解复杂的微分方程。
它的特点是分段的每一部分的精度和复杂度都较低，而且运行效率也较快，但是，奇异点法的精度需要在段间合理设定，然后再进行微调，以保证数值模拟的准确性。
其次，Runge-Kutta法是一种常用的数值解法，它可以有效地求解一些常微分方程，其原理是利用积分函数插值，然后利用积分函数求近似值，最后根据边界条件求取解析结果。
Runge-Kutta法的步长可以随着计算过程的进行而逐步变化，这样可以使得误差得到有效控制，而且可以有效地控制误差，保证算法精度，但是由于其计算效率较低，因此在求解复杂的常微分方程时，Runge-Kutta法的表现并不尽人意。
最后，前向差分法是一种求解常微分方程的数值解法，它利用求取未知函数的一阶导数和二阶导数的值，然后通过求解一次和二次中点差分的方式，从而得到数值解。
它的有点是能够得到较高的精确度，且即使步长变化时也可以控制误差，但前向差分法要求在微分方程中必须有高阶导数，这就要求微分方程是复杂的，除此之外，除了必须计算高次导数外，它的计算量也比较大。
高等数学小论文—微分在生活中的应用
微分在生活中的应用1.计算利率和复利：在金融领域，微分可以用来计算利率和复利。
在实际应用中，微分被用于计算连续复利。
假设本金为P，年利率为r，投资时间为t年，那么根据微分的思想，t年后本金和利息之和可以表示为P(1+rt)。
这个公式可以方便快捷地计算出投资在一段时间后的增长倍数，为我们进行投资决策提供了依据。
2.预测未来走势：在经济学中，微分被用来描述变量之间的关系，如价格和需求量之间的关系、成本和产量之间的关系等。
这种关系通常被表达为微分方程或差分方程。
通过求解这些方程，我们可以得到变量随时间变化的规律，从而预测未来的走势。
例如，在商品市场中，价格和需求量之间的关系可以通过微分方程来表示。
通过对这个方程的求解，我们可以预测在未来一段时间内，价格会如何变化，需求量会如何变化，从而制定出更加合理的经济政策。
3.优化生产过程：在工业生产中，微分可以帮助我们优化生产过程。
具体来说，通过对生产过程中的各种变量进行微分分析，可以找出哪些变量对生产效率有影响。
然后，我们可以通过调整这些变量的参数来优化生产过程，提高生产效率。
例如，在生产汽车零部件时，通过对生产过程的微分分析，可以找出对生产效率影响较大的环节，如刀具磨损、模具寿命等，并采取措施来优化这些环节，从而提高生产效率。
4.医学成像：在医学领域，微分也被广泛应用于医学成像。
例如，在CT扫描中，微分被用来重建图像。
具体来说，CT扫描是通过测量人体不同部位在不同时间点的辐射量来重建图像的。
而微分则可以用来分析和处理这些测量数据，以重建出更准确的图像。
在这个过程中，微分可以帮助我们更好地理解图像的形成过程和人体内部的结构特征，为医生的诊断和治疗提供依据。
5.计算机科学：在计算机科学中，微分被广泛应用于机器学习和人工智能领域。
例如，深度学习模型中的反向传播算法就使用了微分。
通过微分，我们可以计算出模型参数的更新量，从而优化模型的性能。
6.自然科学研究：在自然科学领域，微分被广泛应用于物理、化学、生物学等学科的研究。
常微分方程教学方法论文
常微分方程教学方法论文常微分方程教学方法论文常微分方程教学方法论文【1】摘要：作者结合常微分方程课程的特点主要从教学内容、教学方法和培养学生的创新能力等方面提出了看法.关键词：常微分方程教学方法能力培养常微分方程是一门应用型课程，它在自动控制、弹道的计算，导弹飞行和习机的稳定性的研究、生物物种模型的研究等学科上有着广泛的应用，因此对常微分方程的教学研究有着重要的意义.1.提高学生对常微分方程类型的识别能力，对具体问题进行具体分析.在微分方程的学习过程中，首先要分清微分方程的类型，针对不同的类型的方程应用不同的解法，如：首先要分清方程的类型，它不是恰当方程，就不能直接用求恰当方程的方法计算，那么就要寻找方程的积分因子，使其转化为恰当方程，但由于同一种类型的方程可以用多种解法求解，因此如何选择快捷、简便方法求解方程，是学生应该认真思考的问题.如：例2：求解方程ydx+(y-x)dy=0.方法2简便快捷，通过本例可知学生在解方程过程中，不能思想僵化，机械地采用常规解法解题，应该掌握问题的共性的同时发现它的特性，做到具体问题具体分析.2.注重培养学生的逻辑推理、归纳能力.3.开设实践课，培养学生的应用能力.由于常微分方程应用非常广泛，因此我们在教学中不能只停留在理论的讲解上，更要注重常微分方程在其他学科中的应用。
我们在教学过程中应开设实践课，培养学生的应用能力.在实践课教学过程中，我们先要结合一些实际问题，建立研究对象的数学模型，根据其内在规律列出微分方程或微分方程组，然后研究解的问题.例如池州学院数学与计算机科学系将这门课的教学内容与数学建模紧密结合，结合大学生数学建模竞赛在实践课堂中以竞赛的课题为例，编写一些生动有实际背景的数学模型为实践课教材，通过教材讲解怎样构建数学模型，怎样用微分方程的手法研究问题、解决问题，并引导学生用所学的方法，联系实际模型培养学生解决问题的能力和创新能力.4.熟练掌握数学软件，促进常微分方程的教学和应用.计算机软件的快速发展为我们进行常微分方程的学习和研究提供了有力的辅助，首先利用数学软件的计算功能直接求解方程，降低了解题难度，减少人工繁琐重复的计算;其次利用计算机软件的数值计算和绘图功能使我们很方便了解或探索微分方程的性态.根据应用的普遍性和各自的特色功能，我们主要学习的数学软件为Mathematica、MATLAB、Maple，例如Mathematica是一款科学计算软件，很好地结合了数值和符号计算引擎、图形系统、编程语言、文本系统和与其他的.应用程序的高级连接;MATLAB在数值计算方面首屈一指.MATLAB可以进行矩阵运算、绘制函数和数据、实现算法、创建用户界面、连接其他编程语言的程序;Maple系统内置高级技术解决建模和仿真中的数学问题，包括世界上最强大的符号计算、无限精度数值计算、创新的互联网连接、强大的4GL语言等.结合常微分方程的学习和研究，我们利用计算机软件在如下的四个方面进行辅助计算：一是用于求平衡点的代数方程和方程组的求解及用于线性微分方程求解指数函数与矩阵特征值、特征向量的计算;二是通过计算机符号计算程序直接求解方程;三是通过计算机软件描绘常微分方程积分或辅助曲线的图形;四是常微分方程的特殊解法，如Laplace transform、power-series solution.参考文献：[1]王高雄，周之铭，朱思铭，王寿松.常微分方程.第三版[M].北京：高教出版社，2006，7.[2]丁同仁，李承治.常微分方程教程.第二版[M].北京：高教出版社，2004.[3]陶祥兴，张松艳.精品课程的建设与实践――以常微分方程课为例[J].宁波大学学报，2007，29，(5)：104-107.[4]王言芹.浅谈常微分方程教学的几点体会[J].科技信息，2010，29：29-30.[5]张伟平.本科数学专业常微分方程教学改革与实践[J].高等理科教育，2003，(1)：58.常微分方程的教学论文【2】摘要：常微分方程是一门重要的数学基础课，作者结合教学经验，对常微分方程的教学方法进行初步探讨。
常微分方程毕业论文.
安阳师范学院本科学生毕业论文一阶常微分方程初等解法作专年学日学生诚信承诺书本人郑重承诺：所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果.尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得安阳师范学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料.与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意.签名：日期：论文使用授权说明本人完全了解安阳师范学院有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文.签名：导师签名：日期：一阶常微分方程初等解法田丰(安阳师范学院数学与统计学院，河南安阳 100801066)摘要: 文章对一阶常微分方程运用变量分离,积分因子,恰当微分方程等各类初等解法进行了归纳与总结,同时结合例题演示了常微分方程的求解问题。
关键词:一阶常微分方程;变量分离;恰当微分方程;积分因子1 引言常微分方程在微积分概念出现后即已出现,对常微分方程的研究也可分为几个阶段.发展初期是对具体的常微分方程希望能用初等函数或超越函数表示其解,属于“求通解”时代.莱布尼茨曾专门研究利用变量变换解决一阶常微分方程的求解问题,而欧拉则试图用积分因子处理.但是求解热潮最终被刘维尔证明里卡蒂方程不存在一般初等解而中断.加上柯西初值问题的提出,常微分方程从“求通解”转向“求定解”时代.在20世纪六七十年代以后,常微分方程由于计算机技术的发展迎来了新的时期,从求“求所有解”转入“求特殊解”时代,发现了具有新性质的特殊的解和方程,如混沌（解）、奇异吸引子及孤立子等. 微分方程里各项的次数，其实说的是方程各项中未知函数（y）及其导数（y'，y''，y'''……）的次数但是一般接触到的有解析解的微分方程都不会超过1次，所以齐次一般指的就是方程各项中未知函数（y）及其导数（y'，y''，y'''……）的次数为1也就是说方程各项中必须出现且只出现单独的y，y'，y''，y'''……，而不出现它们的平方、n次方，也不出现它们互相相乘，也不出现常数项（次数为0）其中的常见的求解一阶微分2 一阶常微分方程的初等解法2.1 变量分离法2.1.1 一般变量分离法()()dy f x y dxϕ=, )1.2( 的方程,称为变量分离方程,()f x ,()y ϕ分别是x ,y 的连续函数.这是一类最简单的一阶函数.如果()0y ϕ≠,我们可将)1.2(改写成()()dy f x dx y ϕ=, 这样,变量就分离开来了.两边积分,得到 ()()dy f x dx c y ϕ=+⎰⎰. )2.2(这里我们把积分常数c 明确写出来,而把⎰)(y dy ϕ, ⎰dx x f )(分别理解为)(1y ϕ,)(x f 的原函数.常数c 的取值必须保证)2.2(有意义,如无特别声明,以后也做这样理解. 因)2.2(式不适合0)(=y ϕ情形.但是如果存在0y 使0)(0=y ϕ,则直接验证知0y y =也是)1.2(的解.因此,还必须寻求0)(=y ϕ的解0y ,当0y y =不包括在方程的通解)2.2(中时,必须补上特解0y y =例1 求解方程dx dy -=xy 解 将变量分离,得到xdx ydy -=,两边积分,即得22222c x y +-=, 因而,通解为c y x =+22.这里c 是任意正常数,或者解出y ,写出显函数形式的解2x c y -±=.例2 求解方程y x p dxdy )(=, )1.3( 的通解,其中是)(x p x 的连续函数解 将变量分离,得到dx x p y dy )(=, 两边积分,即cdx x p y ~)(||ln +=⎰. 这里c~是任意常数.由对数定义,有 c dx x p ey ~)(||+⎰=, 即dx x p c e e y ⎰⋅±=)(~,令c e c =±~,得到⎰=dx x p ce y )(, )2.3( 此外,0=y 显然也是方程)1.3(的解,如果允许)2.3(中允许0=c 则0=y 也就包括在)2.3(中,因而)1.3(的通解为)2.3(,其中c 为任意常数2.1.2 用变量分离解齐次微分方程2.1.2.1 用变量分离法解齐次微分方程类型一形如)(yx g dx dy =, 的方程,称为齐次微分方程,这里)(u g 是u 的连续函数.作变量变换xy u =, 即ux y =,于是u dxdu x dx dy +=. 代入原方程可得)(u g u dxdu x =+, 整理后,得到x u u g dx du -=)(. )3.2( 因)3.2(是一个变量分离方程.则可按照变量分离方法求解,然后代回原来的变量,即可得到原方程的解例3 求解方程x y xy dx dy tan += 解 这是齐次微分方程,以u dxdu x dx dy u x y +==及代入,则原方程变为 ,tan u u u dxdu x +=+ 即xu dx du tan =. )3.3( 将上式分离变量,既有,cot x dx udu = 两边积分,得到cx u ~||ln |sin |ln +=. 这里c~是任意常数,整理后,得到 u sin =,~x e c ⋅±c e=±~得到 cx u =sin . )4.3( 此外,方程)3.3(还有解 0tan =u .如果在)3.3(中允许0=c ,则0tan =u 也就包括在)4.3(中,这就是说,方程)3.3(的通解为)4.3(带回原来的变量,得到方程的通解为.sin cx x y=例4 求解方程y xy dx dyx =+2（0<x ）解 将方程改写为x yx y dx dy +=2,这是齐次微分方程.以u dx dux dx dy u x y+==及代入,则原方程变为 .2u dx dux =)5.3( 分离变量,得到,2x dxu du =两边积分,得到)5.3(的通解.)ln(c x u +-=即当0)ln(>+-c x 时,2])[ln(c x u +-=.这里c 时任意常数.此外,方程)5.3(还有解.0=u注意,此解并不包括在通解)5.3(中.代入原来的变量,即得原方程的通解为.])[ln(2c x x y +-=2.1.2.2用变量分离法解齐次微分方程类型二形如222111c y b x a c y b x a dx dy ++++=, )4.2( 的方程不可直接进行变量分离,但是可以经过变量变换后化为变量分离方程,这里1a ,1b ,1c ,2a ,2b ,2c 均为常数.可分为三种情况来讨论:()1k c c b b a a ===212121(常数)的情形 这时方程可化为k dxdy =, 有通解c kx y +=,其中c 为任意常数.()2212121c c k b b a a ≠==的情形. 令y b x a u 22+=,这时有212222c u c ku b a dx dy b a dx du +++=+=. 是变量分离方程()32121b b a a ≠及21,c c 不全为零的情形 因为方程右端分子,分母都是y x ,的一次多项式,因此⎩⎨⎧=++=++.0,0222111c y b x a c y b x a 代表Oxy 平面上两条相交的直线,设交点为()βα,,若令⎩⎨⎧-=-=,,βαy Y x X 则方程可化为⎩⎨⎧=+=+,0,02211y b x a y b x a 从而方程)4.2(变为.2211⎪⎭⎫ ⎝⎛=++=X Y g Y b X a Y b X a dX dY 因此,求解上述变量分离方程,最后代回原方程,即可得到原方程的解.)4(021==c c 的情形, 此时直接变换xy u =即可. 例5 求解方程111dy dx x y =+-+. 解 令1u x y =-+,则有1y u x -=--,代入所求方程()111d u x dx u---=+, 整理可得1du dx u=-, 由变量分离得22u x c =-+,故所求方程的解为()212x y x c -++=.例6 求解方程 31-++-=y x y x dx dy . 解 解方程组⎩⎨⎧=-+=+-,03,01y x y x 得.2,1==y x 令⎩⎨⎧+=+=,1,1Y y X x 代入上式方程,则有YX YX dX dY +-=. 再令,uX Y XYu ==即则上式可化为 du uu uX dX 2211--+=, 两边积分,得cu u X ~|12|ln ln 22+-+-=, 因此c e u u X ~22)12(±=-+,记,1~c e c=±并带回原变量,得1222c X XY Y =-+,122)1()2)(1(2)2(c x y x y =----+-.此外容易验证0122=-+u u ,即2220,Y XY X +-=也是方程的解 ,因此方程的通解为c x y x xy y =---+26222,其中c 为任意的常数. 2.2常数变易法2.2.1常数变易法类型一一阶线性微分方程()(),x Q y x P dxdy+= 其中()()x Q x P ,在考虑的区间上是x 的连续函数,若Q ()0=x ,方程变为(),y x P dxdy= 称其为一阶齐次线性微分方程,若(),0≠x Q 称其为一阶非齐次线性微分方程.变易分离方程,易求得它的通解为(),⎰=dxx P ce y这里c 是任意常数.现在讨论非齐次线性方程的通解的求法.不难看出,是特殊情形,两者既有联系又有差别,因此可以设想它们的解也应该有一定的联系而又有差别,现试图利用方程的通解的形式去求出方程的通解,显然,如果中c 恒保持为常数,它们不可能是的解.可以设想在中将常数c 变易为x 的待定函数,使它满足方程,从而求出(),x c 为此,令()(),dxx P e x c y ⎰=两边同时微分,得到()()()()().dx x P dxx P e x P x c e dxx dc dx dy ⎰+⎰= 代入原方程,得到()()()()()()()()(),x Q e x c x P e x P x c e dxx dc dx x P dx x P dx x P +⎰=⎰+⎰ 即()()(),⎰=-dx x P e x Q dxx dc两边同时积分,得到()()(),1c dx e x Q x c dxx P +⎰=-⎰这里1c 是任意常数,求得到()()().1⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=⎰-c dx e x Q e y dx x P dxx P就是方程的通解.这种将常数变为待定函数的方法通常被称之为常数变易法.例7 求方程22y x y dx dy -=的通解 解 原方程可改写为yy x dy dx 22-=, 即y x ydy dx -=2, )6.3( 首先,求出齐次线性微分方程x ydy dx 2=, 的通解为2cy x =.其次,利用常数变易法求非齐次线性微分方程)6.3(的通解 把c 看成)(y c ,将方程2cy x =两边同时微分得y y c y dyy dc dy dx )(2)(2+=. 代入)6.3(,得到ydy y dc 1)(-=, 两边同时积分,即可求得cy y c ~ln )(+-=. 从而,原方程的通解为)ln ~(2y cy x -=, 这里c~是任意常数.2.2.2常数变易法类型二形如n y x Q y x P dxdy)()(+=, )5.2( 的方程,称为伯努利方程,这里)(x P ,)(x Q 为x 的连续函数,n ≠0,1是常数.利用变量变换可将伯努利微分方程化为线性微分方程.事实上,对于0≠y ,用n y -乘)5.2(的两边,得到)()(1x Q x P y dxdyy n n+=--, 引入变量变换n y z -=1,从而dxdyy n dx dz n--=)1(. 代入方程)5.2(,得到)()1()()1(x Q n z x P n dxdz-+-=, 这是线性微分方程,可按照前面介绍的方法来求出它的通解,然后代换原来的变量,便得到方程的通解.此外,当0>n 时,方程还有解0=y .例8 求方程的26xy xydx dy -=通解 解 这是2=n 时的伯努利微分方程.令1-=y z ,算得x z xdx dz +-=6, 这是线性微分方程,求得它的通解为826x xc z +=.代入原来的变量y ,得到8126x x c y +=, 或者c x y x =-886, 这就是原方程的通解. 此外,方程还有解0=y 2.3 利用恰当微分方程求解法 对于一阶微分方程()(),,0M x y dx N x y dy +=,若有M Ny x∂∂=∂∂,则该方程必为恰当微分方程. 下面讨论如何求得该恰当微分方程的解. 把(),uM x y x∂=∂看作只关于自变量y 的函数,对它积分可得 ()(),u M x y dx y ϕ=+⎰由此式可得N dyy d dx y x M y y u =+∂∂=∂∂⎰)(),(ϕ, 由此可得dx y x M yN dy y d ⎰∂∂-=),()(ϕ, 又因为]),([]),([⎰⎰∂∂∂∂-∂∂=∂∂-∂∂dx y x M yx x N dx y x M y N x ]),([⎰∂∂∂∂-∂∂=dx y x M x y x N0=∂∂-∂∂=yMx N , 故等式右边只含有y ,积分可得dy ydx x M y N y ⎰⎰∂∂-=]),([)(ϕ, 进而可得dy dx y x M yN dx y x M u ⎰⎰⎰∂∂-+=]),([),(. 则恰当微分方程的通解为c dy dx y x M y N dx y x M =∂∂-+⎰⎰⎰]),([),(, 这里c 是任意常数.例10 求解方程0)1()1(cos 2=-++dy yxy dx y x .解 因为221,1yx N y y M -=∂∂-=∂∂,故方程是恰当微分方程.把方程重新分项组合,得到0)1()1(cos 2=-++dy yxy dx y x ,即0||ln sin 2=-++yxdyydx y d x d , 或者写成0)||ln (sin =++yxy x d .于是,方程的通解为c yxy x =++||ln sin , 这里c 是任意常数2.4 利用积分因子求解法函数(),x y μ为()(),,0M x y dx N x y dy +=积分因子的充要条件是()()M N y xμμ∂∂=∂∂, 即()M N NM x y y xμμμ∂∂∂∂-=-∂∂∂∂. 假设原方程存在只与x 有关的积分因子()x μμ=,则0xμ∂=∂,则μ为原方程的积分因子的充要条件是()M N x y x μμ∂∂∂=-∂∂∂,即()()M Ny x x Nφ∂∂-∂∂=仅是关于x 的函数.此时可求得原方程的一个积分因子为()x dxe φμ⎰=.同样有只与y 有关的积分因子的充要条件是()()M N y xy Mϕ∂∂-∂∂=-是仅为y的函数,此时可求得方程的一个积分因子为()y dye ϕμ⎰=例9 求解方程0)(=-+dy x y ydx . 解 这里,1,1,,-=∂∂=∂∂-==XNy M x y N y M 方程不是恰当的. 因为yy M 2-=∂∂只与y 有关,故方程有只与y 的积分因子 2||ln 221ye eu y y==⎰=--, 以21yu =乘方程两边,得到 0112=-+yxdydy y dx y , 或者写成02=+-y dyyxdy ydx , 因而通解为c y yx=+||ln .3 结束语文章详细介绍了一阶常微分方程的初等解法，即把一阶常微分方程的解通过初等函数或它们的积分表达出来。
微分方程论文
常微分方程的积分因子每一个微分方程转化为恰当方程之后，可以运用恰当方程的公式进行求解，因此转化成恰当方程是求解微分方程的重要步骤，转化成恰当方程需要求解出积分因子，因此积分因子的求解变得非常重要。
课本中只介绍了仅关于x 或仅关于y 的积分因子，这还远远不够。
此论文主要研究几类微分方程积分因子的求法，从而使微分方程的求解变得较简便。
积分因子的定义：若对于一阶微分方程()(),,0M x y dx N x y dy +=其中(),M x y ，(),N x y 在矩形域内是,x y 的连续函数，且有连续的一阶偏导数．若存在连续可微的函数(),0x y μ≠，使得()()()(),,,,0x y M x y dx x y N x y dy μμ+≡，为一恰当方程，即存在函数V ，使Mdx Ndy dV μμ+=． 则称(),x y μ为方程（1）的积分因子．通过计算可得，函数(),x y μ为0Mdx Ndy +=积分因子的充要条件为：()()M N x y μμ∂∂=∂∂， 即M N NM x y y x μμμ⎛⎫∂∂∂∂-=- ⎪∂∂∂∂⎝⎭ 1.1、定义1 若方程 0),(),(=+dy y x N dx y x M (1) 的左端恰好是某个二元函数),(y x u 的全微分，则称(1)式为恰当微分方程. 1.2、定义2 如果存在连续可微的函数μ=0),(≠y x μ，使得 ),(y x μdx y x M ),(+ ),(y x μdy y x N ),(=0 为一恰当微分方程，即存在函数v ，使dv Ndy Mdx ≡+μμ， 则称),(y x μ为方程(1)的积分因子.1.3 、定义3 函数),(y x μ为(1)的积分因子的充要条件是y M ∂∂)(μ=x N ∂∂)(μ，即是μμμ)(x Ny M y M xN ∂∂-∂∂=∂∂-∂∂ 2.1 结论1：方程（1）具有积分因子μ=)(y x ±μ的充要条件为1))((-∂∂-∂∂M N x Ny M =)(y x F ±积分因子为μ=⎰±±)()(y x d y x F e证明：""⇒设μ=)(y x ±μ为方程的积分因子，y x t +=，则dt d y t x μμμμ=∂∂∂∂=∂∂,（2）由(1)得 x N yM ∂∂-∂∂=dt d M N y x μμ)()(1-+ ∴M N xNy M -∂∂-∂∂=dt d y x μμ)(1+≡)(y x F +∴1))((--∂∂-∂∂M N x Ny M =)(y x F +为方程具有形如)(y x ±μ积分因子的必要条件. ""⇐ 若M N xN y M -∂∂-∂∂≡)(y x F + 取μ=⎰++)()(y x d y x F e则有x NyM ∂∂-∂∂≡)(y x F +)(M N - 即x N N y x F y x MF y M ∂∂++≡++∂∂)()(,两边乘以μ且由（2），得 μμμ)(x N y M y M x N∂∂-∂∂=∂∂-∂∂ 即y M ∂∂)(μ=x N ∂∂)(μ⇒μ为原方程的积分因子.同理得1))((-+∂∂-∂∂M N x Ny M =)(y x f -命题得证。
研究生毕业学术论文——求解偏微分方程
研究生毕业学术论文——求解偏微分方程简介本文旨在探讨研究生毕业学术论文中的一个重要课题：求解偏微分方程。
偏微分方程在数学和物理学领域具有广泛的应用，它们描述了许多自然现象的行为。
本文将介绍偏微分方程的基本概念和求解方法，并探讨其在实际问题中的应用。
偏微分方程的基本概念偏微分方程是包含多个变量的方程，其中包含函数及其各个变量的偏导数。
它们描述了不同变量之间的关系，以及这些变量随时间的变化。
偏微分方程可分为多种类型，包括椭圆型、双曲型和抛物型方程。
每种类型的方程都具有不同的特征和求解方法。
偏微分方程的求解方法在研究生毕业学术论文中，我们关注如何有效地解决偏微分方程。
以下是一些常见的求解方法：1. 分离变量法：通过假设解可分为两个或多个变量的乘积形式，将偏微分方程转化为一系列普通微分方程，然后解决这些普通微分方程。
2. 特征线法：通过引入特征线，将偏微分方程转化为一组常微分方程，然后求解这些常微分方程。
3. 数值方法：使用数值算法近似求解偏微分方程，例如有限差分法、有限元法和谱方法等。
使用适当的求解方法取决于偏微分方程的类型和实际问题的要求。
偏微分方程在实际问题中的应用偏微分方程在各个领域中都有广泛的应用。
以下是一些实际问题的例子：1. 热传导方程：描述了热能在物体中传播的行为，可以用于分析传热问题和温度分布。
2. 波动方程：描述了波动现象的行为，可以用于分析声波、光波等的传播。
3. 扩散方程：描述了物质扩散的行为，可以用于分析化学反应和溶质在流体中的传输。
4. 矩阵方程：描述了电路、管道等网络中的电流、液流等行为，可以用于分析电路和流体力学问题。
这些应用说明了偏微分方程在解决实际问题中的重要性。
结论本文介绍了研究生毕业学术论文中的一个重要课题：求解偏微分方程。
偏微分方程是描述自然现象行为的数学工具，其求解需要使用适当的数学方法。
我们讨论了偏微分方程的基本概念、常见的求解方法以及其在实际问题中的应用。
微分方程论文常数变易法论文：求二阶非齐次线性微分方程通解的一种方法
微分方程论文常数变易法论文：求二阶非齐次线性微分方程通解的一种方法摘要：二阶线性微分方程在实际问题中有着广泛的应用。
利用常数变易法对二阶非齐次线性微分方程yn+p（x）y′+q（x）y=f（x）进行讨论后，可给出求其通解表达式的具体方法。
关键词：微分方程；通解；常数变易法一、引言对于二阶常系数非齐次线性微分方程y″+py′+qy=f （x）（其中p、q是常数）当f（x）为以下两种形式：①f（x）=pm（x）eλx，其中λ是常数，pm（x）是x 的一个m次多项式；②f（x）=eλx［pl（x）cosωx+pn（x）sinωx］，其中λ、ω是常数，pl（x）、pn（x）分别是x的l次，n次多项式，它们中有一个可为零。
此时求其通解的方法已有公式可循，具体公式这里从略。
现在的问题是假若p、q不是常数，而是x的函数p（x）、q（x），即为方程y″+p（x）y′+q（x）y=f（x）（1）时，又如何求其通解呢？这正是本文所要讨论的问题。
二、二阶非齐次线性微分方程的求解方法在求一阶非齐次线性微分方程y′+p（x）y=q（x）的通解时，我们使用了常数变易法。
这种方法是把齐次线性微分方程y′+p（x）y=0的通解φ（x）中的任意常数c换成未知函数u（x），即利用变换y=u（x）φ（x）来解非齐次线性微分方程。
这一方法也适用于解二阶非齐次线性微分方程。
下面我们就来讨论方程（1）的具体求解方法。
设φ（x）是方程（1）对应的齐次方程y″+p（x）y′+q（x）y=0 （2）是一个不恒为零的解，则令y=u（x）φ（x），有y′=u′（x）φ（x）+u（x）φ′（x），y″=u″（x）φ（x）+2u′（x）φ′（x）+u（x）φ″（x）代入方程（1），得u″（x）φ（x）+2u′（x）φ′（x）+u（x）φ″（x）+p（x）［u′（x）φ（x）+u（x）·φ′（x）］+q（x）u（x）φ（x）=f（x）,即φ（x）u″（x）+［2φ′（x）+p（x）φ（x）］u′（x）+［φ″（x）+p（x）φ′（x）+q（x）φ（x）］u（x）=f（x）,而φ″（x）+p（x）φ′（x）+q（x）φ（x）＝0，因此上式变为φ（x）u″（x）+［2φ′（x）+p（x）φ（x）］u′（x）=f（x）。
毕业设计(论文)-一些不同阶线性微分方程组的解
I楚雄师范学院本科生毕业论文（设计）题目一些不同阶线性微分方程组的解专业数学与应用数学年级班级2011级1班学号学生姓名指导教师职称：副教授教务处印制目录摘要 ..................................................................... I II 关键词.................................................................... I II Abstract . (IV)Key words (IV)1、引言 (V)2、预备知识 (V)3、主要结果 (VI)3.1拉普拉斯变换法 (VI)3.2化为一阶线性方程组 (IX)4、应用实例 (XI)5、总结................................................................... X III 参考文献.................................................................. X III 致谢....................................................................... X IV一些不同阶线性微分方程组的解摘要：解一些不同价线性微分方程组的问题, 一般很复杂也很困难。
求微分方程组的解有三种方法：矩阵的特征值特征向量法、消元法、拉普拉斯变换法。
但只要掌握微分方程组的一些特点和正确运用所学知识，就能比较容易解决。
这篇文章介绍了利用拉普拉斯变换法求解线性方程组的解。
关键词：不同阶；线性；微分方程组；解法；拉普拉斯变换法；Some different order linear differential equations Abstract:The problem of linear differential equations of some different price generally verycomplex and difficult. There are three ways of solution of differential equations: matrix characteristic value of characteristic vector method, elimination method and Laplace transform method. But as long as the master some characteristics of the system of differential equations and the correct use of knowledge, can be easier to solve. This article introduces the solution of Laplace transform method is used to solve the linear system of equations.Key words: Different order; linear; System of differential equations; solution; The Laplace transform method;1、引言常微分方程是现代数学中一个重要的分支，是人们解决各种实际问题的有效工具，它在几何、物理、力学、电子技术、自动控制、航天、生命科学、经济等领域都有着广泛的应用，这些应用也为微分方程的进一步发展提出来新的问题，对微分方程要加与更深的研究，才能适应科学技术飞速发展的需求。
《分数阶偏微分方程的几类有限元方法研究》范文
《分数阶偏微分方程的几类有限元方法研究》篇一一、引言分数阶偏微分方程（Fractional Partial Differential Equations，FPDEs）在物理、工程和科学计算等多个领域有广泛的应用。
这类方程相较于传统的整数阶偏微分方程更加复杂，因其能够精确描述诸如热传导、波传播、渗流等过程中的记忆性和异常局部行为。
由于FPDEs具有上述优势，其在近几年的研究中越来越受到关注。
为了有效求解FPDEs，学者们开发了多种有限元方法，本论文主要研究了几类常见的有限元方法在求解FPDEs中的表现和应用。
二、文献综述近年来，针对FPDEs的有限元方法研究取得了显著的进展。
这些方法包括但不限于空间离散化方法、时间离散化方法以及时空离散化方法等。
空间离散化方法主要包括传统的有限元法（FEM）和谱方法等；时间离散化方法则主要依赖于隐式或显式的时间积分法；时空离散化方法则结合了空间和时间两个维度的离散化。
这些方法各有优劣，适用于不同的FPDEs求解问题。
三、几类有限元方法研究（一）传统有限元法（FEM）传统有限元法是一种广泛应用的数值方法，其基本思想是将连续的求解区域离散成有限个单元的集合，通过求解每个单元的近似解来得到整个区域的解。
在求解FPDEs时，FEM通过构造适当的基函数和插值函数来逼近解的未知函数。
（二）分数阶有限元法（Fractional Finite Element Method, FFEM）分数阶有限元法是针对FPDEs提出的一种新型有限元方法。
该方法在空间离散化时，不仅考虑了单元间的相互作用，还特别关注了分数阶导数的性质。
通过引入适当的分数阶算子，FFEM 能够更准确地描述解的局部行为和记忆效应。
（三）谱方法谱方法是一种基于全局基函数的数值方法，其优点是收敛速度快且精度高。
在求解FPDEs时，谱方法可以通过构造高精度的基函数来逼近解的未知函数。
同时，谱方法还可以利用傅里叶变换等工具将问题转化为更易于求解的形式。
偏微分方程论文
偏微分方程论文偏微分方程是数学中的时空旅行工具，可以预测和控制自然现象的变化。
例如，偏微分方程可以描述热传导、流体流动、电磁场等现象。
想象一下，你是一位冒险家，身处一片神秘的沙漠。
你渴望找到水源，但是你不知道水的流动方向和速度。
这时，偏微分方程就是你的导航仪，帮助你预测水流的路径和强度，指引你找到宝贵的水源。
偏微分方程也如同数学的魔法笔，可以创造出无限的可能性。
它们是创新和发明的源泉。
想象一下，你是一位天才发明家，渴望创造出全新的科技。
你面临着一个难题，如何控制声音在材料中的传播。
偏微分方程就是你的魔法笔，可以帮助你理解声波在材料中的行为，从而设计出具有超凡性能的声学材料。
偏微分方程是数学的宇宙奥秘，它们引领人类超凡脑洞之旅。
它们如同数学的超能力，预测和控制自然现象的变化。
偏微分方程是数学中的黑洞，拥有无穷吸引力。
它们是创新和发明的源泉，帮助我们解决现实世界的难题。
让我们一起揭开偏微分方程的神秘面纱。
偏微分方程可以用数学语言来描述，其中最经典的偏微分方程之一就是热传导方程。
热传导方程描述了物体内部温度的变化过程，它的公式如下：在这个方程中，u表示物体的温度，t表示时间，∇²u表示温度的拉普拉斯算子（表示温度的曲率），而α则是热传导系数。
这个公式可以用一个生动有趣的例子来解释。
想象一下，你正在煮一锅热汤，而汤的温度在不同的位置上是不均匀的。
你想知道汤的温度如何随时间变化。
这时，热传导方程就派上了用场。
公式中的∂u/∂t表示温度随时间的变化率。
它告诉我们随着时间的推移，汤的温度如何变化。
而α*∇²u表示温度随空间的变化率。
它告诉我们汤的温度如何在不同位置上扩散或集中。
偏微分方程的解是一个关于时间和空间的函数，它描述了温度在不同位置和不同时间的分布情况。
通过解析或数值方法，我们可以得到温度在整个热汤中的变化规律，从而了解汤在不同时间点的热传导过程。
这个简单的热传导方程只是偏微分方程的冰山一角。
微分方程在材料学科研究中的应用论文
微分方程在材料学科研究中的应用论文【摘要】微分方程是一项有效的数学工具，在材料科学研究中得到了广泛的应用。
本文综述了微分方程在研究材料力学性能、物理性能、热传导和质量传输方面的应用。
【关键词】微分方程材料学科应用微分方程指含有自变量、自变量的函数及其导数的等式，是常微分方程和偏微分方程的总称。
20世纪以来，随着大量边缘科学的产生和开展，也出现不少新型的微分方程。
20世纪70年代随着数学向化学和生物学的渗透，出现了大量的反响扩散方程。
常微分方程的解会含有一个或多个任意常数，其个数就是方程的阶数。
偏微分方程的解会含有一个或多个任意函数，其个数随方程的阶数而定。
微分方程在物理学、力学中的重要应用，不在于求方程的任一解，而是求得满足某些补充条件的解，称为求解定解问题。
随着微分方程的开展和在各学科研究中的应用，微分方程也逐渐应用于材料科学的研究。
本文综述了微分方程在研究材料的力学性能、物理性能、热传导和质量传输方面的应用情况。
王秀芬利用微分方程模型对温控材料受力弯曲变形进展了研究。
结合数学建模思想及材料力学相关知识对温控设备受力时发生弯曲变化情况，通过实例建立微分方程模型，通过对模型的分析研究寻求温控设备能自动调节温度的最正确规律。
她利用求解细杆弯曲变形的问题时常建立挠曲轴近似微分方程然后求解，带入条件后推导出模型。
通过对模型的分析她发现，当细杆发生弯曲时，弹簧与钢臂的夹角不为90°，且弹簧的长度相对于未发生变形时发生变化，因此她结合条件后改良了模型。
通过计算结果发现，相对误差很小，实际值与计算值吻合程度很高，模型相当准确，可用于准确求解细杆的弯曲情况。
金伟良利用微分方程。
研究了锈蚀钢筋混凝土梁受弯承载力计算模型。
综合考虑锈蚀钢筋混凝土梁中材料性能的退化和钢筋与混凝土黏结性能的退化，根据梁截面平衡方程和钢筋与混凝土的变形协调方程建立梁中受拉钢筋轴力微分方程，给出了微分方程的滑移边界条件和钢筋轴力连续边界条件，定义梁弯曲破坏的两种极限状态：混凝土压碎和钢筋屈服，通过计算推导出钢筋轴力微分方程通过研究发现，模型计算结果与试验结果吻合很好，说明本模型的计算结果是可靠的，可以将本模型的计算结果运用到实际的工程之中，为混凝土构造耐久性评估提供了理论根底。
论文模版(一篇关于微分方程的论文)
本科生毕业设计 (论文)题目：论积分因子的存在条件及其求法教学单位 _计算机科学与技术学院姓名 ___ 彭倩___学号___ 200531105002年级 _____2005级_________专业 _ 数学与应用数学指导教师 ___ 宋荣荣职称 _____ 讲师___ _____2009 年 5 月 7 日摘要在常微分方程理论的形成过程中, 求解常微分方程曾出现过许多方法, 如分离变量法、变量替换法、常数变易法以及积分因子法等等. 其中尤以积分因子法出现的最晚, 而作用也最大.积分因子法的实质是把常微分方程转化为恰当方程, 由于恰当方程的通解很容易得出, 这样我们也就能很容易求得常微分方程的解.因此用积分因子法解常微分方程的关键是找到积分因子.本文首先介绍了二元微分方程的恰当方程的定义, 然后在二元非恰当方程的条件下引出积分因子的定义和存在条件. 通过探讨积分因子的存在条件,本文得到了几种求常微分方程积分因子的基本求法：观察法、公式法、分组法和几种特殊类型方程积分因子的求法. 并对各种积分因子求法作了详细论证.然后根据二元原函数存在条件及积分因子的求法来推导三元原函数存在条件及积分因子的求解方法.关键词：常微分方程；积分因子；恰当方程；三元原函数.AbstractTheory of ordinary differential equations in the formation process, the solution of ordinary differential equations there have been many methods, such as separation of variables, variable substitution method, constant variation, and so integral factor method. Especially integral factor method appears the latest, The biggest role. integral factor method is the essence of ordinary differential equations into appropriate, as the appropriate general solution of the equation is easy to draw, so we can easily obtain the solution of ordinary differential equations. therefore integral factor method the key to solution of ordinary differential equations is to find the integrating factor.In this paper, the dual differential equations first introduced the definition of the appropriate equation, and then in the dual non-appropriate conditions equation integrating factor leads to the definition and conditions for the existence of. By exploring the conditions for the existence of the integrating factor, this paper has been seeking several ordinary differential equations integral factor of the basic method: To observe the law, the formula law, sub-law and several special types of integral equation method factor. and a variety of integral factor a detailed appraisal method. and then the original function in accordance with the conditions for the existence of binary and integral factor of the law is derived for three conditions for the existence of the original function and the integral factor method.Key words: ordinary differential equations; integral factor; proper equation; Ternary primitive function.目录第一章绪论 (5)1.1课题背景及目的 (5)1.2国内外研究状况和相关领域中已有的成果 (5)1.3研究方法、论文构成及研究内容 (6)1.3.1研究方法 (6)1.3.2 论文研究内容 (6)第二章二元微分方程积分因子的定义及其存在条件 (7)2.1 积分因子的定义 (7)2.2积分因子存在条件 (8)2.3积分因子的几种解法 (9)2.3.1 观察法 (9)2.3.2 公式法 (9)2.3.3 分组法 (12)2.3.4 几种特殊类型方程积分因子的求法 (13)第三章三元微分方程积分因子的存在条件及解法 (14)3.1三元原函数存在条件 (14)3.2 三元微分方程积分因子存在的条件 (15)3.3 三元微分方程积分因子的解法 (16)结论 (20)参考文献 (21)致谢 (21)第一章绪论1.1课题背景及目的微分方程差不多是和微积分同时产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解. 牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解. 后来瑞士数学家雅各布·贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论.常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的. 数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具.微分方程可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律. 随着微分方程的理论的逐步完善，只要列出相应的微分方程并找到解方程的方法, 微分方程也就成了最有生命力的数学分支. 事实上，大部分的常微分方程求不出十分精确的解，而只能得到近似解. 当然，这个近似解的精确程度是比较高的.现在，常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等. 这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题. 应该说，应用常微分方程理论已经取得了很大的成就. 解常微分方程大致有分离变量法、变量替换法、常数变易法以及积分因子法等等，其中，积分因子法尤为重要，本论文主要讨论积分因子存在条件及其解法，通过积分因子使常微分方程化为全微分方程形式来求解.1.2 国内外研究状况和相关领域中已有的成果积分因子的概念是由瑞士大数学家欧拉提出来的，而且他还确定了可采用积分因子的微分方程类型，证明了凡是可用分离变量求解的微分方程都可以用积分因子求解，但反之不然.随着微分方程理论的不断深入研究，积分因子的应用越来越广. 经过许多人的研究证明：不仅仅是可用分离变量求解的微分方程可以用积分因子法求解，甚至只要微分方程的解存在，都可以采用积分因子法求解. 只是有些方程求积分因子比求方程的解本身更为复杂.目前国内的伍军、刘许成、阎淑芳等人对积分因子的求法作了详细的研究，并取得了许多重大的成果. 尽管目前还没有找到求积分因子的普通解法，但已在相当大的范围内，给出了一些微分方程的存在某些特殊类型积分因子的求法。
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常微分方程的积分因子每一个微分方程转化为恰当方程之后，可以运用恰当方程的公式进行求解，因此转化成恰当方程是求解微分方程的重要步骤，转化成恰当方程需要求解出积分因子，因此积分因子的求解变得非常重要。
课本中只介绍了仅关于x 或仅关于y 的积分因子，这还远远不够。
此论文主要研究几类微分方程积分因子的求法，从而使微分方程的求解变得较简便。
积分因子的定义：若对于一阶微分方程()(),,0M x y dx N x y dy +=其中(),M x y ，(),N x y 在矩形域内是,x y 的连续函数，且有连续的一阶偏导数．若存在连续可微的函数(),0x y μ≠，使得()()()(),,,,0x y M x y dx x y N x y dy μμ+≡，为一恰当方程，即存在函数V ，使Mdx Ndy dV μμ+=． 则称(),x y μ为方程（1）的积分因子．通过计算可得，函数(),x y μ为0Mdx Ndy +=积分因子的充要条件为：()()M N x y μμ∂∂=∂∂，即M N NM x y y x μμμ⎛⎫∂∂∂∂-=- ⎪∂∂∂∂⎝⎭ 1.1、定义1 若方程 0),(),(=+dy y x N dx y x M (1) 的左端恰好是某个二元函数),(y x u 的全微分，则称(1)式为恰当微分方程. 1.2、定义2 如果存在连续可微的函数μ=0),(≠y x μ，使得 ),(y x μdx y x M ),(+ ),(y x μdy y x N ),(=0 为一恰当微分方程，即存在函数v ，使dv Ndy Mdx ≡+μμ， 则称),(y x μ为方程(1)的积分因子.1.3 、定义3 函数),(y x μ为(1)的积分因子的充要条件是y M ∂∂)(μ=x N ∂∂)(μ，即是μμμ)(x Ny M y M xN ∂∂-∂∂=∂∂-∂∂ 2.1 结论1：方程（1）具有积分因子μ=)(y x ±μ的充要条件为1))((-∂∂-∂∂M N x Ny M =)(y x F ±积分因子为μ=⎰±±)()(y x d y x F e证明：""⇒设μ=)(y x ±μ为方程的积分因子，y x t +=，则dt d y t x μμμμ=∂∂∂∂=∂∂,（2）由(1)得 x N yM ∂∂-∂∂=dt d M N y x μμ)()(1-+ ∴M N xNy M -∂∂-∂∂=dt d y x μμ)(1+≡)(y x F +∴1))((--∂∂-∂∂M N x Ny M =)(y x F +为方程具有形如)(y x ±μ积分因子的必要条件. ""⇐ 若M N xN y M -∂∂-∂∂≡)(y x F + 取μ=⎰++)()(y x d y x F e 则有x NyM ∂∂-∂∂≡)(y x F +)(M N - 即x N N y x F y x MF y M ∂∂++≡++∂∂)()(,两边乘以μ且由（2），得 μμμ)(x N y M y M x N∂∂-∂∂=∂∂-∂∂ 即y M ∂∂)(μ=x N ∂∂)(μ⇒μ为原方程的积分因子.同理得1))((-+∂∂-∂∂M N x Ny M =)(y x f -命题得证。
结论2：方程（1）具有积分因子μ=)(xy μ的充要条件为x Ny M ∂∂-∂∂=)(xy F 1)(--Mx Ny积分因子为μ=⎰)()(xy d xy F e证明：""⇒设μ=)(xy μ为方程的积分因子，xy t =，则ydt d x μμ=∂∂,x dt d y μμ=∂∂（3）由(1)得 x N yM ∂∂-∂∂=dt d Mx Ny xy μμ)()(1- ∴Mx Ny x Ny M -∂∂-∂∂=dt d xy μμ)(1≡)(xy F∴1))((--∂∂-∂∂Mx Ny x Ny M =)(xy F 为方程具有形如)(xy μ积分因子的必要条件. ""⇐ 若Mx Ny xN y M -∂∂-∂∂≡)(xy F 取μ=⎰)()(xy d xy F e则有x Ny M ∂∂-∂∂≡)(xy F )(Mx Ny - 即x N Ny xy F xy MxF y M ∂∂+≡+∂∂)()(,两边乘以μ且由（3），得 μμμ)(x N y M y M x N∂∂-∂∂=∂∂-∂∂ 即y M ∂∂)(μ=x N ∂∂)(μ⇒μ为原方程的积分因子.从而得证. 结论3：方程（1）具有积分因子μ=)(22y x ±μ的充要条件为 1))((-∂∂-∂∂My Nx x N y M =)(22y x F ±积分因子为μ=⎰±±)()(22222y x d y x F e证明：""⇒设μ=)(22y x +μ为方程的积分因子,22y x t +=，则dt d xx μμ2=∂∂,dt d y y μμ2=∂∂ （4） 由(1)得 x Ny M ∂∂-∂∂=dt d My Nx y x μμ)22()(122-+ ∴My Nx xNy M -∂∂-∂∂=dt d y x μμ)(222+≡)(22y x F + ∴1))((--∂∂-∂∂My Nx x N y M =)(y x F +为方程具有形如)(y x ±μ积分因子的必要条件.""⇐ 若M N xN y M -∂∂-∂∂≡)(y x F + 取μ=⎰++)()(y x d y x F e 则有x NyM ∂∂-∂∂≡)(y x F +)(M N - 即x N N y x F y x MF y M ∂∂++≡++∂∂)()(,两边乘以μ且由（2），得 μμμ)(x N y M y M x N∂∂-∂∂=∂∂-∂∂ 即y M ∂∂)(μ=x N ∂∂)(μ⇒μ为原方程的积分因子.同理得1))((-+∂∂-∂∂M N x Ny M =)(y x F -所以命题得证.结论4：方程（1）具有积分因子μ=)(x yμ的充要条件为x N yM ∂∂-∂∂=)(x y F 12)(-+x M x Ny积分因子为μ=⎰-)()(x yd x y F e证明：""⇒设μ=)(x y μ为方程的积分因子，x y t =，则2x y dt d x-=∂∂μμ,x dt d y 1μμ=∂∂（5）由(1)得 x N y M ∂∂-∂∂=dt d x M xyN x y μμ)1()(12--∴x M x Ny xNy M +∂∂-∂∂2=dt d x y μμ)(1-≡)(x y F∴x N yM ∂∂-∂∂=)(x y F 12)(-+x M x Ny 为方程具有形如)(xy μ积分因子的必要条件. ""⇐ 若x M x Ny x Ny M +∂∂-∂∂2≡)(x y F ,取μ=⎰-)()(xyd x y F e则有x N y M ∂∂-∂∂≡)(xy F 12)(-+x M x Ny 即x N Ny xy F xy MxF yM ∂∂+≡+∂∂)()(,两边乘以μ且由（5），得μμμ)(x N y M y M x N∂∂-∂∂=∂∂-∂∂ 即y M ∂∂)(μ=x N ∂∂)(μ⇒μ为原方程的积分因子.从而得证. 结论5：假设（1）式中),(y x M 和),(y x N 满足关系x N y M ∂∂-∂∂=)()(y Mg x Nf -，其中)(),(y g x f 分别为x 和y 的连续函数，则方程（1）的积分因子为:⎰⎰+=dyy g dx x f )()(exp(μ）证明：由),(y x M 和),(y x N 存在关系得)()(x Nf x Ny Mg y M +∂∂=+∂∂两边同乘以μ，得⎰⎰+dy y g dx x f )()(exp(）)]([y Mg y M +∂∂=⎰⎰+dy y g dx x f )()(exp(）)]([x Nf x N +∂∂从而y M ∂∂)(μ=x N ∂∂)(μ根据定义3知⎰⎰+=dyy g dx x f )()(exp(μ）为方程（1）的积分因子.结论6：变量分离方程0)()()()(=+dy y Q x P dx y N x M 有积分因子)()(1x P y N =μ.证明：用)()(1x P y N =μ乘以变量分离方程两端，得0)()()()(=+dy y N y Q dx x P x M这个方程是恰当方程，因此变量分离方程的积分因子为)()(1x P y N =μ结论7：设函数)(xy f +)(xy g 连续可微且)(xy f ≠)(xy g ，则方程 0)()(=+dy xy xg dx xy yf有积分因子1)])()([(--=xy g xy f xy μ证明：令xy u =，则原方程可化为)()]()([=+-du u g dx x u g u f u两边乘以1)])()([(--=xy g xy f xy μ，得0)]()([)(=--du u g u f u u g x dx这是一个恰当微分方程，因此原方程有积分因子1)])()([(--xy g xy f xy∴得证.例题例1求()20y x dx xdy --=的积分因子． 解 因为2M y x =-，N x =-，且1M y ∂=∂，1N x ∂=-∂，则2M Ny x N x ∂∂-∂∂=-， 于是积分因子为22dx xe x μ--⎰==．例2 求()()cos sin sin cos 0y x x x dx y x x x dy -++=的积分因子．解 因为cos sin M y x x x =-，sin cos N y x x x =+，且1M Ny xM ∂∂-∂∂=-， 于是积分因子为(),dyyx y e e μ⎰==．例3求方程()()3223322223230x x y y y dx y xy x x ++-+++-=的积分因子．解 因为322323M x x y y y =++-， 322223N y xy x x =++-，且()12M N N M y x x y -⎛⎫∂∂--=- ⎪∂∂+⎝⎭，只与x y +有关，于是有积分因子 ()()22,d x y x y x y ex y μ-++⎰==+参考文献[]1王高雄, 朱思铭，周之铭，王寿松，李艳会.常微分方程（第三版）［M ］.北京：高等教育出版社，2006.[]2王兴涛.常微分方程［M ］.哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2003. []3丁同仁.常微分方程基础［M ］.上海：上海科学技术出版社，2003.。