1.1映射与函数

新的函数定义与老的函数定义从形式上看，
只相差几个字，如把“数”改为“元素”，讨论
的对象 但实质上并非几 从“数的范围”进入到“一般集合”．
字之差，而是概念上的重大发展，是数学发展道路
上的重大转折，近代的“泛函分析”可以作为这种转 折的标志，它研究的是一般集合上的函数关系，根 据近代函数定义，我们可以说，线段的长度是线段
f
带来
f
损直 失接 y经 元济
x u y
假设u=φ(x),y=f(u)，那么y是u的函数，而u
又是x的函数，即变量y经变量u的中转最终是x的 函数,我们把类似的实际问题抽象为一个数学概
念—复合函数.
定义2
设y是u的函数y = f (u) ， u是x的函数
u=g(x)，而且当x在g(x)的定义域或定义域的一部分 取值时， 所对应的u值使y = f (u)有定义， 则称 y = f [g(x)] 是由y = f (u) 和u=g(x) 构成的复合函数 ． 中间变量 例
17世纪末，莱布尼兹首先用了“function”一 词．不过，当时这个词是用来表示“幂”、“坐标” 以及“切线长”等概念，意义含糊． 1718年，达朗贝尔给函数下的定义是： “所谓 变量的函数，就是指由这些变量和常量所组成的解析 表达式”．
1748年，欧拉又给出函数的定义： “函数就 是一条随意可以描画的曲线”．
y f (x)
因变量
或
f ：x
y, x X
定义域
自变量
f(x)是f在x处的函数值，函数值的全体（是Y的一 个子集）称做函数f的值域．
说明: 1.与初等数学中称因变量y是函数的说法不同,
定义中称对应法则f 是函数, 这一方式表明, 函数本质是变量之间的对应关系. 2. 定义中,并未规定对应法则f 必须用数学公式 来表现, 尽管这是最常用的形式. 依据定义, 还可以采用曲线、表格，甚至文字等各种方 式表示对应法则.
第1章
§1.1
映射与函数
数学中的转折点是笛卡儿的变数，有了变数，运动进 入了数学；有了变数，辩证法进入了数学；有了变数，微 分和积分也就立刻成为必要的了. 恩格斯
一、 函数概念的形成与发展 二、 函数的概念 三、 初等函数
一、函数概念的形成与发展
在封建社会里，由于生产力水平不高，人们对 数学的需要停留在常量数学范围内，到了16、17世纪， 社会多方面的需求需要人们对各种“运动”进行研究， 这就为函数概念的产生提供了客观上的基础。
单调增函数.
y
若 f ( x1 ) f ( x2 ) , 称 f (x) 为 I 上的 单调减函数 .
(3) 奇偶性
x1 x 2
x
x D, 且有 x D, 若 f ( x) f ( x) , 则称 f (x) 为偶函数;
若 f ( x) f ( x) , 则称 f (x) 为奇函数. 说明: 若 f (x) 在 x = 0 有定义 , 则当
如果这样的M不存在,就称函数 f (x) 在 I 上无界. 如图, 有界函数的图形位于两平行于x轴的两条 直线 x =+M，x = – M之间.
y y M
M
y=f(x) o -M x 有界ຫໍສະໝຸດ BaiduI
x0
o -M I 无界
x
(2) 单调性
x1 , x2 I , 当 x1 x2 时,
若 f ( x1 ) f ( x2 ) , 称 f (x) 为 I 上的
3. 定义中, 对法则f 的一个基本要求是,它必须
能以确定的方式指定唯一的一个y值与x值对
应.
2. 函数的几种特性 设函数 y f ( x) , x D , 且有区间 I D . (1) 有界性 x I , M 0 , 使 f ( x) M , 称 f (x) 在 I 上有界.
y= u,
u 1 x ,
2
y 1 x2
注: 1.不是任何两个函数都可复合成一个 复合函数.
例如,y=arcsinu 和 u=2+x2 就不能复合成一个复 合函数．因为 u=2+x2 的定义域内的任何x 值所对 应的u值都使 y=arcsinu 没有意义． 2.复合函数可以由两个以上的函数复合而成.
的函数，在这里自变元是线段，因变元是数．至此， 函数的概念就更加一般化了．
二、函数的概念
1.函数的定义 定义1 设x, y是两个变量，X是x的变化范围． Y是y的变化范围，f 是对应法则．若对X中的每个 x值，依据对应法则f ，Y中有唯一确定的值y与之
对应，则称对应法则f 是定义在X上的函数，记作
19世纪，人们对函数概念的认识飞跃到一个新 的阶段，这就是建立了变量与函数之间的对应关系， 因为“对应”是函数概念的一种本质属性与核心部 分。 上世纪20年代，又产生了新的现代函数定义： “若对集合M的任意元素 x ,总有集合N上确定的元 素 y 与之对应，则称在集合M上定义了一个函数， 记为y f (x ) ，元素 x 称为自变元，元素y 称 为因变元。”
y
x o
xx
f (x ) 为奇函数时, 必有 f (0) 0.
(4) 周期性
x D, l 0 , 且 x l D , 若 f ( x l ) f ( x)
则称 f (x )为周期函数 ,称 l 为周期 ( 一般指最小正周期 ). f (t ) y
2
o 2 x
2 o
周期为
2 周期为 2
t
注: 周期函数不一定存在最小正周期 . 例如, 常函数 f ( x) C 狄里克雷函数 f (x)
1,
0,
x 为有理数 x 为无理数
三.初等函数
1.复合函数
每 毁 林 亩

造成
x

面水 积土 u流 亩失
x 例如, y cot , 2
y u , u cot v, v x .
2
2. 反函数 定义3 设X是严格单调函数y = f (x)的定义域，
Y = f (X)是它的 值域．任给y∈Y，由于f (x)严格
单调，存在唯一的一个x∈X使 f (x) = y，则x也
是y的函数, 称为y=f (x)的反函数, 记为 x = f -1(y)． 函数y=f (x)称为直接函数. y = f (x)和x = f -1(y)互为 反函数． 一般地, y = f (x), x∈X 的反函数记为y= f -1(x), x∈Y .