11映射与函数
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
Rf f(D){yyf(x )x , D }.
注
记f号 和 f(x)含义的区别： f : 自变量x和因变量y之间的对应法则; f (x):与自变量x对应的函数值; f( x )x ,D 或 y f( x )x ,D : 定义在D上的函数,
(2) 函数的记号: 除常用的f 外, 可任意选取,
g、 F、 等, 相应地, 函数可记作: yg(x),
2. 集合的运算
A B
基本运算：
• 并集：由所有属于A或者属于B的元 素组成的集合，记作A∪B。
• 交集：由即属于A又属于B的元素组 成的集合，记作A∩B。
• 差集：所有属于A而不属于B的元素 组成的集合，记作A\B。
B A
A\ B AB
A AA c
• 补集：称集合I为全集，称I\A或为A的
（A∩B）∪C＝（A∪C）∩（B∪C）； 对偶律：（A∪B）C＝AC∩BC，
（A∩B）C＝AC∪BC；
3. 集合之间的关系
定义2 . 设有集合 A,B,若 xA必有 xB, 则称 A
是 B 的子集 , 或称 B 包含 A , 记作 AB.
若
且
则称 A 与 B 相等, 记作 AB.
例如 ,
,
,
显然有下列关系 :
2. 函数概念
定义 设数集 DR,则称映射 f:DR 为定义在D上的函数,通常简记为
y f ( x), x D, 记Df D
因变量 自变量 定义域(domain) 定义中, 如果对x D, 按对应法则f , 确定的值y与之对应,
函数值,记作 y f ( x), 函数关系
函数值 f (x)全体组成的集合称为 函数f 的值域, 记作 R f 或f (D),即
Y 的子集 f(X)f(x)x X称为 f 的 值域 .
注意: 1) 映射的三要素— 定Baidu Nhomakorabea域 , 对应规则 , 值域 . 2) 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一 .
2. 几类重要映射
设映射 f : X Y. 若Rf Y,即Y 中任一元素y 都是X中某 元素的像, 则称f 是满射. 若 x1,x2X,x1x2,必有 f(x1)f(x2), 则称f 是 单射. 若映射f 既是满射, 又是单射, 则称f 是
即 U(a,){ xa x a } .
U(a,)表示 :与 a 距 点离 的 小 一 x 的 于 切 .全
几何表示
O a
a
a x
U(a,)有时简记为 U(a).
点a的 去心(空心) 的邻域,记作U(a, ), 即
U (a， ） {x0 xa}.
开区间 (a,a)称为 a的左邻域, 开区间 (a,a)称为 a的右邻域.
两个闭区间的直积表示xOy平面上的矩形
区域.如, [a,b][c,d] ( x ,y ) x [ a , b ] y , [ c , d ]
即为xOy平面上的矩形区域, 这个区域在x轴与y 轴上的投影分别为闭区间 [a,b]和闭区间 [c,d].
常用的逻辑符号
在逻辑推理过程中最常用的两个逻辑记号
的集合
按一定规则入座
定义4. 设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应规
则 f , 使得
有唯一确定的
与之对应 , 则
称 f 为从 X 到 Y 的映射, 记作 f :XY.
X
f
Y
元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的 像 , 记作 y f(x).
元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的 原像 . 集合 X 称为映射 f 的定义域 ;
D
手电筒
D2
复合映射 D
三、函数(function)
1.常量(constant quantity)与变量(variable) 在某过程中数值保持不变的量称为常量;
而在过程中数值变化的量称为 变量.
注 一个量是常量还是变量,不是绝对的, 而是相对“过程”而言的.
常量与变量的表示方法:
在高等数学中,通常用字母 a, b, c等表示常量, 用字母 x, y, t 等表示变量.
y F (x )y ,(x )等,也可记作: yy(x).
(3) 对x D, 对应的函数值y总是唯一的, 这种函数称为单值函数,否则称为多值函数.
如 y x是多值函数, 约定:
它的两个单值支是: y x , y x.
今后无特别说明时, 函数是指单值函数.
(4) 构成函数的 两个要素: 定义域 D f 与对应法则f .
、.
“” 表示 “任取 ”, 或“任意给定
“ ” ” 表.示 “存在 ”,“至少存在一个或“能够找到
”,
”.
符号 “ ” 表示 “蕴含 ”,或 “推
符号 “ ”出表”示. “等价 ”,或 “充分必
要”.
二、 映射
1. 映射的概念 引例1.
某校学生的集合
学号的集合
按一定规则查号
某教室座位
某班学生的集合
余集或补集，记作AC。
B AB
• 直积：A B(x,y)xA,yB
A
特例: RR 记 R 2 为平面上的全体点集
集合的并、交、补运算满足下列法则：
交换律： A∪B＝B∪A，A∩B＝B∩A； 结合律：（A∪B）∪C＝A∪（B∪C），
（A∩B）∩C＝A∩（B∩C）； 分配律：（A∪B）∩C＝（A∩C）∪（B∩C），
称为
半开半闭区间. 有限区间
[a,) {xax}
Oa (,b ){xxb }
x
无限区间
O
bx
全体实数的集合R 也可记作 ( ,), 是无限区间.
邻域(neighbourhood)
设 a与 是两个 , 且 实 0.数
数集{x|xa|}称为a点 的邻域,记作
U (a, ). 它是以 点a中心, 为半径的开区间.
4. 区间(interval)和邻域
区间是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.
设a和b都是实数 , 且ab.
{xaxb}称为开区间, 记作 (a,b)
Oa
bx
{xaxb}称为 闭区间,记作 [a,b]
Oa
bx
两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
{xaxb}记作 [a,b) {xaxb}记作 (a,b]
一 一 映射(或双射).
2. 逆映射与复合映射 (1) 逆映射的定义 定义: 若映射
使
为单射, 则存在一新映射 其中
称此映射 f 1 为 f 的逆映射 .
f
习惯上 , yf(x),x D D
f 1
f (D)
的逆映射记成
yf 1(x),x f(D )
例如, 映射
其逆映射为
(2) 复合映射 引例.
D1
注
记f号 和 f(x)含义的区别： f : 自变量x和因变量y之间的对应法则; f (x):与自变量x对应的函数值; f( x )x ,D 或 y f( x )x ,D : 定义在D上的函数,
(2) 函数的记号: 除常用的f 外, 可任意选取,
g、 F、 等, 相应地, 函数可记作: yg(x),
2. 集合的运算
A B
基本运算：
• 并集：由所有属于A或者属于B的元 素组成的集合，记作A∪B。
• 交集：由即属于A又属于B的元素组 成的集合，记作A∩B。
• 差集：所有属于A而不属于B的元素 组成的集合，记作A\B。
B A
A\ B AB
A AA c
• 补集：称集合I为全集，称I\A或为A的
（A∩B）∪C＝（A∪C）∩（B∪C）； 对偶律：（A∪B）C＝AC∩BC，
（A∩B）C＝AC∪BC；
3. 集合之间的关系
定义2 . 设有集合 A,B,若 xA必有 xB, 则称 A
是 B 的子集 , 或称 B 包含 A , 记作 AB.
若
且
则称 A 与 B 相等, 记作 AB.
例如 ,
,
,
显然有下列关系 :
2. 函数概念
定义 设数集 DR,则称映射 f:DR 为定义在D上的函数,通常简记为
y f ( x), x D, 记Df D
因变量 自变量 定义域(domain) 定义中, 如果对x D, 按对应法则f , 确定的值y与之对应,
函数值,记作 y f ( x), 函数关系
函数值 f (x)全体组成的集合称为 函数f 的值域, 记作 R f 或f (D),即
Y 的子集 f(X)f(x)x X称为 f 的 值域 .
注意: 1) 映射的三要素— 定Baidu Nhomakorabea域 , 对应规则 , 值域 . 2) 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一 .
2. 几类重要映射
设映射 f : X Y. 若Rf Y,即Y 中任一元素y 都是X中某 元素的像, 则称f 是满射. 若 x1,x2X,x1x2,必有 f(x1)f(x2), 则称f 是 单射. 若映射f 既是满射, 又是单射, 则称f 是
即 U(a,){ xa x a } .
U(a,)表示 :与 a 距 点离 的 小 一 x 的 于 切 .全
几何表示
O a
a
a x
U(a,)有时简记为 U(a).
点a的 去心(空心) 的邻域,记作U(a, ), 即
U (a， ） {x0 xa}.
开区间 (a,a)称为 a的左邻域, 开区间 (a,a)称为 a的右邻域.
两个闭区间的直积表示xOy平面上的矩形
区域.如, [a,b][c,d] ( x ,y ) x [ a , b ] y , [ c , d ]
即为xOy平面上的矩形区域, 这个区域在x轴与y 轴上的投影分别为闭区间 [a,b]和闭区间 [c,d].
常用的逻辑符号
在逻辑推理过程中最常用的两个逻辑记号
的集合
按一定规则入座
定义4. 设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应规
则 f , 使得
有唯一确定的
与之对应 , 则
称 f 为从 X 到 Y 的映射, 记作 f :XY.
X
f
Y
元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的 像 , 记作 y f(x).
元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的 原像 . 集合 X 称为映射 f 的定义域 ;
D
手电筒
D2
复合映射 D
三、函数(function)
1.常量(constant quantity)与变量(variable) 在某过程中数值保持不变的量称为常量;
而在过程中数值变化的量称为 变量.
注 一个量是常量还是变量,不是绝对的, 而是相对“过程”而言的.
常量与变量的表示方法:
在高等数学中,通常用字母 a, b, c等表示常量, 用字母 x, y, t 等表示变量.
y F (x )y ,(x )等,也可记作: yy(x).
(3) 对x D, 对应的函数值y总是唯一的, 这种函数称为单值函数,否则称为多值函数.
如 y x是多值函数, 约定:
它的两个单值支是: y x , y x.
今后无特别说明时, 函数是指单值函数.
(4) 构成函数的 两个要素: 定义域 D f 与对应法则f .
、.
“” 表示 “任取 ”, 或“任意给定
“ ” ” 表.示 “存在 ”,“至少存在一个或“能够找到
”,
”.
符号 “ ” 表示 “蕴含 ”,或 “推
符号 “ ”出表”示. “等价 ”,或 “充分必
要”.
二、 映射
1. 映射的概念 引例1.
某校学生的集合
学号的集合
按一定规则查号
某教室座位
某班学生的集合
余集或补集，记作AC。
B AB
• 直积：A B(x,y)xA,yB
A
特例: RR 记 R 2 为平面上的全体点集
集合的并、交、补运算满足下列法则：
交换律： A∪B＝B∪A，A∩B＝B∩A； 结合律：（A∪B）∪C＝A∪（B∪C），
（A∩B）∩C＝A∩（B∩C）； 分配律：（A∪B）∩C＝（A∩C）∪（B∩C），
称为
半开半闭区间. 有限区间
[a,) {xax}
Oa (,b ){xxb }
x
无限区间
O
bx
全体实数的集合R 也可记作 ( ,), 是无限区间.
邻域(neighbourhood)
设 a与 是两个 , 且 实 0.数
数集{x|xa|}称为a点 的邻域,记作
U (a, ). 它是以 点a中心, 为半径的开区间.
4. 区间(interval)和邻域
区间是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.
设a和b都是实数 , 且ab.
{xaxb}称为开区间, 记作 (a,b)
Oa
bx
{xaxb}称为 闭区间,记作 [a,b]
Oa
bx
两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
{xaxb}记作 [a,b) {xaxb}记作 (a,b]
一 一 映射(或双射).
2. 逆映射与复合映射 (1) 逆映射的定义 定义: 若映射
使
为单射, 则存在一新映射 其中
称此映射 f 1 为 f 的逆映射 .
f
习惯上 , yf(x),x D D
f 1
f (D)
的逆映射记成
yf 1(x),x f(D )
例如, 映射
其逆映射为
(2) 复合映射 引例.
D1